Prvo objavljeno u srijedu 6. rujna 2017.; suštinska revizija Fri Jan 19, 2018
„Curryjev paradoks“, kako se danas koristi filozofima, odnosi se na širok raspon paradoksa samo-referenciranja ili kružnosti koji svoj moderni rod prate u Curryju (1942b) i Löbu (1955). [1]Zajednička karakteristika ovih takozvanih Curry paradoksa je način na koji iskorištavaju pojam implikacije, nametanja ili posljedice, bilo u obliku vezivnog ili u obliku predikata. Curry paradoks nastaje u nizu različitih domena. Kao i Russellov paradoks, može poprimiti oblik paradoksa teoriji skupa ili teoriji svojstava. Ali može također poprimiti oblik semantičkog paradoksa, usko sličnog paradoksu Liar. Curryjev paradoks razlikuje se i od Russellovog paradoksa, i od paradoksa Lažljivca po tome što on u biti ne uključuje pojam negacije. Uobičajene teorijske verzije uključuju rečenicu koja kaže za sebe da je istina proizvoljno odabrana tvrdnja istinita ili, ako se koristi zlobnija instanca, sama po sebi kaže da ako je to istina, svaka je laž istina. Paradoks je u tome što se čini da postojanje takve rečenice podrazumijeva istinitost proizvoljno izabrane tvrdnje ili - u još jezivijoj instanci - svake laži. U ovom unosu prikazujemo kako se mogu konstruirati razni Curry paradoksi, ispitujemo prostor dostupnih rješenja i objašnjavamo neke načine na koji je Curry paradoks značajan i predstavlja prepoznatljive izazove.
1. Uvod: dvije vrste paradoksa
1.1 Neformalni argument
1.2 Ograničenje na teorije
1.3 Pregled
2. Izrada Curry rečenica
2.1 Curryjeva prva metoda i set-teoretske Curry rečenice
2.2 Curryjeva druga metoda i teoretske teorije istine Curry
3. Izvođenje paradoksa
3.1 Curry-paradoks lema
3.2. Alternativni prostori
4. Odgovori na Curryjev paradoks
4.1 Odgovori curry-nepotpunosti
4.2 Odgovori Curry-Potpunosti
4.2.1 Odgovori bez ugovora
4.2.2 Odgovori bez odvojenosti
4.2.3 Prijava na neformalni argument
5. Značaj Curry-jevog paradoksa
5.1 Umanjivanje nade u rješenja paradoksa negacija
5.1.1 Frustrirajuća parakonsistentna rješenja
5.1.2 Frustrirane parakompletne otopine
5.2 Ukazuje na strukturu općeg paradoksa
6. Curry valjanosti
6.1 Vezni oblik
6.2 Predgovorni obrazac
6.3 Značaj
Bibliografija
Ključni povijesni izvori
Ostale reference
Akademske alate
Ostali internetski resursi
Povezani unosi
1. Uvod: dvije vrste paradoksa
1.1 Neformalni argument
Pretpostavimo da vam vaš prijatelj kaže: "Ako je istina ono što govorim koristeći ovu rečenicu, vrijeme je beskonačno." Ispada da postoji kratki i naizgled uvjerljiv argument za sljedeći zaključak:
(P) Samo postojanje tvrdnje vašeg prijatelja podrazumijeva (ili kao posljedicu toga) da je vrijeme beskonačno
Mnogi smatraju da je (P) izvan vjerovanja (i u tom smislu paradoksalno), čak i ako je vrijeme doista beskonačno. Ili, ako to nije dovoljno loše, razmislite o drugoj verziji, ovoga puta koja uključuje tvrdnju za koju se zna da je lažna. Neka vaš prijatelj umjesto toga kaže: „Ako je istina ono što govorim koristeći ovu rečenicu, tada su svi brojevi glavni“. Sada, mutatis mutandis, donosi isti kratki i naizgled uvjerljiv argument (Q):
(Q) Samo postojanje tvrdnje vašeg prijatelja podrazumijeva (ili posljedicu toga) da su svi brojevi glavni
Evo argumenta za (P). Neka je (k) autoreferencijalna rečenica koju je vaš prijatelj izgovorio, donekle pojednostavljena, tako da glasi "Ako je (k) istina, vrijeme je beskonačno". S obzirom na to što (k) kaže, znamo to puno:
(1) Pod pretpostavkom da je (k) istina, slučaj je da ako je k istina, vrijeme je beskonačno
Ali, naravno, imamo i mi
(2) Pod pretpostavkom da je (k) istina, istina je da je k istina
Pod pretpostavkom da je (k) istinita, dobili smo, prema tome, jedan uvjet zajedno s njegovim antecedentom. Korištenjem modusa ponens unutar opsega pretpostavke, sada dobivamo posljedicu uvjeta pod tom istom pretpostavkom:
(3) Pod pretpostavkom da je (k) istina, vrijeme je beskonačno
Pravilo uvjetnog dokaza sada nam omogućava da potvrdimo uvjet sa pretpostavkom da je prethodna:
(4) Ako je (k) istina, vrijeme je beskonačno
Ali, budući da je (4) samo (k), to i imamo
(5) (k) je istina
Konačno, spajanjem (4) i (5) modusa ponens, dobivamo
(6) Vrijeme je beskonačno
Čini se da smo utvrdili da je vrijeme beskonačno bez ikakvih pretpostavki koje nadilaze postojanje samoreferencijalne rečenice (k), zajedno s naizgled očitim načelima o istini koja nas je odvela do (1), a također i od (4) do (5). I isto vrijedi i za (Q), jer smo mogli upotrijebiti isti oblik argumenata da bismo došli do lažnog zaključka da su svi brojevi glavni.
1.2 Ograničenje na teorije
Jedan od izazova koji predstavlja Curryjev paradoks jest utvrditi što polazi po zlu u prethodnom neformalnom argumentu za (P), (Q) ili slično. Ali počevši od Curryjevog početnog predstavljanja u Curryju 1942b (vidi dopunski dokument o Curryju o Curryjevom paradoksu), rasprava o Curryjevom paradoksu obično je imala drugačiji fokus. Dotiče se različitih formalnih sustava - najčešće postavlja teorije ili teorije istine. U ovom je okruženju paradoks dokaz da sustav ima određeno svojstvo. Sporna značajka je trivijalnost. Za teoriju se kaže da je trivijalna ili apsolutno nedosljedna kada potvrđuje svaku tvrdnju koja se može izraziti jezikom teorije. [2]
Argument kojim se utvrđuje da je određena formalna teorija trivijalna stvorit će problem ako se dogodi bilo koji od sljedećeg: (i) želimo koristiti formalnu teoriju u našim istraživanjima, jer koristimo teoriju skupova kada radimo matematiku, ili (ii) želimo koristiti formalnu teoriju kako bi modelirali značajke jezika ili mišljenja, posebno tvrdnje kojima su predani neki govornici ili mislioci. Bilo kako bilo, trivijalnost teorije cilja pokazala bi da nije odgovarajuća njezinoj namjeri. Dakle, ovo je drugi izazov koji predstavlja Curryjev paradoks.
Da bismo precizirali smisao u kojem Curry paradoks ograničava teorije, moramo reći što je Curry rečenica. Neformalno, Curry rečenica je rečenica koja je, svjetlima neke teorije, jednaka uvjetnoj samoj sebi kao antecedentu. Na primjer, moglo bi se pomisliti da je argument odjeljka 1.1. Privlačan neformalnoj teoriji istine. Tada rečenica "(k) je istina" služi kao Curry rečenica za tu teoriju. To je zato što, s obzirom na to što nam neformalna teorija govori o tome što istina uključuje (""), "(k) je istina" trebala bi biti jednaka "Ako je istina (k) istina, tada je vrijeme beskonačno”(Budući da je ovo uvjetno samo (k)).
U nastavku, oznaka (vdash _ { mathcal {T}} alfa) govori da teorija (mathcal {T}) sadrži rečenicu (alfa) i (Gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alfa) se upotrebljava da kaže da (alfa) slijedi iz prostorija prikupljenih u (Gamma) prema (mathcal {T}) (tj. prema relaciji posljedica (mathcal {T}) (vdash _ { mathcal {T}})). [3] Međutim, osim u odjeljku 4.2.1, mi ćemo se baviti samo tvrdnjama o onome što slijedi prema teoriji iz jedne pretpostavke, tj. Tvrdnje izražene rečenicama oblika (gama \ vdash _ { mathcal {T }} alfa). (Oslanjamo se na kontekst da bismo pojasnili gdje se takva rečenica koristi i gdje se samo spominje.)
Dvije rečenice (jezikom teorije (mathcal {T})) nazvat će se zamjenjivim prema (mathcal {T}) pod uvjetom da je istinitost bilo kojeg zahtjeva oblika (Gamma \ vdash _ { na matematiku {T}} alfa) ne utječe zamjena jedne za drugu unutar (alfa) ili unutar bilo koje rečenice u (Gamma). Konačno, pretpostavljamo da jezik sadrži poveznicu ({ rightarrow}) koja u određenom smislu služi kao uvjetna. U svrhu sljedeće definicije, ne postavljamo nikakve posebne zahtjeve prema ponašanju ovog uvjetnog. Sada možemo definirati pojam Curry rečenice za par s teorijom rečenica.
Definicija 1 (Curry rečenica) Neka je (pi) rečenica jezika (mathcal {T}). Curry rečenica za (pi) i (mathcal {T}) je svaka rečenica (kappa) takva da (kappa) i (kappa { rightarrow} pi) mogu se zamijeniti prema (mathcal {T}). [4]
Različite verzije Curryjevog paradoksa proizlaze iz postojanja argumenata u korist sljedeće vrlo opće tvrdnje. (Ovi argumenti, koji počivaju na pretpostavkama o uvjetnom ({ rightarrow}), bit će detaljno razmotreni u odjeljku 3.)
Zahtjev za uzbunu Za svaku teoriju (mathcal {T}) i bilo koju rečenicu (pi) na jeziku (mathcal {T}), ako postoji Curry rečenica za (pi) i (mathcal {T}), zatim (vdash _ { mathcal {T}} pi).
Argument koji se čini da utvrđuje zabrinjavajući zahtjev smatrat će se paradoksalnim pod uvjetom da postoji i uvjerljiv razlog da se vjeruje da je ta tvrdnja lažna. Suprotni primjer uznemirujućem zahtjevu bila bi svaka teorija (mathcal {T}) i rečenica (pi) takva da postoji Curry rečenica za (pi) i (mathcal {T}), ali nije slučaj da (vdash _ { mathcal {T}} pi).
Kao što je gore spomenuto, Curryjev paradoks često se shvaća kao izazov postojanju netrivijalnih teorija. S obzirom na uznemirujući zahtjev, teorija će biti trivijalna kad god se Curry rečenica može formulirati za bilo koju rečenicu na jeziku teorije. Doista, trivijalnost proizlazi iz slabijeg uvjeta, koje sljedeća definicija čini eksplicitnim.
Definicija 2 (Curry-potpuna teorija) Teorija (mathcal {T}) je Curry-potpuna pod uvjetom da za svaku rečenicu (pi) na jeziku (mathcal {T}) postoji neki (pi ') takav da (i) postoji Curry rečenica za (pi') i (mathcal {T}) i (ii) ako (vdash _ { mathcal {T }} pi ') tada (vdash _ { mathcal {T}} pi).
Dok bi jedna instanca (pi ') koja ispunjava uvjet (ii) bila sama (pi), druga instanca bi bila "eksplozivna" rečenica (bot) koja je sadržana u teoriji samo ako svaka rečenica sadržana je u teoriji. [5]
Zahtjev za uznemiravanje sada ima neposrednu posljedicu: teorija o Curry-u mora sadržavati svaku rečenicu na svom jeziku.
Problemi s rezultatima svake teorije Curry-a je trivijalno.
Opet, svaki argument koji se čini da uspostavlja uznemirujuće posljedice smatrat će se paradoksalnim pod uvjetom da postoji uvjerljiv razlog da se vjeruje da postoje netrivijalne teorije (doista istinite teorije) koje su Curry-potpun.
1.3 Pregled
U nastavku ovog članka, Curryjev paradoks će se shvatiti kao nametanje paradoksalnog ograničenja teorijama, točnije onom koji je naveden u gornjim uznemirujućim posljedicama. Predstavljanje verzije Curryjevog paradoksa shvaćeno na ovaj način uključuje dvije stvari:
tvrdeći da je (mathcal {T}) Curry-potpun, za neke naoko netrivijalne teorije cilja (mathcal {T}), i
navodeći argument za zahtjev za uznemirujući problem. [6]
Odjeljci 2 i 3 razmatraju ova dva zadatka tim redoslijedom. Za sada se osnovna ideja može prenijeti primjerom samoreferencijalne rečenice (k) koja glasi: "Ako je (k) istina, vrijeme je beskonačno". Prvo, s obzirom na naše razumijevanje istine, prepoznajemo da je rečenica "(k) istinita" zamijenjena s "Ako je istina (k), vrijeme je beskonačno". Drugo, neformalni argument iz odjeljka 1.1 iz ovog ekvivalenta proizlazi paradoksalan zaključak. Čitatelji koji su uglavnom zainteresirani za logična načela koja su uključena u tu argumentaciju i s njima povezana i mogućnosti odupiranja takvim argumentima mogli bi se okrenuti odjeljku 3.
2. Izrada Curry rečenica
Kao što je danas standardno predstavljeno, Curryjev paradoks pogađa "naivne" teorije istine (one koje sadrže "transparentan" predikat istine) i "naivne" teorije skupa (one koje uključuju neograničenu skupnu apstrakciju). Ovaj će odjeljak objasniti kako svaka vrsta teorije može dovesti do Curryjevih rečenica. Počinjemo, međutim, s verzijom koja se tiče teorije svojstava, verzijom koja više podsjeća na Curryjevu formulaciju. (Dopunski dokument Curry on Curry's Paradox ukratko opisuje ciljeve Curryjevih vlastitih verzija paradoksa.)
Teorija svojstava ima neograničenu apstrakciju svojstva pod uvjetom da za bilo koji uvjet koji se može utvrditi na jeziku teorije postoji svojstvo koje (prema teoriji) mogu dati primjer upravo stvari koje ispunjavaju ovaj uvjet. Razmotrimo teoriju (mathcal {T_P}) formuliranu na jeziku s uređajem za apstrakciju svojstva ([x: \ phi x]) i odnosom primjera (epsilon). Na primjer, ako (phi (t)) kaže da je objekt za koji se označava pojam (t) trokutast, (t \ \ epsilon [x: \ phi x]) kaže da je ovaj objekt primjer je svojstva trokuta. Zatim, s obzirom na neograničenu apstrakciju imovine, trebali bismo imati sljedeći princip.
(Svojstvo) Za svaku otvorenu rečenicu (phi) s jednom slobodnom varijablom, i svaki izraz (t), rečenice (t \ \ epsilon [x: \ phi x]) i (phi t) su zamjenjivi prema (mathcal {T_P}).
Zapravo, Curry (1942b) skice dvije "metode konstruiranja" Curry rečenica koristeći svoj kolega (Property). Kaže da je prvi "zasnovan na Russelovu paradoksu", a drugi "zasnovan na paradoksu Epimenida". Iako su obje metode teorijski svojstvene, prva metoda daje preteču set-teoretskih verzija Curryjevog paradoksa, dok druga daje preteču istinito-teorijskih verzija.
2.1 Curryjeva prva metoda i set-teoretske Curry rečenice
Russell-ova paradoksa na koju Curry prva metoda podsjeća je ona koja se odnosi na primjere imovine. Njegova tema je svojstvo biti takav da se netko ne može primjeriti samim sobom. Curry-ovu teoriju o svojstvu dobivamo razmatrajući umjesto toga svojstvo takvog da se čovjek primjerava samo ako je vrijeme beskonačno. Recite da uvedemo ime (h) za to svojstvo, tako što ćemo odrediti (h = _ {def} [x: x \ \ epsilon \ x { rightarrow} pi]), gdje je rečenica (pi) kaže da je vrijeme beskonačno. [7] Primjenjujući princip (Svojstvo) na rečenicu (h \ \ epsilon \ h), nalazimo:
(h \ \ epsilon \ h) i (h \ \ epsilon \ h { rightarrow} pi) su zamjenjivi prema (mathcal {T_P}).
Drugim riječima, (h \ \ epsilon \ h) je Curry rečenica za (pi) i (mathcal {T_P}).
Curryjeva prva metoda nakon toga je dovela do teoretskih Curry rečenica. Teorija skupova ima neograničenu apstrakciju skupa pod uvjetom da za bilo koji uvjet koji se može održati na jeziku teorije postoji skup koji (prema teoriji) sadrži sve i samo stvari koje ispunjavaju taj uvjet. Neka je (mathcal {T_S}) naša teorija skupova, formulirana na jeziku koji izražava skupnu apstrakciju koristeći ({x: \ phi x }) i postavljanje članstva koristeći (in). Tada je protuvrijednost (Property)
(Postavi) Za svaku otvorenu rečenicu (phi) s jednom slobodnom varijablom, i svaki izraz (t), rečenice (t \ in {x: \ phi x }) i (phi t) su zamjenjivi prema (mathcal {T_S}).
Da biste dobili teoretski skupu Curry rečenicu, razmotrite skup koji se sastoji od svega što je samo po sebi član ako je vrijeme beskonačno. Recite da za taj skup uvedemo ime (c) odredbom (c = _ {def} {x: x \ u x { rightarrow} pi }). Primjenjujući princip (Set) na rečenicu (c \ in c), nalazimo:
(c \ u c) i (c \ u c { rightarrow} pi) su zamjenjivi prema (mathcal {T_S}).
Drugim riječima, (c \ u c) je Curry rečenica za (pi) i (mathcal {T_S}).
Set-teoretska verzija Curryjevog paradoksa uvedena je u Fitch 1952. [8], a predstavljena je i u Moh 1954 i Prior 1955.
2.2 Curryjeva druga metoda i teoretske teorije istine Curry
Unatoč svojoj napomeni o „paradoksu Epimenida“, obliku paradoksa Lažljivca, Curryjeva druga metoda je varijanta srodnog semantičkog paradoksa, Grellingovog paradoksa. [9]U svom izvornom obliku, Grellingov paradoks smatra imovinu koja posjeduje mnogo riječi, naime svojstvo koje riječ ima kad ne uspije primjeriti svojstvo koje se zalaže (Grelling & Nelson 1908). Na primjer, riječ "uvredljivost" ima to svojstvo: ne primjerava svojstvo za koje se zalaže, jer nije uvredljivo (vidi unos paradoksa i suvremene logike). Zapravo, Curry smatra da je svojstvo riječju pod uvjetom da daje primjer svojstvu koje stoji samo ako je vrijeme beskonačno. Pretpostavimo sada da naša teorija uvodi ime (u) za ovo svojstvo. Curry zatim pokazuje kako konstruirati rečenicu koja (neformalno govoreći) kaže da ime (u) predstavlja svojstvo za koje se zalaže. On pokazuje da će ova rečenica služiti kao Curry rečenica za teoriju svojstava i oznaku imena.[10]
Iako se ova metoda dobivanja Curry rečenice temelji na semantičkoj značajki izraza, još se uvijek oslanja na apstrakciju svojstva. Unatoč tome, može se promatrati kao prethodnica potpuno semantičke verzije. (Umjesto da se uzme u obzir prethodno uneseno svojstvo, moglo bi se smatrati da predikat "primjenjuje na sebe samo ako je vrijeme beskonačno".) Prema tome, kako su Geach (1955) i Löb (1955) prvi pokazali, Curry rečenice se mogu dobiti koristeći semantička načela sama, bez oslanjanja na apstraktnost imovine. Njihov put odgovara neformalnoj argumentaciji u odjeljku 1.1, koja uključuje samoreferencijalnu rečenicu (k) koja glasi: "Ako je (k) istina, vrijeme je beskonačno."
U tu svrhu, neka je (mathcal {T_T}) teorija istine, gdje je (T) predikat istine. Pretpostavimo načelo „transparentnosti“
(Istina) Za svaku rečenicu (alfa) rečenice (T \ langle \ alpha \ rangle) i (alpha) su zamjenjive prema (mathcal {T_T}).
Da biste dobili Curry rečenicu po ovom principu, pretpostavite da postoji rečenica (xi) koja je (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi). [11] Zatim odmah iz (Istine) slijedi da
(T \ langle \ xi \ rangle) i (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi) su nezamjenjivi prema (mathcal {T_T}).
Drugim riječima, (T \ langle \ xi \ rangle) je Curry rečenica za (pi) i (mathcal {T_T}).
Geach primjećuje da semantički paradoks koji proizlazi iz rečenice poput (T \ langle \ xi \ rangle) nalikuje "Curry paradoksu u teoriji skupova". Löb, koji ne spominje Curryjevo djelo, paradoks pripisuje sučevom opažanju o dokazu onoga što je danas poznato kao Löbova teorema o dokazivosti (vidi unos Gödelovih teorema nepotpunosti). Glavni sudac, za kojeg je sada poznato da je bio Leon Henkin (Halbach & Visser 2014: 257), sugerirao je da metoda koju je Löb koristio u svom dokazu "dovodi do novog izvoda paradoksa u prirodnom jeziku", naime do neformalnog argumenta iz odjeljka 1.1 gore. [12]
3. Izvođenje paradoksa
Pretpostavimo da smo upotrijebili jednu od gore navedenih metoda kako bismo pokazali, za neku teoriju istine, skupove ili svojstva, da je teorija potpuna Curry (vrlina, recimo, sadrži Curry rečenicu za svaku rečenicu jezika, ili za eksplozivnu kaznu). Za zaključak da je predmetna teorija trivijalna, sada je dovoljno dati argument za zahtjev za uznemirujući problem. Ovo je tvrdnja da za svaku teoriju (mathcal {T}), ako postoji Curry rečenica za (pi) i (mathcal {T}), tada (vdash _ { mathcal {T}} pi). Takav će se argument koristiti pretpostavkama o logičkom ponašanju uvjetnog ({ rightarrow}) spomenutog u Definiciji 1. Ako pretpostavimo da uznemirujućem zahtjevu mora biti odbijen, to u skladu s tim postavlja ograničenja u ponašanju ovog uvjetnog.
3.1 Curry-paradoks lema
Za početak, ovdje je vrlo općeniti limitirajući rezultat, bliska varijanta Lemme in Curry 1942b. [13]
Curry-paradoks lema Pretpostavimo da su teorija (mathcal {T}) i rečenica (pi) takva da (i) postoji Curry rečenica za (pi) i (mathcal {T}), (ii) sve instance pravila identiteta (Id) (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alfa) držite, i (iii) uvjetno ({ rightarrow}) zadovoljava i jedno i drugo sljedećih načela:
Ovdje je MP inačica modusa ponens, a Cont je princip kontrakcije: dvije pojave rečenice (alfa) su "ugovorene" u jednu. (Uskoro ćemo naići na srodna načela koja se češće nazivaju kontrakcijom. [14]) Lemma Curry-Paradox podrazumijeva da bilo koja Curry-kompletna teorija mora kršiti jedan ili više ID-a, MP-a ili Cont-a zbog boli trivijalnosti.
Da bi se dokazala lema, pokazuje da su Id, MP i Cont, zajedno s "Curry-intersubstituktivnošću" od (kappa) sa (kappa { rightarrow} pi), dovoljni da uspostave (vdash_ { mathcal {T}} pi). Sljedeća izvedba nalikuje neformalnom argumentu iz odjeljka 1.1. Taj je argument uključivao i subargument za načelo Cont, koji će biti ispitan u nastavku.
Odjeljak 4. će raspravljati o načinima na koje bi svako od dva načela koja se odnose na ({ rightarrow}) pretpostavljena u Curry-Paradox Lemmi mogao biti opravdan ili odbijen.
3.2. Alternativni prostori
Postoje kontra Curry-Paradox leme koja se poziva na alternativne skupove logičkih principa (vidi npr. Rogerson & Restall 2004 i Bimbó 2006). Vjerojatno najčešća verzija zamjenjuje pravila Id i Cont odgovarajućim zakonima:
Drugi zajednički kolega Curry-Paradox Lemme zaslužan je za Meyer, Routley i Dunn (1979). [15] Koristi dva načela koja se tiču veznika: pravni oblik modus ponens i idempotenciju veznika.
Formulacijom Curry-Paradox leme pomoću Cont-a, a ne ContL-a ili MPL-a, olakšat će se skretanje pažnje (u sljedećem odjeljku) na značajne razlike unutar klase odgovora koji odbijaju oba ova dva principa. [16]
4. Odgovori na Curryjev paradoks
Odgovori na Curry-jev paradoks mogu se podijeliti u dvije klase, na osnovu prihvaćanja Troubling Corollary-a da su sve Curry-jeve teorije trivijalne.
Odgovori curry-nepotpunosti prihvaćaju uznemirujuću posljedicu. Međutim, oni poriču da su ciljne teorije svojstava, skupova ili istina potpuno Curry-jeve. Curry-nepotpuni odgovori mogu, i obicno jesu, obuhvatiti klasicnu logiku.
Odgovori curry-kompletnosti odbacuju uznemirujuću posljedicu; inzistiraju na tome da ne mogu postojati netrivijalne teorije o Curryju. Svaka takva teorija mora kršiti jedan ili više logičkih principa pretpostavljenih u Curry-Paradox Lemmi. Budući da klasična logika potvrđuje ta načela, ovi odgovori se pozivaju na neklasičnu logiku. [17]
Postoji i opcija zagovaranja Curry-jevog nepotpunog odgovora na Curry-ove paradokse koji nastaju u jednoj domeni, recimo teoriji skupa, dok se zagovara Curry-ov cjelovit odgovor na Curry-ove paradokse koji se pojavljuju u drugoj domeni, recimo teoriji svojstva (npr. Field 2008; Beall 2009).
4.1 Odgovori curry-nepotpunosti
Primjeri istaknutih teorija istine koji pružaju Curryjeve nepotpune odgovore na Curryjev paradoks uključuju Tarskijevu hijerarhijsku teoriju, teoriju revizije istine (Gupta i Belnap 1993) i kontekstualističke pristupe (Burge 1979, Simmons 1993, i Glanzberg 2001, 2004). Sve te teorije ograničavaju načelo „naivne“transparentnosti (Istine). Za pregled pogledajte unos o paradoksu Liar. U kontekstu teorije skupova Curry-nepotpuni odgovori uključuju teorije tipa Russellian i razne teorije koje ograničavaju princip apstrakcije „naivnosti“skupa. Pogledajte zapise o Russell-ovom paradoksu i alternativnim aksiomatskim teorijama skupa.
Općenito, razmatranja koja su relevantna za procjenu većine Curryjevih nepotpunih odgovora ne izgledaju specifično za Curryjev paradoks, već se odnose jednako na paradoks Liar (u domeni teoretike istine) i Russell-ov paradoks (u skupu i svojstvu teorijske domene). [18] Zbog toga će se ostatak ovog unosa usredotočiti na Curry-ove cjelovitosti, iako se u odjeljku 6.3 ukratko vraća razlika u kontekstu takozvanih Curry paradoksa.
4.2 Odgovori Curry-Potpunosti
Curry-kompletni odgovori na Curryjev paradoks smatraju da postoje teorije koje su Curry-kompletne, ali nisu netrivijalne; takva teorija mora kršiti jedan ili više logičkih principa pretpostavljenih u Curry-Paradox lemi. Budući da je pravilo Id obično neupitno (ali pogledajte Francuski 2016. i Nicolai & Rossi u nadolazećem), to je značilo negirati da uvjetno ({ rightarrow}) netrivijalne Curry-teorije zadovoljava i MP i Cont. Prema tome, odgovori su pali u dvije kategorije.
(I) Najčešća strategija bila je prihvatiti da se takva teorija uvjetno pokorava MP, ali negirati da se pokorava Cont. Budući da je Cont princip kontrakcije, takvi se odgovori mogu nazvati slobodnim kontrakcijama. Tu je strategiju prvi predložio Moh (1954), a odobravaju je Geach (1955) i Prior (1955)
(II) Druga i puno novija strategija je prihvatiti da se takva teorija uvjetno pokorava Contu, ali poreći da se pokorava MP (ponekad se naziva i pravilo "odvojenosti"). Takvi se odgovori mogu nazvati bez odvajanja. Tu strategiju, na različite načine, zagovaraju Ripley (2013) i Beall (2015)
Svaka kategorija odgovora Curry-potpunosti može zauzvrat biti podijeljena prema tome kako blokira navodne izvedbe Cont i MP.
4.2.1 Odgovori bez ugovora
Načelo Kont, koje je odbijeno odgovorima bez kontrakcije, proizlazi iz dva standardna načela. To su uvjeti s jednim prostorom i nešto općenitija inačica modusa ponens, koja uključuje najviše jednu premisu (gama):
(MP ') Ako su (gama \ vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta) i (gama \ vdash _ { mathcal {T}} alfa) tada (gama \ vdash _ { mathcal {T}} beta)
(CP) Ako je (alfa \ vdash _ { mathcal {T}} beta) tada (vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta)
Odgovori bez kontrakcije moraju stoga odbaciti jedno ili drugo od ova dva načela, uvjetovano netrivijalnom Curry-teorijom. U skladu s tim, mogu se identificirati dvije potkategorije teoretičara iz kategorije (I):
(Ia) Odgovor snažnog smanjenja kontrakcije negira da se ({ rightarrow}) pokorava MP "(npr. Mares & Paoli 2014; Slaney 1990; Weir 2015; Zardini 2011)
(Ib) Odgovor slabo slobodan od kontrakcije prihvaća da se ({ rightarrow}) pokorava MP ', ali negira da se pokorava CP (npr. Field 2008; Beall 2009; Nolan 2016)
Razlog zbog kojeg se odgovori u kategoriji (Ib) smatraju samo slabom slobodnom kontrakcijom je taj što, kako pokazuju koraci 1-3, prihvaćaju princip kontrakcije prema kojem ako je (alfa \ vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta) tada (alfa \ vdash _ { mathcal {T}} beta).
Zagovornici reakcija bez kontrakcije drže da MP 'ne izražava pravilno odgovarajući oblik modusa ponens. Oni obično predstavljaju svoj vlastiti oblik tog pravila u „substrukturalnom“okviru, posebno onom koji nam omogućava razlikovanje onoga što slijedi iz pretpostavke jednom uzete i onoga što slijedi iz iste premise uzete dva puta. (Vidi zapis o potkonstrukcijskoj logici.) Prema tome, MP 'treba zamijeniti sa
(MP ″) Ako su (gama \ vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta) i (gama \ vdash _ { mathcal {T}} alfa) tada (gama, \ gama \ vdash _ { mathcal {T}} beta)
a pravilo "strukturalne kontrakcije" treba odbaciti:
Zbog toga što odbacuju strukturalnu kontrakciju, pristupi koji snažno bez kontrakcije mogu zahtijevati očuvanje modusa ponens unatoč odbacivanju MP '(vidjeti Shapiro 2011, Zardini 2013 i Ripley 2015a).
Snažni odgovori bez kontrakcije također trebaju blokirati izvedbu MP 'koristeći par principa koji uključuju vezanje:
Izbjegavanje ove izvedbe MP 'zahtijeva poricanje da postoji konjunkcija (klin) koja je poslušna i MP' (_ { wedge}) i Idem (_ { wedge}). Prema mnogim odgovorima bez snažnog kontrakcije (npr. Mares & Paoli 2014; Zardini 2011), jedna vrsta konjunkcije - "multiplikativna" vrsta ili "fuzija" -obeys MP '(_ { wedge}), ali ne Idem (_ { wedge}), dok se druga vrsta - "aditiv" vrsta pokorava Idemu (_ { wedge}), ali ne i MP '(_ { wedge}) (vidi unos na linearnoj logike i Ripley 2015a). Ako se koristi gore spomenuti podstrukturalni okvir, neuspjeh MP '(_ { klina}) predstavlja činjenicu da za aditivnu vezu, (gama, \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta) nije ekvivalent (gamma \ wedge \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta).
Što se tiče slabog odgovora bez kontrakcije, neuspjeh CP-a ponekad je motiviran primjenom sematike „svjetova“koji uključuje razliku između logički mogućeg i nemogućeg svijeta (npr. Beall 2009; Nolan 2016). Za pobijanje CP-a potrebna nam je istina (alfa \ vdash_ \ mathcal {T} beta) i lažnost (vdash_ \ mathcal {T} alfa { rightarrow} beta). U ciljnim „svjetovima“pristupi (vdash_ \ mathcal {T}) definiraju se kao očuvanje istine u pravilnom podskupinu svjetova (u modelu), naime, „mogućim svjetovima“modela. Dakle, za istinu (alfa \ vdash_ \ mathcal {T} beta) ne postoji mogući svijet (u bilo kojem modelu) u kojem je (alfa) istina i (beta) neistinita. Zauzvrat, za pobijanje (vdash_ \ mathcal {T} alfa { rightarrow} beta) potreban nam je mogući svijet u kojem je (alfa { rightarrow} beta) neistinita. Kako se to događa? Budući da su vezivi definirani na način koji uzima u obzir sve (vrste) svjetova u modelu (moguće i, ako ih ima, nemoguće), postoji opcija da (alfa { rightarrow} beta) nije istinita u mogućem svijetu s obzirom na to da je (alfa) istina i (beta) neistinita u nemogućem svijetu. A upravo se to događa na ciljnim pristupima. (Točno kako netko definira uvjete istine u svijetu i lažnost u svijetu za strelicu ovisi o točnom pristupu „svjetova“.)A upravo se to događa na ciljnim pristupima. (Točno kako netko definira uvjete istine u svijetu i lažnost u svijetu za strelicu ovisi o točnom pristupu „svjetova“.)A upravo se to događa na ciljnim pristupima. (Točno kako netko definira uvjete istine u svijetu i lažnost u svijetu za strelicu ovisi o točnom pristupu „svjetova“.)
4.2.2 Odgovori bez odvojenosti
Odgovori bez odvajanja moraju blokirati izravnu izvedbu MP temeljenu na načelu tranzitivnosti zajedno s obratnim dokazom o jednoj premisi:
(Trans) Ako (alfa \ vdash _ { mathcal {T}} beta) i (vdash _ { mathcal {T}} alfa), tada (vdash _ { mathcal {T}} beta)
(CCP) Ako je (vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta) tada (alfa \ vdash _ { mathcal {T}} beta)
U kategoriji (II) postoje dvije potkategorije teoretičara:
(IIa) Odgovor snažnog odvajanja negira da se ({ rightarrow}) pokorava KPK (Goodship 1996; Beall 2015).
(IIb) Odgovor slabo odvojenog prihvaća da se ({ rightarrow}) pokorava KPK, ali odbija Trans (Ripley 2013).
Razlog zašto su odgovori u kategoriji (IIb) samo slabo odvojeni je taj što se KPK, što ovi odgovori prihvaćaju, može smatrati svojevrsnim principom odvojenosti za uvjetno.
Jedna strategija za odgovor na optužbe da su odgovori bez odvojenosti kontraintutivni je žalba na povezanost između posljedice i našeg prihvaćanja i odbacivanja rečenica. Prema ovoj vezi, kad god je slučaj da (alfa \ vdash _ { mathcal {T}} beta), to znači (ili barem podrazumijeva) da je ona neskladna sa svjetlima teorije (mathcal {T}) prihvatiti (alfa) tijekom odbijanja (beta) (vidi Ponovno instaliranje 2005). Pretpostavimo sada da je, prema svjetlima teorije (mathcal {T}), nekoherentno odbacivati (alfa), a isto tako je nekoherentno prihvatiti (alfa) dok odbija (beta)). Zatim, tvrdi Ripley (2013), ne treba postojati ništa nedosljedno teorijskim svjetlima o odbacivanju (beta), sve dok također ne prihvati (alpha). Stoga ima prostora odustati od Transa i usvojiti reakciju na Curryjev paradoks, bez odvajanja. Bealova obrana od pristupa snažno odvojenosti počiva na povezanim pitanjima. On, naime, tvrdi da princip slabiji od CCP-a može igrati važnu ulogu u ograničavanju kombinacija prihvaćanja i odbijanja rečenica, uključujući (alfa), (beta) i (alfa { rightarrow }\beta).
4.2.3 Prijava na neformalni argument
Upravo su se pristupi Curryjevom paradoksu pokazali krivima s različitim zaključcima i pod-zaključcima neformalnog paradoksalnog argumenta u odjeljku 1.1. Snažno reakcija bez kontrakcije odgovara koraku blokiranja (3) tog argumenta, jer odbija MP '. Reakcija bez kontrakcije blokira korak (4), jer odbija CP. Ni jedan odgovor bez odvajanja neće prihvatiti obrazloženje u koraku (3). Budući da prihvaćaju Cont, odgovori bez odvojenosti omogućuju nam zaključak (4), odakle slabo odgovori bez odvojenosti omogućuju nam da zaključimo (3) od strane KPK. Međutim, obje vrste reakcija bez odvajanja krive se konačnim potezom poslanika MP do (6).
5. Značaj Curry-jevog paradoksa
U ovom odjeljku objašnjavamo neke osebujne lekcije koje se mogu naučiti uzimajući u obzir Curryjev paradoks. Za raspravu o važnosti koju verzije Curryjevog paradoksa dijele sa srodnim paradoksima, pogledajte zapise o Russellovom paradoksu i paradoksu Liar.
5.1 Umanjivanje nade u rješenja paradoksa negacija
Polazeći od Church (1942), Moh (1954), Geach (1955), Löb (1955) i Prior (1955), rasprava o Curryjevom paradoksu naglasila je da se razlikuje od Russell-ovog paradoksa i paradoksa Liar-a u tome što on ne ' t „bitno uključuje [e] negaciju“(Anderson 1975: 128). [19] Jedan od razloga što je Curryjev paradoks bez negacija bitan je taj što paradoks čini otpornim na neke rezolucije koje bi mogle biti prikladne za takve "negacije paradoksa".
Geach tvrdi da Curryjev paradoks predstavlja problem svim zagovornicima teorije naivne istine ili teorije naivnih skupova koji su se suočili s negativnim paradoksima,
možda … nadam se da ćemo izbjeći [ove paradokse] koristeći logički sustav u kojem je '(p) ako i samo ako ne - (p)' bila teorema za neke interpretacije '(p)' bez našeg biti u mogućnosti zaključiti iz bilo koje proizvoljne izjave…. (Geach 1955: 71)
Problem je, kaže, što se Curryjev paradoks „ne može riješiti samo usvajanjem sustava koji sadrži queer vrstu negacije“. Umjesto toga, "ako želimo zadržati naivan pogled na istinu ili naivan pogled na klase …, tada moramo izmijeniti osnovna pravila zaključivanja koja se odnose na" ako " (1955: 72). Geachov pogled na značaj Curryjevog paradoksa pomno je odjeknuo Meyer, Routley i Dunn (1979: 127). Zaključuju kako Curryjev paradoks frustrira one koji su se „nadali da će slabljenje klasičnih principa negacije“riješiti Russellov paradoks. [20]
Ukratko, poanta je u tome što postoje neklasične logike sa slabim principima negacije koji rješavaju Russell-ov paradoks i Lažljivci, a ipak ostaju ranjivi na Curryjev paradoks. To su logike sa sljedećim značajkama:
(a) Mogu poslužiti kao osnova za netrivijalnu teoriju prema kojoj je neka rečenica zamijenjena vlastitom negacijom.
(b) Ne mogu služiti kao osnova za netrivijalnu teoriju koja je Curry-cjelovita.
Iako nije jasno na koje je logike Geach možda imao na umu, doista postoje neklasične logike koje ispunjavaju ova dva uvjeta. Teorije temeljene na tim logikama ostaju ranjive na Curryjev paradoks.
5.1.1 Frustrirajuća parakonsistentna rješenja
Meyer, Routley i Dunn (1979) skreću pozornost na jednu klasu logike koja zadovoljava uvjete (a) i (b). Oni su među parakonsistentnim logikama, što su logike prema kojima rečenica, zajedno s negacijom, neće podrazumijevati nikakvu proizvoljnu rečenicu. Parakonistentna logika može se koristiti za dobivanje teorija koje rješavaju Russell-ov paradoks i Lažljivce, prihvaćanjem negativne nedosljednosti bez podleganja trivijalnosti.
Prema takvoj teoriji (mathcal {T}), rečenice (lambda) i (lnot \ lambda) mogu biti zamjenjive sve dok obje (vdash _ { mathcal {T} } lambda) i (vdash _ { mathcal {T}} lnot \ lambda). Takve su teorije "bezobrazne", u smislu da potvrđuju neku rečenicu zajedno s njenom negacijom (vidi zapis o dijaletizmu). Ipak, veliki broj uglednih parakonsistentnih logika ne može poslužiti kao osnova Curry-jevim cjelovitim teorijama o patnji trivijalnosti. Za takve se logike ponekad kaže da nisu "Curry paraconsistent" (Slaney 1989). [21]
5.1.2 Frustrirane parakompletne otopine
Mnoge neklasične logike za koje je predloženo da potpišu odgovore na Russell-ov paradoks i paradoks Liar-a su nepotpune logike, logike koje odbacuju zakon isključene sredine. Te logike omogućuju „nesretne“teorije. Osobito, tamo gdje su (lambda) i (lnot \ lambda) prema takvoj teoriji nezamjenjivi (mathcal {T}), to neće biti slučaj koji (vdash _ { mathcal {T}} lambda \ lor \ lnot \ lambda). Neke od tih parakompletnih logika također ispunjavaju uvjete (a) i (b).
Jedan primjer je logika Ł (_ {3}) koja se temelji na trorednim tablicama istine Łukasiewicza (vidi npr. Priest 2008). Budući da ispunjava uvjet (a), Ł (_ {3}) nudi mogući odgovor na Russell-ov paradoks i posebno Lažljivca, užurban odgovor. Ipak uzmimo u obzir iteterizirano uvjetno (alfa { rightarrow} (alfa { rightarrow} beta)), koje skraćujemo kao (alfa \ Rightarrow \ beta). Pretpostavimo da je Curry rečenica za (pi) i teoriju utemeljenu na Ł (_ {3}) (mathcal {T}) redefinirana kao bilo koja rečenica (kappa) koja je zamijenjena sa (kappa \ Rightarrow \ pi). Tada će (mathcal {T}) ispuniti sve uvjete Curry-Paradox Lemme, kako je to prvi primijetio Moh (1954). Dakle, sve dok postoji (kappa) koja je zamijenjena s (kappa \ Rightarrow \ pi) prema (mathcal {T}), tada je (vdash _ { mathcal { T}} pi). Slijedom toga, Ł (_ {3}) neće pokoriti odgovor na Curryjev paradoks.[22]
Da sumiram: Curry paradoks stoji na putu nekih inače dostupnih načina za rješavanje semantičkih paradoksa pomoću bezobrazluka ili veselih teorija. Kao rezultat toga, potreba da se izbjegne Curryjev paradoks igrala je značajnu ulogu u razvoju neklasične logike (npr. Priest 2006; Field 2008).
5.2 Ukazuje na strukturu općeg paradoksa
Status Curryjevog paradoksa bez negacije važan je iz drugog razloga. Prior navodi sljedeće važno pitanje:
Možemo… reći ne samo da Curryjev paradoks ne uključuje negaciju, već da čak i Russell-ov paradoks pretpostavlja samo ona svojstva negacije koja dijeli s implikacijom. (Prije 1955. 180) [23]
Ono što ima na umu jest da se Russell-ov paradoks i Curry-ev paradoks mogu shvatiti kao rezultat iste opće strukture, koja se može trenutačno upotrijebiti ili negacijom ili koristeći uvjetno. [24]
Opća struktura može se razjasniti definiranjem vrste unrynog veznika koji stvara Curryjev paradoks i pokazujući kako je ta vrsta primjera i negacijom i unarnom vezom definiranom u smislu uvjetnog.
Definicija 3 (Curry veznik) Neka je (pi) rečenica na jeziku teorije (mathcal {T}). Unarni veznik (odot) je Curryjev veziva za (pi) i (mathcal {T}) pod uvjetom da zadovoljava dva principa:
Generalizirana curry-paradoks lema Pretpostavimo da je (mathcal {T}) takav da se drži Id i da je za neki par rečenica (pi) i (mu), (i) (mu) i (odot \ mu) su zamjenjivi prema (mathcal {T}) i (ii) (odot) je Curry veznik za (pi) i (mathcal { T}). U tom slučaju (vdash _ { mathcal {T}} pi). [25]
Dokaz:
) početak {array} {rll} 1 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {Id} \ 2 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {2 P2} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {3 Curry-intersubstitutivity} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {3, 4 P1} \ \ kraj {niz})
Generalizirana Curry-paradoks lema sada se može izvesti na dva različita načina, tako da se dobije ili Curryjev paradoks ili negativni paradoks:
Da bi se dobio Curryjev paradoks, neka je urijski spojni (odot) takav da je (odot \ alpha) (alfa { rightarrow} pi), i neka je (mu) a rečenica neizmjenjiva s (mu { rightarrow} pi) prema (mathcal {T}). Tada P1 iznosi primjer MP koji se koristi u našoj izvedbi Curry-Paradox leme, dok P2 nije ništa drugo doli naše pravilo Cont.
Da bi se dobio paradoks negacije, neka je (odot \ alfa) (lnot \ alpha), a neka je (mu) rečenica koja je zamijenjena s (lnot \ mu) u skladu s (mathcal {T}). [26] Tada P1 predstavlja slučaj ex kontradiktornog kodlibeta (ili "eksplozije"), dok je P2 princip redukcije.
Prior'sova točka je da su značajke negacije koje su relevantne za Russell-ov paradoks ili paradoks Lažljivca iscrpljene njegovim statusom Curryjevog veznjaka. To jasno pokazuje zašto ti paradoksi ne ovise o značajkama negacije, kao što su isključena srednja ili dvostruka negacija, koje se ne drže u neklasičnim teorijama gdje negacija ostaje Curryjev veziva (npr., U intuicionističkim teorijama, gdje obojica ECQ i Red drže), [27]
Štoviše, Curryjev vezni uopće ne mora biti takav kao negacija. Može biti i minimalna negacija (vidi unos negacije), jer ne mora poštivati zakon dvostrukog uvođenja:
Na primjer, pretpostavimo da je (odot \ alpha) (alfa { rightarrow} pi). Onda, da bi se (odot) pokoravao DI, morao bi biti slučaj da (alfa \ vdash _ { mathcal {T}} (alfa { rightarrow} pi) { rightarrow} pi). Taj je princip narušen brojnim neklasičnim teorijama za koje se (odot), ovako definirano, kvalificira kao Curryjev vezivač. [28]
Da sumiram: Curryjev paradoks ukazuje na opću strukturu utemeljenu širokim rasponom paradoksa. Ova struktura sama po sebi ne uključuje negaciju, ali je prikazana i paradoksima koji (za razliku od Curryjevog paradoksa) u biti uključuju negaciju, poput Russellovog paradoksa i paradoksa Lažljivca.
Pitanje koji paradoksi prikazuju zajedničku strukturu postaje važno u svjetlu „načela jednoobraznog rješenja“koje je sveprisutno zagovarao Priest (1994.). Prema ovom principu, paradoksi koji pripadaju istoj vrsti trebali bi dobiti "istu vrstu rješenja". Pretpostavimo da jednu vrstu paradoksa razgraničimo na sljedeći način:
Definicija 4 (Generalizirani paradoks Curryja) Imamo generalizirani paradoks Curryja u svakom slučaju u kojem se čini da postoje pretpostavke navedene u Generalizirani Curry-Paradox Lemmi.
Pod pretpostavkom da netko prihvati princip ujednačenog rješenja, postaje pitanje što se može predložiti ujednačenim rješenjem za sve generalizirane Curry paradokse. Naročito, je li dovoljno pokazati, za svaki tako ograničeni primjer, da ono što izgleda kao Curryjev veziva zapravo nije? Činilo bi se da bi to doista trebalo biti dovoljno. Nejasno je zašto bi uniformiranost dodatno trebala zahtijevati da se svi naizgled Curryjevi veznici ne mogu kvalificirati kao takvi zbog kršenja istog uvjeta. Na primjer, pretpostavimo da se čini da negacija i naša nejedinstvena veza definirana korištenjem ({ rightarrow}) zadovoljavaju generalizirani princip P2, u prvom slučaju jer se čini da se ({ lnot}) pokorava crveno, a u drugom slučaj jer se čini da ({ rightarrow}) pokorava Cont. Ako ove dvije pojave nemaju zajednički izvor (npr.implicitno oslanjanje na strukturalnu kontrakciju, kako tvrdi Zardini 2011), ne treba imati ništa objektivno neujednačeno u prihvaćanju jednog izgleda po nominalnoj vrijednosti, dok drugog odbacuje kao varljivog. (Za raspravu o filozofskom pitanju ovdje, primijenjenom na drugačiju klasu paradoksa, pogledajte razmjenu u Smithu 2000 i Priest 2000.)
Ako je to tačno, desideratum kojim se generalizirani Curry paradoksi rješavaju ravnomjerno ne treba razlikovati između različitih logički revizijskih rješenja koja su istražena. Oni uključuju sljedeće tri mogućnosti:
Moglo bi se smatrati da samo princip P1 ne uspije kada je (odot \ alpha) instanciran kao (lnot \ alpha) (da dobije paradoks negacije), dok samo P2 ne uspijeva kada ((odot \ alpha) se primjenjuje kao (alfa { rightarrow} pi) (da dobijemo Curry paradoks). U tom pristupu, ECQ i Cont propadaju, dok se Red i MP drže (Priest 1994, 2006).
Moglo bi se smatrati da sam P2 ne uspijeva za obje instance (odot). U ovom pristupu, Red i Cont propadaju, dok ECQ i zastupnici drže (Field 2008; Zardini 2011).
Moglo bi se smatrati da sam P1 ne uspijeva za obje instance (odot). U tom pristupu, ECQ i MP ne uspijevaju, dok se Red i Cont drže (Beall 2015; Ripley 2013).
Tako bi se, na primjer, Priestov vlastiti pristup računao kao rješavanje Curryjevog paradoksa, a Lido paradoks ravnomjerno qua primjere generaliziranog Curry paradoksa. To bi bio slučaj unatoč činjenici da svećenik Liar rečenice ocjenjuje istinitim i lažnim, dok odbacuje tvrdnju da su Curry kazne istinite.
U svakom slučaju, Curryjev paradoks izaziva izazove u vezi s pitanjem kakve uniformnosti treba tražiti rješenja različitih paradoksa (vidi također Zardini 2015). Sam svećenik skreće pozornost na neke vrste paradoksa uže od generaliziranih Curry paradoksa, vrste čiji slučajevi uključuju paradoks negacije, ali isključuju Curryjev paradoks. Ovu vrstu je odabrala svećenička shema „Uključivanje“(2002); vidi unos na samo referencu. Jedan spor koji se vodi oko toga može li postojati verzija Curryjevog paradoksa koji se smatra „paradoksom inkluzije“, premda se opire Priestovu jedinstvenom dijaletičkom rješenju za takve paradokse (vidjeti razmjenu u Beall 2014b, Weber i sur. 2014, i Beall 2014a, kao i Pleitz 2015).
6. Curry valjanosti
Posljednje desetljeće (od datuma ove verzije ovog unosa) svjedočilo je procvatu pažnje Curryja, a možda posebice onome što se naziva valjanošću Curry ili v-Curry paradoksa (Whittle 2004; Shapiro 2011; Beall i Murzi 2013). [29] V-Curry uključuje Curry rečenice koje se posebno pozivaju na teorijske posljedice ili odnos „valjanosti“, koristeći bilo uvjetni ili predikat koji želi izraziti odnos teorije (mathcal {T}) odnos (vdash_ \ mathcal {T}) na jeziku samog (mathcal {T}).
6.1 Vezni oblik
Za jedan oblik paradoksa v-Curryja, neka je uvjetno spomenuto u definiciji Curry rečenice (definicija 1) posljedica koja je vezivna ({ Rightarrow}). Rečenica s ({ Rightarrow}) kao njezinim glavnim operatorom treba tumačiti na taj način: "To (p) podrazumijeva (prema (mathcal {T})) da (q)". Sada dobivamo svojstvene teorijske, skupove teorijske ili istinite teorijske verzije Curryjevog paradoksa, pod uvjetom da samo što ({ Rightarrow}) ispunjava uvjete MP i Cont Curry-Paradox Lemme.
Ono što čini ovaj slučaj Curry-Paradox Lemme posebno uznemirujuće jest to što predstavlja prepreku zajedničkom odgovoru na Curry-ov paradoks, naime, slabom reakciji bez kontrakcije o kojoj je riječ u odjeljku 4.2.1. Taj je odgovor ovisio o odbacivanju pravila CP uvjetnog dokaza o jednoj premisi, jednom smjeru „teoreme dedukcije“o jednoj premisi. Ali ovo je pravilo koje se čini teško oduprijeti se posljedicama koje su posljedice (Shapiro 2011; Weber 2014; Zardini 2013). Ako je (beta) posljedica (alfa) prema odnosu teorije posljedica (mathcal {T}), gdje ova teorija ima ({ Rightarrow}) kao svoju posljedicu vezni, tada (mathcal {T}) sigurno mora sadržavati tvrdnju o posljedici (alfa { Rightarrow} beta). Isto tako, ova raznolikost Curry paradoksa predstavlja prepreku odgovorima bez odvajanja,koji zahtijevaju odbacivanje pravila MP. Ako teorija sa svojstvenom posljedicom koja povezuje sadrži i (alfa) i posljedicu uvjetnu (alfa { Rightarrow} beta), onda ona sigurno mora sadržavati i (beta). Ili se bar tako činilo. Doduše, pobornik slabog odgovora neće tvrditi da MP za ({ Rightarrow}) nezakonito gradi tranzitivnost (vidjeti odjeljak 4.2.2). Ipak, ono što se čini neizbježnim je obraćanje CP-a, pravila CCP-a, koji je drugi smjer teorema o dedukciji jedne prostorije. Ako teorija sadrži posljedicu uvjetnu (alfa { Rightarrow} beta), onda sigurno (beta) slijedi iz (alpha) prema teoriji. To bi još uvijek isključilo snažno odvraćanje odziva. Ako teorija sa svojstvenom posljedicom koja povezuje sadrži i (alfa) i posljedicu uvjetnu (alfa { Rightarrow} beta), onda ona sigurno mora sadržavati i (beta). Ili se bar tako činilo. Doduše, pobornik slabog odgovora neće tvrditi da MP za ({ Rightarrow}) nezakonito gradi tranzitivnost (vidjeti odjeljak 4.2.2). Ipak, ono što se čini neizbježnim je obraćanje CP-a, pravila CCP-a, koji je drugi smjer teorema o dedukciji jedne prostorije. Ako teorija sadrži posljedicu uvjetnu (alfa { Rightarrow} beta), onda sigurno (beta) slijedi iz (alpha) prema teoriji. To bi još uvijek isključilo snažno odvraćanje odziva. Ako teorija sa svojstvenom posljedicom koja povezuje sadrži i (alfa) i posljedicu uvjetnu (alfa { Rightarrow} beta), onda ona sigurno mora sadržavati i (beta). Ili se bar tako činilo. Doduše, pobornik slabog odgovora neće tvrditi da MP za ({ Rightarrow}) nezakonito gradi tranzitivnost (vidjeti odjeljak 4.2.2). Ipak, ono što se čini neizbježnim je obraćanje CP-a, pravila CCP-a, koji je drugi smjer teorema o dedukciji jedne prostorije. Ako teorija sadrži posljedicu uvjetnu (alfa { Rightarrow} beta), onda sigurno (beta) slijedi iz (alpha) prema teoriji. To bi još uvijek isključilo snažno odvraćanje odziva.činilo se. Doduše, pobornik slabog odgovora neće tvrditi da MP za ({ Rightarrow}) nezakonito gradi tranzitivnost (vidjeti odjeljak 4.2.2). Ipak, ono što se čini neizbježnim je obraćanje CP-a, pravila CCP-a, koji je drugi smjer teorema o dedukciji jedne prostorije. Ako teorija sadrži posljedicu uvjetnu (alfa { Rightarrow} beta), onda sigurno (beta) slijedi iz (alpha) prema teoriji. To bi još uvijek isključilo snažno odvraćanje odziva.činilo se. Doduše, pobornik slabog odgovora neće tvrditi da MP za ({ Rightarrow}) nezakonito gradi tranzitivnost (vidjeti odjeljak 4.2.2). Ipak, ono što se čini neizbježnim je obraćanje CP-a, pravila CCP-a, koji je drugi smjer teorema o dedukciji jedne prostorije. Ako teorija sadrži posljedicu uvjetnu (alfa { Rightarrow} beta), onda sigurno (beta) slijedi iz (alpha) prema teoriji. To bi još uvijek isključilo snažno odvraćanje odziva. Ako teorija sadrži posljedicu uvjetnu (alfa { Rightarrow} beta), onda sigurno (beta) slijedi iz (alpha) prema teoriji. To bi još uvijek isključilo snažno odvraćanje odziva. Ako teorija sadrži posljedicu uvjetnu (alfa { Rightarrow} beta), onda sigurno (beta) slijedi iz (alpha) prema teoriji. To bi još uvijek isključilo snažno odvraćanje odziva.
6.2 Predgovorni obrazac
Drugi oblik paradoksa v-Curryja javlja se za teoriju (mathcal {T} _V) čiji predmet uključuje odnos posljedica jedne premise (vdash _ { mathcal {T} _ {V}}) koja se pri tom nalazi u toj teoriji između rečenica na svom jeziku. [30] Neka se ovaj odnos izrazi predikatom (Val (x, y)), a pretpostavimo nadalje da postoji rečenica (chi) koja je ili (Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle)) ili je u najmanju ruku zamjena s ovim u skladu s (mathcal {T} _V). Jedan oblik v-Curry paradoksa koristi dva principa koja upravljaju (Val), koji nazivamo „odstupanjem od valjanosti“i „dokazom valjanosti“nakon Beall & Murzi (2013).
Pomoću ovih principa dobivamo sljedeći brzi argument za (vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi).
) početak {array} {rll} 1 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & \ textrm {Id} \ 2 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {2 Curry-intersupstitutivnost} \ 3 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & \ textrm {1, 2 VD} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {3 VP} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & \ textrm {4 Curry-intersupstitutivnost} \ 6 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & \ textrm { 4, 5 VD} \ \ kraj {niz})
Kao što se primjenjuje na ovaj predikatni oblik v-Curryja, odgovor slabih kontrakcija oduprijeo bi se "kontrakciji" od koraka 2 do koraka 4 odbacivanjem pravila VP, a odgovor bez odvajanja odbacio bi VD, čak i u nula- obrazac premise upotrijebljen u koraku 6. No opet, čini se da se i VP i nulta pretpostavka čine nemogućim s obzirom na namjeravanu interpretaciju predikata (Val) (Beall & Murzi 2013; Murzi 2014; Murzi & Shapiro 2015; Priest 2015; Zardini 2014). [31] Konačno, čak i ako je VD odbijen kao nezakonito uključen u tranzitivnost, ono što se čini neizbježnim je obraćanje VP-u. Ako je tako, to bi barem isključilo odlučan odgovor bez odvajanja.
Vjerojatno moćnija verzija rezonovanja v-Curryja predstavljena je u Shapiro (2013) i Field (2017: 7). Ovo obrazloženje može imati ili vezni ili predikatni oblik, ali ne ovisi o CP ili VP. Ovdje dajemo predikatni obrazac pomoću (Val). Kao što je gore, prvo izvedemo to (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) koristeći VD. S obzirom na značenje (Val), zaključak da (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) pokazuje da (Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle)) je istina, tj. da je (chi) istina. Ali ako je (chi) istina i (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), onda se čini da (pi) također mora biti istinita. Budući da odgovori slabo odvojenih (netransitivnih) odgovora na v-Curry dopuštaju izvođenje (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), ovo obrazloženje također prigovara takvim odgovorima.,
6.3 Značaj
Ako, u stvari, v-Curry paradoksi ne podliježu slabim reakcijama bez kontrakcije ili snažno odvajanju, tada je (pod pretpostavkom da se pravilo zadržava) prostor Curry-cjelovitih odgovora ograničen na jak slobodan kontrakciju i slabo odgovori bez odvojenosti. Raniji odgovori, kako je objašnjeno u odjeljku 4.2.1, uobičajeno su predstavljeni preformuliranjem modusnih komponenata (ili odvajanjem za predikat valjanosti) u podsustavnom sustavu dedukcije i odbijanjem strukturnog pravila kontrakcije sCont. Potonji odgovori, kako je objašnjeno u odjeljku 4.2.2, odbacuju strukturni princip tranzitivnosti. Iz tog razloga, paradoksi v-Curryja ponekad se poduzimaju za motiviranje substrukturalnih odnosa posljedica (npr., Barrio i sur. U budućnosti; Beall & Murzi 2013; Ripley 2015a; Shapiro 2011, 2015). [32]
Živa i opsežna rasprava o paradoksima v-Curryja rezultirala je istinskim napretkom u našem razumijevanju Curry paradoksa. Na kraju, postalo je jasno da iako v-Curry paradoksi mogu pozivati različite rezolucije od ne-v-Curry paradoksa, oni ostaju unutar istog kalupa kao generalizirani Curry paradoksi. Konkretno, u općem predlošku odjeljka 5.2 moglo bi se (odot) izraziti (bilo kao predikat ili kao vezivno) posljedica u svjetlu samog (vdash_ \ mathcal {T}). Ovo je srce v-Curryja. Kako postoje (mnogi) različiti (formalni) posljedici odnosi koji se mogu definirati nad našim jezikom (npr., Logička posljedica zbog logičkog vokabulara, epistemička posljedica zbog logičko-plus-epistemičkog rječnika, i tako dalje), postoji mnogo različitih v -Potrpi paradokse koji se mogu pojaviti. Još,prostor rješenja ovih paradoksa je prostor rješenja generaliziranih Curry paradoksa platna u ovom unosu.
Postoje, međutim, najmanje dva razloga v-Curry paradoksa koji zaslužuju zasebnu pažnju. Prvo, kao što je gore spomenuto, dvije kategorije Curry-ceovih rješenja - opcije bez kontrakcije i snažno odvajanja - pojavile su se posebno problematično u slučaju paradoksa v-Curry. Drugo, pretpostavimo da neko tretira običan Curry paradoks (teorijski svojstvo, teoretski skup ili semantički) na Curry-potpun način. Još uvijek može postojati razlog da se odgovarajući (vezni ili predikatni) v-Curry paradoks tretira na Curry-nepotpun način, možda zato što odnos teorije vidi kao posljedicu koja je pretežno uhvaćena od strane bilo kojeg veznika ili predikata na jeziku teorije (vidjeti npr. Myhill 1975; Whittle 2004). Tako,"neujednačeno" rješenje za obične Curry paradokse i njihove v-Curry kolege može - još jednom - biti motivirana nejednakost.[33]
Bibliografija
Ključni povijesni izvori
Curry, Haskell B., 1942a, „Kombinatorni temelji matematičke logike“, časopis za simboličku logiku, 7 (2): 49–64. doi: 10,2307 / 2.266.302
–––, 1942b, „Nedosljednost određenih formalnih logika“, časopis za simboličku logiku, 7 (3): 115–117. doi: 10,2307 / 2.269.292
Curry, Haskell B. i Robert Feys, 1958., Combinators Logic, svezak 1, Amsterdam: North-Holland.
Fitch, Frederic B., 1952., Simbolična logika: uvod, New York: Ronald Press Company.
Barrio, Eduardo, Lucas Rosenblatt i Diego Tajer, predstojeći, „Utvrđivanje naivne valjanosti u pristupu bez prekida“, Synthese, prvi online 1. rujna 2016. doi: 10.1007 / s11229-016-1199-5
Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199268733.001.0001
Bunder, MW, 1986, „Tautologije koje s neograničenim aksiomom razumijevanja vode u nedosljednost ili trivijalnost“, časopis za neklasičnu logiku, 3 (2): 5–12.
Burge, Tyler, 1979, „Semantički paradoks“, časopis za filozofiju, 76 (4): 169–198. doi: 10,2307 / 2.025.724
Carnap, Rudolf, 1934, "Die Antinomien und die Unvollständigkeit der Mathematik", Monatshefte für Mathematik, 41: 263–84.
–––, 1937., Logička sintaksa jezika, Amethe Smeaton (trans), London: K. Paul Trench.
Curry, Haskell B., 1930, "Grundlagen der kombinatorischen Logik (Teile I i II)", Američki časopis za matematiku, 52: 509–36, 789–834.
–––, 1950, Teorija formalne deducibility, (Matematička predavanja Notre Dame, 6), Notre Dame, IN: Sveučilište Notre Dame Press. [Curry 1950 dostupno na mreži]
–––, 1952., „O definiciji negacije fiksnim prijedlogom u referentnom računu“, časopis Symbolic Logic, 17 (2): 98–104. doi: 10,2307 / 2.266.240
Curry, Haskell B., J. Roger Hindley i Jonathan P. Seldin, 1972, Combinators Logic, svezak 2, (Studije iz logike i temelji matematike, 65), Amsterdam: North-Holland.
Field, Hartry, 2008., Spremanje istine iz Paradoxa, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199230747.001.0001
–––, 2017, „razoružavanje paradoksa valjanosti“, časopis Notre Dame of Formal Logic, 58 (1): 1–19. doi: 10,1215 / 00.294.527-3.699.865
Fitch, Frederic B., 1969, „Metoda za izbjegavanje paradoksa Curryja“, u Nicholas Rescher (ur.), Eseji u čast Carla. G. Hempel, Dordrecht: Reidel, str. 255-265.
French, Rohan, 2016, „Strukturna refleksivnost i paradoksi samo referenciranja“, Ergo, 3 (5): 113–131. doi: 10,3998 / ergo.12405314.0003.005
Goodship, Laura, 1996, "O dijaletizmu", Australski časopis za filozofiju, 74 (1): 153–161. doi: 10,1080 / 00048409612347131
Grelling, Kurt i Leonard Nelson, 1908, „Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti“, Abhandlungen der Fries'schen Schule, 2: 301–334.
Gupta, Anil i Nuel Belnap, 1993, Revizija teorija istine, Cambridge, MA: MIT Press.
Halbach, Volker i Albert Visser, 2014., "The Henkin Sentence", u knjizi Maria Manzano, Ildikó Sain i Enrique Alonso (ur.), Život i djelo Leona Henkina, (Studije u univerzalnoj logici), Cham: Springer International, pp 249-264. doi: 10,1007 / 978-3-319-09719-0_17
Hanke, Miroslav, 2013, „Implicionalno značenje analize Curriana uvjetovanog“, Povijest i filozofija logike, 34 (4): 367-380. doi: 10,1080 / 01445340.2013.812832
Hilbert, David i Paul Bernays, 1939, Grundlagen der Mathematik, svezak II, Berlin: Springer.
Humberstone, Lloyd, 2006, „Varijacije na temu Curryja“, časopis Notre Dame of Formal Logic, 47 (1): 101–131. doi: 10,1305 / ndjfl / 1143468315
Kripke, Saul A., 1975, "Pregled kontura teorije istine", časopis za filozofiju, 72 (19): 690–716. doi: 10,2307 / 2.024.634
Mares, Edwin i Francesco Paoli, 2014., "Logička posljedica i paradoksi", časopis Filozofska logika, 43 (2–3): 439–469. doi: 10,1007 / s10992-013-9268-4
Meadows, Toby, 2014., "Fiksne točke za odnose s posljedicama", Logique & Analyse, 57 (227): 333–357.
Murzi, Julien i Lorenzo Rossi, predstojeći, "Naivna valjanost", Synthese, prva mrežna mreža 27. rujna 2017. doi: 10.1007 / s11229-017-1541-6
Murzi, Julien i Lionel Shapiro, 2015., "Valjanost i očuvanje istine", u Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández i Kentaro Fujimoto (ur.), Objedinjujući filozofiju istine, Dordrecht: Springer. doi: 10,1007 / 978-94-017-9673-6_22
Myhill, John, 1975, "Razine impliciranja", u Andersonu, Marcusu i Martinu 1975: 179-185.
Nicolai, Carlo i Lorenzo Rossi, u daljnjem tekstu, „Načela objektno-jezične posljedice: od logike do nerefleksive“, časopis Filozofska logika, prvi online 20. lipnja 2017. doi: 10.1007 / s10992-017-9438-x
Pleitz, Martin, 2015., „Curryjev paradoks i shema ugradnje“, u: Pavel Arazim i Michal Dančák (ur.), Logica Yearbook 2014, London: College Publications.
Priest, Graham, 1994., "Struktura paradoksa samo referencije", Mind, 103 (409): 25–34. doi: 10,1093 / um / 103.409.25
–––, 2000, „O načelu jednoličnog rješenja: Odgovor Smitha“, Mind, 109 (433): 123–126. doi: 10,1093 / um / 109.433.123
–––, 2002, Izvan granica misli, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199254057.001.0001
–––, 2006., Kontradiction, Oxford: Oxford University Press. Prošireno izdanje (prvo objavljeno 1987.). doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199263301.001.0001
–––, 2008, Uvod u neklasičnu logiku: od If to Is, drugo izdanje, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9780511801174
Quine, WVO, 1953., “Mr. Strawson o logičkoj teoriji”, um, 62 (248): 433–451. doi: 10,1093 / um / LXII.248.433
Pročitajte, Stephen, 2001., „Samoispitivanje i valjanost ponovljena“, u Mikku Yrjönsuuri (ur.), Srednjovjekovna formalna logika, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, str. 183–196. doi: 10,1007 / 978-94-015-9713-5_7
Restall, Greg, 1993., „Kako biti doista slobodan od kontrakcije“, Studia Logica, 52 (3): 381–91. doi: 10,1007 / BF01057653
–––, 1994, o logici bez kontrakcije, doktorski rad, Sveučilište u Queenslandu. [Ponovno instaliranje 1994. dostupno na mreži]
–––, 2005., „Višestruki zaključci“, u Petr Hájek, Luis Valdés-Villanueva i Dag Westerståhl (ur.), Logika, metodologija i filozofija znanosti: Zbornik radova Dvanaestog međunarodnog kongresa, London: College Publications, pp. 189-205. [Ponovno instaliranje 2005 dostupno na mreži]
Ripley, David, 2013., „Paradoksi i neuspjesi osipa“, Australski časopis za filozofiju, 91: 139–164. doi: 10,1080 / 00048402.2011.630010
Rogerson, Susan, 2007, „Prirodna dedukcija i Curryjev paradoks“, časopis Filozofska logika, 36 (2): 155–179. doi: 10,1007 / s10992-006-9032-0
Rogerson, Susan i Greg Restall, 2004., "Ruti do trivijalnosti", časopis za filozofsku logiku, 33 (4): 421–436. doi: 10,1023 / B: LOGI.0000036853.44128.8f
Rosenblatt, Lucas, 2017, „Naivna valjanost, internalizacija i supstrukcijski pristup paradoksu“, Ergo, 4 (4): 93–120. doi: 10,3998 / ergo.12405314.0004.004
Seldin, Jonathan P., 2006., "Logika curryja i crkve", u Dov M. Gabbay i John Woods (ur.), Priručnik povijesti logike, svezak 5: Logika od Russell-a do crkve, Amsterdam: Elsevier, pp 819–873.
Simmons, Keith, 1993, Univerzalnost i laž: Esej o istini i dijagonalnom argumentu, Cambridge: Cambridge University Press.
Slaney, John, 1989., “RWX in Not Curry Paconsistent”, u Graham Priest, Richard Routley i Jean Norman (ur.), Paraconsistent Logic: Essays on the непоследоваran, München: Philosophia, pp. 472–480.
–––, 1990, „Opća logika“, Australski časopis za filozofiju, 68 (1): 74–88. DOI: 10,1080 / 00048409012340183
Smith, Nicholas JJ, 2000, "Načelo ujednačenog rješenja (paradoksa samo-reference)", Mind, 109 (433): 117–122. doi: 10,1093 / um / 109.433.117
Tajer, Diego i Federico Pailos, 2017, „Validnost u dijaleheističkom okviru“, Logique & Analyse, 60 (238): 191–202.
van Benthem, Johan, 1978., „Četiri paradoksa“, časopis za filozofsku logiku, 7 (1): 49–72. doi: 10,1007 / BF00245920
Wansing, Heinrich i Graham Priest, 2015., "Vanjske znatiželje", časopis Filozofske logike, 44 (4): 453–471. doi: 10,1007 / s10992-014-9336-4
–––, 2015, „Dobivanje jednog za dvoje ili loše postupanje izvođača“. Prema jedinstvenom rješenju semantičkih paradoksa “, u Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández i Kentaro Fujimoto (ur.), Objedinjujući filozofiju istine, Dordrecht: Springer. doi: 10,1007 / 978-94-017-9673-6_23
Akademske alate
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.
