Kontroverza Frege-Hilbert

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-08-25 04:38

Ulazna navigacija

• Sadržaj unosa
• Bibliografija
• Akademske alate
• Prijatelji PDF pregled
• Podaci o autoru i citiranju
• Povratak na vrh

Kontroverza Frege-Hilbert

Prvo objavljeno Ned rujna 23, 2007; suštinska revizija Thu Aug 8, 2018

U ranim godinama dvadesetog stoljeća, Gottlob Frege i David Hilbert, dva titana matematičke logike, bavili su se kontroverzom o ispravnom razumijevanju uloge aksioma u matematičkim teorijama i ispravnom načinu prikazivanja dosljednosti i neovisnosti rezultata za takve aksiomi. Rasprava se dotiče brojnih teških pitanja logike i filozofije logike i označava važnu prekretnicu u razvoju moderne logike. Ovaj unos daje pregled te kontroverze i njezinih filozofskih podloga.

• 1. Uvod
• 2. Hilbertovi temelji geometrije
• 3. Frege-background i početne razlike
• 4. Dublje neslaganje
• 5. Trajna pitanja
• 6. Zaključak

• Bibliografija

  • Primarni izvori
  • Sekundarni izvori
• Akademske alate
• Ostali internetski resursi
• Povezani unosi

1. Uvod

U lipnju 1899., na ceremoniji obilježavanja postavljanja novog spomenika Gauss-Weberu u Göttingenu, David Hilbert održao je predavanje o osnovama geometrije. Objavljeno kasnije te godine, Teubner pod naslovom „Grundlagen der Geometrie“(„Temelji geometrije“), djelo predstavlja prekretnicu u razvoju moderne matematike i logike. Iako je tema rada geometrija, njegov se trajni utjecaj uglavnom odnosi na ulogu aksioma u matematičkim teorijama i na sustavno rješavanje takvih metateoretskih pitanja kao što su dosljednost i neovisnost. Predstavljajući bogate demonstracije dosljednosti i neovisnosti, Hilbert ovdje pokazuje snagu „formalnog“pristupa aksiomima i postavlja temelje za ono što uskoro postaje naš suvremeni model-teorijski pristup formalnim sustavima.(O povijesnoj pozadini Hilbertovog postupanja s aksiomima pogledajte Hallett 2012 i Geometry Nineteen Century; za ulogu Hilbertova djela u razvoju teorije modela pogledajte Teorija modela i Eder & Schiemer 2018.)

Hilbertovo predavanje i monografija potaknuli su oštru reakciju njegovog suvremenog Gottlob Fregea koji je utvrdio kako Hilbertovo razumijevanje aksioma, tako i njegov pristup demonstracijama dosljednosti i neovisnosti, gotovo nerazumljivi i u svakom slučaju ozbiljno manjkavi. Fregeova reakcija najprije je izložena u njegovoj prepisci s Hilbertom od prosinca 1899. do rujna 1900., a potom u dva niza eseja (oba pod naslovom „O temeljima geometrije“) objavljenim 1903. i 1906. Hilbert nikada nije bio podmiren Fregeovim kritikama, i nije odgovorio na njih nakon 1900. Frege, sa svoje strane, nikada nije bio uvjeren u pouzdanost Hilbertovih metoda, i držao se do kraja da su ovi dokazi o dosljednosti i neovisnosti bili kobno promašeni. ^[1]

U ovoj filozofskoj raspravi dvojice matematičara vidimo sukob dvaju prilično različitih načina razumijevanja prirode matematičkih teorija i njihovog opravdanja. Razlika mišljenja o uspjehu Hilbertove dosljednosti i dokaza o neovisnosti rezultat je, kako je dolje detaljno, rezultat značajnih razlika u mišljenju oko tako temeljnih pitanja kao što su: kako razumjeti sadržaj matematičke teorije, od čega se sastoji uspješna aksiomatizacija. "istine" matematičke teorije doista jesu i, na kraju, ono što se uistinu pita kada netko pita o dosljednosti skupa aksioma ili neovisnosti datog matematičkog iskaza od drugih.

U nastavku, kratko ćemo se osvrnuti na Hilbertovu tehniku u Temeljima geometrije, detaljno smo Fregeove kritike kritizirali te na kraju iznijeli cjelokupne logičke koncepcije koje uzrokuju razlike.

2. Hilbertovi temelji geometrije

Hilbertov rad u Temeljima geometrije (u daljnjem tekstu "FG") sastoji se prije svega od postavljanja jasnog i preciznog skupa aksioma za euklidsku geometriju i detaljnog prikazivanja odnosa tih aksioma jedan prema drugom i nekih temeljnih teoreme geometrije. Posebno, Hilbert pokazuje dosljednost različitih podskupina aksioma, neovisnost niza aksioma od drugih i različite odnose dokazivosti i neovisnosti važnih teorema od specifičnih podskupina aksioma. Uključene su nove demonstracije konzistentnosti cijelog skupa aksioma za euklidsku geometriju i neovisnosti aksioma paralela od ostalih euklidskih aksioma.

Ovdje je pojam „neovisnosti“neproizvodan: reći da je određena izjava neovisna o zbirci izjava znači da ih nije moguće provjeriti ili na isti način da zbirka logično ne uključuje to izjava. Dosljednost se također razumijeva u pogledu dokazivosti: reći da je zbirka izjava dosljedna znači da se iz nje ne može dokazati proturječnost. Otuda su dva pojma, dosljednost i neovisnost, međusobno definirati: skup iskaza je konzistentan ako je proizvoljno izabrana kontradikcija neovisna o njoj, a izjava S neovisna o skupu C ako je skup (C / cup { sim} S) je dosljedan.

Demonstracije Hilbertove dosljednosti u FG sve su demonstracije relativne konzistentnosti, što znači da je u svakom slučaju konzistentnost skupa AX geometrijskih aksioma svedena na onu poznate pozadinske teorije B, pokazujući da je AX dosljedan ako je B. Važna tehnika koju Hilbert koristi jest reinterpretacija geometrijskih izraza koji se pojavljuju u AX-u na takav način da, kao što su reinterpretirani, članovi AX-a izražavaju teoreme B. Na primjer, Hilbertov prvi dokaz postojanosti tumači pojmove „točka“, „linija“i „leži na“kako stoje respektivno za određenu kolekciju uređenih parova stvarnih brojeva, za zbirku omjera stvarnih brojeva i za algebarsko definirani odnos između takvih parova i omjera; pod ovom reinterpretacijom,dotične geometrijske rečenice izražavaju teoreme pozadinske teorije stvarnih brojeva.

Da takva strategija reinterpretacije jamči relativnu konzistentnost može se vidjeti slijedećim obrazloženjem: Ako je skup AX nedosljedan, onda bi to logično podrazumijevalo kontradikciju. No kako je logička implikacija neovisna o specifičnim značenjima takvih pojmova kao što su "točka" i "linija", AX će i dalje podrazumijevati kontradikciju u svojoj reinterpretaciji. Ali to samo znači da bi skup teorema B podrazumijevao kontradikciju, a samim tim i B bi bio nedosljedan.

Neovisnost se pokazuje na potpuno isti način. Da bismo pokazali da je izjava I neovisna o skupu AX iskaza (u odnosu na konzistentnost B), interpretiramo relevantne geometrijske pojmove na takav način da članovi AX-a, kako su interpretirani, izražavaju teoreme B, dok ja izražavam negacija teorema B. Odnosno, neovisnost I od AX (u odnosu na konzistenciju B) pokazuje se dokazivanjem dosljednosti (textit {AX} cup {{ sim} I }) u odnosu na B.

Opća ideja korištenja interpretacije za dokazivanje konzistentnosti nije bila nova u FG; slične strategije nedavno su primijenjene u raznim matematičkim školama kako bi pokazale dosljednost i neovisnost u aritmetičkoj i teorijskoj klasi, kao i geometriji. ^[2] Ova tehnika ima i antecedente u ranijoj uporabi geometrijskih modela kako bi dokazala konzistentnost ne-euklidske geometrije. ^[3]Hilbertov rad u FG-u ipak donosi značajan napredak u pogledu jasnoće i sustavne primjene tehnike, te utjecajan prikaz prirode metateoretskih rezonovanja uključenih u demonstriranje dosljednosti i neovisnosti putem reinterpretacije. Jednom kada se Hilbertova tehnika primijeni na rečenice potpuno formaliziranog jezika, razvoj koji se odvijao u fazama tijekom tri desetljeća nakon FG, dobivamo u osnovi moderno razumijevanje modela, čija se primjena danas u demonstracijama dosljednosti i neovisnosti razlikuje samo u pojedinostima iz one Hilbertove tehnike. ^[4]

Hilbertova središnja ideja, opet, nije usredotočiti se na određene geometrijske pojmove poput točke i crte, već obratiti pažnju na logičke odnose koji se, kaže, aksiomima, drže između tih koncepata. Pitanje neovisnosti aksioma paralele od ostalih euklidskih aksioma u potpunosti ima veze s logičkom strukturom izloženom tim aksiomima i nema veze s tim da li se radi o geometrijskim točkama i linijama o kojima se govori ili o nekoj drugoj temi uopce. Kao što kaže Hilbert,

[I] T sigurno je očito da je svaka teorija samo skela ili shema koncepata zajedno s njihovim potrebnim odnosima jedni prema drugima i da se o osnovnim elementima mogu razmišljati na bilo koji način koji joj se sviđa. Ako govorim o svojim stavovima mislim na neki sustav stvari, npr. Na sistem: ljubav, zakon, dimnjačarstvo … i onda sve svoje aksiome pretpostavim kao odnose između tih stvari, onda su moje tvrdnje, npr. Pitagorin teorem, sljedeće: vrijedi i za te stvari. Drugim riječima: svaka teorija se uvijek može primijeniti na beskonačno mnogo sustava osnovnih elemenata. (Pismo Fregeu, 29. prosinca 1899., kako je to iznio Frege [elipsa Hilbertova ili Fregeova] u Fregeu 1980: 40)

Ovo razumijevanje geometrijskih pojmova kao osjetljivih na više interpretacija omogućava uvid u same geometrijske rečenice i njihove skupove kao pružanje definicija određene vrste, vrste koja se obično naziva "implicitna definicija". Konkretno: Skup AX rečenica koje sadrže n reinterpretabilnih pojmova implicitno definira odnos n-mjesta (R _ { textit {AX}}) koji drži upravo one n -parove koji se, ako se uzimaju kao interpretacije AX-ovog, reinterpretabilnog uvjeti, čine članove AX-a istinitim. (Na primjer: ako je AX postavljen {Postoje najmanje dvije točke; Svaka točka leži na najmanje dvije linije}, tada je (R _ { textit {AX}}) odnos koji drži bilo koju trostruku (langle P, / textit {LO}, L / rangle) tako da P ima najmanje dva člana, L ima najmanje dva člana,a LO je odnos koji postoji između svakog člana P i najmanje dva člana L.). Definirani odnos je jednostavno apstraktna struktura, ili kao što Hilbert navodi "skele", koje dijeli bilo koja takva n-cjelina.^[5]

Kada skup rečenica daje implicitnu definiciju odnosa, može se postaviti pitanje je li taj odnos (i, produžetak, skup rečenica) zadovoljavajući. Odnosno, može se zapitati postoji li n -tuple koji će, služeći tumačenju relevantnih izraza u rečenicama, svaku rečenicu učiniti istinitom. Svaka demonstracija dosljednosti Hilberta u FG-u daje n-par koji zadovoljava relevantni definirani odnos, a samim tim i dokaz zadovoljenja tog odnosa. Zadovoljstvo u ovom smislu dovoljno je za dosljednost, putem gore navedenih obrazloženja. ^[6]

Sada možemo revidirati Hilbertovu tehniku ukratko na sljedeći način: S obzirom na skup AX rečenica, Hilbert apelira na pozadinsku teoriju B da konstruira interpretaciju AX-ovih geometrijskih pojmova pod kojima članovi AX-a izražavaju teoreme B. Ova interpretacija je, uz pretpostavku konzistentnosti B, n -tvorac koji zadovoljava odnos (R _ { textit {AX}}) definiran AX-om. Njegovo postojanje dokazuje zadovoljavajuću vrijednost (R _ { textit {AX}}), a time i konzistentnost AX-a u odnosu na B. Slično tome i za neovisnost I od AX-a.

3. Frege-background i početne razlike

Kod Fregea su stvari radikalno drugačije. Frege smatra da su rečenice koje koristimo u matematici važne samo zbog nelingvističkih prijedloga (ili, kako on kaže, „misli“) koje izražavaju. Matematičari koji rade na francuskom i njemačkom jeziku rade na istoj temi jer, kako to Frege vidi, njihove rečenice izražavaju iste misli. Svaka misao govori o određenoj temi i kaže nešto istinito ili lažno o toj temi. ^[7] Misli su također na ovo gledište stvari koje se međusobno logično podrazumijevaju ili proturječe, stvari koje su istinite ili lažne i stvari koje zajedno čine matematičke teorije. Dakle, Fregeov pogled smatra da su razmišljanja, a ne rečenice, stvari o kojima se postavljaju pitanja dosljednosti i neovisnosti.

Budući da svaka misao ima određenu temu, nema smisla govoriti o "reinterpretaciji" misli. Ova vrsta reinterpretacije kojom Hilbert sudjeluje, tj. Dodjeli različitih značenja određenim riječima, nešto je što se s fregejskog gledišta može primijeniti samo na rečenice. Prema tome, prva poteškoća koju Frege primjećuje s Hilbertovim pristupom je da nije jasno što Hilbert znači "aksiomima": ako on misli na vrste stvari zbog kojih se mogu pojaviti pitanja konzistentnosti i neovisnosti, tada on mora razgovarati o mislima, dok ako misli na vrste stvari koje su podložne višestrukim tumačenjima, tada mora govoriti o rečenicama.

Teškoće se množe odavde. Kad Hilbert pruža specifičnu reinterpretaciju geometrijskih pojmova na putu dokazivanja relativne dosljednosti skupa AX rečenica, Frege primjećuje da sada imamo dva različita skupa misli: skup koji bismo mogli nazvati „(textit {AX } _ {G})”misli izražene kada AX-ovi izrazi poprimaju svoja uobičajena geometrijska značenja (npr., Koja“točka”znači točka) i skup koji možemo nazvati“(textit {AX} _ {R}) “Misli izražene kad AX-ovi pojmovi poprimaju značenja koja su dodijeljena Hilbertovom ponovnom interpretacijom (na primjer," točka "znači par realnih brojeva). Hilbertova strategija reinterpretacije uključuje, sa Fregeovog stajališta,jednostavno preusmjeravanje naše pažnje sa skupa (textit {AX} _ {G}) misli obično izraženih rečenicama AX (a za čiju konzistenciju nas zanima) na novi skup (textit {AX} _ { R}) misli izraženih AX-om pod reinterpretacijom. A činjenica da reinterpretirane rečenice izražavaju istine o stvarnim brojevima nema puno veze, sa Fregeove perspektive, s pitanjima dosljednosti i neovisnosti koja se javljaju u izvornim razmišljanjima o točkama, linijama i ravninama.

Pored zbunjujuće (kako to Frege vidi) prakse prebacivanja naprijed-natrag između različitih skupina misli tijekom rasprave o određenom nizu rečenica, Hilbertov postupak uključuje i, kako to Frege vidi, još dva upitna aspekta.

Prvi se odnosi na potrebu za dokazivanjem dosljednosti. Prema Fregeovom mišljenju, aksiomi teorije uvijek tvore zbirku istinskih misli; a budući da istina podrazumijeva dosljednost, dosljednost zbirke aksioma nikada ne treba demonstraciju. Za Hilberta, s druge strane, činjenica da se zbirka rečenica uzima kao aksiomatična nije jamstvo istine (ili istine pod danom interpretacijom), a demonstracija dosljednosti često je presudan korak u uspostavljanju matematičke respektabilnosti toga zbirka aksioma.

Drugo, Hilbert i Frege značajno se razlikuju po pitanju povezanosti istine i dosljednosti. Uzimajući da se teorija aksiomatizira nizom višestruko interpretativnih rečenica, Hilbertovo je mišljenje da je konzistentnost takvog skupa dovoljna za postojanje (ili a) zbirke matematičkih cjelina navedenih u teoriji. Primjerice, dosljednost teorije složenih brojeva sve je potrebno da se opravda matematička praksa zaključivanja u pogledu takvih brojeva. Za Fregea s druge strane dosljednost nikada ne može jamčiti postojanje. Njegov je preferirani primjer da ukaže na to da je konzistentnost (u Hilbertovu smislu) triju rečenica

• A je inteligentno biće
• A je sveprisutna
• A svemoćan je

nije dovoljna da jamči njihovu primjenu. (Vidi, npr., Fregeovo pismo Hilbertu od 6. siječnja 1900.; Frege 1980: 47.)

Središnja razlika između Fregea i Hilberta u odnosu na prirodu aksioma, tj. U pitanju jesu li aksiomi odlučno istinite tvrdnje o fiksnoj temi ili reinterpretabilne rečenice koje izražavaju višestruko trenutne uvjete, leži u srcu razlike između starijeg načina razmišljanja o teorijama, primjerima Fregea, i novog načina koji je skupio snagu krajem devetnaestog stoljeća. Možda je najjasnije prikazano u dokumentu Dedekind 1888, središnja ideja novog pristupa je razumijevanje matematičkih teorija kao karakterizacija općih "strukturalnih" uvjeta koje bi mogao imati zajednički bilo koji broj različitih uređenih domena. Baš kao što u algebri aksiomi za grupu daju opće uvjete koji se mogu ispuniti bilo kojim načinom prigovora u odgovarajućim odnosima,tako i u novom prikazu aksiomi geometrije određuju višestruko trenutne uvjete. Gledajući teorije iz ove moderne perspektive, sasvim je prikladno uzeti aksiome kao što to čini Hilbert, budući da su rečenice koje su reinterpretativne pravo sredstvo za izražavanje višestruko nepristupačnih uvjeta u pitanju.^[8] S gledišta ranije koncepcije teorija s fiksnom domenom, s druge strane, takve su reinterpretabilne rečenice u potpunosti neprikladne kao aksiomi, jer ne omogućuju utvrđivanje određenog predmeta. O ovom pitanju, tj. Pitanju koncepcije matematičkih teorija fiksne domene (Fregean) nasuprot višestruko postojanoj strukturi (Hilbertijan), žiri još uvijek nije otvoren: ova rasprava nastavlja animirati suvremenu filozofiju matematike (vidi članak o filozofiji matematike).

Drugo pitanje koje dijeli Fregea i Hilberta, u pogledu opravdanosti zaključka od dosljednosti postojanju, također je živo. Dok bi se svi (uključujući vjerojatno Hilbert) složili s Fregeom da izvan matematičke domene ne možemo sigurno zaključiti postojanje iz dosljednosti, ostaje pitanje možemo li to učiniti ili moramo učiniti u matematici. Fregejsko gledište je da postojanje matematičkih objekata može se dokazati (ako uopšte postoji) uvlačenjem na temeljnija načela, dok je Hilbertovsko gledište da u odgovarajućim čisto matematičkim slučajevima nema što više pokazati, kako bi se uspostavila egzistencija, a ne konzistentnost teorije (vidi zapise o filozofiji matematike i platonizmu u filozofiji matematike).

Unatoč tim razlikama, Frege i Hilbert su suglasni da se trebaju postaviti važna matematička pitanja koja se odnose na dosljednost i neovisnost, i slažu se da je npr. Klasično pitanje neovisnosti aksioma paralele od ostatka euklidske geometrije značajno. Ali ne slažu se, kao što je gore spomenuto, oko toga je li Hilbertov postupak dovoljan da riješi ova pitanja. Povratak na pitanje Fregeovog razloga za odbacivanje Hilbertove metode dokazivanja dosljednosti i neovisnosti.

4. Dublje neslaganje

Kao što je gore spomenuto, Frege smatra Hilbertove reinterpretacije kao uključivanje preusmjeravanja pozornosti s geometrijskih misli (čija su dosljednost i neovisnost u pitanju) na misli posve drugačije vrste, na one o pozadinskoj teoriji B (čija dosljednost i neovisnost nisu u pitanju)., Što se tiče dokaza dosljednosti, njegov je stav da Hilbert pravi nelegitiman zaključak iz dosljednosti zbirke (textit {AX} _ {R}) misli o stvarnim brojevima u dosljednosti zbirke (textit {AX} _ {G}) misli o geometrijskim točkama, linijama i ravninama. Frege priznaje da se Hilbertova AX rečenica rečenica može shvatiti kao implicitna definicija apstraktnog odnosa (R _ { textit {AX}}), koji je zadovoljan Hilbertovim izgrađenim n-parovima, i da je konzistentnost (tj.,zadovoljavanje) od (textit {AX} _ {R}) unosi dosljednost tog definiranog odnosa. Ali i ovdje Frege smatra da je Hilbertovo ključno zaključivanje, od dosljednosti (R _ { textit {AX}}) do dosljednosti (textit {AX} _ {G}), problematično. Kao što Frege kaže, nazivajući (textit {AX} _ {R}) i (textit {AX} _ {G}) "posebne geometrije", a (R _ { textit { AX}}) kao "opći slučaj:"

[G] ako su aksiomi u posebnim geometrijama svi posebni slučajevi općih aksioma, može se zaključiti iz nedostatka kontradikcije u posebnoj geometriji do nedostatka kontradikcije u općem slučaju, ali ne i do nedostatka kontradikcije u drugom posebnom slučaju. (Pismo od 6. siječnja 1900. u Fregeu 1980: 48)

Jednom kada je istaknuo ono što smatra spornim zaključkom, Frege zaključuje da je teret argumenta ravnomjerno s Hilbertom: ako Hilbert misli da dosljednost (textit {AX} _ {G}) slijedi iz bilo kojeg konzistentnost (textit {AX} _ {R}) ili iz zadovoljivosti (R _ { textit {AX}}), na Hilbertu je da to pokaže. Frege ne izlazi s puta kako bi pokazao da je ključni zaključak nevaljan, ali čini se da uzima svoje stajalište da je u osnovi donesen nakon što je ovdje ukazao na potrebu opravdanja.

S Hilbertovog stajališta, naravno, nema potrebe za takvim opravdanjem. Razlike na kojima Frege inzistira iznova i iznova između grupa rečenica (AX) i različitih skupina misli ((textit {AX} _ {G}), (textit {AX} _ {R}) itd.) s Hilbertovog stanovišta su u potpunosti neupadljivi. Budući da se dosljednost, kako Hilbert shvaća, primjenjuje na "skele" koncepata i odnosa definiranih AX-om kada se njegovi geometrijski pojmovi uzimaju kao nositelji mjesta, dosljednost koju on ima na umu ima (da kažem u smislu misli) od textit {AX} _ {G}) ako je / \ / \ textit {AX} _ {R}), jer su oba skupa misli istodobne "skele". Ista poanta može se staviti i u rečenicama:Frege inzistira na tome da je pitanje konzistentnosti koje nastaje za rečenice u okviru njihove geometrijske interpretacije različito od pitanja koje se pojavljuje za te rečenice pod njihovim tumačenjem stvarnog broja; za Hilberta s druge strane samo je jedno pitanje, a na njega je odgovoreno da li postoji bilo kakvo tumačenje pod kojim rečenice izražavaju istine. Dakle, dok Frege pretpostavlja da Hilbert duguje objašnjenje zaključka iz dosljednosti (textit {AX} _ {R}) u onu (textit {AX} _ {G}), za Hilberta tamo jednostavno nema zaključka. Dakle, dok Frege pretpostavlja da Hilbert duguje objašnjenje zaključka iz dosljednosti (textit {AX} _ {R}) u onu (textit {AX} _ {G}), za Hilberta tamo jednostavno nema zaključka. Dakle, dok Frege pretpostavlja da Hilbert duguje objašnjenje zaključka iz dosljednosti (textit {AX} _ {R}) u onu (textit {AX} _ {G}), za Hilberta tamo jednostavno nema zaključka.

Fregeov nedostatak jasnoće o njegovim razlozima za odbacivanje Hilbertovog postupka ostavlja interpretacijski jaz u vezi s kojim postoji prostor za polemiku. Za početak bismo trebali podsjetiti da je Hilbert očigledno u pravu da njegova vlastita strategija reinterpretacije dovoljna za relativnu konzistentnost i rezultate neovisnosti za koje tvrdi. Ako se dosljednost i neovisnost shvate, kao što je gore, u smislu neprobavljivosti, a ako je dokaz, kao što Hilbert pretpostavlja, neovisan o značenjima geometrijskih pojmova, tada je (textit {AX} _ {R}), (textit {AX} _ {G}), pa i sam AX su dosljedni ako je jedan od njih. Fregeovo odbijanje Hilbertove tehnike mora podrazumijevati ili neku zabunu oko onoga što je Hilbert uspostavio, ili drugačije razumijevanje onoga što je sporno u tvrdnjama o dosljednosti i neovisnosti.

Dakle, jedan od načina da se razumije Fregeov doprinos raspravi o Frege-Hilbertu jest prepoznavanje doprinosa koje Frege daje u pojašnjavanju Hilbertovog vlastitog pristupa aksiomima, ali smatramo da je Fregeova negativna procjena Hilbertove tehnike dokazivanja dosljednosti i neovisnosti pogrešna. Na ovaj račun, usprkos razlici između Fregea i Hilberta u prirodi aksioma, ipak, zadovoljavanje (R _ { textit {AX}}) pokazuje dosljednost zbirke dotičnih aksioma, bilo da je neko shvatio one aksiomi na Hilbertov način kao rečenice (tj. kao zbirka AX) ili na Fregeov način kao misli (tj. kao zbirka (textit {AX} _ {G})). Slično je i za neovisnost. Fregeova greška, prema ovom mišljenju, nije u tome što nije primijetio da je vrsta neprobavljivosti rezultat (tj.dosljednost ili neovisnost) koje Hilbert uzima svojim reinterpretacijama kako bi demonstrirao geometrijske rečenice povlači za sobom nepristranost (dosljednost ili neovisnost) za geometrijske misli (vidjeti Resnik 1974, Currie 1982, Dummett 1975).

Alternativna interpretacija tvrdi da je Fregeovo razumijevanje dosljednosti i neovisnosti dovoljno različito od Hilbertovog da predmetno zaključivanje ne drži: da je zadovoljenje (R _ { textit {AX}}) i posljedična dosljednost u Hilbertovom smislu za AX, ne podrazumijeva dosljednost u Fregeovom smislu (textit {AX} _ {G}). Slično je i za neovisnost. Prema ovom tumačenju, Frege s pravom tvrdi da Hilbertove demonstracije ne pokazuju dosljednost i neovisnost u smislu u kojem on, Frege, razumije te pojmove. ^[9]

Središnja ideja alternativnog tumačenja je da je za Fregea pitanje je li dana misao logično upletena u skupinu misli osjetljivo ne samo na formalnu strukturu rečenica koje se koriste za izražavanje tih misli, već i na sadržaj jednostavni (npr. geometrijski) izrazi koji se pojavljuju u tim rečenicama. Ako je to tačno, odmah vidimo da dosljednost (textit {AX} _ {R}) ne mora podrazumijevati konzistentnost (textit {AX} _ {G}), jer je pitanje da li (textit {AX} _ {G}) logično podrazumijeva da se proturječnost može dijelom pretvoriti u specifično geometrijske dijelove dotičnih misli, tj. na uobičajena geometrijska značenja AX-ovih geometrijskih pojmova. Da biste odabrali ilustrativni primjer, iako ne onaj koji Frege daje sam, razmotrite par rečenica

• Točka B leži na liniji između točaka A i C;
• Točka B ne leži na liniji između točaka C i A.

Ovaj par rečenica je u Hilbertovu smislu demonstrativno dosljedan. No, ovdje predložena Fregeova interpretacija, ta dosljednost (u Hilbertovu smislu) ne osigurava da misli izražene u ovim rečenicama pod njihovom uobičajenom interpretacijom tvore dosljednu zbirku. Ako Frege, na primjer, razumije odnos "između" kao osjetljiv na konceptualnu analizu, u skladu s kojim se može promatrati da prva misao logično uključuje negaciju druge, tada su par misli jedno u drugom u neskladu. osjećaj da logično unese kontradikciju.

Ideja da Frege logično podrazumijeva da bude osjetljiva na konceptualnu analizu na način koji je upravo predložen uzima se, s tim u vezi, kako bi se očitovala u strategiji koju Frege koristi u svom cjeloživotnom pokušaju dokazivanja svoje teze logičara, tezi da su istine aritmetike su provjerljive iz čiste logike. Tijekom tog projekta Frege redovito prikazuje demonstracije da dana misao τ logički slijedi iz skupa T misli, na način koji uključuje dva koraka. Prvo, Frege podvrgava τ i / ili članove T konceptualnoj analizi, otkrivajući prethodno nepriznatu konceptualnu složenost u tim mislima. Drugo, on dokazuje tako analiziranu verziju τ od tako analiziranih članova T-a. Na primjer, Frege uzima sebe kako bi dokazao da je misao koju je izrazio

(i) Zbroj dva množenja broja je višestruki od tog broja

logično slijedi iz misli koje je izrazio

(ii) (forall m \; / forall n \; / forall p ((m + n) + p = m + (n + p)))

i po

(ii) (forall n (n = n + 0).)

Demonstracija nastavlja pažljivom analizom pojma "višestruko" u smislu dodavanja, dajući nam umjesto (i) složenijeg (i '), što se dokazuje iz (ii) i (iii). ^[10] Slično tome, značajan dio Fregeovog logičkog projekta sastoji se od pažljive analize takvih aritmetičkih pojmova kao što su nula i nasljednik, analiza koja otkriva prethodno neprimijećenu složenost i olakšava dokaz aritmetičkih istina. (Za raspravu o logističkom projektu, pogledajte zapise o Fregeu i logici i neologizmu.)

Kao što Frege navodi na ranim stranicama svojih Aritmetičkih temelja, kada pokušavamo dokazati aritmetičke istine iz najjednostavnijih mogućih polazišta,

… vrlo brzo dolazimo do prijedloga koji se ne mogu dokazati sve dok ne uspijemo analizirati pojmove koji se u njima događaju u jednostavnije koncepte ili ih svesti na nešto veće općenitosti. (Frege 1884: § 4)

Ukratko: komponente misli ponekad se mogu analizirati u smislu jednostavnijih ili općenitijih sastavnih dijelova na način koji otkriva ranije skrivene odnose logičkog obuhvata. Stoga, kada želimo znati je li određena misao logično povezana s nizom misli, moramo obratiti pažnju, sa Fregeovog stajališta, ne samo na cjelokupnu strukturu izloženu rečenicama koje izražavaju te misli, već i na sadržaj pojedinih izraza koji se pojavljuju u tim rečenicama.

Povezanost između ovog aspekta Fregeovog djela i njegovog pogleda na neovisnost, o predmetnoj interpretaciji, je sljedeća. Jer ponekad možemo otkriti da misao τ logički uključuje skup T misli tek nakon pažljive analize nekih naizgled jednostavnih sastavnih dijelova tih misli, pa ćemo i mi ponekad moći otkriti da je skup misli nedosljedan, tj. da logično povlači kontradikciju, na temelju takve konceptualne analize. Dakle, dosljednost skupa misli izraženih skupa Σ rečenica nešto je što se ne odnosi samo na cjelokupnu strukturu rečenica u Σ, već na značenja pojmova koji se pojavljuju u Σ rečenicama.

Da bismo razjasnili ovu posljednju točku, pogledajmo jedan nematematički primjer, onaj s kojim se ni Hilbert ni Frege nisu eksplicitno bavili. Razmotrite skup rečenica {Jones je imao noćnu moru, Jones nije imao san}, ili ekvivalentno njegovu prvu isporuku, ({Nj, {{ sim} Dj} }). Skup je očito konzistentan u smislu koji je Hilbert koristio u FG-u; Jednostavno je pružiti tumačenja "Jonesa", "x je imao noćnu moru" i "x je imao san" (ili "j", "N" i "D") tako da rečenice, tako interpretirane, izriču istine. (Razmotrite, na primjer, interpretaciju kojoj je "j" dodijeljen broj 7, "N" skup pravih brojeva, a "D" skup brojeva veći od 12.) Ali s fregejskog stajališta, misli izražene nesumnjivo su nedosljedne, jer dio onoga što je imati noćnu moru jest sanjati. Nedosljednost sa Fregeovog stajališta može se pokazati analizom izraženih misli, primjećujući da rezultati ove analize daju skup {Jones je uznemirujući san, Jones nije imao san}.

Iz istog razloga, dvije grupe misli koje su strukturno slične u smislu da se mogu izraziti, pod različitim tumačenjima, istim skupom rečenica, mogu se razlikovati s obzirom na Frege-dosljednost. Kad se primijeni na geometrijski kontekst, središnja zamisao, na račun Fregeovog prigovora Hilbertu, jest ta da vrste ponovne interpretacije u koju Hilbert sudjeluje mogu uzeti jedan iz dosljednog niza misli (npr. (Textit {AX } _ {R})) u nedosljednu (npr. (Textit {AX} _ {G})) zbog pomaka u predmetu, te stoga poništava zaključak iz dosljednosti prvog u dosljednost drugog.

Frege ne tvrdi da može dati specifične geometrijske analize koje su u suprotnosti s određenim tvrdnjama Hilbertove dosljednosti, i nema dokaza da on smatra da je bilo koja od tih tvrdnji lažna. Da je možda imao na umu neke takve analize, nagovješteno je u pismu Hilbertu u kojem tvrdi da je u svojim nezavršenim istraživanjima temelja geometrije mogao "raditi s manje primitivnih pojmova", što pretpostavlja znači da uzima neke izraze koje je Hilbert smatrao primitivnim da su podložni analizi drugih (vidi pismo Hilbertu od 27. prosinca 1899. u Fregeu 1980: 34). Svaka takva analiza otkrila bi odnose logičke ovisnosti (sa Fregeovog stajališta) u kojima bi Hilbert mogao naći neovisnost.

Budući da nijedan Fregeov rad na ovoj temi nije preživio, nemamo detalja o konkretnim analizama koje je mogao dati. Ključna točka Fregeove kritike Hilberta, međutim, na ovaj račun, nije neslaganje oko određenih analiza ili posljedično neuspjeh određenih tvrdnji o dosljednosti i neovisnosti, već je umjesto opće metodologije dokaza dosljednosti i neovisnosti. Jer se kod Hilberta dosljednost skupa rečenica u potpunosti pretvara u cjelokupnu strukturu koju pokazuju, dok se za Fregea dosljednost skupa misli izražava dodatno na sadržaj nelogičnih pojmova koji se pojavljuju u rečenicama, na ovaj račun, Hilbertova dosljednost ne podrazumijeva Fregeovu konzistentnost.

5. Trajna pitanja

Istražili smo dva načina razumijevanja Fregeovih prigovora Hilbertovim tehnikama dokazivanja dosljednosti i neovisnosti. Prvi smatra Fregea da je u osnovi pogrešan, s pogreškom koja se nalazi u njegovom nedostatku da shvati povezanost između zadovoljavanja skupa rečenica koje se mogu ponoviti i pridruženih tvrdnji o neovisnosti / dosljednosti. Drugi smatra da je Frege temeljno ispravan u smislu da (i) on razumije dosljednost i neovisnost misli kako bi se okrenuo ne samo površinskoj sintaksi rečenica koja ih izražava, već i sadržaju jednostavnih izraza korištenih u njihovom izražavanju, i (ii) dosljednost i neovisnost, tako shvaćeni, nisu vidljivi na Hilbertov način.

Nijedna od ovih opcija tumačenja nije u potpunosti neproblematična. Bitna poteškoća s prvim je njezino pripisivanje Fregeu teškog stupnja zbrke oko sile Hilbertove ponovne interpretacije, koja je vjerojatno u određenoj napetosti s činjenicom da je Fregeov račun Hilbertovog metodološkog postupka u FG-u znatno izražen jasnije od vlastitog Hilberta. Dodatni je poteškoća to što je razumijevanje neovisnosti koje se ovom računu pripisuje Fregeu u napetosti s razumijevanjem logičkog obuhvatanja koje u središtu ima njegova logičkog djela, razumijevanja u kojem sadržaj matematičkih pojmova može biti presudan za pitanja logičnih entailment. Drugo tumačenje, iako dobrotvornije za Fregea,pretpostavlja da Frege izričito spominje važnost konceptualne analize za pitanja konzistentnosti i neovisnosti.

Konačni izvor potencijalne poteškoće za bilo koji prikaz Fregeovih stavova o neovisnosti i dosljednosti je vrlo zanimljiv dio (iii) iz eseja „Temelji geometrije“iz 1906. godine. Važnost tog teksta i interpretacijske poteškoće koje ovaj predstavlja mogu se ocrtati na sljedeći način.

Esej „Temelji geometrije“iz 1906. godine prvenstveno je ponovno iznošenje Fregeovih ranijih primjedbi (gore razmotrenih) na Hilbertovo postupanje prema dosljednosti i neovisnosti. Nakon što je pregledao te prigovore, Frege se u dijelu III obraća na problem davanja pozitivne metode dokazivanja neovisnosti. Kako, pita, može dokazati datu misao neovisnu od skupa misli? Kao odgovor, Frege daje skicu potencijalne metode, a raspravu završava napomenuvši da je skica metode još uvijek nepotpuna i da ima nekih poteškoća. Unatoč očitoj nepotpunosti, Frege se nikad (koliko možemo reći) ne vraća prijedlogu, a činilo bi se da je na kraju i to nezadovoljavajuće. Da je on u načelu smatrao nezadovoljavajućim, ukazuje njegova tvrdnja četiri godine kasnije, u bilješci Jourdainu,da se ne može dokazati neizvodljivost aksioma paralela (vidjeti Frege 1980: 183n). To je, čini se, do 1910. smatrao da ne postoji sustavna metoda dokazivanja neovisnosti.^[11]

Sam prijedlog iz 1906. godine može se navesti na sljedeći način. Pretpostavimo, kaže Frege, da imamo zbirku C rečenica od kojih svaka izražava određenu misao i rečenicu S koja na sličan način izražava određenu misao. Srce predložene metode za dokazivanje neovisnosti S-misli od C-misli je u tome što koristimo preslikavanje µ termina u pojmove (a time i rečenice u rečenice) koje čuvaju sintaktički tip (mapiranje imena prema imenima, predikat na jednom mjestu predikatima na jednom mjestu itd.) i preslikava na sebe "logičke" pojmove. Zatim: S-misao je neovisna od C-misli ako μ preslikava S u lažnu rečenicu, dok preslikava sve članove C u prave rečenice. (Za raspravu i razvoj Fregeovog prijedloga, pogledajte Antonelli & May 2000, Eder 2016. Za raspravu o Fregeovim razlozima za odbijanje prijedloga,vidi Ricketts 1997, Eder 2013, Blanchette 2014.)

Prva intrigantna stvar u vezi s prijedlogom je njegova upečatljiva sličnost Hilbertovoj metodi. Pod pretpostavkom da je Fregeov jezik dovoljno bogat da uključuje izraze za sve objekte, funkcije i skupove koje bi Hilbert mogao upotrijebiti u reinterpretacijama, vjerojatno će postojati preslikavanje vrste koje Frege opisuje ako i samo ako postoji reinterpretacija vrste koju Hilbert koristi pokazati (njegovu verziju) neovisnosti: gdje Hilbertova reinterpretacija pruža izraz t s novim sadržajem, Fregeova metoda jednostavno bi preslikala novi pojam s tim sadržajem. A to bi značilo da bi, usprkos svim primjedbama Fregea, Hilbertova metoda na kraju bila dovoljna da pokaže što Frege smatra neovisnošću misli. Ako je to tačno,tada imamo razloga sumnjati u bilo koju Fregeovu interpretaciju na kojoj je opravdano njegovo odbacivanje Hilbertove metode.

Centralni razlozi koji bi mogli sumnjati u snažnu ekvivalenciju upravo predloženu između Hilbertove metode i Fregeovog prijedloga jesu: (i) nije jasno samo kakav jezik Frege ima na umu, i (ii) nije jasno je li klasa pojmova Frege bi se računalo kao "logično", tj. klasa čiji se članovi μ moraju preslikati u sebe jednaka je klasi termina koju bi Hilbert smatrao fiksnom interpretacijom. Ako je Fregeova klasa fiksnih pojmova šira od Hilbertove, i / ili Fregeovom jeziku nedostaje neka Hilbertova terminologija, tada demonstracija neovisnosti u Hilbertovom smislu neće podrazumijevati postojanje mapiranja koje demonstrira neovisnost u Fregeovom smislu. Jedan od načina razmišljanja o ključnom pitanju je pitanje je li pojmove poput „broj“ili „između“,Pojmovi koje Frege tretira kao osjetljive na konceptualnu analizu bit će dopušteni na jeziku kojim se Frege bavi (za razliku od, recimo, traženja da jezik sadrži samo „potpuno analizirane“pojmove), i hoće li takvi izrazi biti među njima taj μ preslikava na proizvoljnu novu terminologiju. Sam Frege primjećuje važnost drugog upravo postavljenog drugog problema terminološkog razgraničenja, tj. Problema određivanja koji su pojmovi preslikani na njih samih, te napominje da je taj problem onaj koji treba riješiti kako bi se njegova skica pretvorila u izvedivu strategiju, Budući da nikada ne odgovara na pitanje fiksne terminologije ili vrste jezika u kojem je riječ, Fregeov prijedlog nije dovoljno određen za jasnu usporedbu s Hilbertovim. Ostali smo,s interpretacijskim pitanjem smisla Fregeovog prijedloga metode i naknadne očite odbacivanja iste, priznajući pritom nepotpunu prirodu tog prijedloga. (Za daljnju raspravu o tekstu iz 1906., vidi: Ricketts 1997, Tappenden 2000, Blanchette 2014.)

6. Zaključak

Budući da su tvrdnje o dosljednosti i neovisnosti u osnovi tvrdnje o neiskrenosti ili neprovjerljivosti, nije očito, čak i kad imamo jake tehnike dokazivanja matematičkih rezultata, kako se može dokazivati dosljednost i neovisnost. Ono što nam Hilbert nudi 1899. godine je sustavna i snažna tehnika koja se može koristiti u svim formaliziranim disciplinama da bi se postiglo upravo ovo: da bi se dokazala dosljednost i neovisnost. Pritom, on zajedno s raznim svojim suvremenicima postavlja temelje za nastanak suvremenih modela-teorijskih tehnika. (Za daljnju raspravu, pogledajte Mancosu, Zach i Badesa 2009; također pogledajte članak o geometriji devetnaestog stoljeća.)

Ono što nalazimo kroz Fregeovo odbijanje i Hilbertovu obranu od ove tehnike je pojašnjenje pretpostavki koje su ključne za njezin uspjeh. Kao što smo vidjeli, ključna značajka dokaza koja se mora pretpostaviti, kako bi reinterpretacija u stilu Hilberta pokazala rezultat neizrecivosti, jest ta što je dokazivost neosjetljiva na sadržaj izraza koje Hilbert smatra ponovnim tumačenjem - u ovom slučaju, geometrijski pojmovi. Alternativno gledište dosljednosti i neovisnosti, na koje su privlačenje i dokazivost osjetljivi na sadržaj geometrijskih pojmova, postoji onaj u kojem Hilbert-ova reinterpretacija ne može pokazati tako dosljednost i neovisnost. Kao što je gore istaknuto,Fregeovo čitanje, na kojemu on drži takvo stajalište dosljednosti i neovisnosti, obrazložio je njegove prigovore Hilbertu i alternativni prikaz onoga što je u pitanju tvrdnjama o geometrijskoj dosljednosti i neovisnosti.

Unatoč očitom neuspjehu komunikacije između Hilberta i Fregea, njihova rasprava otkriva brojna važna pitanja, od kojih nisu najmanje važne (i) uloga shematički shvaćenih rečenica u pružanju implicitnih definicija, koje Frege jasnije artikulira u ime Hilberta nego što je Hilbert to još učinio, i (ii) u kojoj se mjeri logički odnosi tretiraju kao "formalni". U ovom posljednjem pitanju, razlika između Fregea i Hilberta poučna je. Mnogo prije rasprave s Hilbertom, Frege je već smatrao da logična strogost zahtijeva korištenje formalnih sustava dedukcije, „formalnih“u smislu da su sve misli izražene precizno određenim rečenicama, te da su sva pravila zaključivanja i aksiomi prikazani sintaktički (vidi npr. Frege 1879). Najvažnija u naše svrhe jest činjenica da su Fregeovi formalni sustavi posve moderni u smislu da se izvedljivost u takvom sustavu rečenica iz skupa rečenica pretvara upravo u sintaktički oblik tih rečenica. Čuvene konceptualne analize na kojima se velik dio Fregeovih djela okreće prije pružanja dokaza; na temelju konceptualnih analiza dolazi se do odgovarajućih rečenica koje treba tretirati u formalnom sustavu, ali same analize ne igraju nikakvu ulogu unutar dokaza. Dakle, kada je u pitanju pozitivan rad pokazivanja da se određena rečenica izvodi iz skupa rečenica, Frege je baš poput Hilberta: značenja nisu bitna. Doista, u vrijeme dopisivanja, Fregeovo djelo bilo je znatno više "formalno" od Hilbertovih,budući da Hilbert u to vrijeme nije koristio eksplicitni sintaktički definirani sustav dedukcije.

Unatoč tome, Fregeova koncepcija logike rezultirala je da postoji samo jednosmjerna veza između logičke implikacije jer se to odnosi između misli i formalne izvedljivosti, što se događa između rečenica. S obzirom na dobar formalni sustav, rečenica σ se može razlučiti iz skupa Σ samo ako je misao izražena σ u stvari logično unesena u misli koje su izrazili članovi Σ. (Ovo jednostavno zahtijeva da su nečiji aksiomi i pravila zaključivanja dobro odabrani.) No suprotno: lažno je: da se σ u takvom sustavu ne može zaključiti iz Σ nije jamstvo da je misao izražena σ neovisna o skupu misli izraženi od članova Σ. Jer možda će, kao što je slučaj u Fregeovim analizama izričito tretiran, daljnja analiza misli i njihovih sastavnica rezultirati složenijom strukturom. Kad se to dogodi,analiza može vratiti još složenije (skupove) rečenica σ 'i Σ' takve da se σ 'uostalom može zaključiti iz Σ'. Prema dobrotvornim gore spomenutim dvjema interpretacijskim opcijama, ovo je objašnjenje Fregeova odbacivanja Hilbertovog tretmana dosljednosti i neovisnosti u geometriji. Kako bismo mogli reći, s obzirom da znatna logička složenost može biti neotkrivena u mišljenjima izraženim relativno jednostavnim rečenicama, neizvodivost nije jamstvo neovisnosti, u fregeanskoj shemi stvari. Postoji, kako se može reći, značajan jaz između logičkog i formalnog.to je objašnjenje Fregeova odbacivanja Hilbertove obrade dosljednosti i neovisnosti u geometriji. Kako bismo mogli reći, s obzirom da znatna logička složenost može biti neotkrivena u mišljenjima izraženim relativno jednostavnim rečenicama, neizvodivost nije jamstvo neovisnosti, u fregeanskoj shemi stvari. Postoji, kako se može reći, značajan jaz između logičkog i formalnog.to je objašnjenje Fregeova odbacivanja Hilbertove obrade dosljednosti i neovisnosti u geometriji. Kako bismo mogli reći, s obzirom da znatna logička složenost može biti neotkrivena u mišljenjima izraženim relativno jednostavnim rečenicama, neizvodivost nije jamstvo neovisnosti, u fregeanskoj shemi stvari. Postoji, kako se može reći, značajan jaz između logičkog i formalnog.

Za Hilberta, s druge strane, barem u kontekstu aksiomatizirane geometrije, logički odnosi jednostavno su formalno-opisivi odnosi, jer u cijelosti imaju veze sa strukturom izloženom dotičnim rečenicama, ili ekvivalentno "skelama". pojmova definiranih ovim rečenicama. Strategija reinterpretacije učinkovita je zato što se dosljednost u Hilbertovom smislu okreće upravo na ovoj apstraktnoj strukturi, a ne na sadržaju izraza koji instanciraju strukturu.

Hilbert je očito pobjednik u ovoj raspravi, u smislu da je otprilike njegova koncepcija dosljednosti ono što danas znači „dosljednost“u kontekstu formalnih teorija, a bliski rođak njegove metodologije za dokaz dosljednosti sada je standard. Sada rutinski preuzimamo dosljednost i neovisnost, kao što to Hilbert čini, da se drže neovisno o značenjima takozvanih „nelogičnih“pojmova, i da stoga možemo izravno pokazati na Hilbertov način. To ne znači da su Fregeovi prigovori ispunjeni, već da su oni u osnovi zaobiđeni uvrštavanjem formalnog pojma konzistentnosti i nedostatkom brige, barem pod tim naslovom, onim što je Frege nazvao "dosljednost".

Bibliografija

Primarni izvori

• Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle: Louis Nebert. Prevedeno kao konceptni skript, formalni jezik čiste misli po uzoru na aritmetiku, Stefan Bauer-Mengelberg iz Fregea do Gödela, Jean van Heijenoort (ur.), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, str. 5– 82.
• –––, 1881, „Booles rechnende Logik und die Begriffsschrift“, neobjavljeni rukopis u Fregeu 1969: 9–52 [1979: 9–46].
• –––, 1884, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: W. Koebner. Prevedeno kao Temelji aritmetike: Logičko-matematička istraga u koncept broja, JL Austin, Oxford: Oxford University Press, 1950. Reprinted Evanston, IL: Northwestern University Press, 1978.

• –––, 1903., „Über die Grundlagen der Geometrie“(O temeljima geometrije) - Prva serija. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,

  • 12: 319–324, [Frege 1903 (I) dostupno na mreži]
  • 12: 368–375, [Frege 1903 (II) dostupan na mreži]

  Engleski prijevod na Fregeu 1984: 273–284.

• –––, 1906, „Über die Grundlagen der Geometrie“(O temeljima geometrije) - Druga serija, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,

  • 15: 293–309, [Frege 1906 (I) dostupan na mreži]
  • 15: 377–403, [Frege 1906 (II) dostupan na mreži]
  • 15: 423–30, [Frege 1906 (III) dostupan na mreži]

  Prijevod s engleskog na Frege 1984: 293–340.

• –––, 1969. [1979], Nachgelassene Schriften und Wissenschaftlicher Briefwechsel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel i Friedrich Kaulbach (ur.), Hamburg: Felix Meiner Verlag, svezak 1. engleski prijevod nekih izbora kao Posthumous Writings, prevodio Peter Long i Roger White, uz pomoć Raymonda Hargreavesa, Chicago: University of Chicago Press.
• –––, 1971, O osnovama geometrije i formalnim teorijama aritmetike, Eike-Henner W. Kluge (prijevod), New Haven, CT: Yale University Press.
• –––, 1980, Filozofsko-matematička korespondencija, Gottfried Gabriel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel, Christian Thiel, Albert Veraart, Brian McGuinness i Hans Kaal (ur.) Oxford: Blackwell Publishers.
• –––, 1984., zbornik radova iz matematike, logike i filozofije, Brian F. McGuinness (ur.), Oxford: Blackwell Publishers.
• Hallett, Michael i Ulrich Majer (ur.), 2004., Predavanja Davida Hilberta o osnovama geometrije 1891–1902, Berlin: Springer.
• Hilbert, David, 1899, Grundlagen der Geometrie, Leipzig: Teubner. Engleski prijevod ^desetog izdanja dostupan je kao Temelji geometrije, Leo Unger (prijevod), La Salle, IL: Otvoreni sudski tisak, 1971.
• Huntington, Edward V., 1902, „Potpuni skup postulata za teoriju apsolutne kontinuirane veličine“, Transakcije Američkog matematičkog društva, 3 (2): 264–279.
• Padoa, Alessandro, 1900., „Essai d'une théorie algébrique des nombres entiers, précédé d'une Introduction logique à une theorie déductive quelconque“u Bibliothèque du Congrès International de Philosophie, Pariz, 1900, Pariz: Armand Volume 3, 190, Arl., str. 309–365; djelomični prijevod s engleskog kao „Logički uvod u bilo koju deduktivnu teoriju” u Fregeu do Gödela, Jean van Heijenoort (ur.), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, str. 118–123.
• Peano, Giuseppe, 1889, Principii di Geometria logicamente esposti, Torino: Fratelli Bocca.
• Pieri, Mario, 1898, „I Principii della geometria di posizione composti in system logico deduttivo“, Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino (Series 2), 48: 1–62.
• Veblen, Oswald, 1904, „Sustav aksioma za geometriju“, Transakcije Američkog matematičkog društva, 5 (3): 343–384. doi: 10,2307 / 1.986.462

Sekundarni izvori

• Antonelli, Aldo i Robert May, 2000, “Fregeova nova znanost”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 41 (3): 242-270. doi: 10,1305 / ndjfl / 1038336844
• Blanchette, Patricia A., 1996, "Frege i Hilbert o dosljednosti", časopis za filozofiju, 93 (7): 317–336. doi: 10,2307 / 2.941.124
• –––, 2007, „Frege o dosljednosti i konceptualnoj analizi“, Philosophia Mathematica, 15 (3): 321–346. doi: 10,1093 / philmat / nkm028
• –––, 2012., Fregeova koncepcija logike, Oxford: Oxford University Press. Vidi esp. CH. 5. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199891610.001.0001
• –––, 2014., „Frege o formalnosti i test neovisnosti 1906.“, u formalizmu i dalje: O prirodi matematičkog diskursa, Godehard Link (ur.), Boston / Berlin: De Gruyter, str. 97– 118.
• –––, 2017, „Modeli u geometriji i logici: 1870-1920“, iz područja logike, metodologije i filozofije znanosti: Zbornik radova 15. međunarodnog kongresa, Leitgeb, Niiniluoto, Seppälä. i Sober (ur.), London: College Publications, str. 41–61.
• Bernays, Paul, 1922, „Die Bedeutung Hilberts fur die Philosophie der Mathematik“, Die Naturwissenschaften, 10 (4): 93–99. Engleski prijevod Paola Mancosua u knjizi From Brouwer do Hilbert; Rasprava o osnovama matematike 1920-ih godina, Paolo Mancosu (ur.), New York: Oxford University Press, str. 189-197. doi: 10.1007 / BF01591620 (njemački)
• Currie, Gregory, 1982, Frege: Uvod u njegovu filozofiju, Sussex: Harvester.
• Dedekind, Richard, 1888. Je li Sind und Was Sollen um Zahlen?, Engleski prijevod kao "Priroda i značenje brojeva" u Dedekindu, Eseji o teoriji brojeva, uredio i preveo Wooster Woodruff Beman, Chicago: Otvoreni sud, 1901.
• Demopoulos, William, 1994., “Frege, Hilbert i konceptualna struktura teorije modela”, Povijest i filozofija logike, 15 (2): 211-225. doi: 10,1080 / 01445349408837233
• Dummett, Michael, 1975., „Frege o dosljednosti matematičkih teorija“, u Studien zu Frege, Matthias Schirn (ur.), Stuttgart / Bad Cannstatt: Fromann-Holzboog, str. 229–242.
• –––, 1991, Frege: Filozofija matematike, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Eder, Günther, 2013. “Bilješke o dokazima neovisnosti i neizravnim referencama”, Povijest i filozofija logike, 34 (1): 68–78. doi: 10,1080 / 01445340.2012.702568
• –––, 2016. „Fregeov„ O temeljima geometrije “i aksiomatičkoj metateoriji“, Mind, 125 (497): 5–40. doi: 10,1080 / 01445340.2012.702568
• Eder, Günther i Georg Schiemer, 2018., “Hilbert, dualnost i geometrijski korijeni teorije modela”, Pregled simboličke logike, 11 (1): 48–86. doi: 10,1017 / S1755020317000260
• Hallett, Michael, 2010, “Frege i Hilbert”, u The Cambridge Companion to Frege, Tom Ricketts i Michael Potter (ur.), Cambridge: Cambridge University Press, str. 413–464. doi: 10,1017 / CCOL9780521624282.011
• –––, 2012, „Više o Fregeu i Hilbertu“, Analiza i interpretacija u egzaktnim znanostima: eseji u čast Williama Demopoulosa, Melanie Frappier, Derek Brown i Roberta DiSalle (ur.), Dordrecht, New York: Springer, s. 135–162. doi: 10,1007 / 978-94-007-2582-9_8
• Hodges, Wilfrid, 2004., "Važnost i zanemarivanje konceptualne analize: Hilbert-Ackermann iii.3", u reviziji Logika prvog reda, Vincent F. Hendricks i sur. (ur.), Berlin: Logos Verlag, str. 129–153.
• Korselt, Alwin, 1903, "Über die Grundlagen der Geometrie", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 12: 402–407. Engleski prijevod EH. W. Kluge u Fregeu 1971. [Korselt 1903 dostupno na internetu (njemački)]
• Mancosu, Paolo, Richard Zach i Calixto Badesa, 2009, „Razvoj matematičke logike od Russella do Tarskog, 1900-1935“u The Development of Modern Logic, Leila Haaparanta (ur.), New York: University of Oxford. doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780195137316.003.0029
• Nagel, Ernest, 1939., "Formiranje modernih koncepcija formalne logike u razvoju geometrije", Osiris, 7: 142–224. doi: 10,1086 / 368.504
• Resnik, Michael David, 1974., "Rasprava Frege-Hilbert", Filozofija i fenomenološka istraživanja, 34 (3): 386–403. doi: 10,2307 / 2.107.085
• Ricketts, Thomas, 1997, "Fregeov nalet u metalogiju 1906.", Filozofske teme, 25 (2): 169–188. doi: 10.5840 / philtopics199725214
• Shapiro, Stewart, 2005, „Kategorije, strukture i kontroverza Frege-Hilbert: Status meta-matematike“, Philosophia Mathematica, 13 (1): 61–77. doi: 10,1093 / philmat / nki007
• Tappenden, Jamie, 2000, "Frege o aksiomima, neizravni dokazi i argumenti neovisnosti u geometriji: Je li Frege odbacio argumente neovisnosti?" Časopis za formalnu logiku Notre Dame, 41 (3): 271–315. doi: 10,1305 / ndjfl / 1038336845
• Wehmeier, Kai F., 1997, „Aspekte der Frege-Hilbert-Korrespoenz“, Povijest i filozofija logike, 18 (4): 201–209. doi: 10,1080 / 01445349708837289

Akademske alate

	Kako navesti ovaj unos.
	Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
	Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
	Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi