Epistemologija Geometrije

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-08-25 04:38

Ulazna navigacija

• Sadržaj unosa
• Bibliografija
• Akademske alate
• Prijatelji PDF pregled
• Podaci o autoru i citiranju
• Povratak na vrh

Epistemologija geometrije

Prvo objavljeno u ponedjeljak, 14. listopada 2013.; suštinska revizija pon. srpnja 31, 2017

Geometrijsko znanje tipično se odnosi na dvije vrste stvari: teorijsko ili apstraktno znanje sadržano u definicijama, teorema i dokazima u geometrijskom sustavu; i neko znanje o vanjskom svijetu, kao što je ono izraženo izrazima preuzetim iz geometrijskog sustava. Priroda odnosa apstraktne geometrije i njenog praktičnog izraza također se mora uzeti u obzir.

Ovaj esej razmatra različite teorije o geometriji, njihovih razloga za razumljivost, za valjanost, a za fizičke interpretabilnost u razdoblju uglavnom prije pojave teorije posebne i opće relativnosti u 20 ^-og stoljeća. Ispada da se složena interakcija između najkraćeg i najravnijeg odvija u mnogim fazama.

Prije 19 ^-og stoljeća, samo jedna geometrija je studirao u bilo kojoj dubini ili mislio da se točan ili pravilan opis fizičkog prostora, a to je euklidska geometrija. 19 ^-og stoljeća i sam vidio obilje novih geometrija, od kojih su najvažniji bili projektivna geometrija i ne-euklidska ili hiperbolički geometrija. Projektivnu geometriju možemo zamisliti kao produbljivanje nesmetalnih i formalnih strana euklidske geometrije; ne-euklidska geometrija kao izazov njenim metričkim aspektima i implikacijama. Do otvaranja godina 20. ^-ogstoljeća predložene su različite Riemannove diferencijalne geometrije, koje su dale rigorozni smisao ne-euklidske geometrije. Također je došlo do značajnog napretka u području apstraktnih geometrija, poput onih koje je predložio David Hilbert. Iz toga slijedi da pojmovi „geometrija” i „fizički prostor” nemaju jednostavne značenja u 19 ^-og stoljeća, i mijenjanje koncepcije ovih uvjeta ne slijede jednostavan uzorak profinjenosti. Njihovi međusobni odnosi imaju, također, kompliciranu povijest.

• 1. Epistemološka pitanja u Euclidovoj geometriji

• 2. Epistemološka pitanja u primijenjenoj geometriji

  2.1. Implikacije mehanike

• 3. Projektivna geometrija

  • 3.1 Transformacije koordinata; Kleinijska geometrija
  • 3.2. Hilbert i ostali o aksiomatskoj projektivnoj geometriji
• 4. Neeuklidska geometrija

• 5. Riemannova geometrija

  • 5.1 Geodezija i priključci
  • 5.2 Riemann i Beltrami te stroga ne-euklidska geometrija

• 6. Razumljivost ne-euklidske geometrije

  • 6.1 Herbartova filozofija
  • 6.2 Helmholtz i Poincaré
  • 6.3 Poincaré nasuprot Russellu
• 7. Zaključne napomene
• Bibliografija
• Akademske alate
• Ostali internetski resursi
• Povezani unosi

1. Epistemološka pitanja u Euclidovoj geometriji

Detaljan pregled geometrije, kako ju je Euclid predstavio, otkriva niz problema. To vrijedi s obzirom na to u detalje, jer je epistemološki uvjerljivo status Euclid 's elementima je bila neprijeporna gotovo svi do kasnijih desetljeća 19. ^-og stoljeća. Glavni među tim problemima su nedostatak jasnoće u definicijama ravne i ravnine i zbrka između najkraćeg i najravnijeg kao ili osnovnog geometrijskog svojstva. (Pogledajte brojne komentare prikupljene u Heath-ovom izdanju Euclidovih elemenata.) Implikacije paralelnog postulata tretirat će se zasebno, pogledajte odjeljak o ne-euklidskoj geometriji.

Prve četiri knjige Euklidovih elemenata odnose se na ravne linije i krugove, ali dobro je poznato da pojam ravni ima samo vrlo nezadovoljavajuću definiciju. Linija se kaže "dužina bez ikakvog oblika", a ravna linija linija "koja ravnomjerno leži s točkama na sebi". Ovo će možda pomoći da se čitatelji uvjere da dijele zajedničko poimanje pravca, ali nema koristi ako se pojave neočekivane poteškoće u stvaranju teorije - kao što ćemo vidjeti.

Onima koji su odlučili pažljivo pročitati Elemente i vidjeti kako se koriste ključni izrazi, postalo je očigledno da je račun na neki način objektivno pažljiv, a u drugima pogrešan. Ravne linije nastaju gotovo uvijek kao konačni segmenti koji se mogu neograničeno produžiti, ali, kao što su primijetili mnogi komentatori, iako je Euclid izjavio da postoji segment koji spaja bilo koje dvije točke, on nije izričito rekao da je ovaj segment jedinstven. To je mana u dokazu prve teoreme o kongruenciji (I.4) koji kaže da ako dva trokuta imaju dva para strana jednaka, a uključeni kut je jednak, preostale su stranice trokuta jednake.

Teorem I.4 je zanimljiv i na drugi način. Teorem I.2 sadrži precizan i nikako očigledan dokaz da se određeni linijski segment u ravnini može kopirati točno s jednom od njegovih krajnjih točaka u bilo kojoj propisanoj točki ravnine. Teorem I.4 ispravno zahtijeva dokaz da se kut može isto tako kopirati u proizvoljnoj točki, ali ovaj euklid ne može pružiti u ovoj fazi (jedan je dan u I.23, koji se, međutim, temelji na tim ranijim rezultatima). Stoga je dao ćelav zahtjev da se jedan trokut može kopirati točno u proizvoljnom položaju, zbog čega se može zapitati zašto je takva briga potrošena na I.2. U stvari, čitav koncept kretanja figura trebao je postati produžena tema rasprave u arapsko / islamsko vrijeme. (o odbitku u Euclidu, vidjeti Mueller 1981).

Vjerojatno čitanje knjige Elementi I glasi da se ravna može shvatiti kao smjer, tako da u svakoj točki postoji ravna linija i samo jedna ravna linija u određenoj točki u određenom smjeru. Paralelni postulat tada kaže da linije koje prelaze datu liniju pod jednakim kutovima usmjeravaju se u istom smjeru i ne zadovoljavaju se. Ali to se mora shvatiti kao interpretacija i ona koja zahtijeva dosta rada da bi bila precizna.

Smjer je, ipak, vjerodostojniji kandidat nego udaljenost; Euclid nije započeo s idejom da je pravac koji spaja dvije različite točke najkraća krivulja koja ih spaja. Relevantni primitivni koncept u Elementima je onaj jednakosti segmenata, kao što su svi radijusi određenog kruga. Euclid je kao zajedničku predodžbu 4 naveo da ako se dva segmenta mogu podudariti onda su jednaki, a (u problematičnom I.4) upotrijebio je i obrnuto, da ako su dva segmenta jednaka, tada se mogu napraviti da se podudaraju. Segmenti su takvi da su ili jedan manji od drugog ili su jednaki, a u I.20 Euclid je pokazao da su „u bilo kojem trokutu dvije strane zajedno uzete na bilo koji način veće od preostale“. Taj je rezultat postao poznat kao nejednakost trokuta,i ide dosta da se dokaže da je linijski segment koji spaja bilo koje dvije različite točke najkraća krivulja kroz te točke. Nakon uvođenja paralelnog postulata Euclid je pokazao da su suprotne strane paralelograma jednake, pa je udaljenost između para paralelnih linija jednaka.

Ali postoji još jedna slabost u Elementima koja je također vrijedna uočavanja, iako je privukla manje pažnje, a to je priroda aviona. Ravnina ima još jednu pod-standardnu definiciju, očito po uzoru na liniju: „površina ravnine je površina koja ravnomjerno leži na ravnim linijama na sebi“(i, ne iznenađujuće, „površina je ona koja ima samo dužinu i širinu. „). Nakon toga, riječ o "ravnini" ne spominje se u prve četiri knjige, iako se ona bavi isključivo geometrijom ravnina. Kad se Euklid u Knjizi IX okrenuo čvrstoj geometriji, počeo je s tri teorema uzastopno pokazivati da ravna linija ne može djelomično ležati u ravnini, a dijelom ne, da ako se dvije ravne linije režu jedna na drugu, one leže u ravnini, a svaki trokut leži u ravnina, a ako se dvije ravnine sastaju, onda to čine u liniji. Međutim,može se reći samo da tvrdi ove rezultate i čini ih vjerodostojnim, jer ne može koristiti svoju definiciju zrakoplova da bi dokazao bilo koji od njih. Oni, međutim, čine osnovu za sljedeće teoreme: postoji okomica na ravninu u bilo kojoj točki ravnine, a sve linije okomite na određenu liniju u određenoj točki tvore ravninu.

Još jednom, I.4 je problematično. Razmotrite, u svrhu smanjenja ad absurduma, da jedan ima dva trokuta, (ABC) i (A'BC) na istoj strani njihove zajedničke baze (BC), i takav da (BA = BA ') i (CA = CA'). Namjera je pokazati da se stoga vrhovi (A) i (A ') podudaraju, a za to moraju, kao što je Gauss primijetio (u neobjavljenim napomenama, vidjeti Gauss Werke 8, 193), koristiti činjenicu da trokuti leže u istoj ravnini. Potrebna je dobra definicija ravnine koja omogućuje dokazivanje ovog rezultata.

Recimo da je čisto sintetička geometrija ta koja se bavi primitivnim pojmovima kao što su ravne linije i ravnine na nešto poput gore navedenog načina. Odnosno, uzima ravnopravnost ravne linije i ravnost ravnine kao temeljne i apelira na upravo opisana svojstva upada. Otporna je na ideju o udaljenosti kao temeljnom konceptu ili na zamjenu iskaza u geometriji izjavama o brojevima (recimo, kao koordinate), mada nije neprijateljski koordinirana geometrija koja se na njoj postavlja.

Recimo za sadašnje potrebe da je metrička geometrija jedna u kojoj je udaljenost primitivni pojam, pa se mogu reći da segmenti linija imaju jednaku duljinu, kongruentne figure imaju odgovarajuće stranice jednake duljine, a geometrijske transformacije zadržavaju duljine. Također možemo dopustiti da su sličnosti dopuštene: to su transformacije koje stvaraju razmjere kopija figure. (Nijedna teorema u Euklidovim elementima ne ovisi o stvarnoj veličini figure: svaka teorema koja se odnosi na jednu figuru odnosi se na sve kopije njegovih razmjera.)

Elementarna geometrija na suvremenom Zapadu kretala se zbunjeno na način da se distancira od primarnog primitivnog koncepta, istovremeno održavajući euklidski naglasak na ravnosti, često zamućujući implikacije različitih koncepata. Primjetan primjer toga, iako je bio produktivan, bio je argument Johna Wallisa u obranu paralelnog postulata (dan kao predavanje 1665. i objavljen u Wallisu 1693). Počivao je, kako je shvatio, na mogućnosti pravljenja kopija trokuta proizvoljnih razmjera, a čini se da je ovo prvi put da je ekvivalencija prepoznata između ova dva sustava:

1. Euklidovi elementi
2. Euclidovi Elementi s uklonjenim paralelnim postulatom i dodavanjem pretpostavke da postoje proizvoljni slični brojevi.

U Encylopédie Méthodique (1784: vol. 2, 132) d'Alembert je definirao geometriju kao znanost koja nas uči da znamo opseg, položaj i čvrstoću tijela. Njegovi su principi utemeljeni, nastavio je, na istinama tako evidentnim da ih nije moguće osporiti. Crta (u smislu krivulje) je jednodimenzionalna, a najkraća linija koja spaja dvije točke je ravna. Paralelne linije su linije koje, koliko god bile produžene, nikad se neće susresti jer su svugdje jednake.

Joseph Fourier, u raspravi s Mongeom, također je koncept udaljenosti uzeo kao temeljni, ali počeo je s trodimenzionalnim prostorom. Zatim je sukcesivno definirao sferu, ravninu (kao točke jednake udaljenosti od dvije dane točke) i liniju (kao točke jednake udaljenosti od tri dane točke). To mu je barem dalo definicije tih prethodno zabrinjavajućih koncepata (vidjeti Bonola 1912, 54).

Adrien-Marie Legendre bio je matematičar simpatičan didaktičkim ciljevima Elemenata, ali ne i njegovim izvornim formulacijama. Napisao je nekoliko različitih verzija svog Éléments de géométrie (1794) s ciljem da se vrati euklidska strogost u učenju geometrije, koja je prema njegovom mišljenju bila nagrižena tekstovima, poput Klairauta (1741), koji su se oslanjali na predodžbe o samo-dokaz. Oni se u velikoj mjeri razlikuju, kako je morao priznati, u njihovim neuspješnim pokušajima da izvuku paralelni postulat.

U svim tim izdanjima Legendre je zauzeo čvrsto metričko stajalište. Njegova uvodna definicija prvog izdanja proklamirala je da je "Geometrija nauka kojoj je cilj mjera mjerilo". Opseg, objasnio je, ima tri dimenzije, dužinu širine i visinu; linija je duljina bez širine, njeni krajnici nazivaju se točke i točka stoga nema opseg. Ravna linija najkraći je put od jedne točke do druge; površine imaju duljinu i širinu, ali ne i visinu ili dubinu; a ravnina je površina u kojoj se, ako su dvije proizvoljne točke spojene pravom, ta linija u potpunosti nalazi u površini.

Legendre je zatim namjeravao dokazati teoreme Elemenata zajedno s nekim rezultatima koje je Euclid radije pretpostavio, poput (Legendrov prvi rezultat): bilo koja dva prava kutna mjesta jednaka su. Njegov teorem 3 dokazao je da je linija koja spaja dvije različite točke jedinstvena (njegovo postojanje prećutno se pretpostavlja da je posljedica definicije ravne linije). Poznate teoreme o kongruenciji slijede u svakom izdanju sve dok se paralelni postulat više nije mogao zanemariti. Jednom je osigurano postojanje paralelnih linija Legendre je pokazalo da su podjednako udaljeni.

U stvari, Legendreovi pokušaji vraćanja strogosti u obradi elementarne geometrije nisu bili ništa bolji od Euklidovih, a na neki način i lošiji, ne samo zato što su njegovi pokušaji dokazivanja paralelnog postulata neizbježno propali, već zato što je prokrijumčario više na svoj račun nego što je shvatio, Ali njegov je glavni značaj za današnje svrhe taj što prikazuje primjer pokušaja prizemljenja elementarne geometrije na konceptu udaljenosti, točnije, i preciznije, na ideji da je ravna linija krivulja najkraće udaljenosti između bilo koje njezine točke. Sama udaljenost nije definirana.

Zaključno: razumno bi mišljenje u to vrijeme bilo da je metrička geometrija potrebna da bi se uredila kuća, a to vjerojatno ne bi mogao učiniti ucrtavanjem koncepta udaljenosti na strukturu po uzoru na Euklidove Elemente. Ovo je neugodno stajalište za tradicionalnu geometriju, a možda je ljudima otvorilo pamet za mogućnosti alternative. Svakako bi se trebala proizvesti dva. Jedna, projektivna geometrija, pojačala je i poboljšala sintetičku stranu geometrije. Druga, ne-euklidska geometrija, bila je nova i izazovna metrička geometrija. No prije nego što ih pogledamo, okrećemo se suvremenim filozofskim raspravama o geometriji.

2. Epistemološka pitanja u primijenjenoj geometriji

Korisno je pretjerano pojednostavljenje reći da je oko 1800. godine stajalište da postoji jedan fizički prostor (svemir), te da je taj prostor opisao geometrijom u Euclidovim Elementima, koja je bila jedini kandidat za takav zadatak. Sporovi su se ticali rigorozne prezentacije ove geometrije i njezine precizne primjene na fizički svijet. Priroda znanja koja je geometrija davala također je bila predmet neke rasprave.

Locke (vidi unos o Lockeu) preuzeo je iz Aristotelove tradicije ideju da su euklidska geometrija i racionalna teologija uzorni primjer znanstvenog znanja, ali svoju je filozofiju nastojao temeljiti na intuitivnom, demonstrativnom i osjetljivom tipu znanja. Intuitivno znanje ono je što shvatite odmah; demonstrativno znanje koristi intermedijarne korake dokaza, kao što je geometrija. Oba ova oblika znanja su izvjesna. Osjetljivo znanje nije sigurno: ono što učimo svojim osjetilima, ono daje efekte, ali ne uzrokuje, ono je u najboljem slučaju djelomično i može biti varljivo. Ali s obzirom na to da je Locke temeljio određeno znanje na znanju esencija, za koje je smatrao da su zauvijek skriveni od nas, bio je prisiljen braniti ovaj slabiji oblik znanja primjeren ljudskom znanju. Prostor se može zamisliti kao sastavljen od svih (stvarnih i mogućih) položaja objekata; čisti prostor je prostor sa uklonjenim svim čvrstim tijelima i distancira primitivni koncept koji koristimo za raspravu o razdvajanju tijela.

U svom Eseju o ljudskom razumijevanju (1690.) Locke je to ustvrdio

Kad se posjedujemo s najvećom sigurnošću demonstracije, da su tri kuta trokuta jednaka dva prava, ono što mi više smatramo, da jednakost dviju pravih nužno pristaje i neodvojiva je od tri kuta trokuta? (Esej IV.i.2)

a kasnije to

… Ideja pravokutnog trokuta nužno nosi sa sobom jednakinu svojih kutova na dva prava. Ni ovu vezu ne možemo zamisliti da bi ta povezanost ove dvije ideje mogla biti izmjenjiva ili da bi mogla ovisiti o bilo kojoj proizvoljnoj snazi, koja je odluka to učinila, ili bismo je mogla učiniti drugačijim. (Esej IV.iii.29, str. 559–560)

Osjetljivo znanje o odgovarajućim objektima, međutim, nikada ne bi moglo imati takav stupanj sigurnosti, a budući da naše znanje proizilazi iz našeg znanja o objektima, činilo bi se da je znanstveno znanje o prostoru drugačije od našeg znanja o geometriji. Dakle, za Lockea je euklidska geometrija pružila jednu vrstu znanja, a iskustvo i znanstveni eksperiment drugu. Doista, moglo bi se reći da epistemološki jaz ostaje do danas u filozofiji u obliku razlike između empirijskog i apriornog znanja koje je i dalje široko prepoznato.

Situacija s Humeom je složenija, ali i vjerovatno jasnija jer se jaz rješava izravno. U svom "Traktatu o ljudskoj prirodi" (1739.-1740.) Branio je sigurnost aritmetike i algebre, ali odustao je od geometrije na osnovu toga što je naše znanje o točkama i linijama inherentno neprecizno. Istine euklidske geometrije nisu bile istine o svijetu, već o apstraktnom sustavu i ostat će istinite ako na svijetu ne postoje figure koje bi odgovarale njihovim euklidskim ekvivalentima. Teorem iz jednakostelijskog trokuta, koji potvrđuje jednakost dviju strana trokuta koji imaju dva jednaka kuta, treba razumjeti, predložio je Hume, kao tvrdnju da su u danim okolnostima dvije strane trokuta približno jednake - i interpretirane na ovaj način tvrdnja je izvjesna (vidjeti Badici 2011 i de Pierris 2012).

U Kantovoj metafizici (vidi Kritiku čistog razuma (1781/1787) i Kantove stavove o ulazu na prostor i vrijeme) situacija je opet kompliciranija ili sofisticiranija. Kant je uveo pojam a priori znanja nasuprot posteriori, a sintetičko znanje za razliku od analitičkog znanja kako bi omogućilo postojanje znanja koje se nije oslanjalo na iskustvo (i stoga je apriorno), ali nije bilo tautološkog karaktera (i dakle sintetički i ne analitički). Analitičke izjave su apriori, sadržajna klasa a priori neanalitičkih izjava sadrži one koje ne bi mogle biti drugačije i tako pružaju određeno znanje. Među njima su i izjave euklidske geometrije; Kant je sintetičkom apriori dodijelio znanje o prostoru. On je također pripisao izvjesnost euklidskoj geometriji. Ali, napisao je Kant,nije filozof taj koji zna da je zbroj kutova trokuta dva pravougaona, to je matematičar, jer matematičar čini određenu konstrukciju koja istinu tvrdnje čini dokazivom (vidi Kritika, A 716, B 744).

Među francuskim filozofima dominantan položaj u 1770-im bio je kartezijanski, koji je, na primjer primjerice Clairautova Élémens de géométrie (1741.), možda bio nepotrebno naivan u svom insistiranju na jasnim i neposrednim idejama. Položaj d'Alemberta u njegovim člancima u Encylopédie Méthodique (1784) bio je sofisticiraniji. Objekti geometrije trebaju se shvatiti apstrahiranjem od tijela svake kvalitete, osim one probojnih, djeljivih i figuriranih ekstenzija. Među tim predmetima su linije kojima nedostaje širina i površine koje nemaju dubinu. Istine utvrđene oko predmeta geometrije čisto su apstraktne i hipotetičke, jer, na primjer, ne postoji savršen krug. Dokazana svojstva mogu sadržavati stvarne krugove samo ako se stvarni objekt približi stanju savršenog kruga,

Oni su, na neki način, granica i, ako se tako može reći, asimptota fizičkih istina, izraz za one predmete koji prilaze onoliko blisko koliko čovjek želi, a da se to ikada ne postigne točno. (vidi Encylopédie Méthodique II, 132)

Međutim, ako matematički teoremi ne drže točno u prirodi, ovi teoremi barem u praksi služe s dovoljno preciznosti. Da bi ih demonstrirali s potpunom strogošću, oni se moraju smatrati držanjem tijela u stanju apstraktne savršenosti kakva zapravo nemaju.

Krivulje koje se proučavaju u geometriji nisu savršeno ravne niti savršeno zakrivljene, površine nisu savršeno ravne niti savršeno zakrivljene, ali što su više gotovo takve, to se više približavaju stanju onih svojstava koja se mogu dokazati o linijama točno ravnim ili zakrivljenim, a s površinama točno ravnim ili zakrivljenim.

Ovi refleksije, nastavio je d'Alembert, bit će dovoljni za pobijanje skeptika, koji se žale da geometrijski predmeti uistinu ne postoje i drugi neznalice matematike koji to smatraju beskorisnom i besmislenom igrom.

Čini se, dakle, da filozofi nisu našli probleme u Euklidovim Elementima, ali Hume, d'Alembert i drugi empirijski uvjeravanja osporavali su primjenu teorema na osnovu toga što objekti geometrije možda nemaju odgovarajuće predmete u svijetu, Filozofi otvoreniji za ideju o širokom rasponu određenog znanja (kao što je, na primjer, Kant) mogli bi dodijeliti geometrijskim teoremima status a priori istine koje ne mogu biti drugačije od njih.

2.1. Implikacije mehanike

Fizički prostor bio je naivna, trodimenzionalna verzija prostora Euklidovih elemenata i kartezijanske koordinirane trodimenzionalne geometrije, a to je i Newton promatrao u svojoj Principia Mathematica (1687). Zamišljen je kao neutralna arena bez vlastitih svojstava, koja je bila prožeta raznim vrstama sila koje su stvorila fizička tijela, a zauzvrat, utjecala. Glavna među njima bila je sila gravitacije, koju su matematičari u kartezijanskoj tradiciji smatrali tajanstvenim, čak i neprihvatljivim, konceptom kada je uveden, ali koja je početkom ^19.st.stoljeća Laplace je pokazao da se može dobro nositi sa svim poznatim pokretima Sunčevog sustava. Kao posljedica toga, gravitacija je postala prirodni, primitivni koncept koji više ne treba dodatno objašnjavanje, a nakon 1800. godine ljudi koji su radili na novim teorijama magnetizma i električne energije bilo je razumno smatrati ih silama i modelirati ih, prema potrebi, na njujtonskoj gravitaciji.

Fizički prostor, kako ga je opisao Newton u svojoj Principiji, treba proučavati prelaskom iz promatranja tijela u pokretu jedno u odnosu na drugo i vremenom nasumičnim satom do odgovarajućeg pravog gibanja u apsolutnom prostoru i vremenu. Kako je Newton rekao na kraju svog prvog Scholiuma, svrha njegovog traktata bila je pokazati

kako odrediti istinske pokrete prema njihovim uzrocima, učincima i prividnim razlikama i, obrnuto, kako odrediti iz pokreta, bilo istinitih ili očiglednih, njihove uzroke i posljedice.

Bilo je jasno bilo sumnje u Newtona umu o euklidske prirode fizičkog prostora, i doista se čini da nije bilo dvojbe među astronomima u 17. ^-og stoljeća da je prostor bio opisati u terminima koji se koriste u Euclid 's elementima. Vjerojatno je i da rastuće prepoznavanje zasluga Newtonove fizike cementira vjerovanje da je prostor trodimenzionalan, homogen, izotrop, te da se može opisati kao da je to beskonačna koordinatna mreža, primjerice teoreme - ako ne baš definicije-od Elemenata.

Među geometrijskim aspektima fizičkog prostora koje je Newton uspostavio nalazi se i izjava njegovog prvog zakona:

Svako tijelo čuva u stanju mirovanja ili jednoličnog kretanja ravno naprijed, osim ako je primorano da mijenja svoje stanje silama utisnutim.

Dolazi i do rezultata da homogena sferna kruta tvar djeluje jednako gravitacijsko na druga tijela kao i jednaka masa koncentrirana u središtu tijela. Odnosno, takva se tijela ponašaju na način koji je dokazno, a ne samo približno, isto što i točkaste mase. Na taj način točke i linije dobivaju fizički značaj u njegovoj teoriji dinamike.

Upravo je Laplace dao najjači argument rekavši da se fizički prostor pokorava euklidskoj geometriji. U svom Izložbi du système du monde iz 1796. (vidi knjigu V, pogl. V, str. 472) dodao je zanimljivu bilješku (citiranu u Bonoli 1912: 54) kako bi rekao da

Pokušaji geometara da dokažu Euclidov postulat na paralelama do sada su bili beskorisni. Međutim, nitko ne može sumnjati u ovaj postulat i teoreme koje je iz njega izvukao Euclid. Stoga pojam prostora uključuje posebno svojstvo, samo po sebi očito, bez kojeg se svojstva paralela ne mogu strogo utvrditi. Ideja o ograničenom području, npr. Krugu, ne sadrži ništa što bi ovisilo o njegovoj apsolutnoj veličini. Ali ako zamislimo da se njegov radijus smanjuje, mi ćemo se bez odlaganja smanjiti u jednakom omjeru njegovog opsega i stranama svih upisanih figura. Ova proporcionalnost čini mi se prirodnijim postulatom od Euklida i vrijedno je napomenuti da je ponovno otkrivena u rezultatima teorije univerzalne gravitacije.

Ovo je nevjerojatno slično gledištu Wallis prije više od jednog stoljeća, iako Laplace nije spomenuo Wallis i možda nije znao za njegovu raspravu o paralelnom postulatu.

Otprilike 1800., dakle, općenito je istina da su problemi s tvrdnjama o istini euklidske geometrije bili smješteni među općim problemima u vezi s našim znanjem o vanjskom svijetu. Povjerenje u filozofskim i znanstvenim krugovima u valjanost euklidske geometrije po sebi je bilo veliko.

3. Projektivna geometrija

Prema mišljenju mnogih u 19 ^-og stoljeća, euklidska geometrija izgubio svoj temeljni status na geometriju koja je smatrala općenitije: projektivna geometrija. (Uvod u geometriju u ^19.st.stoljeća, vidi Grey 2011. Projektivna geometrija opisana je u unosu, Nineteen Century Geometry, vidi također eseje raznih autora u Bioesmat-Martagon 2011.) Projektivna geometrija ima svoj temeljni problem, sličan udaljenosti u euklidskoj geometriji, koji tiče se koncepta unakrsnog omjera i moramo slijediti poteze za stvaranje projektivne geometrije kao neovisnog predmeta, definirati unakrsni omjer u ovom okruženju i riješiti epistemološka pitanja koja se postavljaju (dostignuće povezano s Kleinovim Erlangen programom)). Vidjet ćemo također da rast projektivne geometrije stvara arenu za Hilbertovu aksiomatizaciju geometrije.

Ravna projekcijska geometrija posebno je potaknula knjigu Jean Victor Poncelet iz 1822. godine Traité des propriétés projectives des figure gdje je pokazao snagu projektivnih metoda pod provokativnom formulacijom nesmetalne geometrije. Temeljni karakter nove geometrije počiva na načinu na koji se može smatrati da bilježi najjednostavnija svojstva ravna pravca - dvije različite točke definiraju jedinstvenu liniju, dvije se različite linije susreću u najviše jednoj točki - dok odbacuje metričke koncepte udaljenost i kut.

Ponceletove tvrdnje o transformacijama ravnine koje usmjeravaju linije u linije prepisao je Chasles (1837.) na rigorozniji način koji je istaknuo invarijantnost omjera. Poprečni omjer četiri točke (A), (B), (C), (D) na liniji definira se kao (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB), a ako su točke preslikane u (A '), (B'), (C '), (D'), projektivnom transformacijom, tada

[AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = A'B '{.} C'D' / mathbin {/} A'D '{.} C'B'.)

Međutim, ovo je subjekt ostavilo u neugodnom položaju da mu se čini općenitijim od euklidske geometrije, jer euklidske, metričke, transformacije predstavljaju projektivne transformacije, ali ne i obrnuto, dok se još uvijek čini da se u definiciji njegove temeljne invarijante oslanjaju na metrički koncept.

Tim problemom bavio se u 1840-im i 1850-ima Georg Karl Christian von Staudt. Njegove dvije knjige (1847., 1856.-1860.) Pokušale su dati temelje projektivnoj geometriji što ga je učinilo autonomnim subjektom, neovisnim od euklidske geometrije. Bilo ih je teško čitati i nesavršeno na brojne načine, ali zadatak stvaranja stroge teorije mogao se prvi put shvatiti kao završetak već započetog zadatka. Von Staudt je tvrdio da transformacije projektivne geometrije ravnine mogu mapirati bilo koju trostruku kolinearnu točku na bilo koju drugu, a bilo koju četverostruku točku (od kojih tri nisu bile kolinearne) u bilo kojoj drugoj, ali ne i bilo kojoj četverokoliniji kolinearnih točaka prema bilo kojoj drugoj. Potom je detaljno proučio kolinearne četverostruke. Izrazio je i kratke napomene o tome kako se euklidska geometrija može dobiti iz projektivne geometrije,a iz njih se moglo vidjeti da se njegova teorija kolinearnih četveronoša svela na poznatu teoriju unakrsnog omjera čim je konceptu euklidske udaljenosti dodan projektivna geometrija. Klein je taj uvid jasno i izričito objasnio u brojnim radovima ranih 1870-ih. Prvi čitljivi udžbenik o projektivnoj geometriji, i onaj koji mu je dao ime, bio je Cremona Elementi di geometria projettiva iz 1873. godine, a nakon toga predmet se brzo popeo da postane temeljna klasična geometrija.a onaj koji mu je dao ime, bio je Cremona Elementi di geometria projettiva iz 1873. godine, a nakon toga se predmet brzo uzdignuo da postane temeljna klasična geometrija.a onaj koji joj je dao ime, bio je Cremona Elementi di geometria projettiva iz 1873. godine, a nakon toga se predmet brzo uzdignuo da postane temeljna klasična geometrija.

Njeni osnovni pojmovi bile su točke, linije i ravnine prostora koji je (mathbb {R} ^ 3) obogaćen onim što se u beskonačnosti često nazivalo ravninom, tako da se bilo koje dvije koplanarne linije susreću. Prije axiomatisations teorije na kraju 19 ^-og stoljeća, točke, linije, i avion su nedefinirani pojmovi, s intuitivnim tumačenje koje je odobreno za gotov prolaz između projektivne i Euklidove geometrije. Dopuštene transformacije karte geometrije upućuju na točke, crte na linije, a ravnine na ravnine i zadržavaju poprečni omjer. Djeluju tranzitivno na prostor, tako da nijedna točka, linija ili ravnina nisu posebne, pa se stoga linije koje su paralelne u bilo kojem konačnom dijelu prostora mogu preslikati na crte koje se presijecaju i obrnuto.

U svom sintetičkom obliku uspjesi projektivne geometrije uglavnom su bili ograničeni na pojednostavljenje koje je dovelo do proučavanja konika - svi nerođeni koniki (krug, elipsa, parabola i hiperbola) su projektivno ekvivalentni. Projektivna geometrija se u svom algebarskom obliku pokazala gotovo bitnom u proučavanju ravnina algebričnih krivulja bilo kojeg stupnja i, proširila se na projektivne prostore većih dimenzija, u istraživanju algebričnih površina. Sve je to pridonijelo središnjem značaju koji se pripisuje nemetričnoj geometriji koja se temelji na malo više od koncepta ravne linije i upadnih svojstava linija i ravnina.

Projektivna geometrija također je posjedovala jedno iznenađujuće svojstvo, koje se naziva dualnost, a Cremona je smatrao zakonom logike. U projektivnoj geometriji ravnina moguće je razmjenjivati pojmove „točka“i „linija“, „podudaranje“i „istodobno“i na taj način razmjenjivati važeće izjave. Kao rezultat, sve definicije, teoreme i dokazi u projektivnoj geometriji imaju dvostruki karakter. Na primjer, dualnost izjave Desarguesovog teorema i njezin dokaz je suprotnost teoreme i njenog dokaza. U tri dimenzije, pojmovi „točka“i „ravnina“mogu se zamijeniti na isti način, a linije se razmjenjuju s drugim linijama. To postavlja intrigantno epistemološko pitanje: lako je zamisliti prostor kao točke, ali nemoguće je intuitivno shvatiti kao sastavljenu od linija. Da stvar bude gora,prostor je trodimenzionalni ako se sagledava od točaka, ali četverodimenzionalni ako je sačinjen od linija.

3.1 Transformacije koordinata; Kleinijska geometrija

Kleinov Erlangen program i ono što je postalo poznato kao Kleinov pogled na geometriju opisano je u unosu, Geometrija devetnaestog stoljeća. Postalo se kao glavni izvor gledišta da se geometrija može definirati kao skupina koja djeluje na prostor, a geometrijsko svojstvo je svako svojstvo invariantno u svim transformacijama odgovarajuće skupine.

Klein je zagovarao ovo stajalište u pamfletu objavljenom kada je postao profesor na Sveučilištu u Erlangenu 1872. i drugim publikacijama u časopisima 1870-ih kako bi se ponovno ujedinila geometrija. Iznio je način prikazivanja da se metričke geometrije, poput euklidske i ne-euklidske geometrije, i ostale geometrije, poput inverzivne geometrije i biracionalne geometrije, mogu smatrati posebnim slučajevima projektivne geometrije (kao što može afirmirati geometrija, što on nije znati o 1872).

Temeljna geometrija bila je prava projektivna geometrija, recimo u dvije dimenzije. U ovoj je geometriji prostor stvarni projektivni prostor, a skupina je grupa svih projektivnih transformacija. Ova skupina preslikava točke, crte na linije, krivulje stupnja (n) krivulje stupnja (n), a što je važno, poprečni omjer četiri kolinearne točke ostaje nepromijenjen bilo kojom projektivnom transformacijom. U Kleinovskom gledištu, ovo utvrđuje da su točke, linije, krivulje stupnja (n), a poprečni omjer četiri kolinearne točke svojstva geometrije.

Projektivna geometrija objedinila je ostale geometrije na različite načine. Klein je naznačio da se može pokušati dodati na popis konfiguracija, u tom slučaju će grupa koja ih drži invarijantnom biti uglavnom manja od glavne skupine, ili može povećati skupinu, u kojem će slučaju klasa invarijantnih konfiguracija biti općenito smanjiti. Klein je tek nedavno uspio pokazati da ne-euklidska geometrija nastaje kao pod-geometrija ograničavanjem pozornosti na unutrašnjost konika u projektivnom prostoru i na podskupinu koja unutrašnjost tog konika preslikava na sebe (vidi Klein 1871, 1873), Epistemološki karakter Kleinovog Erlangenovog programa postaje jasniji kad se pogleda kako je riješio dobro poznatu nagonsku sumnju u definiciji poprečnog omjera u projektivnoj geometriji. Kleinov je odgovor slijedio duljine u euklidskoj ili ne-euklidskoj geometriji. U tim geometrijama odgovarajuća skupina zadržava ravne linije i bilo koja točka može se preslikati na bilo koju drugu točku, ali ne postoji transformacija u grupi koja može preslikati linijski segment na odgovarajući podsegment samog sebe. Bilo koji proizvoljni, ali fiksni linijski segment, stoga se može uzeti kao jedinica duljine i koristiti za mjerenje segmenata linija tako što će se konstruirati proizvoljni množitelji i pod-množine istih te ih organizirati kao jedan vladar. Sada da izmjerimo duljinu segmenta (AB),jedan jednostavno postavlja točku (A) na jednom kraju vladara i vidi gdje točka (B) pada na ravnalo.

Kleinov uvid, slijedeći von Staudta, bio je da se za definiranje poprečnog omjera u projektivnoj geometriji može upotrijebiti upravo sličan argument koji uključuje četverostruke kolinearne točke. Projektivna skupina zadržava ravne linije, a bilo koja uređena trostruka kolinearna točka može se preslikati u bilo koji poredani trostruki kolinearni točki, a karta koja šalje zadani poredani trostruki niz točaka u drugu naručenu trostruku različitih točaka je jedinstvena, ali postoji nema transformacije u grupi koja može preslikati četverostruku od četiri kolinearne točke na proizvoljnu takvu četverostruku. Stoga se svaki proizvoljni, ali fiksni kolinearni četverostruk može smatrati jedinicom 'veličine', a komplicirani, ali ne i teški argument omogućuje stvaranje proizvoljnih višestrukih i podmnožaka koji se mogu koristiti za mjerenje unakrsnih omjera, organiziranjem kao jedan bi li vladar. Umjesto da dajete pojedinosti, bolje je dati ovu sugestivnu ilustraciju zašto se to može učiniti. Neka se omjer četiriju kolinearnih točaka (P), (Q), (R), (S) mjeri mjerenjem preslikavanjem točaka u točke (A), (B), (C), (D) na stvarnoj liniji, gdje je (A) u podrijetlu, (C) kod (infty), i (D) na 1, pa je položaj (B) taj koji određuje unakrsni omjer. Ovo je jedinstveno određeno, a ako je duljina (AB) (x), nalazimo da je (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).pa je položaj (B) taj koji određuje poprečni omjer. Ovo je jedinstveno određeno, a ako je duljina (AB) (x), nalazimo da je (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).pa je položaj (B) taj koji određuje poprečni omjer. Ovo je jedinstveno određeno, a ako je duljina (AB) (x), nalazimo da je (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).

Na jeziku vremena, duljina je invarijant s dvije točke euklidske ili ne-euklidske skupine, a poprečni omjer je invarijant projektivne skupine u četiri točke.

3.2. Hilbert i ostali o aksiomatskoj projektivnoj geometriji

Problemi s nekim tehničkim problemima u projektivna geometrija, i diže standarde strogost na kraju 19. ^-og stoljeća izazvala pokušaje axiomatise temu. Zadatak je uzet najveći energetski strane Pieri, Peano i niz drugih talijanskih geometers u drugoj polovici 19 ^-og stoljeća, te su uspjeli dati strogu obzir realne i kompleksne projektivna geometrija u dvije i tri dimenzije (vidi Marchisotto i Smith 2007). Ali oni su istovremeno uspjeli spustiti predmet na strog trening za učitelje geometrije, i nisu cijenili put koji su otvorili. David Hilbert prepušten je revitalizaciji aksiomatskog pristupa geometriji (vidjeti Hallett i Majer 2004).

Hilbert se upoznao s nizom kontroverzi oko elementarne projektivne geometrije koja se odnosila na to što rezultira, a koje postavke podrazumijevaju i koje druge rezultate. Najistaknutiji se odnosio na Desarguesov teorem. U trodimenzionalnoj projektivnoj geometriji Desarguesov teorem posljedica je samih aksioma incidencije, ali to je teorema o točkama i linijama u projektivnoj ravnini (pa tako i u dvodimenzionalnoj geometriji), ali to nitko nije uspio izvesti iz aksioma upada dvodimenzionalne projektivne geometrije. Sumnjalo se da se on sam ne može prepoznati iz tih aksioma, a Giuseppe Peano je mogao pokazati da se doista ne može zaključiti bez dodatnih pretpostavki. neovisno o tome,Hilbert je također dao primjer geometrije koja se susreće sa svim aksiomima incidencije dvodimenzionalne projektivne geometrije, ali u kojima je Desarguesov teorem bio lažan. Kasnije ga je zamijenio jednostavnijim primjerom koji je američki matematičar i astronom FR Moulton pronašao u svim kasnijim izdanjima Hilbertovog Grundlagen der Geometrie (1899).

U aksiomatskim geometrijama koje je Hilbert iznio, osnovni objekti (točke, linije, ravnine) nisu definirani. Umjesto toga, Hilbert je precizirao kako se mogu koristiti i što se može reći o njima. Iznio je pet obitelji aksioma razvrstanih prema konceptima koje su zapošljavali ili kodificirali. Potom je stvorio različite geometrije pokoravajući se raznim sustavima aksioma i uspostavio dosljednost dajući im koordinate preko prikladnih prstenova i polja - često njegove geometrije priznaju mnoge interpretacije ili modele. To je ovim geometrijama dalo svu dosljednost aritmetike i dovelo do Hilbertovog zanimanja za pokušaje prizemljenja aritmetike u nekom obliku teorije skupa i logike.

Hilbertov pristup je uspio jer je shvatio da postoji matematika aksioma, proučavanje različitih, ali međusobno povezanih shema aksioma i njihovih implikacija. Poincaré je u svom osvrtu (1902.) Hilbertove knjige prihvatio nove geometrije kao valjane, ali požalio se što su, kako je rekao, nepotpune jer im nedostaje psihološka komponenta. Pod tim je mislio da se oni ne mogu smjestiti u njegovo objašnjenje o tome kako imamo neko znanje o geometriji fizičkog prostora, jer ih oni nisu mogli iznutra steći.

4. Neeuklidska geometrija

Istraživanja paralelnih postulata započela su u grčkim vremenima, nastavila se u islamskom svijetu i poduzimala se na ranom modernom Zapadu. Ali, iz još uvijek nejasnih razloga, nakon oko 1800. ljudima je postalo lakše zamisliti da Euklidovi Elementi možda nisu jedini mogući sustav metričke geometrije. Među čimbenicima koji mogu pomoći objasniti kako je nezamislivo postalo izbirljivo čak i izvan zajednice matematičara bila je nakupina teorema zasnovanih na pretpostavkama koje nisu paralelne postulate. Čini se da je stvaranje novih, dosljednih posljedica tako radikalne pretpostavke i neuspjeh u pronalaženju proturječja, naklonili neke ljude da razmišljaju o tome da bi doista mogla postojati čitava geometrija drugačija od Euclidine.

Primjer ove promjene je profesor prava FK Schweikart, koji je 1818. godine poslao Gaussa preko Gerlinga, njegovog kolege na Sveučilištu u Marburgu, račun geometrije koja je sasvim drugačija od Euclidove. Schweikart-ovu geometriju prihvatio je Gauss, koji je odgovorio da se sva svojstva nove geometrije mogu izvesti nakon što se dobije vrijednost za konstantu koja se pojavila u Schweikart-ovom računu. Ali što je Gauss prihvatio i na kojim osnovama je manje jasno. Gauss je već pogriješio s nekoliko obrana Euclidovih Elemenata, a kako su godine prolazile, postao je potpuno siguran da postoji nova, dvodimenzionalna geometrija različita od geometrije ravnice Euklida. Ta se geometrija mogla opisati formulama za koje bi vidio da su slične onima sferične geometrije. Ali on nije opisao trodimenzionalnu geometriju ove vrste, ostavljajući otvorenu mogućnost da je dvodimenzionalna geometrija neka vrsta formalne, besmislene neobičnosti. S druge strane, u prepisci s Besselom jasno je poručio da ne može pripisati euklidskoj geometriji izvjesnost koju je dao aritmetičkoj grani, što je bilo a priori, i on i Bessel držali su otvorenom mogućnost da astronomska područja svemira ne uspiju biti euklidski.

Zasluge za prve potpuno matematičke opise prostora u drugim terminima osim Euklidovih moraju stoga ići János Bolyai u Mađarskoj i Nicolai Ivanovich Lobachevskii u Rusiji neovisno. Bolyai je u svom „Dodatku scientiam spatii apsolutnih veramskih eksponata“(1832), a Lobačevskii u svom „Neue Anfangsgrunde der Geometrie“(1835) i opet u svom Geometrische Untersuchungen (1840) zamijenio paralelni postulat pretpostavkom da su mu pružene crte i točke a ne na toj liniji, postoji mnogo linija kroz točku koje leže u ravnini određenoj danom točkom i danom linijom i koje ne zadovoljavaju zadanu liniju. Od toga, kao što su tada pokazali, jedna je linija u svakom smjeru asimptotska prema danoj liniji, a te asimptotske linije dijele obitelj svih ostalih linija u datoj ravnini i kroz zadanu točku na dvije obitelji:onima koji zadovoljavaju dani red i onima koji ne. Zatim je uslijedio mnogo posla, u svakom slučaju čuveno slično, posebno da se pokaže kako u trodimenzionalnom prostoru opisanom njihovim pretpostavkama postoji površina na kojoj se drži euklidska geometrija i da se zaključi postojanje trigonometrijskih formula koje opisuju trokute u ravnini. Te formule nalikuju odgovarajućim formulama za trokut na sferi.

Sve je to uvjerilo i Bolyaja i Lobachevskog da bi nova geometrija mogla biti opis fizičkog prostora te će od sada biti empirijski zadatak odlučiti je li istina euklidske ili ne-euklidske geometrije istinita. Lobačevskii je čak pokušao stvar utvrditi astronomskim sredstvima, ali njegovi su rezultati bili krajnje neuvjerljivi.

Naravno, istina je da nijedna količina dosljednih dedukcija u novoj geometriji ne isključuje mogućnost postojanja kontradikcije, već intrigantan odnos nove geometrije i sferne geometrije i postojanje trigonometrijskih formula za trokut snažno sugerira da je nova geometrija barem bila dosljedna. Oni koji su to prihvatili, a bilo ih je vrlo malo prije 1860-ih, bez obzira na to, možda su prihvatili bolji račun od onog koji su dali Bolyai i Lobachevskii. Ali prije nego što se obratimo onome što je uključivalo, vrijedi zastati da uvažimo formule, jer su mnogi geometri trebali pronaći uvjerljive dokaze o valjanosti nove geometrije čak i nakon reformulacije Riemanna i Beltramija (na primjer, Enriques u svom glavnom eseju (1907) na principima geometrije).

Ne samo da postoje formule, nego i nagovještavaju alternativnu geometrijsku formulaciju, onu u kojoj bi se geometrija opisana u Euclidovim Elementima mogla pokazati kao poseban slučaj. Ako bi mogao postojati drugi način definiranja geometrije, onaj koji bi doveo do tih formula u raznim slučajevima, bio bi otvoren put za preispitivanje svih pitanja o geometriji koje je otvorilo kritičko ispitivanje. Osoba koja se najbolje snašla u 1830-im i 1840-ima bio je Gauss. Vrlo dobro je znao što su Bolyai i Lobachevskii učinili, a njegova diferencijalna geometrija dala mu je sredstva da nastavi, ali, što je zanimljivo, nije to učinio. Početkom 1840-ih napisao je neke bilješke koje pokazuju da on može povezati novu dvodimenzionalnu geometriju s geometrijom na površini stalne negativne zakrivljenosti, ali s tim opažanjem nije učinio ništa.

S druge strane, samo postojanje formula ne bi bilo dovoljno da ih učini geometrijskim. To im je trebalo pružiti geometrijsku osnovu, Lobačevski je prepoznao u svojim najranijim publikacijama, ali zato što su bili na ruskom, nisu ih čitali izvan Rusije (niti su ih ruski matematičari cijenili). Svoja razmišljanja izbacio je u pamflet iz 1840., o kojem velik dio njegove reputacije ovisi i danas, ali vratio ih je u svom posljednjem izlaganju, Pangéométrie (1856), koji, međutim, nije imao ništa bolje od ranijih verzija, Lobačevski je najprije tvrdio da je geometrija znanost o tijelima u prostoru, a da je prostor trodimenzionalan. Najprimitivniji koncept bio je kontakt, i njegov suprotan, rez koji razdvaja dva tijela. Dva tijela koja nisu u kontaktu razdvojena su, a prikladno treće tijelo koje je u kontaktu s obadima mjeri udaljenost između njih, pojam koji inače nije definiran. Stoga je mogao definirati sferu sa njenim središtem u određenoj točki kao zbir svih točaka koje su jednake udaljenosti od određene točke. Potom je pokazao kako definirati ravninu uhvativši intuiciju koja daje dvije različite točke a ravnina je skup točaka u prostoru koji su na istoj udaljenosti od svake od dvije dane točke. Prema njegovim riječima, s obzirom na dvije točke, ravnina je skup točaka zajedničkih dvije sfere jednakog polumjera,jedna je usredotočena na jednu od točaka, a druga na drugoj. Crta se može definirati na sličan način.

S intuicijom da je udaljenost primitivni koncept dolazi do veće uvida u kretanje, ili barem do rezultata pomicanja predmeta oko njih, bez promjene. Može se zamisliti kako prevoze kruto tijelo okolo, recimo kocku sa stranicama dužine jedinice, i koristeći jednu od njegovih strana za označavanje duljina. Vidjet ćemo kasnije da su mogućnosti svojstvene tom procesu povod za raspravu piletinom i jaja između Bertrand Russell i Henri Poincaré krajem 19. ^-og stoljeća.

Nova geometrija postavila je radikalan izazov euklidskoj geometriji, jer je porekla tradicionalnu geometriju s najboljom tvrdnjom, da je sigurna, da je to jedini logički sustav za raspravu o geometriji uopće. Također je iskoristio napetost poznatu stručnjacima između pojmova najkraćeg i najkraćeg. Ali na druge načine bilo je to konvencionalno. Nije nudila nove definicije poznatih pojmova kao što su ravna ili udaljenost, složila se s euklidskom geometrijom nad kutovima, samo je ponudila drugačiju intuiciju o paralelnim linijama koja se temelji na različitoj intuiciji o udaljenom ponašanju ravnih linija. Njeni zagovornici nisu ponudili skeptičan zaključak. Bolyai i Lobachevskii nisu rekli: "Vidite, postoje dvije logične, ali nespojive geometrije, tako da nikada ne možemo znati što je istina." umjesto toga,pružali su nadu da će eksperimenti i promatranja odlučiti. Epistemološka cijena koju bi ljudi morali platiti da su astronomska promatranja pala u korist nove geometrije u izvjesnom smislu bila bi neznatna: bilo bi potrebno reći da ravne linije nakon svega imaju neočekivano svojstvo, ali samo jedno otkriti na velikim udaljenostima ili s izvanrednim mikroskopima. Da bi bili sigurni, mnogi teoremi euklidske geometrije tada bi morali biti preradjeni, a njihovi poznati euklidski pandanti pojavit će se samo kao vrlo dobre aproksimacije. Ali to je u velikoj mjeri usporedivo sa situacijom u kojoj se nalazila Newtonova mehanika nakon pojave posebne relativnosti.u određenom smislu, bili su neznatni: trebalo bi reći da ravne linije ipak imaju neočekivano svojstvo, ali jedno se može otkriti samo na velikim daljinama ili s izvanrednim mikroskopima. Da bi bili sigurni, mnogi teoremi euklidske geometrije tada bi morali biti preradjeni, a njihovi poznati euklidski pandanti pojavit će se samo kao vrlo dobre aproksimacije. Ali to je u velikoj mjeri usporedivo sa situacijom u kojoj se nalazila Newtonova mehanika nakon pojave posebne relativnosti.u određenom smislu, bili su neznatni: trebalo bi reći da ravne linije ipak imaju neočekivano svojstvo, ali jedno se može otkriti samo na velikim daljinama ili s izvanrednim mikroskopima. Da bi bili sigurni, mnogi teoremi euklidske geometrije tada bi morali biti preradjeni, a njihovi poznati euklidski pandanti pojavit će se samo kao vrlo dobre aproksimacije. Ali to je u velikoj mjeri usporedivo sa situacijom u kojoj se nalazila Newtonova mehanika nakon pojave posebne relativnosti.i njihove poznate euklidske kolege činile bi se samo kao vrlo dobre aproksimacije. Ali to je u velikoj mjeri usporedivo sa situacijom u kojoj se nalazila Newtonova mehanika nakon pojave posebne relativnosti.i njihove poznate euklidske kolege činile bi se samo kao vrlo dobre aproksimacije. Ali to je u velikoj mjeri usporedivo sa situacijom u kojoj se nalazila Newtonova mehanika nakon pojave posebne relativnosti.

5. Riemannova geometrija

Mnogo značajnija promjena dogodila se dolaskom Bernharda Riemanna u veliko proširenje Gaussove diferencijalne geometrije. Mnoga epistemološka pitanja već su postavljena Gaussovim djelom (1828.), pa se prvo osvrnemo na njega.

Gauss je duboko razmislio o tome što znači definirati površinu i otkrio je da su moguće tri definicije sukcesivne općenitosti. Može se pretpostaviti da se barem lokalno površina može dati u obliku, (z = f (x, y)) za neku funkciju (f) od (x) i (y). To se odnosi na regije u sferi, ali ne na sve odjednom. Općenitije, može se pretpostaviti da se površina sastoji od onih točaka ((x, y, z)) koje zadovoljavaju jednadžbu oblika (f (x, y, z) = 0), kao sfera je. Još općenitije, rekao je Gauss, možda je da su površini lokalno dodijeljene tri funkcije, svaka od dviju varijabli (u) i (v). Ove dvije varijable treba smatrati koordinatama točaka u ravnini, a funkcije (x (u, v), y (u, v)) i (z (u, v)) zajedno dati koordinate točaka na površini u prostoru. U ovoj postavcisvaka točka dijela površine ima (u) i (v) koordinate u ravnini. Udaljenost između dviju točaka na površini koja odgovara ((u, v)) i ((u + du, v + dv)) u ravnini dana je verzijom pitagorejskog teorema formulom oblik

) tag {*} ds ^ 2 = E (u, v) du ^ 2 + 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv ^ 2)

gdje su (E, F) i (G) određene funkcijama (x, y), i (z) i zadovoljavaju (EG - F ^ 2 / gt 0).

Gauss je uspio odrediti mjeru zakrivljenosti površine u nekoj točki i pronašao je nešto značajno u tome: mjera zakrivljenosti ovisi samo o (E, F) i (G) i njihovim derivatima s u odnosu na (u) i (v), ali ne na funkcije (x (u, v), y (u, v)) i (z (u, v)) izravno. Precizan je izraz dugačak i kompliciran, ali implikacija je, kako je Gauss naglasio, da je njegova mjera zakrivljenosti površine u nekoj točki intrinzična: u potpunosti je određena mjerenjima na površini i ne uključuje nikakvo pitanje o treća dimenzija pod pravim kutom na površinu. S obzirom na metriku, formulu (*) za udaljenost, zakrivljenost se može pronaći. Ako je, na primjer, formula za udaljenost ona za kartu sfere u ravnini,zakrivljenost će se nalaziti kao uzajamna kvadrata polumjera kugle.

Gauss je također istraživao kada se jedna površina može preslikati na drugu na takav način da se udaljenosti ne mijenjaju: ako su dvije točke (P) i (Q) na jednoj površini međusobno udaljene (d), tada tako su i njihove slike na drugoj površini. Gauss je mogao pokazati da je nužni uvjet da se to dogodi da su zakrivljenosti u odgovarajućim točkama iste. Na primjer, cilindar i ravnina su lokalno izometrični; iako zakrivljen, cilindar ima Gaulsovu smislu nulte zakrivljenosti, baš kao i ravnina, zbog čega je moguć ispis s rotirajućeg bubnja.

To znači da postoje geometrijska svojstva koja se mogu zaključiti iz karte površine koja su neovisna o detaljima karte i odnose se na samu površinu. Poznata je njegova Gaussova zakrivljenost u svakoj točki, a postoje i druga svojstva koja se mogu zaključiti iz saznanja (ds ^ 2), na primjer, krivulja najkraće duljine između dviju točaka (pod određenim uvjetima).

Nije odmah uočeno da Gaussov pristup omogućuje matematičarima da definiraju površine kao područja ravnine s određenom metrikom koja se ne može dobiti iz površina u euklidskom trodimenzionalnom prostoru. Naravno, ako neko definira površinu kao sliku karte od dijela (mathbb {R} ^ 2) do (mathbb {R} ^ 3), onda je, naravno, u (mathbb {R} ^ 3). Ali ako neko definira površinu kao područje (mathbb {R} ^ 2) s određenom metrikom, onda možda nema površine u (mathbb {R} ^ 3) kojoj ona odgovara. Čini se da je prva osoba koja je cijenila ovo Riemann, koji je također tu ideju proširio na bilo koji broj dimenzija.

Riemannove su ideje bile i duboke i naivne i zbog toga su se pokazale teškim preciznim, ali možemo se zadovoljiti time što smo u početku bili naivni. Pretpostavljao je da mu je dodijeljen prostor (nazvao ga je 'mnogostrukost') u kojem se u bilo kojoj točki može nametnuti koordinatni sustav barem na svim točkama blizu samovoljnoj početnoj točki, a ako je to jedna, svaka točka je vezan za početnu točku popisom (n) brojeva, rekao je da je prostor (n) - dimenzionalan. O ovom procesu možemo razmišljati kao o pružanju mape barem onog dijela prostora u blizini početne točke na (mathbb {R} ^ n). Do sada se to razlikuje od površinskog slučaja samo po tome što su dvije dimenzije zamijenjene s (n).

Tada je pretpostavio da postoji način da se kaže kolika je udaljenost beskonačno, generaliziranjem formule za (ds ^ 2) od 2 do (n) varijabli. (On je čak dozvolio da se koriste posve različite formule, ali nećemo opisivati onaj dio njegove teorije, koji propada već dugi niz godina).

Zatim je provjerio da li ovo svojstveno zakrivljenje ostaje u većim dimenzijama, što i čini. To je u osnovi zato što (n) dimenzionalni objekt ima puno dvodimenzionalnih površina na koje se primjenjuje Gaussova teorija, pa se pojam zakrivljenosti (n) dimenzionalnog objekta u točki može izvesti iz razmatranje dvodimenzionalnih površina koje prolaze kroz točku.

Sad je pitao, što još želimo da možemo raditi geometriju? Postoje svojstva prostora koja su neovisna o koordinatnom sustavu. Ako dva različita koordinatna sustava daju različite koordinate, ali to rade na takav način da je udaljenost između točaka sačuvana, tada nam bilo koji sustav omogućava da napravimo geometriju, a kad utvrdimo da se dva koordinatna sustava slažu na zakrivljenosti u svakoj točki, na razmaku između točaka i tako dalje.

Budući da je formula za (ds ^ 2) zapisana pod samo nekoliko ograničenja, nema razloga vjerovati da je riimanska geometrija definirana s obzirom na anticidentnu euklidsku geometriju. Ne postoji tvrdnja da se (n) - dimenzionalna riečanska geometrija mora dobiti kartom iz (n) - dimenzijske podskupine nekog euklidskog (N) dimenzionalnog euklidskog prostora. To znači da se geometrija može obaviti bez pozivanja na bilo kakvu euklidsku geometriju: euklidska geometrija više nije epistemološki prije bilo kakvog proučavanja drugih geometrija. Vladavina Euklida bila je teoretski završena.

5.1 Geodezija i priključci

S obzirom na koncept udaljenosti u razdjelniku, moguće je razgovarati o geodeziji - geodezija koja spaja dvije točke krivulja je najkraće duljine između te dvije točke. Pitanja o postojanju i jedinstvenosti mogu se postaviti i na njih se često odgovarati. Značajan napredak učinili su neovisno Tullio Levi-Civita 1917. i Hermann Weyl 1918., nadahnuti Einsteinovom teorijom opće relativnosti, kada su pokazali kako definirati paralelizam na zakrivljenom mnogostrukom (o doprinosu Levi-Civita, vidi Bottazzini 1999 i dalje Weylov doprinos vidi Scholz 2001). Grubo rečeno, u Weylovoj prezentaciji (1918), dva vektora u različitim točkama su paralelna ako pripadaju obitelji vektora duž krivulje koja se ne razlikuje duž krivulje. Učinak zakrivljenosti je da ta definicija ne ovisi o obitelji vektora, ali ovisi o krivulji, osim ako je zakrivljenost jednaka nuli; vektori na tipičnom razdjelniku mogu se reći samo da su paralelni duž krivulje.

Koncept dalekog paralelizma omogućava da se vektor pomiče po proizvoljnoj krivulji na način da ga u svakoj točki drži paralelnim sa sobom. To se naziva načinom uspostavljanja veze između različitih točaka, a teorija se naziva teorija veza na mnogostrukosti. Osobito je moguće pitati je li obitelj tangencijalnih vektora prema krivulji sastavljena od vektora paralelnih s tangentnim vektorom u početnoj točki. Ako je tako, krivulja je prirodni kandidat koji se smatra najravnijom krivuljom između njegovih krajnjih točaka, jer tangentanski vektor nikada ne ubrzava duž krivulje.

Veze se mogu definirati neovisno o metrici, ali ako su metrika i veza kompatibilni može se pokazati da je bilo koji mali komad ove krivulje najkraća krivulja koja se pridružuje njenim krajnjim točkama, tako da su najravnije krivulje na razdjelniku geodezike. U modernoj diferencijalnoj geometriji geodezija se definira vezama.

5.2 Riemann i Beltrami te stroga ne-euklidska geometrija

Riemannov "Ueber die Hypothesen …" (dan kao predavanje 1854., objavljeno posthumno 1867) i Beltramijev "Saggio" (1868) dali su različite, ali ekvivalentne račune dvodimenzionalne ne-euklidske geometrije opisujući je kao geometriju u unutrašnjosti diska s romanskom metrikom. Riemannov račun, naveden u (n) dimenzijama, slaže se s onim koji je Poincaré trebao koristiti u mnogim kratkim publikacijama 1880. i 1881., ali samo izričito opisuje u svojim glavnim radovima (Poincaré 1882). U ovom metriku geodezika su lukovi kružnica okomito na granicu diska i kutovi su pravilno prikazani. U Beltramijevoj verziji, geodetika je prikazana ravnim segmentima koji su akordi diska. Riemannovi i Beltramijevi diskovi brzo su uvjerili matematičare da su ne-euklidska geometrija Bolyaija i Lobačevskog činili,uostalom, imaju strog matematički smisao. Poincaréev doprinos desetljeće kasnije bio je da ne-euklidska geometrija postane prirodna geometrija za određene teme negdje drugdje u matematici, uglavnom razvoju i važnom predmetu Riemannovih površina.

Važnost rigoroznog prikaza bilo kojeg dijela matematike ne treba zanemariti, ali prihvaćanje riimanske geometrije u postavljanju ne-euklidske geometrije nadišlo je prezentaciju konzistentnog formalizma. To označava prihvaćanje stava da je geometrija sve što se može opisati riimanskim formalizmom. Vrata se otvaraju u pogledu da postoji mnogo geometrija od kojih svaka mora biti konzistentna, a nijedna se ne mora odnositi na euklidsku geometriju. Broj dimenzija 'prostora' o kojem se raspravlja, topološki karakter tog 'prostora' i precizna metrika sve su stvari ravnodušnosti. Postoji dvodimenzionalna geometrija takve i takve vrste jer se može naći prikladna metrika; jer postoji, kao da je to karta,ne zato što je u (mathbb {R} ^ 3) pronađena površina s pravim svojstvima. Dapače, kasnije je pokazano (Hilbert 1901) da u (mathbb {R} ^ 3) ne postoji površina koja točno odgovara ne-euklidskom 2-dimenzionalnom prostoru.

Riemann je bio jasan da su epistemološke implikacije ovog načina izvođenja geometrije ogromne. Matematičarima više ne treba apstrahirati neke temeljne intuicije od onoga u što vjeruju u fizički prostor, poput prirode i svojstava pravih linija ili krugova, i nastojati izgraditi pravu geometriju na temelju nekog aksiomatičnog izraza tih intuicija. Umjesto toga, smisao misli trebao bi ići u suprotnom smjeru: matematičari su mogli konstruirati beskonačno mnogo geometrija i vidjeti što se odnosi na fizički prostor. S tim u vezi ubrzo se pokazalo da je moguće postavljati teorijsku mehaniku u postavljanju ne-euklidske geometrije.

6. Razumljivost ne-euklidske geometrije

Epistemološki značaj projektivne geometrije počiva na njezinim implikacijama na prirodu i strogost klasične geometrije. Epistemološki značaj ne-euklidske geometrije počiva više na mogućnosti da bi ona mogla biti istinita na bilo koji način da bi euklidska geometrija mogla biti istinita. Stoga skrećemo 19 ^th ispita iz razumljivosti geometrije stoljeća.

6.1 Herbartova filozofija

Johann Friedrich Herbart postao je Kantov nasljednik u Königsbergu 1808., gdje je ostao sve do odlaska u Göttingen 1833., gdje je umro 1841., ali nije bio pravoslavni Kantijan. Njegovo glavno djelo, dvosmjerna Psychologie als Wissenschaft neu gegrundet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik 1824–1825, nastojalo je prizemljiti psihologiju u filozofiji, a iskustvo i metafiziku tretirati jednako. Pomoću neke prilično maštovite matematike nastojao je pokazati kako memorija djeluje i kako opetovani podražaji određene vrste izazivaju mozak naučiti percipirati, na primjer, linije, paralelne linije, crte koje se presijecavaju i površine. Prema Herbartovom mišljenju, nema urođenih ideja; vizualni prostor izgrađen je iz iskustva, najznačajnije pomoću konceptualnog čina zaključivanja kontinuiteta u prostornim procesima. A koncepti su generirani grozdovima sjećanja, na kojima logika tada djeluje neovisno o njihovom podrijetlu. Ovo je bio Herbartov način izbjegavanja prizemne logike u psihologiji.

Herbartove ideje utjecale su na Riemanna (vidi Scholz 1982). Riemann je prirodnu znanost smatrao pokušajem razumijevanja prirode uporabom preciznih koncepata, koje je potrebno izmijeniti u svjetlu našeg iskustva s njima. Očekivao je da će najuspješniji koncepti biti prilično apstraktni, a s Herbartom se složio da oni ne mogu biti a priori na kantianskom planu. Štoviše, njihovo je podrijetlo u percepciji dalo ovim pojmovima svoj značaj za znanost. U bilješkama koje je napisao za sebe (vidi Riemann Werke 1990: 539) Riemann je rekao da se s Herbartom slaže u pitanjima psihologije i epistemologije, ali ne u ontologiji ili sa svojim idejama o izgradnji koncepata prostora, vremena i pokreta. Neslaganje masira dublju naklonost. Herbart je zagovarao trodimenzionalni stvarni svijet uzročno povezanih, ali diskretnih monada,koje um tretira putem koncepta kontinuuma, koji opskrbljuje, pretvarajući tako svoja diskretna iskustva u spektar mogućnosti. Riemann nije vidio razlog za ograničavanje pozornosti na tri dimenzije i pomaknuo je kontinuirani spektar mogućnosti u vrlo općenite geometrijske koncepte koje je stvarao.

To je umanjilo, ili možda zaostalo, ulogu iskustva koju je Herbart naglasio. Riemann je bio svjestan onoga što je Herbart rekao prirodno: ako iskustvo generira koncepte s kojima uokvirujemo svijet, onda, rekao je Riemann, dopustimo da matematika stvori preciznije i fleksibilnije koncepte s kojima će voditi znanost.

6.2 Helmholtz i Poincaré

Riemannove su ideje zauzvrat utjecale na Hermanna von Helmholtza koji je objavio nekoliko utjecajnih eseja o tome kako je moguće naše znanje geometrije. U svojoj „Uber die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie“(1868.) nastojao je pokazati kako se može konstruirati samo ograničen broj riimanske geometrije u kojoj postoji koncept krutog gibanja tijela. Ustvrdio je da nas iskustvo krutih tijela uči kakav je prostor, a posebice koja je udaljenost. Dalje je tvrdio da će dvodimenzionalni prostor koji prihvaća kruta gibanja tijela biti euklidska ravnina ili sfera. Beltrami mu je napisao kako bi istaknuo da je previdio mogućnost ne-euklidske geometrije, a Helmholtz se nije samo složio,ali napisao je daljnji esej (1870.) u kojem je objasnio kako bi bilo moguće da imamo znanje o ovoj geometriji u kantovskom smislu (sintetički a priori). Mnogi Kantijanci odbili su se uvjeriti, najvjerojatnije iz osjećaja da je Kant sigurno vjerovao da imamo besprijekorno znanje te vrste o euklidskoj geometriji, ali jedna osoba na koju su te ideje vrlo vjerojatno utjecale bio je Henri Poincaré (vidi Grey 2012).

Čim je Poincaré počeo pisati svoje popularne filozofske eseje o geometriji, jasno mu je dao do znanja da se njegova glavna briga tiče kako se uopće možemo osloniti na bilo koju geometriju. Bio je svjestan velikog raspona riečanskih geometrija i zaključka Helmholtzovih nagađanja, koja su se tada učinila strogima u djelu Sophusa Leea, da je vrlo ograničen broj geometrija prihvatio krute pokrete tijela. Njegova briga u njegovu djelu "Na temeljima geometrije" (1898.) bila je epistemologija.

Poincaré je tvrdio da um brzo shvaća da može nadoknaditi određene vrste pokreta koje vidi. Ako čaša dođe prema vama, možete hodati unatrag na način da čaša izgleda nepromijenjena. Isto možete učiniti ako se nagne ili rotira. Čini se da um sadrži skladište tih nadoknađujućih pokreta i shvaća da može slijediti jedan s drugim i rezultat će biti treće nadoknađujuće gibanje. Ti mentalni akti tvore matematički objekt koji se naziva skupinom. Međutim, um ne može stvoriti kompenzacijske pokrete za druge pokrete koje vidi, poput pokreta vina u čaši dok se vrti okolo. Na taj način um formira pojam krutog gibanja tijela, to je upravo onaj pokret za koji um može formirati kompenzirajući pokret.

Poincaré je tada razmotrio koja bi grupa mogla biti kompenzacijski prijedlog i ustanovio je da, kao što je Helmholtz predložio i Lie je tada dokazao, postoji strogo ograničena zbirka takvih skupina. Glavne među njima bile su skupine koje potječu iz euklidske i ne-euklidske geometrije, a kao apstraktne skupine su različite. Ali koji je bio točan?

Poincaréovo kontroverzno gledište bilo je da se nikad ne može znati. Ljudska bića, kroz evoluciju i kroz naše iskustvo kao dojenčadi, biraju euklidsku skupinu i tako kažu da je prostor euklidski. Ali druga vrsta, izvlačeći se iz različitih iskustava, mogla bi odabrati ne-euklidsku skupinu i tako reći da je prostor bio ne-euklidski. Da smo upoznali takvu vrstu, ne bi bilo pokusa koji bi odlučio to pitanje.

Moglo se zamisliti, rekao je, izrađivanje velikih trokuta i mjerenje kutova. Stranice trokuta, rekli bismo, zrake svjetlosti. Pretpostavimo da je u okviru eksperimentalne pogreške rezultat eksperimenta da je kutni zbroj trokuta manji od (pi), rezultat koji je u skladu s ne-euklidskom geometrijom, ali nije u skladu s euklidskom geometrijom. Jedini zaključak koji se može izvući, rekao je Poincaré, jest da ili svjetlosne zrake putuju ravnim linijama, a prostor nije euklidski ili je prostor euklidski, a svjetlosne zrake putuju duž krivulja.

Možemo ovako sažeti njegovu tvrdnju. Naše znanje geometrije vanjskog svijeta temelji se na mentalnoj sposobnosti da se bavimo skupinom krutih tjelesnih pokreta. Postoji vrlo ograničena trgovina tih skupina, ali nijedan eksperiment ne može odlučiti između njih. Sve što možemo učiniti je odabrati, a mi ćemo odabrati najjednostavniji. Kao što se događa, to je bila euklidska skupina, jer, rekao je Poincaré, otkrili smo da je jedno od njegovih svojstava koja se ne dijeli s ne-euklidskom skupom bilo vrlo jednostavno. Ali ljudska je vrsta, kao i do sada, napravila izbor, i taj je izbor sada bio urođen u ljudskom umu. Zbog načina na koji se znanje stječe i činjenice da postoji više od jedne odgovarajuće skupine, nikada ne možemo znati je li prostor euklidski ili ne-euklidski, samo to konstruiramo kao euklidsko.

Ovaj zaokret kantovske doktrine o neupoznatljivosti Ding a sich (stvar sama po sebi) i naše zatvaranje u svijet pojava, bio je prirođen za Poincaréa kao radnog fizičara, ali tu je važno razlikovati. Upravo je objašnjeno gledište Poincaréova filozofija geometrijskog konvencionalizma. Zalagao se za konvencionalizam u drugim područjima znanosti, tvrdeći da ono što nazivamo prirodnim zakonima (Newtonovi zakoni, očuvanje energije i tako dalje) nisu empirijska pitanja otvorena za reviziju niti apsolutne istine, već su dobro utvrđeni rezultati koji su povišeni na ulogu aksioma u sadašnjim znanstvenim teorijama. Oni bi mogli biti dovedeni u pitanje, ali samo ako se dovodi u pitanje čitava znanstvena teorija, a ne samovoljno kad su iznesena neka neugodna zapažanja. Suočen sa satelitom za koji se činilo da ne poštuje Newtonove zakone, trebalo bi, rekao je Poincaré, uzeti u obzir da je još uvijek jedna nezapažena sila na djelu i ne nastojati prepisivati Newton. Ali može se predložiti nova teorija, zasnovana na različitim pretpostavkama koje prepisuju zakon prirode, jer ti zakoni nisu vječne istine - takve stvari nikada ne bismo mogli znati. A ako se predloži nova teorija, može se birati između novog i starog samo na temelju praktičnosti.može se birati između novog i starog samo na temelju praktičnosti.može se birati između novog i starog samo na temelju praktičnosti.

Ključna razlika ovdje je to što znanstveni konvencionalizam djeluje na visokoj razini. Izbori se donose svjesno i intelektualno, rasprava je otvorena samo za ljude sa znatnom količinom specijaliziranog obrazovanja. Geometrijski konvencionalizam djeluje na um prije nego što je sposoban za bilo kakvu formalnu pouku, a da nije upravljao nesretnim subjektom, bio bi nesposoban za bilo kakvo znanje o vanjskom svijetu.

6.3 Poincaré nasuprot Russellu

Poincaréovi pogledi doveli su ga u sudar s Bertrandom Russelom 1890-ih, kada je izišao iz svoje kratke hegelijanske faze i ušao u svoju kantovsku fazu. Russell je pokušao uspostaviti Kantian a priori tvrdeći da postoji jedna temeljna geometrija, a to je projektivna geometrija, a mi imamo sintetičko a priori znanje o njoj (vidjeti Griffin 1991 o Russellu i Nabonnand 2000 o polemici).

Ne može biti malo sumnje da je Poincaré, sa svojim puno većim znanjem matematike, pobijedio u većem dijelu rasprave, budući da je Russell, s karakterističnom spremnošću da prizna svoje pogreške, bio spreman priznati. Ali značajna razlika u pristupu između njih nikada nije bila riješena. Poincaréova analiza započela je idejom krutih tijela iz kojih se stvara koncept udaljenosti. Russell je tvrdio suprotno, da sve što možemo otkriti koncept udaljenosti treba znati prije nego počnemo da je udaljenost od Londona do Pariza veća od metra. To je Poincaré negirao u svojim „Des militions de la géométrie: à offers d'un livre de M. Russell“(1899).

Poincaréovo mišljenje znamo samo kakva je udaljenost od jedne točke do druge, kada smo otkrili što kruta tijela rade i ta je spoznaja postala urođena u nama. Po Russellovu mišljenju, nijedna rasprava o konceptu udaljenosti ne bi mogla ni zamisliti da je udaljenost od Londona do Pariza manja od metra - znali bismo da ne govorimo o udaljenosti da kažemo tako nešto. Poincaré je inzistirao da razgovor o onome što znamo uvijek treba ovisiti o tome kako ga znamo; bez takve analize tvrdnje uopće nisu bile tvrdnje o znanju. Russell je želio da se distanca smatra temeljnom intuicijom.

Matematička ilustracija može rasvijetliti neslaganje. Za Poincaréa je razgovor o onome što bismo mogli nazvati običnom geometrijom, osjećaj prostora koji imamo prije napredne upute, zapravo o sposobnosti za mjerenje stvari. Mi možemo nositi kruto tijelo i koristiti ga kao ravnalo. Možemo govoriti o udaljenosti između mjesta. Ako želite da postava postane apstraktnija, mora postojati prostor i skupina koja djeluje na prostor i pomiče točke u prostoru oko njega. Ako ova grupa ima svojstvo da se međutim područje tog prostora pomiče oko nje nikad nije preslikano na odgovarajući podskup, tada se mogu graditi kruta tijela i razgovarati o udaljenosti.

Za Russell-a je slobodan zauzeti razmak i dodijeliti "udaljenost" svakom paru bodova (uz nekoliko jednostavnih pravila koja izostavljam). U odnosu na ovaj osjećaj udaljenosti, može se reći ako, kako se regija kreće, točke u njemu ostaju jednake udaljene ili ne. To smo učinili zbog svog osjećaja udaljenosti na površini Zemlje, i to možemo učiniti bez obzira imamo li ili ne neke krute pokrete tijela. Matematički gledano, Russell bi bio zadovoljan onim što se naziva metričkim prostorom. Poanta nije u tome što bi se moglo nametnuti metrika na površini Zemlje u kojoj je određeni par točaka, recimo u Cambridgeu, bio metar udaljen, a London i Pariz su bili udaljeni samo pola metra - jedan je mogao, ali to može razgovarati o udaljenosti bez pretpostavljanja djelovanja grupe. Neki metrički prostori priznaju djelovanje grupa koje čuvaju udaljenost,drugi ne, ali udaljenost se može definirati bez razgovora o grupi. Poincaré se nikada nije suočio s upravo tim argumentima-metrički prostori su izum 20^og stoljeća, ali znamo što bi on rekao. Rekao bi da je to vrijedna matematika, ali u potpunosti formalna i da se ne može smatrati istinskim znanjem, jer nedostaje psihološka dimenzija. To znamo jer je to bila kritika aksiomatskih geometrija koje je konstruirao Hilbert (vidi dolje).

Argumenti Poincaréa također su se susreli s prigovorima talijanskog matematičara Federiga Enriquesa. Poincaré je tvrdio da je jedan od načina da se vidi valjanost geometrijskog konvencionalističkog argumentacije uzeti u obzir disk u kojem je sve izrađeno od istog materijala, koji se širi zagrijavanjem i u kojem je temperatura bila posebna funkcija udaljenosti udaljenosti od središte diska. Ova je funkcija, koju je Poincaré odredio, osigurala da je metrika u disku, mjerena šipkama izrađenim od istog materijala kao i disk, bila neeuklidske geometrije. Bića koja žive na disku izvijestila bi da njihov prostor nije van euklidski; odgovorili bismo da je prostor bio euklidski, ali podložan izobličavajućem učinku temperaturnog polja. Očito svaka strana može održati svoj položaj bez samokontrole.

Enriques je u svom Problemi della Scienza (1906) tvrdio da je to nerazumno. Bića bi bilo ispravno pripisati geometriju svom prostoru (i doista, ne-euklidska geometrija) jer sila izobličenja je izvan njihove kontrole. Njihova geodezija ugrađena je u prostor, i bilo bi nerazumno njima pripisivati staze geodezije djelovanju 'sile', jer ta 'sila' nije nešto čime bi čak i načelno mogli manipulirati. Toplina, gravitacijski učinak masivnih predmeta, svi ovi utjecaji koji iskrivljuju su stvari koje se mogu dopustiti, jer se mogu mijenjati. Ako bi se u gornjem eksperimentu moglo tvrditi da je prostor euklidski, ali da su naši kandidati za ravne linije deformirani, trebalo bi biti moguće mijenjati stupanj deformacije. Eksperiment bi se mogao voditi dalje od masivnih predmeta, u praznijim prostorima prostora. Ako bi različiti eksperimenti dali čak i malo drugačije rezultate, čovjek bi, u skladu s Poincaréovim vlastitim kriterijima za promjenu znanstvenih konvencija, trebao tražiti nešto u okolnostima koje su bile odgovorne za odstupanje svjetlosnih zraka od ravnanja. No ako bi se svi eksperimenti složili, Enriques je tvrdio da bi bilo racionalno zaključiti da svjetlosne zrake putuju geodezikom, a geometrija prostora nije euklidska. No ako bi se svi eksperimenti složili, Enriques je tvrdio da bi bilo racionalno zaključiti da svjetlosne zrake putuju geodezikom, a geometrija prostora nije euklidska. Ali ako su se svi eksperimenti složili, Enriques je tvrdio da bi bilo racionalno zaključiti da svjetlosne zrake putuju geodezikom, a geometrija prostora nije euklidska.

Također je vrijedno primijetiti da rastuća sofisticiranost ideja o tome kako se teorijska geometrija odnosi na praktično iskustvo i o prirodi znanja koje geometrija pruža, pripadaju obitelji promjena u cijeloj matematici do 1900. godine. Pojavila se autonomna disciplina matematike koji je stavljao sve veći naglasak na formalne aspekte teme i nudio složeni i često udaljeni odnos sa svijetom iskustva. Ovaj modernistički zaokret u matematici raspravlja se na raznim mjestima (vidi Grey 2008 i tamo citiranu literaturu).

7. Zaključne napomene

Ovaj esej je ispitao glavne podružnice u razvoju geometrije do ranih godina 20. ^-og stoljeća pod naslovima teorijske ili apstraktne znanja, empirijske i drugim analizama razumljivosti takvog znanja, te deduktivno karakteru tog znanja.

Status ravne linije u elementarnoj euklidskoj geometriji bio je razdvojen i najkraća krivulja koja se spaja s bilo kojom od njegovih dviju točaka, kao i krivulja koja uvijek usmjerava u istom smjeru. Jedna linija istraživanja vodila je do geometrija koje su isticale ravnost kao osnovno svojstvo (tipično projektivne geometrije), a druge do geometrija koje su isticale najkraći aspekt. Rani se pristup od samog početka shvaćao kao nesmetan i postao je omiljena arena za formalna, čak i aksiomatična istraživanja geometrije kao deduktivno poduzeće. Cijena je sve manje govorila o fizičkom prostoru (kao što je primijetio Poincaré). Koncept geometrije radikalno je proširen, ali na načine koji nisu trebali biti računi razumljivog prostora.

Metrički prikaz doveo je do progresivnog rasvjetljavanja značajne nejasnoće u Euklidovim Elementima: paralelni postulat. Za veći dio 19 ^-og stoljeća, to je jedina alternativa Euclid koji je predložen kao razumljivom geometriji, iako je općenito dogovoreno je da se samo u najdelikatnijim eksperimenti mogli nadati da odluči o tom pitanju. Poincaréovo osporavano stajalište bilo je da nijedan eksperiment ne može tako odlučiti, a to je postavilo važna pitanja o načinu tumačenja apstraktnih pojmova.

Iza privlačne ideje o jednoj alternativi Euclidovom geometrijskom sustavu, koji je postojao dvije tisuće godina, nalazio se čitav niz metričkih geometrija na koje je nagovijestio Gaussov rad o diferencijalnoj geometriji i koji je razradio Riemann. Ovdje se napokon pokazalo mogućim objasniti odnos najravnijeg i najkraćeg u prikladno općenitom okruženju. Također je bilo moguće razgovarati o geometriji kao tijelu ideja koje su izrasle iz naivnih ideja duljine, kuta, oblika i veličine, i to na sofisticiran i strog način bez privlačenja aksioma, bez obzira jesu li ti aksiomi bili namijenjeni ili ne kao destilacije razumljivog iskustva. Na taj je način postalo moguće primijeniti geometrijske ideje u novim postavkama i na nove načine.

Do kraja prvog desetljeća 20. ^-og stoljeća, bilo je jasno da je euklidska geometrija je izgubila svoju vodeću poziciju. Bilo je boljih formalnih, aksiomatskih sustava (poput onih koje su predložili Hilbert i neki matematičari u školi oko Peanoa). Postojali su bogati sustavi koji su bili temeljniji, u smislu korištenja manjih svojstava figura tradicionalne geometrije, poput ravne linije (mnoge verzije projektivne geometrije). A nastala je i obrada metričkih geometrija s prirodnijim polazištima i dubljim teorijama.

Kao rezultat toga, ideje o tome kako se bilo koja teorijska geometrija odnosi na prostor oko nas postale su mnogo sofisticiranije. Istinu geometrije više nije trebalo uzimati zdravo za gotovo, već je na neki način postalo empirijsko, a filozofske ideje o razumljivosti geometrije također su se produbile.

Bibliografija

• d'Alembert, J. le Rond, 1784, Encylopédie Méthodique: Mathématique.
• Badici, E., 2011, „Standardi jednakosti i Humeov pogled na geometriju“, Pacific Philosophical Quarterly, 92 (4): 448–467.
• Beltrami, E., 1868, „Saggio di interpretazione della geometria non Euclidea“, Giornale di Matematiche, 6: 284–312, u Opere matematiche I: 374–405. Prijevod s engleskog na J. Stillwell, 1996, Izvori hiperboličke geometrije (History of Mathematics 10), Američka i Londonska matematička društva, str. 7-34.
• Bioesmat-Martagon, L., 2011, Éléments d'une biographie de l'espace projectif, Nancy: Presses Universitaires de Nancy, Zbirka povijesti geometrija, 2.
• Bolyai, J., 1832., „Appendix scientiam spatii absolutni veram exhibens“, u W. Bolyai i J. Bolyai, 1832, Tentamen juventutem studiosam u Elementa Matheosis purae, itd., Maros-Vásérhely, 2 svežaka. Engleski prijevod GB Halsted, „Apsolut znanosti u svemiru“, Dodatak u Bonoli 1912. i u J. J. Grey, 2004., János Bolyai, ne-euklidska geometrija i priroda svemira, knjižnica Burndy, MIT.
• Bonola, R., 1906, La geometria non-Euclidea, Bologna: Zanichelli, engleski prijevod HS Carslaw, predgovor F. Enriquesa, 1912, Povijest ne-euklidske geometrije, Chicago: Otvoreni sud; reprint, New York: Dover, 1955.
• Bottazzini, U., 1999, “Ricci i Levi-Civita: od diferencijalnih invarijanata do opće relativnosti”, u JJ Grey (ur.) Simbolički svemir: geometrija i fizika 1890-1930, Oxford: Oxford University Press.
• Chasles, M., 1837., Aperçu historyque sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie… suivi d'un Mémoire de géométrie, itd. Mémoires sur les questions offersé a di l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, Tom. 11, Bruxelles.
• Clairaut, AC, 1741., Elémens de géométrie, Pariz: David Fils. Ponovno tiskano 1920, Pariz: Gauthier-Villars.
• Cremona, L., 1873, Elementi di geometria projettiva, Torino. Engleski prijevod C. Leudesdorf, 1885., Elementi projektivne geometrije, Oxford: Clarendon Press.
• Enriques, F., 1906, Problemi della Scienza. Engleski prijevod K. Royce, 1914., Problems of Science, Chicago: Otvoreni sud.
• Enriques, F., 1907, „Prinzipien der Geometrie“, Encylopädie der Mathematischen Wissenschaften, III. I.1, 11–129, Leipzig, Teubner.
• Euclid, Trinaest knjiga Euclidinih elemenata, prijevod i komentari Sir TL Heath, New York: Dover Publications, 1956.
• Gauss, CF, 1828, „Disquisitiones generales circa superficies curvas“, Commentationes društvotatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Prepisano 1870., Carl Friedrich Gauss Werke, 4: 217–258; i u P. Dombrowski (ur.), 1978., 150 godina nakon Gaussovog 'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas', latinski izvornik, s reprintom engleskog prijevoda A. Hiltebeitel i J. Morehead, 1902, Astérisque 62, Pariz: Société mathématique de France; i u P. Pešiću (ur.), 2005., Opća istraživanja zakrivljenih površina, New York: Dover Books.
• Gauss, CF, 1900. Werke 8, Leipzig: Teubner.
• Grey, JJ, 2008., Platonov duh: Moderistička transformacija matematike, Princeton: Princeton University Press.
• –––, 2011., Svjetovi iz ničega; tečaj o povijesti geometrija u 19 ^-og stoljeća, drugi revidiran izdanje, London. Springer.
• –––, 2012, Henri Poincaré: znanstvena biografija, Princeton: Princeton University Press.
• Griffin, N., 1991, Russell-ovo idealističko naukovanje, Oxford: Clarendon Press.
• Hallett, M. i U. Majer (ur.), 2004., predavanja Davida Hilberta o osnovama geometrije, 1891-1902, Berlin: Springer.
• Helmholtz, H. von, 1868, "Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie", Nachrichten K. Ges. Wissenschaften zu Göttingen, 9. Prijevod engleskog jezika MF Lowe, 1921., "O činjenicama na kojima počiva geometrija", Epistemološki spisi, RS Cohen i Y. Elkana (ur.), Boston Studies in the Philosophy of Science, Boston: Reidel, svezak 37, 39-57.
• –––, 1870, „Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome“, Vorträge und Reden, vol. 2, 1–31. Engleski prijevod "O podrijetlu i značaju aksioma geometrije", u Epistemološkim spisima, str. 1–25.
• –––, 1921, Schriften zur Erkenntnistheorie, Berlin: Springer, P. Hertz i M. Schlick (ur.), 1977, preveli MF Lowe kao epistemološka pisanja, RS Cohen i Y. Elkana (ur.), Reidel.
• Herbart, JF, 1824–1825, Psychologie als Wissenschaft neu gegründet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik, 2 sveska, Königsberg: AW Unzer.
• Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals u Göttingenu, Leipzig: Teubner, mnoga sljedeća izdanja. Engleski prijevod 10. izdanja L. Unger, 1971., Temelji geometrije, Chicago: Otvoreni sud.
• –––, 1901, „Über Flächen von konstanter Gaussscher Krümmung“, Transakcije Američkog matematičkog društva 2: 87–99. U Gesammelte Abhandlungen, 2: 437–448.
• Hume, D., 1739–1740, Traktat o ljudskoj prirodi, London. Pretražujući tekst Davida Humea u A Traktatu o ljudskoj prirodi, tiskan iz izvornog izdanja u tri sveska i uređen analitičkim indeksom, LA Selby-Bigge, MA (Oxford: Clarendon Press, 1896). [mrežni pretraživač Hume 1739]
• Kant, I., 1781, 1787, Kritik der reinen Vernunft; prevoditelj Norman Kemp Smith, 1929, Kritika čistog razuma Immanuela Kanta, drugo izd. Rep. 1970., London: Macmillan.
• Klein, CF, 1871, „Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie“, Mathematische Annalen, 4: 573–625. Također u Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (br. XVI): 254–305, Berlin: Springer.
• –––, 1872, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintritt in die philosophische Facultät und den Senat der Universität zu Erlangen, Deichert, Erlangen, u Gesammelte Mathematische Abhandlungen, VII, br. Prijevod s engleskog jezika MW Haskell, 1892–1893, Bilten Njujorškog matematičkog društva 2: 215–249, Berlin, Springer.
• –––, 1873, „Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. (Zweiter Aufsatz)”, Mathematische Annalen, 6: 112–145, u Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (br. XVIII): 311–343, Berlin: Springer.
• Laplace, P.-S., 1796., "Izložba du sinova monde", Pariz: Crapelet, Oeuvres VI, Pariz, Gauthier-Villars, 1884.
• Legendre, A.-M., 1794, Éléments de géométrie, Pariz: Fermin Didot Frères, nekoliko izdanja.
• Levi-Civita, T., 1917, „Nozione de paralismo in una varietà qualunque“, Rendiconto del Circolo Matematico di Palermo, 42: 173–205.
• Lobachevskii, NI, 1835, „Neue Anfangsgrunde der Geometrie mit einer vollständigen Theorie der parallellinien“, njemački prijevod na Lobachetschefskij, NI 1899. Zwei geometrische Abhandlungen, tr. F. Engel, Leipzig, Teubner.
• –––, 1840, Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlin, rep. Mayer & Müller, 1887, engleski tr. GB Halsted, Geometrijska istraživanja u teoriji paralela, Dodatak u (Bonola 1912).
• –––, 1856., Pangéométrie, ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale des paraleles, Kasan. Prijevod s engleskog na komentar, Pangeometry, A. Papadopoulos (ur.), Europsko matematičko društvo, 2010.
• Locke, J., 1690., Esej o ljudskom razumijevanju, London. [Locke 1690 dostupan na mreži]
• Marchisotto, E. i JT Smith, 2007, Zaostavština Mario Pieri u geometriji i aritmetici, Boston: Birkhäuser.
• Mueller, I., 1981, Filozofija matematike i deduktivne strukture u Euclidovim elementima, Cambridge: MIT Press.
• Nabonnand, P., 2000, „La polémique entre Poincaré et Russell au sujet du statut des axiomes de la géométrie“, Revue d'histoire des mathématiques, 6: 219–269.
• Newton, sir I., 1687., Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Engleski prijevod The Principia: Matematički principi prirodne filozofije, tr. IB Cohen, A. Whitman, J. Budenz, University of California Press, 1999.
• de Pierris, G., 2012, „Hume o svemirskom, geometrijskom i dijagramičkom mišljenju“, Synthese, 186 (1): 169–189.
• Poincaré, H., 1882e. Théorie des groupes fuchsiens. Acta Mathematica 1, 1–62 u Oeuvresu 2, 108–168.
• Poincaré, H., 1898, „Na temeljima geometrije“(preveo TJ McCormack) Monist 9: 1–43. Reprinted in Ewald, 1996, Od Kanta do Hilberta: Izvorna knjiga u osnovama matematike, Oxford: Oxford University Press, 2: 982–1012.
• –––, 1899, „Des mil milures de la géométrie: à offers a d'un livre de M. Russell“, Revue de métaphysique et de morale 7: 251–279.
• –––, 1902, „Les fondances de la géométrie“, Časopis des savants, 252–271. Engleski prijevod EV Huntington, 1903, „Poincaréova recenzija Hilbertovih„ temelja geometrije “, Bilten Američkog matematičkog društva, 10 (1): 1–23. [Poincaré 1902 (engleski) dostupan na mreži]
• Poncelet, JV, 1822., Traité des Propriétées Projectives des Figures, Pariz: Gauthier-Villars.
• Riemann, GBF, 1867. [1854.], "Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen", Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13: 1–20. Objavljeno u Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftliche Nachlass und Nachträge. Zbornik radova: Nach der Ausgabe von Heinrich Weber i Richard Dedekind, 1990., R. Narasimhan, (ur.) Berlin: Springer, str. 304–319. Bernhard Riemann, Zbornik radova, preveo Roger Baker, Charles Christenson i Henry Orde, Kendrick Press, 2005.
• Russell, B., 1899, „Sur Les Axiomes de la Géométrie“, Revue de méetaphysique et de moral, 684–706, preveden i prepisan kao „O aksiomima geometrije“, u N. Griffin i AC Lewis, (ur.), 1990, Zbornik radova Bertranda Russela, 2, London: Hyman Unwin, 394–415.
• Scholz, E., 1982, „Herbartov utjecaj na Bernharda Riemanna“, Historia Mathematica, 9 (4): 413–440.
• –––, 2001., „Weylova Infinitesimalgeometrie“, u Hermannu Weylovu Raum-Zeit – Materiju i opći uvod u njegov znanstveni rad, E. Scholz (ur.) Basel, Birkhäuser.
• Schweikart, FK, 1818, "Notiz", u Carl Friedrich Gauss Werke, 8: 180–181.
• von Staudt, GKC, 1847, Geometrie der Lage, Nürnberg.
• –––, 1856. – 1860., Beiträge zur Geometrie der Lage, 3 sveska, Nürnberg.
• Villaggio, P., 2006, "O Enriquesovim osnovama mehanike", u K. Williams (ur.) Dvije kulture: Eseji u čast Davida Speisera, Birkhäuser, 133–138.
• Wallis, J., 1693, „De postulato quinto et definitione lib. 6 Euclidis deceptatio geometrica”, u Operum Mathematicorum, 2: 665–678.
• Weyl, H., 1918, Raum-Zeit-Materie, Springer. Engleski prijevod trećeg izdanja (1920) Space-time-materija, London: Methuen.

Akademske alate

	Kako navesti ovaj unos.
	Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
	Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
	Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

• Dinamična verzija Euclidinih elemenata, DE Joyce, Sveučilište Clark
• Engleski prijevod Gaussa (1828.) u internetskoj arhivi.