Hipoteza O Kontinuumu

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-11-26 16:08

Ulazna navigacija

• Sadržaj unosa
• Bibliografija
• Akademske alate
• Prijatelji PDF pregled
• Podaci o autoru i citiranju
• Povratak na vrh

Hipoteza o kontinuumu

Objavljeno u srijedu, 22. svibnja 2013

Hipoteze kontinuuma (CH) jedan je od središnjih otvorenih problema u teoriji skupova, onaj važan i iz matematičkih i iz filozofskih razloga.

Problem se zapravo pojavio s rođenjem teorije skupova; doista je u mnogo čemu potaknuo rađanje teorije skupova. 1874. Cantor je pokazao da postoji prirodna korespondencija između prirodnih brojeva i algebričnih brojeva. Što je još iznenađujuće, pokazao je da između prirodnih brojeva i stvarnih brojeva ne postoji korespondencija jedan na jedan. Uzimajući postojanje korespondencije jedan na jedan kao kriterij kada dva skupa imaju istu veličinu (nešto što je on sigurno učinio do 1878.), ovaj rezultat pokazuje da postoji više od jedne razine beskonačnosti i na taj način je donio višu beskonačno u matematici. Cantor je odmah pokušao utvrditi postoje li beskonačni skupovi stvarnih brojeva srednje veličine, tj.je li postojao beskonačni skup realnih brojeva koji se nisu mogli staviti u jedno do jedno podudaranje s prirodnim brojevima i ne mogu se staviti u jedno do jedno dopisivanje sa stvarnim brojevima. Hipoteza kontinuuma (pod jednom formulacijom) jednostavno je tvrdnja da ne postoji takav skup realnih brojeva. Upravo je pokušajem dokazivanja ove hipoteze Cantor razvio teoriju skupova u sofisticiranu granu matematike.^[1]

Unatoč svojim naporima Cantor nije mogao riješiti CH. Problem ustrajao i smatrali su toliko važni Hilbertov da ga je stavio prvo na svom poznatom popisu otvorenih problema koji se susreću po 20 ^-og stoljeća. Hilbert se također borio da riješi CH, opet bez uspjeha. Konačno, ovaj nedostatak napretka objasnio je kombiniranim rezultatima Gödela i Cohena, koji su zajedno pokazali da se CH ne može riješiti na osnovu aksioma koje su koristili matematičari; moderno gledano, CH je neovisan o teoriji skupa Zermelo-Fraenkel proširenoj Aksiomom izbora (ZFC).

Ovaj rezultat neovisnosti brzo su slijedili mnogi drugi. Tehnike neovisnosti bile su toliko snažne da su se postavljeni teoretičari ubrzo našli zaokupljeni meta-teorijskim poduhvatom dokazivanja da se neke temeljne izjave ne mogu dokazati ili opovrgnuti u ZFC-u. Potom se postavilo pitanje postoje li načini da se riješe neovisne izjave. Zajednica matematičara i filozofa matematike bila je u velikoj mjeri podijeljena po tom pitanju. Pluralisti (poput Cohena) tvrdili su da su rezultati neovisnosti učinkovito riješili pitanje pokazavši da nema odgovora. Po tom mišljenju moglo bi se usvojiti sustav u kojem,Recimo da je CH bio aksiom i da je mogao usvojiti sustav u kojem je −CH aksiom i to je bio kraj stvari - nije se postavljalo pitanje koje je od dva nespojiva proširenja „ispravno“. Ne-pluralisti (poput Gödela) smatrali su da su rezultati neovisnosti samo ukazivali na nedostatak naših sredstava za zapisivanje matematičke istine. U tom su pogledu potrebni novi aksiomi, aksiomi koji su opravdani i dovoljni za zadatak. Gödel je zapravo išao dalje predlažući kandidate za nove aksiome - velike kardinalne aksiome - i pretpostavljao je da će podmiriti CH. Gödel je zapravo išao dalje predlažući kandidate za nove aksiome - velike kardinalne aksiome - i pretpostavljao je da će podmiriti CH. Gödel je zapravo išao dalje predlažući kandidate za nove aksiome - velike kardinalne aksiome - i pretpostavljao je da će podmiriti CH.

Gödelov program za velike kardinalne aksiome pokazao se izuzetno uspješnim. Tijekom sljedećih 30 godina pokazalo se da veliki kardinalni aksiomi rješavaju mnoga pitanja za koja se pokazalo da su neovisna u doba neovisnosti. Međutim, CH je ostao netaknut. Situacija se pokazala prilično ironičnom jer je na kraju pokazano (u smislu koji se može precizno objasniti) da iako standardni veliki kardinalni aksiomi učinkovito rješavaju sve složenost strogo ispod CH, oni ne mogu (prema rezultatima Levy i Solovay i ostali) sami podmiruju CH. Tako je odabirom CH-a za testni slučaj za svoj program Gödel stavio prst točno na mjesto gdje ga ne uspijeva. Upravo iz tog razloga CH nastavlja igrati središnju ulogu u potrazi za novim aksiomima.

U ovom ćemo unosu dati pregled glavnih pristupa namirivanju CH-a i razmotriti ćemo neke od glavnih temeljnih okvira koji tvrde da CH nema odgovor. Tema je velika i morali smo žrtvovati potpunu sveobuhvatnost u dvije dimenzije. Prvo, nismo uspjeli razgovarati o glavnim filozofskim pitanjima koja leže u pozadini. U tu svrhu čitatelj je upućen na ulomak "Veliki kardinali i odlučnost", koji sadrži opću raspravu o rezultatima neovisnosti, prirodi aksioma, prirodi opravdanja i uspjesima velikih kardinalnih aksioma u carstvu "ispod CH", Drugo, nismo uspjeli raspraviti svaki pristup CH koji se nalazi u literaturi. Umjesto toga, ograničili smo se na one pristupe koji s filozofskog stajališta izgledaju najperspektivnije i u kojima je matematika razvijena do dovoljno naprednog stanja. U pristupima ćemo razgovarati o prisilnim aksiomima, teoriji unutarnjeg modela, kvazi velikim kardinalima - matematika je pritisnuta na vrlo napredan stupanj tijekom 40 godina. A to nam je otežalo zadatak. Pokušali smo održati raspravu što je moguće dostupnijom i više tehničkih stavki stavili smo u konačne bilješke. No, čitatelj treba imati na umu da mi prikazujemo ptičje perspektive i da bi za veću rezoluciju u bilo kojem trenutku čitatelj trebao uroniti u predložena čitanja koja se pojavljuju na kraju svakog odjeljka. U pristupima ćemo razgovarati o prisilnim aksiomima, teoriji unutarnjeg modela, kvazi velikim kardinalima - matematika je pritisnuta na vrlo napredan stupanj tijekom 40 godina. A to nam je otežalo zadatak. Pokušali smo održati raspravu što je moguće dostupnijom i više tehničkih stavki stavili smo u konačne bilješke. No, čitatelj treba imati na umu da mi prikazujemo ptičje perspektive i da bi za veću rezoluciju u bilo kojem trenutku čitatelj trebao uroniti u predložena čitanja koja se pojavljuju na kraju svakog odjeljka. U pristupima ćemo razgovarati o prisilnim aksiomima, teoriji unutarnjeg modela, kvazi velikim kardinalima - matematika je pritisnuta na vrlo napredan stupanj tijekom 40 godina. A to nam je otežalo zadatak. Pokušali smo održati raspravu što je moguće dostupnijom i više tehničkih stavki stavili smo u konačne bilješke. No, čitatelj treba imati na umu da mi prikazujemo ptičje perspektive i da bi za veću rezoluciju u bilo kojem trenutku čitatelj trebao uroniti u predložena čitanja koja se pojavljuju na kraju svakog odjeljka. Pokušali smo održati raspravu što je moguće dostupnijom i više tehničkih stavki stavili smo u konačne bilješke. No, čitatelj treba imati na umu da mi prikazujemo ptičje perspektive i da bi za veću rezoluciju u bilo kojem trenutku čitatelj trebao uroniti u predložena čitanja koja se pojavljuju na kraju svakog odjeljka. Pokušali smo održati raspravu što je moguće dostupnijom i više tehničkih stavki stavili smo u konačne bilješke. No, čitatelj treba imati na umu da mi prikazujemo ptičje perspektive i da bi za veću rezoluciju u bilo kojem trenutku čitatelj trebao uroniti u predložena čitanja koja se pojavljuju na kraju svakog odjeljka.^[2]

Postoje dvije vrste pristupa novim aksiomima - lokalni pristup i globalni pristup. U lokalnom pristupu traže se aksiomi koji odgovaraju na pitanja koja se odnose na određeni fragment svemira, poput V _{ω + 1} ili V _{ω + 2}, u kojem leži CH. U globalnom pristupu traže se aksiomi koji pokušavaju osvijetliti čitavu strukturu svemira skupova. Globalni pristup očito je mnogo izazovniji. U ovom ćemo unosu započeti s lokalnim pristupom i prema kraju ćemo se ukratko dotaknuti globalnog pristupa.

Evo pregleda unosa: Odjeljak 1 istražuje rezultate neovisnosti u kardinalnoj aritmetici, a obuhvaća i slučajeve redovnih kardinala (gdje CH leži) i pojedinačnih kardinala. Odjeljak 2 razmatra pristupe CH-u gdje jedna sukcesivno provjerava hijerarhiju aproksimacija CH-a, od kojih je svaka „učinkovita“verzija CH. Ovaj pristup je doveo do izvanrednog Woodinovog otkrića da je moguće (u prisutnosti velikih kardinala) imati efektivni neuspjeh CH, čime je pokazano da je učinkovit neuspjeh CH jednako neporeciv (s obzirom na velike kardinalne aksiome) koliko CH sama. Treći dio nastavlja se s razvojem koji je proizašao iz ovog otkrića. Središnja tema rasprave je otkriće „kanonskog“modela u kojem CH propada. To je činilo osnovu mreže rezultata koje je Woodin kolektivno predstavio kao slučaj za neuspjeh CH-a. Da bismo ovaj slučaj prikazali u najprofiniranijem obliku, uvodimo jaku logiku Ω-logike. Odjeljak 4 zauzima konkurirajući temeljni stav da ne postoji rješenje za CH. Ovaj je pogled zaoštren u smislu generičke multiverzalne koncepcije istine i taj se pogled zatim pomno razmatra. Odjeljak 5. nastavlja procjenu slučaja za CH za ispitivanje paralelnog slučaja za CH. U preostala dva odjeljka okrećemo se globalnom pristupu novim aksiomama i ovdje ćemo biti mnogo brži. Odjeljak 6. govori o pristupu kroz teoriju unutarnjeg modela. Poglavlje 7 govori o pristupu kroz kvazi velike kardinalne aksiome. Da bismo ovaj slučaj prikazali u najprofiniranijem obliku, uvodimo jaku logiku Ω-logike. Odjeljak 4 zauzima konkurirajući temeljni stav da ne postoji rješenje za CH. Ovaj je pogled zaoštren u smislu generičke multiverzalne koncepcije istine i taj se pogled zatim pomno razmatra. Odjeljak 5. nastavlja procjenu slučaja za CH za ispitivanje paralelnog slučaja za CH. U preostala dva odjeljka okrećemo se globalnom pristupu novim aksiomama i ovdje ćemo biti mnogo brži. Odjeljak 6. govori o pristupu kroz teoriju unutarnjeg modela. Poglavlje 7 govori o pristupu kroz kvazi velike kardinalne aksiome. Da bismo ovaj slučaj prikazali u najprofiniranijem obliku, uvodimo jaku logiku Ω-logike. Odjeljak 4 zauzima konkurirajući temeljni stav da ne postoji rješenje za CH. Ovaj je pogled zaoštren u smislu generičke multiverzalne koncepcije istine i taj se pogled zatim pomno razmatra. Odjeljak 5. nastavlja procjenu slučaja za CH za ispitivanje paralelnog slučaja za CH. U preostala dva odjeljka okrećemo se globalnom pristupu novim aksiomama i ovdje ćemo biti mnogo brži. Odjeljak 6. govori o pristupu kroz teoriju unutarnjeg modela. Poglavlje 7 govori o pristupu kroz kvazi velike kardinalne aksiome. Odjeljak 5. nastavlja procjenu slučaja za CH za ispitivanje paralelnog slučaja za CH. U preostala dva odjeljka okrećemo se globalnom pristupu novim aksiomama i ovdje ćemo biti mnogo brži. Odjeljak 6. govori o pristupu kroz teoriju unutarnjeg modela. Poglavlje 7 govori o pristupu kroz kvazi velike kardinalne aksiome. Odjeljak 5. nastavlja procjenu slučaja za CH za ispitivanje paralelnog slučaja za CH. U preostala dva odjeljka okrećemo se globalnom pristupu novim aksiomama i ovdje ćemo biti mnogo brži. Odjeljak 6. govori o pristupu kroz teoriju unutarnjeg modela. Poglavlje 7 govori o pristupu kroz kvazi velike kardinalne aksiome.

• 1 Neovisnost u kardinalnoj aritmetici

  • 1.1 Redoviti kardinali
  • 1.2 Jedinstveni kardinali

• 2 Definirajuće verzije hipoteze kontinuuma i njegova negacija

  • 2.1 Tri verzije
  • 2.2 Foreman-magidorski program

• 3 Slučaj ¬CH

  • 3,1 ℙ _maks
  • 3,2 Ω-logika
  • 3.3 Slučaj

• 4 Multiverse

  • 4.1 Široki multiverzalni prikazi
  • 4.2. Generički multiverse
  • 4.3 Konstrukcija Ω i generički multiverzum
  • 4.4 Postoji li izlaz?

• 5 Ponovni ponovljeni slučaj

  • 5.1 Slučaj ¬CH
  • 5.2 Paralelni slučaj za CH
  • 5.3 Procjena
• 6 Ultimativni unutarnji model
• 7 Teorija strukture L (V _{λ + 1})
• Bibliografija
• Akademske alate
• Ostali internetski resursi
• Povezani unosi

1. Neovisnost u kardinalnoj aritmetici

U ovom ćemo dijelu raspravljati o rezultatima neovisnosti u kardinalnoj aritmetici. Prvo ćemo razmotriti slučaj redovitih kardinala, gdje je CH i gdje se vrlo malo utvrđuje u kontekstu ZFC-a. Drugo, radi sveobuhvatnosti raspravljat ćemo o slučaju pojedinačnih kardinala, gdje se u kontekstu ZFC-a može utvrditi mnogo više.

1.1 Redoviti kardinali

Zbrajanje i množenje beskonačnih kardinalnih brojeva je trivijalno: Za beskonačne kardinale κ i λ,

κ + λ = κ ⋅ λ = max {κ, λ}.

Situacija postaje zanimljiva kada se okrenemo eksponenciji i pokušaju izračunavanja κ ^λ za beskonačne kardinale.

Tijekom zore teorije skupova Cantor je pokazao da je za svaki kardinal κ,

2 ^κ > κ.

Ne postoji misterija o veličini 2 ⁿ za konačni n. Prvo prirodno pitanje je gdje se 2 ^{ℵ ₀} nalazi u alef-hijerarhiji: Je li ℵ ₁, ℵ ₂,…, ℵ ₁₇ ili nešto puno veće?

Kardinal 2 ^{ℵ ₀} važan je jer je to veličina kontinuuma (skup realnih brojeva). Cantorina čuvena hipoteza o kontinuumu (CH) je tvrdnja da je 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁. To je poseban slučaj generalizirane hipoteze o kontinuumu (GCH) koja tvrdi da je za sve α, 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1}. Jedna vrlina GCH-a je što daje cjelovito rješenje problema računanja κ ^λ za beskonačne kardinale: Pretpostavimo GCH, ako je κ ≤ λ, tada je κ ^λ = λ ⁺; ako je cf (κ) ≤ λ ≤ κ, tada je κ ^λ = κ ⁺; a ako je λ <cf (κ), tada je κ ^λ = κ.

Vrlo mali napredak postignut je u odnosu na CH i GCH. Zapravo, u ranoj eri teorije skupova jedini je napredak izvan Cantorinog rezultata koji je 2 ^κ > κ (i trivijalni rezultat da ako je κ ≤ λ tada 2 ^κ ≤ 2 ^λ) je Königov rezultat koji je cf (2 ^κ) > κ. Objašnjenje nedostatka napretka pružili su rezultati neovisnosti u teoriji skupova:

Teorem 1.1 (Gödel 1938a, 1938b).

Pretpostavimo da je ZFC dosljedan. Tada su ZFC + CH i ZFC + GCH konzistentni.

Kako bi to dokazao, Gödel je izumio metodu unutarnjih modela - pokazao je da se CH i GCH drže u minimalnom unutarnjem modelu L od ZFC-a. Potom je Cohen nadovezao ovaj rezultat:

Teorem 1.2 (Cohen 1963).

Pretpostavimo da je ZFC dosljedan. Tada su ZFC + ¬CH i ZFC + ¬GCH konzistentni.

To je učinio izumom metode vanjskih modela i pokazavši da CH nije uspio u generičkom produžetku V ^B od V. Kombinirani rezultati Gödela i Cohena pokazuju da je, pretpostavljajući konzistentnost ZFC-a, u principu nemoguće naseliti CH ili GCH u ZFC-u.

U jesen 1963. godine Easton je sliku dovršio pokazujući da su za beskonačne redovne kardinale κ jedina ograničenja funkcije κ ↦ 2 ^κ koja se mogu dokazati u ZFC-u trivijalno ograničenje i rezultati Kantora i Königa:

Teorem 1.3 (Easton 1963).

Pretpostavimo da je ZFC dosljedan. Pretpostavimo da je F (definirajuća klasa) funkcija definirana na beskonačnim redovitim kardinalima, tako da

1. ako je κ ≤ λ, tada je F (κ) ≤ F (λ),
2. F (κ)> κ i
3. cf (F (κ))> κ.

Tada je ZFC + „Za sve beskonačne redovne kardinale κ, 2 ^κ = F (κ)“.

Tako su postavljeni teoretičari gurnuli kardinalnu aritmetiku redovnih kardinala onoliko koliko je mogla ugurati u granice ZFC-a.

1.2 Jedinstveni kardinali

Slučaj kardinalne aritmetike na jedinstvenim kardinalima mnogo je suptilanji. Radi potpunosti, zaustavljamo se da ukratko raspravimo o tome prije nego što nastavimo s hipotezom kontinuuma.

Općenito se smatralo da će, kao u slučaju redovitih kardinala, ponašanje funkcije κ ↦ 2 ^κ biti relativno neograničeno unutar postavke ZFC-a. Ali tada je Silver dokazao sljedeći izvanredan rezultat: ^[3]

Teorem 1.4 (srebro 1974).

Ako je ℵ _δ jednostrani kardinal neizbrojive kofinitete, tada, ako GCH drži ispod ℵ _δ, tada GCH drži na ℵ _δ.

Ispada da (dubokim rezultatom Magidora, objavljenom 1977.) GCH prvo može propasti na ℵ _ω (pod pretpostavkom konzistentnosti superkompaktnog kardinala). Silverov teorem pokazuje da ne može prvo uspjeti na ℵ _{ω 1, a to je moguće dokazati u ZFC-u.}

Postavlja se pitanje može li netko „kontrolirati“veličinu 2 ^{δ _δ} uz slabiju pretpostavku od toga da je ℵ _δ jedinac kardinala neizbrojive kofinitete tako da GCH drži ispod ℵ _δ. Prirodna hipoteza koju treba razmotriti je da je ℵ _δ jedinstveni kardinal nebrojive kofiniteta koji je kardinal snažne granice, odnosno da je za sve α <ℵ _δ, 2 ^α <ℵ _δ. Godine 1975. Galvin i Hajnal dokazali su (između ostalog) da pod ovom slabijom pretpostavkom zaista postoji:

Teorem 1.5 (Galvin i Hajnal 1975).

Ako je ℵ _δ jednostrani jaki granični kardinal nebrojive kofiniteta, tada je

2 ^{ℵ _δ} <ℵ _{(| δ | ^{cf (δ)}) ⁺}.

Moguće je da postoji skok u stvari, Woodin je pokazao (opet pretpostavljajući velike kardinale) da je moguće da je za sve κ, 2 ^κ = κ ⁺⁺. Ono što pokazuje gornja teorema jest da se u ZFC-u može dokazati koliki je skok velik.

Sljedeće je pitanje prevladava li slična situacija s jedinstvenim kardinalima brojljivih kofiniteta. 1978. Shelah je pokazao da je to doista tako. Da bi popravili ideje, usredotočimo se na ℵ _ω.

Teorem 1.6 (Shelah 1978).

Ako je ℵ _ω jaki granični kardinal, tada

2 ^{ℵ _ω} <ℵ _{(2 ^{ℵ 0}) ⁺}.

Jedna mana ovog rezultata je ta što je veza osjetljiva na stvarnu veličinu 2 ^{ℵ ₀}, što može biti bilo šta ispod ℵ _ω. Izuzetno je Shelah to kasnije uspio popraviti razvojem svoje teorije pcf (moguće kofinalnosti). Jedan vrlo citirajući rezultat ove teorije je sljedeći:

Teorem 1.7 (Shelah 1982).

Ako je ℵ _ω jaki granični kardinal, tada (bez obzira na veličinu 2 ^{ℵ ₀})

2 ^{ℵ _ω} <ℵ _{ω 4.}

Ukratko, iako je funkcija kontinuuma kod redovnih kardinala relativno neograničena u ZFC-u, funkcija kontinuuma kod pojedinih kardinala (vjerojatno u ZFC-u) ograničena je na značajan način ponašanjem funkcije kontinuiteta na manjim kardinalima.

Daljnje čitanje: Za više kardinalne aritmetike pogledajte Jech (2003). Više o slučaju pojedinačnih kardinala i teorije pcf vidjeti Abraham & Magidor (2010) i Holz, Steffens & Weitz (1999).

2. Definirajuće verzije hipoteze o kontinuumu i njegove negacije

Vratimo se na kontinuum funkcije na redovitim kardinalima i koncentrirati se na najjednostavnijem slučaju, veličine 2 ^{ℵ ₀}. Jedan od Cantorinih originalnih pristupa CH bio je istraživanjem "jednostavnih" skupova stvarnih brojeva (vidjeti Hallett (1984), str. 3–5 i §2.3 (b)). Jedan od prvih rezultata u tom smjeru je teorema Cantor-Bendixsona da je svaki beskonačni zatvoreni skup ili brojiv ili sadrži savršeni podskup, u kojem slučaju ima istu kardinalnost kao i skup realnih. Drugim riječima, CH se drži (u ovoj formulaciji) kada se ograničava pažnja na zatvorene skupove reala. Općenito, pitanja o „definiranim“nizima realizacija mogu se više pratiti nego pitanja o proizvoljnim skupima rezultata, a ovo sugerira sagledavanje definiranih verzija hipoteze kontinuuma.

2.1 Tri verzije

Postoje tri različite formulacije hipoteze o kontinuumu - verzija interpolanta, verzija za dobro raspoređivanje i verzija supjekta. Ove su verzije jednake jednakoj drugoj u ZFC-u, ali mi ćemo nametnuti ograničenje definiranja i u ovom slučaju mogu biti zanimljive razlike (naša rasprava slijedi Martin (1976)). Doista postoji hijerarhija pojmova definiranja - koja se kreće kroz Borel-ovu hijerarhiju, projektivnu hijerarhiju, hijerarhiju u L (,) i, općenitije, hijerarhiju općenito Bairerovih skupova - i tako je svaka od ove tri opće verzije doista hijerarhija verzija, svaka koja odgovara određenoj razini hijerarhije definiranja (za raspravu o hijerarhiji definiranja vidi §2.2.1 i § 4.6 stavka "Veliki kardinali i odlučnost").

2.1.1 Interpolantna verzija

Prva formulacija CH je da ne postoji interpolanta, odnosno da nema beskonačnog skupa A realnih brojeva tako da je kardinalnost A strogo između prirodnih brojeva i realnih brojeva. Da bi se dobile definirane verzije jednostavno se tvrdi da ne postoji „definirajući“interpolant i to vodi hijerarhiji inačica interpolanta koje je moguće definirati, ovisno o tome koji pojam definiranosti se koristi. Preciznije, za datu klasu klase Γ u hijerarhiji odredljivih skupova realnih podataka, odgovarajuća varijabilna verzija interpolanta CH potvrđuje da u Interpolantu nema interpolanta.

Teorema Cantor-Bendixsona pokazuje da nema interpolanta u Γ u slučaju kada je the točka točka klase zatvorenih skupova, potvrđujući tako ovu verziju CH. To je poboljšala Suslin koja je pokazala da ova verzija CH vrijedi za Γ gdje je Γ klasa od ̰̰11 setova. U ZFC-u se ne može puno više - kako bi se dokazale jače verzije potrebno je unijeti jače pretpostavke. Ispada da to postižu aksiomi utvrdive determiniranosti i veliki kardinalni aksiomi. Primjerice, rezultati Kechrisa i Martina pokazuju da ako vrijedi Δ̰1 n-određenost, tada ova inačica CH vrijedi za klasu klase ̰̰1n + 1 skupova. Dalje, ako pretpostavimo AD ^{L (ℝ)}tada ta verzija CH vrijedi za sve skupove realnih brojeva koji se pojavljuju u L (ℝ). Budući da ove hipoteze slijede iz velikih kardinalnih aksioma, jedna je tako da snažnije i jače velike kardinalne pretpostavke osiguravaju jače i jače verzije ove verzije učinkovite hipoteze kontinuuma. Zaista veliki kardinalni aksiomi podrazumijevaju da ova verzija CH vrijedi za sve skupove realizacije u hijerarhiji definiranja koje razmatramo; točnije, ako postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala, ova verzija CH vrijedi za sve univerzalno Baireove komplete reala.

2.1.2 Verzija za dobro naručivanje

Druga formulacija CH potvrđuje da svaki redoslijed stvarnosti ima redoslijed manje od ℵ ₂. Za datu klasu klase Γ u hijerarhiji, odgovarajuća inačica CH koja se može definirati s velikim redoslijedom tvrdi da svaka naredba (kodirana skupom) u Γ ima vrstu narudžbe manju od ℵ ₂.

Opet, aksiomi utvrdive determiniranosti i veliki kardinalni aksiomi podrazumijevaju ovu verziju CH za bogatije pojmove definiranja. Na primjer, ako vrijedi AD ^{L (ℝ),} tada ova inačica CH vrijedi za sve skupove realnih brojeva u L (ℝ). A ako postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala, ova verzija CH vrijedi za sve univerzalno Baireove komplete.

2.1.3 Verzija izuzimanja

Formulacija CH u trećoj verziji tvrdi da ne postoji izbacivanje ρ: ℝ → ℵ ₂, ili ekvivalentno da nema prevladavanja length duljine ℵ ₂. Za datu klasu klase Γ u hijerarhiji definiranja, odgovarajuća inačica CH-a za izbacivanje uvjerava da ne postoji supjekt ρ: ℝ → ℵ ₂ takav da je (kod za) ρ u Γ.

Ovdje je situacija zanimljivija. Aksiomi utvrdive determiniranosti i veliki kardinalni aksiomi imaju utjecaja na ovu verziju jer postavljaju granicu koliko dugo mogu biti definirani prewellorderings. Neka je δ̰1 n supremum duljina Σ̰1 n -prewellorderings reals i neka je ^{(L (ℝ)} supremum duljina prewellorderings of reals gdje je prewellordering definiranje u smislu da je u L (ℝ). Klasičan je rezultat da je ̰̰11 = ℵ ₁. Martin je pokazao da je δ̰12 ≤ ℵ ₂ i da ako postoji mjerljivi kardinal, tada je δ̰13 ≤ ℵ ₃. Kunen i Martin su također pokazali pod PD, δ̰14 ≤ ℵ _4, a Jackson je pokazao da pod PD, za svaki n <ω, δ̰1 n <ℵ _ω, Stoga, pretpostavljajući da postoji beskonačno mnogo Woodinih kardinala, ove granice se drže. Osim toga, granice i dalje držati, bez obzira na veličinu 2 ^{ℵ ₀}. Naravno, pitanje je mogu li se te granice poboljšati i pokazati da su prewellorderings kraći od ℵ ₂. Godine 1986. Foreman i Magidor pokrenuli su program za uspostavljanje ovoga. U najopćenitijem obliku, oni su željeli pokazati da veliki kardinalni aksiomi podrazumijevaju da se ova verzija CH-a odnosi na sve univerzalno Baire-ove skupove.

2.1.4 Potencijalni ležaj na CH

Primijetite da su u kontekstu ZFC-a sve ove tri hijerarhije verzije CH uzastopne aproksimacije CH, a u graničnom su slučaju, kada je the točka točka svih skupina rezultata, ekvivalentne CH. Pitanje je mogu li ove aproksimacije dati bilo kakav uvid u samu CH.

Postoji asimetrija koju je istaknuo Martin, naime, da je pododjeljivi kontra-primjer CH koji je stvarni kontra-primjer, bez obzira koliko se napredovalo u verificiranju mogućih inačica CH-a ni u kojoj fazi neće dotaknuti sam CH. Drugim riječima, pristup definiranja mogao bi pobiti CH, ali to nije mogao dokazati.

Ipak, može se tvrditi da, iako pristup definiranja nije mogao dokazati CH, može pružiti neke dokaze za to. U slučaju prve dvije verzije sada znamo da CH vrijedi za sve definirane skupove. Pruža li to dokaz o CH? Martin je istaknuo (prije nego što su bili poznati puni rezultati) da je to vrlo dvojbeno jer se u svakom slučaju radi o skupinama koje su netipične. Na primjer, u prvoj verziji, u svakoj fazi se osigurava definirana verzija CH, pokazujući da svi skupovi u klasi definiranja imaju perfektno postavljeno svojstvo; ipak su takvi skupovi netipični za pretpostavku da je AC lako pokazati da postoje skupovi bez ovog svojstva. U drugoj verziji, u svakoj fazi, zapravo se pokazuje ne samo da svako dobro raspoređivanje rezultata u klasi definiranja ima redoslijed reda manji od ℵ ₂, ali i da ima svojstvo reda manje od ℵ ₁. Dakle, nijedna od ovih verzija zaista ne osvjetljava CH.

Treća verzija zapravo ima prednost u tom pogledu jer nisu svi skupovi kojima se bavi nisu atipični. Na primjer, dok svi skupovi Σ̰11 imaju duljinu manju od ℵ ₁, postoji Π̰11 skupova duljine ℵ ₁. Naravno, moglo bi se ispostaviti da čak i ako program Foreman-Magidor uspije, ovi kompleti mogu se pokazati netipičnim u drugom smislu, u tom slučaju bi bacilo malo svjetla na CH. Još je zanimljivija mogućnost da će za razliku od prve dvije verzije, on zapravo pružiti stvarni kontra-primjer CH-u. To bi, naravno, zahtijevalo neuspjeh programa Foreman-Magidor.

2.2 Foreman-magidorski program

Cilj programa Foreman-Magidor bio je pokazati da veliki kardinalni aksiomi podrazumijevaju i da se treća verzija CH drži za sve skupove u L (ℝ) i općenito za sve univerzalno Baireove skupove. Drugim riječima, cilj je bio pokazati da veliki kardinalni aksiomi podrazumijevaju da je Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₂ i, općenitije, da je Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂ za svaki univerzalno postavljeni Baire.

Motivacija je proizišla iz slavnih rezultata Foremana, Magidora i Shelaha na Martinovom maksimumu (MM), koji su pokazali da ako pretpostavimo velike kardinalne aksiome uvijek se može prisiliti na postizanje previdnog ideala na ℵ ₂ bez urušavanja ℵ ₂ (vidi Foreman, Magidor & Shelah (1988)). Program je uključivao dvodijelnu strategiju:

1. Pojačajte ovaj rezultat da biste pokazali da ako pretpostavimo velike kardinalne aksiome uvijek se može prisiliti da dobijemo zasićeni ideal na ℵ ₂ bez urušavanja ps ₂.
2. Pokažite da postojanje takvog zasićenog ideala implicira da je Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₂ i, općenitije, Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂ za svaki univerzalno Baireov skup A.

To bi pokazalo da pokazuje da je Θ ^{L ()} ≤ ℵ ₂ i, općenito, Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂ za svaki univerzalno postavljeni Baire A. ^[4]

U prosincu 1991. sljedeći rezultat uništio je nade u ovaj program.

Teorem 2.1 (Woodin).

Pretpostavimo da je nestacionarni ideal na ℵ ₁ zasićen i da postoji mjerljivi kardinal. Tada je δ̰12 = ℵ ₂.

Stvar je u tome što se hipoteza ove teoreme uvijek može prisiliti na pretpostavku velikih kardinala. Dakle, moguće je imati Θ ^{L (ℝ)} > ℵ ₂ (u stvari, ̰̰13> ℵ ₂).

Gdje je propao program? Foreman i Magidor imali su aproksimaciju na (B) i na kraju se ispostavilo da je (B) istina.

Teorem 2.2 (Woodin).

Pretpostavimo da postoji odgovarajuća klasa Woodinih kardinala i da postoji zasićeni ideal na ℵ ₂. Tada je za svaki A ∈ Γ ^∞, Θ ^{L (A, ℝ)} ≤ ℵ ₂.

Dakle, nevolja je s (A).

To ilustrira zanimljiv kontrast između naše tri verzije učinkovite hipoteze o kontinuumu, naime, da se mogu rastaviti. Iako veliki kardinali isključuju definirane kontra-primjere prve dvije vrste, oni ne mogu isključiti definirane suprotne primjere treće vrste. Ali opet moramo naglasiti da oni ne mogu dokazati da postoje takvi kontra primjeri.

No, tu je važna stvar: pod pretpostavkom da su dovoljni veliki kardinalni aksiomi (AD ^{L (ℝ)}), iako se mogu proizvesti vanjski modeli u kojima δ̰13> ℵ ₂ trenutno nije poznato kako proizvesti vanjske modele u kojima je δ̰13> ℵ ₃ ili čak Θ ^{L (ℝ)} > ℵ ₃. Stoga je otvorena mogućnost da se iz ZFC + AD ^{L (ℝ)} može dokazati Θ ^{L (ℝ)} ≤ ℵ ₃. Da je to slučaj, slijedilo bi da iako veliki kardinali ne mogu isključiti utvrđeni neuspjeh CH oni mogu isključiti utvrđeni neuspjeh 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂, To bi moglo dati uvid u veličinu kontinuuma, podvlačeći središnju vrijednost ₂.

Daljnje čitanje: Za više informacija o tri učinkovite verzije CH vidi Martin (1976); za više o programu Foreman-Magidor pogledajte Foreman & Magidor (1995) i uvod u Woodin (1999).

3. Slučaj ¬CH

Gornji rezultati doveli su Woodina do identifikacije „kanonskog“modela u kojem CH propada i to je bilo osnova njegova argumenta da je CH lažan. U odjeljku 3.1 opisat ćemo model, a u ostatku odjeljka predstavit ćemo slučaj neuspjeha CH. U odjeljku 3.2 uvest ćemo Ω-logiku i ostale pojmove potrebne za stvaranje slučaja. U odjeljku 3.3 predstavit ćemo slučaj.

3,1 ℙ _maks

Cilj je pronaći model u kojem je CH lažan i koji je kanonski u smislu da se njegova teorija ne može izmijeniti postavljanjem forsiranja u prisutnosti velikih kardinala. Pozadinska motivacija je sljedeća: Prvo znamo da je u prisutnosti velikih kardinalnih aksioma teorija aritmetike drugog reda, pa čak i cijela teorija L (ℝ) invariantna pod postavljenim forsiranjem. Važnost ovoga je što pokazuje da se naše glavne tehnike neovisnosti ne mogu koristiti za utvrđivanje neovisnosti pitanja o aritmetici drugog reda (ili o L (ℝ)) u prisutnosti velikih kardinala. Drugi,Iskustvo je pokazalo da izgleda da veliki kardinalni aksiomi odgovaraju na sve glavne poznate otvorene probleme aritmetike drugog reda i L (ℝ), a postavljene teoreme prisiljavanja invarijance daju precizan sadržaj tvrdnji da su ti aksiomi "učinkovito potpuni",^[5]

Iz toga slijedi da ako je any bilo koji homogeni parcijalni red u L (ℝ), tada je generičko proširenje L (ℝ) ^ℙ nasljeđuje generičku apsolutnost L (ℝ). Woodin je otkrio da postoji vrlo poseban djelomični redoslijed ℙ _max koji ima ovo svojstvo. Nadalje, model L (ℝ) ^{ℙ _max} zadovoljava ZFC + ¬CH. Ključna značajka ovog modela je da je "maksimalan" (ili "zasićen") u odnosu na rečenice koje su određene složenosti i za koje se može pokazati da su konzistentne postavljenim forsiranjem nad modelom; drugim riječima, ako se te rečenice mogu održati (postavljanjem forsiranja nad modelom), onda se i one moraju držati u modelu. Da bismo to preciznije rekli morat ćemo uvesti nekoliko prilično tehničkih pojmova.

Postoje dva načina stratifikacije svemira skupova. Prvi je u smislu ⟨V _α | α ∈ Na⟩, drugi je u smislu ⟨H (κ) | κ ∈ Card⟩, gdje je H (κ) skup svih skupova koji imaju kardinalnost manji od κ i čiji članovi imaju kardinalnost manju od κ, a čiji članovi imaju kardinalnost manju od κ, i tako dalje. Na primjer, H (ω) = V _ω i teorije struktura H (ω ₁) i V _{ω + 1}međusobno se tumače. Ova posljednja struktura je struktura aritmetike drugog reda i, kao što je već spomenuto, veliki kardinalni aksiomi daju nam „učinkovito cjelovito“razumijevanje ove strukture. Željeli bismo biti u istom položaju što se tiče većih i većih fragmenata svemira, a pitanje je trebamo li nastaviti s prvom ili drugom stratifikacijom.

Druga stratifikacija je potencijalno finozrnata. Ako pretpostavimo da CH ima teorije H (ω ₂) i V _{ω + 2}, međusobno se mogu protumačiti i pod pretpostavkom da su sve veći i veći fragmenti GCH-a to se podudaranje nastavlja prema gore. Ali ako je CH lažan, tada je struktura H (ω ₂) manje bogata od strukture V _{ω 2. U ovom slučaju, druga struktura bilježi potpunu aritmetiku trećeg reda, dok prva bilježi samo mali fragment aritmetike trećeg reda, ali je ipak dovoljno bogata da izražava CH. S obzirom na to, u pokušaju razumijevanja svemira skupova radeći ga kroz razinu po razinu, razumno je koristiti potencijalno finozrnate slojevitosti.}

Naš sljedeći korak je, dakle, razumijevanje H (ω ₂). Zapravo ispada da ćemo moći nešto više razumjeti i to je pomalo tehnički. Da se odnosi na strukturu ⟨H (co ₂) ∈, i _NS, A ^G ⟩ ⊧ φ, gdje _NS je nestacionarne sjajna na co ₁ i A ^G je tumačenje (kanonskog zastupljenosti) skup reala A u L (ℝ). Pojedinosti neće biti važni i od čitatelja se traži da samo pomisli na H (ω ₂) zajedno s nekim „dodatnim stvarima“i da ne brine o detaljima koji se tiču dodatnih stvari. ^[6]

Sada smo u mogućnosti navesti glavni rezultat:

Teorem 3.1 (Woodin 1999).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Pretpostavimo da su A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ) i φ a Π rečenica ₂ (u proširenom jeziku s dva dodatna predikata) i da postoji postavljeno forsiranje proširenja V [G] tako da

⟨H (ω ₂), ∈, i _NS, A ^G ⟩ ⊧ φ

(gdje je A ^G interpretacija A u V [G]). Zatim

L (ℝ) ^{ℙ _max} ⊧ „⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A⟩ ⊧ φ“.

Dvije su ključne točke: Prvo, teorija L (ℝ) ^{ℙ _max} je „učinkovito cjelovita“u smislu da je invarijantna pod postavljenim forsiranjem. Drugo, model L (ℝ) ^{ℙ _max} je „maksimalan“(ili „zasićen“) u smislu da zadovoljava sve Π _2- osnove (o relevantnoj strukturi) koje eventualno mogu imati (u smislu da se mogu pokazati biti dosljedan postavljanjem forsiranja nad modelom).

Čovjek bi se htio baviti teorijom ove strukture tako što će je aksiomatizirati. Mjerodavni aksiom je sljedeći:

Definicija 3.2 (Woodin 1999).

Aksiom (∗): AD ^{L (ℝ)} drži i L (P (ω ₁)) je ℙ _max- generičko proširenje L (ℝ).

Konačno, ovaj aksiom naseljava CH:

Teorem 3.3 (Woodin 1999).

Pretpostavimo (∗). Tada je 2 ^ω = ℵ ₂.

3,2 Ω-logika

Sada ćemo preraditi gornje rezultate u smislu snažne logike. U potpunosti ćemo iskoristiti velike kardinalne aksiome i u tom su nas okruženju zainteresirane logike koje se „dobro ponašaju“u smislu da je pitanje što podrazumijeva ono što nije radikalno neovisno. Na primjer, dobro je poznato da se CH može izraziti potpunom logikom drugog reda. Iz toga slijedi da se u prisutnosti velikih kardinala uvijek može koristiti postavljeno prisiljavanje za prebacivanje istinitosti vrijednosti navodne logičke valjanosti pune logike drugog reda. Međutim, postoje snažne logike poput ω-logike i β-logike - koje nemaju ovo svojstvo - one se dobro ponašaju u smislu da u prisutnosti velikih kardinalnih aksioma postavlja pitanje šta podrazumijeva ono što ne može biti promijenjeno skupom prisiljavajući. Uvest ćemo vrlo jaku logiku koja ima ovu značajku-Ω-logiku. Zapravo,logika koju ćemo uvesti može se okarakterizirati kao najjača logika s ovom značajkom (vidjeti Koellner (2010) za daljnju raspravu o snažnoj logici i za precizni iskaz ovog rezultata).

3.2.1 Ω-logika

Definicija 3.4.

Pretpostavimo da je T brojač teorija u jeziku teorije skupova i φ je rečenica. Zatim

T ⊧ _Ω φ

ako je za sve kompletne logičke algebre B i za sve ordinale α,

ako je VB α ⊧ T onda je VB α ⊧ φ.

Kažemo da je tvrdnja φ zadovoljavajuća ako postoji ordinal α i kompletna boolova algebra B takva da je VB α ⊧ φ, a kažemo da je φ vrijedi ako je ∅ ⊧ _Ω φ. Dakle, gornja teorema kaže da je (prema našim pretpostavkama), izjava „φ je zadovoljavajuće Ω“generički invarijantna, a u pogledu valjanosti Ω to je jednostavno sljedeće:

Teorem 3.5 (Woodin 1999).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Pretpostavimo da je T brojač teorija u jeziku teorije skupova i φ je rečenica. Zatim za sve kompletne logičke algebre B,

T ⊧ _Ω φ iff V ^B ⊧ „T ⊧ _Ω φ.“

Stoga je ta logika robusna u tome što pitanje što podrazumijeva ono što je intardirano pod zadanim prisiljavanjem.

3.2.2 Konstrukcija Ω

Odgovarajući semantičkom odnosu ⊧ _Ω postoji kvazi-sintaktički dokazni odnos ⊢ _Ω. „Dokazi“su određeni robusni setovi žrtava (univerzalno Baire setovi rolova), a ispitne strukture su modeli koji su „zatvoreni“pod ovim dokazima. Precizni pojmovi "zatvaranja" i "dokaza" pomalo su tehnički pa ćemo ih prenijeti u tišini. ^[7]

Kao i semantički odnos, i ovaj kvazi-sintaktički dokazni odnos čvrst je u velikim kardinalnim pretpostavkama:

Teorem 3.6 (Woodin 1999).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Pretpostavimo da je T računalna teorija na jeziku teorije skupova, φ je rečenica, a B potpuna booleova algebra. Zatim

T ⊢ _Ω φ iff V ^B ⊧ 'T ⊢ _Ω φ'.

Dakle, imamo odnos semantičke posljedice i kvazi-sintaktički dokazni odnos, koji su robusni pod pretpostavkom velikih kardinalnih aksioma. Prirodno je pitati vrijede li teoremi o ispravnosti i cjelovitosti za ove odnose. Poznato je da teorema zvučnosti drži:

Teorem 3.7 (Woodin 1999).

Pretpostavimo ZFC. Pretpostavimo da je T računalna teorija na jeziku teorije skupova i φ je rečenica. Ako je T ⊢ _Ω φ, onda je T ⊧ _Ω φ.

Otvoreno je ima li odgovarajuća teorema potpunosti. Konstrukcija Ω jednostavno je tvrdnja koju čini:

Konstrukcija 3.8 (Ω Konstrukcija).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Tada za svaku rečenicu φ,

∅ ⊧ _Ω φ iff ∅ ⊢ _Ω φ.

Trebat će nam snažan oblik ove pretpostavke koju ćemo nazvati snažnom Ω konstrukcijom. Pomalo je tehnički pa ćemo to prenijeti u tišini. ^[8]

3.2.3 Ω Kompletne teorije

Podsjetimo da je jedna od glavnih vrlina velikih kardinalnih aksioma ta što oni "učinkovito rješavaju" teoriju aritmetike drugog reda (i, zapravo, teoriju L (ℝ) i više) u smislu da u prisutnosti velikih kardinala jedan ne može koristiti metodu namještanja prisiljavanja za uspostavljanje neovisnosti u odnosu na izjave o L (ℝ). Taj je pojam invarijancije pod zadanim prisiljem igrao ključnu ulogu u odjeljku 3.1. Sada taj pojam možemo preformulirati u smislu Ω-logike.

Definicija 3.9.

Teorija T je Ω- kompletna za zbirku rečenica Γ ako je za svaki φ ∈ Γ, T ⊧ _Ω φ ili T ⊧ _Ω ¬φ.

Invarijannost teorije L (ℝ) pod postavljenim forsiranjem sada se može preformulirati na sljedeći način:

Teorem 3.10 (Woodin 1999).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Tada je ZFC Ω -potpun za skup rečenica oblika "L (ℝ) ⊧ φ".

Nažalost, iz niza rezultata koji su nastali radom Levyja i Solovaya proizlazi da tradicionalni veliki kardinalni aksiomi ne daju teorije potpune Ω na razini 21, jer se uvijek može koristiti „mali“(a samim tim i veliko očuvanje kardinala) za promjenu istinitosti vrijednosti CH.

Teorem 3.11.

Pretpostavimo da je L standardni veliki kardinalni aksiom. Tada ZFC + L nije Ω -potpun za Σ21.

3.3 Slučaj

Unatoč tome, ako se nadopunjuju veliki kardinalni aksiomi, slijede teorije potpune Ω. Ovo je središnji dio predmeta protiv CH.

Teorem 3.12 (Woodin).

Pretpostavimo da postoji odgovarajuća klasa Woodinih kardinala i da ima snažnu Konstrukciju Ω.

1. Postoji aksiom A takav

   1. ZFC + A je zadovoljavajući Ω i
   2. ZFC + A je Ω-kompletan za strukturu H (ω ₂).

2. Svaki takav aksiom A ima svojstvo koje

   ZFC + A ⊧ _Ω 'H (ω ₂) ⊧ ¬CH'.

Preformirajmo to na sljedeći način: Za svaki A koji zadovoljava (1), dopustimo

T _A = {φ | ZFC + A ⊧ _Ω 'H (ω ₂) ⊧ ¬φ'}.

Teorem kaže da ako postoji odgovarajuća klasa Woodinovih kardinala i drži se Ω Konjektura, tada postoje (ne-trivijalne) Ω cjelovite teorije T _A od H (ω ₂) i sve takve teorije sadrže ¬CH.

To je prirodno pitati da li postoji veća sporazum među co-kompletna teorija T _A. U idealnom slučaju bio bi samo jedan. Nedavni rezultat (nadogradnja na Teorem 5.5) pokazuje da ako postoji jedna takva teorija, onda postoji mnogo takvih teorija.

Teorem 3.13 (Koellner i Woodin 2009).

Pretpostavimo da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Pretpostavimo da je A aksiom takav

ja. ZFC + A je zadovoljavajući Ω-i, ii. ZFC + A je Ω-kompletan za strukturu H (ω ₂).

Onda postoji aksiom B takav

ja”. ZFC + B je Ω-zadovoljavajući i

ii '. ZFC + B je Ω -potpun za strukturu H (ω ₂)

i T ≠ T _B.

Kako će onda netko odabrati između tih teorija? Woodin rad na ovom području znatno prevazilazi teoremu 5.1. Uz izoliranje aksioma koji zadovoljava (1) iz Teorema 5.1 (pod pretpostavkom Ω-zadovoljavanja), on izdvaja vrlo poseban takav aksiom, naime, ranije spomenuti aksiom (∗) ("zvijezda").

Ovaj se aksiom može izraziti izrazom (provabilnost) Ω-logike:

Teorem 3.14 (Woodin).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Sljedeće su vrijednosti ekvivalentne:

1. (∗).

2. Za svaku Π _2- rečenicu φ u jeziku za strukturu

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

   ako

   ZFC + ⟨⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ"

   tada je Ω -konzistentno

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Iz toga slijedi da se iz različitih teorija T _A uključenih u teorem 5.1 ističe jedna teorija T _{(∗) koju} daje (∗). Ova teorija maksimizira Π _2- teoriju strukture ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩.

Hipoteza kontinuuma u ovoj teoriji ne uspijeva. Štoviše, u maksimalnoj teoriji T _(∗) danom (∗) veličina kontinuuma iznosi is ₂. ^[9]

Da sumiram: Pretpostavljajući jaku Ω konstrukciju, postoji „dobra“teorija H (ω ₂), a sve takve teorije impliciraju da CH propada. Štoviše, (opet, uz pretpostavku snažne Ω konstrukcije) postoji maksimalna takva teorija i u toj teoriji 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.

Daljnje čitanje: Za matematiku koja se tiče ℙ _max vidi Woodin (1999). Za uvod u Ω-logiku pogledajte Bagaria, Castells & Larson (2006). Za više informacija o nespojivim teorijama Ω-kompleta pogledajte Koellner i Woodin (2009). Za više o slučaju protiv CH pogledajte Woodin (2001a, b, 2005a, b).

4. Multiverse

Gornji slučaj za neuspjeh CH je najjači poznati lokalni slučaj za aksiome koji naseljavaju CH. U ovom ćemo odjeljku i na slijedećem prebaciti strane i razmotriti pluralističke argumente do te mjere da CH nema odgovor (u ovom odjeljku) i da postoji jednako dobar slučaj za CH (u sljedećem odjeljku). U posljednja dva odjeljka istražit ćemo optimistične globalne scenarije koji pružaju nadu u rješenje problema.

Pluralist tvrdi da rezultati neovisnosti učinkovito rješavaju neodređena pitanja pokazujući da nemaju odgovor. Jedan od načina pružanja temeljnog okvira za takav pogled je perspektiva multiverzuma. Na ovom mišljenju ne postoji niti jedan svemir teorije skupova, već mnoštvo legitimnih kandidata, od kojih neki mogu biti bolji u druge u određene svrhe, ali za koji se ne može reći da je "pravi" univerzum. Multiverzno poimanje istine je stav da se za tvrdnju skupa može reći da je istinski simpliciter samo ako je istina u svim univerzumima multiverzuma. Za potrebe ove rasprave reći ćemo da je izjava neodređena prema multiverzalnoj koncepciji ako prema multiverzalnom konceptu nije ni istinita ni lažna. Koliko je takav pogled radikalan, ovisi o širini koncepta multiverzuma.

4.1 Široki multiverzalni prikazi

Pluralist je općenito ne-pluralist o određenim domenima matematike. Na primjer, strogi finitist može biti ne pluralist o PA, ali pluralist o teoriji skupova, a može biti i pluralist o ZFC-u, a pluralist o velikim kardinalnim aksiomima i izjavama poput CH.

Postoji oblik radikalnog pluralizma koji zagovara pluralizam koji se tiče svih područja matematike. Prema ovom gledištu, svaka konzistentna teorija legitiman je kandidat i odgovarajući modeli takvih teorija legitimni su kandidati za domenu matematike. Nazovimo ovo najširi multiverzalni pogled. Postoji poteškoća u artikuliranju ovog pogleda, što se može iznijeti na sljedeći način: Za početak, potrebno je odabrati pozadinsku teoriju u kojoj će se raspravljati o različitim modelima, a to dovodi do poteškoća. Na primjer, prema širokoj multiverzalnoj koncepciji, budući da PA ne može dokazati Con (PA) (drugom teoremom nepotpunosti, pod pretpostavkom da je PA konzistentna), postoje modeli PA + ¬Con (PA) i ti su modeli legitimni kandidati, jesu, oni su svemiri u širokom multiverzumu. Da bismo došli do ovog zaključka, moramo (u pozadinskoj teoriji) biti u stanju dokazati Con (PA) (budući da je ova pretpostavka potrebna za primjenu druge teoreme nepotpunosti u ovom konkretnom slučaju). Dakle, iz perspektive teorije pozadine koja se koristila za tvrdnju da su gornji modeli legitimni kandidati, dotični modeli zadovoljavaju lažnu Σ01 rečenicu, naime ¬Con (PA). Ukratko, nedostaje sklad između onoga što se drži na meta-razini i onoga što se drži na razini objekta. Ukratko, nedostaje sklad između onoga što se drži na meta-razini i onoga što se drži na razini objekta. Ukratko, nedostaje sklad između onoga što se drži na meta-razini i onoga što se drži na razini objekta.

Čini se da bi jedini izlaz iz ove poteškoće bio da se svako gledište - svaka artikulacija multiverzalne koncepcije - smatra provizornim i, kad se pritisne, obuhvati pluralizam koji se tiče pozadinske teorije. Drugim riječima, trebalo bi usvojiti koncept multiverzuma, koncept multiverzuma multiverzalnog poimanja multiverzuma, i tako dalje, sve do beskonačnosti. Iz toga slijedi da takav stav nikada ne može biti u potpunosti artikuliran - svaki put kada se pokušava artikulirati široka multiverzalna koncepcija, treba se koristiti pozadinska teorija, ali budući da je jedan pluralist o toj teoriji pozadine, ovo se upotrebljava širokim multiverzumom za artikulaciju koncepcije. ne izvodi koncepciju potpunu pravdu. Položaj je stoga teško artikulirati. Svakako se može zauzeti pluralistički stav i pokušati gestikulirati ili pokazati stajalište koje namjerava privremenim rješavanjem određene pozadinske teorije, ali zatim zagovarati pluralizam u vezi s tim kada se pritisne. Pogled je prema tome "pokretna meta". Mi ćemo prenijeti taj pogled u tišini i usredotočiti se na poglede koji se mogu artikulirati u temeljnim okvirima.

U skladu s tim, razmotrit ćemo poglede koji obuhvaćaju ne-pluralizam s obzirom na određeni dio matematike i iz prostora prostora, a budući da je ovo unos o teoriji skupa, preći ćemo duge rasprave o strogom finitizmu, finitizmu, predikativizmu i započeti s pogledima koji prihvaćaju ne-pluralizam u vezi sa ZFC-om.

Neka je široki multiverse (zasnovan na ZFC-u) zbirka svih modela ZFC-a. Široka multiverzalna koncepcija istine (zasnovana na ZFC-u) tada je jednostavno gledište da je izjava teorije skupa istinski pojednostavljivač ako je dokazana u ZFC-u. Prema ovom stajalištu, izjava Con (ZFC) i ostale neodređene Π01 izjave klasificiraju se kao neodređene. Ovo se gledište suočava s poteškoćom paralelnom s onom gore spomenutom u vezi s radikalnim pluralizmom.

To motivira prelazak na poglede koji sužavaju klasu svemira u multiverzumu primjenom snažne logike. Na primjer, može se ograničiti na svemire koji su ω-modeli, β-modeli (tj. Dobro utemeljeni) itd. Na prikazu gdje se uzimaju ω-modeli, izjava Con (ZFC) je klasificirana kao istinita (premda je to osjetljivo prema pozadini teorije), ali tvrdnja PM (svi projektivni skupovi su Lebesgue mjerljivi) klasificirana je kao neodređena.

Za one koji su uvjereni argumentima (anketiranim u unosu „Veliki kardinali i odlučnost“) za velike kardinalne aksiome i aksiome koje je moguće odrediti, čak su i ove multiverzalne koncepcije preslabe. Mi ćemo slijediti ovu rutu. U ostatku ovog unosa prigrlit ćemo ne-pluralizam vezan za velike kardinalne aksiome i aksiome koje je moguće odrediti i usredotočiti se na pitanje CH.

4.2. Generički multiverse

Motivacija iza generičkog multiverzuma je odobriti slučaj velikim kardinalnim aksiomima i definiranom odlučnošću, ali negirati da izjave poput CH imaju određenu vrijednost istine. Da bismo konkretno govorili o pozadini teorije, uzmimo ZFC + "Postoji odgovarajuća klasa Woodinih kardinala" i podsjetimo se da ova velika kardinalna pretpostavka osigurava aksiome podložne determiniranosti kao što su PD i AD ^{L (ℝ)}.

Neka je generički multiverse ? rezultat zatvaranja V pod generičkim proširenjima i generičkim rafiniranjima. Jedan od načina da se to formalizira je uzimanje vanjske vanjske točke i započnite s brojljivim tranzitivnim modelom M. Generički multiverzum temeljen na M tada je najmanji skup ? _M takav da je M ∈ ? _M i za svaki par brojljivih tranzitivnih modela (N, N [G]) takav da su N ⊧ ZFC i G ⊆ ℙ N-generički za neki djelomični red u ℙ ∈ N, ako je bilo N ili [G] u ? _M tada oba N i N [G] u ? _M.

Neka generička multiverzalna koncepcija istine bude gledište da je izjava istinski pojednostavljivač ako je istinita u svim svemirima generičkog multiverzuma. Takvu izjavu nazvat ćemo generičkom multiverzalnom istinom. Kaže se da je tvrdnja neodređena prema generičkoj multiverzalnoj koncepciji ako nije ni istinita ni lažna prema generičkoj multiverzalnoj koncepciji. Primjerice, odobravanjem naših velikih kardinalnih pretpostavki, takav se pogled smatra da su PM (i PD i AD ^{L (ℝ)}) istiniti, ali CH smatra neodređenim.

4.3 Konstrukcija Ω i generički multiverzum

Je li generička multiverzalna koncepcija istine održiva? Odgovor na ovo pitanje usko je povezan s predmetom Ω-logike. Osnovna veza između generičke multiverzalne istine i Ω-logike utjelovljena je u sljedećem teoremu:

Teorem 4.1 (Woodin).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Zatim su za svaku Π _2- izjavu φ sljedeće:

1. φ je generička multiverzalna istina.
2. φ je Ω-nevaljano.

Sada se prisjetimo da je prema teoremu 3.5, prema našim pretpostavkama, valjanost Ω generički nepristupačna. Iz toga slijedi da je, s obzirom na našu pozadinsku teoriju, pojam generičke multiverzalne istine čvrst u odnosu na izjave- ₂. Konkretno, za Π ₂ -izjave, izjava „φ je neodređena“sama je određena prema generičkoj multiverzalnoj koncepciji. U tom smislu, koncepcija istine nije "samopodrivanje" i nije poslana u silaznu spiralu gdje treba pronaći višestruke multiverse. Tako prolazi prvi test. Hoće li proći zahtjevniji test ovisi o Konstrukciji Ω.

Konstrukcija Ω ima duboke posljedice za generičko multiverzalno shvaćanje istine. pustiti

? _Ω = {φ | ∅ ⊧ _Ω φ}

i, za bilo koji specifični kardinal κ, neka

? _Ω (H (κ ⁺)) = {φ | ZFC ⊧ _Ω “H (κ ⁺) ⊧ φ”},

gdje podsjetimo da je H (κ ⁺) skup skupova nasljedne kardinalnosti manji od κ ⁺. Prema tome, pretpostavljajući ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodinovih kardinala, skup ? _Ω je Turing ekvivalentan skupu Π ₂ generičkih multiverzalnih istina, a skup ? _Ω (H (κ ⁺)) je upravo skup generičkog multiverzuma istine H (κ ⁺).

Da bismo opisali nosivost Ω Konvencije na generičko-multiverzalnu koncepciju istine, uvodimo dva principa transcendencije koja služe kao ograničenje za bilo koju održivu koncepciju istine u teoriji skupa - ograničenje istine i ograničenje definiranja.

Definicija 4.2 (ograničenje istine).

Bilo koja održiva multiverzalna koncepcija istine u teoriji skupa mora biti takva da Π _2- istine (prema toj koncepciji) u svemiru skupova nisu rekurzivne u istinama o H (κ) (prema toj koncepciji), za bilo koje određeno kardinal.

Ovo ograničenje je u duhu onih načela teorije skupova - ponajprije načela refleksije - koji imaju za cilj uhvatiti preheoretsku ideju da je svemir skupova toliko bogat da ga se ne može „opisati odozdo“; točnije, ona tvrdi da svako održivo poimanje istine mora poštovati ideju da je svemir skupova toliko bogat da se istina (ili čak samo Π _2- istina) ne može opisati u nekom određivanom fragmentu. (Primjetite da Tarski teorem o neodređenosti istine ograničenje istine trivijalno zadovoljava standardnim pojmom istine u teoriji skupa koja multiverzum uzima da sadrži jedan element, naime, V.)

Postoji također povezano ograničenje vezano za utvrđivanje istine. Za određeni kardinal κ, skup Y ⊆ ω je moguće definirati u H (κ ⁺) preko multiverzuma ako je Y moguće definirati u strukturi H (κ ⁺) svakog svemira multiverzuma (po mogućnosti formulama koje ovise o matičnom svemiru),

Definicija 4.3 (ograničenje definiranja).

Bilo održiv Multiverzuma koncepcija istine u teorija mora biti takav da se Π ₂ -truths (prema toj koncepciji) u svemiru setovi su odredivi, H (k) preko Multiverzuma svemira, za bilo odredivog kardinala brojuk.

Opazite ponovo da je Tarski teorem o neodređenosti istine ograničenje definiranja trivijalno zadovoljeno degeneriranom multiverzalnom koncepcijom koja multiverse mora sadržavati jedini element V. (Primijetite i da ako se izmijeni ograničenje definiranja dodavanjem zahtjeva da je definicija jednoznačna u multiverzumu, ograničenje će se automatski ispuniti.)

Utjecaj Ω Konvencije na održivost generičko-multiverzalne koncepcije istine sadržan je u sljedeće dvije teoreme:

Teorem 4.4 (Woodin).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Pretpostavimo da vrijedi Ω konstrukcija. Tada je ? _Ω rekurzivan u ? _Ω (H (δ + 0)), gdje je δ ₀ najmanje Woodin kardinal.

Teorem 4.5 (Woodin).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Pretpostavimo da vrijedi Ω konstrukcija. Tada je ? _{Ω moguće} definirati u H (δ + 0), gdje je δ ₀ najmanje Woodin kardinal.

Drugim riječima, ako postoji odgovarajuća klasa Woodinovih kardinala i ako se drži Ω Konzekcija, tada generička multiverzalna predodžba istine krši i ograničenje istine (pri δ ₀) i ograničenje definiranja (na δ ₀).

Postoje zapravo oštrije verzije gornjih rezultata koji uključuju H (c ⁺) umjesto H (δ + 0).

Teorem 4.6 (Woodin).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Pretpostavimo da vrijedi Ω konstrukcija. Tada je ? _Ω rekurzivan u ? _Ω (H (c ⁺)).

Teorem 4.7 (Woodin).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Pretpostavimo da vrijedi Ω konstrukcija i da ima pridržavanje AD ⁺. Tada je ? _{Ω moguće} definirati u H (c ⁺).

Drugim riječima, ako postoji odgovarajuća klasa Woodinovih kardinala i ako se Konstrukcija Ω drži tada generičko-multiverzalna koncepcija istine krši Istinsko ograničenje na razini aritmetike trećeg reda, i ako je pored toga, AD ⁺ Konjekcija Ako se drži, tada generičko-multiverzalna koncepcija istine krši ograničenje definiranja na razini aritmetike trećeg reda.

4.4 Postoji li izlaz?

Čini se da postoje četiri načina na koji se zagovornik generičkog multiverzuma može oduprijeti gornjoj kritici.

Prvo, moglo bi se ustvrditi da je Konstrukcija Ω jednako problematična kao i CH, pa je stoga i CH potrebno smatrati neodređenom prema generičko-multiverzalnoj koncepciji istine. Poteškoća s ovim pristupom je sljedeća:

Teorem 4.8 (Woodin).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Zatim, za sve kompletne logičke algebre ?,

V ⊧ Ω-pretpostavka iff V ? ⊧ Ω-pretpostavka.

Stoga se, za razliku od CH, ne može prikazati da je Koncept Ω neovisan od ZFC + „Postoji odgovarajuća klasa Woodinih kardinala“putem zadatih forsiranja. U smislu generičke multiverzalne koncepcije istine, možemo ovako staviti točku: Dok generičko-multiverzalna koncepcija istine CH smatra neodređenom, ona ne smatra da je Konstrukcija Ω neodređena. Dakle, gornji odgovor nije dostupan zagovornicima generičko-multiverzne koncepcije istine. Zagovornik te koncepcije već smatra Ω Konstrukciju determiniranom.

Drugo, moglo bi se odobriti da je Konceptu Ω određeno, ali tvrditi da je lažna. Postoje načini na koje se to može učiniti, ali gornji argument to ne umanjuje. Razlog je sljedeći: Za početak postoji usko povezana Σ _2- izjava koja se u gornjim argumentima može zamijeniti za Konstrukciju Ω. Ovo je tvrdnja da je Konstrukcija Ω (ne trivijalno) zadovoljavajuća Ω, to jest, izjava: Postoji redni α i univerzum V 'multiverzuma takav da

V ' _α ⊧ ZFC + "Postoji odgovarajuća klasa Woodinih kardinala"

i

V ' _α ⊧ "Konstrukcija Ω".

Ova izjava ₂ je invariantna pod postavljenim forsiranjem i stoga je jedan pristalica generičkog multiverzalnog pogleda na istinu koji treba smatrati određenim. Štoviše, ključni argumenti gore prolaze s ovom Σ _2- izjavom umjesto sa Ω Konstrukcijom. Osoba koja prima ovaj drugi odgovor odgovora tako bi također trebala tvrditi da je ta izjava lažna. Ali postoje značajni dokazi da je ta tvrdnja istinita. Razlog je taj što nije poznat primjer of ₂Izjava koja je invariantna pod postavljenim forsiranjem u odnosu na velike kardinalne aksiome i koja se ne može podmiriti velikim kardinalnim aksiomima. (Takva bi izjava bila kandidat za apsolutno neodlučnu izjavu.) Stoga je razumno očekivati da će se ta izjava riješiti velikim kardinalnim aksiomima. Međutim, nedavni napredak u teoriji unutarnjeg modela - posebno onom u Woodinu (2010) - pružaju dokaz da nijedan veliki kardinalni aksiom ne može pobiti ovu tvrdnju. Postavljanje svega zajedno: vrlo je vjerojatno da je ta izjava u stvari istinita; pa ova linija odgovora nije obećavajuća.

Treće, moglo bi odbiti ili ograničenje istine ili ograničenje definiranja. Problem je u tome što ako neko odbaci ograničenje istine, tada je na ovom pogledu (uz pretpostavku Ω konstrukcije) truth ₂ istina u teoriji skupa reducibilna u smislu Turing reducibilnosti na istinu u H (δ ₀) (ili, pod pretpostavkom snažne Ω konstrukcije, H (c ⁺)). A ako neko odbaci ograničenje definiranja, tada je na ovom prikazu (uz pretpostavku Ω konstrukcije) Π ₂ istina u teoriji skupa reducibilna u smislu definiranja istini u H (δ ₀) (ili, pod pretpostavkom snažne Ω konstrukcije, H (c ⁺)). S obje strane, smanjenje je u napetosti prihvaćanjem nepluralizma u pozadinskoj teoriji ZFC + „Postoji odgovarajuća klasa Woodinih kardinala“.

Četvrto, moglo bi se prihvatiti kritika, odbaciti generičku multiverzalnu koncepciju istine i priznati da postoje neke izjave o H (δ + 0) (ili H (c ⁺), čime se, osim toga, priznaje i AD ⁺ Konstitucija) koji su istinski pojednostavljivač, ali nije istinit u smislu generičkog-multiverzuma, a ipak nastavlja da se tvrdi da je CH neodređen. Poteškoća je u tome što je svaka takva rečenica φ kvalitativno baš poput CH-a po tome što se može prisiliti na zadržavanje i prisiliti na neuspjeh. Izazov zagovornika ovog pristupa jest modificirati generičko-multiverzalnu koncepciju istine na takav način da φ označava kao određenu, a CH smatra neodređenom.

Ukratko: Postoje dokazi da je jedini izlaz četvrti izlaz, a to ponovno opterećuje pluralist - pluralist mora smisliti inačicu generičkog multiverzuma.

Daljnje čitanje: Više o vezi između Ω-logike i generičkog multiverzuma i gornje kritike generičkog multiverzuma vidi Woodin (2011a). U vezi s nedavnim rezultatima u teoriji unutarnjeg modela o statusu Ω konstrukcije, vidi Woodin (2010).

5. Ponovni ponovljeni slučaj

Okrenimo se drugom načinu na koji bismo mogli odoljeti lokalnom slučaju zbog neuspjeha CH-a. To uključuje paralelni slučaj za CH. U odjeljku 5.1 pregledat ćemo glavne značajke slučaja za CH za usporedbu s paralelnim slučajem za CH. U odjeljku 5.2. Predstavit ćemo paralelni slučaj za CH. U odjeljku 5.3. Procijenit ćemo usporedbu.

5.1 Slučaj ¬CH

Podsjetimo da postoje dva osnovna koraka u slučaju predstavljenom u odjeljku 3.3. Prvi korak uključuje Ω-kompletnost (a to daje CH), a drugi korak uključuje maksimalnost (a to daje jači 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂). Radi lakše usporedbe ovdje ćemo ponoviti ove značajke:

Prvi se korak temelji na sljedećem rezultatu:

Teorem 5.1 (Woodin).

Pretpostavimo da postoji odgovarajuća klasa Woodinih kardinala i da ima snažnu Konstrukciju Ω.

1. Postoji aksiom A takav

   1. ZFC + A je zadovoljavajući Ω i
   2. ZFC + A je Ω-kompletan za strukturu H (ω ₂).

2. Svaki takav aksiom A ima svojstvo koje

   ZFC + A ⊧ _Ω „H (ω ₂) ⊧ ¬CH“.

Preformirajmo to na sljedeći način: Za svaki A koji zadovoljava (1), dopustimo

T _A = {φ | ZFC + A ⊧ _Ω “H (ω ₂) ⊧ ¬φ”}.

Teorem kaže da ako postoji odgovarajuća klasa Woodinovih kardinala i ako postoji jaka Konstrukcija Ω, postoje teorije (ne-trivijalne) Ω-cjelovite T _A od H (ω ₂) i sve takve teorije sadrže CH. Drugim riječima, pod tim pretpostavkama postoji "dobra" teorija i sve "dobre" teorije podrazumijevaju CH.

Drugi korak počinje s pitanjem da li postoji veća sporazum među co-kompletna teorija T _A. U idealnom slučaju bio bi samo jedan. Međutim, to nije slučaj.

Teorem 5.2 (Koellner i Woodin 1999).

Pretpostavimo da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Pretpostavimo da je A aksiom takav

ja. ZFC + A je zadovoljavajući Ω-i, ii. ZFC + A je Ω-kompletan za strukturu H (ω ₂).

Onda postoji aksiom B takav

ja”. ZFC + B je Ω-zadovoljavajući i

ii '. ZFC + B je Ω -potpun za strukturu H (ω ₂)

i T ≠ T _B.

Ovo postavlja pitanje kako odabrati između ovih teorija? Ispada da među T _A postoji maksimalna teorija i to nam daje aksiom (∗).

Teorem 5.3 (Woodin).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Sljedeće su vrijednosti ekvivalentne:

1. (∗).

2. Za svaki Π ₂ rečenicu φ u jeziku za strukturu

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

   ako

   ZFC + ⟨⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ"

   tada je Ω -konzistentno

   ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Dakle, od različitih teorija T _A uključenih u teoremu 5.1 ističe se jedna: Teorija T _{(∗) koju} daje (∗). Ova teorija maksimizira Π _2- teoriju strukture ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. Temeljni rezultat je u ovoj maksimalnoj teoriji

2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.

5.2 Paralelni slučaj za CH

Paralelni slučaj za CH također ima dva koraka, prvi uključuje Ω-cjelovitost, a drugi uključuje maksimalnost.

Prvi rezultat u prvom koraku je sljedeći:

Teorem 5.4 (Woodin 1985).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa mjerljivih Woodin kardinala. Tada je ZFC + CH Ω -potpun za Σ21.

Štoviše, do Ω-ekvivalencije, CH je jedinstvena Σ21 izjava koja je Ω potpuna za 2121; to jest, dopuštajući da je _{A A} teorija potpune Ω koju daje ZFC + A gdje je A Σ21, svi takvi T _A su Ω-ekvivalentni T _CH i stoga (trivijalno) svi takvi T _A sadrže CH. Drugim riječima, postoji "dobra" teorija i sve "dobre" teorije podrazumijevaju CH.

Za dovršetak prvog koraka moramo utvrditi je li ovaj rezultat snažan. Jer mogao bi biti slučaj da kad se uzme u obzir sljedeća razina, Σ22 (ili daljnje razine, poput aritmetike trećeg reda) CH više nije dio slike, to jest, možda veliki kardinali impliciraju da postoji aksiom A takav da ZFC + A je Ω-kompletan za 2222 (ili, nadalje, sva aritmetika trećeg reda), a još uvijek nemaju svi takvi A _A koji sadrži CH. To moramo isključiti ako želimo osigurati prvi korak.

Najoptimističniji scenarij ovih linija je sljedeći: Scenarij je da postoji veliki kardinalni aksiom L i aksiomi A → takav da je ZFC + L + A → kompletan Ω za sve aritmetike trećeg reda i sve takve teorije su Ω -ekvivalentno i podrazumijeva CH. Dalje, možda za svaki određivani fragment V _λ svemira skupova postoji veliki kardinalni aksiom L i aksiomi A → takav da je ZFC + L + A → cjelovit Ω za cjelokupnu teoriju V _λ i, štoviše, da takve su teorije Ω-ekvivalentne i podrazumijevaju CH. Da je to slučaj, to bi značilo da za svaki takav λ postoji jedinstvena Ω-cjelovita slika V _λi imali bismo jedinstveno Ω-potpuno razumijevanje proizvoljno velikih fragmenata svemira skupova. To bi predstavljalo snažne slučajeve za nove aksiome koji dovršavaju aksiome ZFC-a i velike kardinalne aksiome.

Nažalost, ovaj optimistični scenarij ne uspijeva: Pretpostavimo postojanje jedne takve teorije može se konstruirati druga koja se razlikuje za CH:

Teorem 5.5 (Koellner i Woodin 2009).

Pretpostavimo ZFC i da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Pretpostavimo da je V _λ određeni fragment svemira (koji je dovoljno velik) i pretpostavimo da postoji veliki kardinalni aksiom L i aksiomi A → takav da

ZFC + L + A → je Ω-kompletan za Th (V _λ).

Zatim postoje aksiomi B → takvi da

ZFC + L + B → je Ω-kompletan za Th (V _λ)

a prva teorija Ω -razumijeva CH ako i samo ako je druga teorija Ω -slika ¬CH.

To nas još uvijek ostavlja pitanjem postojanja, a odgovor na to pitanje osjetljiv je na Konstrukciju Ω i Konvenciju AD ⁺:

Teorem 5.6 (Woodin).

Pretpostavimo da postoji odgovarajuća klasa Woodinih kardinala i da drži Konformacija Ω. Tada ne postoji rekurzivna teorija A → takva da je ZFC + A → Ω -potpun za teoriju V _{δ 0 +1}, gdje je δ ₀ najmanje Woodin kardinal.

Zapravo, pod pretpostavkom snažnijeg, scenarij mora propasti na znatno ranijoj razini.

Teorem 5.7 (Woodin).

Pretpostavimo da postoji odgovarajuća klasa Woodinih kardinala i da drži Konformacija Ω. Pretpostavimo da vrijedi AD ⁺ Koncept. Tada ne postoji rekurzivna teorija A → takva da je ZFC + A → Ω -potpun za teoriju Σ23.

Otvoreno je može li postojati takva teorija na razini 22. Pretpostavlja se da je ZFC + complete kompletan Ω (pod pretpostavkom velikih kardinalnih aksioma) za Σ22.

Pretpostavimo da je na njega odgovoreno pozitivno i vratimo se na pitanje jedinstvenosti. Za svaki takav aksiom A neka je _{A A} teorija Σ22 izračunana ZFC + A u Ω-logici. Pitanje jedinstvenosti jednostavno postavlja pitanje je li T _A jedinstven.

Teorem 5.8 (Koellner i Woodin 2009).

Pretpostavimo da postoji odgovarajuća klasa Woodin kardinala. Pretpostavimo da je A aksiom takav

ja. ZFC + A je zadovoljavajući Ω-i, ii. ZFC + A je Ω -potpun za Σ22.

Onda postoji aksiom B takav

ja”. ZFC + B je Ω-zadovoljavajući i

ii '. ZFC + B je Ω -potpun za Σ22

i T ≠ T _B.

To je paralela teorema 5.2.

Za dovršetak paralelno jedan će morati da CH među svim T _A. To se ne zna. Ali to je razumna pretpostavka.

Koncept 5.9.

Pretpostavimo velike kardinalne aksiome.

1. Postoji Σ22 aksiom A takav

   1. ZFC + A je zadovoljavajući s Ω i
   2. ZFC + A je kompletno Ω za Σ22.

2. Svaki takav aksiom 2222 ima svojstvo koje

   ZFC + A ⊧ _Ω CH.

Ako se ova pretpostavka drži, pružila bi istinski analog teoremu 5.1. Ovo bi dovršilo paralelu s prvim korakom.

Postoji i paralela s drugim korakom. Podsjetimo da smo za drugi korak u prethodnom pododjeljku imali činjenicu da, iako se različiti T _A nisu slagali, svi sadrže CH i, osim toga, među njima se ističe jedan teorija, naime teorija koju je dao (∗), budući da ova teorija maksimizira Π _2- teoriju strukture ⟨H (ω ₂), ∈, I _NS, A | A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. U ovom kontekstu se ponovno CH (uz pretpostavku pretpostavili su da iako) T _Ase ne slažu, svi sadrže CH. Ispada da se iznova među njima izdvaja onaj, naime, onaj maksimalni. Jer je poznato (rezultat Woodina 1985.) da ako postoji odgovarajuća klasa mjerljivih Woodinovih kardinala, tada postoji prisilno proširenje koje zadovoljava sve 2222 rečenice φ, tako da je ZFC + CH + φ zadovoljavajući od Ω (vidi Ketchersid, Larson, & Zapletal (2010)). Iz toga slijedi da ako se na pitanje postojanja odgovori pozitivno s A koji je Σ22, tada T _A mora biti ta teorija maksimuma Σ22 i, shodno tome, svi T _{A se} slažu kada je A Σ22. Dakle, pod pretpostavkom da postoji T _A gdje je A Σ22, premda nije sve T _A složiti se (kad je A proizvoljan) ističe se onaj koji je najviše za 2222 rečenice.

Dakle, ako vrijedi gornja pretpostavka, tada je slučaj CH paralele sa CH, tek sada Σ22 zauzima mjesto teorije H (ω ₂).

5.3 Procjena

Pod pretpostavkom da pretpostavka drži slučaj CH paralele CH sa CHCH, tek sada Σ22 zauzima mjesto teorije H (ω ₂): Pod pozadinskim pretpostavkama imamo:

1. 1. postoji A takav da je ZFC + A kompletan Ω za H (ω ₂)
   2. za svaki takav A povezani T _A sadrži CH i
   3. postoji T _A koji je maksimalan, naime, T _(∗) i ta teorija sadrži 2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₂.
2. 1. postoje Σ22-aksiomi A takvi da je ZFC + A Ω-kompletan za Σ22
   2. za svaki takav A povezani T _A sadrži CH i
   3. postoji T _A koji je maksimalan.

Dvije su situacije paralelne s obzirom na maksimalnost, ali u pogledu razine Ω potpunosti prva je jača. Jer u prvom slučaju mi se ne samo dobivanje co potpunosti s obzirom na Π ₂ teorije H (co ₂) (s dodatnim predikata), a mi smo dobivanje co potpunosti s obzirom na sve H (ω ₂), Ovo je argumentirano argument u korist slučaja za CH, čak i odobrenje pretpostavke.

Ali postoji jača točka. Postoje dokazi koji dolaze iz teorije unutarnjih modela (o kojoj ćemo raspravljati u sljedećem odjeljku) da je pretpostavka u stvari lažna. Ako bi se pokazalo da je to slučaj, prekinula bih paralelu, ojačavajući slučaj za CH.

No, tome se može suprotstaviti na sljedeći način: Viši stupanj Ω-cjelovitosti u slučaju za ¬CH zaista je iluzorno jer je artefakt činjenice da je pod (∗) teorija H (ω ₂) zapravo međusobno interpretabilno s onim od H (ω ₁) (Woodin dubokim rezultatom). Nadalje, ova posljednja činjenica u sukobu je s duhom načela transcendencije koji su razmotreni u odjeljku 4.3. Ta su se načela pozvala u argument da CH nema odgovor. Dakle, kada se sva prašina slegne stvarnim uvozom Woodinovog rada na CH (tako argument ide), nije da je CH lažan, već da CH vrlo vjerojatno ima odgovor.

Čini se poštenim reći da je u ovoj fazi status lokalnih pristupa rješavanju CH nešto neuređen. Zbog toga ćemo se u ostatku ovog unosa usredotočiti na globalne pristupe rješavanju CH. Ukratko ćemo raspravljati o dva takva pristupa - pristupu putem teorije unutarnjeg modela i pristup kvazi velikim kardinalnim aksiomima.

6. Krajnji unutarnji model

Teorija unutarnjeg modela nastoji proizvesti modele slične L koji sadrže velike kardinalne aksiome. Za svaki veliki kardinalni aksiom Φ koji je dosegnut teorijom unutarnjeg modela, jedan ima aksiom oblika V = L ^Φ. Ovaj aksiom ima vrlinu koja (baš kao i u najjednostavnijem slučaju V = L) pruža „učinkovito cjelovito“rješenje u vezi s pitanjima o L ^Φ (što je, po pretpostavci, V). Nažalost, ispada da je aksiom V = L ^Φ nespojiv s jačim velikim kardinalnim aksiomima Φ '. Zbog toga se aksiomi ovog oblika nikada nisu smatrali uvjerljivim kandidatima za nove aksiome.

No nedavna dostignuća u teoriji unutarnjeg modela (zahvaljujući Woodinu) pokazuju da se sve mijenja na razini kardinala superkompakta. Ova kretanja pokazuju da ako postoji unutarnji model N koji "nasljeđuje" superkompaktni kardinal od V (na način na koji bi to i očekivali, s obzirom na putanju unutarnje teorije modela), tada postoje dvije izvanredne posljedice: Prvo, N je blizu V (u npr. smislu da za dovoljno velike pojedinačne kardinale λ, N pravilno izračunava λ ⁺). Drugo, N nasljeđuje sve poznate velike kardinale koji postoje u V. Stoga bi, za razliku od dosad razvijenih unutarnjih modela, unutarnji model na razini superkompakta pružio jedan aksiom koji ne bi mogao biti opovrgnut jačim velikim kardinalnim pretpostavkama.

Problem je, naravno, može li se na ovoj razini imati model „sličan L“(onaj koji daje „učinkovito kompletan“aksiom). Ima razloga vjerovati da to može. Sada postoji kandidatski model L ^Ω koji daje aksiom V = L ^Ω sa sljedećim značajkama: Prvo, V = L ^Ω je „učinkovito završen“. Drugo, V = L ^Ω kompatibilan je sa svim velikim kardinalnim aksiomima. Stoga bi u ovom scenariju krajnja teorija bila (otvorena) teorija ZFC + V = L ^Ω + LCA, gdje je LCA shema koja stoji za „velike kardinalne aksiome“. Veliki kardinalni aksiomi uhvatiće primjere Gödelove neovisnosti i aksioma V = L ^Ωuhvatit će preostale slučajeve neovisnosti. Ova bi teorija podrazumijevala CH i riješila preostale neodlučne izjave. Neovisnost bi prestala biti problem.

Ispada, međutim, da postoje i drugi kandidatski aksiomi koji dijele ove značajke, pa se tako ponovo pojavljuje spektar pluralizma. Na primjer, postoje aksiomi V = L Ω S i V = L Ω (∗). Ti bi aksiomi također bili "učinkovito cjeloviti" i kompatibilni sa svim velikim kardinalnim aksiomima. Ipak bi razna pitanja rješavali drugačije od aksioma V = L ^Ω. Na primjer, aksiom V = L Ω (∗) podrazumijeva ¬CH. Kako, dakle, suditi između njih?

Daljnje čitanje: Za uvod u teoriju unutarnjeg modela pogledajte Mitchell (2010) i Steel (2010). Više o nedavnim kretanjima na razini jednog superkompakta i šire pogledajte Woodin (2010).

7. Teorija strukture L (V _{λ + 1})

To nas dovodi do drugog globalnog pristupa, onog koji obećava da ćemo odabrati pravilan aksiom između V = L ^Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) i njihovih inačica. Ovaj pristup temelji se na izvanrednoj analogiji između teorije strukture L (ℝ) pod pretpostavkom AD ^{L (ℝ)} i teorije strukture L (V _{λ + 1}) pod pretpostavkom da postoji elementarno ugrađivanje iz L (V _{λ + 1}) u sebe s kritičnom točkom ispod λ. Ova pretpostavka ugradnje je najjači veliki kardinalni aksiom koji se pojavljuje u literaturi.

Analogija između L (ℝ) i L (V _{λ + 1}) temelji se na opažanju da je L (ℝ) jednostavno L (V _{ω + 1}). Dakle, λ je analog ω, λ ⁺ je analog ω ₁, i tako dalje. Kao primjer za paralelno između teorije strukture L (ℝ) prema AD ^{L (ℝ)} i teorije strukture L (V _{λ + 1}) pod uležištenja aksiom, spomenimo da se u prvom slučaju, ω ₁ je mjerljivi kardinal u L (ℝ) i, u drugom slučaju, analog ω ₁ -imeno, λ ⁺ -je mjerljiv kardinal u L (V _{λ + 1}). Rezultat je Woodin i samo je jedan primjer među mnogim primjerima paralele sadržanih u njegovom djelu.

Sada imamo mnogo informacija o teoriji strukture L (ℝ) pod AD ^{L (ℝ)}. Zapravo, kao što smo gore napomenuli, ovaj je aksiom „učinkovito dovršen“s obzirom na pitanja o L (ℝ). Suprotno tome, sam aksiom ugradnje nije dovoljan da bi zaključio da L (V _{λ + 1}) ima strukturu teorije koja u potpunosti odgovara paralelnosti L (ℝ) pod AD ^{L (ℝ)}. Međutim, postojanje već bogate paralele dokaz je da se paralela proširuje, a mi možemo dopuniti aksiom ugradnje dodavanjem nekih ključnih komponenti. Kad to učinimo, događa se nešto značajno: dodatni aksiomi postaju krhki. To znači da imaju potencijal brisanja neovisnosti i pružanja ne-trivijalnih informacija o V _{λ + 1}, Na primjer, ovi dodatni aksiomi mogu podmiriti CH i još mnogo toga.

Poteškoća u istraživanju mogućnosti teorije strukture L (V _{λ + 1}) je ta što nismo imali odgovarajuće leće kroz koje bismo je mogli pregledati. Problem je u tome što model L (V _{λ + 1}) sadrži veliki komad svemira - naime, L (V _{λ + 1}) - a teorija ove strukture je radikalno nedovoljno definirana. Gore navedeni rezultati pružaju nam odgovarajuće leće. Može se ispitati teorija strukture L (V _{λ + 1}) u kontekstu krajnjih unutarnjih modela poput L ^Ω, L Ω S, L Ω (∗) i njihovih inačica. Poanta je u tome da ovi modeli mogu smjestiti aksiom ugradnje i unutar svakog će se moći izračunati teorija strukture L (V _{λ + 1}).

Ovo osigurava način za odabir ispravnog aksioma između V = L ^Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) i njihovih inačica. Jednostavno se pregleda L (V _{λ + 1}) svakog modela (gdje drži aksiom ugradnje) i provjerava ima li istinski analog teorije strukture L (ℝ) pod pretpostavkom AD ^{L (ℝ)}. Već je poznato da se određeni dijelovi teorije strukture ne mogu držati u L ^Ω. Ali otvoreno je mogu li se držati u L Ω S.

Razmotrimo jedan takav (vrlo optimističan) scenarij: Pravi analog teorije strukture L (ℝ) pod AD ^{L (ℝ)} drži L (V _{λ + 1}) L Ω S, ali ne ijedne njegove varijante, Štoviše, ova je teorija strukture "učinkovito cjelovita" za teoriju V _{λ + 1}. Pod pretpostavkom da postoji odgovarajuća klasa λ u kojoj se drži aksiom ugradnje, to daje „učinkovito potpunu“teoriju V. I što je nevjerojatno, dio te teorije je da V mora biti L Ω S. Ovaj (doduše vrlo optimističan) scenarij predstavljao bi vrlo jak slučaj za aksiome koji rješavaju sve neodlučne izjave.

Na ovom scenariju ne treba stavljati preveliku težinu. To je samo jedan od mnogih. Poanta je u tome što smo sada u mogućnosti napisati popis definitivnih pitanja sa sljedećim značajkama: Prvo, pitanja na ovom popisu će imati odgovore - neovisnost nije problem. Drugo, ako se odgovori konvergiraju, tada ćemo imati jake dokaze za nove aksiome koji naseljavaju neodlučne izjave (a time i ne-pluralizam o univerzumu skupova); dok odgovori osciliraju, bit će dokaz da su te izjave "apsolutno neodredive" i to će ojačati slučaj pluralizma. Na taj se način matematička trakcija dobiva na temu "apsolutne neodlučnosti" i pluralizma.

Daljnje čitanje: Za više o teoriji strukture L (V _{λ + 1}) i paraleli s determiniranošću vidi Woodin (2011b).

Bibliografija

• Abraham, U. i M. Magidor, 2010., "Kardinalna aritmetika", u Foremanu i Kanamori, 2010.
• Bagaria, J., N. Castells i P. Larson, 2006, "Primjer Ω-logike", u J. Bagaria i S. Todorčević (ur.), Teorija skupova, Trendovi u matematici, Birkhäuser, Basel, str. 1 -28.
• Cohen, P., 1963, „Neovisnost hipoteze o kontinuumu I“, Zbornik radova Američke nacionalne akademije nauka, 50: 1143–48.
• Foreman, M. i A. Kanamori, 2010, Priručnik teorije skupova, Springer-Verlag.
• Foreman, M. i M. Magidor, 1995., „Veliki kardinali i definirajući kontra primjeri hipotezi kontinuuma“, Anali čiste i primijenjene logike 76: 47–97.
• Foreman, M., M. Magidor i S. Shelah, 1988, „Martinovi maksimumi, zasićeni ideali i neobični ultrafiltrati. Dio i, „Anali matematike 127: 1–47.
• Gödel, K., 1938a. „Dosljednost aksioma izbora i generalizirane hipoteze o kontinuumu“, Zbornik radova Nacionalne akademije znanosti, 24: 556–7.
• Gödel, K., 1938b. „Dosljednost za generaliziranu hipotezu kontinuuma“, Zbornik radova Američke nacionalne akademije nauka, 25: 220–4.
• Hallett, M., 1984, Kantorijanska teorija skupova i ograničenje veličine, god. 10 iz Oxford Logic Guides, Oxford University Press.
• Holz, M., K. Steffens i E. Weitz, 1999, Uvod u kardinalnu aritmetiku, Napredni tekstovi Birkhäusera, Birkhäuser Verlag, Basel.
• Jech, TJ, 2003., Teorija skupa: Treće tisućljetno izdanje, prepravljeno i prošireno, Springer-Verlag, Berlin.
• Ketchersid, R., P. Larson i J. Zapletal, 2010, "Redovna ugrađivanja nepomičnog tornja i Woodinova teorema maksimalnosti Sigma-2-2." Časopis simboličke logike 75 (2): 711–727.
• Koellner, P., 2010, „Snažne logike prvog i drugog reda“, Bilten simboličke logike 16 (1): 1–36.
• Koellner, P. i WH Woodin, 2009, „Nekompatibilne teorije potpune Ω“, časopis za simboličku logiku 74 (4).
• Martin, DA, 1976., „Hilbertov prvi problem: Hipoteza kontinuuma“, u F. Browderu (ur.), Matematički razvoj nastao iz Hilbertovih problema, Vol. 28 od Zbornika simpozija iz čiste matematike, Američko matematičko društvo, Providence, str. 81–92.
• Mitchell, W., 2010., "Početna teorija unutarnjeg modela", u Foreman i Kanamori, 2010.
• Steel, JR, 2010, "Pregled kratkih teorija modela", u Foremanu i Kanamori, 2010.
• Woodin, WH, 1999, Aksiom odlučnosti, forsiranje aksioma i nestacionarni ideal, Vol. 1 iz serije Gruyter u Logika i njezine primjene, de Gruyter, Berlin.
• –––, 2001a, „Hipoteza kontinuuma, dio I,“Obavijesti American Mathematical Society 48 (6): 567–576.
• –––, 2001b, „Hipoteza kontinuuma, dio II,“Obavijesti American Mathematical Society 48 (7): 681–690.
• –––, 2005a, „Hipoteza kontinuuma“, u R. Cori, A. Razborov, S. Todorĉević i C. Wood (ur.), Logic Colloquium 2000, Vol. 19 predavanja iz logike, Udruženje simboličke logike, str. 143–197.
• –––, 2005b, „Teorija skupa nakon Russella: putovanje natrag do Edina“, u G. Link (ur.), Sto godina Russellovog paradoksa: matematika, logika, filozofija, god. 6 od Gruyter-ove serije iz logike i njezine primjene, Walter De Gruyter Inc, str. 29–47.
• –––, 2010, „Prikladni modeli ekstendera I“, časopis za matematičku logiku 10 (1–2): 101–339.
• –––, 2011a, „Hipoteza kontinuuma, generička multiverzija skupova i pretpostavka Ω“, u J. Kennedy i R. Kossak, (ur.), Teorija skupa, Aritmetika i temelji matematike: Teoreme, Filozofija, god. 36 predavanja iz logike, Cambridge University Press.
• –––, 2011b, „Prikladni modeli ekstendera II“, časopis za matematičku logiku 11 (2): 115–436.

Akademske alate

	Kako navesti ovaj unos.
	Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
	Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
	Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

[Molimo kontaktirajte autora s prijedlozima.]