Video: Definicije trigonometrijskih funkcija 01 2023, Ožujak
Ulazna navigacija
Sadržaj unosa
Bibliografija
Akademske alate
Prijatelji PDF pregled
Podaci o autoru i citiranju
Povratak na vrh
definicije
Prvo objavljeno: 10. travnja 2008; suštinska revizija pon. travnja 2015
Definicije su zanimale filozofe od davnina. Platonovi rani dijalozi prikazuju Sokrata koji postavlja pitanja o definicijama (npr. U eutifru, "Što je pobožnost?") - pitanja koja izgledaju duboko i neuhvatljivo. Ključni korak Anselmovog „ontološkog dokaza“za postojanje Boga je definicija „Boga“, a isto je i s Descartesovom verzijom argumentacije u njegovoj Meditaciji V. U novije vrijeme Frege-Russel-ova definicija broja i Tarski-ova definicija istine imali su formativan utjecaj na širok spektar suvremenih filozofskih rasprava. U svim tim slučajevima - i mnogi se drugi mogu navesti - nisu samo raspravljane o određenim definicijama; raspravljalo se i o prirodi i zahtjevima za definicijama. Neke od ovih rasprava mogu se riješiti odgovarajućim razlikovanjem,definicije nisu sve vrste: definicije služe raznim funkcijama, a njihov opći karakter varira od funkcije. Neke druge rasprave, međutim, nisu tako lako riješiti, jer uključuju sporne filozofske ideje poput suštine, pojma i značenja.
1. Neke sorte definicije
1.1 Realne i nominalne definicije
1.2 Rječnik definicija
1.3 Stipulativne definicije
1.4 Opisne definicije
1.5 Eksplikativne definicije
1.6 Ostroge definicije
1.7 Primjedba
2. Logika definicija
2.1 Dva kriterija
2.2. Temelji tradicionalnog računa
2.3 Konzervativnost i mogućnost uklanjanja
2.4 Definicije u normalnom obliku
2.5 Implicitne definicije
2.6 Načelo začaranog kruga
2.7 Kružne definicije
Bibliografija
Akademske alate
Ostali internetski resursi
Povezani unosi
1. Neke sorte definicije
Obični diskurs prepoznaje nekoliko različitih stvari kao moguće predmete definicije, a on prepoznaje i nekoliko vrsta aktivnosti kao definiranje neke stvari. Da bismo dali nekoliko primjera, govorimo o povjerenstvu koje definira granicu između dvije nacije; Vrhovnog suda koji svojim presudama definira "osobu" i "građanina"; kemičara koji otkriva definiciju zlata i leksikografa definicije "cool"; sudionika u raspravi kao definiranja sporne točke; i matematičara koji je odredio definiciju "grupe". Ovdje su različite definicije različite vrste stvari: granica, pravni status, supstanca, riječ, teza i apstraktna vrsta. Štoviše, sve različite definicije nemaju isti cilj: granična komisija može nastojati postići preciznost; vrhovni sud, pravednost;kemičar i leksikograf, točnost; rasprava, jasnoća; a matematičar plodnost. Standardi po kojima se određuje definicija mogu biti različiti od slučaja do slučaja. Različite definicije mogu se podvesti pod aristotelovsku formulu da definicija daje suštinu neke stvari. Ali ovo samo naglašava činjenicu da "dati suštinu stvari" nije unitarna vrsta aktivnosti.
I u filozofiji je često u igri nekoliko različitih vrsta definicija, a definicije mogu služiti raznim funkcijama (npr. Radi poboljšanja preciznosti i jasnoće). Ali u filozofiji su i pozicije definirane tako da igraju vrlo prepoznatljivu ulogu: onu rješavanja epistemoloških problema. Primjerice, epistemološki status matematičkih istina stvara problem. Immanuel Kant mislio je da su te istine a priori sintetičke, a kako bi objasnio njihov status, ponudio je teoriju prostora i vremena, naime, prostora i vremena kao oblika, odnosno vanjskog i unutarnjeg smisla. Gottlob Frege i Bertrand Russell nastojali su potkopati Kantovu teoriju tvrdeći da su aritmetičke istine analitičke. Preciznije, pokušali su izgraditi aritmetičke principe iz definicija aritmetičkih pojmova,koristeći samo logičke zakone. Da bi projekt Frege-Russell uspio, korištene definicije moraju imati poseban karakter. Moraju biti pojmovne ili eksplikativne o značenju; oni ne mogu biti sintetski. Upravo je ovakva definicija u prošlom stoljeću izazvala najviše interesa i najviše kontroverzi. Upravo će ova naša definicija biti naša glavna briga. Započnimo označavanjem nekih preliminarnih, ali važnih razlika. Započnimo označavanjem nekih preliminarnih, ali važnih razlika. Započnimo označavanjem nekih preliminarnih, ali važnih razlika.
1.1 Realne i nominalne definicije
John Locke je u svom Eseju razlikovao "stvarnu suštinu" od "nominalne suštine". Nominalna suština, prema Lockeu, je "apstraktna ideja kojoj je Ime pripojeno (III.vi.2)." Dakle, nominalna suština imena "zlato", rekao je Locke, "je ona složena ideja, za koju se zalaže zlato, neka to bude, na primjer, Tijelo žuto, određene težine, popravljivo, topljivo i fiksirano." Suprotno tome, stvarna suština zlata je "sastav neosjetljivih dijelova tog Tijela, o kojima ovise te Kvalitete [spomenute u nominalnoj suštini] i sva ostala svojstva zlata (III.vi.2)." Grubi način označavanja razlike između stvarne i nominalne definicije je reći, slijedeći Lockea, da prva navodi stvarnu suštinu, dok druga navodi nominalnu suštinu. Kemičar cilja na stvarnu definiciju,dok leksikograf ima za cilj nominalno definiranje.
Ova karakterizacija ove razlike je gruba jer bi zoološka definicija "tigra" trebala računati kao stvarna definicija, iako može pružiti "sastav neosjetljivih dijelova" tigra. Nadalje, prikaz značenja riječi trebao bi se smatrati nominalnom definicijom, iako možda neće imati lockeanski oblik postavljanja "apstraktne ideje kojoj je ime pripojeno". Možda je korisno naznačiti razliku između stvarnih i nominalnih definicija na taj način: da bi se otkrila stvarna definicija pojma (X) treba istražiti stvar ili stvari označene sa (X); da bi se otkrila nazivna definicija, treba istražiti značenje i uporabu (X). Da li potraga za odgovorom na sokratsko pitanje "Što je vrlina?" potraga za stvarnom definicijom ili potraga za nominalnom definicijom ovisi o nečijem poimanju ove konkretne filozofske djelatnosti. Kada se bavimo sokratskim pitanjem, pokušavamo li steći jasniji uvid u naše uporabe riječi "vrlina" ili pokušavamo objasniti ideal koji je u određenoj mjeri neovisan o tim uporabama? Prema dosadašnjoj koncepciji, ciljamo na nominalnu definiciju; pod ovo drugo, u stvarnoj definiciji.ciljamo na nominalnu definiciju; pod ovo drugo, u stvarnoj definiciji.ciljamo na nominalnu definiciju; pod ovo drugo, u stvarnoj definiciji.
Za kritičku raspravu o različitim aktivnostima koje su obuhvaćene "stvarnom definicijom", pogledajte Robinson 1950. Za drevne poglede na definicije pogledajte eseje iz Charlesa 2010.
1.2 Rječnik definicija
Nominalne definicije - definicije koje objašnjavaju značenje pojma - nisu sve iste vrste. Rječnik objašnjava značenje pojma, u jednom smislu ove fraze. Rječnici imaju za cilj pružiti definicije koje sadrže dovoljno informacija za razumijevanje izraza. Činjenica je o nama jezičnim korisnicima da nekako razumijemo i koristimo potencijalnu beskonačnost rečenica koje sadrže pojam nakon što nam se pruži određena mala količina informacija o ovom izrazu. Točno kako se to događa velika je misterija. Ali to se i događa, a rječnici iskorištavaju činjenicu. Imajte na umu da unosi u rječnik nisu jedinstveni. Različiti rječnici mogu dati različite dijelove informacija, a opet su jednako učinkoviti u objašnjavanju značenja pojmova.
Definicije koje traže filozofi nisu takve vrste koje se nalaze u rječniku. Fregeova definicija broja (1884) i Alfred Tarski definicija istine (1983, pogl. 8) nisu ponuđeni kao kandidati za unose u rječnik. Kad epistemolog traži definiciju "znanja", ona ne traži dobar unos u rječnik za riječ "znati". Filozofska potraga za definicijom ponekad se plodno može okarakterizirati kao traženje objašnjenja značenja. No, smisao 'objašnjenja značenja' ovdje se vrlo razlikuje od smisla u kojem rječnik objašnjava značenje riječi.
1.3 Stipulativne definicije
Proračunska definicija pridaje značenje definiranom pojmu i ne uključuje nikakvu obvezu da se dodijeljeno značenje slaže s prethodnom upotrebom termina (ako postoji). Stipulativne definicije su epistemološki posebne. Donose presude s epistemološkim karakteristikama koje su drugdje zagonetne. Ako neko odredbeno definira „raimex“kao, recimo, racionalan, maštovit, doživljavajući to biće, tada je presuda „raimex su racionalni“sigurna da je neophodna, izvjesna i a priori. Filozofi su smatrali primamljivim objasniti zbunjujuće slučajeve npr. Aprioričnosti žalbom na propisane definicije.
Saul Kripke (1980) skrenuo je pozornost na posebnu vrstu propisivačke definicije. Uvjetno možemo uvesti novo ime (npr. "Jack the Ripper") kroz opis (npr., "Čovjek koji je ubio (X, Y) i (Z)"). U takvoj odredbi, istaknuo je Kripke, opis služi samo da popravi referencu novog imena; ime nije sinonim za opis. Jer, presuda
(1) Jack the Ripper je čovjek koji je ubio (X, Y) i (Z), ako je jedinstveni čovjek počinio ubojstva
uvjetan je iako presuda
Jack the Ripper je Jack the Ripper, ako je jedinstveni čovjek počinio ubojstva
potrebno je. Naziv poput "Jack the Ripper", tvrdio je Kripke, krut je: odabere istog pojedinca iz svih mogućih svjetova; opis, s druge strane, nije krut. Kripke je upotrijebio takve odredbe za utvrđivanje referenci kako bi tvrdio postojanje nepredviđenih a priori istina (1) kao primjer. Propisne definicije koje se mogu utvrditi mogu se dati ne samo za imena, već i za pojmove u drugim kategorijama, npr. Uobičajene imenice.
Pogledajte Frege 1914 za obranu strogog stava da bi, barem u matematici, trebalo suprotstaviti samo odredbene definicije. [1]
1.4 Opisne definicije
Deskriptivne definicije, poput odrednica, ispisuju značenje, ali također imaju za cilj biti primjerene postojećoj upotrebi. Kad filozofi nude definicije, npr. "Znati" i "slobodno", one nisu odredbe: nedostatak uklapanja u postojeću upotrebu prigovor im je.
Korisno je razlikovati tri stupnja opisne adekvatnosti definicije: ekstenzijsku, intenzivnu i osjetilnu. Definicija je ekstenzivno odgovarajuća ako nema stvarnih suprotnih primjera; snažno je primjeren ako nema mogućih kontra primjera; i smisleno je (ili analitički) ako daje definiran pojam pravim smislom. (Posljednji stupanj same adekvatnosti dijeli u različite pojmove, za „smisao” može biti napisane na nekoliko različitih načina.) Definicija „Voda je H 2 O”, na primjer, je intensionally adekvatna, jer je identitet vode i H 2O je potrebno (pod pretpostavkom da je Kripke-Putnam pogled na krutost prirodnih vrsta); definicija je, prema tome, i ekstenzijski odgovarajuća. Ali, to nije smisao-adekvatna, za osjećaj „vode” uopće nije isti kao onaj „H 2 O”. Definicija "George Washington prvi je predsjednik Sjedinjenih Država" primjerena je samo ekstenzivno, ali ne i u druga dva razreda, dok "čovjek je životinja koja se smije" nije dovoljna u sva tri razreda. Kad se definicije stave na epistemološku upotrebu, intenzivna adekvatnost općenito nije dovoljna. Takve definicije ne mogu potkrijepiti racionalnost ili aprioričnost problematične teme.
Vidi Quine 1951 i 1960 za skepticizam u pogledu analitičkih definicija; vidi također zapis o analitičkom / sintetičkom razlikovanju. Horty 2007 nudi neke načine razmišljanja o osjetilima definiranih izraza, posebno unutar fregeanske semantičke teorije.
1.5 Eksplikativne definicije
Ponekad se definicija ne nudi ni opisno ni odredbeno, već kao, kako to, kao objašnjenje Rudolf Carnap (1956., §. 2). Eksplikacija ima za cilj poštivanje nekih središnjih upotreba termina, a na druge je odredba. Objašnjenje se može ponuditi kao apsolutno poboljšanje postojećeg, nesavršenog koncepta. Ili, on se može ponuditi kao "dobra stvar za značenje" pojmom u specifičnom kontekstu za određenu svrhu. (Citirana fraza dolazi zbog Alana Rossa Andersona; vidjeti Belnap 1993, 117.)
Jednostavna ilustracija objašnjenja pružena je definicijom poredanog para u teoriji skupova. Ovdje je par (langle x, y \ rangle) definiran kao skup ({ {x }, {x, y } }). Gledano kao eksplikacija, ova definicija ne želi obuhvatiti sve aspekte antidendenskog korištenja 'naređenog para' u matematici (i u svakodnevnom životu); umjesto toga, cilj je obuhvatiti osnovne svrhe. Bitna činjenica u vezi s našim korištenjem 'naručenih para' je da se njime upravlja princip da su parovi identični ako su njihove komponente identične:
) langle x, y \ rangle = \ langle u, v \ rangle \ text {iff} x = u \ amp y = v.)
I može se potvrditi da gornja definicija zadovoljava načelo. Definicija ima neke posljedice koje se ne podudaraju s uobičajenim pojmom. Na primjer, definicija podrazumijeva da je objekt (x) član para para (langle x, y \ rangle), a ta implikacija nije dio uobičajenog pojma. Ali neusklađenost nije prigovor na objašnjenje. Ono što je važno za eksplikaciju nije antecedentno značenje, već funkcija. Sve dok se potonji sačuva, prvo se može pustiti. Upravo je ovo svojstvo eksplikacije navelo WVO Quine (1960, §53) da uzvisi svoje vrline i pridržava se definicije "uređenog para" kao filozofske paradigme.
Uvjetno-funkcionalni uvjet pruža još jednu ilustraciju objašnjenja. Taj se uvjet u nekim bitnim aspektima razlikuje od običnog uvjetnog. Ipak, uvjet funkcionalnog uvjeta može se u određenim kontekstima predstaviti kao eksplikacija uobičajenog uvjetovanog za određene svrhe. Da li je prijedlog adekvatan, presudno ovisi o predmetnim svrhama i kontekstima. Razumijevanje dva uvjeta u važnim, čak i bitnim aspektima ne prijedlog automatski diskvalificira.
1.6 Ostroge definicije
Opsežne definicije obično ovise o kontekstu i iskustvu. Pretpostavimo da razgovorni kontekst čini jednog psa istaknutim među nekoliko vidljivih. Tada se ime „Freddie“može unijeti pod odredbom „neka je Freddie ovaj pas.“Još jedan primjer, pretpostavimo da gledate granu grma i uvjetno unosite naziv Charlie na taj način: "neka Charlie bude insekt na toj grani." Ova definicija može navesti referenca na “Charlieja” čak i ako na grani ima mnogo insekata. Ako vam vaše vizualno iskustvo predstavlja samo jednog od tih insekata (recimo zato što su ostali premali da bi bili vidljivi), tada je taj insekt oznaka vaše upotrebe opisa "insekt na toj grani". Možemo misliti o iskustvu kao predstavljanju teme s ograničenim dijelom svijeta. Ovaj dio može poslužiti kao točka ocjenjivanja izraza u oštroj definiciji.[2] Prema tome, definicija može uz pomoć iskustva referenta na definirani pojam kada bez te pomoći to ne bi učinila. U ovom primjeru opis "insekt na toj grani" ne označava se kad se ocjenjuje u svijetu kao cjelini, već se označava kad se ocjenjuje na onom njegovom dijelu koji je predstavljen u vašem vizualnom iskustvu. Pogledajte Gupta 2019 za prikaz doprinosa iskustva značenju ostenički definiranog pojma.
Osjetljiva definicija može donijeti bitno obogaćivanje jezika. Osetljiva definicija "Charlieja" jezik obogaćuje imenom određenog insekta, a moglo bi biti i da je prije obogaćivanja jezik imao resursa koji bi ga mogli označiti. Za razliku od drugih poznatih definicija, osteničke definicije mogu uvesti pojmove koji su nedodirljivi. (Dakle, osteinske definicije ne mogu udovoljiti niže opisanom kriteriju Eliminabilnosti; mogu ispuniti i kriterij Konzervativnosti, također objašnjen u nastavku.)
Kapacitet osteničkih definicija za uvođenje bitno novog vokabulara doveo je do toga da neki mislioci gledaju na njih kao na izvor svih primitivnih pojmova. Dakle, Russell u ljudskom znanju to drži
sve nominalne definicije, ako su dovoljno odgurnute, moraju u konačnici dovesti do izraza koji imaju samo ostenske definicije, a u slučaju empirijske znanosti empirijski pojmovi moraju ovisiti o terminima kojih ostenička definicija daje u percepciji. (str. 242)
CH Whiteley u "Značenju i osjetljivoj definiciji" uzima kao pretpostavku da su oštre definicije "sredstvo kojim muškarci uče značenja većine, ako ne i svih, onih elementarnih izraza na svom jeziku u smislu kojih su definirani drugi izrazi.” (332) Treba, me notedutim, napomenuti da ništa u logici i semantika ostenskih definicija ne jamči fundamentalističku sliku pojmova ili učenje jezika. Takve utemeljiteljske slike Ludwig Wittgenstein odlučno je kritizirao u svojim Filozofskim istraživanjima. Međutim, Wittgensteinovi pozitivni pogledi na osteničnu definiciju ostaju neizbježni; za tumačenje vidi Hacker 1975.
Opsežne su definicije važne, ali naše razumijevanje istih ostaje na rudimentarnoj razini. Oni zaslužuju veću pažnju logičara i filozofa.
1.7 Primjedba
Vrste u koje smo razvrstali definicije nisu međusobno isključive niti iscrpne. Proračunska definicija pojma može, ako se dogodi, biti primjereno ekstenzivna upotrebi termina. Rječnik može ponuditi oštre definicije nekih riječi (npr., Riječi u boji). Ostenske definicije također mogu biti eksplikativne. Na primjer, može se ponuditi poboljšanje već postojećeg koncepta "jedna noga" na taj način: "neka stopalo bude sadašnja duljina tog štapa." U svojoj ranijoj uporabi koncept "jednom nogom" može biti prilično nejasan; ostencijalno uvedena eksplikacija može, nasuprot tome, biti relativno precizna. Štoviše, kao što ćemo vidjeti u nastavku, postoje i druge vrste definicija od dosad razmatranih.
2. Logika definicija
Mnoge definicije - odredbene, opisne i eksplikativne - mogu se analizirati u tri elementa: izraz koji je definiran ((X)), izraz koji sadrži definirani pojam ((ldots X \ ldots)) i drugi izraz ((- - - - - - -)) koji se definicijom izjednačava s ovim izrazom. Takve se definicije mogu tako prikazati:
) tag {2} X: \ ldots X \ ldots \ eqdf - - - - - - -.)
(Postavljamo izvanredne definicije koje očito zahtijevaju bogatije predstavljanje.) Kada je definirani pojam jasan iz konteksta, reprezentacija se može pojednostaviti na
) ldots X \ ldots \ eqdf - - - - - - -.)
Izraz na lijevoj strani '(eqdf)' (tj. (Ldots X \ ldots)) je definicija definicije, a izraz na desnoj strani je njegov defens - za pretpostaviti je da definicija i definien pripadaju istoj logičkoj kategoriji. Obratite pažnju na razliku između definiranog pojma i definicije: definirani pojam u ovom primjeru je (X); definicija je neodređeni izraz na lijevoj strani '(eqdf)', koji može ili ne mora biti identičan (X). (Neki autori nazivaju definirani pojam 'definicijskim' neki drugi upotrebljavaju izraz zbunjeno, ponekad se odnose na definirani pojam, a ponekad na odgovarajući definiciju.) Nisu sve definicije pronađene u logičkoj i filozofskoj literaturi u skladu s shemom (2), Na primjer, djelomične definicije su izvan sheme;Drugi primjer daju definicije logičkih konstanta u smislu pravila uvođenja i uklanjanja koja njima upravljaju. Bez obzira na to, definicije koje u skladu sa stavkom (2) su najvažnije, i one će nam biti glavna briga.
Usredotočimo se na deklarativne definicije i razmislimo o njihovoj logici. Neke od važnih lekcija ovdje prenose, kako ćemo vidjeti, opisne i eksplikativne definicije. Radi jednostavnosti, razmotrimo slučaj u kojem jedna definicija uvjetno uvodi pojam. (Višestruke definicije donose notnu složenost, ali ne postavljaju nova konceptualna pitanja.) Pretpostavimo, dakle, da se jezik (L), osnovni jezik, proširi dodavanjem novog izraza (X) proširenom jeziku (L ^ {+}), gdje je (X) odredbeno definiran definicijom (mathcal {D}) oblika (2). Koja logička pravila upravljaju (mathcal {D})? Koje zahtjeve mora ispunjavati definicija?
Prije nego što se pozabavimo tim pitanjima, uzmimo u obzir razliku koja nije označena u logičkim knjigama, ali koja je korisna za razmišljanje o definicijama. U jednoj vrsti definicije nazovite je homogenom definicijom - definirani pojam i definicija spadaju u istu logičku kategoriju. Dakle, singularni se pojam definira kroz pojedinačni izraz; opći izraz putem općeg pojma; rečenica putem rečenice; i tako dalje. Recimo da je homogena definicija pravilna ako je njezin definicija istovjetna definiranom pojmu. Evo nekoliko primjera pravilnih homogenih definicija:
) tag {3} početak {poravnati *} 1: 1 & \ eqdf \ tekst {nasljednik} 0, \\ \ tekst {čovjek}: \ tekst {čovjek} & \ eqdf \ tekst {racionalna životinja}, \\ \ tekst {Istina}: \ tekst {Istina} & \ eqdf \ tekst {sve je identično samo sebi}. \ End {align *})
Imajte na umu da "Istina", kako je gore definirano, spada u kategoriju rečenica, a ne u izraz jednine.
Ponekad se kaže da su definicije puki recepti za kratice. Dakle, Alfred North Whitehead i Bertrand Russell kažu za definicije - posebno one korištene u Principia Mathematica - da su "strogo govoreći, tipografske pogodnosti (1925, 11)." Ovo gledište ima uvjerljivost samo za redovne homogene definicije - iako to nije stvarno održivo čak ni ovdje. (Whitehead i Russell vlastite primjedbe biti jasno da njihove definicije više od pukog „tipografske komfor.” [3]) Ideja koja definicije su samo kratice uopće nije uvjerljivo za drugu vrstu definicije, kojima Okrenimo se sada, U drugoj vrsti definicije - nazovite to heterogenom definicijom - definirani pojam i definicija pripadaju različitim logičkim kategorijama. Tako se, na primjer, općeniti pojam (npr. "Čovjek") može definirati korištenjem sentencijalnog definicija (npr., "(X) je čovjek"). U drugom primjeru, pojedinačni izraz (npr. '1') može se definirati pomoću predikata (npr., 'Je identičan 1'). Heterogene definicije daleko su češće od homogenih. Na primjer, u poznatim jezicima prvog reda besmisleno je definirati, recimo, predikat na jednom mjestu (G) homogenom definicijom. Ovi jezici nemaju resursa za formiranje složenih predikata; prema tome, definicije homogene definicije (G) moraju biti atomske. Međutim, u heterogenoj definiciji, definici mogu lako biti složeni; na primjer,) tag {4} Gx \ eqdf x \ gt 3 \ amp x \ lt 10.)
Ako jezik ima uređaj za apstrakciju - npr. Za oblikovanje skupova - mogli bismo dati različitu vrstu heterogene definicije (G):
) tag {5} text {skup od} G G text {s} eqdf \ text {skup brojeva između 3 i 10.})
Primijetite da heterogena definicija poput (4) nije puka kratica. Jer, da jest, izraz (x) u njemu ne bi bio istinska varijabla, a definicija ne bi dala smjernice o ulozi (G) u kontekstima koji nisu (Gx). Štoviše, ako bi takve definicije bile kratice, na njih bi se primjenjivao zahtjev da definiendum mora biti kraći od definiranog, ali takav zahtjev ne postoji. S druge strane, istinski zahtjevi definicija imali bi malo smisla. Sljedeća odredba nije legitimna definicija:
) tag {6} Gx \ eqdf x \ gt y \ amp x \ lt 10.)
Ali ako se promatra kao puka kratica, u tome nema ničega nelegitimnog.
Neke odredbene definicije nisu ništa drugo nego kratki uređaji (npr. Definicije koje reguliraju izostavljanje zagrada u formulama; vidi Church 1956, §11). Međutim, mnoge odredbene definicije nisu takve vrste; uvode smislene stavke u naš diskurs. Prema tome, definicija (4) čini (G) smisleni uninarni predikat: (G) izražava, zahvaljujući (4), određeni pojam. Suprotno tome, pod odredbom (6), (G) nije smisleni predikat i ne izražava nijedan pojam. Ali koji je izvor razlike? Zašto je (4) legitimno, ali ne (6)? Općenitije, kada je definicija zakonita? Koje zahtjeve moraju ispuniti definirani? I, u vezi s tim, definicija? Mora li definicija biti, na primjer, atomska, kao u (3) i (4)? Ako ne, koja su ograničenja (ako ih ima) na definiciji?
2.1 Dva kriterija
Vjerojatno je potrebno u svakom odgovoru na ta pitanja poštovati dva kriterija. [4] Prvo, odredbena definicija ne bi nam trebala omogućiti da uspostavimo suštinski nove tvrdnje - to nazivamo kriterijem konzervativnosti. Ne bismo se mogli samo pukim ugovorom uspostaviti nove stvari o, primjerice, mjesecu. Istina je da, osim ako je ovaj kriterij precizan, podložan je trivijalnim suprotnim primjerima, jer uvođenje definicije materijalno utječe na neke činjenice. Bez obzira na to, kriterij se može precizno odrediti i braniti te ćemo uskoro vidjeti neke načine postupanja.
Drugo, definicija bi trebala popraviti upotrebu definiranog izraza (X) - nazvati to kriterijem Upotreba. Ovaj je kriterij vjerodostojan, jer postoji samo definicija - i ništa drugo - za usmjeravanje u korištenju (X). Međutim, ovdje postoje komplikacije. Što se smatra upotrebom (X)? Jesu li uključene pojave u opsegu 'reći' i 'znati'? Što je s pojavom (X) unutar konteksta citata i onih unutar riječi, na primjer, "Ksenofani"? Posljednje pitanje trebalo bi dobiti, jasan je, odgovor: "Ne." Ali odgovori na prethodna pitanja nisu toliko jasni. Postoji još jedna komplikacija: čak i ako možemo nekako odvojiti stvarne pojave (X), definicija može s pravom ignorirati neke od tih pojava. Na primjer,definicija kvocijenta može ostaviti neke pojave termina nedefiniranim (npr. gdje postoji podjela s 0). Pravoslavni je stav da takve definicije budu nelegitimne, ali ovdje je zasluženo da se pravoslavlje ospori. Ostavimo, međutim, izazov drugoj prilici i krenimo zaobići komplikacije idealizacijom. Ograničimo se prizemnim jezicima koji imaju jasno određenu logičku strukturu (npr. Jezik prvog reda) i koji ne sadrže pojave definiranog pojma (X). I ograničimo se na definicije koje ne ograničavaju legitimne pojave (X). Kriterij Use sada diktira da bi definicija trebala popraviti upotrebu svih izraza u proširenom jeziku u kojem se pojavljuje (X). Pravoslavni je stav da takve definicije budu nelegitimne, ali ovdje je zasluženo da se pravoslavlje ospori. Ostavimo, međutim, izazov drugoj prilici i krenimo zaobići komplikacije idealizacijom. Ograničimo se prizemnim jezicima koji imaju jasno određenu logičku strukturu (npr. Jezik prvog reda) i koji ne sadrže pojave definiranog pojma (X). I ograničimo se na definicije koje ne ograničavaju legitimne pojave (X). Kriterij Use sada diktira da bi definicija trebala popraviti upotrebu svih izraza u proširenom jeziku u kojem se pojavljuje (X). Pravoslavni je stav da takve definicije budu nelegitimne, ali ovdje je zasluženo da se pravoslavlje ospori. Ostavimo, međutim, izazov drugoj prilici i krenimo zaobići komplikacije idealizacijom. Ograničimo se prizemnim jezicima koji imaju jasno određenu logičku strukturu (npr. Jezik prvog reda) i koji ne sadrže pojave definiranog pojma (X). I ograničimo se na definicije koje ne ograničavaju legitimne pojave (X). Kriterij Use sada diktira da bi definicija trebala popraviti upotrebu svih izraza u proširenom jeziku u kojem se pojavljuje (X). Ograničimo se prizemnim jezicima koji imaju jasno određenu logičku strukturu (npr. Jezik prvog reda) i koji ne sadrže pojave definiranog pojma (X). I ograničimo se na definicije koje ne ograničavaju legitimne pojave (X). Kriterij Use sada diktira da bi definicija trebala popraviti upotrebu svih izraza u proširenom jeziku u kojem se pojavljuje (X). Ograničimo se prizemnim jezicima koji imaju jasno određenu logičku strukturu (npr. Jezik prvog reda) i koji ne sadrže pojave definiranog pojma (X). I ograničimo se na definicije koje ne ograničavaju legitimne pojave (X). Kriterij Use sada diktira da bi definicija trebala popraviti upotrebu svih izraza u proširenom jeziku u kojem se pojavljuje (X). Kriterij Use sada diktira da bi definicija trebala popraviti upotrebu svih izraza u proširenom jeziku u kojem se pojavljuje (X). Kriterij Use sada diktira da bi definicija trebala popraviti upotrebu svih izraza u proširenom jeziku u kojem se pojavljuje (X).
Varijanta formulacije kriterija Use je sljedeća: definicija mora popraviti značenje definienduma. Nova formulacija manje je određena i sadržajnija, jer se oslanja na "smisao", dvosmislen i teoretski sporan pojam.
Imajte na umu da dva kriterija upravljaju svim odredbama definicije, bez obzira jesu li jednostruke ili višestruke ili jesu li forme (2) ili ne.
2.2. Temelji tradicionalnog računa
Tradicionalni prikaz definicija temelji se na tri ideje. Prva ideja je da su definicije uopćeni identiteti; drugo, da je osjetilo primarno; i treće, smanjenje. Prva ideja - da su definicije generalizirani identiteti - motivira tradicionalna pravila za obračunavanje definicija. To su, grubo rečeno, da (i) bilo koja pojava definicije može se zamijeniti pojavom definicija (Generalizirano uklanjanje definicija); i, obrnuto, (ii) svako pojavljivanje definicija može se zamijeniti pojavom definiranduma (Generalizirani uvod definicije).
Druga ideja - primat osjetilnog - ima svoje korijene u mišljenju da su temeljne uporabe pojma u tvrdnji i argumentu: ako razumijemo uporabu određenog pojma u tvrdnji i argumentu, tada ga u potpunosti shvaćamo. Osuda je, međutim, glavna u argumentima i tvrdnjama. Stoga, za objašnjenje upotrebe definiranog pojma (X), druga se ideja održava, potrebno je i dovoljno objasniti uporabu predmeta koji sadrže smisla koji sadrže (X). (Pod razumnim stavkama se ovdje podrazumijevaju rečenice i rečenice slične stvarima sa slobodnim varijablama, npr. Definicije od (4); od danas će se te stavke nazivati formulama.) Pitanja koja postavlja druga ideja su, naravno, velika i Važno je, ali oni se ne mogu riješiti u kratkom istraživanju. Prihvatimo ideju jednostavno kao zadanu.
Treća ideja redukcije je da se upotreba formule (Z) koja sadrži definirani pojam objašnjava redukcijom (Z) na formulu u osnovnom jeziku. Ova ideja, u kombinaciji s primatom sentencila, dovodi do snažne verzije kriterija Use, nazvanog kriterij Eliminability: definicija mora sve formule koja sadrži definirani pojam svesti na formulu u osnovnom jeziku, tj. Jednu bez definirani pojam. Eliminacija je karakteristična teza tradicionalnog računa i, kao što ćemo vidjeti u nastavku, može se osporiti.
Imajte na umu da tradicionalni račun ne zahtijeva smanjenje svih izraza proširenog jezika; zahtijeva smanjenje samo formula. Na primjer, definicija predikata (G) ne mora na bilo koji način reducirati (G), izolirano, na predikat osnovnog jezika. Tradicionalni račun stoga je u skladu s mišlju da odredbena definicija može jeziku dodati novi konceptualni resurs, jer ništa u prizemnom jeziku ne izražava predikativni koncept koji (G) izražava u proširenom jeziku. Time se ne može poreći da se nijedan novi prijedlog - barem u smislu istine - uvjet - ne izražava u proširenom jeziku.
2.3 Konzervativnost i mogućnost uklanjanja
Pogledajmo sada kako se konzervativnost i mogućnost uklanjanja mogu precizno odrediti. Prvo razmotrite jezike koji imaju precizan sustav dokazivanja poznate vrste. Neka je osnovni jezik (L) jedan takav. Sustav dokazivanja (L) može biti klasičan, trojezičan, modalni, relevantan ili neki drugi; a može sadržavati ili ne mora sadržavati neke nelogične aksiome. Sve što pretpostavljamo je da imamo dostupne pojmove „teorema od (L)“i „dokazno ekvivalent u (L)“, a također i pojmove „teorema o (L ^ {+})“i „ dokazno ekvivalentan u (L ^ {+})”koji rezultira kada je sustav dokaza (L) dopunjen definicijom (mathcal {D}) i logičkim pravilima koja određuju definicije. Kriterij konzervativnosti može se precizirati na sljedeći način.
Kriterij konzervativnosti (sintaktička formulacija): Svaka formula (L) koja je dokazana u (L ^ {+}) je dokazana u (L).
Odnosno, svaka formula (L) koja je dokazana upotrebom definicije (mathcal {D}) je također dokazana bez upotrebe (mathcal {D}): definicija nam ne omogućuje da dokažemo bilo što novo u (L). Kriterij Eliminabilnost može se precizno precizirati na sljedeći način:
Kriterij uklanjanja (sintaktička formulacija): Za bilo koju formulu (A) od (L ^ {+}) postoji formula (L) koja je u ekvivalentu (L ^ {+}) do (A).
(Folklor zaslužuje poljskog logičara S. Leśniewskog za formuliranje kriterija konzervativnosti i uklonjivosti, ali to je pogreška; vidjeti Dudman 1973, Hodges 2008, Urbaniak i Hämäri 2012 za raspravu i daljnje reference.) [5]
A sad opremimo (L) modelno-teorijskom semantikom. To jest, povezujemo s (L) klasom interpretacija i stavljamo na raspolaganje pojmove „valjano u (L) u tumačenju (M)“(aka: „istina u (L)) u (M) ") i" semantički ekvivalent u (L) u odnosu na (M). " Neka pojam "vrijedi u (L ^ {+}) u (M)" i "semantički ekvivalent u (L ^ {+}) u odnosu na (M)" rezultira kada semantika (L) je dopunjen definicijom (mathcal {D}). Kriteriji konzervativnosti i iskoristivosti sada se mogu precizirati na sljedeći način:
Kriterij konzervativnosti (semantička formulacija): Za sve formule (A) iz (L) i sva tumačenja (M), ako je (A) vrijedi u (L ^ {+}) u (M) tada (A) vrijedi i u (L) u (M).
Kriterij uklanjanja (semantička formulacija): Za bilo koju formulu (A) od (L ^ {+}) postoji formula (B) od (L) takva da, u odnosu na sva tumačenja (M, B) je semantički ekvivalent u (L ^ {+}) to (A).
Sintaktičke i semantičke formulacije dvaju kriterija jasno su paralelne. Međutim, čak i ako pretpostavimo da vrijede teoreme snažne potpunosti za (L) i (L ^ {+}), dvije formulacije nisu jednake. Doista je moguće nekoliko različitih, neekvivalentnih formulacija dvaju kriterija unutar svakog okvira, sintaktičkog i semantičkog.
Primijetite da zadovoljavanje kriterija konzervativnosti i elastičnosti, bilo u njihovoj semantičkoj ili sintaktičkoj formulaciji, nije apsolutno svojstvo definicije; zadovoljstvo je u odnosu na prizemni jezik. Različiti jezici jezika mogu im se pridružiti različiti sustavi dokazivanja i različite klase tumačenja. Dakle, definicija može zadovoljiti dva kriterija kada je dodana na jedan jezik, ali može to učiniti bez dodavanja na drugom jeziku. Za daljnju raspravu o kriterijima, pogledajte Suppes 1957 i Belnap 1993.
2.4 Definicije u normalnom obliku
Radi konkretnosti, popravimo osnovni jezik (L) klasičnim jezikom prvog reda s identitetom. Sustav dokazivanja (L) može sadržavati neke nelogične aksiome (T); interpretacije (L) su tada klasični modeli (T). Kao i prije, (L ^ {+}) je prošireni jezik koji nastaje kada se definiciji (mathcal {D}) ne-logičke konstante (X) doda u (L); stoga (X) može biti ime, predikat ili simbol funkcije. Nazovite dvije definicije ekvivalentne ako daju iste teoreme u proširenom jeziku. Tada se može pokazati da ako (mathcal {D}) zadovoljava kriterije konzervativnosti i eliminiranosti, tada je (mathcal {D}) ekvivalentan definiciji u normalnom obliku, kako je dolje navedeno. [6] Budući da definicije u normalnom obliku zadovoljavaju zahtjeve konzervativnosti i elastičnosti, tradicionalni račun podrazumijeva da ne gubimo ništa bitno ako zahtijevamo da definicije budu u normalnom obliku.
Uobičajeni oblik definicija može se navesti na sljedeći način. Definicije imena (a, n) - ari predikati (H), i (n) - ary funkcijski simboli (f) moraju biti sljedećih oblika:
) početak {poravnati} tag {7} a = x & \ eqdf \ psi (x), \\ \ oznaka {8} H (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & \ eqdf \ phi \, (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), \\ \ oznaka {9} f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = y & \ eqdf \ chi (x_ { 1}, \ ldots, x_ {n}, y), \ kraj {poravnati})
pri čemu su varijable (x_ {1}),…, (x_ {n}), (y) sve različite, a definici u svakom slučaju zadovoljavaju uvjete koji se mogu razdvojiti na opće i specifične dio. [7] Opći uvjet za definiens je isti u svakom slučaju: ne smije sadržavati definirani pojam ili bilo kakve slobodne varijable osim onih iz definienduma. Opći uvjeti ostaju isti kad se tradicionalni obrazac definicije primjenjuje na neklasične logike (npr. Na viševredne i modalne logike). Specifični uvjeti su više varijabilni. U klasičnoj logici, specifični uvjet u definiciji (psi (x)) iz (7) jest da on zadovoljava uvjet postojanja i jedinstvenosti: da je dokazivo da nešto zadovoljava (psi (x)) i da u jednom slučaju jedna stvar zadovoljava (psi (x)). [8]Ne postoje posebni uvjeti na (8), ali je uvjet na (9) paralelama onaj na (7). Tvrdnja za postojanje i jedinstvenost mora sadržavati: univerzalno zatvaranje formule
) postoji y \, \ chi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, y) amp \ forall u \ forall v) chi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, u) amp \ chi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, v) rightarrow u = v])
mora biti dokazivo. [9]
U logici koja dopušta vakuum imena, specifični uvjet na definiensima (7) bio bi slabiji: ispušio bi se uvjet postojanja. Suprotno tome, u modalnoj logici koja zahtijeva da imena ne budu vakuumna i kruta, specifični uvjet bi se ojačao: ne samo da postojanje i jedinstvenost moraju biti nužni i moraju se pokazati da je definiens zadovoljan jednim i isti objekt preko mogućih svjetova.
Definicije koje su u skladu sa (7) - (9) su heterogene; definicija je sentencionalna, ali definirani termin nije. Jedan izvor specifičnih uvjeta na (7) i (9) je njihova heterogenost. Potrebni su posebni uvjeti kako bi se osiguralo da definien, iako nije iz logičke kategorije definiranog pojma, tome pridodaje pravilno logičko ponašanje. Stoga uvjeti osiguravaju da je logika proširenog jezika ista kao i kod osnovnog jezika. To je razlog zbog kojeg se specifični uvjeti za normalne oblike mogu razlikovati od logike osnovnog jezika. Primijetite da, bez obzira na tu logiku, nisu potrebni posebni uvjeti za pravilne homogene definicije.
Tradicionalni račun omogućuje jednostavna logička pravila za definicije i jednostavnu semantiku za prošireni jezik. Pretpostavimo da definicija (mathcal {D}) ima definirani definiciju. (U klasičnoj logici sve se definicije lako mogu transformirati da bi se ispunio taj uvjet.) Neka je (mathcal {D})
gdje su (x_ {1}), …, (x_ {n}) sve varijable slobodne ili u (phi) ili (psi). I neka (phi (t_ {1}, \ ldots, t_ {n})) i (psi (t_ {1}, \ ldots, t_ {n})) nastaju istodobnom zamjenom pojmova (t_ {1}), …, (t_ {n}) za (x_ {1}), …, (x_ {n}) u, odnosno (phi (x_ { 1}, \ ldots, x_ {n})) i (psi (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})); mijenjanje vezanih varijabli po potrebi. Tada su pravila zaključivanja koja upravljaju (mathcal {D}) jednostavno sljedeća:
Semantika za prošireni jezik također je izravna. Pretpostavimo, na primjer, da je (mathcal {D}) definicija imena (a), a pretpostavimo da je, kad se stavi u normalan oblik, jednak (7). Zatim se svaka klasična interpretacija (M) od (L) širi na jedinstveno klasično tumačenje (M ^ {+}) proširenog jezika (L ^ {+}). Oznaka (a) u (M ^ {+}) jedinstven je objekt koji u (M) zadovoljava (psi (x)); uvjeti na (psi (x)) osiguravaju postojanje takvog objekta. Semantika definiranih predikata i funkcija-simbola je slična. Logika i semantika definicija u neklasičnoj logici dobivaju, pod tradicionalnim računom, paralelni tretman.
Napominjemo da je infekcijska sila dodavanja definicije (10) u jezik ista kao i kod dodavanja kao aksioma, univerzalnog zatvaranja
Međutim, ova sličnost u logičkom ponašanju (10) i (11) ne bi trebala prikriti velike razlike između dvokondicijske ('(leftrightarrow)') i definitivne ekvivalencije ('(eqdf)'). Prvo je senzibilno vezivno, ali drugo je transkategorijsko: ne mogu se na dvije strane '(eqdf) pojavljivati samo formule, već i predikati, imena i stavke drugih logičkih kategorija. Štoviše, dvokondicijski se može ponoviti - npr., ((Phi \ leftrightarrow \ psi) leftrightarrow \ chi)) - ali ne i definicijska ekvivalencija. Konačno, pojam se može uvesti odredbenom definicijom u osnovni jezik čiji su logički resursi ograničeni, recimo, na klasičnu konjunkciju i disjunkciju. To je savršeno izvedivo, iako dvosmisao nije izrazljiv na jeziku. U takvim slučajevima,inferencijalnu ulogu odredbene definicije ne odražava nijedna formula proširenog jezika.
Na tradicionalni prikaz definicija ne treba gledati kao da zahtijeva da definicije budu u normalnom obliku. Jedini zahtjevi koje postavlja (i) da definicijski sadržaj sadrži definirani pojam; (ii) da definicija i definici pripadaju istoj logičkoj kategoriji; i (iii) definicija zadovoljava konzervativnost i mogućnost uklanjanja. Sve dok su ti zahtjevi zadovoljeni, daljnjih ograničenja nema. Definjendum, poput definiens, može biti složen; a definiens, poput definicije, može sadržavati definirani pojam. Tako, na primjer, nema ništa formalno pogrešno ako definicija funkcionalnog izraza 'broj' ima kao svoj definiendum formulu 'broj (F) s je broj (G) s'. Uloga normalnih oblika samo je pružiti jednostavan način osiguravanja da definicije zadovoljavaju konzervativnost i mogućnost uklanjanja; oni ne daju jedini legitimni format za predviđeno uvođenje termina. Dakle, razlog zašto je (4), ali (6) nije, legitimna definicija nije da je (4) u normalnom obliku, a (6) nije.
) početak {align *} tag {4} Gx & \ eqdf x \ gt 3 \ amp x \ lt 10. \\ \ tag {6} Gx & \ eqdf x \ gt y \ amp x \ lt 10. \ end {align *})
Razlog je taj što (4) uvažava, ali (6) ne, dva kriterija. (Pretpostavlja se da osnovni jezik sadrži običnu aritmetiku; druga pretpostavka podrazumijeva kontradikciju. Sljedeće dvije definicije također nisu u normalnom obliku:
) početak {align *} tag {12} Gx & \ eqdf (x \ gt 3 \ amp x \ lt 10) amp y = y. \\ \ tag {13} Gx & \ eqdf [x = 0 \ amp (G0 \ vee G1)] vee [x = 1 \ amp ({ sim} G0 \ amp { sim} G1)]. \ End {align *})
Ali obojica bi se trebala smatrati legitimnim prema tradicionalnom računu, jer ispunjavaju kriterije konzervativnosti i uklanjanja. Slijedi da se dvije definicije mogu staviti u normalan oblik. Definicija (12) je poprilično jednaka (4), a definicija (13) je ekvivalentna (14):
) tag {14} Gx \ eqdf x = 0.)
Primjetite da definici iz (13) nisu logički ekvivalentni bilo kojoj (G) slobodnoj formuli. Ipak, definicija ima normalan oblik.
Slično tome, tradicionalni je račun savršeno kompatibilan s rekurzivnim (aka: induktivnim) definicijama kao što su one koje se nalaze u logici i matematici. Na primjer, Peano Aritmetika, eksponencija se može definirati pomoću sljedećih jednadžbi:
) tag {15} početak {poravnati *} m ^ {0} & = 1, \\ m ^ {n + 1} & = m ^ {n} cdot m. \ End {align *})
Ovdje prva jednadžba koja se naziva osnovna klauzula - definira vrijednost funkcije kada je eksponent 0. A druga rečenica, koja se naziva rekurzivna klauzula - koristi vrijednost funkcije kada je eksponent (n) za definiranje vrijednosti vrijednost kada je eksponent (n + 1). Prema tradicionalnom prikazu, to je sasvim legitimno jer teorema Peano aritmetike utvrđuje da je gornja definicija jednaka definiciji u normalnom obliku. [10] Rekurzivne definicije su u svom formatu kružne i doista je ta kružnost ta koja ih čini uočljivim. Ali kružnost je u potpunosti na površini, kao što pokazuje postojanje normalnih oblika. Pogledajte raspravu kružnih definicija u nastavku.
2.5 Implicitne definicije
Gore navedeno gledište omogućava tradicionalnom računu da unese svoje ideje koje se na prvi pogled mogu činiti protivnim. Ponekad se sugerira da se pojam (X) može uvesti aksiomatski, to jest postavljanjem određenih rečenica proširenog jezika kao aksioma (L ^ {+}). Zatim se kaže da aksiomi implicitno definiraju (X). Ova se ideja lako može smjestiti u tradicionalni račun. Neka teorija bude skup rečenica proširenog jezika (L ^ {+}). Zatim, reći da je teorija (T ^ *) implicitna (odredbena) definicija X znači reći da je (X) upravljana definicijom
) phi \ eqdf \ text {Istina},)
gdje je (phi) spoj članova (T ^ *). (Ako je (T ^ *) beskonačan, odredba gornjeg oblika će biti potrebna za svaku rečenicu (psi) u (T ^ *).) [11] Definicija je zakonita, prema tradicionalni obračun, pod uvjetom da zadovoljava kriterije konzervativnosti i uklanjanja. Ako ispunjava ove kriterije, nazovimo (T ^ *) dopuštenim (za definiciju X). Dakle, tradicionalni račun sadrži ideju da teorije mogu propisno uvesti nove pojmove, ali nameće snažan zahtjev: teorije moraju biti dopuštene. [12]
Razmotrite, za konkretnost, poseban slučaj klasičnih jezika prvog reda. Neka je osnovni jezik (L) jedan takav, i neka njegova tumačenja budu modeli nekih rečenica (T). Recite da je interpretacija (M ^ {+}) od (L ^ {+}) proširenje interpretacije (M) od (L) iff (M) i (M ^ {+}) imaju istu domenu i dodjeljuju iste semantičke vrijednosti ne-logičkim konstantama u (L). Nadalje, recimo to
(T ^ *) je implicitna semantička definicija X iff, za svako tumačenje (M) od (L) postoji jedinstveni model (M ^ {+}) od (T ^ *) takav da je (M ^ {+}) ekspanzija (M).
Tada je sljedeći zahtjev neposredan:
Ako je (T ^ *) dopušteno, onda je (T ^ *) implicitna semantička definicija (X).
Odnosno, dopuštena teorija fiksira semantičku vrijednost definiranog pojma u svakom tumačenju osnovnog jezika. Ovo opažanje pruža jednu prirodnu metodu kojom se pokazuje da teorija nije dopuštena:
Padoina metoda. Da se pokaže da (T ^ *) nije prihvatljivo, dovoljno je konstruirati dva modela (T ^ *) koji su ekspanzije jednog i istog tumačenja osnovnog jezika (L). (Padoa 1900.)
Evo jednostavne i filozofski korisne primjene metode Padoa. Pretpostavimo da je sustav dokazivanja (L) peano aritmetika i da se (L) proširuje dodavanjem unarijenog predikata (Tr) (za "Gödel broj istinite rečenice od (L)"). Neka je (mathbf {H}) teorija koja se sastoji od svih rečenica ("Tarski dvokondicija") sljedećeg oblika:
[Tr (s) lijeva svjetlost \ psi,)
gdje je (psi) rečenica (L), a (s) je kanonski naziv za Gödelov broj (psi). Padoa-ova metoda implicira da (mathbf {H}) nije dopušteno za definiranje (Tr). Jer (mathbf {H}) ne popravlja interpretaciju (Tr) u svim interpretacijama (L). To posebno ne čini u standardnom modelu, jer (mathbf {H}) ne postavlja ograničenja u ponašanju (Tr) na onim brojevima koji nisu Gödelin broj rečenica. (Ako kodiranje svakom prirodnom broju daje Gödelin broj rečenice, tada nestandardni model Peano Aritmetike daje potreban kontrakserzor: ima beskonačno mnogo ekspanzija koje su modeli (mathbf {H}).) A varijanta ovog argumenta pokazuje da Tarskijeva teorija istine, formulirana u (L ^ {+}), nije prihvatljiva za definiranje (Tr).
Što je sa obratom Padoine metode? Pretpostavimo da možemo pokazati da u svakoj interpretaciji osnovnog jezika, teorija (T ^ *) fiksira jedinstvenu semantičku vrijednost za definirani pojam. Možemo li zaključiti da je (T ^ *) dopušteno? Ovo pitanje dobiva negativan odgovor za neke semantičke sustave, a za druge pozitivan odgovor. (Suprotno tome, Padoa-ova metoda djeluje sve dok semantički sustav nije pretjerano izražen.) Obrat ne uspijeva, primjerice, za klasične jezike drugog reda, ali vrijedi za one prvog reda:
Bethova teorema definiranja. Ako je (T ^ *) implicitna semantička definicija (X) u klasičnom jeziku prvog reda, tada je (T ^ *) dopušten.
Imajte na umu da teorem vrijedi čak i ako je (T ^ *) beskonačni skup. Za dokaz teorema pogledajte Boolos, Burgess i Jeffrey 2002; vidi i Beth 1953.
Dakle, ideja implicitne definicije nije u sukobu s tradicionalnim računom. Tamo gdje dolazi do sukoba nalazi se u filozofskim primjenama ideje. Neuspjeh strogih redukcionističkih programa s kraja devetnaestog i početka dvadesetog stoljeća natjerao je filozofe da istraže labavije vrste redukcionizma. Na primjer, Fregeova definicija broja pokazala se nedosljednom i stoga nije u stanju održati logičku tezu da su principi aritmetike analitički. Ispada, međutim, da se principi aritmetike mogu izvesti bez Fregeove definicije. Sve što je potrebno posljedica je toga, naime, Humeov princip:
Humeov princip. Broj (F) s = broj (G) s ako postoji korespondencija jedan na jedan između (F) s i (G) s.
Ako u logiku drugog reda dodamo Humeov princip, tada možemo analitički izvesti aritmetiku pena (drugog reda). (Suštine teze nalaze se već u Fregeu 1884.) Središnja je teza neofregenizma da je Humeov princip implicitna definicija funkcionalnog izraza 'broj' (vidjeti Hale i Wright 2001). Ako se ova teza može obraniti, može se održati logika o aritmetičkoj građi, a prethodit će Fregeovoj eksplicitnoj (i nedosljednoj) definiciji. No, novofregejska teza u sukobu je s tradicionalnim prikazom definicija, jer Humeov princip krši i konzervativnost i eliminiranost. Princip omogućava da se za proizvoljni (n) dokaže da postoje najmanje (n) objekata.(Srodna aplikacija ima za cilj održati analitičnost geometrije kroz ideju da su aksiomi geometrije implicitne definicije geometrijskih pojmova kao što su "točka" i "linija." I ovdje postoji sukob s tradicionalnim računom za konzervativnost i Eliminabilnost su prekršena.)
Drugi primjer: Redukcionistički program za teorijske koncepte (npr. Oni iz fizike) imao je za cilj riješiti epistemološke probleme koje ovi koncepti postavljaju. Program je imao za cilj smanjiti teorijske rečenice na (klase) promatračkih rečenica. Međutim, smanjenje se pokazalo teškim, ako ne i nemogućim. Tako je nastao prijedlog da se možda nepažljiva komponenta teorije bez ikakvog zahtjeva za umanjenjem može smatrati implicitnom definicijom teorijskih pojmova. Precizna karakterizacija komponente nepažanja može se razlikovati ovisno o konkretnom epistemološkom problemu koji se nalazi. Ali mora postojati kršenje jednog ili oba od dva kriterija, konzervativnost i eliminiranost. [13]
Konačni primjer: Prema teoremu Tarskog znamo da nijedna teorija ne može biti dopuštena definicija predikata istine, (Tr), za gore spomenuti jezik Peano Aritmetike. Unatoč tome, možda teoriju (mathbf {H}) i dalje možemo smatrati implicitnom definicijom (Tr). (Paul Horwich dao je usko povezani prijedlog za uobičajeni pojam istine.) Ovdje se opet vrši pritisak na granice nametnute tradicionalnim računom. (mathbf {H}) zadovoljava kriterij konzervativnosti, ali ne i kriterij Eliminabilnosti.
Da bismo procijenili izazov koji ove filozofske aplikacije postavljaju za tradicionalni prikaz, moramo riješiti pitanja koja su pod trenutačnom filozofskom raspravom. Neka od pitanja su sljedeća. (i) Jasno je da su neka kršenja konzervativnosti nelegitimna: to se ne može učiniti istinitim odredbom da je npr. Merkur veći od Venere. Ako, ako filozofska prijava zahtijeva da su neka kršenja konzervativnosti legitimna, treba nam objasniti razliku između dvije vrste slučajeva: legitimnih kršenja konzervativnosti i nelegitimnih. I trebamo razumjeti što je to što jedno čini legitimnim, a ne drugo. (ii) Sličan problem postavlja se za Eliminability. Čini se da nijedna stara teorija ne može biti implicitna definicija pojma (X).(Teorija može sadržavati samo tautologije.) Ako je tako, onda nam opet treba razgraničenje teorija koje mogu implicitno definirati pojam od onih koji to ne mogu. A za to nam treba obrazloženje. (iii) Filozofske primjene su presudne na ideji da implicitna definicija fiksira značenje definiranog pojma. Stoga nam je potreban prikaz onoga što je to značenje i kako ga fiksna definicija fiksira. U skladu s tradicionalnim računom, formule koje sadrže definirani pojam mogu se shvatiti kao da dobivaju svoje značenje iz formula lokalnog jezika. (S obzirom na primat osjetilnog, ovo fiksira značenje definiranog pojma.) Ali taj potez nije dostupan u okviru liberalizirane koncepcije implicitne definicije. Kako ondatrebamo li razmišljati o značenju formule pod predviđenim odstupanjem od tradicionalnog prikaza? (iv) Čak i ako se prethodna tri pitanja riješe na zadovoljavajući način, ostaje važna briga. Pretpostavimo da dopuštamo da teorija (T) fizike, na primjer, fizički može odrediti svoje teorijske pojmove i da pojmove obdare određenim značenjima. Ostaje pitanje jesu li tako dodijeljena značenja identična (ili dovoljno slična) značenjima koja teorijski izrazi imaju u stvarnoj uporabi u fizici. Na ovo se pitanje mora dati pozitivan odgovor ako bi implicitne definicije služile njihovoj filozofskoj funkciji. Cilj pozivanja na implicitne definicije jest računati o racionalnosti, aprioričnosti ili analitičnosti naših uobičajenih prosudbi,a ne o nekim izvanrednim prosudbama koje su nekako dodijeljene običnim znakovima.
Za daljnju raspravu o tim pitanjima, vidi Horwich 1998, posebno poglavlje 6; Hale i Wright 2001, posebno poglavlje 5; i tamo citirana djela.
2.6 Načelo začaranog kruga
Drugi odmak od tradicionalne teorije započinje idejom ne da je teorija prestroga, već da je previše liberalna, da dopušta nelegitimne definicije. Prema tome, tradicionalna teorija dopušta sljedeće definicije, odnosno "lažljivca", i klase prirodnih brojeva (mathbf {N}):
(16) (z) je lažov (eqdf) sve su tvrdnje koje tvrdi tvrdnja (z) lažne;
(17) (z) pripada (mathbf {N}) (eqdf) (z) pripada svakoj induktivnoj klasi, gdje je klasa induktivna kad sadrži 0 i zatvorena je pod operacija nasljednika.
Russell je tvrdio da takve definicije uključuju suptilnu vrstu začaranog kruga. Definicije prve definicije priziva, Russell misli, sveukupnost svih propozicija, ali definicija, ako je legitimna, rezultirala bi prijedlozima koji se mogu definirati samo pozivanjem na ovu ukupnost. Slično tome, druga definicija pokušava definirati klasu (mathbf {N}) prema svim klasama, što uključuje klasu (mathbf {N}) koja se definira. Russell je tvrdio da su takve definicije nelegitimne. I nametnuo je sljedeće zahtjeve, nazvane "načelo začaranog kruga" - definicije i koncepte. (Henri Poincaré je također predložio sličnu ideju.)
Načelo začaranog kruga. "Što god se tiče svake zbirke, ne smije biti ni jedna od zbirki (Russell 1908, 63)."
Druga formula koju je Russell dao načelo je sljedeća:
Načelo začaranog kruga (formulacijska varijanta). "Ako bi određena zbirka imala ukupno, imala bi članove koji se mogu definirati samo u smislu tog ukupnog broja, tada navedena zbirka nema ukupno (Russell, 1908, 63)."
U priloženoj fusnoti, Russell je objasnio, "Kad kažem da zbirka nema ukupno, mislim da su izjave o svim njenim članovima gluposti."
Russellova glavna motivacija za načelo začaranog kruga bili su logički i semantički paradoksi. Pojmovi poput "istine", "prijedloga" i "klase" generiraju, pod određenim nepovoljnim uvjetima, paradoksalne zaključke. Dakle, tvrdnja "Cheney je lažov", gdje se "lažljivac" shvaća kao u (16), donosi paradoksalne zaključke, ako je Cheney ustvrdio da je lažov, a sve ostale tvrdnje koje on tvrdi u stvari su neistinite., Russell je uzeo načelo začaranog kruga da implicira da ako „Cheney je lažljivac“izrazi prijedlog, on ne može biti u opsegu kvantifikatora u definicijama iz (16). Generalno gledano, Russell je smatrao da kvantifikacija svih prijedloga i svih klasa krši načelo začaranog kruga i stoga je nelegitimna. Osim toga,tvrdio je da izrazi poput "istinito" i "lažno" ne izražavaju jedinstven koncept - u Russellovoj terminologiji jedinstvena "funkcija prijedloga" - ali jedna je hijerarhija prijedloga funkcija različitih poredaka. Stoga je pouka koju je Russell izvukao iz paradoksa da je domena smisla više ograničena nego što se obično može činiti da je tradicionalni prikaz pojmova i definicija potrebno učiniti restriktivnijim kako bi se isključili sličnosti (16) i (17).da se tradicionalni prikaz pojmova i definicija mora učiniti restriktivnijim da bi se isključili sličnosti iz (16) i (17).da se tradicionalni prikaz pojmova i definicija mora učiniti restriktivnijim da bi se isključili sličnosti iz (16) i (17).
Primjenjujući obične, neformalne definicije, Načelo začaranog kruga ne pruža, mora se reći, jasnu metodu razgraničenja smisla od besmislenog. Definicija (16) bi trebala biti nelegitimna jer se u njezinim definicijama kvantifikator kreće u odnosu na ukupnost svih propozicija. Rečeno nam je da je to zabranjeno jer, kada bi to bilo dopušteno, sveukupni prijedlozi „imali bi članove definiraju samo u ukupnom broju“. Međutim, ukoliko ne znamo više o prirodi prijedloga i o dostupnim sredstvima za njihovo definiranje, nemoguće je utvrditi krši li načelo (16). Moguće je da je prijedlog poput "Cheney lažljivac" - ili, da uzmemo manje sporan primjer,"Ili je Cheney lažljivac ili nije" - može se dati definicija koja se ne sviđa ukupnosti svih prijedloga. Ako su, na primjer, prijedlozi skupovi mogućih svjetova, čini se da bi takva definicija bila izvediva.
Načelo začaranog kruga ipak služi kao učinkovita motivacija za određeni račun legitimnih koncepata i definicija, naime utjelovljenih u Russellovoj teoriji ramificiranog tipa. Ideja je da se započne s nekim neproblematičnim resursima koji ne uključuju kvantifikaciju prijedloga, koncepata i slično. Navedeni resursi omogućuju definiranje, na primjer, različitih unarnih koncepata, za koje se osigurava da zadovoljavaju načelo začaranog kruga. Kvantifikacija ovih koncepata stoga mora biti zakonita i može se dodati jeziku. Isto vrijedi i za prijedloge i za koncepte koji potpadaju pod druge vrste: za svaku vrstu može se dodati kvantifikator koji se proteže preko stavki (te vrste) koje je moguće definirati korištenjem početnih neproblematičnih resursa. Novi kvantitativni resursi omogućuju definiranje daljnjih stavki svake vrste; i oni uvažavaju Načelo, a kvantifikatori koji se kreću u odnosu na proširene ukupnosti mogu se zakonito dodati jeziku. Novi resursi dopuštaju definiranje još dodatnih predmeta. I postupak se ponavlja. Rezultat je to da imamo hijerarhiju propozicija i koncepata različitih reda. Svaka vrsta u hijerarhiji tipa ramificira se u mnoštvo naloga. Ova ramifikacija osigurava da definicije formulirane na rezultirajućem jeziku moraju biti u skladu s Načelom začaranog kruga. Pojmovi i klase koji se mogu definirati unutar granica ove sheme kažu da su predikativni (u jednom smislu ove riječi); ostali, nepredvidivi.kvantifikatori koji se kreću preko proširenih ukupnosti mogu se legitimno dodati jeziku. Novi resursi dopuštaju definiranje još dodatnih predmeta. I postupak se ponavlja. Rezultat je to da imamo hijerarhiju propozicija i koncepata različitih reda. Svaka vrsta u hijerarhiji tipa ramificira se u mnoštvo naloga. Ova ramifikacija osigurava da definicije formulirane na rezultirajućem jeziku moraju biti u skladu s Načelom začaranog kruga. Pojmovi i klase koji se mogu definirati unutar granica ove sheme kažu da su predikativni (u jednom smislu ove riječi); ostali, nepredvidivi.kvantifikatori koji se kreću preko proširenih ukupnosti mogu se legitimno dodati jeziku. Novi resursi dopuštaju definiranje još dodatnih predmeta. I postupak se ponavlja. Rezultat je to da imamo hijerarhiju propozicija i koncepata različitih reda. Svaka vrsta u hijerarhiji tipa ramificira se u mnoštvo naloga. Ova ramifikacija osigurava da definicije formulirane na rezultirajućem jeziku moraju biti u skladu s Načelom začaranog kruga. Pojmovi i klase koji se mogu definirati unutar granica ove sheme kažu da su predikativni (u jednom smislu ove riječi); ostali, nepredvidivi. Rezultat je to da imamo hijerarhiju propozicija i koncepata različitih reda. Svaka vrsta u hijerarhiji tipa ramificira se u mnoštvo naloga. Ova ramifikacija osigurava da definicije formulirane na rezultirajućem jeziku moraju biti u skladu s Načelom začaranog kruga. Pojmovi i klase koji se mogu definirati unutar granica ove sheme kažu da su predikativni (u jednom smislu ove riječi); ostali, nepredvidivi. Rezultat je to da imamo hijerarhiju propozicija i koncepata različitih reda. Svaka vrsta u hijerarhiji tipa ramificira se u mnoštvo naloga. Ova ramifikacija osigurava da definicije formulirane na rezultirajućem jeziku moraju biti u skladu s Načelom začaranog kruga. Pojmovi i klase koji se mogu definirati unutar granica ove sheme kažu da su predikativni (u jednom smislu ove riječi); ostali, nepredvidivi.
Za daljnju raspravu o načelu začaranog kruga, vidi Russell 1908, Whitehead i Russell 1925, Gödel 1944, i Chihara 1973. Za formalno predstavljanje teorije ramificiranog tipa, vidi Church 1976; za neformalniju prezentaciju pogledajte Hazen 1983. Pogledajte i zapise o teoriji tipa i Principia Mathematica, koji sadrže dodatne reference.
2.7 Kružne definicije
Paradoksi se mogu koristiti i za motiviranje zaključka koji je u suprotnosti s Russellovim. Razmotrite sljedeću definiciju predikata na jednom mjestu (G):
) tag {18} početak {poravnati *} Gx \ eqdf x = \ tekst {Sokrat} & \ vee (x = \ tekst {Platon} amp Gx) & \ vee (x = \ tekst {Aristotel } amp { sim} Gx). \ End {align *})
Ova je definicija u osnovi kružna; nije ga moguće reducirati na jedan u normalnom obliku. Ipak, intuitivno, daje značajne smjernice o upotrebi (G). Definicija diktira, na primjer, da Sokrat potpada pod (G), i da ništa osim tri spomenuta drevna filozofa to ne čini. Definicija ostavlja neuređen status samo dva objekta, naime, Platona i Aristotela. Ako pretpostavimo da Platon potpada pod (G), definicija rezultira time da Platon spada pod (G) (budući da Platon zadovoljava definiens), potvrđujući na taj način našu pretpostavku. Ista stvar se događa ako pretpostavimo suprotno, naime, da Platon ne potpada pod (G); opet je naša pretpostavka potvrđena. S Aristotelom nas svaki pokušaj da odluči da li on spada pod (G) dovede u još nesigurniju situaciju:ako pretpostavimo da Aristotel potpada pod (G), dovedeni smo do zaključka po definiciji da on ne spada pod (G) (budući da ne zadovoljava definiens); i, obrnuto, ako pretpostavimo da on ne potpada pod (G), dovode nas do zaključka da jest. Ali čak ni kod Platona i Aristotela, ponašanje (G) nije nepoznato: (G) se ovdje ponaša na način na koji se pojam istine ponaša u Kazivaču istine ("Ono što sada kažem istina je") i Lažljivac ("Ono što sada kažem nije istina"). Općenito gledano, postoji snažna paralela između ponašanja koncepta istine i ponašanja definiranih kružnim definicijama. Oboje su obično dobro definirani na nizu slučajeva, a oba pokazuju niz neobičnih logičkih ponašanja na ostalim slučajevima. Doista,sve različite vrste zbunjujućeg logičkog ponašanja pronađene s pojmom istine nalaze se i u pojmovima definiranim kružnim definicijama. Ovaj snažni paralelizam sugerira da budući da je istina očigledno legitiman pojam, tako su i pojmovi definirani kružnim definicijama poput (18). Paradoksi, prema ovom stajalištu, ne dovode u pitanje legitimnost pojma istine. Oni pokazuju samo da se logika i semantika kružnih pojmova razlikuje od onih nekružnih. Ovo gledište razvijeno je u revizorskoj teoriji definicija.ne dovode u pitanje legitimnost pojma istine. Oni pokazuju samo da se logika i semantika kružnih pojmova razlikuje od onih nekružnih. Ovo gledište razvijeno je u revizorskoj teoriji definicija.ne dovode u pitanje legitimnost pojma istine. Oni pokazuju samo da se logika i semantika kružnih pojmova razlikuje od onih nekružnih. Ovo gledište razvijeno je u revizorskoj teoriji definicija.
U ovoj teoriji, kružna definicija daje definiranom pojmu značenje koje je hipotetičkog karaktera; semantička vrijednost definiranog pojma je pravilo revizije, a ne kao kod nekružnih definicija, pravilo primjene. Ponovno razmotrite (18). Kao i svaka definicija, (18) popravlja interpretaciju definienduma (ako) daju se interpretacije nelogičnih konstanti u definienima. Problem s (18) je da se definirani pojam (G) pojavljuje u definienima. No pretpostavimo da (G) interpretaciju proizvoljno dodijelimo - recimo da je to skup (U) svih objekata u svemiru diskursa (tj. Pretpostavljamo da je (U) skup predmeti koji zadovoljavaju (G)). Tada je lako vidjeti da je definicija istinita upravo od Sokrata i Platona. Ova definicija diktira da, prema našoj hipotezi,interpretacija (G) treba biti skup ({ tekst {Sokrat}, \ tekst {Platon} }). Sličan izračun može se provesti za bilo koju hipotezu o interpretaciji (G). Na primjer, ako je hipoteza ({ tekst {Xenocrates} }), definicija daje rezultat ({ text {Sokrat}, \ text {Aristotel} }). Ukratko, iako (18) ne popravlja oštro pod kojim predmetima spadaju (G), ipak se postiže pravilo ili funkcija koja, kada je dano hipotetičko tumačenje kao ulaz, daje još jedan kao izlaz. Temeljna ideja revizijske teorije je da se ovo pravilo promatra kao revizijsko pravilo: izlazna interpretacija je bolja od ulazne (ili je barem dobra; ova će se kvalifikacija uzimati kao pročitana). Semantička vrijednost koju definicija daje definiranom pojmu nije produžetak - razgraničenje svemira diskursa u objekte koji spadaju pod definirani pojam, i one koji ne. Semantička vrijednost je revizijsko pravilo.
Revizijsko pravilo objašnjava ponašanje, i obično i izvanredno, kružnog koncepta. Neka je (delta) pravilo revizije dobiveno definicijom, a (V) proizvoljno hipotetičko tumačenje definiranog pojma. Mi možemo pokušati poboljšati svoju hipotezu (V) opetovanim primjenama pravila (delta). Rezultirajući niz, [V, \ delta (V), \ delta (delta (V)), \ delta (delta (delta (V))), \ ldots,)
je revizijski niz za (delta). Ukupnost revizijskih nizova za (delta) za sve moguće početne hipoteze predstavlja postupak revizije generiran (delta). Na primjer, revizijsko pravilo za (18) generira postupak revizije koji se između ostalog sastoji od slijedećih revizijskih nizova:
[U, { text {Sokrat}, \ tekst {Platon} }, { tekst {Sokrat}, \ tekst {Platon}, \ tekst {Aristotel} }, { tekst {Sokrat}, \ text {Plato} }, \ ldots)) { text {Xenocrates} }, { text {Sokrat}, \ text {Aristotel} }, { text {Sokrat} }, { text {Sokrat}, \ tekst {Aristotel} }, \ ldots)
Promatrajte ponašanje naših četiriju drevnih filozofa u ovom procesu. Nakon nekih početnih faza revizije, Sokrat uvijek pada u revidiranim interpretacijama, a Ksenokrat uvijek izlazi van. (U ovom konkretnom primjeru ponašanje njih dvoje je fiksirano nakon početne faze; u drugim slučajevima može proći više faza revizije prije nego što se status predmeta riješi.) Proces revizije donosi kategoričku presudu dvojici filozofa: Sokrat kategorički potpada pod (G), a Xenocrates kategorički spada izvan (G). Predmeti o kojima postupak ne donosi kategoričku presudu kažu da su patološki (u odnosu na pravilo revizije, definiciju ili definirani pojam). U našem primjeru Platon i Aristotel su patološki u odnosu na (18). Status Aristotela nije stabilan ni u jednom revizijskom nizu. Kao da se postupak revizije ne može odlučiti na njega. Ponekad za Aristotela vlada pad pod (G), a postupak se tada preokreće i izjavljuje da ne spada pod (G), a onda se proces ponovno okreće. Kad se objekt na takav način ponaša u svim revizijskim nizovima, kaže se da je to paradoksalno. Platon je također patološki u odnosu na (G), ali njegovo je ponašanje u procesu revizije različito. Platon stječe stabilan status u svakoj revizorskoj sekvenci, no status koji stekne ovisi o početnoj hipotezi. Kad se objekt na takav način ponaša u svim revizijskim nizovima, kaže se da je to paradoksalno. Platon je također patološki u odnosu na (G), ali njegovo je ponašanje u procesu revizije različito. Platon stječe stabilan status u svakoj revizorskoj sekvenci, no status koji stekne ovisi o početnoj hipotezi. Kad se objekt na takav način ponaša u svim revizijskim nizovima, kaže se da je to paradoksalno. Platon je također patološki u odnosu na (G), ali njegovo je ponašanje u procesu revizije različito. Platon stječe stabilan status u svakoj revizorskoj sekvenci, no status koji stekne ovisi o početnoj hipotezi.
Postupci revizije pomažu u pružanju semantike za kružne definicije. [14] Oni se mogu koristiti za definiranje semantičkih pojmova poput "kategoričke istine" i logičkih pojmova kao što je "valjanost". Karakteristike logičkih predodžbi koje dobivamo presudno ovise o jednom aspektu revizije: broju faza prije nego što se predmeti usklade s njihovim redovitim ponašanjem u procesu revizije. Za neku se definiciju kaže da je konačan, otprilike, njezin postupak revizije nužno zahtijeva tek konačno mnogo takvih faza. [15] Za konačne definicije postoji jednostavna logička računica, (mathbf {C} _ {0}), koja je zvučna i cjelovita za revizijsku semantiku. [16] S neograničenim definicijama, postupak revizije proširuje se u transfinit. [17]A ove definicije mogu jeziku dodati značajnu izražajnu snagu. (Kada se dodaju aritmetikama prvog reda, ove definicije omogućavaju definiranje svih (Pi ^ {1} _ {2}) skupova prirodnih brojeva.) Zbog ekspresivne snage, opći pojam valjanosti za neograničeno kružno definicije nisu aksiomatizirane (Kremer 1993). Možemo u najboljem slučaju dati zvučno logičko računanje, ali ne cjelovito. Situacija je analogna onoj s logikom drugog reda.
Promatrajmo neke opće značajke revizijske teorije definicija. (i) U skladu s ovom teorijom, logika i semantika nekružnih definicija - tj. definicija u normalnom obliku - ostaju iste kao u tradicionalnom računu. Pravila uvođenja i uklanjanja drže se neograničeno, a faze revizije su nužne. Odstupanja od tradicionalnog računa događaju se samo u kružnim definicijama. (ii) Prema teoriji, kružne definicije ne narušavaju logiku osnovnog jezika. Rečenice koje sadrže definirane pojmove podliježu istim logičkim zakonima kao i rečenice osnovnog jezika. (iii) Konzervativnost vrijedi. Nijedna definicija, bez obzira koliko zlobna kružnost u njoj, ne podrazumijeva ništa novo na maternjem jeziku. Čak i krajnje paradoksalna definicija
[Gx \ eqdf { sim} Gx)
poštuje zahtjev konzervativnosti. (iv) Eliminiranje nije moguće. Rečenice proširenog jezika općenito se ne mogu reducirati u odnosu na izvorni jezik. Ovaj neuspjeh ima dva izvora. Prvo, teorija revizije popravlja uporabu rečenica proširenog jezika, ali bez smanjenja rečenica na osnovni jezik. Teorija stoga ispunjava kriterij Upotrebe, ali ne i snažniji Eliminiranost. Drugo, u ovoj teoriji, definicija može zemljištu dodati logičku i izražajnu snagu. Dodavanje kružne definicije može rezultirati definiranjem novih skupova. To je još jedan razlog zašto Eliminability ne uspijeva.
Može se prigovoriti da svaki koncept mora imati proširenje, da mora postojati definitivna ukupnost objekata koji spadaju pod taj pojam. Ako je to ispravno, predikat je smislen - izražava pojam - samo ako predikat nužno oštro definira svijet u one predmete na koje se odnosi i na one na koje se ne odnosi. Dakle, zaključuje prigovor, nijedan predikat s u osnovi kružnom definicijom ne može biti smislen. Prigovor očito nije presudan jer počiva na premisi koja odbacuje mnoge obične i naizgled smislene predikate (npr. „Ćelav“). Bez obzira na to, primjetno je jer ilustrira kako opća pitanja o značenju i pojmovima ulaze u raspravu o zahtjevima legitimnih definicija.
Glavna motivacija revizijske teorije je opisna. Tvrdi se da nam teorija pomaže da bolje razumijemo svoje uobičajene koncepte poput istine, nužnosti i racionalnog izbora. Uobičajeno, kao i zbunjujuće ponašanje ovih pojmova, tvrdi se, ima svoje korijene u kružnosti pojmova. Ako je to tačno, u opisnim i eksplikativnim definicijama ne postoji logičan zahtjev da one nisu kružne.
Za detaljnije obrade ovih tema pogledajte Gupta 1988/89, Gupta i Belnap 1993, te Chapuis i Gupta 1999. Pogledajte i prilog o revizorskoj teoriji istine. Za kritičke rasprave o revizorskoj teoriji, pogledajte radove Vanna McGeea i Donalda A. Martina, i odgovor Gupta, u Villanueva 1997. Vidi također Shapiro 2006.
Bibliografija
Belnap, N., 1993, "O strogim definicijama", Filozofske studije, 72: 115–146.
Beth, EW, 1953, „O metodi Padova u teoriji definicija“, Indagationes Mathematicae, 15: 330–339.
Boolos, GS, Burgess, JP, i Jeffrey, RC, 2002, Computability and Logic, četvrto izdanje, Cambridge: Cambridge University Press.
Carnap, R., 1956., Značenje i nužnost: Studija semantike i modalne logike, prošireno izdanje, Chicago: University of Chicago Press.
Chapuis, A. i Gupta, A. (ur.), 1999., Cirkularnost, definicija i istina, New Delhi: Indijsko vijeće filozofskih istraživanja.
Charles, D. (ur.), 2010, Definicija u grčkoj filozofiji, Oxford: Oxford University Press.
Chihara, CS, 1973, Ontologija i načelo začaranog kruga, Ithaca: Cornell University Press.
Church, A., 1956., Uvod u matematičku logiku, Princeton: Princeton University Press.
–––, 1976, „Usporedba Russellove rezolucije semantičkih antinomija s onom Tarski“, Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
Demopoulos, W., 2003., "O racionalnoj rekonstrukciji našeg teorijskog znanja", Britanski časopis za filozofiju znanosti, 54: 371–403.
Dudman, VH, 1973, “Frege o definicijama”, um, 83: 609–610.
Frege, G., 1879, Begriffschrift, u: Od Fregea do Gödela: Izvorna knjiga iz matematičke logike 1879–1931, uredio J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), str. 1–82.
–––, 1884., Temelji aritmetike: Logičko-matematički ispitivanje pojma broja, drugo revidirano izdanje (1980), Evanston: Northwestern University Press.
–––, 1914., „Logika u matematici“, u Gottlob Frege: Posthumous Writings, uredili H. Hermes, F. Kambartel i F. Kaulbach, Chicago: University of Chicago Press (1979), str. 203-250.
Gödel, K., 1944., "Russell's Mathematical Logic", prepisano u svojim Zbornicima radova: II svezak: Publikacije 1938-1974, New York: Oxford University Press (1990), str. 119–141
Gupta, A., 1988/89, „Primjedbe na definicije i pojam istine“, Zbornik Aristotelovskog društva, 89: 227–246.
–––, 2006., „Konačne kružne definicije“, u Samo referenci, uredili T. Bolander, VF Hendricks i SA Andersen, Stanford: CSLI Publications, str. 79–93.
Gupta, A. i Belnap, N., 1993, Revizija teorija istine, Cambridge MA: MIT Press.
Hacker, PMS, 1993, "Wittgenstein o opsežnim definicijama", Anketa, 18: 267–287.
Hale B. i Wright C., 2001., Ispravna studija o razumu: eseji o neo-fregeanskoj filozofiji matematike, Oxford: Clarendon Press.
Hazen, A., 1983., “Predikativna logika”, u Priručniku filozofske logike: svezak I: Elementi klasične logike, uredili D. Gabbay i F. Guenthner, Dordrecht: Reidel, str. 331–407.
Hodges, W., 1993., Tarskijeva teorija definicije, u Novim esejima o Tarskom i filozofiji, uredio D. Patterson, Oxford: Oxford University Press, str. 94-132.
Horty, J., 2007, Frege on Definitions: A Case Study Semantic Content, New York: Oxford University Press.
Kremer, P., 1993., "Sustavi Gupta-Belnap (mathbf {S} ^ { #}) i (mathbf {S} ^ {*}) nisu aksiomatizirani," Notre Dame Journal of Formalna logika, 34: 583–596.
Kripke, SA, 1980, Imenovanje i nužnost, Cambridge MA: Harvard University Press.
Locke, J., 1689, Esej o ljudskom razumijevanju, uredio PH Nidditch, Oxford: Oxford University Press (1975).
Martinez, M., 2001, „Neka svojstva zatvorenosti konačnih definicija“, Studia Logica, 68: 43–68.
Moschovakis, Y., 1974., Elementarna indukcija na apstraktne strukture, Amsterdam: Sjever-Holland.
Padoa, A., 1900., "Logički uvod u bilo kakvu teoriju dedukcije", u: od Fregea do Gödela: Izvorna knjiga iz matematičke logike, 1879-1931, uredio J. van Heijenoort, Cambridge, MA: Harvard University Press (1967), s. 118–123.
Quine, WVO, 1951., "Dvije dogme empirizma", prepisano je u svom članku s logičkog stajališta, Cambridge MA: Harvard University Press (1953), str. 20–46.
–––, 1960, Riječ i objekt, Cambridge MA: MIT Press.
Robinson, R., 1950, definicija, Oxford: Clarendon Press.
Russell, B., 1908, „Matematička logika na temelju teorije tipova“, prepisana u svojoj „Logika i znanje: eseji 1901–1950, London: George Allen & Unwin (1956), str. 59–102.
–––, 1948., Znanje o čovjeku: njegov doseg i granice, New York: Simon i Schuster.
Suppes, P., 1957, Uvod u logiku, New York: Van Nostrand Reinhold.
Tarski, A., 1983, Logika, Semantika, Metamatika: Radovi od 1923. do 1938., drugo izdanje, uredio J. Corcoran, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
Urbaniak, R., i Hämäri, KS, 2012, „Razbijanje mita o Leśniewskom i definicijama“, Povijest i filozofija logike, 33: 159–189.
Villanueva, E., (ur.), 1997, Istina (Filozofska pitanja 8), Atascadero: Ridgeview Publishing Company.
Whitehead, AN i Russell, B., 1925, Principia Mathematica, god. 1, drugo izdanje, Cambridge: Cambridge University Press.
Whiteley, CH, 1956, „Značenje i opsežna definicija“, um, 65: 332–335.
Wittgenstein, L., 1953, Philosophical Investictions, New York: Macmillan.
Akademske alate
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.
Ostali internetski resursi
Definicije, rječnici i značenja, bilješke Normana Swartza sa Sveučilišta Simon Fraser
