Propoziciona Funkcija

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-08-25 04:38

Ulazna navigacija

• Sadržaj unosa
• Bibliografija
• Akademske alate
• Prijatelji PDF pregled
• Podaci o autoru i citiranju
• Povratak na vrh

Propoziciona funkcija

Objavljeno u srijedu, 20. srpnja 2011

Kao što ime sugerira, propozicijske funkcije su funkcije koje kao svoje vrijednosti imaju propozicije. Propozicione funkcije igrale su važnu ulogu u modernoj logici, od svojih početaka u Fregeovoj teoriji koncepata i njihovih analiza u Russellovim djelima, do njihovog pojavljivanja u vrlo općenitom obliku u suvremenoj teoriji tipa i kategorijalnoj gramatici.

U ovom članku dajem povijesni pregled uporabe prijedloga funkcija u logičkoj teoriji i pogleda na njihovu prirodu i ontološki status.

• 1. pretpovijest
• 2. Logika rodbine
• 3. Propozicione funkcije i rađanje matematičke logike
• 4. Fregeanske funkcije i pojmovi
• 5. Nastanak propozicijskih funkcija
• 6. Propozicione funkcije u teoriji jednostavnog tipa
• 7. Propozicione funkcije u teoriji ramificiranog tipa
• 8. Što je propoziciona funkcija u Russellu?
• 9. Mogući svjetovi i propozicione funkcije
• 10. Montague semantika
• 11. Kategorijska gramatika
• 12. Zaključak

• Bibliografija

  • Važna djela u kojima propozicione funkcije igraju ključnu ulogu
  • Udžbenici u kojima propozicijske funkcije istaknute istaknuto
  • Ostali primarni izvori:
  • Citirana druga djela
• Akademske alate
• Ostali internetski resursi
• Povezani unosi

1. pretpovijest

Prije nego što započnemo s raspravom o prijedloškim funkcijama, bit će korisno zabilježiti što je došlo prije njihova uvođenja. U tradicionalnoj logici ulogu prijedloga funkcije približno drže pojmovi. U tradicionalnoj logici izjave poput "psi su sisari" tretiraju se kao postulati odnosa između termina "psi" i "sisavci".

Pojam se tretira ekstenzivno kao klasa objekata ili intenzivno kao skup svojstava. 'Namjera' izraza 'pas' uključuje sva svojstva koja su uključena u namjeru 'sisavca'. Intenzivno liječenje "pasa sisavaca" tumači ovu rečenicu istinitom jer je semantička interpretacija subjekta superset tumačenja predikata. Što se tiče ekstenzivne obrade rečenice, rečenica je istinita jer je interpretacija subjekta (klasa pasa) podskup interpretacije predikata (skup sisavaca).

Ova dva tretiranja predikata karakteristična su za dvije tradicije u tradicionalnoj logici - intenzivnoj i ekstenzijskoj tradiciji. Logičari koji se mogu ubrojiti u intenzivne logike su Gottfried Leibniz, Johann Lambert, William Hamilton, Stanley Jevons i Hugh MacColl. Među logičarima ekstenzija su George Boole, Augustus De Morgan, Charles Peirce i John Venn.

Tretiranje pojmova u svojstvu intenzivne logike tradicije određenih rečenica može se činiti čudnim modernim čitateljima. Namjera predikata u filozofiji ^20. stoljeća uključuje samo ona svojstva koja bi bilo koji nadležni govornik jezika mogao povezati s tim predikatom. Ova svojstva nisu dovoljna za davanje istinskih običnih izjava poput „svaki pas u mojoj kući spava“. Ali mi bismo mogli imati smisla u intenzivnom pogledu pojmova uzimajući u obzir njegovo porijeklo. Jedan od osnivača intenzivne logičke tradicije je Leibniz, koji smatra da su sve istine utemeljene u prirodi pojedinaca. Kompletni koncept pojedinca sadrži sve što je istina o njemu. Gradivši se na ovom, možemo vidjeti da će cjeloviti pojam pojma uključivati i dovoljno da se utemelji bilo kakva istina o tome.

U tradiciji intenzivne i ekstenzivne logike vidimo teorije složenih pojmova. U ekstenzionalnoj tradiciji disjunktivni i konjuktivni pojmovi tumače se udruživanjem i sjecištem klasa. Konjuktivni pojam AB tumači se kao sjecište klase A i klase B, a produženje disjunktivnog pojma A + B shvaća se kao sjedinjenje ekstenzija A i B.

U intenzivnoj tradiciji vrijedi i obrnuto. Izraz AB tumači se kao sjedinjenje svojstava u namjeri A, a intencija B i A + B tumači se kao sjecište svojstava u A i B. Ovaj preokret ima smisla, jer više stvari odgovara manjem broju svojstava, a manje stvari odgovara većem broju svojstava.

Iako neki logičari koji djeluju u terminologiji imaju vrlo komplicirane postupke negacije, izvor moderne koncepcije također možemo vidjeti i u ekstenzijskoj tradiciji. U Booleu i većini njegovih sljedbenika negacija termina shvaća se kao teorijski postavljeni skup klase koja je predstavljena tim terminom. Iz toga se razloga negacija klasične propozicijske logike često naziva „logična negacija“.

2. Logika rodbine

U knjizi Charlesa Peircea "Logika rodbine" (1883.) vidimo pomak prema razumijevanju pojmova kao funkcija. Jedan problem tradicionalne termine logike je taj što nedostaje sposobnost bavljenja odnosima. Peirceova je logika rodbine namijenjena da to popravi. Dodaje izraze Booleovoj algebri koja predstavlja odnose i daje ekstenzivno tumačenje istih. Oni nisu prijedložne funkcije u punom smislu. Peircsova rodbina su „uobičajena imena“koja predstavljaju klase parova predmeta (1883, 328). Dakle, logika rodbine predstavlja generalizaciju tradicionalne logike, a ne odstupanje od nje.

Peirce proširuje algebru pojmova kako bi se bavio određenim osobinama odnosa. Kao i drugi pojmovi, možemo imati i konjuktivne, disjunktivne i negativne pojmove. Ako su f i g rođaci, tada fg predstavlja klasu parova (I, J), tako da ja nosim i f i g do J. Slično tome, srodnik disjunkcije, f + g je takav da predstavlja (I, J) ako nosim ili f ili g J i f ', negacija pojma f-predstavlja klasu parova (I, J) kao da se f ne drži između njih. Peirce također ima operatera za sastav;, takav da f; g imena (I, J) ako postoji neki entitet K takav da f imena (I, K) i g imena (K, J).

U „Kritiku argumenata“(1892.) Peirce usvaja stajalište koje je još bliže propozicijskoj funkciji. Tamo razvija koncept 'reme'. Kaže da je rema poput relativnog pojma, ali nije pojam. Sadrži kopulu, tj. Kada se pridruži tačnom broju argumenata, ona stvara tvrdnju. Na primjer, '_ kupuje _ od _ za _' je rema na četiri mjesta. Primjenjujući ga na četiri objekta a, b, c, i d, stvara se tvrdnja da je a kupljen od b od c za d (ibid. 420).

Jedna posebno zanimljiva točka o Peirceovoj remi je da on koristi istu kemijsku analogiju kao i Frege kada razgovaraju o odnosu odnosa i njihovih argumenata. Oboje uspoređuju odnose (i svojstva) s „atomima ili radikalima sa nezasićenim vezama“. Što točno ova analogija kaže o odnosima ili svojstvima, bilo u Fregeu ili Peirceu, pomalo je nejasno.

Pogledajte unos o Peirceovoj logici, za cjelovitiji prikaz njegova rada.

3. Propozicione funkcije i rađanje matematičke logike

U radu Giuseppea Peanoa (1858-1932) nalazimo još jedan važan korak prema modernom pojmu propozicijske funkcije. Iako njegov rad nije tako sofisticiran kao Fregeov (vidi dolje), važan je jer posebno utječe na Bertranda Russella.

U svojim „Načelima aritmetike predstavljenim novom metodom“(1889) Peano uvodi prijedložne veze u suvremenom smislu (implikacija, negacija, konjunkcija, disjunkcija i dvokondicijske konstante) i prijedloge konstante (verum i lažni).

Za nas je važnije njegovo liječenje kvantifikacijom. Peano dopušta da prijedlozi sadrže varijable, to jest on koristi otvorene formule. Ne daje tumačenje otvorenih formula. Ne kaže nam što oni predstavljaju. Ali oni se koriste u njegovoj teoriji kvantifikacije. Peano ima samo univerzalni kvantifikator. On ne definira egzistencijalni kvantifikator u 'Načelima'. Kvantifikator je uvijek vezan uz uvjetni ili dvokondicionirani. Kvantificirane propozicije uvijek su oblika

A ⊃ _{x, y,…} B

ili

A = _{x, y,…} B

Peano glasi "A ⊃ _{x, y, …} B" kao da kaže "ma šta x, y, … moglo biti, iz prijedloga A jedan izvodi B", a "=" je Peano dvokondicionalan, koji definira na uobičajeni način od uvjetnog i veznik. Ali on nam ne daje više tumačenje od toga. On se varijabli naziva "neodređenim objektima", ali ne raspravlja o tome što bi mogao biti ovaj ili što neki prijedlog (ili propozicijska funkcija) koji sadrži prijedloge objekata.

4. Fregeanske funkcije i pojmovi

U Fregeu imamo prilično općenito tumačenje rečenica kao izražajnih funkcija koje se primjenjuju na argumente. Stajalište koje ovdje istražujem je jedno koje razvija u 1890-ima.

Razmislite o rečenici

Moj pas spava na podu.

Ova rečenica, kao i svi jezični izrazi, ima i smisla i referencu. Njegov je smisao apstraktni objekt-misao. Njegov referent je vrijednost njegove istine (koja je u ovom trenutku Istina). Fregeovu analizu misli raspravljat ćemo ubrzo, ali pogledajmo sada referente izraza koji čine ovu rečenicu.

Izraz "moj pas", prema Fregeu, jedinstven je izraz. Izvadi predmet (moj pas, Zermela). Izraz "spava na podu" odnosi se na pojam. Pojmovi su funkcije. U ovom slučaju, koncept je funkcija od objekata do vrijednosti istine (koje su ujedno i objekti). Dakle, gornju rečenicu možemo tretirati kao reprezentaciju da koncept _ spava na podu kao primjenu na objekt moj pas.

Fregeovi pojmovi u gotovo suvremenom smislu gotovo su prijedloge funkcija. Frege ih izričito prepoznaje kao funkcije. Kao i Peirceova rema, pojam je nezasićen. Oni su na neki način nepotpuni. Iako Frege u svom opisu nepotpunosti pojmova i drugih funkcija nikada ne nadilazi metaforičko, jedno je jasno: razlika između objekata i funkcija glavna je podjela u njegovoj metafizici. Nešto je posebno u funkcijama što ih razlikuje od objekata.

Razmotrimo opet „moj pas spava na podu“. Frege misli da se ta rečenica može analizirati na različite različite načine. Umjesto da to tretiramo kao izražavanje aplikacije _ spava na tlu svom psu, možemo to misliti kao izražavanje primjene koncepta

moj pas spava na _

do objekta

kat

(vidi Frege 1919.). Frege prepoznaje ono što je sada uobičajeno u logičkoj analizi prirodnog jezika. Jednoj rečenici možemo pripisati više logičkih oblika. Nazovimo to principom višestrukih analiza. Frege ne tvrdi da taj princip uvijek vrijedi, ali kao što ćemo vidjeti, moderna teorija tipa to tvrdi.

S obzirom na smisao rečenica, one su također rezultat primjene funkcija na predmete. Osjećaj 'moj pas' apstraktan je objekt. Osjećaj „spava na podu“funkcija je od pojedinačnih osjetila, poput onog „mog psa“, do misli (vidi Frege 1891). Osjećaj "spava na podu" pojmovno je. Čini se da princip višestrukih analiza vrijedi onoliko koliko i osjetila. Frege, međutim, ponekad govori kao da su osjetila sastavnih izraza rečenice zapravo sadržana nekako u mislima. Teško je razumjeti kako bi sva takva osjetila mogla biti u mislima ako postoje različiti načini na koje se rečenica može analizirati u sastavne izraze.

Uz koncepte i konceptualna osjetila, Frege drži da postoje i proširenja pojmova. Frege proširivanje koncepta "tijek vrijednosti". Tijek vrijednosti određuje se vrijednost koju koncept ima za svaki od svojih argumenata. Dakle, tijek vrijednosti za pojam _ pas bilježi da je njegova vrijednost za argument Zermela Istina, a za Sokrata lažno, i tako dalje. Ako dva pojma imaju iste vrijednosti za svaki argument, tada su i njihovi tečajevi vrijednosti isti. Dakle, tečajevi vrijednosti su ekstenzivni.

Više o Fregeovoj teoriji pojmova i odnosu prema njegovoj logici potražite u članku o Fregeovoj teoremi i osnovama aritmetike.

5. Nastanak propozicijskih funkcija

Izraz "prijedloška funkcija" prvi se put pojavljuje u tisku u Načelima matematike Bertranda Russella (1903). Russell uvodi pojam kroz raspravu o vrstama prijedloga. Razmotrite prijedloge tipa koji o nečemu govore da je pas. Ovo je vrsta 'x je pas'. Ova vrsta je prijedloška funkcija koja vodi bilo koji objekt o u stav da je o pas.

U ovom razdoblju, Russell smatra da su prijedlozi entiteti koji imaju pojedince i svojstva i odnose kao sastavne dijelove. Tvrdnja da je Sokrat čovjek ima Sokrata i svojstvo biti čovjek kao sastavni dio. U složenim propozicijama odnos propozicijske funkcije i prijedloga je manje jasan. Poput Fregea, i Russell dopušta apstrakciju prijedloške funkcije od bilo kojeg propusta subjekta iz propozicije. Dakle, možemo promatrati prijedlog

Ako Sokrat pije pikčić, on će umrijeti

kao predstavljanje primjene funkcije

x pije pikica ⊃ x će umrijeti

do Sokrata, ili funkcije

Sokrat će piti x ⊃ Sokrat će umrijeti

na hemlock, i tako dalje. Drugim riječima, Russell prihvaća princip višestrukih analiza.

U Načelima je kvantifikator „sve“analiziran kao dio referentnih fraza koje odabire klase (1903, 72). To možemo vidjeti, je držanje u više od 19 ^-og stoljeća ekstenzijskom logičara (vidi poglavlje 1). Ali u nešto kasnijim radovima, poput "O određivanju" (1905), propozicijske funkcije kažu da su sastavni dijelovi univerzalnih propozicija. Prema ovoj analizi, prijedlog izražen rečenicama kao što je "Svi psi laju" sastoji se od propozicijske funkcije x x pas laje i funkcije (od prijedloga funkcija) koja je predstavljena kvantificirajućom frazom "all". Kvantificirani prijedlozi su nam zanimljivi jer sadrže prijedloge kao sastavne dijelove.

Nejasno je drži li Russell da se i prijedloge mogu pojaviti kao sastavni dijelovi u jedinstvenim prijedlozima, primjerice, ako Sokrat pije pikčić, on će umrijeti. Ti prijedlozi sadrže svojstva, poput matrica, i odnosa, poput pića, ali sporno je misli li Russell da su to propozicione funkcije (vidjeti Linsky 1999 i Landini 1998).

6. Propozicione funkcije u teoriji jednostavnog tipa

Dok je pisao Načela matematike, Russell je otkrio paradoks koji sada nosi njegovo ime. Prije nego što dođemo do Russellovog paradoksa, razmotrimo neke metode dijagonalizacije pomoću kojih se generiraju ovaj i mnogi drugi paradoksi.

Skup snage skupa S, contains S sadrži sve podskupine S. Georg Cantor (1845.-1818.) Koristio je metodu dijagonalizacije da pokaže da je za bilo koji skup S, ℘ S veći od S.

Evo Cantorinog dokaza. Pretpostavimo da su ℘ S i S iste veličine. Zatim, uz set-teoretski definiciju „iste veličine” (točnije, „isti kardinalnost”) postoji jedan-na-jedan surjection između S i ℘ S. To znači da postoji funkcija koja povezuje svakog člana S s jedinstvenim članom ℘ S tako da nema preostalih članova ℘ S. Nazovimo ovu funkciju, f. Zatim, ako je x član S, f (x) je u ℘ S. Sada, budući da je ℘ S skup snage S, može biti da je x u f (x) ili da nije u f (x). Definirajmo sada skup C:

C = {x ∈ S: x ∉ f (x)}

Jasno, C je podskup S, tako da je u ℘ S. Prema hipotezi, f je na -za svaki član y od ℘ S, postoji x ∈ S takav da je f (x) = y. Stoga mora postojati neki c ∈ S takav

f (c) = C

Sad, bilo

c ∈ C

ili

c ∉ C.

Pretpostavimo da je c u C. Zatim, definicijom C, c nije u f (c). To znači, c ∉ C. Ali, ako c nije u C, onda c ∉ f (c). Prema definiciji C, c je u C. Tako,

c je u C ako i samo ako c nije u C.

Prema tome, pretpostavka da je skup iste veličine kao i njegov set snaga dovodi do paradoksa, pa ta pretpostavka mora biti lažna.

Cantorski teorem ima važne posljedice za teoriju prijedloga funkcija. Razmotrimo model za logički jezik (prvog reda) koji ima domenu D. Varijable jezičnog raspona u odnosu na članove D. Sada dodajmo jezike varijable predikata. Oni zastupaju prijedloge funkcija. Kako ih tumačimo u modelu? Standardni način postupanja - koji je naslijeđen iz tradicije logike ekstenzije - jest imati predikatski raspon varijabli u podskupini domene. Model u kojem se predikatne varijable nalaze u svim podskupinama domene naziva se 'standardni model' za logiku drugog reda. Cantorski teorem govori nam da je domena za predikatne varijable u standardnom modelu veća od domene za pojedine varijable. Ako imamo predikate predikata,tada je domena za predikate trećeg reda još veća. I tako dalje.

Russell-ov paradoks je usko povezan s Cantor-ovom teoremom. Postoje dvije verzije paradoksa: (1) verzija klase; (2) inačica prijedloga funkcije. Ja samo raspravljam o prijedloškoj funkciji paradoksa.

U svojim ranim spisima Russell želi da logika bude univerzalna znanost. To bi nam trebalo omogućiti da razgovaramo o svojstvima svega. Pri tome on znači da se varijable u logici trebaju uzeti u rasponu nad svim entitetima. Ali prijedloge, barem u Načelima, su cjeline. Dakle, varijable bi trebale biti iznad njih. A sada razmotrite predikat R takav,

(∀ x) (Rx = ¬ xx)

(Russell-ov predikat R vrlo je sličan Cantor-ovom skupu C.) Ako instanciramo i zamijenimo R za x, dobivamo

RR ≡ ¬ RR

Čini se, tada, da tretiranje varijabli kao potpuno općih, zajedno sa slobodom definiranja prijedloga funkcija pomoću bilo koje dobro oblikovane formule, omogućuje nam da izvučemo kontradikciju.

Russell blokira kontradikciju u Načelima uvođenjem teorije tipova. Ovo je jednostavna teorija tipova, koja razlikuje samo vrste različitih funkcija prijedloga (ili, u svom razrednom obliku, klasa). Odmaknimo se od Russellovog vlastitog izlaganja teorije tipova kako bismo dali strožu i moderniju verziju teorije. Ovo će mi olakšati prezentacije razgranate teorije tipova i modernijih verzija teorije tipova.

Koristit ćemo jednu osnovnu vrstu, ja (vrstu pojedinaca) i definirati vrste na sljedeći način:

1. ja sam tip;
2. ako su t ₁,…, t _n vrste, onda je to i <t ₁,…, t _n >, gdje je n ≥ 0.
3. Ništa drugo nije vrsta osim opetovanih primjena (1) i (2).

Tip <t ₁,…, t _n > je tip odnosa među entitetima tipova t ₁,…, t _n. Ali, radi jednostavnosti, to ćemo tumačiti kao vrstu funkcije koja vodi ove entitete na prijedlog. (Imajte na umu da kada je n = 0, prazan tip, je tip za prijedloge.) Ova definicija uključuje ideju dobro utemeljene strukture. Ovdje nema ciklusa. Ne možemo imati funkciju koja kao argument uzima funkciju istog ili višeg tipa. Dakle, jednostavna teorija tipa zabranjuje vrstu samo-primjene što daje Russell-ov paradoks.

Hijerarhija tipa skladno odgovara hijerarhiji domena koju smo vidjeli u našoj raspravi o Cantorinom teoremu. Unarni predikat ima vrstu <i>; njegova domena je D-skup pojedinaca. Unarni predikat predikata ima vrstu << i >>, a to odgovara domeni podskupova D. I tako dalje.

Više informacija potražite u članku o Russell-ovom paradoksu.

7. Propozicione funkcije u teoriji ramificiranog tipa

Nakon Načela, međutim, Russell vjeruje da jednostavna teorija vrsta nije dovoljna. Razlog za to ima veze s paradoksom lažljivca. Pretpostavimo da je "L" naziv za prijedlog:

L je lažno.

Ta je izjava lažna ako i samo ako je istinita. Ovdje problem ima neke veze sa samoreferenciranjem, ali to se ne može izbjeći samom jednostavnom teorijom tipova. Samo za jednostavne tipove daje nam hijerarhiju vrsta prijedloga funkcija. U jednostavnoj teoriji tipa, sve propozicije imaju isti tip.

Ideja koja stoji iza teorije ramificiranog tipa je uvesti i hijerarhiju prijedloga. Prema ovom mišljenju, prijedlozi i funkcije prijedloga imaju redoslijed. Ako se propozicijska funkcija primjenjuje na prijedlog određenog reda, tada se radi o prijedlogu višeg reda. I svaka funkcija mora imati viši poredak od svojih argumenata. Dakle, izbjegavamo lažljiv paradoks zabranjujući da se prijedlog odvija unutar samog sebe. Ako se prijedlog p dogodi unutar drugog prijedloga, jer je argument funkcije kao što je x lažan, tada je rezultirajući prijedlog višeg reda nego p.

Nažalost, Russell nikada ne daje preciznu formulaciju razgrađene teorije. Možda je najbolja formulacija zaslužna za Crkvu Alonzo (1976). ^[1]

Gotovo istodobno s prihvaćanjem razjarene teorije tipova, Russell odustaje od prijedloga. Otprilike od 1908. do 1918., iako Russell zadržava ideju da postoje istinske tvrdnje, on negira da postoje lažne. Kad razmišljamo o nečemu što je lažno, recimo, Zermela je mačka, ne razmišljamo o lažnom prijedlogu, već su predmeti naše misli upravo Zermela i svojstvo biti mačka. Može se činiti čudnim postojati hijerarhija posebno dizajnirana za raslojavanje propozicija i zatim tvrditi da nema prijedloga. Neki su tumači, međutim, tvrdili da Russellovo poricanje postojanja prijedloga ne treba shvatiti ozbiljno i da postoje vrlo dobri razlozi da se Principia čita kao uglavnom teorija prijedloga (vidi Church 1984).

Jedan od razloga da se razgranata teorija tipova shvati ozbiljno (čak i bez prihvaćanja prijedloga) jest taj što se ona može korisno uklopiti u supstitucijsku teoriju kvantifikacije. Na supstitucijskoj interpretaciji kvantifikatora, univerzalno kvantificirana formula poput (∀ x) Fx je istinita ako i samo ako su svi njeni primjeri Fa ₁, Fa ₂, Fa ₃, … istiniti. Slično tome, (∀ x) Fa je istina samo i ako je barem jedan njegov primjerak istinit.

Razmotrimo zamjensku interpretaciju kvantifikatora sa varijablama u rasponu preko predikata, kao u formuli, (∀ P) Pa. Ova je formula istinita ako i samo ako su istinite sve njezine instance. Na jednostavnoj teoriji tipova, vrsta varijable P je <i>, jer su njeni argumenti svi pojedinci (ili pojedinačni izrazi). Ali je i jednostavna vrsta funkcije, (∀ P) Px. Dakle, instanca (∀ P) Pa je (∀ P) Pa. Supstitucijska interpretacija kvantifikatora zahtijeva da instance budu jednostavnije od formula koje su instancije. U ovom slučaju sve što saznajemo jest da je određena formula istinita samo ako je istinita. Ovo je neinformativno i čini se okrutno kružno.

Da bismo blokirali ovu vrstu kružnosti, možemo se okrenuti razmjernoj teoriji tipova. Na razgraničenoj teoriji, propozicijska funkcija (∀ P) Px je reda 2, zbog prisutnosti kvantifikatora koji veže varijablu reda 1. Na taj način, razgranata teorija prisiljava formule da budu jednostavnije (barem u smislu redoslijed) nego formula kojih su oni primjerci (vidjeti Hazen i Davoren 2000).

8. Što je propoziciona funkcija u Russellu?

Nakon 1905. u Russellu vidimo parsimonističku sklonost. Želi eliminirati entitete iz njegove ontologije. Neko vrijeme između 1908. i 1910. započinje negirati postojanje propozicija i to poricanje traje sve dok (1918.) ne razvije teoriju prijedloga kao strukture slike ili riječi. Kakva je, dakle, sudbina funkcija prijedloga? Možda će biti teško shvatiti što je propozicijska funkcija bez postojanja prijedloga, ali Russellov pogled nije tako kompliciran. Russell samo odbacuje lažne tvrdnje. U svojoj ontologiji zadržava činjenice. Propozicione funkcije u Principiji su ono što danas nazivamo "djelomičnim funkcijama". Odnosno, nemaju uvijek vrijednosti. Na primjer, prijedloška funkcija _ je pas nema vrijednost za Sydney Opera House uzeta kao argument,ali ona ima vrijednost kad se moj pas uzme kao njegov argument. Dakle, odbacivanje lažnih propozicija ne uzrokuje ozbiljan problem za teoriju prijedloga funkcija u Russellu.

Baveći se tim problemom, idemo dalje vidjeti što Whitehead i Russell misle o prirodi prijedloga funkcija. U Principiji kažu:

Pod "prijedloškom funkcijom" podrazumijevamo nešto što sadrži varijablu x i izražava prijedlog čim se vrijednost dodijeli x. To znači, razlikuje se od prijedloga samo po tome što je dvosmislen: sadrži varijablu kojoj vrijednost nije dodijeljena. (1910, 38).

U ovom se odlomaku čini se da oni govore da je prijedloška funkcija dvosmislen prijedlog. U svjetlu odbijanja prijedloga, ovo je gledište posebno teško razumjeti. Urquhart (2003) kaže da je za Whitehead i Russela prijedloška funkcija nešto više poput formule. To se čini ispravnim, budući da propozicijske funkcije sadrže varijable.

Ali što su zapravo prijedloge funkcija u Principiji? To je pitanje žestoke rasprave među Russellovim učenjacima. Možda najutjecajnija interpretacija je konstruktivna interpretacija, zbog Kurta Gödela (1944.). U tom tumačenju, prijedloge su ljudske konstrukcije neke vrste. Oni ovise o našoj sposobnosti razmišljanja o njima ili upućivanja na njih. Verzija konstruktivne interpretacije može se naći i u Linskyju (1999). U Landiniju (1998) postoji i nominalistič- ka interpretacija. S realne strane su interpretacije koje su dali Alonzo Church (1984) i Warren Goldfarb (1989). Goldfarb smatra da je logična teorija Principije motivirana Russellovim pokušajem pronalaženja stvarne prirode prijedloških funkcija i da je ta priroda neovisna o našem razmišljanju o njoj. Goldfarb ima dobru poantu,budući da je Russellova logika trebala biti upadljiv prikaz načina na koji su stvari. No, čini se da Russell često poriče da su funkcije prijedloga stvarne cjeline.

9. Mogući svjetovi i propozicione funkcije

Skakanje unaprijed nekoliko desetljeća, dodavanje mogućih svjetova zajedno s teorijom skupova u alatni okvir logičara pružalo im je vrlo moćan i fleksibilan okvir za rad semantike.

Prvo, podsjetimo se modernog pojma funkcije. Funkcija je skup uređenih parova. Ako je <a, b> u funkciji f, to znači da je vrijednost f za argument a jednaka b, ili, točnije, f (a) = b. Matematičkom definicijom funkcije za svaki argument funkcije postoji jedna i samo jedna vrijednost. Dakle, ako je naručeni par <a, b> u funkciji f i tako je <a, c>, tada je b ista stvar kao i c.

Izgradnja propozicijskih funkcija započinje s mogućim svjetovima i pretpostavkom da postoje skupovi. Nazovimo skup mogućih svjetova W. Prijedlog je skup mogućih svjetova. Tvrdnja da Zermela laje, na primjer, svi su svetovi u kojima Zermela laje. Također moramo pretpostaviti da postoji skup I mogućih pojedinaca (tj. Pojedinaca koji postoje u barem jednom mogućem svijetu). Sada imamo sve materijale za konstrukciju jednostavne teorijske hijerarhije funkcija.

Uobičajeni tretman značenja predikata malo se razlikuje od načina koji sam ovdje opisao. Obično se intencija predikata uzima kao funkcija od mogućih svjetova do skupa pojedinaca (ili skupova uređenih parova pojedinaca za binarne odnose, poredanih trojaka za odnose na tri mjesta i tako dalje). Strogo govoreći, ove funkcije nisu propozicione funkcije jer ne uzimaju prijedloge kao vrijednosti. Ali za svaku takvu funkciju možemo konstruirati 'ekvivalentne' prijedloge funkcije pomoću postupka nazvanog 'Currying' nakon logičara Haskell Curryja. Počnimo s funkcijom f od svjetova do skupa pojedinaca. Tada možemo konstruirati odgovarajuću propozicijsku funkciju g na sljedeći način. Za svaki svijet w i pojedine ja konstruiramo g tako da

w je u g (i) ako i samo ako sam u f (w).

Dakle, standardnije tretiranje značenja predikata stvarno je ekvivalentno uporabi prijedloga funkcija.

10. Montague semantika

Sada kada imamo cjelokupnu hijerarhiju funkcija propozicija, trebali bismo naći neko djelo za njih. Jedna teorija u kojoj propozicijske funkcije čine dobar posao je Montagueova semantika, koju je razvio kasni šezdesetih Richard Montague.

Da bismo razumjeli Montagueovu metodu, moramo razumjeti apstrakciju lambde. Za formulu A (x) čitamo izraz λ x [A (x)] kao predikatni izraz. To proširenje (u datom mogućem svijetu) je skup stvari koje zadovoljavaju formulu A (x). Lambda apstraktori reguliraju dva pravila, poznata kao α-pretvorba i β-smanjenje:

(α-con) A (a) (formula sa slobodom za x) može se zamijeniti s λ x [A (x)] a.

(β-crvena) λ x [A (x)] a može se zamijeniti s A (a) (gdje je x slobodan za a u A (x)).

Zbog ekvivalencije između formule A (x) i λ x [A (x)] a, moglo bi se zapitati zašto dodavati lambda apstraktore našem jeziku. U semantičkoj Montague, odgovor ima veze s vrlo izravnim načinom na koji on izraze prirodnih jezika prevodi na svoj logički jezik. O tome ćemo uskoro raspravljati, ali prvo da naučimo nešto o Montagueovoj intenzivnoj logici.

Montague svom jeziku dodaje još dva zapisa: ^∧ i ^∨. Izraz ^∧ λ x [Fx] predstavlja funkciju od svjetova do skupa pojedinaca. S obzirom na mogući svijet w, ^∧ λ x [Fx] predstavlja funkciju koja w vodi do proširenja λ x [Fx]. Operator ^∨ uzima izraze oblika ^∧ λ x [Fx] 'dolje' na njihova proširenja u svijetu u kojem se izraz ocjenjuje. Na primjer, produžetak ^{∨ ∧} λ x [Fx] na w jednako je kao i proširenje λ x [Fx] na w.

Ono što je u Montagueovoj semantiki toliko posebno jest to da se ona može koristiti na vrlo izravan način kao semantika za velike fragmente prirodnih jezika. Razmislite o sljedećoj rečenici:

Zermela laje.

Značenje ove rečenice shvaća se u seljaštvu Montaguea kao struktura značenja njegovih sastavnih izraza. Montague predstavlja značenja izraza koristeći pravila prevođenja. Ovdje koristimo sljedeća pravila prijevoda:

Zermela prevodi u λ P [(^∨ P) z]

barks prevodi u ^∧ B

Sada možemo konstruirati formulu koja daje značenje 'Zermela laje':

λ P [(^∨ P) z] ^∧ B

Primjetite da u konstruiranju rečenice izraze stavljamo istim redoslijedom u kojem se pojavljuju na engleskom jeziku. Upotreba lambda sažetaka omogućava nam preokrenuti redoslijed dvaju izraza s načina na koji bi se oni pojavili u običnim izjavama formalnog logičkog jezika (koji nema lambde). Sada možemo upotrijebiti β-redukciju za dobivanje:

(^∨∧ B) z

I sada primjenjujemo Montagueovo pravilo da eliminiramo ^∨∧:

Bz

U ovom procesu započinjemo s izrazom koji ima isti redoslijed izraza kao u originalnoj engleskoj rečenici, a zatim ga svodimo na vrlo standardnu logičku formulu. To nam govori da je uvjet istine rečenice 'Zermela laje' skup svjetova koji je tvrdnja koju je izrazio Bz. To smo, naravno, znali, neovisno o Montagueovu djelu, ali poanta je u tome što nam Montague redukcija pokazuje kako površinsku gramatiku engleskih rečenica možemo povezati s formulom našeg logičkog jezika. Formula standardne logike, osim toga, na uvjerljiv način prikazuje njegova stanja istine. Dakle, Montague redukcija pokazuje nam povezanost rečenica prirodnih jezika s njihovim uvjetima istine.

11. Kategorijska gramatika

Kategorijske gramatike prvi su put konstruirali 1930-ih Kazamir Ajdukiewicz (1890–1963), a razvili su Yehoshua Bar Hillel (1915–1975) i Joachim Lambek (1922–) 1950-ih i 1960-ih. Kategoričke gramatike logični su alati za predstavljanje sintakse jezika.

U kategorijskoj gramatici sintaksa jezika predstavljena je korištenjem različite vrste generalizacije funkcionalne notacije nego u Montagueovoj semantiki. U Montague Semantics, lambda apstraktor koristi se za pomicanje značenja izraza na mjesto koje izraz zauzima u rečenici. U kategorijskoj gramatici predikati i mnoge druge vrste izraza uzimaju se u svojevrsne funkcije. Ali u kategorijskoj gramatici postoji razlika između dvije vrste primjene funkcije na njene argumente.

Pogledajmo kako to funkcionira. Počnimo s primitivnim vrstama CN (uobičajena imenica) i NP (imenica frazu). Neodređeni članak 'a' uzima zajedničku imenicu (s desne strane) i vraća NP. Dakle, ima tip NP / CN. Uobičajena imenica 'pas', naravno, ima tip CN. Pišemo 'A ima tip T' kao 'A ⊢ T'. Dakle,

a ⊢ NP / CN

i

pas ⊢ CN

Kako bismo sastavili ova dva nastavka, možemo upotrijebiti oblik pravila modus pravila koji kaže da iz sekvence X ⊢ A / B i sekvence Y ⊢ B možemo izvesti sekvencu X. Y ⊢ A. Pomoću ovog pravila možemo izvući:

a. pas ⊢ NP

Štoviše, neprelazni glagol ima vrstu NP / S, gdje je S vrsta rečenica. Povratak crte u NP / S znači da izraz uzima argument vrste NP na lijevoj strani i vraća izraz tipa S. Glagol 'laje' je neosjetljiv, tj.

laje ⊢ NP / S

Verzija modusa ponena koju koristimo s kosom kosom ruba nešto je drugačija. To nam govori da iz X ⊢ A / B i Y ⊢ A možemo izvesti Y. X ⊢ B. Tako sada možemo dobiti,

(a. pas). laje ⊢ S

To kaže da je 'pas laje' rečenica.

Logika koja se koristi za opisivanje gramatika na ovaj način je potkonstrukcijska logika.

Ono što nas ovdje zanima jest da se u kategorijama gramatike kao što su a, a glagoli smatraju funkcijama, ali mogu se međusobno razlikovati u pogledu toga uzimaju li argumente s njihove desne ili s lijeve strane. U postavljenom teoretskom konceptu funkcije kao skupa uređenih parova razmišlja se o funkcijama samo u smislu njihovih korelacijskih argumenata s vrijednostima. Funkcija, kako se podrazumijeva u kategorijskoj gramatici, ima višestruku strukturu od ove. Ovo je zanimljiva generalizacija pojma funkcije onako kako se koristi u logici. Možemo vidjeti da on također ima važne veze s konceptom prijedloge funkcije, pogotovo što se koristi u seansici Montaguea.

U kategorijskoj gramatici jednom izrazu na jeziku možemo pripisati više vrsta. Nazovimo ovo načelom više tipova. Evo primjera zbog Marka Steadmana. Razmislite o rečenici

Ne volim, a Mary uživa u mjuziklima.

Prijelazni glagoli 'ne voljeti' i 'uživa' imaju tip (NP / S) / NP, odnosno oni uzimaju imenski izraz na desnoj strani i vraćaju glagolsku frazu. Ali u slučaju "Ne volim, a Marija uživa u mjuziklu", glagoli su odvojeni od njihovog objekta i pridruženi njihovim objektima. Steadman se time bavi podižući vrstu predmeta 'Ja' i 'Marija'. Obično ove riječi tretiramo kao da imaju tip NP, ali ovdje imaju vrstu S / (NP / S). Ovo je vrsta izraza koja uzima glagolsku frazu s desne strane i vraća rečenicu. Steadman tada koristi pravilo zbog kojeg je kosa crta tranzitivna i proizlazi da "I.dislike" ima tip S / NP, koji uzima imenicu (poput "mjuzikla") s desne strane i vraća rečenicu.

Možemo vidjeti da načelo više tipova vrijedi i ako analiziramo rečenice drugih teorija tipa, poput jednostavne teorije tipova. Za razmatranje rečenicu

Mary jede hamburger.

U tumačenju ove rečenice možemo uzeti da je Marija vrsta I, ali također može biti i tip tipa>, odnosno, tip prijedloge za funkcije prijedloga. Možemo također podići vrstu 'jede hamburger' na << >>, propozicijsku funkciju na prijedloge funkcije na prijedloge funkcije za pojedince. I tako dalje. Načelo više vrsta i princip višestrukih analiza zajedno pokazuju da se jedan izraz ili rečenica može protumačiti kao vrlo velik broj logičkih oblika.

12. Zaključak

Ova kratka povijest prijedloga funkcija pokazuje da su oni korisni entiteti i da su igrali središnju ulogu u logici, jer se koristi u filozofiji i lingvistiki. Propustio sam više matematičke uporabe prijedloga funkcija, na primjer, u Russellovoj i Ramseyjevoj konstrukciji klasa i u obradama općih modela za logiku višeg reda. Ali tema prijedloga funkcija je velika i ne možemo ih sve obraditi u jednom enciklopedijskom članku.

Bibliografija

Važna djela u kojima propozicione funkcije igraju ključnu ulogu

• Crkva, Alonzo, predstojeće, Logika smisla i oznake crkve Alonzo, Cambridge: Cambridge University Press. (Ovo ima Crkvene radove u kojima on razvija intenzivnu logiku. U toj logici hijerarhija propozicijskih funkcija igra važnu ulogu u suočavanju s paradoksima koji se tiču izvještaja o prijedloškom stavu - tj. Izjavama o tome što ljudi vjeruju, misle, negiraju itd.)
• Cresswell, MJ, 1973, Logika i jezici, London: Methuen. (Ovo predstavlja jednostavniji rođak Montagueove semantike. Pogled se koristi kao semantika za izvještaje o stavovima o prijedlozima u M. Cresswell, Strukturna značenja, Cambridge, MA: MIT Press, 1985.)
• Frege, Gottlob, 1892, „O konceptu i predmetu“, u zbornicima zbornika, Oxford: Blackwell, 1991, 182–194. (Ovo je klasično predstavljanje Fregeovog pojma.)
• Goldblatt, Robert, 2011, Kvantifikat, prijedlog i identitet, Cambridge: Cambridge University Press. (Ovo predstavlja novu semantiku za modalnu logiku predikata koja koristi propozicije kao i svjetove. Poglavlje 4 istražuje neke formalne razloge za dodavanje prijedloga funkcija semantika.)
• Montague, Richard, 1973, Formalna filozofija, New Haven: Yale University Press. (Posljednja polovica knjige govori o Montagueovoj intenzivnoj logici i njegovoj semantiki za prirodni jezik.)
• Ramsey, Frank, 1925, 'Temelji matematike', u Ramseyu, Temelji: eseji iz filozofije, logike, matematike i ekonomije, Atlantic Highlands, NJ: Humanities Press, 1978, 152–212. (Ovo predstavlja teoriju prijedloga funkcija kao ključni element Ramseyjeve filozofije matematike.)
• Russell, Bertrand, 1903., Principi matematike, New York: Norton i Norton. (Ovo je Russell-ova prva trajna rasprava o prijedloškim funkcijama.)
• Whitehead, Alfred North i Bertrand Russell, 1910-1913 [1925], Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press. (Ovo je trajni, ali izuzetno težak prikaz teorije razgraničenog tipa.)

Udžbenici u kojima propozicijske funkcije istaknute istaknuto

• Dowty, David R., Robert E. Wall i Stanley Peters, 1981., Uvod u Montague Semantics, Dordrecht: Reidel, 1981. (Ovo je vrlo jasan udžbenik o Montagueovoj semantiki.)
• Gamut, LTF, 1991, logika, jezik i značenje, Chicago: University of Chicago Press. (Vrlo dobar i jasno napisan udžbenik koji između ostalog obuhvaća modalnu logiku, kategorijsku gramatiku i Montagueovu semantiku.)
• Hylton, Peter, 1990, Russell, Idealizam i pojava analitičke filozofije, Oxford: Oxford University Press, 1990.
• Hylton, Peter, 2005., Prijedlozi, funkcije i analize: Izabrani eseji o Russell-ovoj filozofiji, Oxford: University of Oxford. (Ovo djelo i Hylton 1990 važni su tekstovi o tumačenju Russellove logike. Hylton tvrdi da Russell-ova ideja propozicijske funkcije ne odgovara ostatku njegove metafizike.)
• Moortgat, Michael, 1988, kategorijska istraživanja: Logički i lingvistički aspekti Lambekove računice, Dordrecht: Publikacije Forisa. (Ovo je datirana, ali izvrsna knjiga o kategorijskoj gramatici.)

Ostali primarni izvori:

• Boole, George, 1854., Istraživanje zakona razmišljanja na kojima su utemeljene matematičke teorije logike i vjerojatnosti, New York: Dover, 1958.
• Frege, Gottlob, 1891, Pismo Edmundu Husserlu od 24. svibnja 1891, u Fregeu, Filozofsko-matematička korespondencija, Chicago: University of Chicago Press, 1980, 61–64.
• Frege, Gottlob, 1919, „Bilješke za Ludwiga Darmstaedtera“, u Fregeu, Posthumous Writings, Chicago: University of Chicago Press, 1979, 253–257.
• Frege, Gottlob, Zbornik radova iz matematike, logike i filozofije, Oxford: Blackwell, 1991.
• Jevons, WS, 1890., Pure Logic i druga manja djela, Whitefish, MT: Kessinger Publishing, 2009.
• Peano, Giuseppe, 1889, „Principi aritmetike predstavljeni novom metodom“, u J. van Heijenoort (ur.), Od Fregea do Gödela: knjiga s izvorima matematičke logike, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1981, 83–97.
• Peirce, CS, 1883, „Logija rodbine“, u zbornicima radova Charlesa Sandersa Peircea (svezak III: Točna logika), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933, 195–209.
• Peirce, CS, 1892, "Kritika argumenata", u zbornicima radova Charlesa Sandersa Peircea (svezak III: Točna logika), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933, 250-264.

Citirana druga djela

• Church, Alonzo, 1976., "Usporedba Russellove rezolucije semantičkih antinomija s onom Tarski", Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
• Church, Alonzo, 1984, „Russell-ova teorija identiteta prijedloga“Philosophia Naturalis, 21: 513–22.
• Gödel, Kurt, 1944., „Russell's Mathematical Logic“, u PA Schilpp (ur.), The Philosophy of Bertrand Russell, New York: Tudor Publishing Co., 123–144.
• Goldfarb, Warren, 1989., "Russell-ovi razlozi za razmnožavanje", u CW Savage i CA Anderson (ur.), Ponovno čitanje Russell-a: Eseses of Bertrand Russell-ova metafizika i epistemologija, Minneapolis: University of Minnesota Press, 24–40.
• Hazen, AP i JM Davoren, 2000., Australski časopis za filozofiju „Russell's 1925“, australski časopis za filozofiju, 78: 534–556.
• Kneale, William i Martha Kneale, 1984., The Development of Logic, Oxford: Oxford University Press.
• Landini, Gregory, 1998., Russell's Hidden Substitution Theory, Oxford: Oxford University Press.
• Lewis, CI, 1918., Istraživanje simboličke logike, Berkeley: University of California Press.
• Linsky, Bernard, 1999., Russell-ova Metafizička logika, Stanford: CSLI.
• Steadman, Mark, 1991, „Podizanje i usmjeravanje tipa u kombiniranoj gramatici“Sveučilište u Pensilvaniji Tehničko izvješće za računalne i informacijske znanosti MS-CIS-91-11.
• Urquhart, Alasdair, 2003, 'Teorija tipova', u N. Griffin (ur.), Cambridge Companion to Russell, Cambridge University Press, 286–309.

Akademske alate

	Kako navesti ovaj unos.
	Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
	Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
	Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

[Molimo kontaktirajte autora s prijedlozima.]