Geometrija Devetnaestog Stoljeća

Sadržaj:

Geometrija Devetnaestog Stoljeća
Geometrija Devetnaestog Stoljeća

Video: Geometrija Devetnaestog Stoljeća

Video: Geometrija Devetnaestog Stoljeća
Video: ПОДОЗРИТЕЛЬНАЯ СОВА. Сезон 7, серия 20. Финал сезона 2024, Ožujak
Anonim

Ulazna navigacija

  • Sadržaj unosa
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Prijatelji PDF pregled
  • Podaci o autoru i citiranju
  • Povratak na vrh

Geometrija devetnaestog stoljeća

Prvo objavljeno pon 26. srpnja 1999.; suštinska revizija Thu Oct 20, 2016

U devetnaestom stoljeću geometrija je, poput većine akademskih disciplina, prošla kroz razdoblje rasta na kome je došlo do kataklizme. U tom se razdoblju sadržaj geometrije i njena unutarnja raznolikost gotovo neprepoznatljivo povećavali; aksiomatska metoda, hvatana još od antike od strane štovatelja geometrije, napokon je postigla istinsku logičku dovoljnost, a tlo je postavljeno za zamjenu, u opisu fizikalnih pojava, standardne geometrije Euklida po Riemannovom čudesno gipkom sustavu. Moderni filozofi svih tendencija - Descartes i Hobbes, Spinoza i Locke, Hume i Kant - smatrali su euklidsku geometriju paradigmom epiztemske sigurnosti. Naglo smanjivanje euklidske geometrije na podvrste goleme obitelji matematičkih teorija svemira razbilo je neke iluzije i potaknulo važne promjene u filozofskoj koncepciji ljudskog znanja. Tako, na primjer, nakon tih zbivanja u devetnaestom stoljeću, filozofi koji sanjaju o potpuno određenom znanju ispravnog i pogrešnog osiguranog logičkim zaključivanjem iz očiglednih načela više ne mogu predlagati euklidsku geometriju kao instancu u kojoj se sličan cilj pokazao dostižnim, Ovaj članak govori o aspektima geometrije devetnaestog stoljeća koji su od najvećeg interesa za filozofiju i nagovještava njihov prolazak, na njihov filozofski značaj.filozofi koji sanjaju posve određeno znanje ispravnog i pogrešnog osiguranog logičkim zaključivanjem iz očiglednih načela više ne mogu predložiti euklidsku geometriju kao primjer u kojem se sličan cilj pokazao dostižnim. Ovaj članak govori o aspektima geometrije devetnaestog stoljeća koji su od najvećeg interesa za filozofiju i nagovještava njihov prolazak, na njihov filozofski značaj.filozofi koji sanjaju posve određeno znanje ispravnog i pogrešnog osiguranog logičkim zaključivanjem iz očiglednih načela više ne mogu predložiti euklidsku geometriju kao primjer u kojem se sličan cilj pokazao dostižnim. Ovaj članak govori o aspektima geometrije devetnaestog stoljeća koji su od najvećeg interesa za filozofiju i nagovještava njihov prolazak, na njihov filozofski značaj.

  • 1. Lobačevski geometrija
  • 2. Projektivna geometrija
  • 3. Kleinov Erlangen program
  • 4. Aksiomatika usavršena
  • 5. diferencijalna geometrija Riemanna
  • 6. Lažite grupe

    Dodatak: Moderna formulacija Riemannove teorije

  • Bibliografija

    • Primarni izvori
    • Sekundarna literatura
  • Akademske alate
  • Ostali internetski resursi
  • Povezani unosi

1. Lobačevski geometrija

Euclid (fl. 300 prije Krista) stavio je na čelo svojih Elemenata niz „definicija“(npr. „Točka je ona koja nema dio“) i „uobičajenih pojmova“(npr. „Ako se jednakima doda jednaka, zbrojevi su jednaki ") i pet" zahtjeva ". Navodno su ove stavke sadržavale sve informacije potrebne za zaključivanje teorema i rješavanje problema geometrije, ali u stvari nisu. Međutim, zahtjevi (aitemata) - obično se u engleskom jeziku nazivaju „postulati“- moraju se u svakom slučaju odobriti ili Euclidovi dokazi neće proći. Neki od njih su sasvim praktični:

1. Nacrtati ravnu liniju od bilo koje točke do bilo koje točke. 3. Nacrtati krug s bilo kojim središtem i bilo kojim polumjerom.

Međutim, peti zvuči više kao činjenica. Euklidov tekst može se prikazati na engleskom jeziku na sljedeći način: „Ako ravna linija [c] koja pada na dvije ravne linije [a i b] čini unutarnje kutove na istoj strani manje od dva prava kuta, dvije ravne linije [a i b], ako su proizvedeni u neograničenom vremenu, sastajte se na onoj strani na kojoj su kutovi manji od dva prava kutova "(izrazi u zagradama su dodani radi jasnoće). Ovo zvuči nakaradno. Ipak, to se lako može parafrazirati kao recept za konstruiranje trokuta (vidi sliku 1.) Svaki trokut je formiran od tri koplanarne ravne linije koje se sastaju po parovima u tri točke. S obzirom na bilo koji segment PQ, povucite ravnu liniju a do P i ravnu liniju b kroz Q, tako da a i b leže na istoj ravnini;provjeriti da kutovi koje a i b čine s PQ na jednoj od dviju strana PQ-a imaju manje od dva prava kuta; ako je ovaj uvjet ispunjen, treba priznati da se a i b sastaju u točki R na istoj strani PQ-a, tvoreći tako trokut PQR. Ovaj je zahtjev poznat kao „Euklidov postulat“. Ako je zahtjev odbijen - recimo, jer vjerujemo da je svijet konačan i nema mjesta u kojem bi se mogla smjestiti vertikala R, ako se unutarnji kutovi svode na vrlo malo manje od dva pravca, tada je veći dio Euclidovog sustava geometrija neće proći.jer vjerujemo da je svijet konačan i da u njemu nema prostora za smještaj vertikale R ako se unutarnji kutovi zbroje na vrlo malo manje od dva kutna pravca - tada velik dio Euklidovog geometrijskog sustava neće proći.jer vjerujemo da je svijet konačan i da u njemu nema mjesta za smještaj vertikale R ako se unutarnji kutovi zbroje na vrlo malo manje od dva kutna pravca - tada velik dio Euklidovog geometrijskog sustava neće proći.

Slika 1

Slika 1
Slika 1

U mračnijim vremenima koja su uslijedila, izgubio se smisao za matematičku slobodu Euklid i filozofi i matematičari očekivali su da će se geometrija moći odmarati na očiglednim osnovama. Ako su a okomiti i b je gotovo okomit na PQ, a i b se vrlo sporo približavaju jedni drugima na jednoj strani PQ-a i nije očigledno da se na kraju moraju sastati negdje na toj strani. Napokon, hiperbola neograničeno pristupa svojim asimptotama, a opet, demonstrirano, nikad ih ne zadovoljava. Kroz stoljeća je nekoliko autora zahtijevalo - i pokušalo - dokaz Euklidovog postulata. John Wallis (rođ. 1616., 1703.) izvedio ga je iz pretpostavke da postoje poligoni različitih veličina koji imaju isti oblik. Ali tada je ovoj pretpostavci zauzvrat potreban dokaz. Girolamo Saccheri (rođ. 1667., um. 1733.) pokušao je reductio. Iznio je dugi niz prijedloga iz negacije Euklidovog postulata, sve dok nije naišao na ono što je proglasio "odvratan prirodi ravne linije". No Saccherijevo razumijevanje te "prirode" ima svoje korijene u euklidskoj geometriji i njegovo je zaključivanje postavilo pitanje.

U 1820-ima Nikolaj I. Lobačevski (rođ. 1793, um. 1856.) i Janoš Bolyai (rođ. 1802, umro 1860.) neovisno su riješili ovo pitanje na radikalno nov način. Lobačevski je na negaciji Euclidovog postulata gradio alternativni geometrijski sustav, koji je nazvao "imaginarnim" i pokušao je nepovjerljivo testirati ispravnost na astronomskoj skali izračunavši zbroj unutarnjih kutova trokuta, formiranih od zvijezda na nebu. Bolyai je izuzeo postulat iz Euklidovog sustava; preostali skok je "apsolutna geometrija", koja se dalje može precizirati dodavanjem Euklidovog postulata ili njegove negacije. Carl Friedrich Gauss (1777, umro 1855) od 1790-ih je radio na toj temi u istom smjeru, ali suzdržavao se od objavljivanja zbog straha od skandala. Budući da je Lobačevski prvi objavio,sustav geometrije koji se temelji na spomenutoj "apsolutnoj geometriji" plus negaciji Euklidovog postulata pravilno se naziva Lobačevski geometrija.

Konstrukcija koja je uvedena gore za objašnjenje Euklidovog postulata može se koristiti i za rasvjetljavanje njegove negacije. Nacrtajte ravnu liniju kroz točku P pod pravim kutom s segmentom PQ. Ako je Euklidov postulat odbijen, kroz Q će se nalaziti bezbroj pravih linija, koplanarnih s a, koje čine oštre kutove s PQ-om, ali nikad ne zadovoljavaju a. Razmotrite skup realnih brojeva koji su veličine ovih akutnih kutova. Neka je najveća donja granica ovog skupa μ. Očigledno je da je μ> 0. Kroz Q postoje točno dvije ravne linije, koplanarne s a, koje čine kut veličine μ s PQ. (Pogledajte sliku 2.) Nazovite ih b 1 i b 2. Ni b 1 ni b 2zadovoljava a, ali zadovoljava svaku liniju kroz Q koja je koplanarna s a i čini s PQ kut manji od μ. Gauss, Lobachevsky i Bolyai, koji su jedni drugima nepoznati, podudarali su se u nazivima b 1 i b 2 paralele do a do Q. μ naziva se kut paralelizma za segment PQ. Njegova veličina ovisi o duljini PQ, a smanjuje se kako se povećava.

Slika 2

Slika 2
Slika 2

Pretpostavimo da je kut paralelizma za PQ jedna polovina pravog kuta. U ovom slučaju, b 1 i b 2 čine pravi kut u Q, i na taj način imamo dvije međusobno okomite ravne linije na istoj ravnini kao a, koje ne zadovoljavaju a.

Geometrija Lobačevskog obiluje iznenađujućim teoremama (od kojih je mnoge već pronašao Saccheri). Evo nekoliko: Tri unutarnja kuta trokuta zbroje se pod manje od dva prava kuta. Razlika ili "defekt" proporcionalan je području trokuta. Dakle, u Lobačevskoj geometriji slični su trokuti u skladu. Štoviše, ako je trokut podijeljen na manje trokute, defekt cjeline jednak je zbroju nedostataka dijelova. Kako defekt ne može biti veći od dva prava kuta, područje trokuta ima konačni maksimum. Ako četverokutan, prema konstrukciji, ima tri prava kuta, četvrti je kut nužno akutan. Dakle, u Lobačevskoj geometriji nema pravokutnika.

Postoji jednostavna formalna podudarnost jednadžbi Lobačevskog trigonometrije i one standardne sferne trigonometrije. Na temelju toga Lobačevski je tvrdio da će svaka protivrječnost koja proizlazi iz njegove geometrije neizbježno uskladiti s kontradikcijom u euklidovoj geometriji. Čini se da je to najraniji primjer navodnog dokaza relativne dosljednosti, kojim se pokazuje da je teorija konzistentna da druga teorija - čija se konzistencija obično uzima zdravo za gotovo - nije nedosljedna.

Lobačevski geometrija dobila je malo pozornosti prije kasnih 1860-ih. Kad su ga filozofi konačno primijetili, njihova su se mišljenja podijelila. Neki su to smatrali formalnom vježbom logičke dedukcije, bez ikakvog fizičkog ili filozofskog značaja, koja je koristila obične riječi - poput "ravna" i "ravnina" - sa prikriveno promijenjenim značenjem. Drugi su to pozdravili kao dovoljan dokaz da, suprotno utjecaju Kantove utjecajne teze, euklidska geometrija ne sadrži nikakve preduvjete ljudskog iskustva i da je geometrijska struktura fizičkog prostora otvorena za eksperimentalno istraživanje. I drugi su se složili da su ne-euklidska geometrija legitimne alternative, ali istaknuli su da dizajn i interpretacija fizikalnih eksperimenata općenito pretpostavlja određenu geometriju i da je tu ulogu preuzeo Euclidov sustav.

Bez obzira na to što filozofi mogu reći, za matematičara Lobačevski geometrija vjerojatno ne bi bila samo neobična znatiželja, da nije postojala niša unutar projektivne i diferencijalne geometrije, dvije glavne struje geometrijskog istraživanja devetnaestog stoljeća (§ § 2 i 5).

2. Projektivna geometrija

Danas projektivna geometrija ne igra veliku ulogu u matematici, ali je u kasnom devetnaestom stoljeću postala sinonim za modernu geometriju. Projektivne metode koristile su Desargues (rođ. 1591, um. 1661.) i Pascal (rođ. 1623., um. 1662.), ali su ih kasnije pomračile Descartesova metoda koordinata. Napredovali su, međutim, nakon što je Jean-Victor Poncelet (rođen 1788., umro 1867.) pokazao da su projektivna svojstva figura pružena kao dokazni materijal koji su barem toliko snažni, ali sigurno intuitivniji i naoko uvjerljivi od kartezijanskog postupka postavljanje i rješavanje jednadžbi između brojeva koji predstavljaju točke.

Projektivna svojstva su ona koja su sačuvana projekcijama. Uzmimo, na primjer, dvije ravnine Γ i H i točku P izvan njih. Neka je Φ bilo koja figura na Γ. Nacrtajte ravne linije od P kroz svaku točku Φ. Slika formirana točkama gdje se te linije susreću s H je projekcija Φ na H iz P. Ova će se figura općenito razlikovati od veličine i oblika. Ali projekcija bilo kojeg broja pravih linija koje se međusobno susreću u određenim točkama obično se sastoji od jednakog broja pravih linija na H sastanku, odnosno u projekciji tih točaka. Što se, pak, događa, ako pravac koji spaja P s nekom točkom Q od Γ nikada ne zadovoljava H, jer slučajno PQ leži na ravnini paralelnoj s H? (Pogledajte sliku 3.)

Slika 3

Slika 3
Slika 3

Da bi zaobišli takve iritantne iznimke, projektivna geometrija dodala je svakoj ravnoj liniji idealnu točku, koju dijeli svaka linija paralelna s njom. Kontinuitet zahtijeva da sve idealne točke leže na jednoj idealnoj ravnini koja se susreće sa svakom obitelji paralelnih ravnina duž različite idealne linije. Fundamentalisti se mogu posramiti od ovog naizgled bezobličnog množenja entiteta. Ipak, aritmetika se vježbala stoljećima, jer je početna zaliha prirodnih brojeva 1, 2, 3,… bila dopunjena nulom, negativnim cijelim brojevima, ne-integralnim racionalima, iracionalima i takozvanim imaginarnim brojevi.

Točke ravne linije stoje u međusobnim odnosima susjedstva i reda. Da bismo vidjeli kako se idealna točka uklapa u te odnose, neka se H kontinuirano okreće oko pravac m gdje se presijeca Γ. (Vidi sliku 4.) Kad je H paralelan sa PQ-kazanjem, u trenutku t-projekcija Q na H iz P idealna je točka pravca kroz P i Q. Neposredno prije t navedena projekcija je obična točka H, vrlo daleko od m. Odmah nakon t projekcija je opet obična točka H, vrlo udaljena od m, ali na suprotnom kraju ravnine. Proučavajući kontinuirano pomicanje projekcije tijekom kratkog vremenskog intervala koji okružuje t, zaključuje se da ako su A i B dvije točke H koje stoje, bilo s obje strane m, idealna točka pravca kroz A i B mora biti postavljeno između A i B. Tako,u projektivnoj geometriji točke ravne crte poredane su ciklično, tj. poput točaka kruga. Kao rezultat toga, odnosi susjedstva između točaka u projektivnom prostoru i na projektivnim ravninama drastično se razlikuju od onih poznatih iz standardne geometrije i vrlo su kontratuktivni. Pravično je reći da je projektivna geometrija značila mnogo dublju i dalekosežniju revoluciju u ljudskoj misli nego puko poricanje Euklidovog postulata. Pravično je reći da je projektivna geometrija značila mnogo dublju i dalekosežniju revoluciju u ljudskoj misli nego puko poricanje Euklidovog postulata. Pravično je reći da je projektivna geometrija značila mnogo dublju i dalekosežniju revoluciju u ljudskoj misli nego puko poricanje Euklidovog postulata.

Slika 4

Slika 4
Slika 4

U novom okruženju projektivna svojstva slika mogu se definirati neprimjereno. preslikavanje jednostrukog projektivnog prostora na sebe je kolineracija ako pošalje bilo koje tri kolinearne točke A, B i C, na tri točke (A), (B) i (C), koje su i kolinearne. Projektivna svojstva (i odnosi) su ona koja se čuvaju kolinejacijama. Evo nekoliko primjera projektivnih svojstava. Od tri ili više točaka: leći na istoj ravnoj liniji; ležati u istoj ravnini. Od tri ili više ravnih linija: sastati se u istoj točki; ležati u istoj ravnini. Od tri ili više ravnina: da se presijecaju duž iste ravne linije; dijeliti istu točku. Krivulja: biti konik. Površine: biti kvadrični.

3. Kleinov Erlangen program

U knjižici objavljenoj kada se pridružio fakultetu u Erlangenu (1872.), Felix Klein (rođen 1849., umro 1925.) pregledao je ogroman rast i raznolikost geometrije i predložio stajalište s kojeg su se njezine brojne grane mogle organizirati u sustav. S ove točke gledišta, zadatak grane geometrije može se navesti ovako:

S obzirom na mnogostrukost i skupinu transformacija mnogobroja, proučiti konfiguracije mnogostruke s obzirom na one značajke koje nisu promijenjene transformacijama skupine. (Klein 1893, str. 67)

U matematici u devetnaestom stoljeću 'mnogostruko' je često označavalo ono što danas nazivamo skupom, ali Klein je očito imao na umu nešto specifičnije:

Ako su date n varijable x 1,…, x n,… sustavi vrijednosti koje dobivamo ako dopustimo da varijable x neovisno uzmu stvarne vrijednosti od ∞ do + ∞ čine ono što ćemo nazvati… mnogobrojem n dimenzija. Svaki određeni sustav vrijednosti (x 1,…, x n) naziva se elementom mnogobroja. (Klein 1873, str. 116)

Ako je S višeznačnica u bilo kojem smislu, transformacijom S podrazumijevamo preslikavanje jednog u jedno na sebi. Jasno je da

  1. Ako T 1 i T 2 su transformacije S, kompozitna mapiranje T 2  ○ T 1, koji se sastoji od T 1, nakon čega slijedi T 2, je transformacija S;
  2. sastav transformacije asocijativno, tako da, ako je T 1, T 2 i T 3 su transformacije S, (T 3  ○ T 2) ○ T 1 = T 3  ○ (T 2  ○ T 1);
  3. mapiranje identiteta I koje svaku točku S šalje na sebe je transformacija S tako da je za bilo kakvu transformaciju T, T ○ I = I ○ T = T;
  4. za svaku transformaciju T postoji transformacija T −1, inverzna od T, tako da T −1  ○ T = I (T −1 šalje svaku točku S natrag tamo gdje ju je donio T).

Zbog uvjeta (i) - (iv), transformacije S tvore skupinu G S u točno određenom smislu koji ovaj pojam ima u algebri. G S uključuje podskupine, to jest podskupine koje sadrže I i zadovoljavaju uvjete (I) i (iv). Ako H je podgrupa G S i Φ je značajka S, ili njezinih elemenata ili dijelova, koji nisu pogođeni transformacije f, možemo reći da je Φ je H -invariant. Jedini G S-invarijant je kardinalnost S (tj. broj elemenata u razdjelniku). S druge strane, grupa {I}, koja se sastoji samo od identiteta, trivijalno čuva svako zamislivo svojstvo. Između ove dvije krajnosti može postojati mnogo različitih podskupina sa svim vrstama zanimljivih invarijanata, ovisno o strukturi grupe. Ako S nije proizvoljni (strukturni) skup, već numerički mnogostruki opisan kao što je opisao Klein, on nasljeđuje strukturu od polja stvarnog broja, što doprinosi karakterizaciji različitih podskupina G S i njihovih invarijanata. Dakle, skupina kontinuiranih transformacija čuva topološka svojstva (odnosi susjedstva), a skupina linearnih transformacija čuva projektivna svojstva.

Mogu li se metrička svojstva popraviti na ovaj način? Tradicionalno jedna definira udaljenost između dviju točaka (x 1,…, x n) i (y 1,…, y n) brojčanog mnogobroja kao pozitivni kvadratni korijen (x 1  - y 1) 2 +… + (x n  - y n) 2, Skupinu izometrija čine transformacije koje zadržavaju ovu funkciju. Međutim, ovo je samo konvencija, usvojena da osigura da je geometrija euklidska. Koristeći se projektivnom geometrijom, Klein je smislio nešto bolje. Nijedna stvarna vrijednost funkcija parova točaka, definirana na čitavom projektivnom prostoru, nije invarijantna projektivna skupina, ali postoji funkcija četverostrukih kolinearnih točaka, nazvana poprečni omjer, koji je takav invarijant. Oslanjajući se na rad Arthura Cayleyja (rođ. 1821, um. 1895), Klein (1871, 1873) smatrao je poprečni omjer četverostrukih točaka <P 1, P 2, P 3, P 4 >. tako da P 3 i P 4 pripadaju zadanom koniku κ na projektivnoj ravnini, dok P1 i P 2 raspon preko regije R koji je omeđen ili na drugi način odredi brojuk. Budući P 3 i P 4. Treba točke gdje pravac preko P 1, a P 2 ispunjava κ, navedeni poprečni omjer može se smatrati kao funkcija točke para <P 1, P 2 >. Kolineracije koje preslikavaju određeni konik na sebe tvore skupinu, a spomenuta funkcija očito je invariantna u ovoj grupi. Klein je pokazao da se određena funkcija ove funkcije ponaša poput obične udaljenosti na R, Prema prirodi konike κ, struktura određena ovom funkcijom zadovoljava ili (i) sve teoreme euklidske geometrije ravnina, ili (ii) sve one Lobačevskove geometrije ravnina, ili (iii) one treće geometrije koje Klein sebe otkrio i nazvao 'eliptičnim'. (U eliptičnoj geometriji svaka se ravna pravac susreće jedna s drugom, a tri unutarnja kuta trokuta uvijek se nadovezuju na više od dva prava kuta. Kleinova imena za geometrije Euklida i Lobačevskog bila su "parabolična" i "hiperbolička".)

Ovako Kleinov pristup djeluje na Lobačevski geometriju na ravnini. Neka je κ pravi konik - konik koji sadrži samo stvarne točke - na projektivnoj ravnini. Neka je G κ skup svih kolineacija koje preslikavaju κ na sebe. G κ je podskupina projektivne skupine. Razmotrimo sada poprečni omjer četverostrukih točaka <P 1, P 2, P 3, P 4 > takav da P 3 i P 4 pripadaju κ, dok P 1 i P 2raspon preko unutrašnjosti Int (κ) regije stvarne ravnine omeđene s κ. (P ∈ Int (κ) ako i samo ako je P stvarna točka i nema stvarne tangente na κ prolazi kroz P.) Kao što je gore napomenuto, izbor točaka P 1 i P 2 popravlja P 3 i P 4, tako da je rečeno poprečnog omjer može se smatrati kao funkcija prvog para točaka samo, recimo, f brojuk (P 1, P 2). Funkcija f κ je jasno G κ -invarijantna. Stavite d κ (P 1, P 2) = c log f κ (P 1, P 2), gdje je c proizvoljna konstanta real-vrijednosti, različita od 0, a log x označava glavnu vrijednost prirodnog logaritma x. Klein je uspio pokazati da se d κ ponaša upravo poput Lobačevske udaljene funkcije na Intu (κ). Drugim riječima, svaki teorem Lobačevskog geometrije drži za prikladne figure oblikovane iz točaka Int (κ), ako je udaljenost između bilo koje od ove dvije točke dana funkcijom d κ. Razmotrimo, na primjer, četiri točke P 1, P 2, P 3, i P 4 u Int (κ), tako da se d κ (P 1, P 2) = d κ (P 2, P 3) = d κ (P 3, P 4) = d κ (P 4, P 1). Oni su vrhovi Lobačevskog jednakostraničnog četverostrana Q koji može imati najviše tri prava kuta, u kojem slučaju četvrti unutarnji kut Q mora biti oštar. (Tamo gdje je "pravi kut" znači, kao i obično, kut jednak susjednom kutu, a dva kuta u Intu (κ) kažu da su jednaki ako je jedan slika drugog, pomoću transformacije grupe G κ).

Ako κ označava drugačiju vrstu konika, a ne običnu stvarnu, funkcija d κ dobivena gornjim postupkom ponaša se na prikladno definiranim područjima projektivne ravnine poput euklidijske funkcije udaljenosti ili poput funkcije udaljenosti eliptičke geometrije (to ovisi o prirodi konike κ). Stoga, ovisno o tome pripada li jedna ili druga od tri vrste konika, skupina kolineacija koja preslikava κ na sebe strukturno je identična s jednom od tri skupine lobačevskog, euklidskog ili eliptičnog izometrija. Slični rezultati vrijede i za trodimenzionalni slučaj, s κ kvadratnom površinom.

Kleinov rezultat doveo je Bertranda Russela (rođ. 1873, um. 1970.) u svojoj neokantijskoj knjizi o temeljima geometrije (1897.) tvrdio da nam je opći "oblik eksterijera" prioriran u projektivnoj geometriji, ali njegova metrička struktura - koja može biti samo Lobačevski, euklidska ili eliptična - mora se posteriori odrediti eksperimentom. Henri Poincaré (rođ. 1854, umro 1912.) zauzeo je radikalniji stav: Ako geometrija nije ništa drugo do proučavanje grupe,

može se reći da istina geometrije Euklida nije nespojiva s istinom geometrije Lobačevskog, jer postojanje grupe nije nespojivo s istinom druge skupine. (Poincaré 1887, str. 290)

Aplikacija za fiziku je neposredna: „Među svim mogućim skupinama koje smo izabrali, posebno, kako bismo ih nabrojali na sve fizičke pojave, baš kao što odaberemo tri koordinatne osi kako bismo ih nazvali geometrijskim likom“(ibid., p. 291). Izbor ove određene skupine motiviran je matematičkom jednostavnošću, ali i činjenicom da "u prirodi postoje izvanredna tijela koja se nazivaju kruta tvar, a iskustvo nam govori da su različita moguća kretanja tih tijela međusobno povezana mnogo na isti način kao i različite operacije odabrane skupine "(ibid.). Te Poincaréove primjedbe označavale su početak konvencionalizma u filozofiji znanosti i dale su svoju početnu motivaciju.

Kleinov grupno-teorijski pogled na geometriju uživao je veliku prednost među matematičarima i filozofima. Veliki je uspjeh postigao kad je Minkowski (1909) pokazao da je suština Einsteinove posebne teorije relativnosti (svemirska) geometrija Lorentz-ove skupine, što je suštinski rezultat u kojem je Klein (1911.) živio. To implicira da je nedavna rasprava o prioritetu Minkowskijevih kronogeometrija nad Lorentzovom invarijantnošću ili obrnuto krajnje neiskrena, jer su one logički ekvivalentne i, u stvari, dvije strane iste kovanice (kako je objasnio Acuña (2016)). Međutim, Kleinov Erlangen program nije uspio pokriti diferencijalnu geometriju Riemanna (§5), koji je Einstein (1915, 1916) stavio u jezgru svoje opće teorije relativnosti.

4. Aksiomatika usavršena

Prema Aristotelu, znanstvena saznanja (episteme) moraju se iskazati u izjavama koje deduktivno slijede iz konačnog popisa očiglednih izjava (aksioma) i koriste samo izraze definirane iz konačnog popisa shvaćenih pojmova (primitiva). Tijekom više od dva tisućljeća općenito se pretpostavljalo da je Aristotelov ideal zapravo ostvaren u Euklidovim Elementima. Zapravo, u Euclidu I.1 postoji logični jaz (rješenje ovog problema počiva na nestalnoj pretpostavci kontinuiteta) i nije jasno da je Euclid svoje postulate smatrao samorazumljivim (nazivajući ih ' zahtjeva 'sugerirao je da ne). Ideja o osiguravanju znanja logičkim zaključivanjem iz neupitnih principa imala je snažnu fascinaciju za moderne znanstvenike poput Galilea i Newtona, koji su oboje voljeli aksiomatiku,u svakom slučaju kao književni oblik, poput Spinoze u svojoj etici. Ipak, uistinu zadovoljavajući i, ako se tako može reći, ozbiljan primjer aksiomatizacije grane znanja bio je dostupan u tisku tek 1882. godine, kada je Moritz Pasch (rođen 1843., 1930.) objavio svoja predavanja o modernoj geometriji.

Pasch je geometriju promatrao kao prirodnu znanost čija uspješna upotreba u drugim znanostima i u praktičnom životu počiva „isključivo na činjenici da su se geometrijski pojmovi izvorno slagali s empirijskim objektima“(Pasch 1882, str. Iii). Geometrija se razlikuje od ostalih prirodnih znanosti po tome što dobiva samo vrlo malo pojmova i zakona izravno iz iskustva, i ima za cilj da iz njih dobije zakonitost složenijih pojava čisto deduktivnim sredstvima. Empirijski temelj geometrije Pasch je zaokružio jezgrom osnovnih pojmova i osnovnih iskaza ili aksioma. Osnovni pojmovi odnose se na oblik i veličinu tijela i na njihov položaj u odnosu jedan na drugo. Oni nisu definirani jer niti jedna definicija ne bi mogla zamijeniti "izložbu odgovarajućih prirodnih objekata", što je jedini put za razumijevanje tako jednostavnih,nerazrješivi pojmovi (ibid., str. 16). Svi ostali geometrijski pojmovi moraju se u konačnici definirati u smislu osnovnih. Osnovni pojmovi međusobno su povezani aksiomima, koji "navode ono što je opaženo na određenim vrlo jednostavnim dijagramima" (str. 43). Sve ostale geometrijske izjave moraju se dokazati iz aksioma najstrožim deduktivnim metodama. Sve što je potrebno za njihovo dokazivanje mora biti zabilježeno, bez iznimke, u aksiomima. One stoga moraju utjeloviti cjelokupni empirijski materijal razrađen geometrijom, tako da "nakon što su uspostavljene više nije potrebno pribjegavati osjetilnim percepcijama" (str. 17). "Svaki zaključak koji se pojavljuje u dokazu mora potvrditi u dijagramu, ali to nije opravdano dijagramom, već točno određenom ranijom tvrdnjom (ili definicijom)" (str. 43). Pasch je jasno razumio implikacije svoje metode. Piše (str. 98):

Da bi geometrija trebala biti zaista deduktivna, postupak zaključivanja mora u svim svojim dijelovima biti neovisan od značenja geometrijskih pojmova, baš kao što mora biti i neovisan od dijagrama. Sve što treba razmotriti su odnosi između geometrijskih pojmova, zabilježenih u izjavama i definicijama. Tijekom dedukcije dopušteno je i korisno imati na umu značenje geometrijskih pojmova koji se u njemu javljaju, ali to uopće nije potrebno. Doista, kada je to zaista nužno, to pokazuje da postoji jaz u dokazu, i - ako se jaz ne može otkloniti izmjenom argumenta - da su prostorije preniske da bi ih mogle podržati.

Paschova predavanja o modernoj geometriji bavila su se projektivnom geometrijom. Prva aksiomatizacija euklidske geometrije koja je bila u skladu s Paschovim standardima - Temelji geometrije Davida Hilberta (rođ. 1862, umro 1943.) - pojavila se 1899. i imala ogroman utjecaj na matematiku i filozofiju dvadesetog stoljeća. Hilbert poziva čitatelja da razmotri tri proizvoljne zbirke objekata koje naziva „točkama“, „ravnim linijama“i „ravninama“, te pet nedefiniranih odnosa između (i) točke i ravnala, (ii) ravna i ravnina, (iii) tri točke, (iv) dva para točaka ('segmenti') i (v) dvije klase ekvivalencije trostrukih točaka ('kutovi'). Uvjeti propisani u Hilbert '20 aksioma, uključujući aksiom cjelovitosti koji je dodan u drugom izdanju, dovoljni su za karakterizaciju navedenih predmeta i odnosa sve do izomorfizma. Izomorfizam - tj. Strukturalna ekvivalencija - može se održati između različitih, intuitivno različitih sustava objekata. Hilbert je iskoristio ovo svojstvo aksiomatskih teorija za proučavanje neovisnosti nekih aksioma od ostalih. Da bi to dokazao, predložio je stvarne slučajeve (modele) strukture određene svim aksiomima, ali jednim, plus negacijom izostavljenog. Frege se žalio da se geometrijski aksiomi zadržani u ovim vježbama mogu primijeniti na Hilbertove nadaleko utvrđene modele samo mijenjanjem prirodnog značenja riječi (usp. Alicein razgovor s Humpty Dumpty). Hilbert je odgovorio 29. prosinca 1899. godine:strukturalna ekvivalentnost - može se međutim nalaziti između različitih, intuitivno različitih, objekata objekata. Hilbert je iskoristio ovo svojstvo aksiomatskih teorija za proučavanje neovisnosti nekih aksioma od ostalih. Da bi to dokazao, predložio je stvarne slučajeve (modele) strukture određene svim aksiomima, ali jednim, plus negacijom izostavljenog. Frege se žalio da se geometrijski aksiomi zadržani u ovim vježbama mogu primijeniti na Hilbertove nadaleko utvrđene modele samo mijenjanjem prirodnog značenja riječi (usp. Alicein razgovor s Humpty Dumpty). Hilbert je odgovorio 29. prosinca 1899. godine:strukturalna ekvivalentnost - može se međutim nalaziti između različitih, intuitivno različitih, objekata objekata. Hilbert je iskoristio ovo svojstvo aksiomatskih teorija za proučavanje neovisnosti nekih aksioma od ostalih. Da bi to dokazao, predložio je stvarne slučajeve (modele) strukture određene svim aksiomima, ali jednim, plus negacijom izostavljenog. Frege se žalio da se geometrijski aksiomi zadržani u ovim vježbama mogu primijeniti na Hilbertove nadaleko utvrđene modele samo mijenjanjem prirodnog značenja riječi (usp. Alicein razgovor s Humpty Dumpty). Hilbert je odgovorio 29. prosinca 1899. godine:Da bi to dokazao, predložio je stvarne slučajeve (modele) strukture određene svim aksiomima, ali jednim, plus negacijom izostavljenog. Frege se žalio da se geometrijski aksiomi zadržani u ovim vježbama mogu primijeniti na Hilbertove nadaleko utvrđene modele samo mijenjanjem prirodnog značenja riječi (usp. Alicein razgovor s Humpty Dumpty). Hilbert je odgovorio 29. prosinca 1899. godine:Da bi to dokazao, predložio je stvarne slučajeve (modele) strukture određene svim aksiomima, ali jednim, plus negacijom izostavljenog. Frege se žalio da se geometrijski aksiomi zadržani u ovim vježbama mogu primijeniti na Hilbertove nadaleko utvrđene modele samo mijenjanjem prirodnog značenja riječi (usp. Alicein razgovor s Humpty Dumpty). Hilbert je odgovorio 29. prosinca 1899. godine:

Svaka je teorija samo skela ili shema koncepata zajedno s njihovim potrebnim međusobnim odnosima, a osnovni elementi mogu se zamisliti na bilo koji način koji želite. Ako uzmem za svoje stavove bilo koji sustav stvari, na primjer sustav ljubavi, zakona, dimnjačarstva … i sve svoje aksiome pretpostavljam kao odnose između tih stvari, mojih teorema - na primjer, teorema Pitagore - također držite se tih stvari. … Ova značajka teorija nikada ne može biti nedostatak i u svakom je slučaju neizbježna.

Sve to, naravno, proizlazi iz same naravi aksiomatike, kako je objašnjeno u odlomku citiranom iz Pascha. Doista, takve semantičke permutacije koje čuvaju istinu nisu bile novost u geometriji nakon što je Gergonne (1771.-1859.) 1825. skrenuo pozornost na sljedeće načelo dualnosti: Svaka istinska izjava geometrije projektivne ravni rađa još jedno, jednako istinito, dvostruko stajalište dobiveno od zamjenjujući "točku" za "liniju", "kolinearno" za "istodobnu", "susret" za "pridruživanje" i obrnuto, gdje god se te riječi nalaze u prvom. (U geometriji projektivnog prostora dvostrukost vrijedi za točke i ravnine.) Isti se rezultat osigurava, naravno, razmjenom ne riječi, već njihovih značenja.

5. diferencijalna geometrija Riemanna

U predavanju „O hipotezama koje stoje u temelju geometrije“, održanoj na Filozofskom fakultetu u Göttingenu 1854. i posthumno objavljenom 1867., Bernhard Riemann (rođen 1826, umro 1866) iznio je neke radikalno inovativne poglede na to smeta. Napomenuo je da se mjerljiva svojstva diskretnog mnogobroja mogu lako odrediti brojenjem. (Pomislite na stanovništvo neke zemlje i udio rođenih kršćana ili parova koji su se razveli u prvoj godini svog braka.) Ali kontinuirani mnogobrojni takvi pristup ne priznaju. Konkretno, mjerljiva svojstva fizičkog prostora, koja su predmet geometrije, ovise o silama vezivanja koje djeluju na njega. Udaljenost između dviju točaka u prostoru može se utvrditi štapom, trakom ili optičkim putem,a rezultat uvelike ovisi o fizičkom ponašanju korištenih instrumenata. Do sada su mjerljiva svojstva prostora uspješno opisana u skladu s euklidskom geometrijom. Međutim, empirijski koncepti na kojima počivaju metričke odredbe prostora - pojmovi krutog tijela i zrake svjetlosti gube svoju važnost u beskonačno malom; stoga je vrlo vjerojatno da se metrički odnosi prostora u beskonačno malom ne podudaraju s pretpostavkama geometrije, a zapravo bi to trebalo prihvatiti čim se fenomeni na taj način objasne na jednostavniji način”(Riemann 1854, str. 149). Kako bi pripremio fizičare za ovu mogućnost, Riemann je predložio općenitiju koncepciju geometrije. Riemannova osnovna shema dopušta mnogo veću općenitost nego što zapravo postiže; ali,prema njegovoj prosudbi, za sada bi trebalo biti dovoljno okarakterizirati geometriju kontinuiranih mnogobroja na takav način da se ona optimalno podudara s euklidskom geometrijom na malom susjedstvu svake točke.

Riemann se proširuje na n dimenzija metodama Gaussa (1828) u svojoj unutrašnjoj geometriji zakrivljenih površina ugrađenih u euklidski prostor (nazvan "intrinzičnim", jer opisuje metrička svojstva koja površine prikazuju same od sebe, neovisno o načinu na koji se leže u prostoru). Osvrćući se na Gaussovo djelo dobiva se bolji intuitivni osjećaj za Riemannove koncepte (vidjeti Torretti 1978, str. 68–82). Ipak, radi konciznosti i perspektivnosti, poželjno je gledati naprijed i iskoristiti određene koncepte koje su uveli kasniji matematičari dok su pokušavali smisliti Riemannov prijedlog. Razmotrimo modernu formulaciju Riemannove teorije u dodatku Moderna formulacija Riemannove teorije.

U svojoj studiji zakrivljenih površina Gauss je uveo funkciju vrijednu vrijednosti, Gaussovu zakrivljenost, koja mjeri lokalni odstupanje površine od ravnosti u smislu unutarnje geometrije površine. Riemann je taj pojam zakrivljenosti proširio na Riemannov n-raznolikost. Koristeći svoj prošireni koncept zakrivljenosti, uspio je s velikom elegancijom okarakterizirati metričke mnogostruke u kojima se sve figure mogu slobodno kretati bez promjene veličine i oblika. Oni su Riemannov mnogostrukost stalne zakrivljenosti. Ova se ideja može lijepo kombinirati s Kleinovom klasifikacijom metričkih geometrija. Razmatran kao riimanovo 3-mnogostruko, euklidski prostor ima konstantnu nultu zakrivljenost, Lobačevski prostor ima konstantnu negativnu zakrivljenost, a eliptični prostor ima stalnu pozitivnu zakrivljenost. U skladu s Erlangenskim programom,svaku od tih geometrija stalne zakrivljenosti karakterizira vlastita skupina izometrija. No Kleinova je koncepcija preuska da bi obuhvatila sve Riemannove geometrije, koje uključuju prostore promjenjive zakrivljenosti. Doista, u općenitom slučaju, grupa izometrija Riemannovog n-mnoštva je trivijalna skupina koja se sastoji samo od identiteta, čija struktura uopće ne sadrži nikakve podatke o odgovarajućoj geometriji.

6. Lažite grupe

Za filozofa najzadovoljnije obilježje strahovite kompliciranosti matematike 19. stoljeća bila je možda ažurnost s kojom su novostvorene (ili otkrivene?) Matematičke strukture našle svoj put u empirijskoj znanosti omogućujući intelektualno shvaćanje i rukovanje stvarnim pojavama, Završit ćemo ovo istraživanje geometrije 19. stoljeća s nekoliko svjetlosnih napomena o posebno bogatoj i plodnoj strukturi koja ima ponos u trenutnoj fizici, naime, skupine Lie, takozvane Sophus Lie (1842-1899), Norvežanin matematičar koji ih je dubinski proučavao nakon 1870. Lie grupa je, naravno, grupa u algebarskom smislu koju smo sreli u §3, to jest skup G takav da (i) svaki uređeni par <x, y> ∈ G pridružen je jedinstvenom elementu x · y ∈ G (poznat kao proizvod ili zbroj x i y);(ii) rad proizvoda je asocijativan, tj. (x · y) · z = x · (y · z), za svaki x, y, z ∈ G; (iii) postoji jedan i samo jedan element 0 ∈ G takav da je za svaki x ∈ G, x · 0 = 0 · x = x (0 je identitet ili neutralni element G); (iv) za svaki x ∈ G postoji jedan i samo jedan element x-1 -1 G tako da je x · x −1 = 0 (x −1 je poznat kao inverza x). Ali Lie grupa je i gladak razdjelnik, kao što je opisano u dodatku Moderna formulacija Riemannove teorije: skup G može biti predstavljen patchwise sustavima stvarnih (ili alternativno složenih) koordinata, međusobno povezanih dobro definiranim, diferencirajuće transformacije koordinata gdje god se njihovi preklopi preklapaju. Grupne i mnogostruke strukture G međusobno su povezane pod uvjetom da je operacija proizvoda različito preslikavanje G × G u G.

Jednostavan, ali važan primjer Lie grupe je skupina SO (2), instancirana rotacijama ravnine oko proizvoljne fiksne točke. Razdjelnik je topološki kompaktan i stoga ga nije moguće prekriti jednim koordinatnim zakrpom, ali bit će dovoljna tri: jedan uključuje, recimo, sve rotacije u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za više od tri radijana i manje od četiri, što se prirodno može koordinirati korištenjem stvarnih brojeva u otvoreni interval (3,4); drugi zakrpa koji sadrži inverse prvog, koji se može preslikati na otvoreni interval (−4, −3), i treći koji pokriva sve rotacije u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, za manje od dva pravca, plus obrnute kazaljke na satu, koji se mogu preslikati na otvoreni interval (−π, π). Doista, sve grupe na koje smo naišli u §3,koje je Klein koristio za karakterizaciju euklidske geometrije prostora i klasične ne-euklidske geometrije, su grupe Lie, a njihove pripadajuće strukture mnogostrukih mnogostruka omogućavaju topološke poteškoće. Dakle, euklidske izometrije predstavljaju nepovezan raznovrsnik, sa zrcalnim odrazom koji nije uključen u istu komponentu kao podskupina euklidskih pokreta.

Kao i svi glatki mnogoboji, i skupina Lie G ima tangentni vektorski prostor vezan za svaki element. Konkretno, tangencijski prostor na neutralnom elementu 0 od G postaje Liejeva algebra G definicijom takozvanog zagrade Lie, bilinearno preslikavanje T 0 G × T 0 G u T 0 G, što je za sve u, v, w u T 0 G zadovoljava uvjet [u, u] = 0 i Jacobijev identitet: [u, [v, w] + [v, [w, u] + [w, [u, v] = 0. Lieva algebra baca mnogo svjetla na strukturu G kroz homeomorfno ("eksponencijalno") preslikavanje susjedstva od 0 ∈ T 0 G u susjedstvo od 0 ∈ G.

U dodatku Moderna formulacija Riemannove teorije dotičemo se ideje snopa vlakana, formiranog s dva glatka razdjelnika F i M, koja su spojena "projekcijom" preslikavanja π F na M, koja razdjelnik F dijeli na "vlakna”, Preslikana s π na različite točke M. Snop vlakana <F, M, π> postaje glavni snop vlakana <F, M, π, G> ako grupa Lie, poznata kao struktura strukture snopa, djeluje na F na takav način da svako vlakno od F je ispunjena je orbita akcije i nekolicina drugih uvjeta. Na primjer, Lorentzova skupina je struktura strukture glavnog snopa vlakana tetrada (ortonormalni 4-čepovi tangencijalnih vektora u svakoj točki) u bilo kojem relativističkom svemirskom vremenu, bez obzira kako bizarno. Na takve načineLaževe skupine osiguravaju objedinjavanje mnogih modela koje dopušta fizička teorija i uvođenje među njima određenog stupnja homogenosti.

Tijekom posljednje trećine 20. stoljeća, snopovi vlakana i njihove Lie grupe praktično su preuzeli fundamentalnu fiziku. Ovdje nije mjesto za objašnjenje kako i zašto, ali nezaustavljivi evolucija fizike prema sve matematički sofisticiranijim, prima facie manje izravnim prikazima njezine teme, zaslužuje pozornost filozofa. Jasno je da koncept stabilne stabilne stvari, koja bi se, barem u načelu, mogla držati i manipulirati, više nije tako korisna kao što je bila nekada našim precima koji su stvarali kreme.

Bibliografija

Primarni izvori

  • Bolyai, J., 1832. Scientia absoluta spatii. Dodatak Bolyai, F., Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae elementis ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentiaque huic propria, Introdundi, Tomus Primus. Maros Vasarhely: J. et S. Kali. (Engleski prijevod GB Halsted tiskan kao dodatak Bonoli 1955.)
  • Cayley, Arthur, 1859. „Šesti memoar o kvalici“, Filozofske transakcije Kraljevskog društva Londona, 149: 61–90.
  • Ehresmann, Ch., 1957. "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable", u Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Bruxelles 1950, Pariz: Masson, str. 29–55.
  • Einstein, A., 1915. „Die Feldgleichungen der Gravitation“, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1915), str. 844–847.
  • Einstein, A., 1916. „Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie“, Annalen der Physik, 49: 769–822.
  • Euclides, Elementa, IL Heiberg (ur.), Leipzig: BG Teubner, 5 svezaka, 1883–88. (Za prijevod s engleskog, vidi dolje, ispod Heath-a).
  • Gauss, CF, 1828. Disquisitiones generales circa superficies curvas, Göttingen: Dieterich. (Engleski prijevod A. Hiltebietel i J. Morehead: Hewlett, NY, Raven Press, 1965.)
  • Hilbert, D., 1899. „Die Grundlagen der Geometrie“, u Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber Denkmals, Leipzig: BG Teubner, str. 3–92.
  • Hilbert, D., 1968. Grundlagen der Geometrie, mit Supplementen von P. Bernays. Zehnte Auflage. Stuttgart: Teubner. (Deseto, revidirano izdanje Hilberta 1899.)
  • Klein, F., 1871. "Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie", Mathematische Annalen, 4: 573–625.
  • Klein, F., 1872. Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Erlangen: A. Duchert.
  • Klein, F., 1873. „Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Zweiter Aufsatz)“, Mathematische Annalen, 6: 112–145.
  • Klein, F., 1893. "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen", Mathematische Annalen, 43: 63–100. (Prepravljena verzija Kleina 1872.).
  • Klein, F., 1911. „Über die geometrischen Grundlagen der Lorentz-Gruppe,“Physikalische Zeitschrift, 12: 17–27.
  • Lie, S., 1888–1893. Theorie der Transformationsgruppen (3 sveska), Unter Mitwirkung von F. Engel, Leipzig: Teubner.
  • Lobachevsky, NI, 1837. „Géométrie imaginaire“, časopis za die die reine und angewandte Mathematik, 17: 295–320.
  • Lobachevsky, NI, 1840. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlin: F. Fincke. (Engleski prijevod GB Halsted tiskan kao dodatak Bonoli 1955.)
  • Lobachevsky, NI, 1856. Pangéométrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles, Kazan: Universityitet.
  • Locke, J., 1690. Esej o razumijevanju ljudi (u četiri knjige), London: Tiskao za Thomas Basset, a prodao Edward Mory. (Objavljeno anonimno; ime autora dodano je u drugom izdanju).
  • Minkowski, H., 1909. "Raum und Zeit", Physikalische Zeitschrift, 10: 104–111.
  • Pasch, M., 1882. Vorlesungen über neueren Geometrie, Leipzig: Teubner.
  • Poincaré, H., 1887. „Sur les hipothèses fondamentales de la géométrie“, Bilten iz Société mathématique de France, 15: 203–216.
  • Poncelet, JV, 1822. Traité des propriétés projectives des figure, Pariz: Bachelier.
  • Ricci, G. i T. Levi-Cività, 1901. "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", Mathematische Annalen, 54: 125–201.
  • Riemann, B., 1854. "Über die Hypothesen, Welche der Geometrie zugrunde liegen", Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1867): 133–152. (Za prijevod s engleskog, pogledajte dolje, ispod Spivaka.)
  • Riemann, B., 1861. „Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab illustrissima Acad. Parisiensi offersitae,”u: Bernhard Riemanns gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, Leipzig: Teubner, 1876, str. 391–404.
  • Russell, B., 1897. Esej o temeljima geometrije, Cambridge: Cambridge University Press. (Nepromijenjeni reprint: New York, Dover, 1956.)
  • Saccheri, G. 1733. Euclides ab omni nævo vindicatus sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universæ geometriæ principia, Mediolani: Ex Typographia Pauli Antonii Montani. (Ponovno tiskanje, s engleskim prijevodom GB Halsted: New York, Chelsea, 1986.)

Sekundarna literatura

  • Acuña, Pablo, 2016. „Minkowski svemir i invazija Lorentza: Kolica i konj ili dvije strane jedne kovanice?“, Studije povijesti i filozofije znanosti (Dio B: Studije povijesti i filozofije moderne fizike), 55: 1–12.
  • Blumenthal, LM, 1961. Moderni prikaz geometrije, San Francisco: Freeman.
  • Boi, Luciano, 1995. Le problème mathématique de l'espace: Une quête de l'intelligible, Berlin: Springer.
  • Bonola, R., 1955. Ne-euklidska geometrija: kritička i povijesna studija njenog razvoja. Prijevod na engleskom s dodatcima HS Carslaw. New York: Dover.
  • Freudenthal, H., 1957. "Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie", Nieuw Archief vor Wiskunde, 5: 105–142.
  • Freudenthal, H., 1960. "Die Grundlagen der Geometrie um die Wende des 19. Jahrhunderts", Mathematisch-physikalische Semesterbericht, 7: 2–25.
  • Gallot, S., D. Hulin i J. Lafontaine, 2004. Riemannian Geometry, Berlin: Springer, 3. izdanje. (Ažurirani udžbenik, s rješenjima vježbi s nebrojenim brojevima. Odjeljak je posvećen "pseudo" -riimskoj geometriji korištenoj u Teoriji relativnosti.)
  • Giedymin, J., 1982. Nauka i konvencija: eseji o filozofiji znanosti i konvencionalističkoj tradiciji Henrija Poincaréa, Oxford: Pergamon.
  • Greenberg, MJ, 2008. Euklidska i ne-euklidska geometrija: razvoj i povijest, New York: Freeman, 4. izdanje. (Izvrsno sredstvo za samostalno učenje na razini srednjoškolskog ili visokog učilišta.)
  • Heath, TL, 1956. Trinaest knjiga Euklidovih elemenata, prevedenih iz Heibergovog teksta s uvodom i komentarom, New York: Dover, 3 sveska, drugo izdanje, revidirano s dodacima.
  • Magnani, L., 2001. Filozofija i geometrija: Teorijska i povijesna pitanja, Dordrecht: Kluwer.
  • Nagel, E., 1939. „Formiranje modernih koncepcija formalne logike u razvoju geometrije“, Oziris, 7: 142–224.
  • O'Neill, B., 1983. Polimerjanska geometrija s primjenama na relativnost, New York: Academic Press.
  • Nomizu, K., 1956. Grupe laži i diferencijalna geometrija, Tokio: Japansko matematičko društvo.
  • Ronan, M., 2008. „Teorija laži“, u T. Gowersu (ur.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, str. 229–234.
  • Rosenfeld, BA, 1988. Povijest ne-euklidske geometrije: evolucija koncepta geometrijskog prostora, preveo Abe Shenitzer, New York: Springer.
  • Spivak, M., 1979. Sveobuhvatni uvod u diferencijalnu geometriju (5 svezaka), Berkeley: Publish or Perish, drugo izdanje. (Sadrži izvrstan engleski prijevod, s matematičkim komentarom, Riemannovog predavanja "O hipotezama koje stoje u osnovi geometrije"; vidjeti vol. 2, str. 135ff.)
  • Torretti, R., 1978. Filozofija geometrije od Riemanna do Poincaréa, Dordrecht: Reidel. (Ispravljeni reprint: Dordrecht, Reidel, 1984).
  • Trudeau, RJ, 1987. Ne-euklidska revolucija, Boston: Birkhäuser.
  • Winnie, JW, 1986. "Invarijanti i objektivnost: Teorija s primjenama na relativnost i geometriju", u RG Colodny (ur.), Od Quarks do Quasars, Pittsburgh: Pittsburgh University Press, str. 71-180.

Akademske alate

sep man ikona
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

[Molimo kontaktirajte autora s prijedlozima.]

Preporučeno: