Finitizam U Geometriji

Sadržaj:

Finitizam U Geometriji
Finitizam U Geometriji

Video: Finitizam U Geometriji

Video: Finitizam U Geometriji
Video: Подударност троуглова - први део 2024, Ožujak
Anonim

Ulazna navigacija

  • Sadržaj unosa
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Prijatelji PDF pregled
  • Podaci o autoru i citiranju
  • Povratak na vrh

Finitizam u geometriji

Prvo objavljeno u srijedu 3. travnja 2002.; suštinska revizija Thu 12. rujna 2019

U našem predstavljanju svijeta, posebno u fizici, (matematičke) beskonačnosti igraju presudnu ulogu. Kontinuum realnih brojeva, (Re), kao prikaz vremena ili jednodimenzionalnog prostora, zasigurno je najpoznatiji primjer, a, produžetak, (n) kartezijanski proizvod, (Re ^ {n}), za (n) - dimenzijski prostor. Međutim, te iste beskonačnosti također stvaraju probleme. Treba samo razmišljati o Zenonovim paradoksima ili današnjem nastavku te rasprave, naime raspravi o supertaksima, uvidjeti poteškoće (cjelovit tretman potražite u uputama na supertaksama u ovoj enciklopediji). Stoga je vrlo primamljiva ideja istražiti je li moguće eliminirati ove beskonačnosti i još uvijek moći fiziku. Prvi korak prema odgovoru na to pitanje jest ispitivanje da li je moguća diskretna geometrija koja može približiti klasičnu kontinuiranu geometriju što je moguće bliže. Jer, ako je to slučaj, potonju se geometriju lako može zamijeniti diskretnom verzijom u bilo kojoj fizičkoj teoriji koja koristi ovu posebnu matematičku pozadinu.

Koliko god se zadatak mogao činiti, postoje, međutim, najmanje dva načina na koja se pojam aproksimacije može razumjeti. Pretpostavimo da je (T) fizikalna teorija koja se temelji na klasičnoj geometriji. Tada aproksimacija (T) može značiti dvije različite stvari:

  1. Za sve koncepte u (T), uključujući geometrijske pojmove, predlaže se diskretni analog (ako takav postoji), ili
  2. Temeljna teorija (T ^ / prime) formulirana je korištenjem eventualno različitih koncepata na takav način da se klasični pojmovi mogu izvesti iz (T ^ / prime).

U odjeljcima koji slijede uz pregled bit će predstavljeni (neki) različiti pokušaji koji potpadaju pod (a) ili (b). Prije nego što se upustite u to putovanje, morate spomenuti nekoliko upozorenja.

  • 1. Neka opća razmatranja

    • 1.1 Logičari
    • 1.2 Matematičari
    • 1.3 Informatičari
    • 1.4 Fizičari
    • 1.5 Filozofi
  • 2. Diskretne geometrije kao izravni analozi

    • 2.1 Standardna aksiomatizacija za euklidsku geometriju ravnina
    • 2.2 Finska škola i prirodna geometrija
    • 2.3 Konstruktivan pristup
    • 2.4 Izravan fizički primjer: diskretna verzija posebne teorije relativnosti
    • 2.5 Neka djelomična rješenja i problemi koje treba riješiti
  • 3. Diskretne geometrije kao generatori klasične geometrije

    • 3.1 Opći okvir
    • 3.2. Prototipičan primjer pomoću grafikona
    • 3.3 Poseban slučaj: kombinatorička hijerarhija
    • 3.4 Može li to biti empirijski problem?
  • 4. Što dalje treba učiniti?
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Ostali internetski resursi
  • Povezani unosi

1. Neka opća razmatranja

Najvažnija stvar koju treba uzeti u obzir jest, s obzirom na određeni prijedlog diskretne geometrije, koja je znanstvena i / ili filozofska pozadina autora (i) i, s tim u vezi, kakve su njihove namjere. Jesu li to logičari, matematičari, informatičari, fizičari ili filozofi (da nabrojimo pet slučajeva koji se najčešće javljaju)? Žele li riješiti puki tehnički, fizički ili filozofski problem? Jesu li zabrinuti zbog utemeljenih aspekata ili je cilj njihovog istraživanja daljnji razvoj postojećih teorija? Za ilustraciju ovih pitanja vrijedi se detaljnije pozabaviti za svaku od pet spomenutih vrsta autora.

1.1 Logičari

Logičari su često zainteresirani za prikazivanje osnovne logičke strukture teorije, fizičke ili matematičke, i istraživanje postoje li druge alternative ili ne, obično mijenjanjem temeljnih logičkih principa. Moglo bi se zamisliti geometrija koja se ne temelji na klasičnoj logici, već, na primjer, na intuicionističkoj logici, gdje su za svaku tvrdnju (p) principi poput isključene treće, tj. (P) ili ne - (p)), ili dvostruka negacija, tj. ako ne-ne - (p) tada (p), više ne drži. Često je cilj pronaći cjelovitu klasifikaciju svih mogućnosti. Ovaj pristup podrazumijeva da logičar koji radi i razvija diskretne modele, ne vjeruje nužno da su ti modeli u određenom smislu ispravni ili istiniti. Oni samo pomažu da bolje razumijemo što je klasična geometrija.

Savršena ilustracija takvog pristupa je rad na prostornoj logici, vidi Aiello i sur. (2007) za izvrstan pregled. Autori uspoređuju svoj pristup radu učinjenom u vremenskoj logici (vidi zapis o vremenskoj logici u ovoj enciklopediji). Postoji puno načina modeliranja vremena: s početnom i / ili krajnjom točkom, diskretnom ili kontinuiranom, linearnom, cikličkom ili grananjem,…. Logični zadatak je konstruirati jezik koji omogućava „govoriti“o svim tim strukturama i biti u mogućnosti razlikovati ih. U vremenskoj logici takav jezik koriste operatori (Fp) ("Ja ću biti slučaj da (p)") i (Pp) ("To je bio slučaj da (p)"), Jedan primjer: ako je vrijeme linearno u budućnosti, tada se ovo svojstvo može izraziti na sljedeći način. Pretpostavimo da su data (Fp) i (Fq), tada su moguće samo tri stvari:ili (F (p / amp q)), tj., (p) i (q) će biti slučaj, ili (F (p / amp Fq)), tj. (p) dogodit će se prvo, a zatim (q), ili (F (Fp / amp q)), tj. obrnuto. U jednoj formuli: ((Fp / amp Fq) rightarrow (F (p / amp q)) ili (F (p / amp Fq)) ili (F (Fp / amp q))). Na posve sličan način konstruiranje takvog jezika ono je što prostorna logika želi postići za geometriju i stoga je povezana s prijedlozima o kojima ćemo razgovarati u odjeljku 3.konstruirati takav jezik ono je što prostorna logika želi postići za geometriju i stoga je povezano s prijedlozima o kojima ćemo razgovarati u odjeljku 3.konstruirati takav jezik ono je što prostorna logika želi postići za geometriju i stoga je povezano s prijedlozima o kojima ćemo razgovarati u odjeljku 3.

1.2 Matematičari

Matematičar može gledati ili proučavati diskretni ili konačni kolega postojeće teorije samo kako bi vidio, npr. Koji teoremi ostaju dokazivi u oba slučaja. To je samo po sebi zanimljivo iz perspektive takozvane obrnute matematike. Suštinsko pitanje je otkriti što je nužno za dokazivanje određenih teorema? Vidi npr. Simpson (2005) i Stillwell (2016). Dokazi koji također stoje u diskretnoj geometriji su stoga neovisni o bilo kojoj pretpostavci o diskretnosti ili kontinuitetu. Moglo bi se, međutim, zaći dublje u temelje matematike i proučavati konačne geometrije iz temelja. Jedan takav pristup je strogi finitizam (mada se ponekad upotrebljavaju i pojmovi ultra-finitizam ili ultra-intuicionizam) koji nije zamišljen kao podteorija drugih teorija utemeljenja, već kao alternativa sama po sebi. Dijeli s mnogim oblicima konstruktivizma temeljno mišljenje da matematički objekti i pojmovi moraju biti dostupni matematičaru u smislu konstrukcija koje se mogu izvesti ili izvesti. Različiti se oblici međusobno razlikuju po načinu razumijevanja pojmova "izvršenje" ili "izvedba". Većina konstruktivista dopušta potencijalno beskonačno, tj. Ako će se neki postupak ili algoritam (dokazivo) u nekom trenutku u budućnosti prekinuti, tada je ishod prihvaćen kao konstruktivan. Pogledajte Bridges & Richman (1987) za pregled i unos o konstruktivnoj matematici. Strogi finitizam želi otići korak dalje i tvrdi da neodređeni ishod ne prihvaća kao ishod, jer, budući da su svi računski resursi ograničeni,vrlo je moguće da su ta sredstva iskorištena prije nego što se ishod postigne. Dodatna kvalifikacija služi za razlikovanje od Hilbertovog finitizma koji se, grubo rečeno, može posmatrati kao oblik finitizma na meta-nivou (npr. Iako matematičke teorije mogu govoriti o beskonačnim strukturama, ipak dokazi u takvim teorijama moraju imati konačna duljina). Kao što se moglo očekivati, strogi finitizam nije popularno gledište u filozofiji matematike. Ipak, prijedlozi su brojni. Povijest i prikaz stvarnog (iako sada donekle datiranog) stanja mogu se naći u Welti (1987). U drugom se dijelu govori o takvim prijedlozima.može se posmatrati kao oblik finitizma na meta-razini (npr. iako matematičke teorije mogu govoriti o beskonačnim strukturama, dokazi u takvim teorijama moraju imati konačnu duljinu). Kao što se moglo očekivati, strogi finitizam nije popularno gledište u filozofiji matematike. Ipak, prijedlozi su brojni. Povijest i prikaz stvarnog (iako sada donekle datiranog) stanja mogu se naći u Welti (1987). U drugom se dijelu govori o takvim prijedlozima.može se posmatrati kao oblik finitizma na meta-razini (npr. iako matematičke teorije mogu govoriti o beskonačnim strukturama, dokazi u takvim teorijama moraju imati konačnu duljinu). Kao što se moglo očekivati, strogi finitizam nije popularno gledište u filozofiji matematike. Ipak, prijedlozi su brojni. Povijest i prikaz stvarnog (iako sada donekle datiranog) stanja mogu se naći u Welti (1987). U drugom se dijelu govori o takvim prijedlozima. Povijest i prikaz stvarnog (iako sada donekle datiranog) stanja mogu se naći u Welti (1987). U drugom se dijelu govori o takvim prijedlozima. Povijest i prikaz stvarnog (iako sada donekle datiranog) stanja mogu se naći u Welti (1987). U drugom se dijelu govori o takvim prijedlozima.

1.3 Informatičari

U računalnim znanostima predložene teorije i prijedlozi sasvim su drugačiji od logičkih i matematičkih, mada jedan drugog potiču. Problem s kojim se ovdje susreće upravo je postavljanje prijevoda s klasičnog geometrijskog, analognog modela u model pri čemu se domena (obično) sastoji od konačnog skupa piksela ili ćelija koje čine (računalni) zaslon. Očiti nedostatak (iz perspektive ovog unosa) je taj što gotovo svi ovi modeli pretpostavljaju klasični (beskonačni) model u pozadini i, prema tome, nemaju pravi temelj svog vlastitog stanja - situaciju koja je prilično analogna numeričkoj analizi koja se oslanja o klasičnoj analizi za dokazivanje ispravnosti postupaka. Najviše se pozornosti pridaje problemu dokazivanja podudaranja između originala i diskretnog modela kako bi se osiguralo da je dobivena slika u određenom pogledu vjerna izvorniku. Jednostavni matematički primjer odnosi se na broj rupa u trodimenzionalnoj euklidskoj površini. Čovjek želi biti siguran da svaka rupa koja se pojavi na digitalnoj slici doista odgovara rupi u izvornom matematičkom objektu. Pogledajte Borwein & Devlin (2009) za više primjera. Međutim, kako se kaže, radi se neko djelo koje se ne želi oslanjati na klasičnu kontinuiranu pozadinu, već traži „ispravne“aksiomatizacije i / ili formalizacije geometrije piksela. Pogledajte Kulpa (1979) i, u novije vrijeme, Danielsson (2002) za neke lijepe primjere.vjeran izvorniku. Jednostavni matematički primjer odnosi se na broj rupa u trodimenzionalnoj euklidskoj površini. Čovjek želi biti siguran da svaka rupa koja se pojavi na digitalnoj slici doista odgovara rupi u izvornom matematičkom objektu. Pogledajte Borwein & Devlin (2009) za više primjera. Međutim, kako se kaže, radi se neko djelo koje se ne želi oslanjati na klasičnu kontinuiranu pozadinu, već traži „ispravne“aksiomatizacije i / ili formalizacije geometrije piksela. Pogledajte Kulpa (1979) i, u novije vrijeme, Danielsson (2002) za neke lijepe primjere.vjeran izvorniku. Jednostavni matematički primjer odnosi se na broj rupa u trodimenzionalnoj euklidskoj površini. Čovjek želi biti siguran da svaka rupa koja se pojavi na digitalnoj slici doista odgovara rupi u izvornom matematičkom objektu. Pogledajte Borwein & Devlin (2009) za više primjera. Međutim, kako se kaže, radi se neko djelo koje se ne želi oslanjati na klasičnu kontinuiranu pozadinu, već traži „ispravne“aksiomatizacije i / ili formalizacije geometrije piksela. Pogledajte Kulpa (1979) i, u novije vrijeme, Danielsson (2002) za neke lijepe primjere. Čovjek želi biti siguran da svaka rupa koja se pojavi na digitalnoj slici doista odgovara rupi u izvornom matematičkom objektu. Pogledajte Borwein & Devlin (2009) za više primjera. Međutim, kako se kaže, radi se neko djelo koje se ne želi oslanjati na klasičnu kontinuiranu pozadinu, već traži „ispravne“aksiomatizacije i / ili formalizacije geometrije piksela. Pogledajte Kulpa (1979) i, u novije vrijeme, Danielsson (2002) za neke lijepe primjere. Čovjek želi biti siguran da svaka rupa koja se pojavi na digitalnoj slici doista odgovara rupi u izvornom matematičkom objektu. Pogledajte Borwein & Devlin (2009) za više primjera. Međutim, kako se kaže, radi se neko djelo koje se ne želi oslanjati na klasičnu kontinuiranu pozadinu, već traži „ispravne“aksiomatizacije i / ili formalizacije geometrije piksela. Pogledajte Kulpa (1979) i, u novije vrijeme, Danielsson (2002) za neke lijepe primjere.

Također imajte na umu da se ove teorije ne bi trebale miješati s računalnim programima koji imaju sposobnost rasuđivanja o geometrijskim objektima. Ovo je dio istraživačkog područja automatiziranog rezonovanja - vidjeti Chou i sur. (1994.) za lijep uvod - a njegovi su osnovni predmeti dokazi, a ne nužno matematički predmeti o kojima se dokazuju.

1.4 Fizičari

Kao što je opće poznato, jedna od vrućih tema u fizici je potraga za objedinjavanjem kvantne (terenske) teorije i opće teorije relativnosti. Ako uspije, rezultirala bi čuvena „Teorija svega“. Kao što je podjednako poznato, najteži problem je riješiti kako se nositi s prostorom i vremenom. Kvantna (terenska) teorija zahtijeva prostor i vrijeme kao pozadinu, dok općenito relativnost strukturu prostora-vremena u velikoj mjeri određuje mase i prisutna energija. Jedan je izlaz - a većina odjeljka 3 bavi se takvim primjerima - pronaći „dublju“strukturu koja je u osnovi obje teorije i koja, u izvjesnom smislu, stvara prostor i vrijeme iz temeljnijih koncepata. Jasno je, da je takva teorija pronađena, ona ne bi proizvela samo "samo" model, već bi se zapravo smatrala stvarnim predstavljanjem stvarnosti. Većina ovih modela, nagađajući kako neki od njih postoje u ovom trenutku, ispada da je diskretna, pa stoga ovi prijedlozi u suprotnosti, npr. S logičarima, tvrde da su točan opis. U nedavnom neformalnom pregledu pogledajte Rovelli (2016), posebno poglavlje 11, "Kraj beskonačnosti".

Iz povijesne perspektive, valja dodati da je neki fizičar pokušavao otkriti kako mogu izgledati diskretni pandan postojećim klasičnim fizičkim teorijama. Obično su filozofske osnove takvog pokušaja prilično idiosinkratske. U odjeljku 2 bit će predstavljen jedan takav primjer. Tipični pokušaji obično nisu stvorili velike pomutnje, brzo su nestali u pozadini, ali svejedno sadrže neke zanimljive i relevantne ideje.

1.5 Filozofi

U prilično izravnom smislu, sve gore navedeno uključuje i filozofe. Rasprave o logičkim sustavima, o utemeljenim matematičkim teorijama, o paradoksima Zenova, o supertaksama, o tome što je model i reprezentacija, …, obično su teme koje pripadaju domeni filozofa. Osim toga, oni iznose argumente iz drugih filozofskih i / ili znanstvenih područja. Pretpostavimo da postoje izvrsni argumenti iz epistemološke ili ontološke perspektive, tvrdeći da svijet treba smatrati diskretnim, onda ti argumenti mogu podržati potragu za takvim diskretnim svjetonazorom, uključujući razradu diskretne geometrije. Čak i ako s matematičkog stajališta teorija izgleda prilično nespretno ili je teško raditi s njom, svejedno, zbog filozofskih razmatranja, mora biti tako. Bez takvih argumenata za potporu nečiji položaj u takvom slučaju bio bi mnogo slabiji. Na kraju, oni također obraćaju pozornost na povijesnu stranu stvari. Prilično je upadljivo, ali ovo ovdje neće biti predstavljeno, jer ćemo vidjeti da je tijekom naše povijesti predloženo mnogo prijedloga kako bi se pokazalo da prostor, vrijeme i čovjeka treba smatrati konačnim i / ili diskretnim. Vidi, npr., Sorabji (1983) i Moore (1993) za izvrsne povijesne preglede, White (1992) za razvoj dvadesetog stoljeća, te Franklin (2017) i Lyons (2017) za neke nedavne priloge.vidjeti da su tijekom naše povijesti podneseni mnogi prijedlozi kojima bi se pokazalo da prostor, vrijeme i čovjeka treba smatrati konačnim i / ili diskretnim. Vidi, npr., Sorabji (1983) i Moore (1993) za izvrsne povijesne preglede, White (1992) za razvoj dvadesetog stoljeća, te Franklin (2017) i Lyons (2017) za neke nedavne priloge.vidjeti da je tijekom naše povijesti izneseno mnogo prijedloga koji bi pokazali da prostor, vrijeme i čovjeka treba smatrati konačnim i / ili diskretnim. Vidi, npr., Sorabji (1983) i Moore (1993) za izvrsne povijesne preglede, White (1992) za razvoj dvadesetog stoljeća, te Franklin (2017) i Lyons (2017) za neke nedavne priloge.

Kao što je rečeno, tih pet skupina su najvažnije, tako da cjelovitost nije dokazana, niti se pokazala međusobna isključivost. Ovaj kratki pregled trebao je samo navesti različite namjere, motivacije, svrhe i metodologije uključenih strana.

2. Diskretne geometrije kao izravni analozi

Prvo pitanje koje treba riješiti je što će biti klasična teorija. Kako je većina izvršenih poslova ograničena na ravninu, ova prezentacija bit će ograničena i na određeni slučaj (u većini prijedloga proširenje na geometrije više dimenzije smatra se potpuno izravnim). Ali to nije dovoljno, jer postoje različiti ruti koje se trebaju prikazati u prikazu geometrije ravnine. Jedna je mogućnost da se izvrši bilo kakva aksiomatizacija (euklidske) ravnine, recimo, Hilbertove formulacije iz 1899. godine u njegovoj Grundlagen der Geometrie - i pokaže kakve se promjene trebaju imati (a) konačni modeli aksiomatske teorije i (b) konačni modeli koji približavaju klasične (beskonačne, euklidske) modele što je moguće bliže. Jedan od prvih pokušaja datira iz kasnih 40-ih,ranih 50-ih i stoga će ovdje biti predstavljen kao primjer (u smislu da ima i sve potrebne pozitivne kvalitete kao i čudnosti koji izgledaju zajedno s takvim pokušajima). Konkretnije, to se odnosi na djelo Paula Kustaanheimoa u djelomičnoj suradnji s G. Järnefeltom u razdoblju između 1949. i 1957. Dalje će se raspravljati o nedavnom prijedlogu Patricka Suppesa, uz potpuno drugačije stavove, i nešto starijem prijedlogu Ludwika Silbersteina, gdje je geometrija izravno ugrađena u fizikalnu teoriju, posebna teorija relativnosti da budemo precizni. Završni dio ovog dijela bavi se nekim specifičnim problemima i probnim rješenjima.odnosi se na rad Paula Kustaanheimoa u djelomičnoj suradnji s G. Järnefeltom u razdoblju između 1949. i 1957. Dalje će se raspravljati o nedavnom prijedlogu Patricka Suppesa, uz potpuno drugačije stavove, i nešto starijem prijedlogu Ludwika Silbersteina, gdje je geometrija izravno je ugrađena u fizikalnu teoriju, posebna teorija relativnosti da budemo precizni. Završni dio ovog dijela bavi se nekim specifičnim problemima i probnim rješenjima.odnosi se na rad Paula Kustaanheimoa u djelomičnoj suradnji s G. Järnefeltom u razdoblju između 1949. i 1957. Dalje će se raspravljati o nedavnom prijedlogu Patricka Suppesa, uz potpuno drugačije stavove, i nešto starijem prijedlogu Ludwika Silbersteina, gdje je geometrija izravno je ugrađena u fizikalnu teoriju, posebna teorija relativnosti da budemo precizni. Završni dio ovog dijela bavi se nekim specifičnim problemima i probnim rješenjima. Završni dio ovog dijela bavi se nekim specifičnim problemima i probnim rješenjima. Završni dio ovog dijela bavi se nekim specifičnim problemima i probnim rješenjima.

2.1 Standardna aksiomatizacija za euklidsku geometriju ravnina

Kako izgleda aksiomatizacija tipa Hilbert? Prvo što morate učiniti je popraviti (formalni) jezik. Obično se bira logika predikata prvog reda s identitetom, tj. Jezik koji sadrži imena za varijable (i, eventualno, za konstante), imena za funkcije (ako je potrebno), imena za predikate, uključujući predikat identiteta, logičke poveznice i kvantifikatore, i skup gramatičkih pravila za oblikovanje rečenica. Ograničenje logike prvog reda znači da se samo varijable mogu kvantificirati. Ne ulazeći u pojedinosti, treba napomenuti da se može odabrati ekspresivniji jezik, na primjer, gdje je dopušteno i kvantificiranje predikata.

Nakon što je jezik odabran, sljedeći je problem odrediti primitivne pojmove jezika. Za ravnu euklidsku geometriju to su točke i linije, iako se ponekad linije definiraju kao posebni skupovi točaka. Nakon toga moraju biti odabrani osnovni predikati. U ovom trenutku postoji niz različitih aksiomatizacija. Najčešće korišteni predikati su: odnos incidencije („točka (a) leži na liniji (A)“), odnos između („točka (a) leži između točaka (b) i (c) "), odnos jednake podudarnosti (" udaljenost od točke (a) do (b) jednaka je udaljenosti od točke (c) do (d) "), odnos kongruence ("dio pravca, određen dvjema točkama (a) i (b) kongruentan je dijelu linije, određenom s dvije točke (c) i (d)”). Napominjemo da nije nužno da se svi događaju u aksiomatizaciji. Primjerice, ako linije nisu uvedene kao primitivni izrazi, tada obično nema incidencijalnog odnosa.

Sljedeći korak je uvođenje skupa aksioma kako bi se odredila određena svojstva navedenih odnosa. Primjerice, ako se u aksiomatizaciji koristi odnos incidencije, tada su tipični aksiomi za taj odnos sljedeći:

  • Kroz dvije točke može se povući točno jedna ravna linija.
  • Na svakoj ravnoj crti postoje najmanje dvije točke.
  • Postoje barem tri točke koje nisu na istoj liniji.

Na kraju, traži se interpretacija ili model aksiomatizacije. To znači da tražimo značenje primitivnih pojmova, poput točaka i linija, funkcija (ako ih ima) i predikata na takav način da aksiomi postanu istinite izjave u odnosu na interpretaciju. Iako često imamo na umu određenu interpretaciju kada razvijamo aksiomatizaciju, to ne isključuje mogućnost postojanja prilično neočekivanih modela. U određenom smislu finitistički se modeli oslanjaju na tu mogućnost kao što pokazuje sljedeći odlomak.

2.2 Finska škola i prirodna geometrija

Paul Kustaanheimo bio je član grupe matematičara sa sjedištem u Helsinkiju, koje su svi zanimali neki oblik konačne geometrije. Najistaknutiji članovi bili su G. Järnefelt, P. Kustaanheimo i R. Lehti. Ishodište njihovog nadahnuća nalazi se u radu JT Hjelmsleva koji je razvio takozvanu "prirodnu" geometriju ("Die natürliche Geometrie", vidi svoju knjigu iz 1923.), koja se ponekad naziva i "fizička" geometrija. Njihov pristup nije znao nikakav nastavak, jedna iznimka su Reisler i Smith (1969). Međutim, na neki čudan način postoji veza s Suppesovim pristupom o kojem će se kasnije raspravljati u smislu da se geometrija ponajprije gleda kao (skoro) eksperimentalna znanost, tj. Da se geometar bavi vladarima i kompasima, stvara ravne površine za mjerenje, i tako dalje. Naravno,budući da mi ljudi možemo manipulirati konačnim predmetima samo na konačan način, mora rezultirati diskretnom geometrijom.

Kustaanheimov prijedlog - ovdje grubo ocrtavam izvrsnu prezentaciju njegova prijedloga u Welti (1987: 487–521), koja je daleko pristupačnija od izvornog djela - temelji se na sljedećem zaključku. Standardni model klasične aksiomatske teorije euklidske geometrije sastoji se od kartezijanskog produkta stvarnih brojeva sa sobom. Ili se, kao što se obično formulira, točka u ravnini preslikava na par stvarnih brojeva, njegovih koordinata. Stvarni brojevi imaju matematičku strukturu beskonačnog polja. Ali postoje i konačna polja. Pa zašto ne zamijeniti polje beskonačnog stvarnog broja s konačnim poljem, takozvanim Galoisovim poljem?

Najbolji rezultat koji bi se mogao dobiti je da svako konačno Galoisovo polje zadovoljava većinu aksioma euklidske geometrije. To, međutim, nije slučaj. Ishod Kustaanheimovog istraživanja nešto je složeniji:

  • Neće ispuniti sva konačna polja. Ako nazovemo (p) broj elemenata u domenu konačnog polja, tada (p) mora zadovoljiti neke uvjete. To znači da su samo konačna polja određene veličine, tj. Specifična vrijednost za (p), potencijalni kandidati.
  • Za "dobre" vrijednosti (p), puni model neće raditi. Kao primjer uzmite ravne linije. Prema njihovoj definiciji u konačnom polju, ispada da postoje dvije vrste ravnih linija: otvorene i zatvorene. Potonji krše neke od aksioma, stoga ograničavate model na otvorene. Ovo ograničenje modela naziva se euklidska „jezgra“modela.

Ukratko, ne može se tvrditi da će to učiniti svako ograničeno polje, već samo neki i, u tom slučaju, samo njegov dio.

Ovaj pristup otvara neka važna filozofska pitanja:

  • Jasno je da je veličina modela važna značajka. Ima li to smisla? Ili, negativno, što znači da polja različite veličine nisu prikladna kao modeli? Pretpostavimo kao misaoni eksperiment da je euklidska geometrija dobar model za geometrijsku strukturu svemira. Ima li smisla tvrditi da svemir mora sadržavati točno (p) točaka (ne (p-1), a ne (p + 1))? Čini se da se nova vrsta pitagorejanizma skriva iza ugla.
  • Primjer ravnih linija pokazuje da postoje „lijepi“geometrijski objekti (oni koji zadovoljavaju većinu aksioma) i „loši“geometrijski objekti. Ignoriranje loših možda je matematički zanimljiva strategija, ali to ih ne eliminira iz punog modela. Drugim riječima, iako ne igraju nikakvu relevantnu ulogu u „jezgri“modela, oni su tamo. Koje je značenje toga? Za nastavak gornjeg misaonog eksperimenta, pitanje je što odgovara "lošim" objektima u svemiru? Ako ne odgovaraju ničemu, zašto su nam prije svega potrebni da pronađemo "dobre" predmete?

U obranu Kustaanheimovog pristupa mora se reći da su veze između beskonačnih i konačnih modela obično mnogo složenije nego što se očekuje. Konačni model nije samo umanjena verzija beskonačnog modela. Vrlo često se pojavljuje drugačija struktura. Kao analogiju uzmite (beskonačni skup) prirodnih brojeva. Uzmite konačni dio, recite brojeve 1 do (L). U konačnom slučaju ima smisla razgovarati o malim i velikim brojevima u usporedbi s (L). To klasično nije moguće. Tako se pronalazi dodatna struktura. Metaforički rečeno, čineći stvari konačnim, pojavljuje se detaljnija ili „sitnozrnata“struktura koja se briše u prisutnosti beskonačnosti. Možda je razlika između dobrih i loših geometrijskih objekata takva dodatna značajka koja nestaje u klasičnom euklidskom modelu. Stoga možda i brojevi premije imaju značenje. Ali ostaje pitanje: je li to nova vrsta pitagorejanizma? Više detalja o Kustaanheimovom pristupu nalazi se u dopunskom dokumentu: Konačna polja kao modeli euklidske ravnine geometrije.

2.3 Konstruktivan pristup

Originalnost Suppesovog pristupa počiva na činjenici da on predlaže da se geometrija formulira kao konstrukcijska praksa, usporediva s Hjelmsljevim djelom, ali sasvim izrazitim. Konstrukcija se ovdje treba razumjeti u elementarnom smislu izrade crteža ili dijagrama, koristeći određene instrumente, poput vladara i / ili kompasa, a ne u modernom smislu u osnovama, tj. Konstruktivnim, aksiomatskim temeljem za geometriju, Dva su elementa važna iz (stroge) finitističke perspektive. Prvo, konstrukcije se mogu formulirati na način bez kvantifikata; izraz "povući crtu" ne znači da trebamo govoriti o kompletnom nizu linija u ravnini. "Nacrtaj crtu" rezultirat će određenim konačnim objektom, naime fragmentom linije na, primjerice, komadu papira. Drugo, svi razmatrani modeli bit će konačni, bez obzira na to koje se konstrukcije izvode, početna točka uvijek će biti konačan skup točaka.

Suppes razmatra dvije osnovne operacije: operaciju (B), koja odgovara dijeljenju linije (ab) i operaciju (D), koja odgovara udvostručavanju crte (ab). Korak (C_ {i}) u konstrukciji sastoji se od tri elementa: prvi element je (nova) točka koju treba izgraditi, drugi element je par točaka koji su već prisutni, a treći je element bilo (B) ili (D), u skladu s odabranom operacijom. Početni položaj sastoji se od tri zadane točke, (a, b) i (c).

Primjer: razmotrite konstrukciju (((d, ac, B), (e, bd, D))) koja se sastoji od dva koraka. Prvi korak kaže da započnemo s (ac) i konstruiramo sredinu (d), a u drugom koraku uzimamo segment (bd) i udvostručimo ga. Dijagramski prikaz jasno daje do znanja što se događa:

[Točke a, b i c tvore trokut, dijelovi linija ab i bc su čvrste linije, linijski segment bc je isprekidan. Točka d leži na sredini na liniji bc. Isprekidani segment bd proteže se dalje do točke e.]
[Točke a, b i c tvore trokut, dijelovi linija ab i bc su čvrste linije, linijski segment bc je isprekidan. Točka d leži na sredini na liniji bc. Isprekidani segment bd proteže se dalje do točke e.]

Slika 1

Polazeći od trostruke (a, b) i (c), izgradili smo paralelogram abce.

Naravno, samo nabrajanje skupa konstrukcija nije dovoljno da bismo govorili o geometrijskoj teoriji, pa mora pokazati, kao što to Suppes stvarno radi, da je formalno-aksiomatski tretman moguć. Dovoljno je navesti skup potrebnih aksioma o operacijama (B) i (D), tako da se može dokazati da je slika izvučena u gornjem primjeru doista paralelogram. Osim toga, dokazana je teorema o reprezentaciji takva da se točkama pripisuju racionalne koordinate.

Moraju se dati dva važna komentara. Prvo, ostaje nam pokazati da se ta elementarna geometrijska teorija može proširiti sve do cjelovite geometrijske teorije koja se može smatrati vjerojatnom alternativom klasičnoj geometriji. Suppes sam izgleda prilično samouvjereno dok piše:

moje vlastito uvjerenje je da se može preći cijelu udaljenost, ili gotovo gotovo cijela udaljenost, na čisto finitistički način,… (2001: 136)

Drugo, usredotočenost na konstrukcije otvara nov način rješavanja problema funkcije udaljenosti. Ne trebamo opću funkciju udaljenosti, ali za svaki zasebni slučaj moramo biti u mogućnosti dodijeliti koordinate točkama prisutnim u dijagramu i ništa više. Ostaje za vidjeti tek mogu li se osnovne operacije (B) i (D) produžiti bez gubitka ovog važnog svojstva.

U odjeljku 2.5 vratit ću se problemu na daljinu i predstaviti neka druga rješenja koja su postavljena. Prvo, međutim, sasvim drugačiji pristup s fizičke strane.

2.4 Izravan fizički primjer: diskretna verzija posebne teorije relativnosti

1936. Silberstein predlaže prilično jasnu diskretnu teoriju. Jedino što koristimo u fizici su oznake, (x, y, z, t) i, kad su diskretne, uvijek se mogu označiti cijelim brojevima. U kratkoj knjižici koja objedinjuje pet predavanja na ovu temu, Silberstein se ograničava na jedan prostorni i jedan vremenski parametar. Iako priznaje problem (1936: 15) viših dimenzija, on se time ne bavi. Dakle, problem udaljenosti postaje prilično trivialni jer se na liniji diskretna udaljenost i funkcija euklidske udaljenosti podudaraju. Njegov je prijedlog elementarni u smislu da je najmanja udaljenost, tj. udaljenost između dviju susjednih točaka (x_ {i}) i (x_ {i + 1}) jednaka je 1, a isto tako i vremenska koordinata, tako da 1 postaje maksimalna brzina, jednaka (c), pa (c = 1). Analozi za derivate definirani su, diferencijalne jednadžbe zamijenjene su jednadžbama razlika, analogija u smislu konačnih razlika izvedena je iz Taylorove serije i većina klasične fizike može se oponašati. Vrijedno je spomenuti da predavanja uključuju grubi izračun veličine chronona, tj. Najmanje jedinice vremena, i hodona, tj. Najmanju jedinicu (jednodimenzionalnog) prostora. Pretpostavimo da je (a) broj hodona u jednom centimetru i (b) broj kronona u jednoj sekundi, tada je) frac {(1 / a)} {(1 / b)} = / frac {b} {a} = c = 3.10 ^ {10} tekst {cm / s,} quad / tekst {ili} quad b = 3.10 ^ {10} cdot a.) Ako ispravimo niži ograničenje za (a), recimo (10 ^ {- 8}) cm (ovo je zapravo Silbersteinov prijedlog!), a zatim (b = 3.10 ^ {10} cdot a / geq 3.10 ^ {18}), što je broj kronona u jednoj sekundi. Dalje primjenjuje diskretni prostorno-vremenski okvir na posebnu relativnost i ovdje se nalazi analog. Prilično je zanimljiv ovaj pristup činjenica da se pojavljuju dodatni uvjeti koji u klasičnom slučaju nisu potrebni. Evo jedne ilustracije.

Specijalna teorija relativnosti oslanja se na izraz, koji je ovdje ograničen na jednu prostornu dimenziju, tj. (X ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2}). Stoga svaka promjena novih koordinata (x '), (t') mora zadovoljiti (x ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2} = x '^ {2} - c ^ {2} t '^ {2}). Pretpostavimo da pišemo (x = ax '+ bt') i (t = cx '+ dt'), tada će obrnuti odnosi biti [x '= / frac {(dx' - bt ')} {(ad - bc)} quad / text {i} quad t '= / frac {(ax' - ct ')} {(ad - bc)}.) Ako ipak, (x), (x '), (t) i (t') svi moraju biti cijeli brojevi, tada nužno (ad - bc = 1). Ovaj posljednji uvjet čista je posljedica činjenice da razmišljamo diskretno, koristeći cijele brojeve.

2.5 Neka djelomična rješenja i problemi koje treba riješiti

U ovom ćemo odjeljku biti razmotrena tri specifična problema koja je potrebno riješiti ako se bilo koji prijedlog diskretne geometrije shvati ozbiljno: problem funkcije udaljenosti, problem dimenzije, problem anizotropije i problem identifikacije.

Problem s funkcijom udaljenosti. Postoji prilično razorni argument koji pokazuje nemogućnost prave funkcije daljine za diskretnu geometriju. Potječe iz 1949. godine, a prvi put ga je formulirao Hermann Weyl:

Ako je kvadrat izgrađen od minijaturnih pločica, tada postoji onoliko pločica duž dijagonale koliko ih je uz stranice; stoga bi dijagonala trebala biti jednaka duljini sa stranom. (Weyl 1949: 43)

Formulirana su najmanje tri rješenja ovog problema.

Van Bendegem (1987) tvrdio je da u konačnoj geometriji treba biti osnovna činjenica da linije i točke imaju produžetke. Konkretno, linije trebaju imati konstantnu širinu (neovisnu o orijentaciji crte) (N_ {D}) Dakle (N_ {D}) predstavlja veliki (konačni) broj, koji odgovara broju kvadrati koji tvore (N_ {D}). S obzirom na liniju, širina je uvijek definirana okomito na tu liniju. Pretpostavimo da linija ima orijentaciju koja odgovara kutu (alfa) između linije i osi (x). Tada će širina (N_ {D}) tog retka, kada se projicira na osi (x), biti (lijevo) frac {N_ {D}} { sin / alfa} desno]) pri čemu izraz ([x]) označava najveći cijeli broj manji od ili jednak (x).

[mreža s dvije paralelne linije koje idu od gornje lijeve dolje desno, blizu dna je vodoravna linija koja prelazi obje linije (njegov kut s lijevom paralelnom linijom označen je alfa simbolom). Iznad horizontalne segmente povezuje dvije paralelne linije, a drugi segment linije (N D / sin (alfa) ima strelicu koja upućuje na to) ide od svog sjecišta s desnom paralelnom linijom do točke na lijevoj paralelnoj liniji ispod (N D ima strelica koja upućuje na ovaj segment linije. Kut između prvog segmenta linije i lijeve paralelne crte označen je alfa simbolom.]
[mreža s dvije paralelne linije koje idu od gornje lijeve dolje desno, blizu dna je vodoravna linija koja prelazi obje linije (njegov kut s lijevom paralelnom linijom označen je alfa simbolom). Iznad horizontalne segmente povezuje dvije paralelne linije, a drugi segment linije (N D / sin (alfa) ima strelicu koja upućuje na to) ide od svog sjecišta s desnom paralelnom linijom do točke na lijevoj paralelnoj liniji ispod (N D ima strelica koja upućuje na ovaj segment linije. Kut između prvog segmenta linije i lijeve paralelne crte označen je alfa simbolom.]

Slika 2

Udaljenost (d) između dviju točaka (p) i (q) tada se definira kao broj kvadrata u pravokutniku formiranom linijom od (p) do (q) i širina (N_ {D}), podijeljeno s (N_ {D}). Ideja je da, iako u diskretnoj geometriji linije moraju nužno imati širinu, to nije bitna značajka, pa se može podijeliti. Stoga:

[d (p, q) = N_ {L} cdot / lijevo) frac {N_ {D}} { sin / alfa} desno] (mathrm {div}, N_ {D}).]

(N_ {L}) ovdje odgovara broju slojeva paralelnih osi (x) - osi između (p) i (q) i (n (mathrm {div}, m))) je kvocijent podjele (n) na (m.)

Kao ilustraciju, razmotrite Weylov problem.

[rešetka s dva dugačka pravokutnika, jednim usmjerenim vrhom (s oznakom 'p') / dnu (na dnu oznake 'q') na duljini osi i jednim orijentiranim lijevo (s oznakom 'q') / desno (na dnu oznake 'r') os; preklapaju se s donje strane jedne i lijeve strane druge. Dugi paralegram preklapa se s gornje strane jedne i desne strane druge. Duge strane oba pravokutnika označene su s N L, a kratke stranice N D. Segment vodoravne linije s jedne strane paralegrama na drugu označen je s '[sqrt (2) N d]'. Kut sjecišta između paragrama i lijevog / desnog pravokutnika označen je s 'alfa = pi / 4.]
[rešetka s dva dugačka pravokutnika, jednim usmjerenim vrhom (s oznakom 'p') / dnu (na dnu oznake 'q') na duljini osi i jednim orijentiranim lijevo (s oznakom 'q') / desno (na dnu oznake 'r') os; preklapaju se s donje strane jedne i lijeve strane druge. Dugi paralegram preklapa se s gornje strane jedne i desne strane druge. Duge strane oba pravokutnika označene su s N L, a kratke stranice N D. Segment vodoravne linije s jedne strane paralegrama na drugu označen je s '[sqrt (2) N d]'. Kut sjecišta između paragrama i lijevog / desnog pravokutnika označen je s 'alfa = pi / 4.]

Slika 3.

Imamo pravokutni trokut pqr takav da su radi jednostavnosti desne strane (pq) i (qr) jednake jedna drugoj i poravnane su s osovinama rešetke. Pretpostavimo da je broj kvadrata na desnim stranama (N_ {L}). Zatim

) početak {poravnati *} d (p, q) & = d (q, r) & = N_ {L} cdot [N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L}, \\ / kraj {poravnati}})

jer, naravno, ([N_ {D}]) = (N_ {D}). Međutim, hipotenuza ima kut (alpha = / frac { sqrt {2}} {2}). Tako,) početak {poravnati *} d (p, r) & = N_ {L} cdot / lijevo) frac {N_ {D}} { sin / alfa} desno] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot) sqrt {2} cdot N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot) sqrt {2}] _ {n}, / kraj {poravnaj *})

gdje ([r] _ {n}) znači broj (r) do (n) decimalnih mjesta. Nisu potrebni proračuni koji bi pokazali da (bliska aproksimacija) pitagorejski teorem vrijedi, tj. (D ^ {2} (p, q) + d ^ {2} (q, r) = d ^ {2} (p, r)). Konačno, postoji lako objašnjenje zbog čega se pojavljuje Weylov problem: odgovara ograničenom slučaju (N_ {D} = 1). Kad je (N_ {D} = 1), tada je () sqrt {2} cdot N_ {D}] =) sqrt {2}] = 1), dakle (d (p, r) = N_ {L} cdot 1 = N_ {L}) i Pitagorin teorem ne uspijeva.

Iako uvođenje širine (N_ {D}) očito rješava problem, jednako je jasno u čemu su nedostaci. Bez klasične euklidske geometrije u pozadini, doista ne postoji način da se gradnja započne. Ne postoji definicija crte s obzirom na samu diskretnu geometriju, a, prije svega, projicirana širina na (x) - osi pravca (L) izračunava se prema euklidovoj funkciji udaljenosti koja je nije izričito navedeno. Ukratko, postoji mješavina dviju funkcija udaljenosti.

Peter Forrest (1995.) predstavlja još jedno rješenje. On započinje uvođenjem obitelji diskretnih prostora (E_ {n, m}), gdje (n) odgovara "klasičnoj" dimenziji prostora, a (m) je faktor skale, koji treba razumjeti kao slijedi: (m) je parametar koji treba odlučiti kada su dvije točke ili nisu susjedne, što je osnovni (i jedini) koncept njegove geometrije. Tako su u slučaju (n = 2) točke označene parovima cijeli brojevi ((i, j)) i dvije točke ((i, j)) i ((i ', j')) su susjedne ako su različite, i ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}).

Jednom kada je odredeno susjedstvo, lako se može izvesti funkcija udaljenosti: udaljenost između (p) i (q), (d (p, q)) je najmanji broj "veza" u lanac točaka koji povezuju (p) i (q) tako da je svaka jedna uz drugu. Dalje nema problema pokazati da je ravna linija koja prolazi kroz dvije točke onaj lanac točaka koji ima najkraću udaljenost.

Ako parametar (m) ima malu vrijednost, tada rezultirajuća funkcija udaljenosti nije euklidska. Konkretnije, ako je (m = 1), tada imamo, još jednom, situaciju koju je prikazao Weyl. Ali ako, recimo, (m = 10 ^ {30}) (brojka koju je predložio sam Forrest), tada se situacija mijenja. Tada je moguće pokazati da će funkcija udaljenosti na diskretnom prostoru približavati euklidskoj udaljenosti funkciji onoliko blizu koliko želi. Bez prikazivanja svih pojedinosti može se pokazati da su euklidska funkcija udaljenosti (d_ {E}) i diskretna funkcija udaljenosti (d) povezane faktorom skale, tj. (D_ {E} frac { (p, q)} {d (p, q)} = / mbox {konstanta} (m)), gdje je konstanta određena vrijednošću (m). Još jednom nisu potrebni proračuni koji bi pokazali da originalna funkcija udaljenosti (d) zadovoljava pitagorejsku teoremu.

Ako se u ovom pristupu traži slaba točka, tada neminovno treba završiti s osnovnim pojmom susjednosti. Koji je razlog definiranja adekvatnosti u euklidskom smislu? Jer, na kraju krajeva, uvjet poput ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}) izgleda kao euklidski. Mogući izlaz predložen je u Van Bendegem (1997). Jedna od prednosti diskretnog pristupa - i, zapravo, čini se da to općenito vrijedi za stroge finitističke prijedloge - je da se definicije koje su klasično ekvivalentne razlikuju u strogom finističkom okviru. Dakle, točnije, krug se može definirati na (najmanje) dva načina:

  1. kao skup točaka (p) koje imaju fiksnu udaljenost do fiksne točke,
  2. kao skup točaka (p) takav da, s obzirom na segment fiksne linije (ab), kut formiran s (apb) je pravi kut.

Klasično gledano, ove su dvije definicije jednake. Međutim, oni nisu u diskretnoj geometriji. Ako je npr. Funkcija udaljenosti definirana kao najmanji broj hodona koji spajaju dvije zadane točke, tada dvije definicije nisu jednake. Koristeći definiciju (a), krug će imati oblik kvadrata (dobro poznata činjenica u tzv. Taksikabnoj geometriji) i stoga je beskorisno definirati susjednost kao što je gore izvedeno. Definicija (b) s druge strane stvara figuru koja može približiti euklidskom krugu onoliko blizu koliko netko voli. Na taj je način Forrestova definicija susjednosti prihvatljiva unutar diskretnog okvira, jer se ne upućuje na euklidsku funkciju udaljenosti.

Treće rješenje treba naći u Crouseu i Skufci (2019.), koje predstavlja zanimljivu sintezu dva prethodna prijedloga za rješavanje problema funkcije udaljenosti. Ono što oni sugeriraju je vrsta fizičke interpretacije koja omogućuje tri stvari. Prvo, omogućava određivanje najnižih veličina za hodon i kronene u smislu duljine i vremena Plancka. Drugo, predlaže se definiranje udaljenosti od A do B u odnosu na udaljenost koju je "testni" hodon prešao (u diskretnim minimalnim koracima, naravno). To odmah rješava problem s anizotropijom jer nijedan smjer nije povlašten. Treće, ne pretpostavlja apriorno postojanje mreže (ili slične strukture) kao apsolutnog referentnog okvira. To otvara mogućnost za preformulaciju posebne teorije relativnosti, što i oni čine. Iako se Silbersteinov pristup (vidi odjeljak 2.4 gore) ne spominje, on je jasno povezan i može se smatrati poboljšanjem, jer je fizička osnova filozofski bolje motivirana.

Ako se ovi prijedlozi i prijedlozi mogu smatrati adekvatnim odgovorima na Weylov problem problema, nedavno je u Fritzu (2013) pronađen još jedan fini primjer neprolaznog pristupa (i prateće teoreme). Započnite apstraktnom formulacijom periodičnog grafikona, tj. Skupa vrhova i skupa rubova. U praktične svrhe, periodičnost se može smatrati kristalnom strukturom. To znači da imamo osnovnu konačnu jedinicu koja može obuhvatiti cijeli grafikon kroz iteratirane kopije te osnovne jedinice. Uzmimo za primjer dvodimenzionalnu strukturu. Oznake se mogu označiti ili "ponderirati" s dva broja ((i, j)). Putanja ((f_ {n}) _ {n / u N}) je niz utega vrhova, tako da vrhovi nose (f_ {n}) i (f_ {n + 1}) povezani su rubom. Dalje definiramo (makroskopsku) brzinu takve putanje kao

[u = / lim_ {n / rightarrow / infty} frac {(f_n - f_0)} {n},)

što zvuči potpuno prihvatljivo. Primjer: putanja takva da će (f_ {n} = (n, 0)), počevši od (f_ {0} = (0, 0)) imati makroskopsku brzinu 1, kao (f_ {n} - f_ {0} = (n, 0)) i, podijeljeno s (n), ostaje (1, 0). Ne upuštajući se u pojedinosti, on tada pokazuje da geometrijska struktura svih (makroskopskih) brzina u takvom grafu ne može odgovarati onome u euklidskom prostoru. Razlog je vrlo jednostavan (iako dokazi nisu): na grafikonu će se uvijek izdvojiti, "posebni" smjerovi i anizotropija ostat će detektirani čak i na makroskopskoj razini. Stoga je isključen prijelaz s diskretne razine na makroskopsku, kontinuiranu, euklidsku i izotropnu razinu. Ovo je doista zanimljiv rezultat jer baca sjenu na sve pokušaje upotrebe izravne,često prilično naivan prijelaz s diskretne na kontinuiranu razinu. Istovremeno se zalaže za složenije prijelaze s mikroskopske na makroskopsku razinu, npr. Uzimajući u obzir širinu crte.

Problem dimenzije. Ovom problemu se ne pridaje puno pažnje, iako je osnovni. Ako se ravnina sastoji od diskretnog skupa elemenata, hodona ili atoma, tada taj skup mora imati dimenziju nulu. Jer, da bi se odredila dimenzija, ovaj skup mora biti opremljen topologijom, a jedini mogući kandidat je diskretna topologija. To znači da je dimenzija jednaka nuli. Bilo koji od njih uzima opciju da jednostavno odbaci pojam dimenzije na osnovu argumenta da pojam dimenzije pretpostavlja koncept kontinuiteta i topologije, pa stoga nema konačno značenje. Ili se traži analogni, ali uopće nije jasno što bi to moglo biti. Nešto što ne bi trebali pokušati učiniti jest izvući pojam dimenzije iz odnosa uređenja. Pretpostavimo da su hodoni označeni cijelim brojevima ((i,j)) u nekom odgovarajućem koordinatnom sustavu, tako da je (- L / le i), (j / le L), gdje je (L) neka gornja granica. Tada su mogući sasvim različiti odnosi između uređenja. Jedna je mogućnost definirati ((i, j) lt (k, l)) ako i samo ako (i + j / lt k + l). Ali druga je mogućnost definirati ((i, j) lt (k, l)) ako i samo ako je ili ((i / lt k) ili, ako (i = k), tada (j / lt l). Stoga zahtijeva dodatne argumente da bi tvrdio da među svim mogućim odnosima redoslijeda na određenom skupu jedan i samo jedan imaju poseban status. Međutim, u odjeljku 3 vidjet ćemo da se pomoću alata teorije grafova doista može dati definicija dimenzije.l)) ako i samo ako (i + j / lt k + l). Ali druga je mogućnost definirati ((i, j) lt (k, l)) ako i samo ako je ili ((i / lt k) ili, ako (i = k), tada (j / lt l). Stoga zahtijeva dodatne argumente da bi tvrdio da među svim mogućim odnosima redoslijeda na određenom skupu jedan i samo jedan imaju poseban status. Međutim, u odjeljku 3 vidjet ćemo da se pomoću alata teorije grafova doista može dati definicija dimenzije.l)) ako i samo ako (i + j / lt k + l). Ali druga je mogućnost definirati ((i, j) lt (k, l)) ako i samo ako je ili ((i / lt k) ili, ako (i = k), tada (j / lt l). Stoga zahtijeva dodatne argumente da bi tvrdio da među svim mogućim odnosima redoslijeda na određenom skupu jedan i samo jedan imaju poseban status. Međutim, u odjeljku 3 vidjet ćemo da se pomoću alata teorije grafova doista može dati definicija dimenzije.

Problem izotropije. Ako je ravnina izgrađena od kvadratnih hodona, kao u gornjem stavku, tada su hodoni raspoređeni na takav način da svaki hodon dodiruje četiri druga hodona, tj. Da se ravnina može modelirati kao kvadratna mreža, tada je očito da postoje preferirani smjerovi, u ovom slučaju bit će dva preferirana smjera. Međutim, ako se umjesto kvadrata šesterokut uzima kao hodon, postoje tri preporučena smjera. Stoga, bez obzira koji oblik je hodon, bit će poželjni smjerovi, a to znači da je prostor anizotropan. Imajte na umu da ovi slučajevi nisu ništa drugo do posebni slučajevi općeg pristupa Tobiasa Fritza, koji je gore spomenut. Međutim, za fizičke primjene željeli bismo izotropiju (ili barem što bliže).

Moguća su dva pristupa koji ne spadaju u Fritz-ovu teoremu. Ili su hodoni točno određenog oblika ili ih nemaju. U prvom slučaju je sugerirano da umjesto redovitih periodičnih oblaganja ravnine treba tražiti nepravilne aperiodične popločavanje, poput Penroseove obloge.

[penrose pločica patter, veliki broj nekoliko različitih vrsta paragrama koji se međusobno spajaju u grupe od 10 kako bi tvorili više 10-jednostranih figura i skupina od 3 kako bi tvorili više isprepletenih 6-sided figure]
[penrose pločica patter, veliki broj nekoliko različitih vrsta paragrama koji se međusobno spajaju u grupe od 10 kako bi tvorili više 10-jednostranih figura i skupina od 3 kako bi tvorili više isprepletenih 6-sided figure]

Slika 4

Iako nisu dostupni razrađeni primjeri, čini se da je napad napada obećavajući. U slučaju Penroseovog popločanja zanimljivo je vidjeti da više nema klasično ravnih linija, upravo zbog aperiodičnosti. U drugom slučaju nejasnost je mogući izlaz. Kao što su Peter Forrest u svojim (1995) i Crouse i Skufca u svojoj (2019.) branili, cjelokupna ideja specifičnog prikaza diskretnog prostora, npr. Izgrađenog iz sitnih kvadrata, u osnovi je pogrešna. Ako hodon ima određeni oblik, tada se ne može izbjeći postavljanje pitanja o dijelovima hodona, poput njegove granice, ali to nema smisla ako su hodoni najmanji mogući prostorni entiteti. Međufazni položaj koji se brani u Van Bendegemu (1997) treba razmotriti niz diskretnih geometrija (G_ {i}), svaka s hodonom određene veličine, (h_ {i}),tako da (h_ {i} ne h_ {j}), za (i / ne j) i, osim toga, postoje (M) i (N) takvi da (M / lt h_ {i} lt N), za sve (i). Tada se može primijeniti tehnika supervaluacije na seriju. To znači da će izjava biti točna (netočno) ako je istinita (lažna) u svakoj geometriji (G_ {i}). U svim ostalim slučajevima je neodlučno, tj. Kod nekih istina i lažno u nekima drugima. Ako je (A) izraz "hodoni imaju veličinu (alfa)" (gdje je (alfa) određeni broj), to će biti neodlučno, ako odgovara barem jednom od (bok}). Takav pristup, međutim, u raspravu uvodi sve probleme povezane s nejasnoćom, što nije nužno i ohrabrujuća situacija. I za ovaj problem može se dati originalan odgovor iz okvira teorije grafova.postoje (M) i (N) takvi da (M / lt h_ {i} lt N), za sve (i). Tada se može primijeniti tehnika supervaluacije na seriju. To znači da će izjava biti točna (netočno) ako je istinita (lažna) u svakoj geometriji (G_ {i}). U svim ostalim slučajevima je neodlučno, tj. Kod nekih istina i lažno u nekima drugima. Ako je (A) izraz "hodoni imaju veličinu (alfa)" (gdje je (alfa) određeni broj), to će biti neodlučno, ako odgovara barem jednom od (bok}). Takav pristup, međutim, u raspravu uvodi sve probleme povezane s nejasnoćom, što nije nužno i ohrabrujuća situacija. I za ovaj problem može se dati originalan odgovor iz okvira teorije grafova.postoje (M) i (N) takvi da (M / lt h_ {i} lt N), za sve (i). Tada se može primijeniti tehnika supervaluacije na seriju. To znači da će izjava biti točna (netočno) ako je istinita (lažna) u svakoj geometriji (G_ {i}). U svim ostalim slučajevima je neodlučno, tj. Kod nekih istina i lažno u nekima drugima. Ako je (A) izraz "hodoni imaju veličinu (alfa)" (gdje je (alfa) određeni broj), to će biti neodlučno, ako odgovara barem jednom od (bok}). Takav pristup, međutim, u raspravu uvodi sve probleme povezane s nejasnoćom, što nije nužno i ohrabrujuća situacija. I za ovaj problem može se dati originalan odgovor iz okvira teorije grafova. Tada se može primijeniti tehnika supervaluacije na seriju. To znači da će izjava biti točna (netočno) ako je istinita (lažna) u svakoj geometriji (G_ {i}). U svim ostalim slučajevima je neodlučno, tj. Kod nekih istina i lažno u nekima drugima. Ako je (A) izraz "hodoni imaju veličinu (alfa)" (gdje je (alfa) određeni broj), to će biti neodlučno, ako odgovara barem jednom od (bok}). Takav pristup, međutim, u raspravu uvodi sve probleme povezane s nejasnoćom, što nije nužno i ohrabrujuća situacija. I za ovaj problem može se dati originalan odgovor iz okvira teorije grafova. Tada se može primijeniti tehnika supervaluacije na seriju. To znači da će izjava biti točna (netočno) ako je istinita (lažna) u svakoj geometriji (G_ {i}). U svim ostalim slučajevima je neodlučno, tj. Kod nekih istina i lažno u nekima drugima. Ako je (A) izraz "hodoni imaju veličinu (alfa)" (gdje je (alfa) određeni broj), to će biti neodlučno, ako odgovara barem jednom od (bok}). Takav pristup, međutim, u raspravu uvodi sve probleme povezane s nejasnoćom, što nije nužno i ohrabrujuća situacija. I za ovaj problem može se dati originalan odgovor iz okvira teorije grafova. Ako je (A) izraz "hodoni imaju veličinu (alfa)" (gdje je (alfa) određeni broj), to će biti neodlučno, ako odgovara barem jednom od (bok}). Takav pristup, međutim, u raspravu uvodi sve probleme povezane s nejasnoćom, što nije nužno i ohrabrujuća situacija. I za ovaj problem može se dati originalan odgovor iz okvira teorije grafova. Ako je (A) izraz "hodoni imaju veličinu (alfa)" (gdje je (alfa) određeni broj), to će biti neodlučno, ako odgovara barem jednom od (bok}). Takav pristup, međutim, u raspravu uvodi sve probleme povezane s nejasnoćom, što nije nužno i ohrabrujuća situacija. I za ovaj problem može se dati originalan odgovor iz okvira teorije grafova.

Problem s identifikacijom. Pretpostavimo da imamo punu diskretnu geometriju i pretpostavimo da klasičnu geometriju fizičke teorije zamijenimo diskretnom verzijom. Sada ćemo govoriti o hodonima i kronologijama. "Prirodno" pitanje koje se postavlja je ono što treba poistovjetiti s onim? Zamislite da smo, u skladu sa Silbersteinom, pomalo naivni i pokušali bismo identificirati hodon s Planckovom dužinom, (l_ {p} = 10 ^ {- 35} tekst {m}) i krononom s Planckovo vrijeme, (t_ {p} = 10 ^ {- 43} tekst {s}). Ako sada prihvatimo da je najveća brzina jedna hodon po krononu, onda iz te identifikacije proizlazi da je najveća brzina doista (c = 3,10 ^ {8} text {m / s}). (Napomena: ovdje se ne događa ništa zadivljujuće, budući da se u klasičnoj fizici (l_ {p}) definira kao (sqrt { hbar G / c ^ 3},) i (t_ {p}) kao (sqrt { hbar G / c ^ 5},) tako da je odmah očito da je (l_ {p} / t_ {p} = c). Sad postavite jednostavno pitanje kolika će biti sljedeća brzina, odmah ispod (c)? Odgovor mora biti: jedan hodon po dva krona, ali to znači brzinu (c / 2). Čini se da smo propustili cijeli raspon između (c / 2) i (c). Izlaza postoji, ali pretpostavlja se da se smatra „kretenim“kretanjem mogućim, estetski prilično ružnom idejom. Objekt pomiče dva hodona u dva krona, a zatim čeka jedan kronon, a zatim ponavlja isti pokret. Prosječna brzina je tada (2c / 3). Jedan mogući izlaz, koji će biti ukratko spomenut u odjeljku 3.2, jest uvođenje elementa slučajnosti u strukturu. Da biste shvatili svu složenost ove teme, nadilazeći samo brojevne odnose, pogledajte izvrstan pregled i raspravu o Hagaru (2014).

3. Diskretne geometrije kao generatori klasične geometrije

3.1 Opći okvir

Kao što je navedeno u 1. odjeljku, ovdje ćemo razmotriti prijedloge koji traže teoriju ili model koji se temelji na geometrijskoj teoriji, tako da se iz njih mogu izvesti klasični geometrijski pojmovi. Očito treba biti krajnje oprezan jer je neprestano prisutna "opasnost" da beskonačnosti uđu u sliku negdje neviđeno ili nezapaženo. Pretpostavimo, da pružimo jednostavan primjer, da je dopušten samo skup konačnih točaka, ali i operacija koja generira između bilo kojeg para točaka treću točku različitu od svih prisutnih točaka i nema ograničenja u broju puta operacije Može se primijeniti, tada očito imamo ovdje beskonačan broj točaka "pod maskom". Nazvati takav model diskretnim geometrijskim modelom čini se prilično neprikladno.

Treba biti oprezan i oko, na primjer, tvrdnji da se kvantna mehanika bavi diskretnim vrijednostima, obično u odnosu na Heisenbergove principe nesigurnosti, pa je fizika na osnovnoj razini diskretna teorija. To je, međutim, krajnje zabludno. Dovoljno je konzultirati bilo koji priručnik o kvantnoj mehanici da bismo primijetili da matematika koja se koristi zahtijeva potpunu upotrebu beskonačnosti. Bez obzira da li se koristi Heisenbergov matrični pristup, Hilbertov operativni formalizam, Schrödingerova valna jednadžba ili neki drugi formalizam, matematika uključuje integrale, derivate, beskonačne (konvergentne) zbrojeve, prostore s beskonačnom dimenzijom itd. (Vidi unos o kvantnoj mehanici), Ovdje se ne može naći mnogo diskretnosti. To znači da je i za kvantnu mehaniku pravi problem pronaći diskretni kolega. To se jasno pokazuje pokušajima Gerarda 't Hoofta da preformulira kvantnu mehaniku na doista diskretan način, vidi' t Hooft (2014). Zanimljivo je da utječe na pitanja poput determinizma nasuprot indeterminizmu.

S povijesnog gledišta, nesumnjivo se rad Tullio Regge može promatrati kao prvi pokušaj razvoja modela iz kojeg bi se mogli razviti geometrijski koncepti. Izvorni rad datira iz 1961., vidi Regge (1961). Konkretnije, ovdje se bavimo općom teorijom relativnosti (GRT). Iako je prvotna namjera Reggea bila konstruirati tehnike za rješavanje jednadžbi GRT u "teškim" slučajevima, tj. Tamo gdje ne postoji simetrija i teorija poremećaja nije primjenjiva. Umjesto da prepiše diferencijalne jednadžbe GRT-a u razlike jednadžbi, Regge je potražio tehniku koja uopšte dovodi do različitih jednadžbi. Bez izlaganja svih pojedinosti, temeljni koncept njegova pristupa je "kut deficita". U GRT-u imamo posla sa zakrivljenim prostorima. Uzmite dvodimenzionalnu zakrivljenu površinu. Ako je ravan, onda se može prekriti trokutima. Ako je zakrivljen, može se aproksimirati trokutima, ali uz važnu razliku. Pretpostavimo da se trokuti sastaju u vrhovima, tada možemo pogledati jednu određenu točku i sve trokute koji se susreću u toj točki. Ako se taj dio površine izravna, negdje će se stvoriti jaz. Tom razmaku odgovara kut i to je upravo kut deficita. Što je veća zakrivljenost, veći je i deficitni kut. Ista tehnika djeluje i za četverodimenzionalni slučaj, gdje se umjesto trokuta koriste simpleksi. Ljepota ovog pristupa je u tome što se jednadžbe GRT mogu prepisati u smislu nedostatnih kutova i duljina rubova simpleksa i riješiti u smislu ovih koncepata. Misner i sur. (1973) sadrži poglavlje (42:"Regge Calculus") koji objašnjava Reggeov pristup na kompaktan i savršeno dostupan način.

Danas je napravljena prilično impresivna količina pokušaja. Većina njih treba smatrati vrlo spekulativnim jer uistinu odražavaju sadašnje stanje u punom razvoju. Međutim, postoji preostali niz pristupa koji se polako počinju pojavljivati i čini se da su to održivi kandidati i od interesa za finitistički pogled na geometriju (u smislu prostornog vremena). Treba napomenuti da za dotične autore njihov glavni cilj nije toliko formuliranje diskretnog oblika geometrije, nego uspostavljanje hoće li ovaj ili onaj model poslužiti kao zajednički temelj kvantnoj (terenskoj) teoriji i GRT-u, dakle prema čitavu fiziku, tako reći, ili, ako netko voli, „Teoriju svega“. Naša briga ovdje je zapravo skromnija:govore li nam ovi modeli o tome kako se diskretne geometrije mogu formulirati tako da generiraju klasičnu geometriju? Dakle, čak i ako bi fizičari odbacili takav model na temelju dobrih čvrstih fizičkih razloga, možda bi bilo zanimljivo pitanje mogućnosti diskretne geometrije.

Huggett & Wuthrich (2013a) daje lijep pregled današnje situacije što se tiče preostalog skupa. Vrijedi spomenuti da je ovaj rad dio posebnog broja, Huggett & Wuthrich (2013b), o nastanku svemira u kvantnim teorijama gravitacije. Sve zajedno raspravljaju i ocjenjuju šest vrsta prijedloga, ali ovdje ćemo razmotriti samo tri. Preostala tri su ili previše spekulativna u sadašnjem trenutku ili ne uključuju diskretne svemirske tokove (poput teorije struna i nekomutativne geometrije). Tri pristupa relevantna za našu temu su:

  • Prostor vremena rešetke: ovo je blizu Reggeovog pristupa u smislu da se kontinuirani prostor (i vrijeme) zamjenjuju diskretnom strukturom, u ovom slučaju rešetkom. Ako su ove rešetke opremljene nekim oblikom očito diskretne metrike, veze između kontinuiranog i diskretnog prostora (i vremena) postaju vrlo bliske. Sljedeći dio predstavlja takav prijedlog (izostavljajući fiziku),
  • Nemetarne rešetke: najpoznatiji primjer pod ovim naslovom su uzročne rešetke. Povezanost "točaka" rešetke su uzročno-posljedični odnosi i za to je potrebno puno više rada da bi se iz nje stvorila prostorno-vremenska struktura. Zapravo, u mnogim slučajevima nemamo teoreme u smislu da diskretne rešetke "ne posjeduju dobro postavljene granice kontinuiteta nalik relativističkim prostorima" (str. 278), "odjeknuvši" već spomenutim negativnim rezultatom Fritza (2013),
  • Kvantna gravitacija u petlji: ova je teorija jedan od pokušaja, shvaćenog ozbiljno, objedinjavanja kvantne (terenske) teorije i opće relativnosti. Osnovne strukture su takozvane trodimenzionalne spin mreže. Ako se ovim mrežama dopušta da se razvijaju tijekom vremena, tada nastaje četverodimenzionalna struktura, takozvana spiralna pjena, koja bi u granici trebala stvarati relativističku strukturu prostora i vremena. Ovdje treba umetnuti upozorenje: iako je struktura spinovne mreže graf sa skupom čvorova i skupom rubova, ipak su ti čvorovi i rubovi označeni fizički značajnim količinama koje uključuju kontinuirane strukture kao što su Lie grupe. Ne ulazeći u pojedinosti, ovaj kratki ekstrakt Reisenbergera (1999) vrlo je ilustrativan:

    Općenito, rubovi centrifugalne mreže nose nerivijalne neodredive reprezentacije (irepulacije) mjerne skupine, a vrhovi nose isprepletene. Međuprostor za vertese može biti bilo koji invarijantni tenzor reprezentacije proizvoda (R) formiran proizvodom obruča koji nose dolazni rubovi i dvojnici repova na odlaznim rubovima. (str. 2047.)

Da bismo shvatili kako se stvari brzo razvijaju u ovom istraživačkom području, treba napraviti usporedbu između Huggetta i Wüthricha (2013a) i Meschinija i sur. (2005), također trebao biti anketni rad. Zanimljivo je da Huggett i Wüthrich opisuju svoje istraživanje kao komplementarno drugom istraživanju. U ovom potonjem radu ukratko je predstavljeno djelo Manfreda Requardta, a to će poslužiti kao prototipičan primjer, jer ne uvodi fizičku stranu stvari od samog početka. Da biste okusili sofisticiranije pristupe koji uključuju fiziku već od samog početka, pogledajte Smolin (2018), gdje se također raspravlja o gravitaciji kvantne petlje, spomenutoj gore. Iako se takvi pristupi, i osnovni i sofisticirani slučajevi, u literaturi o prostornoj logici ne spominju,iako su veze između njih dvije vrlo duboke i bliske i definitivno ih je potrebno dodatno istražiti.

3.2. Prototipičan primjer pomoću grafikona

Početna točka je diskretni graf (G = / langle N, C / rangle) koji se sastoji od skupa (N) čvorova, (n_ {i}) i skupa (C) veze, (c_ {ij}), tako da nijedan čvor nije povezan sa sobom, a čvorovi (n_ {i}) i (n_ {j}) imaju najviše jednu vezu. Ono što se čini najočitijim je kako definirati funkciju na daljinu, a u gotovo svim prijedlozima ovo je doista slijeđena strategija (slično definicijama predloženim u odjeljku 2.5):

(D (n_ {i}, n_ {j})) = najmanji broj veza koje vode od (n_ {i}) do (n_ {j}).

Lako je vidjeti da su klasična svojstva funkcije udaljenosti zadovoljena:

  • (D (n_i, n_i) = 0,)
  • (D (n_i, n_j) = D (n_j, n_i),)
  • (D (n_i, n_j) + D (n_j, n_k) ge D (n_i, n_k).)

Na prvi pogled uopće nije očito kako treba postupiti dalje, ali ako se čitaju (n_ {i}) i (c_ {ij}) kao vrsta vektora, tada linearne kombinacije mogu biti formirani, gdje su (f_ {i}) i (g_ {ij}), npr., prirodni ili racionalni brojevi:

[f = / sum_i f_i n_i / quad / mbox {i} quad g = / sum_ {ik} g_ {ik} c_ {ik}.)

Ova dva izraza mogu se čitati kao funkcije preko (n_ {i}) i (c_ {ij}). Ono što sada treba jest odnos između čvorova i veza, pa uvedite posebnu funkciju (d):

[d: n_i / rightarrow / sum_k c_ {ik}.)

Zanimljivo je vidjeti što se događa ako funkciju (d) proširimo linearno tako da se ona može primijeniti na proizvoljne funkcije (f):

[df = / sum_i f_i / sum_k c_ {ik}.)

Ako sad odredimo da je (c_ {ik} = -c_ {ki}) (kao vrsta vektorske jednadžbe, navodeći da veze imaju smjer), gornji izraz možemo prepisati na sljedeći način (uzmite u obzir da, budući da nije dopuštena petlja, (c_ {ii} = 0)):

[df = / frac {1} {2} sum_ {ik} (f_k-f_i) c_ {ik})

Iako je još daleko, ovaj izraz (df) već ima neka lijepa svojstva koja podsjećaju na izvedenicu funkcije (f):

  • Linearno je: (d (f + g) = df + dg),
  • Ako je (f) konstantna funkcija u smislu da na svakom čvoru (f_ {i}) ima istu vrijednost, tada je izravno (df), za (f) konstanta, 0,
  • Ako je (f) takav da je kod dva izravno povezana čvora (n_ {i}) i (n_ {i + 1}), (f_ {i + 1}) = (f_ {i } + 1), drugim riječima, to izražava da je (f (i) = i), tada je (df) 1, gdje je 1 funkcija predstavljena s (sum_i n_i). Dakle, derivat funkcije identiteta je konstantna funkcija 1.

Međutim, kao što je lako provjeriti s gornjim definicijama, pravilo proizvoda ne uspije, tj. (D (f / cdot g)) nije jednako (df / cdot g + f / cdot dg).

Dakle, u određenoj mjeri moguće je konstruirati osnovni oblik proračuna na diskretnim grafovima. Za pronalaženje „pravih“kolega potrebna je malo domišljatosti i kreativne misli, ali ovaj jednostavni primjer pokazuje da se iz diskretnog grafikona može izvući prilično mnogo strukture. Zapravo ima više. Diskretni grafovi omogućuju lijepo rješenje problema s dimenzijama, što je spomenuto u odjeljku 2.5. Ovo je grubi okvir ideje:

Razmotrimo čvor (n_ {i}), tada je (U_ {1}) skup čvorova (n_ {j}) takav da je (D (n_ {i}, n_ {j}) = 1), tj. (U_ {1}) okuplja najbliže susjede (n_ {i}). Isto tako, možemo definirati (U_ {2}) kao skup čvorova (n_ {k}) takav da je (D (n_ {i}, n_ {k})) najviše 2. To slijedi da (U_ {n} subseteq U_ {n + 1}) i tako dobivamo ugniježđeni niz četvrti (n_ {i}). Ako netko shvati dimenziju kao mjerilo „rasta“susjedstva, tada se dimenzija može definirati kao:

) mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} frac { ln / lvert U_m / rvert} { ln m})

Jedna od zanimljivosti ove definicije je ta da ona ne mora biti jednolika na cijelom grafu, jer sve ovisi o izboru početnog čvora (n_ {i}). Ali u slučaju kada je graf dovoljno ujednačen, dimenzija će biti konstanta. Nadalje, ako uzmemo klasični slučaj, kao što je trodimenzionalni euklidski prostor, tada se dimenzije podudaraju. Pretpostavimo da kao temeljni graf imamo redovnu rešetku, tada određeni čvor ima kocku kao skup najbližih susjeda (U_ {1}) koji se sastoji od (3 ^ {3} = 27) točaka i susjedstva (U_ {m}) broji ((m + 2) ^ {3}) čvorove. Stoga

) mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} frac { ln (m + 2) ^ 3} { ln m} quad / mbox {ili} quad / mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} 3 / cdot / frac { ln (m + 2)} { ln m})

Budući da je za (m) dovoljno velik, (frac { ln (m + 2)} { ln m}) približno 1, slijedi da je (mbox {Dim} = 3). To pokazuje da smo, počevši od diskretnih grafova, dobili produženje koncepta dimenzije. Možda je netko primijetio da je ova vrsta definicije prilično slična nekim definicijama koje se koriste za definiranje dimenzije fraktalnih slika.

Uz to, diskretni grafovi omogućuju i rješavanje problema s anizotropijom. Dovoljno je uvesti element slučajnosti u mrežu npr. Preuzimanjem prosjeka preko spojenog skupa čvorova kako bi se izbjegli povlašteni pravci. Ovdje su očigledne sličnosti s nepravilnim shemama polaganja pločica ili uvođenjem nejasnoće, ali važno je razlikovanje da se statistički i vjerojatni pojmovi (prilično) dobro razumiju, dok je popločavanje problema, kao što je spomenuto, otvoren problem, a nejasnost ostaje notorno težak koncept (vidjeti zapis o nejasnoći u ovoj enciklopediji).

3.3 Poseban slučaj: kombinatorička hijerarhija

Bilo bi pogrešno vjerovati da različiti gore navedeni pokušaji nekako čine cjelovit katalog koji omogućava klasificiranje svih mogućih pristupa. U ovom paragrafu takav egzotični primjer, tj. kombinatorna hijerarhija, ukratko je predstavljena. U ovom pristupu fokus nije na jednadžbama same fizike, već na fizičkim konstantama koje se pojavljuju u njima, poput brzine svjetlosti (c), Planckove konstante (h), mase elektrona (m_ {e}), i tako dalje. Budući da su te vrijednosti nužno konačne, čini se vrijednim istražiti može li finitistički pristup objasniti zašto te konstante imaju vrijednosti za koje se dogodi. Takvi se pristupi ponekad nazivaju "igrama s brojevima".

Dopustite mi da dam jedan vrlo jednostavan primjer. Polazeći od svemira koji se sastoji od konačnog broja bita, tj. Bilo 0 ili 1, uvodi se osnovna operacija, tj. Da bi se napravila „diskriminacija“. Za izražavanje ove operacije potrebna je još jedna operacija: dodavanje modula 2: (0 + 0 = 1 + 1 = 0) i (0 + 1 = 1 + 0 = 1). Ako je ishod 0, tada se elementi zbroja ne razlikuju, ostali su. Pogledajte sad skupove koji sadrže 0 i / ili 1 i takve, ako se dva elementa razlikuju, taj element pripada i skupu. Postoje točno 3 ((= 2 ^ {2} -1)) takvih skupova: ({0 }, {1 }) i ({0,1 }). Ako su ova 3 elementa uzeta kao nova osnova umjesto 0 i 1, pametna konstrukcija pokazuje da 7 ((= 2 ^ {3} -1)) takvi skupovi postoje i, u sljedećem koraku, 127 ((= 2 ^ {7} -1)) iskoči. Sada je (3 + 7 + 127 = 137) i taj je broj blizu konstante elektromagnetske veze.

Uspjeh ovog programa prilično je skroman jer se ovi modeli ne povezuju lako s postojećim fizičkim teorijama. Samostalnu prezentaciju ovog programa potražite u Bastin & Kilmister (1995). Vrlo je slična sličnost s djelom AS Eddingtona. Kilmister (1994) napisao je prikaz Eddingtona o njegovoj temeljnoj teoriji i nije iznenađujuće.

3.4 Može li to biti empirijski problem?

Do sada smo istražili nekoliko teorijskih mogućnosti diskretne geometrije kao protuteže klasičnoj geometriji. S obzirom na primjere o kojima smo razgovarali u prethodnim odjeljcima, relevantnost za fiziku izgleda očigledna. Iako bi se moglo pomisliti da je diskretnost prostora i / ili vremena čisto teorijska stvar, ipak je intrigantno pitanje može li stvar biti i empirijske prirode. Konkretnije, može li se zamisliti da bismo nekako mogli osmisliti eksperiment tako da je ishod ili taj prostor diskretan ili je taj prostor neprekidan? To možda zvuči doista smisljeno, ali svejedno je stvar privukla pažnju filozofa i doista je predložen poseban eksperiment, mada trenutno okolnosti izvršenja eksperimenta nažalost nisu izvedive.

Zanimljivo je vidjeti da je već 1961. godine Paul Feyerabend predložio takvu mogućnost. Međutim ne kaže se mnogo više

poteškoća sadašnje situacije čini se u činjenici da nedostaju diskretne alternative za matematiku, koja se u ovom trenutku koristi u fizici. (1961: 160)

Jednako je zanimljiv i podatak da Feyerabend previše spominje standardni argument da je nedostatak pitagorejskog teorema stvarni problem. Njegov je prijedlog to

samo moramo pretpostaviti da mjerenja u različitim smjerovima ne mijenjaju putnike; i onda bismo teoremu mogli zadržati kao jednadžbu operatora. (1961: 161)

I ovdje se, nažalost, više ništa ne kaže. Peter Forrest (1995.) tvrdi da je takav eksperiment moguć. Temeljni razlog je taj što klasična matematika koristi kontinuirane varijable dok stroga finitistička matematika koristi diskretne varijable. Stoga se za diferencijaciju i integraciju moraju naći konačni analozi koji će približiti klasični slučaj, ali se nikada ne podudaraju s njim. Dakle, uvijek će postojati male razlike i ne može se isključiti da ih je moguće otkriti.

Jedna takva mogućnost otkrivanja odnosi se na sljedeću znatiželjnu pojavu. Uzmimo diferencijalnu jednadžbu, (df / dx = ax (1 - x)). Riješiti je jednostavne vježbe i naći ćete vrlo uredno kontinuirano rješenje, dok ako za diskretni slučaj uzmemo odgovarajuću jednadžbu razlike, (Delta f / / Delta x = ax (1 - x)), ovisno o vrijednosti parametra (a), ponašanje funkcije (f) proizvodi kaotične učinke, koji su u kontinuiranom slučaju odsutni. Vidi Van Bendegem (2000) i Welti (1987: 516–518). Ishod takvog eksperimenta ne bi bio tako jasan kako se želi, ali promatranje kaotičnih efekata znači da je prostor diskretan, dok promatranje bez kaotičnih efekata znači da je ili prostor neprekidan ili su hodoni daleko manji nego što smo zamislili. U ovom trenutku ne mora se izvijestiti o daljnjem napretku.

U ovoj lemi već je nekoliko puta naznačeno da su različiti znanstvenici s različitim namjerama i ciljevima i s različitom pozadinom predložili ili predlagali podjednako različite ideje o diskretnoj geometriji kao alternativi klasičnoj geometriji. Mnogi autori ne predstavljaju nužno više ili manje cjelovite teorije, već se ograničavaju na davanje prijedloga i istraživanje neke određene ideje. Ovi radovi trebaju biti izvori nadahnuća u potrazi za cjelovitom teorijom. Nekoliko primjera su: Hahn (1934), Biser (1941), Coish (1959), Ahmavaara (1965a, b), Finkelstein (1969) (ovo je prva od pet papirnatih serija s istim naslovom u istom časopisu), Dadić & Pisk (1979), Finkelstein & Rodriguez (1986), Meessen (1989), Buot (1989), navesti, ali vrlo malo. Za razdoblje 1925. - 1936. Kragh i Carazza (1994) izvrstan je pregled koji pokazuje da su se mnogi fizičari igrali okolo s finitističkim idejama.

4. Što dalje treba učiniti?

Prvi se zadatak čini jednostavno: uzeti bilo koji od ovdje prikazanih prijedloga i razraditi ih u cjelovitu geometriju. Tada će se moći usporediti s, primjerice, Hilbertovom aksiomatizacijom koja je spomenuta. Drugi se zadatak čini prilično zabranjivim: koristeći ovu diskretnu geometriju, pokažite kako se raditi fizika. Općenito govoreći, to je doista velik poduhvat, ali postoje dva moguća puta. Prvi je put pokazati kako ovaj pristup djeluje, recimo, za klasičnu mehaniku. Ako bude uspjelo, to bi se sigurno smatralo glavnim argumentom u korist diskretnih prijedloga. Kao što se događa, već je učinjeno vrlo važno djelo jer će, što će nam trebati, biti u potpunosti formalizirana verzija klasične mehanike, a ne udžbeničke verzije koje mnoge stvari ne spominju,ali to bi se moglo pokazati ključnim za temeljnu geometriju. Takve verzije postoje u sadašnjem trenutku, vidi, npr., Axe (1978), Andréka i sur. (2008), Benda (2008), za samo nekoliko primjera. Kako se događa, jedna od najranijih verzija uključuje Patricka Suppesa, vidi McKinsey, Sugar & Suppes (1953). Stoga se čini da je poduzeće stvarna mogućnost. Drugi je put istražiti temeljna istraživanja koja su u toku u potrazi za objedinjavanjem QFT-a i GRT-a. Prije nekih godina ovo je sve bilo vrlo spekulativno, danas se pojavljuje nekoliko ozbiljnih natjecatelja i vrijedi ih pratiti. No, kako na matematičkom tako i na fizičkom planu, ostaje još mnogo posla. Vjerojatno je najbolji način za karakterizaciju današnje situacije taj što su (djelomično) odgovori na neke „poznate“prigovore diskretnom ili finističkom pristupu u geometriji i da je predstavljeno mnoštvo matematičkih, fizičkih i filozofskih prijedloga i ideja, i djelomični su modeli razvijeni ili su u fazi izrade. Drugim riječima, zadovoljeni su uvjeti koji čine zanimljivim nastavak ovog istraživačkog programa.

Bibliografija

  • Ahmavaara, Yrjo, 1965., „Struktura prostora i formalizam relativističke kvantne teorije polja I.“, časopis za matematičku fiziku, 6 (1): 87–93.
  • –––, 1965.b, „Struktura prostora i formalizam relativističke kvantne teorije polja II.“, Časopis za matematičku fiziku, 6 (2): 220–227.
  • Aiello, M., I. Pratt-Hartmann i J. van Benthem (ur.), 2007, Handbook of Spatial Logics, New York: Springer.
  • Andréka, H., JX Madarász, I. Németi, i G. Seékely, 2008, „Aksiomatizacija relativističke dinamike bez konzervativnih postulata“, Studia Logica, 89 (2): 163–186.
  • Axe, J., 1978., „Elementarni temelji prostora - vremena“, Temelji fizike, 8: 507–546.
  • Bastin, T. & CW Kilmister, 1995, Kombinatorička fizika, Singapur: World Scientific.
  • Benda, T., 2008, „Formalna konstrukcija svemirskog mnogobroja“, časopis za filozofsku logiku, 37 (5): 441–478.
  • Biser, E., 1941., "Diskretan stvarni prostor", časopis Filozofija, 38 (ljeto): 518–524
  • Borwein, J. i K. Devlin, 2009, Računalo kao krucijalno. Uvod u eksperimentalnu matematiku, Wellesley: AK Peters.
  • Bridges, D. i F. Richman, 1987., Vrste konstruktivne matematike, Cambridge: Cambridge University Press (LMS predavanja, serija 97).
  • Buot, FA, 1989., “Diskretan fazni-prostorni model za kvantnu mehaniku”, u M. Kafatos (ur.), Bell-ova teorema, kvantna teorija i pojmovi svemira, Dordrecht: Kluwer, str. 159–162.
  • Chou SC, XS Gao i JZ Zhang, 1994., Strojni dokazi iz geometrije, Singapur: Svjetski znanstveni.
  • Coish, HR, 1959, „Elementarne čestice u konačnoj svjetskoj geometriji“, Fizički pregled, 114: 383–388.
  • Crouse, D. i J. Skufca, 2019., „Relativistička dilatacija vremena i dužina kontrakcije u diskretnom prostoru-vremenu pomoću modificirane formule udaljenosti“, Logique et Analyse, 62 (246): 177–223.
  • Dadić, I. i K. Pisk, 1979, "Dinamika strukture diskretnih prostora", Međunarodni časopis za teorijsku fiziku, 18 (5): 345–358.
  • Danielsson, N., 2002, Aksiomatična diskretna geometrija, London: Imperial College. (Teza predana za magisterij iz naprednog računarstva).
  • Feyerabend, P., 1961, „Komentari na Grünbaumov„ Zakon i konvenciju u fizičkoj teoriji “, u: H. Feigl i G. Maxwell (ur.), Aktuelna pitanja iz filozofije znanosti, New York: Holt, Rinehart i Winston, s. 155–161.
  • Finkelstein, D., 1969, „Prostorno-vremenski kod“, Fizički pregled, 184: 1261–1279.
  • Finkelstein, D. i Rodriguez, E., 1986., "Kvantni vremenski prostor i gravitacija", u: R. Penrose & CJ Isham (ur.), Kvantni pojmovi u prostoru i vremenu, Oxford: Oxford University Press, str. 247– 254.
  • Forrest, P., 1995., je li prostor-vrijeme diskretan ili neprekidan? - Empirijsko pitanje, Synthese, 103: 327–354.
  • Franklin, J., 2017, „Diskretno i kontinuirano: temeljna dihotomija u matematici“. Časopis za humanističku matematiku, 7 (2): 355–378.
  • Fritz, T., 2013, „Polipoti brzine periodičnih grafova i ne-hodna teorema za digitalnu fiziku“, diskretna matematika 313: 1289–1301.
  • Hagar, A., 2014, diskretna ili kontinuirana? Potraga za temeljnom duljinom moderne fizike, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Hahn, H., 1980 [1934], "Postoji li beskonačnost?", U B. Mcguinness (ur.), Hans Hahn: Empirizam, logika i matematika, Dordrecht: Reidel, str. 103-131 (prvotno objavljeno u 1934).
  • Hjelmslev, JT, 1923, Die Natürliche Geometrie, Hamburg: Gremmer & Kröger (faksimilno izdanje: hardpress.net, 2008).
  • Huggett, N. i C. Wuthrich, 2013a, „Hitna svemirska i empirijska (ne) koherencija“, Studije povijesti i filozofije znanosti Dio B: Studije povijesti i filozofije moderne fizike, 44 (3): 276–285.
  • ––– (ur.), 2013b, „Posebno izdanje: Nastanak svemira u kvantnim teorijama gravitacije“, Studije povijesti i filozofije znanosti Dio B: Studije povijesti i filozofije moderne fizike, 44 (3): 273 -364.
  • Järnefelt, G., 1951, „Razmišljanje o konačnom približavanju euklidskoj geometriji: fizičke i astronomske perspektive“, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, Serija A, I. Mathematica-Physica, 96: 1–43.
  • Kilmister, CW, 1994, Eddingtonova potraga za temeljnom teorijom: ključ svemira, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Kragh, H. i B. Carazza, 1994, "Od vremenskih atoma do kvantizacije prostora i vremena: ideja diskretnog vremena, otprilike 1925. - 1936.", Studije iz povijesti i filozofije znanosti, 25 (3): 437– 462.
  • Kulpa, Z., 1979, „O svojstvima diskretnih krugova, prstenova i diskova“, Računalna grafika i obrada slike, 10: 348–365.
  • Kustaanheimo, P., 1951, „Bilješka o konačnom približavanju euklidske ravnine geometrije“, Societas Scientiarum Fennica. Commentationes Physico-Mathematicae, 15/19: 1–11.
  • Lyons, BC, 2017, „Primjenjivost Planckove duljine na Zeno, Kalam i stvaranje Ex Nihilo“, Philosophia Christi, 19 (1): 171–180.
  • McKinsey, JCC, AC Sugar i P. Suppes, 1953., „Aksiomatični temelji mehanike klasičnih čestica“, časopis za racionalnu mehaniku i analizu, 2 (2): 253–272.
  • Meessen, A., 1989., "Je li logično moguće generalizirati fiziku kvantizacijom prostora i vremena?" u P. Weingartner i G. Schurz (ur.), Philosophie der Naturwissenschaften. Akten des 13. Internationalen Wittgensteins Symposium, Beč: Hölder-Pichler-Tempsky, str. 19–47.
  • Meschini, D., M. Lehto i J. Philonen, 2005, „Geometrija, pregeometrija i izvan nje“, Studije iz povijesti i filozofije moderne fizike, 36 (3) 435–464.
  • Misner, CW, KS Thorne i JA Wheeler, 1973, Gravitacija, San Francisco: WH Freeman.
  • Moore, AW, 1993., Infinity, Aldershot: Dartmouth.
  • Regge, T., 1961, „Opća relativnost bez koordinata“, Nuovo Cimento, 19: 558–571.
  • Reisenberger MP, 1999, "O relativističkim vrhovima vrtilih", časopis za matematičku fiziku, 40 (4): 2046–2054.
  • Reisler, DL i NM Smith, 1969., Geometry over a Finite Field, Fort Belvoir, VA: Obrambeno-tehnički informativni centar. (Cijeli tekst:
  • Rovelli, C., 2016, Stvarnost nije ono što se čini. Putovanje kvantnoj gravitaciji, New York: Penguin. (Preveli Simon Carnell i Erica Segre, original objavljen 2014.).
  • Silberstein, L., 1936, diskretni prostor i vrijeme. Tečaj od pet predavanja održanih u laboratoriju McLennan, Toronto: University of Toronto Press.
  • Simpson, Stephen G. (ur.), 2005, Obrnuta matematika 2001: Bilješke predavanja iz logike 21, Udruženje za simboličku logiku.
  • Smolin, L., 2018, „Šta nam nedostaje u potrazi za kvantnom gravitacijom?“, U J. Kouneiher (ur.), Temelji matematike i fizike jedno stoljeće nakon Hilberta, New York: Springer, str. 287–304,
  • Smyth, MB i J. Webster, 2007, "Diskretan prostorni modeli", u Aiello, Pratt-Hartmann i van Benthem 2007: 713–798.
  • Sorabji, R., 1983., Vrijeme, stvaranje i kontinuitet, London: Duckworth.
  • Stillwell, J., 2016, Elementi matematike. Od Euclida do Gödela, Princeton: Princeton University Press.
  • Suppes, P., 2001, "Finitizam u geometriji", Erkenntnis, 54: 133–144.
  • 't Hooft, G., 2014., "Odnos kvantne mehanike diskretnih sustava sa standardnom kanonskom kvantnom mehanikom", Temelji fizike, 44: 406–425.
  • Van Bendegem, JP, 1987., „Zenonovi paradoksi i argumenti Weyl Tile-a“, Filozofija znanosti, 54 (2): 295–302.
  • –––, 1997, „U obrani diskretnog prostora i vremena“, Logique i Analiza, 38 (150–152): 127–150.
  • –––, 2000, „Kako prepoznati kontinuirano iz diskretnog“, u François Beets i Eric Gillet (ur.), Logique en Perspective. Mélanges nudi à Paul Gochet. Bruxelles: Ousia, str. 501–511.
  • Welti, E., 1987, Die Philosophie des strikten Finitismus. Entwicklungstheoretische und mathematische Untersuchungen über Unendlichkeitsbegriffe in Ideengeschichte und heutiger Mathematik, Bern: Peter Lang.
  • Weyl, H., 1949, Filozofija matematike i prirodnih znanosti, Princeton: Princeton University Press.
  • White, MJ, 1992, Kontinuirano i diskretno. Drevne fizičke teorije iz suvremene perspektive, Oxford: Clarendon Press.

Akademske alate

sep man ikona
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

  • Requardt, M., 1995, "Diskretna matematika i fizika na ljestvici Planck", rukopis dostupan na arXiv.org.
  • Van Bendegem, JP, 2019, „Biblirana napomena o strogom finitizmu“, redovno ažurirana bibliografija u tijeku.