Generalizirani Kvantifikatori

Sadržaj:

Generalizirani Kvantifikatori
Generalizirani Kvantifikatori

Video: Generalizirani Kvantifikatori

Video: Generalizirani Kvantifikatori
Video: Дмитрий Побединский — Ученые умнее разрабов, но пишут плохой код — Мы обречены #22 2024, Ožujak
Anonim

Ulazna navigacija

  • Sadržaj unosa
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Prijatelji PDF pregled
  • Podaci o autoru i citiranju
  • Povratak na vrh

Generalizirani kvantifikatori

Prvo objavljeno u ponedjeljak 5. prosinca 2005.; suštinska revizija Pet srpnja 26, 2019

Generalizirani kvantifikatori sada su standardna oprema u alatnim okvirima i logičara i lingvista. Svrha ovog unosa je opisati ove alate: odakle potječu, kako rade i što se mogu koristiti. Opis je nužan, ali u literaturi postoji nekoliko opsežnijih istraživanja koja će se uputiti prema potrebi. Da biste u potpunosti shvatili tekst u nastavku, korisno će vam biti osnovno upoznavanje s teorijskom terminologijom elementarnih elemenata i jezikom logike prvog reda.

  • 1. preliminarni
  • 2. Aristotel
  • 3. Frege
  • 4. Generaliziranje univerzalnog i egzistencijalnog kvantifikatora
  • 5. Generalizirani kvantifikatori proizvoljnih vrsta
  • 6. Neutralnost teme
  • 7. Relativizacija
  • 8. Izražajna snaga
  • 9. Generalizirani kvantifikatori i računanje
  • 10. Generalizirani kvantifikatori i prirodni jezik
  • 11. Konzervativnost
  • 12. Produžetak
  • 13. Simetrija i monotonost
  • 14. Odrednici koji nisu ISOM
  • 15. Stalnost
  • 16. Poliadski kvantifikatori prirodnog jezika
  • 17. GQ teorija i lingvistika
  • 18. Kvantifikacija i spoznaja
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Ostali internetski resursi
  • Povezani unosi

1. preliminarni

Izraz "generalizirani kvantifikator" odražava da su ovi entiteti uvedeni u logiku kao generalizacije standardnih kvantifikatora moderne logike, ((forall) i (postoji). [1] Retrospektivno se može reći da su (forall) i (postoji) samo dva slučaja mnogo općenitijeg pojma kvantifikatora, što pojam "generalizira" čini suvišnim. Danas je uobičajeno koristiti i samo „kvantifikator“za opći pojam, ali „generalizirani kvantifikator“je još uvijek čest iz povijesnih razloga. Ovaj članak koristi oba termina, s tendencijom da se "generalizira" umetne u logički kontekst i da se ispusti u jezični kontekst.

Razlikujemo izraze kvantifikatora od onoga što oni označavaju ili označavaju, sami (generalizirani) kvantifikatori. U logičkim jezicima, izrazi kvantifikatora su operatori koji vezuju varijable. Dakle, (postoji) je poznati operator takav da u formuli (postoji x / f), [2] (postoji x) veže sve slobodne pojave x u (f), Označava kvantifikator "postoji" - ubrzo ćemo vidjeti što je to objekt. Isto tako, simbol (Q_0) često se koristi kao operator koji se veže za varijablu i označava „postoji beskonačno mnogo“.

U prirodnim se jezicima različiti izrazi smatraju kvantificirajućim izrazima, na primjer, svaki od sljedećih izraza na engleskom:

sve, ništa, tri knjige, deset profesora, Ivan, Ivan i Marija, samo Ivan, vatrogasci, svaki, najmanje pet, većina, sve osim deset, manje od polovine Ivanovih, nekih učenika, ne … osim Marije, više muški nego ženski, obično, nikada, jedno drugo. [3]

Što su, dakle, generalizirani kvantifikatori? Prije nego što odgovorite na to pitanje, koristan je kratki povijesni uvod.

2. Aristotel

Aristotelovu silogistiku možemo promatrati kao formalno istraživanje značenja četiri osnovna izraza kvantifikata svih, ne, nekih, ne svih, i njihovih svojstava. Na primjer, valjanost silogizma, prema Aristotelu

sve (A, B) sve (B, C) neke (A, C)

pokazuje da je, za razliku od moderne logičke uporabe, smatrao da svi imaju egzistencijalni uvoz, tako da Sve A su B znači da A nije prazan izraz. Isto tako i valjanost silogizma

neki (A, B) svi (B, C) svi (A, C)

izražava da se u drugom argumentu neki monotono povećavaju (kako to sada kažemo). Svaki važeći silogizam formalizira dio značenja tih izraza kvantifikatora, ali Aristotelovo proučavanje njihovih svojstava nadišlo je silogistiku. Primjerice, opazio je da su neki i nesto konvertibilni ili, kao što možda sada kažemo, simetrični, jer zadovoljavaju shemu

Q (A, B) P (B, A)

za razliku od svih i ne svih. Dalje je proučavao kako se različiti oblici negacije kombiniraju s kvantifikantnim izrazima na (ono što je kasnije nazvano) trgu suprotnosti. [4]Srednjovjekovni logičari nastavili su Aristotelovu tradiciju, ali i proširili silogističko rasuđivanje na slučajeve u kojima A, B mogu i sami biti kvantificirani izrazi, čime se bave premisama i zaključcima poput nekih magaraca svakog čovjeka koji ne trče (primjer iz Johna Buridana, 14. stoljeće). Iako aristotelovska logika zaostaje za ekspresivnošću i preciznošću moderne logike, silogistika je sigurno bila presudan doprinos u istraživanju kvantifikacije. U stvari, nedavno su proučavani silogistički sustavi različitih izražajnih snaga matematičke logike, upravo zbog njihove sklonosti prirodnim rezonovanjima i njihovih jednostavnih računskih svojstava; vidi odjeljak 18 u nastavku.

Osobito je zanimljivo u ovom kontekstu činjenica da ovi izrazi kvantifikatora uzimaju dva argumenta ili izraza i na taj način ih se može shvatiti kao binarni odnosi, sintaktički (kao što ih Aristotel bez sumnje vidi) i semantički: s obzirom na to da pojmovi označavaju skupove pojedinaca, Izraz neki može uzeti da označava odnos preklapanja, tj. da ima neprazno sjecište, između dva skupa, a sve označava odnos inkluzije. Imajte na umu da to nisu odnosi između pojedinaca već između skupa pojedinaca i odnosa drugog reda. Zapravo, oni su točno i općenito određeni kvantifikatori, odnosno svi (u datom svemiru).

Ovaj konac - koji izrazi kvantifikatora označavaju odnose drugog reda - nije pokupio nitko od Aristotelovih srednjovjekovnih sljedbenika (koliko znamo). Umjesto toga, shvatili su činjenicu da dva pojma imaju različit status: prvi se kombinira s izrazom kvantifikatora, čime se tvori imenica (kao što sada kažemo) koja je predmet rečenice, dok je druga glagolska fraza koji čine predikat. To ih je natjeralo da se usredotoče na ono što subjekti - svi muškarci, neki psi, ne mornari - znače, što konceptualno izgleda teže pitanje. Moglo bi se pretpostaviti da svi muškarci označavaju svakog čovjeka (ili skup ljudi) i da neki psi označavaju nekog određenog psa, ali što je s ne mornarima? Zapravo se može pokazati kako su ovakvi pristupi osuđeni na neuspjeh. [5] Moderno „rješenje“je da imenice izrazi označavaju skupove grupa pojedinaca, tako da, na primjer, neki psi označavaju skup koji sadrži najmanje jednog psa, ali čini se da zahtijeva apstraktniji i matematičkiji pristup semantika nego ideji, što je barem implicirano kod Aristotela, da izrazi kvantifikatora označavaju odnos između (denotacija) pojmova.

3. Frege

Drugi veliki povijesni doprinos teoriji generaliziranih kvantifikatora došao je 1870-ih izumitelj moderne logike Gottlob Frege. Zapravo je Fregeov doprinos dvostruk. Kao što zna svaki student filozofije, uveo je jezik logike predikata, s sentencijalnim vezama, identitetom i operatorom koji veže varijable (forall) (iako se njegova dvodimenzionalna logička notacija više ne koristi). To su kvantifikatori koje su logičari tijekom 1950-ih počeli „generalizirati“. Ali Frege je također izričito formulirao apstraktni pojam kvantifikatora kao odnos drugog reda ili, kako ga je nazvao, koncept druge razine („Begriff zweiter Stufe“). Bio je svjestan da su četiri aristotelovska kvantifikata glavni primjeri, ali želio je izbjeći usredotočenost na oblik predikata predikata,za koju je on (s puno opravdanja) smatrao da je bila velika prepreka razvoju logike nakon Aristotela. Stoga je važno otkriće da se ovi kvantifikatori mogu definirati u smislu (forall) i osjetilnim operaterima (zamjenjujući sve ((A, B)) s (forall x (A (x) rightarrow) B (x))), neki ((A, B)) po (neg / forall x (A (x) rightarrow / neg B (x))) itd.).

U stvari, jedina značajna razlika između Fregeovog pojma koncepta druge razine i modernog pojma generaliziranog kvantifikatora je ta što Frege nije imao ideju o interpretaciji ili modelu koji mi sada (od pojave teorije modela u 1950-ih) vide kao univerzum u kojem se nalaze kvantifikatori, plus dodjeljivanje odgovarajućih semantičkih objekata ne-logičkim simbolima. Fregeovi simboli svi su imali fiksna značenja, a jedini svemir koji je smatrao je sveukupnost svega. No osim ovoga, može se reći da je Frege otkrio generalizirane kvantifikatore. Ovaj je aspekt Fregeove logike dugo ostao u pozadini, a čini se da teoretičari modela u 50-ima i 60-ima to nisu bili svjesni.

4. Generaliziranje univerzalnog i egzistencijalnog kvantifikatora

Moderna predikatna logika popravlja značenje (forall) i (postoji) odgovarajućim klauzulama u definiciji istine, koje induktivno specificiraju uvjete pod kojima formula ((f_1, / ldots, x_n))) (s najviše (x_1, / ldots, x_n) besplatno) zadovoljava se odgovarajućim elementima (a_1, / ldots, a_n) u modelu (M = (M, I)) (gdje M je svemir, a ja funkcija interpretacije koja dodjeljuje prikladna proširenja ne-logičkim simbolima): (M / modeli / f (a_1, / ldots, a_n)). Klauzule su (gdje „iff“kao i obično znači „ako i samo ako“)

  • (1) (M / modeli / forall x / p (x, a_1, / ldots, a_n)) iff za svaki (a / u M), (M / modeli / p (a, a_1 / ldots, a_n))
  • (2) (M / modeli / postoji x / p (x, a_1, / ldots, a_n)) ako postoji neki (a / u M) st (M / modeli / p (a, a_1 / ldots, a_n))

Za uvođenje drugih kvantifikatora potrebno je shvatiti kakvi su izrazi (forall) i (postoji). Sintaktički, oni su operatori koji vežu jednu varijablu u jednoj formuli. Da biste vidjeli kako oni rade semantički, korisno je malo prepisati (1) i (2). Prvo, svaka formula (p (x)) s jednom slobodnom varijablom označava u modelu (M) podskup M; skup jedinki u M koji zadovoljavaju (p (x)). Općenitije, ako (p (x, x_1, / ldots, x_n) = / p (x, / xbar)) ima najviše prikazanih slobodnih varijabli i (abar = a_1, / ldots, a_n) su elementi M, neka

) p (x, / abar) ^ { M, x} = {a / u M: / M / modeli / p (a, / abar) })

biti proširenje (p (x, / xbar)) u (M) u odnosu na (a_1, / ldots, a_n). Tada možemo preformulirati (1) i (2) na sljedeći način:

  • (3) (M / modeli / forall x / p (x, / abar)) iff (p (x, / abar) ^ { M, x} = M)
  • (4) (M / modeli / postoji x / p (x, / abar)) iff (p (x, / abar) ^ { M, x} neq / emp)

Dakle, uvjeti na desnoj strani nastaju kao svojstva skupova (p (x, / abar)). Zapravo, možemo misliti da (forall) i (postoji) označavaju ta svojstva, tj. Da su svojstvo identičnosti svemira, odnosno neprazna. I sada je lako smisliti druga svojstva skupova koja se također mogu tretirati kao kvantifikatori, na primjer, svojstvo da sadrže najmanje 5 ili točno 3 elementa ili da su beskonačni. [6]

Imajte na umu da ta svojstva ovise samo o svemiru M, a ne o ostatku modela. Ekstenzivno, oni su jednostavno skupovi podskupina M. To dovodi do sljedeće definicije. u osnovi od Mostowskog (1957):

Definicija 1

Generalizirani kvantifikator Q tipa ({ langle} 1 { rangle}) je

  • (5) a. sintaktički, operator koji se odnosi na varijablu takav da je kad god je (f) formula, pa je (Qx / f), a (Qx) veže sve slobodne pojave x u (f);
  • b. semantički, preslikavanje iz proizvoljnih svemira (neprazni skupovi) M u skup (Q_M) podskupina M, koji interpretira formule oblika (Qx / f) u skladu s odredbom) tag {i } M / modeli Q x / p (x, / abar) text {iff} p (x, / abar) ^ { M, x} u Q_M)

Ovdje koristimo isti simbol za izraz kvantifikatora i preslikavanje koji označava ili označava. Dakle, (forall) je uzeta da označi univerzalni kvantifikator, također napisan (forall), što je preslikavanje dato

) forall_M = {M })

za sve M. Slično, (postoji) označava preslikavanje definirano s

) postoji_M = {A / subseteq M: A / neq / emp })

A evo još nekih generaliziranih kvantifikatora:

) tag {6} label {ex-qlist1} begin {alignat} {2} (postoji _ { geq 5}) _ M & = {A / subseteq M: | A | / geq 5 } & (| X | / textrm {je veličina ili} && / textrm {kardinalnost od} X) (postoji _ {= 3}) _ M & = {A / podseteq M: | A | = 3 } (Q_0) _M & = {A / subseteq M: A / tekst {je beskonačan} } (Q ^ R) _M & = {A / podseteq M: | A | > | MA | } & / textrm {("Rescher} && / textrm {kvantifikator")} (Q _ { text {even}}) _ M & = {A / podseteq M: | A | / text {je čak} } kraj {alignat})

Sada imamo precizan pojam generaliziranog kvantifikata, od kojih su (forall) i (postoji) slučajevi, zajedno s beskonačno mnogo drugih. Štoviše, vidimo kako proširiti logiku FO prvog reda na logiku (FO (Q)) dodavanjem klauzule (5a) pravilima formiranja i klauzulom (5b-i) definiciji istine. Slično tome ako dodamo više generaliziranog kvantifikatora: (FO (Q_1, / ldots, Q_n)).

Takvom logikom može se govoriti o stvarima koje se ne mogu izraziti u FO-u. Na primjer, dobro je poznato da se u FO pojam konačnosti ne može izraziti. Stoga, iz naloga za uređivanje (<) nema načina reći da svaki element, na primjer, ima samo mnogo prethodnika. Ali ovo je samo vrsta stvari koja se može izraziti u (FO (Q_0)):

) oznaka {7} forall x / neg Q_0 y (y <x))

Isto tako, u FO se ne može reći da (konačni) skup A sadrži točno polovinu elemenata svemira M, ali to je vidljivo u (FO (Q ^ R)):

) oznaka {8} neg Q ^ RxA (x) klin / neg Q ^ Rx / neg A (x))

(Prvi veznik kaže da je (| A | / leq | MA |), a drugi da je (| MA | / leq | A |).)

5. Generalizirani kvantifikatori proizvoljnih vrsta

Moguća je daljnja generalizacija. Prvo, možemo dopustiti da Q veže jednu varijablu u dvije ili više formula. Drugo, možemo dopustiti da istovremeno veže dvije ili više varijabli u (nekim) ovim formulama. Upisivanje Q označava ovo: Q je tipa ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}) (pri čemu je svaki (n_i) prirodni broj (geq 1)) ako odnosi se na k formule i veže (n_i) varijable u i formuli. Ovo objašnjava zašto je rečeno da su kvantifikatori u prethodnom odjeljku tipa ({ langle} 1 { rangle}).

U općenitom slučaju obično se odabiru različite varijable (x_ {i1},) …, (x_ {in_i} = / xbar_i) za (1 / leq i / leq k), tako da formula koja započinje s Q ima oblik

[Q / xbar_1, / ldots, / xbar_k (f_1, / ldots, / f_k))

gdje sve slobodne pojave (x_ {i1}, / ldots, x_ {in_i}) u (f_i) postaju vezane. Sada Q povezuje sa svakim svemirom M ak-odnos (Q_M) između odnosa nad M, gdje je i argument argument (n_i) - arični odnos među pojedincima. Odgovarajuća klauzula u definiciji istine postaje

) tag {9} M / modeli Q / xbar_1, / ldots, / xbar_k (p_1 (xbar_1, / abar), / ldots, / p_k (xbar_k, / abar)) textrm {iff} / Q_M (p_1 (xbar_1, / abar) ^ { M, / xbar_1}, / ldots, / p_k (xbar_k, / abar) ^ { M, / xbar_k}))

Ovdje je (p_i (xbar_i, / ybar)) formula s najviše prikazanih slobodnih varijabli, (abar) je niz elemenata M koji odgovara (ybar), i (p_i (xbar_i, / abar) ^ { M, / xbar_i}) je proširenje (p_i (xbar_i, / ybar)) u (M) u odnosu na (abar), tj. skup (n_i) - tuples (bbar_i) takav da (M / modeli / p_i (bbar_i, / abar)).

Ovo je službeni koncept generaliziranog kvantifikatora u ovom članku. Uveo ga je Lindström (1966), a ti se kvantifikatori ponekad nazivaju „Lindströmovi kvantifikatori“. [7] Ako popravimo M u svemir koji sadrži „sve“, u osnovi imamo Fregeovo poimanje koncepta druge razine. [8]

Q je monadski ako je u svakom svemiru M odnos između podskupina M, tj. Ako je njegov tip ({ langle} 1, / ldots, 1 { rangle}); inače je polidan. Na primjer, ranije navedeni kristofiktori Aristotela su tipa ({ langle} 1,1 { rangle}): [9]

) tag {10} oznaka {ex-qlist2} započeti {poravnati} textit {all} _M (A, B) & / iff A / podseteq B \\ / textit {neki} _M (A, B) & / iff A / cap B / neq / emp \\ / textit {ne} _M (A, B) & / iff A / cap B = / em \\ / textit {nije sve} _M (A, B) & / iff A / not / subseteq B / end {align})

Evo još nekoliko vrsta ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikatora: [10]

) tag {11} oznaka {ex-qlist3} početak {alignat} {2} (textit {najmanje pet}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | / geq 5 (textit {tačno tri}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | = 3 \(textit {beskonačno mnogo}) _ M (A, B) & / iff A / cap B / text {je beskonačan} / \ textit {most} _M (A, B) & / iff | A / cap B |> | AB | \(textit {parni broj}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | / text {je ujednačen} / \ textit {MO} _M (A, B) & / iff | A | > B | \\ / textit {I} _M (A, B) & / iff | A | = | B | & / textrm {(the "Härtig} && / textrm {kvantifikator")} end {alignat})

S monadskim kvantifikatorima prikladno je koristiti samo jednu varijablu, a Q neka veže istu varijablu u svakoj od formula. Dakle, reći da većina A s nije B, na primjer, može se pisati

) textit {most}: x (A (x), / neg B (x)))

na odgovarajućem logičkom jeziku, a ne (textit {most}: x, y (A (x), / neg B (y))).

Evo nekoliko poliadskih kvantifikatora:

) tag {12} oznaka {ex-qlist4} početak {alignat} {2} W_M (R) & / iff R / text {dobro je naručivanje} M & / textrm {type} { langle } 2 { rangle} (Q_0 ^ n) _M (R) & / iff / text {postoji beskonačno} & / hphantom { iff } A / subseteq M / ST A ^ n / podseteq R & / textrm {type} { langle} n { rangle} / Res ^ k (textit {most}) _ M (R, S) & / iff | R / cap S | > | RS | & / textrm {upišite} { langle} k, k { rangle} / \ textit {RECIP} _M (A, R) & / iff / textrm {za sve različite} a, b / u A \& / hphantom { iff } textrm {postoji} n / geq 1 \& / hphantom { iff } textrm {i} c_0, / ldots, c_n / ST c_0 = a \& / hphantom { iff } {} amp c_n = b / amp c_iRc_ {i + 1} textrm {for} i <n / quad & / textrm {type} { langle} 1,2 { rangle} end {alignat}]

W i (Q_0 ^ n) potječu iz logike i teorije skupova. (Res ^ k (textit {most})) nastavak je većine do k -polova. Nastavak se može primijeniti na bilo koji kvantifikator (u sintaksi, to znači zamjenu svake pojedine varijable odgovarajućim k-skupa varijabli); ima logičke uporabe, ali se, poput RECIP-a, koristi i u tumačenju određenih rečenica prirodnim jezicima; vidi odjeljak 16 u nastavku.

6. Neutralnost teme

I Mostowski i Lindström imali su još jedan dodatni uvjet u svojim definicijama generaliziranih kvantifikatora: ne bi trebali razlikovati izomorfne modele. Neformalno su "neutralno o temi": istina izjave oblika (f = Qx, yz (A (x), R (y, z))), recimo, u modelu (M) ne ovisi o pojedinim pojedincima od kojih se M sastoji. Ako su se pojedinci M preslikali na jedan način na jedinke drugog svemira (M '), i ako su A i R preslikani prema tome, dobiva se izomorfni model (M'). Zatvor za izomorfizam kaže da je (M / modeli / f) iff (M '\ modeli / f).

Formalnije, ako su (M = (M, I)) i (M '= (M', I ')) modeli istog vokabulara V nelogičnih simbola, f je izomorfizam iz (M) do (M '), iff

  • f je bijekcija (funkcija jedan na jedan) iz M u (M ');
  • kad god je P n -ary predikatni simbol u V i (a_1, / ldots, a_n / u M), [(a_1, / ldots, a_n) u I (P) textrm {iff} (f (a_1), / ldots, f (a_n)) u I '(P);)
  • kad god je c pojedinačna konstanta u V, (I '(c) = f (I (c))).

(M) i (M ') su izomorfne, u simbolima,) M / cong / M ')

ako postoji izomorfizam od jednog do drugog. Sad, ako je Q generalizirani kvantifikator tipa ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), (P_i) je (n_i) - arilni predikatni simbol za (1 / leq i / leq k), (M = (M, I)) je model za vokabular ({P_1, / ldots, P_k }), i (R_i = I (P_i)), pišemo i mi

) M = (M, R_1, / ldots, R_k))

Tada Q zadovoljava Izomorfizam Zatvaranje, ili samo Isom, ako slijedi sljedeće:

) tag {13} label {ex-izom} textrm {If} (M, R_1, / ldots, R_k) cong (M ', R'_1, / ldots, R'_k), / textrm { onda} / Q_M (R_1, / ldots, R_k) lijeva svjetlost Q_ {M '} (R'_1, / ldots, R'_k).)

Jednostavno se provjerava da su svi do sada prikazani generalizirani kvantifikatori doista Isom. Međutim, taj zahtjev nismo uključili u definiciju generaliziranih kvantifikatora, budući da postoje kvantifikatori prirodnog jezika koji ga ne zadovoljavaju; Pogledaj ispod. No, logika bi trebala biti tematski neutralna, pa se Isom gotovo uvijek nameće. Zatim slijede dvije važne stvari. Prvo, kao što je gore navedeno, rečenice u logičkim jezicima ne razlikuju izomorfne modele. Preciznije, imamo sljedeće

Činjenica 2

Ako je (L = / FO (Q_1, / ldots, Q_n)), svaki (Q_i) je Izom, (f) je L-rečenica, a (M / cong / M '), zatim (M / modeli / f / Lijeva svjećica / M '\ modeli / f).

Drugo, Isom poprima posebno zanimljiv oblik za monadske kvantifikatore. Ako je (M = (M, A_1, / ldots, A_k)), gdje je (A_i / podskup M) za svaki i, tada je (A_1, / ldots, A_k) particija M u (2 ^ k) udvojene parne podskupove (od kojih neke mogu biti prazne); nazovimo ih dijelovima (M). Ilustriramo s (k = 2) i (M = (M, A, B)):

dva presijecajuća kruga unutar okvira (okvir s oznakom "M") s "A presjek B" koji označava sjecište krugova i "A minus B" i "B minus A" koji označavaju dijelove krugova koji se ne presijecaju. Područje unutar okvira, ali ne u krugovima, označeno je s „M minus (A B)“
dva presijecajuća kruga unutar okvira (okvir s oznakom "M") s "A presjek B" koji označava sjecište krugova i "A minus B" i "B minus A" koji označavaju dijelove krugova koji se ne presijecaju. Područje unutar okvira, ali ne u krugovima, označeno je s „M minus (A B)“

Slika 1

Sada nije teško vidjeti da samo veličina dijelova određuje jesu li dva takva modela izomorfna ili ne:

Činjenica 3

((M, A_1, / ldots, A_k) Kong (M ', A'_1, / ldots, A'_k)) ako su kardinalnosti odgovarajućih dijelova iste.

To pokazuje da se monadički i izomski generalizirani kvantifikatori doista bave samo količinama, tj. Veličinom skupova, a ne samim skupovima. Popis / eqref {ex-qlist3} tipa ({ langle} 1,1 { rangle}) generalizirani kvantifikatori to jasno ilustriraju, ali se i aristotelovski kvantifikatori mogu formulirati u smislu kardinalnosti,) početak {poravnati} textit {sve} _M (A, B) & / iff | AB | = 0 \\ / textit {neki} _M (A, B) & / iff | A / cap B |> 0 / end {poravnati})

itd., i slično za primjere tipa ({ langle} 1 { rangle}) koji smo dali.

Općenitije, pod Isomom, monadički kvantifikatori mogu se promatrati kao odnosi između (kardinalnih) brojeva. Na primjer, ako je Q tipa ({ langle} 1 { rangle}), definirajte (koristeći isti simbol Q za odnos između brojeva)

[Q (kappa, / lambda) iff / text {postoji} (M, A) ST | M \! - \! A | = / kappa / amp | A | = / lambda / amp Q_M (A))

Isom jamči da je to dobro definirano, a mi to imamo

[Q_M (A) iff Q (| M \! - \! A |, | A |))

7. Relativizacija

Svaka izjava koja uključuje generalizirani kvantifikator Q odvija se unutar nekog svemira M. Ponekad je korisno ogledalo te relativizacije u svemir unutar M. To znači definirati novi kvantifikator s jednim dodatnim argumentom koji kaže da se Q ponaša u svemiru ograničeno na taj argument upravo onako kako se ponaša na M. Dakle, ako je Q tipa ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), definiramo (Q {^ { text {rel}}}}) tipa ({ langle } 1, n_1, / ldots, n_k { rangle}) kako slijedi:

) tag {14} (Q {^ { text {rel}}}) M (A, R_1, / ldots, R_ {n_k}) mathbin { Longleftrightarrow _ { text {def}}} Q_A (R_1 \! / ograničenje \! a, / ldots, R_ {n_k} ! / ograničenje \! a))

pri čemu je (R_i / subseteq M ^ {n_i}) i (R_i \! / ograničenje \! A) ograničenje od (R_i) na A, tj. skup (n_i) - tupola u (R_i / cap A ^ {n_i}).

Zapravo smo već vidjeli nekoliko primjera relativizacije: budući da se jedan lako potvrđuje (vidi liste / eqref {ex-qlist1} i / eqref {ex-qlist3}) da

) tag {15} početak {poravnanje} textit {sve} & = / forall {^ { tekst {rel}}} / \ textit {neki} & = / postoji {^ { tekst {rel} }} / \ textit {najmanje pet} & = (postoji _ { geq 5}) {^ { text {rel}}} / \ textit {točno tri} & = (postoji _ {= 3}) {^ { text {rel}}}} / \ textit {beskonačno mnogo} & = (Q_o) {^ { text {rel}}} / \ textit {most} & = (Q ^ R) {^ { text {rel}}} / \ textit {parni broj} & = (Q _ { tekst {čak}}) {^ { tekst {rel}}}} kraj {poravnati})

8. Izražajna snaga

Opisali smo kako se generalizirani kvantifikatori mogu dodati u FO, što rezultira ekspresivnijom logikom. Logika se u ovom smislu otprilike sastoji od skupa rečenica, klase modela i odnosa istine (ili odnosa zadovoljstva) između rečenica i modela. Takve se logike često nazivaju model-teorijske logike, budući da su semantički definirane u smislu modela i istine, a ne teoretski u smislu deduktivnog sustava za izvođenje teorema. [11] Ovdje ćemo ograničiti pozornost na logiku obrasca (FO (Q_1, Q_2, / ldots)), nastale dodavanjem generaliziranih kvantifikatora FO, gdje svaki kvantifikator dolazi s pravilom formiranja i semantičkom odredbom za istinu definicija kako je opisano u gornjem odjeljku 5.

Postoji očigledan način usporedbe ekspresivne snage model-teorijske logike. (L_2) je bar toliko ekspresivna kao (L_1), u simbolima, [L_1 / leq L_2)

ako je svaka (L_1) - rečenica (f) logički jednaka nekom (L_2) - rečenica (p), tj. (f) i (p) su istina u istim modelima. Također, (L_1) i (L_2) imaju istu izražajnu snagu, (L_1 / ekviv L_2), ako (L_1 / leq L_2) i (L_2 / leq L_1), i (L_2) je jači od (L_1), (L_1 <L_2), ako je (L_1 / leq L_2), ali (L_2 / ne / leq L_1). Dakle, (L_1 <L_2) ako se sve što se može reći u (L_1) može reći i u (L_2), ali postoji neka (L_2) rečenica koja nije ekvivalentna nijednoj rečenici u (L_1).

Kako se utvrđuju činjenice o ekspresivnoj moći? Izgleda da bi se za prikaz (L_1 / leq L_2) moralo proći kroz sve beskonačno mnogo rečenica u (L_1) i za svaku od njih pronaći ekvivalent u (L_2). Ali u praksi je dovoljno pokazati da su generalizirani kvantifikatori u (L_1) definirani u (L_2). Ako je Q tipa ({ langle} 1,2 { rangle}), recimo, Q je moguće definirati u (L_2) ako postoji (L_2) - rečenica (p) čija ne-logički vokabular sastoji se točno od jednog unarnog i jednog binarnog predikatnog simbola, tako da za sve modele (M = (M, A, R)), [Q_M (A, R) iff (M, A, R) modeli / p)

Slično je i za ostale vrste. Na primjer, kvantifikator je sve moguće definirati u FO-u budući da vrijedi sljedeće:

) textit {all} _M (A, B) iff (M, A, B) modeli / forall x (A (x) rightarrow B (x)))

Isto tako, (Q ^ R) je moguće definirati u (FO (textit {most})), budući da

[(Q ^ R) _M (A) iff (M, A, B) modeli / textit {most}: x (x = x, A (x)))

(imajte na umu da sva naša logika sadrži logički aparat FO, tako da su svi produžeci FO). Potonje je primjer sljedećeg opažanja:

(16) Za bilo koji generalizirani kvantifikator Q može se definirati u (FO (Q {^ { text {rel}}}))

Takve su činjenice o definiranosti lako ili teško utvrditi [12], ali su dovoljne za utvrđivanje pozitivnih činjenica o ekspresivnosti, jer imamo:

Činjenica 4

(FO (Q_1, / ldots, Q_n) leq L) ako i samo ako je svaki (Q_i) moguće definirati u L.

S druge strane, teže je dokazati neizrecivost, tj. Da neka rečenica nije ekvivalentna nijednoj L-rečenici. Jedan od načina koji ponekad djeluje je utvrđivanje da (L_1) ima neko svojstvo koje nedostaje (L_2); tada bi se moglo zaključiti da (L_1 / not / leq L_2). Neka svojstva koja su tipična za FO, ali ne uspijevaju za većinu snažnijih logika, jesu:

  • Svojstvo Löwenheim: Ako je rečenica istinita u nekom beskonačnom modelu, to je istina i u nekom računalom modelu.
  • Tarski svojstvo: Ako je rečenica istinita u nekom izrazito beskonačnom modelu, to je istina i u nekom nebrojivom modelu.
  • Svojstvo kompaktnosti: Ako nijedan model ne čini istinitim svaki element skupa rečenica (Phi), postoji konačni podskup (Psi) od (Phi) takav da nijedan model ne čini svaku rečenicu u (Psi) istina.
  • Svojstvo potpunosti: Skup valjanih rečenica je rekurzivno nabrojan (tj. Može ih generirati neki formalni sustav).

Na primjer, (FO (Q_0)) nema svojstvo kompaktnosti. [13] To se može vidjeti gledanjem skupa rečenica

) Phi \: = \: { neg Q_0x (x = x) cup { theta_n: n = 1,2, / ldots })

gdje je (theta_n) FO-rečenica koja kaže da u svemiru postoji najmanje n elemenata. Ako uzmete bilo koji konačni podskup (Phi ') od (Phi), a M je svemir čija je kardinalnost najveća n takva da (theta_n) pripada (Phi'), tada su sve rečenice u (Phi ') istinite u M. Ali nijedan svemir ne može sve rečenice u (Phi) učiniti istinitim. A to pokazuje da (Q_0) nije moguće definirati u FO, tj. Da (FO (Q_0) not / leq / FO), jer bismo u protivnom mogli zamijeniti (Phi) ekvivalentnim skupom FO - rečenice, ali FO ima svojstvo kompaktnosti, tako da je nemoguće.

Međutim, ovaj način dokazivanja neizrecivosti funkcionira samo za logike sa svojstvima poput gornjih. Štoviše, oni djeluju samo ako su dopušteni beskonačni svemiri, ali zanimljive činjenice o neizrecivosti vrijede i za konačne modele, na primjer, činjenica da (Q ^ R) i (Q _ { text {čak}}) nisu mogući definirati u FO, ili da većina = ((Q ^ R) {^ { text {rel}}}) nije moguće definirati u (FO (Q ^ R)). Logičari su razvili mnogo izravnije i učinkovitije metode prikazivanja rezultata koji se ne mogu definirati, a koji rade i za konačne modele. [14]

Gornja svojstva zapravo karakteriziraju FO, u smislu da nijedno pravilno produljenje FO-a ne može ih imati (određene kombinacije). To je sadržaj proslavljenog teorema o model-teorijskoj logici, Lindströmova teorema, čija je verzija dana u nastavku. Za pristupačan dokaz vidi, na primjer, Ebbinghaus, Flum i Thomas (1994). Kažemo da se logika (L = / FO (Q_1, / ldots, Q_n)) relativizira ako je "obrnuto" od (16) zadržano za svaki (Q_i), tj. Ako je svaki ((Q_i) { ^ { text {rel}}}) može se definirati u L.

Teorem 5 (Lindström) Ako je L kompaktan i ima svojstvo Löwenheim, tada je (L / equiv / FO). Također, pod uvjetom da se L relativizira, ako je L potpun i ima svojstvo Löwenheim, ili ako L ima i svojstva Löwenheim i Tarski, tada je (L / equiv / FO).

9. Generalizirani kvantifikatori i računanje

Pored uvjeta istine koji su povezani s generaliziranim kvantifikatorima, može se proučavati izračuna potrebne za utvrđivanje istinitosti kvantificirane izjave u modelu. Doista, generalizirani kvantifikatori pojavljuju se na raznim mjestima u dijelu informatike koji proučava složenost računara. U tom kontekstu ograničavamo pažnju na konačne svemire i pretpostavljamo Isom u cijelom. Dakle, kvantifikator je u osnovi skup konačnih modela; po Isomu možemo pretpostaviti da svi modeli kardinalnosti m imaju istu domenu (M = {1, / ldots, m }). Takvi se modeli mogu kodirati kao riječi, tj. Konačni nizovi simbola. Na primjer, model ((M, A)) tipa ({ langle} 1 { rangle}) može se vidjeti kao binarna riječ (a_1 / ldots a_m), gdje je (a_i) je 1 ako je (i / u A), a 0 u protivnom. Dakle, (| A |) je broj 1 i (| M \! - \! A |) broj 0; autor Isom,redoslijed u nizu nije važan. Tako Q postaje skup (W_Q) riječi, to jest formalni jezik: podskup skupa svih konačnih nizova kodirajućih simbola.[15]

Sada se možemo pitati što je potrebno da prepoznamo da riječ pripada (W_Q). Apstraktni pojam automata daje odgovor; automati su strojevi koji prihvaćaju ili odbijaju riječi i klasificiraju se prema složenosti operacija koje obavljaju. Jezik koji automatski prepoznaje skup riječi koje prihvaća. [16]

Konačni automat ima ograničen broj stanja, uključujući početno i najmanje jedno prihvaćajuće stanje. Počinje skeniranje riječi s krajnjim lijevim simbolom u početnom stanju, a na svakom koraku pomiče po jedan simbol udesno i ulazi u (moguće) novo stanje, u skladu s danom funkcijom prijelaza. Ako se može kretati duž cijele riječi koja završava u prihvatljivom stanju, riječ je prihvaćena. Primjena teorije automata na generalizirane kvantifikatore pokrenuta je u van Benthemu (1986) (pogl. 7, „Semantički automati“). Lako je konstruirati konačni automat koji prepoznaje (forall) (ili (forall {^ { text {rel}}} =) sve, tj. Provjeravajući da se w sastoji samo od 1: samo ostanite u početno stanje = stanje prihvaćanja sve dok se susreću s oznakama 1, ali prijeđite na stanje odbacivanja čim se skenira 0 i ostanite tamo sve što je nađeno nakon toga. Nešto složeniji automat prepoznaje (Q _ { text {čak}}): opet postoje dvije države, početno stanje = stanje prihvaćanja i stanje odbacivanja, i koje ovaj put ostaju u istom stanju kada se 0 skenira, ali pređite u drugo stanje kada se skenira 1. Za završetak u stanju prihvaćanja potrebno je i dovoljno da postoji parni broj 1. Ovaj stroj u osnovi koristi cikluse duljine 2, dok je prvi primjer imao samo 1-ciklus. Nazovite jedan automat druge vrste aciklički. Van Benthem pokazao je da su FO-utvrdivi kvantifikatori upravo oni koji su prihvaćeni od konačnih automata koji su aciklički i permutacija zatvorena.i ovo vrijeme ostaje u istom stanju kada se skeniraju 0, ali prijeđite u drugo stanje kada se skenira 1. Za završetak u stanju prihvaćanja potrebno je i dovoljno da postoji parni broj 1. Ovaj stroj u osnovi koristi cikluse duljine 2, dok je prvi primjer imao samo 1-ciklus. Nazovite jedan automat druge vrste aciklički. Van Benthem pokazao je da su FO-utvrdivi kvantifikatori upravo oni koji su prihvaćeni od konačnih automata koji su aciklički i permutacija zatvorena.i ovo vrijeme ostaje u istom stanju kada se skeniraju 0, ali prijeđite u drugo stanje kada se skenira 1. Za završetak u stanju prihvaćanja potrebno je i dovoljno da postoji parni broj 1. Ovaj stroj u osnovi koristi cikluse duljine 2, dok je prvi primjer imao samo 1-ciklus. Nazovite jedan automat druge vrste aciklički. Van Benthem pokazao je da su FO-utvrdivi kvantifikatori upravo oni koji su prihvaćeni od konačnih automata koji su aciklički i permutacija zatvorena. Van Benthem pokazao je da su FO-utvrdivi kvantifikatori upravo oni koji su prihvaćeni od konačnih automata koji su aciklički i permutacija zatvorena. Van Benthem pokazao je da su FO-utvrdivi kvantifikatori upravo oni koji su prihvaćeni od konačnih automata koji su aciklički i permutacija zatvorena.[17]

Nešto složeniji automat, pushdown automat, ima rudimentarne memorijske resurse u obliku snopa simbola koji se mogu gurnuti ili iskočiti s vrha, omogućujući mu da u određenoj mjeri prati ono što se događalo u prethodnim koracima. Drugi rezultat van Benthema je da su tip ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikatori prihvaćeni s pushdown automata upravo oni za koje je odgovarajući binarni odnos između brojeva moguće definirati (sredstvima prvog reda) u aditivnoj aritmetici, tj. u modelu ((N, +)), gdje je (N = {0,1,2, / ldots }). Primjer je (Q ^ R) (ili njegova relativizacija najviše): imamo (Q ^ R (m, n) lijeva glava m <n), a desna strana je definirana u ((N, +)) prema (postoji x (x / neq 0 / klin m + x = n)). [18]

Stoga se algoritamska karakterizacija podudara s logičkom. Ovo je jedan istaknuti smjer u proučavanju algoritmičke složenosti. Razmotrimo sada najopćenitije apstraktne automate ili računske uređaje, tj. Turingove strojeve. Jedna (od mnogih) zanimljivih klasa složenosti je PTIME: problem, identificiran sa pripadajućim nizom riječi, je PTIME ako postoji polinom (p (x)) i Turingov stroj koji prihvaća W takav da kad god (w / u W) ima duljinu n, izračunavanje prihvaćanja traje najviše (p (n)) koraka. PTIME problemi obično se smatraju „traktabilnim“, dok su složeniji problemi „nezamislivi“, poput EXPTIME, pri čemu broj potrebnih koraka može eksponencijalno rasti. Rani rezultat Immermana i Vardija je da su PTIME skupovi konačnih modela (kodiranje riječi) upravo oni koji se mogu opisati jednim rečenicama u (FO (LFP)), što je FO logika s dodanim mehanizmom za formiranje najmanje fiksnih -bodovi[19] Ovdje moramo prikazati ne samo monadske modele, već i proizvoljne. Na primjer, binarni odnos u svemiru ({1, / ldots, m }) može se predstaviti riječju (w_ {11} cdots w_ {1m} # / ldots / #w_ {m1 } cdots w_ {mm}), gdje je odnos ((i, j)) iff (w_ {ij} = 1). No ovoga puta čini se da redoslijed nije važan, a zapravo spomenuti rezultat Immerman i Vardi vrijedi samo za modele s zadanim linearnim redom i binarnim predikatnim simbolom koji stoji za tim redom.

Logike poput (FO (LFP)) mogu se preoblikovati kao logike oblika (FO (Q_1, Q_2, / ldots)). Ovdje će biti potrebno beskonačno mnogo kvantifikatora, ali u nekim je slučajevima dovoljan jedan jedini. Što se tiče (FO (LFP)), dovoljno je dodati sve nastavke (vidi kraj gornjeg odjeljka 5) jednog kvantifikatora. Općenitije, neka je (FO ^ * (Q_1, Q_2, / ldots)) poput (FO (Q_1, Q_2, / ldots)), ali s mehanizmima za izradu relativizacije (odjeljak 7) i za ponovno pokretanje svake (Q_i) do k -polovi za svaki k. Zatim je jedan kvantifikator Q takav da je (FO (LFP) = / FO ^ * (Q)).

Tako generalizirani kvantifikatori ostaju jednostavan i svestran način dodavanja ekspresivne snage FO-u. Jedno je prirodno pitanje može li se logička karakterizacija gore spomenutog PTIME-a poboljšati korištenjem generaliziranih kvantifikatora, posebno ako se na taj način može ukloniti ograničenje uređenih struktura. Odgovor se, međutim, pokazao negativnim, jer je Hella (1989.) dokazao da PTIME izračunava svojstva proizvoljnih konačnih struktura ne mogu biti okarakterizirana dodavanjem konačnog broja generaliziranih kvantifikatora u FO, ili čak u (FO (LFP)). Pitanje može li PTIME okarakterizirati logikom oblika (FO ^ * (Q)) ostaje otvoreno (doista, njezino rješavanje bio bi veliki proboj u teoriji složenosti).

10. Generalizirani kvantifikatori i prirodni jezik

U kasnim šezdesetim godinama prošlog stoljeća Richard Montague pokazao je kako se semantika značajnih dijelova prirodnih jezika može upravljati logičkim alatima. [20] Jedan od njegovih glavnih uvida bio je da se imenice (NP) mogu tumačiti kao skupovi podskupina domene, tj. Kao (ono što danas nazivamo) tip ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikatori, Montague je radio u teoriji tipa, ali oko 1980. su brojni lingvisti i logičari počeli primjenjivati model-teorijski okvir logike s generaliziranim kvantifikatorima na semantiku prirodnog jezika. [21] Razmotrite strukturu jednostavne engleske rečenice čiji je predmet kvantificirani NP: [22]

  • (17)

    Lingvističko stablo [S [NP [Det [većina] [N [studenti] [VP [dim]
    Lingvističko stablo [S [NP [Det [većina] [N [studenti] [VP [dim]

NP (subjekt) sastoji se od odrednice i imenice (N). I imenica i glagolska fraza (VP) imaju skupove kao proširenja, pa se odrednik prirodno uzima za označavanje binarnog odnosa između skupa, tj. Kvantifikatora tipa (({ langle} 1,1 { rangle})), Izreka (17) ima (pozadinu) diskurs u pozadini (recimo, skup ljudi na određenom sveučilištu), ali značenje većine, svakog, najmanje pet i sličnih izraza nije vezano za određene svemire. Na primjer, značenje svih u

  • (18) a. Sve mačke vole mlijeko.
  • b. Svi elektroni imaju negativan naboj.
  • c. Svi prirodni brojevi imaju nasljednika.
  • d. Svi blizanci vole jedno drugo.
  • e. Sve kompaktne podskupovi Hausdorff-ovih prostora su zatvoreni.

nema nikakve veze s mačkama ili elektronima, brojevima, blizankama ili Hausdorffovim prostorima, niti sa svemirima diskursa koji se mogu povezati s gornjim primjerima. To jednostavno znači odnos inkluzije, bez obzira na to o čemu se radi. Stoga je generalizirani kvantifikator sve, koji sa svakim svemirom M povezuje inkluzijski odnos u odnosu na M, izrazito pogodan za tumačenje svih, a slično i za druge odrednike.

Međutim, za rečenice u obliku (17) karakteristično je da se imenica i VP argument ne podudaraju. Imenica se kombinira s određivačem i tvori NP, zasebnu sastavnicu, a ovaj sastavni dio može se uzeti i za označavanje generaliziranog kvantifikata, ovog puta tipa ({ langle} 1 { rangle}). Tako, najmanje pet učenika označava skup podskupina svemira koji sadrži najmanje pet učenika. Ovaj kvantifikator rezultat je zamrzavanja prvog argumenta tipa ({ langle} 1,1 { rangle}) tri u skupu učenika; pišemo ovo troje (^ { textit {student}}). Općenito, ako je A fiksni skup i Q a tip ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikator, može se definirati vrsta ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikator (Q ^ A) od

) tag {19} oznaka {QA} (Q ^ A) _M (B); / Longleftrightarrow _ { text {def}}; Q_ {M / cup A} (A, B))

za bilo koji M i bilo koji (B / podseteq M). U sastavničkoj semantiki prirodno je da svaki sastavni dio rečenice ima zasebno značenje ili značenje, a zadane značenja imenskih izraza su kvantifikatori tipa ({ langle} 1 { rangle}).

To vrijedi i za neke NP koji nemaju determinanti, kao što su vlastita imena. Dok je leksičkoj stavci Ivanu određeni pojedinačni j dodijeljen j interpretacijom, NP John može se uzeti za kvantifikator (I_j), definiran za bilo koji M od

[(I_j) _M = {B / subseteq M / !: j / u B })

To je u stvari dobro motivirano, ne samo zato što tumačenje NP-a postaje ujednačenije, već i zato što se Ivan može kombinirati s kvantificiranim NP-om:

(20) Na sastanak su došli Ivan i tri profesora

Ovdje je prikladno ako Ivan i tri profesora imaju istu semantičku kategoriju. Imajte na umu da generalizirani kvantifikatori - za razliku od pojedinaca! - imaju jasnu logičku strukturu; definirajte (ovdje u vrsti ({ langle} 1 { rangle}), ali slično za bilo koju drugu vrstu)

) početak {poravnati} (Q_1 / klin Q_2) _M (A) & / iff (Q_1) _M (A) textrm {i} (Q_2) _M (A) (neg Q) _M (A) & / iff / textrm {not} Q_M (A) kraj {poravnati})

Tada možemo uzeti složeni odrednik u (20) za označavanje (I_j / wedge / textit {tri} ^ { textit {profesor}}). Slično je i složen NP u

(21) Ivan i Marija došli su na sastanak

označava (I_j / klin I_m).

Prvi argument (koji dolazi od imenice) oznake determinatora tipa ({ langle} 1,1 { rangle}) često se naziva ograničenjem, a drugi opseg. Pokazalo se da razlika u sintaktičkom statusu između ova dva argumenta ima jasan semantički rang.

11. Konzervativnost

Rano je uočeno da kvantifikatori tog tipa ({ langle} 1,1 { rangle}) označeni odrednicama u prirodnim jezicima imaju sljedeće svojstvo:

  • (22) Konzervativnost (Conserv):

    Za sve M i sve (A, B / subseteq M), [Q_M (A, B) iff Q_M (A, A / cap B).)

To se može vidjeti iz parova rečenica poput sljedećeg, gdje je jasno da je druga rečenica samo nespretan način izražavanja prve:

  • (23) a. Većina studenata puši.
  • b. Većina učenika su studenti koji puše.
  • (24) a. Najmanje pet profesora bilo je odsutno.
  • b. Najmanje pet profesora bili su odsutni profesori.
  • (25) a. Više od trećine diplomiranih studenata su stranci.
  • b. Više od trećine diplomiranih studenata su strani diplomski studenti.

Conserv kaže da je za istinu (Q_M (A, B)) važan samo onaj deo B koji je zajednički sa A. Odnosno, dio (BA) na slici 1 nije važan. Čini se da vrijedi za sve oznake determinatora, ali ne uspijeva za potpuno prirodne logičke kvantifikatore, kao što su MO i ja s popisa / eqref {ex-qlist3} gore. Razlog je taj što je za oznake determinatora karakteristično da argument restrikcije ograničava domen kvantifikacije na taj argument.

12. Produžetak

Zapravo, ideja ograničenja domene sadrži još jedan sastojak. Ograničiti domenu kvantifikacije na podskup A od M znači ne samo da je (BA) nebitno, već i cijeli dio M koji leži izvan A, a samim tim i dio (M- (A / cup B)) na slici 1. To je zauzvrat primjer općenitijeg svojstva, primjenjivog na proizvoljne generalizirane kvantifikatore:

  • (26) Proširenje (Ext):

    Ako je Q tipa ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), (R_i / subseteq M ^ {n_i}) za (1 / leq i / leq k) i (M / subseteq M '), zatim [Q_M (R_1, / ldots, R_k) iff Q_ {M'} (R_1, / ldots, R_k).)

Odnosno, ništa se ne događa kada se svemir proširi ili smanji, sve dok se argumenti ne promijene. Sada se prisjetimo da smo za kvantifikatore tipa ({ langle} 1 { rangle}) već pružili logički mehanizam za ograničavanje domene kvantifikacije na suniveverz, u smislu relativizacije (odjeljak 7). Sada možemo vidjeti (u (b) dolje) da kombinacija Conserva i Ext iznosi potpuno isto:

Činjenica 6

  1. Za bilo koji kvantifikator Q, (Q {^ { text {rel}}}) zadovoljava Ext.
  2. Kvantifikat tipa ({ langle} 1,1 { rangle}) je Conserv i Ext, i samo ako je riječ o relativizaciji kvantifikata tipa ({ langle} 1 { rangle}). [23]

Ponovo se čini da sve oznake determinatora zadovoljavaju Ext. Na prvi pogled, čini se da ništa u načelu ne sprječava da jezik sadrži odrednicu, recimo evso, što je značilo svaki na svemirima s manje od 10 elemenata, a neki na većim svemirima. Ali ne samo da u stvari ne postoji takav određivač na bilo kojem jeziku - ne bi mogao biti, ako je argument imenice određivač ograničiti domenu kvantifikacije na oznaku te imenice.

Kvantifikator poput evso intuitivno nije konstantan, u smislu da ne znači isto ili se ne tumači istim pravilom u svakom svemiru. Ext se može posmatrati kao snažan zahtjev stalnosti: pravilo koje tumači Q uopće ne spominje svemir. Zapravo, mnogi kvantifikatori iz jezika i logike su Ext. Kao što smo vidjeli, svi relativizirani kvantifikatori su Ext, a svi ostali kvantifikatori s popisa / eqref {ex-qlist2} - / eqref {ex-qlist4} osim W. [24] U stvari, čini se da su svi kvantifikatori koji uzimaju više argumenata koji se pojavljuju u prirodnim jezičnim kontekstima Ext. I mnogi tipovi ({ langle} 1 { rangle}) su takođe Ext, na primjer, (postoji), (I_j), (Q ^ A) (kada je Q Ext; vidi / eqref {QA} gore), i sve na popisu / eqref {ex-qlist1} osim (Q ^ R).

Ali (forall) i (Q ^ R) nisu Ext. Ipak, jedan je sklon i za njih reći da isti znače u svakom svemiru. Slučaj (forall) posebno je zanimljiv jer bi se moglo tvrditi da on interpretira NP kao sve ili svaka stvar. Suština ovdje je stvar. Ako se ovaj izraz vidi kao logična konstanta koja uvijek označava svemir, tada ovi NP označavaju (forall): za sve M i sve (B / podseteq M),) početak {poravnati} (textit {svaki} ^ { textit {stvar}}) _ M (B) & / iff / textit {svaki} _M (M, B) & / iff M / subseteq B & / iff M = B \& / iff / forall_M (B) kraj {poravnati})

Kad se Ext drži, obično možemo ispustiti pretplatu M i napisati, na primjer, [P (A, B))

a ne (Q_M (A, B)). Odnosno, prikladan svemir se može pretpostaviti, ali ostaviti u pozadini.

13. Simetrija i monotonost

Druga svojstva ne dijele svi kvantifikatori prirodnog jezika, ali izdvajaju važne potklase. Spomenuli smo već dva u gornjem odjeljku: simetrija i monotonost. Tipični simetrični kvantifikatori su neki, ne, najmanje pet, točno tri, parni broj, beskonačno mnogo, dok su svi, većina, najviše jedna trećina ne-simetričnih. Drugi način izražavanja simetrije je reći da vrijednost istine (Q (A, B)) ovisi samo o skupu (A / cap B). Preciznije, nazovite Q intersektivom ako je za sve M i sve (A, A ', B, B' / subseteq M):

(27) Ako je (A / cap B = A '\ cap B') tada (Q_M (A, B) lijeva svjetlost Q_M (A ', B'))

Jednostavno se potvrđuje:

Činjenica 7

Za konzervativni tip ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikatori, simetrija i intersektivnost su jednaki. [25]

Primijetili smo da neki silogizmi izražavaju svojstva monotonosti. U jezgrovitijim notacijama, tip ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikator Q je

udesno povećanje (desno opadanje) iff za sve M i sve (A, B / podseteq B '\ podseteq M) (sve (A, B' / podseteq B / podsetek M)), (Q_M (A, B)) podrazumijeva (Q_M (A, B ')).

Slično za lijevo povećanje ili smanjenje, i zaista za monotonost u bilo kojem mjestu argumenta generaliziranog kvantifikatora. Posebno je jasno što znači za kvantifikat tipa ({ langle} 1 { rangle}) biti monoton. Monotoničnost je sveprisutna među kvantifikatorima prirodnog jezika. Čini se da sintaktički jednostavne engleske NP sve označavaju monotone (povećavajuće ili opadajuće) tip ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikatore, a gotovo svi sintaktički jednostavni engleski odrednici označavaju prave monotone kvantifikatore. [26] Također imamo:

  • (28) a. Kvantifikatori (I_j) (vlastita imena) su sve veći
  • b. (Q ^ A) se povećava (smanjuje) iff Q ispravno raste (opada).

Svi Aristotelovi, neki, ne, monotoni su u oba argumenta (npr. Sve se ispravno povećava, a lijevo se smanjuje), kao što je najmanje pet, ne više od deset, beskonačno mnogo, dok većina, najmanje dvije trećine, pravo se povećava ali ni povećavanje i smanjivanje u lijevom argumentu. Točno tri, između dvije i sedam nisu monotone, premda su obje veze zajedno (desno i lijevo) koje se povećavaju i smanjuju se kvantifikator (npr. Najmanje tri i najviše tri), za razliku od parnog broja koji nije (konačna) boolova kombinacija monotonih kvantifikatora.

I simetrija i monotonost imaju važne objasnjavajuće uloge za određene jezične pojave. Simetrija je značajka (većine) kvantifikata dopuštenih u takozvanim egzistencijalnim rečenicama (npr. U vrtu je najmanje pet muškaraca u redu, ali u vrtu ima većinu muškaraca). Monotoničnost je presudna za objašnjenje raspodjele polaritetnih stavki (Nitko nikada neće uspjeti je u redu, ali netko će ikada uspjeti nije: stavke negativne polarnosti poput ikad zahtijevaju opadajuće okruženje). [27] Nadalje, monotonost je presudno uključena u prirodne oblike obrazloženja; vidi odjeljak 18.

14. Odrednici koji nisu ISOM

Smatrati

  • (29) Ivanove knjige su ukradene.
  • (30) Neke knjige učenika nisu vraćene.
  • (31) Na sastanak nije došao nijedan profesor osim Marije.
  • (32) Svi odlasci na plažu osim nekoliko entuzijastičnih kupača bili su potpuno odjeveni.
  • (33) Puši više muškaraca nego studentica.

Izraz John's, neki student, osim _ osim Mary, svi _ osim nekoliko entuzijastičnih plivača, više muški nego ženski, prirodno se vide kao odrednice: u kombinaciji s imenicama oni tvore izraze koji se ponašaju poput običnih NP-a. Također, vrsta ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikatori koji označavaju su Conserv i Ext. Na primjer, rečenice u sljedećem paru su trivijalno ekvivalentne:

  • (34) a. Ivanove knjige su ukradene.
  • b. Johnove knjige su knjige koje su ukradene.

No, za razliku od prethodnih primjera, oni nisu Isom, budući da uključuju neki fiksni pojedinac ili imovinu: ako su Ivanove knjige ukradene, a broj ukradenih knjiga jednak je broju crvenih olovaka (u nekom svemiru diskursa), a broj ukradenih knjiga jednak je broju olovaka koje nisu crvene, ne slijedi da su Ivanove olovke crvene kao što bi to imao Isom.

Međutim, baš kao što rezultat ne-Izomovog kvantifikatora tri (^ { textit {student}}) ima zamrzavanje argumentacije restrikcije Ext kvantifikatora tri, tako da neisomski kvantifikatori dobivaju zamrzavanje argumenata u apstraktnijim odnosima, koji su Isom. Ilustriramo to posesivnim određivačem Johnom. [28]

S obzirom na to da Ivan označava pojedinačno j, Ivanovo odredništvo može se za sve M i sve (A, B / podseteq M) definirati s [29]

) texttt {John's} _M (A, B) iff / emp / neq A / cap R_j / subseteq B)

gdje je (R_j = {b / u M / !: R (j, b) }) i R neki odnos "posjednika"; poznato je da taj odnos uvelike varira s okolnostima - moglo bi se govoriti o knjigama koje John posjeduje, ili ih je napisao, ili posudio, ili kupio kao poklon Mariji, itd. Pretpostavimo da je R vlasništvo. Tada (29) kaže da John posjeduje barem jednu knjigu i da su sve knjige koje posjeduje ukradene. Sada razmotrimo općenitiji "kvantifikator" definiran za (a / u M), (R / podseteq M ^ 2) i (A, B / podselek M), prema

) mathbf {P} _M (a, R, A, B) iff / emp / neq A / cap R_a / subseteq B)

Mogli bismo reći da je ovo generalizirani kvantifikator tipa ({ langle} 0,2,1,1 { rangle}), ostavljajući 0 da stoji za pojedince. (mathbf {P}) je Isom (proširivanje definicije / eqref {ex-isom} na očit način na kvantifikatore ove vrste), a Ivanovi rezultati zamrzavanjem prva dva argumenta na odgovarajuće vrijednosti.

Slične konstrukcije djeluju za ostale slučajeve izraza kvantifikatora u prirodnim jezicima koji označavaju neisomske kvantifikatore. Na primjer, odrednik ne _ osim Marije označava (s obzirom na to da se Marija odnosi na m)

[(texttt {ne _ osim Marije}) _ M (A, B) iff A / cap B = {m })

Odnosno, (31) kaže da je Marija profesorica, da je došla na sastanak, a da to nije učinio nijedan drugi profesor. Opet je lako definiran odgovarajući Izomov kvantifikator tipa ({ langle} 0,1,1 { rangle}). Na ovaj se način Isom može pronaći za kvantifikatore prirodnog jezika. S druge strane, pridruživanje kvantifikatora tipa ({ langle} 1,1 { rangle}) s determinatorima bolje se slaže sa sintaksom i omogućava da se mnoge generalizacije o oznakama determinatora također zadrže i u slučaju koji nije Isom.

15. Stalnost

Izom, tj. Neutralnost teme, standardno se smatra barem nužnim uvjetom da bude logična konstanta. [30]Moguće je razlikovati logičnost od postojanosti u ranije spomenutom smislu značenja iste u različitim svemirima. Kao prvo, logičnost je svojstvo koje bi trebalo biti zatvoreno pod definicijom, dok uopće nije jasno da bi se konstanta trebala zatvoriti na sličan način. Primjerice, imajte na umu da klasa Ext kvantifikatora nije zatvorena pod definiranjem prvog reda. Preciznije, ono je zatvoreno u uobičajenim logičkim operacijama, ali ne pod unutarnjom negacijom i stoga ne poduzima dualno, gdje je unutarnja negacija tipa ({ langle} 1 { rangle}) kvantifikatora Q definirana s ((Q / neg) _M (A) Lijeva svjećica Q_M (M \! - \! A)), a dvostruka s (Q ^ d = / neg (Q / neg)). Na primjer, (postoji ^ d = / forall).

Jedna bi intuicija mogla biti da je Ext dovoljan za postojanost. Ali drugačija je intuicija da bi kvantifikator, koji znači isti u svim univerzumima, posebno trebao zadovoljiti Isom, koji prisiljava Q da bude „isti“u svim univerzumima iste kardinalnosti. Te su dvije ideje nespojive, jer bi zajedno podrazumijevale da Ext podrazumijeva Isom, što je očito lažno. Jasno je da nejasna predodžba značenja istog u različitim svemirima dopušta različite preciziranja. Kad se pomnije pregleda, malo je vjerojatno da postoji jedna precizna verzija koja bi mogla prihvatiti sve intuicije o istovjetnosti.

U ovoj situaciji, prijedlog bi bio jednostavno odrediti da postojanost iznosi Ext + Izom. Ovo bi bila karnapska pojava postojanosti. Kvantifikatori s ovom kombinacijom svojstava izgleda sigurno znače isto u svim svemirima. S druge strane, Ext, ali ne-izomski kvantifikatori poput tri (^ { textit {student}}) ili neki profesori ne bi imali isto značenje za različite domene, što kao što smo vidjeli usklađuje s jednom intuicijom. Nadalje, nekoliko prirodnih ne-ekstremnih kvantifikata s kojima smo se suočili mogu se definirati iz Ext + izomskih kvantifikata. [31]

16. Poliadski kvantifikatori prirodnog jezika

Razmotrite tipičnu englesku rečenicu u kojoj su i subjekt i objekt količinski određeni:

(35) Većinu filmova pregledala su dva kritičara

Uvjeti istine (36) mogu se dati u obliku polijadnog kvantifikata, tipa ({ langle} 1,1,2 { rangle}) (izostavljajući M):

[Q (A, B, R) iff / textit {most} (A, {a / !: / textit {dva} (B, R_a) }))

(Ovo je čitanje "uskog opsega"; umjesto toga, čitanje "širokog opsega" bi bilo (textit {two} (B, {b / !: / textit {most} (A, (R ^ {- 1}) _b))).) Ali ovaj poliamidni kvantifikator rezultat je dva tipa kvantifikatora ({ langle} 1,1 { rangle}) sveprisutnom konstrukcijom koju nazivamo iteracija. Ako su (Q, Q ') tipa ({ langle} 1 { rangle}), definirali su tip ({ langle} 2 { rangle}) kvantifikator (Q / cdot Q') od

) tag {36} Q / cdot Q '(R) iff Q ({a / !: Q' (R_a) }))

Tada dobivamo iteraciju dva tipa ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikatora (Q_1, Q_2) kao što je gore s (Q_1 ^ A / cdot Q_2 ^ B). Svojstva iteracija proučavaju se u van Benthem (1989.), Keenan (1992.), Westerståhl (1994.), te Steinert-Threlkeld i Icard (2013.).

Keenan misli iteraciju kao Fregeovu granicu. Kao što su on i drugi istakli, čini se da postoji mnogo prirodnih kvantifikata jezika izvan te granice, tj. Koji se ne mogu definirati kao iteracije. Ovdje dajemo nekoliko primjera; mnogo više može se naći u upravo danim referencama. Sljedeća rečenica može izgledati kao izražavanje ponavljanja, ali u stvari ne.

(37) Na ispitu su odgovarali različiti studenti

Primjer (37) pretpostavlja da ima različita tumačenja, na primjer jedno koje koristi sljedeći tip kvantifikatora ((langle} 1,1,2 { rangle}):

[Q (A, B, R) iff / forall a, b / u A (a / neq b / Rightarrow B / cap R_a / neq B / cap R_b))

Ovaj je kvantifikator još uvijek moguće odrediti prvog reda, ali nije ponovljen. [32] Dalje, razmotrite

  • (38) a. Ljudi su obično zahvalni vatrogascima koji ih spašavaju.
  • b. Muškarci rijetko prolaze kod djevojčica koje nose naočale. (Dorothy Parker)

Prilozi poput, rijetko, uvijek, nikada se ne mogu uzeti za označavanje generaliziranih kvantifikatora (opažanje izvorno napravljeno u Lewisu (1975)). Na primjer, Psi nikada ne meov je otprilike sinonim za Noow meow. No, za (38) se može tvrditi da postoji čitanje gdje se kvantifikator primjenjuje na parove: među parovima koji se sastoje od osobe i vatrogasca koji je spasio tu osobu, većina je takva da je osoba zahvalna. Ovo je samo nastavak većine parova, koji smo definirali u / eqref {ex-qlist4}:

[Res ^ 2 (textit {most}) (R, S) iff | R / cap S | > | RS |)

Dakle, u (38b), (R (a, b)) iff (a / in / textit {osoba}) i (b / in / textit {fireman}) i (a \: / textit {spasio} b), a (S (a, b)) iff a je zahvalan b. Može se pokazati da za mnoge kvantifikatore, posebno za većinu, (Res ^ n (Q)) nije moguće definirati u (FO (Q)). U stvari, (Res ^ 2 (textit {most})) nije moguće definirati ni s jednim konačnim brojem monadskih kvantifikatora, pa je to primjer neredivoga polijadnog kvantifikatora. [33]

Sljedeći:

  • (39) a. Pet bostonskih bacača sjedilo je jedno uz drugo.
  • b. Većina članova parlamenta odnosi se jedno na drugo posredno.

Ovdje (39a) mogu postojati uvjeti istine

) postoji X / subseteq / textit {Bostonski vrč} [| X | = 5 / amp / textit {RECIP} (X, / textit {sat pored})])

gdje je RECIP kvantifikat tipa ({ langle} 1,2 { rangle}) definiran u / eqref {ex-qlist4}. Odnosno, postoji set od pet bostonskih bacača tako da ako uzmete bilo koju od ovih dvije, sjede jedan pored drugog, ili su jedan ili dva, ili najviše tri (svi u odabranom setu), između njih. Slično je i za (39b). Ovo je samo jedna od nekoliko konstrukcija polijadnih kvantifikatora koji se javljaju u recipročnim rečenicama. [34]

Za kraj, razmislite o rečenici

(40) Većina dječaka u vašem razredu i većina djevojaka iz mog razreda svi su se izlazili

(40) predstavljen je kao primjer kvantifikacije razgranavanja, koja se u dvodimenzionalnom logičkom formatu može zapisati kao

  • (41)

    'najviše x A (x)' i 'most y B (y)', a svaka ima retke do 'R (x, y)'
    'najviše x A (x)' i 'most y B (y)', a svaka ima retke do 'R (x, y)'

pri čemu je predviđeno očitanje da postoji podskup X od A koji sadrži većinu elemenata A i slično veliki podskup Y od B, tako da je svaki par ((a, b)) gdje (a / u X) i (b / u Y) pripada odnosu R. Općenitije, imamo polijadni kvantifikator tipa ({ langle} 1,1,2 { rangle}) definiran za bilo koji (Q_1, Q_2) tip ({ langle} 1,1 { zvona})

) oznaka {42} oznaka {ex-br} Br (Q_1, Q_2) (A, B, R) iff \\ / postoji X / podselek A \: / postoji Y / podselek B \, [Q_1 (A, X) amp Q_2 (B, Y) amp X / puta Y / podseteq R])

Sasvim uvjerljivo, ovo daje čitanje (40). Imajte na umu da su x i y ovdje međusobno neovisni. Ako bi se umjesto toga koristila bilo koja od linearnih rečenica

) textit {most}: x (A (x), / textit {most}: y (B (y), R (x, y))) / \ textit {most}: y (B (y), / textit {most}: x (A (x), R (x, y))))

tada ili y ovisi o x ili obrnuto. Dvodimenzionalna sintaksa u (41) odražava tu semantičku neovisnost. [35]

Može se pokazati da (Br (textit {most}, / textit {most})) nije izražen samo u (FO (textit {most})); doista ne i s konačnim brojem monadičkih kvantifikatora (za dokaz vidi Hella, Väänänen i Westerståhl (1997)). S druge strane, kvantifikatori razgranavanja dobivaju se operacijom podizanja koja se primjenjuju na monadske kvantifikatore i slično za nastavak. Zapravo, iako prirodni jezik pokazuje brojne polijadne kvantifikatore izvan granice Fregea, ipak se može ustvrditi tvrdnja da su svi oni dobiveni iz monadičkih kvantifikatora na sustavski način.

17. GQ teorija i lingvistika

Pojava generaliziranih kvantifikata imala je ogroman utjecaj na lingvističku semantiku kroz Montagueov rad u kasnim 60-ima, pojačanu primjenom model-teorijskih metoda u ranim 80-ima Barwise i Cooper, Keenan i Stavi i drugi (vidi bilješku 21). U gotovo svim primjerima u tim djelima prirodni jezik bio je engleski. Lingvisti od tada primjenjuju i testiraju alate i metode „teorije GQ“na drugim jezicima. Zbirka Bach i sur. (1995.) između ostalog ima i sedam studija kvantifikacije na drugim jezicima. Također naglašava razliku između D-kvantifikacije i A-kvantifikacije. U D-kvantifikaciji, koju pokazuje većina naših dosadašnjih primjera, izraz kvantifikatora (obično) je odrednik koji se odnosi na imenicu. Kvantifikacija se provodi na drugi način-A stoji za nagovještaje, pomoćna sredstva,prikazi i prilagodnici strukture argumenata. Mnogi jezici preferiraju A-kvantifikaciju, neki isključivo. Engleski ima obje vrste; prisjetiti se pridjeva kvantifikacije u (38).[36]

U novije vrijeme, svesci Keenan i Paperno (2012) te Paperno i Keenan (2017) imaju zasebno poglavlje koje odgovara na fiksni set pitanja o izražavanju kvantifikacije za svaki od 34 različita jezika (različita i od gore spomenutih), kako bi se postiglo opsežan popis njihovih ekspresivnih resursa. [37]Pristup je semantički: pitanja su u obliku "Može li se izraziti X na vašem jeziku, i ako je tako na koji način?", Koji omogućuje precizna pitanja o konzervativnosti, monotonosti, polaritetnim stavkama, monadičkom nasuprot polidskom kvantifikaciji itd. biti stavljen na svaki jezik. Sažetak u posljednjem poglavlju pokazuje da se mnoge generalizacije koje vrijede za engleski jezik, a koje se tiču postojanja izraza koji označavaju određene kvantifikatore i njihova svojstva, odnose i na sve ili većinu ostalih jezika koji se proučavaju (Keenan i Paperno list 25 takvih generalizacije).

S druge strane, početkom devedesetih neki jezikoslovci tvrde da GQ teorija nije u stanju objasniti niz važnih semantičkih pojava - u engleskom i drugim jezicima - koji su povezani s kvantifikacijom. Szabolcsi (2010) daje detaljan prikaz tih kretanja. Jedno je pitanje što se čini da GQ teorija nema što reći o sastavničkom značenju složenih odrednica. Na primjer, kako značenje više od pet proizlazi iz značenja njegovih dijelova? Ili smatrajte većinu, koja se često tretira kao jednostavan određivač, iako njeno značenje mora nekako proizlaziti iz superiornosti višeg.

Drugi problem je fenomen. Iako čini se da teorija GQ-a u principu dopušta sva teoretski moguća određenja ugniježđenih izraza kvantifikatora, prirodni jezici imaju ograničenja koja reguliraju koja su od njih zapravo dopuštena. Zapravo, opseg je glavna tema u lingvističkoj sintaksi i semantika, a ona složena. Problem je i metodološki: kako odrediti može li određena rečenica S zapravo značiti Y (gdje Y odgovara određenom opsegu)? Prvo, moramo filtrirati slučajeve kad nedostupnost Y ovisi o činjenicama o svijetu, a ne o jeziku. Drugo, čija bi intuicija trebala računati: lingvisti ili govorci izvornih govornika u testnoj situaciji ili bi možda statistički dokazi trebali igrati ulogu? Još,Iako je istina da su mnoga čitanja koja na prvi pogled izgledaju nemoguća, zapravo dostupna u dovoljno specifičnim kontekstima, vjerovatno je da jezici imaju ograničenja dosega izvan dosega teorije GQ.[38]

Teoretičar GQ-a mogao bi odgovoriti da njezini alati nikada nisu trebali potpuno objasniti opseg ili omogućiti kompozicijske analize svakog složenog izraza. Model-teorijski okvir je prije svega opisan: pruža matematičke predmete koji mogu poslužiti kao (modeli) značenja i formulirati svojstva i odnose između tih objekata. Ponekad činjenice o matematičkim objektima otkrivaju uvid u stvari koje modeliraju, kao u slučaju monotonosti i polarnosti, ili u slučaju značenja spojenih imenskih izraza. Ali nema razloga očekivati da će se to dogoditi u svakom slučaju.

To su stajališta u tekućoj raspravi o ulozi formalnih metoda, posebno o modelu-teoretskim alatima, u semantičkoj obradi; rasprava koja ni na koji način nije riješena. Čini se da je jasno da fenomeni koji se odnose na kvantifikaciju prirodnih jezika i dalje daju izvrstan materijal za ovu raspravu.

18. Kvantifikacija i spoznaja

Posljednjih godina došlo je do eksplozije djela koja povezuje semantiku, rasuđivanje i spoznaju, a mnogo toga se odnosilo na to kako govornici razumiju i uče i obrazlažu kvantificiranim izrazima. Glavni dio istraživanja odnosi se na monotonost (odjeljak 13). Već su Barwise i Cooper (1981.) primijetili sveprisutnost monotonih kvantifikatora u prirodnim jezicima i predložili način da se pokaže da su monotoni kvantifikatori lakši za obradu od nemonotonih i da su povećani kvantifikatori jednostavniji od onih koji se smanjuju. Također su predložili da se za testiranje njihove hipoteze mogu koristiti psihološki eksperimenti. Njihov tehnički prijedlog razvijen je dalje u van Benthemu (1986), koji je uveo pojam složenosti brojanja i pokazao da, prema nekim pretpostavkama,kvantifikatori s minimalnom složenošću broja upravo su oni koji imaju određeno snažno svojstvo monotonosti.[39]

Monotonija je također uključena u ono što je van Benthem nazvao rešenjima u jednom koraku, a koje je, čini se, lako dostupno govornicima. Monotoničko ponašanje osnovnih determinanti već pokazuje kako je takvo zaključivanje licencirano. Označavanje povećavajući (smanjujući) tip kvantifikatora ({ langle} 1,1 { rangle}) s + (a (-)) desno, a slično je i za lijevu monotonost, primjerice:

(- / textit {svaki} +) (+ / textit {neki} +) (- / textit {ne} -) (cdot \, / textit {most} +) (cdot \, / textit {točno tri}, / cdot)

pri čemu (cdot) označava da se položaj ne smanjuje niti povećava. Lijep primjer je sljedeći zaključak (iz Icard i Moss (2014.), prilagođavanje primjera u Geurtsu i Sliku (2005)):

(43) Većina Amerikanaca koji poznaju strani jezik govore ga kod kuće Većina Amerikanaca koji poznaju strani jezik govore ga kod kuće ili na poslu

Pretpostavka je većina magaraca rečenica, i notorno je teško odrediti njihove istinite uvjete istine. Zapravo je moguće nekoliko čitanja. [40] Unatoč tome, čini se da govornici nemaju problema s tim zaključkom, očigledno budući da se većina ispravno povećava (VP argument govori da je kod kuće prošireno da se govori kod kuće ili na poslu), neovisno o tome koja je predmetna imenica izraz (isti u obje rečenice) točno znači.

Mnogi drugi izrazi i izrazi, osim determinatora, pokazuju i fiksne monotonske obrasce. Počevši od van Benthema (1986.) to je dovelo do algoritama za dodjeljivanje markera polarnosti čvorovima stabala analize (u odnosu na datu gramatiku) ili kako takve markere uključiti izravno u notaciju tipa; pogledajte Icard i Moss (2014.) za pregled i daljnje reference. Osim njihove uloge u zaključivanju, takvo označavanje također može objasniti, a ponekad čak i predvidjeti raspodjelu negativnih polariteta u jezicima (kraj odjeljka 13). Nadalje, u mnogim slučajevima nije potrebna nikakva sintaktička analiza: zaključci se mogu izraditi izravno na površinskoj formi i u tom bi smislu bili dostupni „u letu“govornicima; usporediti (43). Upravo spomenuti rad također predstavlja potpunu aksiomatizaciju formalnog izračuna monotonosti,u kojima se mogu izraziti mnoge raznolikosti rasuđivanja s monotonošću.[41]

Nešto paralelni razvoj bio je formalno proučavanje različitih silogističkih fragmenata; u odjeljku 2 smo primijetili da mnogi silogizmi izražavaju svojstva monotonosti. Ti se fragmenti, od kojih je najviše proučavao Ian Pratt-Hartmann i nadasve Larry Moss, kreću od onih koji sadrže samo jednostavne rečenice poput allXY ili someXY do onih koji dopuštaju komplemente, relativne rečenice, prijelazne glagole, kvantifikatore prvog reda kao i većina, i druge značajke. Evo primjera (Moss pc) zaključka u takvom fragmentu:

Svatko voli sve koji vole Pat Pat voli svakog klarinetista Svi vole svi koji vole sve koji vole svakog klarinetista

To ilustrira kako se prilično uključeno rezonovanje može izraziti jednostavnim silogističkim jezikom. Zaključak je valjan, ali treba malo razmisliti da bi se to vidjelo. [42] Glavna značajka većine ovih fragmenata je da, osim što imaju eksplicitne potpune aksiomatizacije, valjanost u njima je odlučujuća, za razliku od logike prvog reda. To vrijedi i za neke fragmente s kvantifikatorima, koje nije moguće definirati FO. Kao i monotonski račun, i proučavanje silogističkih fragmenata dio je poduzeća donekle labavo nazvano prirodnom logikom, što rezultira u dobrim ponašanjem podsustava poznatije logike, u smislu da su oni bliži prirodnom jeziku i računski mnogo složeniji; pogledajte Moss (2015) za istraživanje. [43]

S kognitivne strane, pitanja razumijevanja i učenja vezana za kvantifikaciju i monotoniju proučavana su i u psihologiji i u neuroznanosti. Geurts i Slik (2005) pitali su subjekte jesu li određeni zaključci koji uključuju monotoniju valjani ili ne; rezultati su u velikoj mjeri potkrijepili raniju hipotezu Barwisea i Coopera. Značenje pojedinih determinanti također je empirijski proučeno; Pietroski i sur. (2009) istraživao je većinu, gdje je metoda bila pokazati subjektima sliku sa žutim i plavim točkama u vrlo kratkom vremenu (kako bi se eliminiralo brojanje) i pitati, recimo, je li istina ili lažno da je većina točaka žuta. Varijacije ove vrste eksperimenta su česte u literaturi; nedavna instanca su Odic i sur. (2018.), koja proučava razliku mase / broja u spoznaji i semantika. Obje studije uključuju ljudski čut za broj i njegov odnos prema razumijevanju kvantitativnog jezika. Moglo bi se zabaviti hipoteza „Whorfian“da je potonji preduvjet za prvu. Ovo je testirano neurobiološkim metodama (metode skeniranja mozga u kombinaciji s psihološkim testovima s pacijentima koji pate od različitih poremećaja u mozgu) u Clark i Grossman (2007). Nisu pronašli nikakvu empirijsku potporu toj hipotezi; vidi također Clark (2011a) za opis eksperimenta i više o istraživanju kvantifikacije i smisla broja. Ovo je testirano neurobiološkim metodama (metode skeniranja mozga u kombinaciji s psihološkim testovima s pacijentima koji pate od različitih poremećaja u mozgu) u Clark i Grossman (2007). Nisu pronašli nikakvu empirijsku potporu toj hipotezi; vidi također Clark (2011a) za opis eksperimenta i više o istraživanju kvantifikacije i smisla broja. Ovo je testirano neurobiološkim metodama (metode skeniranja mozga u kombinaciji s psihološkim testovima s pacijentima koji pate od različitih poremećaja u mozgu) u Clark i Grossman (2007). Nisu pronašli nikakvu empirijsku potporu toj hipotezi; vidi također Clark (2011a) za opis eksperimenta i više o istraživanju kvantifikacije i smisla broja.

Do sada je priličan broj empirijskih studija o tome kako se različite klase kvantifikatora identificirane logičkim ili računskim sredstvima odražavaju na učenje, razumijevanje, kognitivno opterećenje itd. Suprotno tome, jezične i kognitivne činjenice sugeriraju nova teorijska pitanja. Na primjer, što se tiče računalne složenosti, Sevenster (2006) je pokazao da je razgranavanje većine kao u (40) u odjeljku 9 neizrecivo. [44]Nakon toga, Szymanik je primijetio da ako se postupci obnavljanja i iteracije (kao u (38) i (36), primijene na PTIME kvantifikatore), rezultat je opet u PTIME, za razliku od grananja. Slično tome, neki oblici recipročnih konstrukcija zadržavaju PTIME-ovu računarnost, dok drugi ne: "podizanje" točno pet s RECIP-om kao u (39a), ali slično kao i u (39b) ne ide slično.

U postavkama semantičkih automata van Benthema (odjeljak 9), Steinert-Threlkeld i Icard (2013.) dokazali su da je Fregeova granica (odjeljak 16.) čvrsta u smislu da ako su dva Conserv i Ext tipa ({ langle} 1,1 { rangle}) kvantifikatori se prepoznaju po konačnim (ili push-down) automatama, tada je takva i njihova iteracija. Štoviše, Steinert-Threlkeld (2016) pokazao je da je za velike klase kvantifikatora tipa ({ langle} 1,1,2 { rangle}) odlučno jesu li to iteracije tipa ({ langle} 1, 1 { rangle}) kvantifikatori ili ne. Nedavni prikaz teorijskih i empirijskih rezultata oko kognitivnih aspekata prepoznavanja kvantifikatora je Szymanik (2016).

Date su računalni modeli učenja značenja kvantifikatora; na primjer Clark (2011a) u postavci semantičkih automata. U nedavnom razvoju Steinert-Threlkeld i Szymanik (predstojeći) proučavaju izučenost tehnologijom neuronskih mreža, testirajući da li su određeni kvantifikatori koji zadovoljavaju tri najčešće predložene univerzalnosti - da su jednostavne oznake determinatora monotone, Isom i Conserv - što je lakše naučiti nego kvantifikatori koji nemaju ta svojstva. Za svaki univerzalan, vrijeme koje je mreži potrebno da nauči kvantifikator koji ga zadovoljava, uspoređuje se s vremenom potrebno za učenje kvantifikatora koji ne. Ispada da su monotone i Isom jednostavniji od monotonih i ne-izomskih, dok za Conserv ne postoji razlika koja se može primjetiti. [45]

Ovo su samo prikazi tekućeg istraživanja. Istraživanje kako govornici obrađuju kvantificirane izraze, kombinirajući osnovnu teorijsku analizu modela s metodama iz psihologije, neuroznanosti i informatike, zasad je bogato područje u proučavanju generaliziranih kvantifikatora.

Bibliografija

  • Bach, Emmon, Eloise Jelinek, Angelika Kratzer i Barbara H. Partee (ur.), 1995., Kvantifikacija prirodnih jezika, (Studije lingvistike i filozofije 54), Dordrecht: Springer, Nizozemska. doi: 10,1007 / 978-94-017-2817-1
  • Barwise, Jon, 1979, "O grananju kvantifikatora na engleskom jeziku", časopis za filozofsku logiku, 8 (1): 47–80. doi: 10,1007 / BF00258419
  • Barwise, Jon i Robin Cooper, 1981., "Generalizirani kvantifikatori i prirodni jezik", lingvistika i filozofija, 4 (2): 159–219. doi: 10,1007 / BF00350139
  • Barwise, Jon i Solomon Feferman (ur.), 1985, Model Theoretic Logics, (Perspektive in Mathematical Logic), New York: Springer-Verlag.
  • van Benthem, Johan, 1986, Eseji iz logičke semantike, (Studije iz lingvistike i filozofije, 29), Dordrecht: D. Reidel.
  • –––, 1989., „Poliadski kvantifikatori“, lingvistika i filozofija, 12 (4): 437–464. doi: 10,1007 / BF00632472
  • van Benthem, Johan FAK i Alice ter Meulen (ur.), 2011, Priručnik logike i jezika, drugo izdanje, Amsterdam: Elsevier.
  • Bonnay, Denis, 2008, "Logičnost i invarijantnost", Bilten simboličke logike, 14 (1): 29–68. doi: 10,2178 / BSL / 1208358843
  • Cartwright, Richard L., 1994, „Govoreći o svemu“, Noûs, 28 (1): 1–20. doi: 10,2307 / 2.215.917
  • Clark, Robin, 2011a, „Generalizirani kvantifikatori i brojčani smisao“, Filozofski kompas, 6 (9): 611–621. doi: 10,1111 / j.1747-9991.2011.00419.x
  • –––, 2011b, „O učenju kvantifikata“, u van Benthemu i ter Meulen 2011: 911–923.
  • Clark, Robin i Murray Grossman, 2007, "Tumačenje broja i kvantifikatora broja", Topoi, 26 (1): 51–62. doi: 10,1007 / s11245-006-9008-2
  • Dalrymple, Mary, Makoto Kanazawa, Yookyung Kim, Sam McHombo i Stanley Peters, 1998., "Recipročni izrazi i koncept reciprociteta", Lingvistika i filozofija, 21 (2): 159-210. doi: 10,1023 / A: 1005330227480
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter i Jörg Flum, 1995., teorija konačnih modela, (Springer-ove monografije u matematici), Berlin: Springer Berlin Heidelberg. doi: 10,1007 / 3-540-28788-4
  • Ebbinghaus, Heinz-Dieter, Jörg Flum i Wolfgang Thomas, 1994., Matematička logika (Einführung in die mathematische Logik), drugo izdanje, New York: Springer-Verlag. doi: 10,1007 / 978-1-4757-2355-7
  • Filin Karlsson, Martin, 2017., "Sve što postoji: o semantičkoj kvantifikaciji apsolutno svega", dr. Sc. Teza, Sveučilište u Geteborgu, (Acta Philosophica Gothoburgensia 31). [Karlsson 2017 dostupan na mreži]
  • Geurts, Bart i Frans van der Slik, 2005, “Monotonost i procesiranje opterećenja”, Journal of Semantics, 22 (1): 97–117. doi: 10,1093 / jos / ffh018
  • Glanzberg, Michael, 2004, "Kvantifikacija i realizam", Filozofija i fenomeloška istraživanja, 69 (3): 541–572. doi: 10,1111 / j.1933-1592.2004.tb00518.x
  • Hackl, Martin, 2000, "Uporedni kvantifikatori", doktorski rad, Massachusetts Institute of Technology. [Hackl 2000 dostupno na mreži]
  • Hella, Lauri, 1989., "Hijerarhije definiranja generaliziranih kvantifikatora", Anali čiste i primijenjene logike, 43 (3): 235–271. doi: 10,1016 / 0168-0072 (89) 90070-5
  • Hella, Lauri, Jouko Väänänen i Dag Westerståhl, 1997., “Definability of Polyadic Lifts of Generalized Kantifiers”, Journal of Logic, Language and Information, 6 (3): 305-335. doi: 10,1023 / A: 1008215718090
  • Henkin, Leon, 1961, „Neke napomene o beskonačno dugim formulama“, u Beskonačnim metodama: Zbornik radova sa Simpozija o osnovama matematike, Varšava, 2.-9. rujna 1959., Oxford: Pergamon Press, 167–183.
  • Higginbotham, James i Robert May, 1981., "Pitanja, kvantifikatori i prijelaz", Lingvistička revija, 1 (1): 41–79. doi: 10,1515 / tlir.1981.1.1.41
  • Hintikka, Jaakko, 1973, „Kvantifikatori protiv teorije kvantifikacije“, Dialectica, 27 (3–4): 329–358. doi: 10,1111 / j.1746-8361.1973.tb00624.x
  • Hopcroft, John E. i Jeffrey D. Ullman, 1979, Uvod u teoriju automata, jezike i računanje (serija Addison-Wesley u računalnoj znanosti), Reading, MA: Addison-Wesley.
  • Icard III, Thomas F., 2014, „Sloglogistika višeg reda“, u formalnoj gramatiki 2014, Glyn Morrill, Reinhard Muskens, Rainer Osswald i Frank Richter (ur.), (Bilješke predavanja iz računalnih znanosti 8612), Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1–14. doi: 10,1007 / 978-3-662-44121-3_1
  • Icard III, Thomas Icard i Lawrence S. Moss, 2014., "Nedavni napredak monotonije", u perspektivi na semantičke prikaze za tekstualnu zaključku, (LiLT 9), Stanford, CA: CSLI Publications, 167-194. [Icard i Moss 2014 dostupni na mreži]
  • Icard, Thomas, Lawrence Moss i William Tune, 2017., „Kalkulacija monotonosti i njena cjelovitost“, Zbornik radova 15. sastanka o matematici jezika, London, Velika Britanija: Association for Computational Linguistics, 75–87. doi: 10,18653 / v1 / W17-3408
  • Keenan, Edward L., 1992, „Onkraj granice Fregea“, Lingvistika i filozofija, 15 (2): 199–221. doi: 10,1007 / BF00635807
  • Keenan, Edward L. i Leonard M. Faltz, 1984., Boolean Semantics for Natural Language, Dordrecht: Springer, Nizozemska. doi: 10,1007 / 978-94-009-6404-4
  • Keenan, Edward L. i Lawrence S. Moss, 1985, „Generalizirani kvantifikatori i ekspresivna snaga prirodnog jezika“, u Generalizirani kvantifikatori u prirodnom jeziku, Alice ter Meulen i Johan van Benthem (ur.), Berlin, Boston: De Gruyter, 73–124. doi: 10,1515 / 9783110867909,73
  • Keenan, Edward L. i Denis Paperno (ur.), 2012., Priručnik kvantifikata u prirodnom jeziku, (Studije iz lingvistike i filozofije 90), Dordrecht: Springer, Nizozemska. doi: 10,1007 / 978-94-007-2681-9
  • Keenan, Edward L. i Jonathan Stavi, 1986, „Semantička karakteristika odrednica prirodnog jezika“, lingvistika i filozofija, 9 (3): 253–326. doi: 10,1007 / BF00630273
  • Keenan, Edward L. i Dag Westerståhl, 2011, "Generalizirani kvantifikatori u lingvistici i logici", u van Benthem i ter Meulen 2011: 859–910.
  • Lewis, David, 1975, „Prilozi kvantifikacije“, u Formalnoj semantiki prirodnog jezika, Edward L. Keenan (ur.), Cambridge: Cambridge University Press, 3–15. doi: 10,1017 / CBO9780511897696.003
  • Lindström, Per, 1966, "Logika predikata prvog reda s generaliziranim kvantifikatorima", Theoria, 32 (3): 186–195. doi: 10,1111 / j.1755-2567.1966.tb00600.x
  • Linnebo, Øystein, 2006, "Skupovi, svojstva i neograničeno kvantifikacija", u Rayo i Uzquiano 2006: 149–178.
  • Luosto, Kerkko, 2000, “Hijerarhije monadičkih generaliziranih kvantifikata”, časopis za simboličku logiku, 65 (3): 1241–1263. doi: 10,2307 / 2.586.699
  • Montague, Richard, 1974, Formalna filozofija: Izabrani radovi Richarda Montaguea, Richmonda H. Thomasona (ur.), New Haven, CT: Yale University Press.
  • Moss, Lawrence S., 2015., „Prirodna logika“, u Priručniku suvremene semantičke teorije, Shalom Lappin i Chris Fox (ur.), Drugo izdanje, John Wiley & Sons, 646–681.
  • Mostowski, Andrzej, 1957, „O generalizaciji kvantifikata“, Fundamenta Mathematicae, 44 (1): 12–36. doi: 10,4064 / fm-44-1-12-36
  • Mostowski, Marcin, 1998., „Računarska semantika za monadske kvantifikatore“, časopis za primijenjenu neklasičnu logiku, 8 (1–2): 107–121. doi: 10,1080 / 11663081.1998.10510934
  • Odic, Darko, Paul Pietroski, Tim Hunter, Justin Halberda i Jeffrey Lidz, 2018., "Pojedinci i ne-pojedinci u spoznaji i semantiki: Prikazivanje mase / brojanja i kvantitativna zastupljenost", Glossa: časopis za opću jezikoslovlje, 3 (1): 61. doi: 10.5334 / gjgl.409
  • Paperno, Denis i Edward L. Keenan (ur.), 2017., Priručnik kvantifikata u prirodnom jeziku: svezak II, (Studije iz lingvistike i filozofije 97), Cham: Springer International Publishing. doi: 10,1007 / 978-3-319-44330-0
  • Parsons, Terence, 1997. [2017], “Tradicionalni trg suprotstavljanja”, Stanfordska enciklopedija filozofije (ljeto 2017.), Edward N. Zalta (ur.). URL =
  • Peters, Stanley i Dag Westerståhl, 2002, "Ima li engleski zaista dopunsko kvantificiranje?", U The Construction of Meaning, David I. Beaver, Luis D. Casillas Martínez, Brady Z. Clark i Stefan Kaufmann (ur.), Stanford, CA: CSLI Publikacije, 181–195.
  • –––, 2006., Kvantifikatori u jeziku i logici, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199291267.001.0001
  • –––, 2013., „Semantika posesivnosti“, jezik, 89 (4): 713–759. doi: 10,1353 / lan.2013.0065
  • Pietroski, Paul, Jeffrey Lidz, Tim Hunter i Justin Halberda, 2009., "Značenje" većine ": semantika, brojnost i psihologija", Mind & Language, 24 (5): 554–585. doi: 10,1111 / j.1468-0017.2009.01374.x
  • Rayo, Agustín, 2012, "Apsolutna generalnost preispitana", u Oxfordskim studijama metafizike, svezak 7, Karen Bennett i Dean W. Zimmerman (ur.), Oxford: Oxford University Press, 93–126. doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199659081.003.0004
  • Rayo, Agustín i Gabriel Uzquiano (ur.), 2006., apsolutna općenitost, Oxford: Clarendon Press.
  • Sher, Gila Y., 1997, "Djelomično uređeni (granatirani) generalizirani kvantifikatori: opća definicija", časopis za filozofsku logiku, 26 (1): 1–43. doi: 10,1023 / A: 1017944808396
  • Steinert-Threlkeld, Shane, 2016, „Neka svojstva iteratiranih jezika“, časopis za logiku, jezik i informacije, 25 (2): 191–213. doi: 10,1007 / s10849-016-9239-6
  • Steinert-Threlkeld, Shane i Thomas F. Icard III, 2013, "Iterating Semantic Automata", Lingvistika i filozofija, 36 (2): 151–173. doi: 10,1007 / s10988-013-9132-6
  • Steinert-Threlkeld, Shane i Jakub Szymanik, u predstojećem tekstu, „Sveučilišta za učenje i semantička znanja“, semantika i pragmatika. [Steinert-Threlkeld i Szymanik dolazeći dostupni]
  • Szabolcsi, Anna, 2010, Kvantifikacija, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9780511781681
  • Szymanik, Jakub, 2016, Kvantifikatori i spoznaje: logičke i računske perspektive, (Studije lingvistike i filozofije 96), Cham: Springer International Publishing. doi: 10,1007 / 978-3-319-28749-2
  • Westerståhl, Dag, 1987., "Branching Generalilized Quantifiers and Natural Language", u Generalizirani kvantifikatori, Peter Gärdenfors (ur.) (Studije lingvistike i filozofije 31), Dordrecht: Springer Nizozemska, 269–298. doi: 10,1007 / 978-94-009-3381-1_10
  • –––, 1989., „Kvantifikatori u formalnom i prirodnom jeziku“, u Priručniku za filozofsku logiku, Dov M. Gabbay i Franz Guenthner (ur.), Dordrecht: Springer, Nizozemska, 4: 1–131. Reprinted, 2007., Priručnik filozofske logike, Dov M. Gabbay i Franz Guenthner (ur.), Dordrecht: Springer, Nizozemska, 14: 223–338. doi: 10,1007 / 978-1-4020-6324-4_4
  • –––, 1994., „Ponovljeni kvantifikatori“, u Dinamika, Polarnost i Kvantifikacija, Makoto Kanazawa i Christopher J. Piñón (ur.), (Bilješke predavanja CSLI 48), Stanford, CA: CSLI Publications, 173–209.
  • –––, 2012, „Klasično nasuprot kvadratima suprotnosti i izvan nje“, u Trgu suprotnosti: Opći okvir za spoznaju, Jean-Yves Beziau i Gillman Payette (ur.), Bern: P. Lang, 195 -229.
  • –––, 2017., „Istost“, u Fefermanu o temeljima, Gerhardu Jägeru i Wilfriedu Siegu (ur.), (Izvanredni prilozi logici 13), Cham: Springer International Publishing, 449–467. doi: 10,1007 / 978-3-319-63334-3_16
  • Williamson, Timothy, 2003, "Sve", Filozofske perspektive, 17 (1): 415–465. doi: 10,1111 / j.1520-8583.2003.00017.x

Akademske alate

sep man ikona
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

[Molimo kontaktirajte autora s prijedlozima.]