Hibridna Logika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-08-25 04:38

Ulazna navigacija

• Sadržaj unosa
• Bibliografija
• Akademske alate
• Prijatelji PDF pregled
• Podaci o autoru i citiranju
• Povratak na vrh

Hibridna logika

Prvo objavljeno u utorak, 13. lipnja 2006.; suštinska revizija Fri Mar 24, 2017

Hibridna logika su logike koje nastaju dodavanjem dodatne ekspresivne snage običnoj modalnoj logici. Najosnovnija hibridna logika dobiva se dodavanjem takozvanih nominala koji su prijedloški simboli nove vrste, a svaki je istinit u točno jednom mogućem svijetu. Povijest hibridne logike seže u rad Arthura N. Priorha u 1960-ima.

• 1. Motivacije za hibridnu logiku
• 2. Formalna semantika
• 3. Prijevodi
• 4. Arthur N. Prioritetna i hibridna logika
• 5. Razvoj hibridne logike od Prior
• 6. Aksiomi za hibridnu logiku
• 7. Metode analitičkog dokazivanja hibridne logike
• Bibliografija
• Akademske alate
• Ostali internetski resursi
• Povezani unosi

1. Motivacije za hibridnu logiku

Istina je u standardnoj Kripke semantika za modalnu logiku istina relativna prema točkama u skupu. Dakle, prijedložni simbol može imati različite vrijednosti istine u odnosu na različite točke. Obično se ove točke predstavljaju kao mogući svjetovi, vremena, epiztemska stanja, stanja u računalu ili nešto treće. To nam omogućava da formaliziramo izjave na prirodnom jeziku čije su vrijednosti istine relativne, primjerice, vremenima, kao što je izjava

pada kiša

koja očito ima različite vrijednosti istine u različitim vremenima. Sada su određene izjave na prirodnom jeziku točne u točno jednom vremenu, mogućem svijetu ili nečem drugom. Primjer je izjava

pet je sati, 15. ožujka 2006

što je istina u pet sati 15. ožujka 2006., ali lažno u svim ostalim vremenima. Prva vrsta izjava iz prirodnog jezika može se formalizirati u običnoj modalnoj logici, ali druga vrsta ne može.

Glavna motivacija hibridne logike je dodavanje daljnje ekspresivne moći običnoj modalnoj logici s ciljem mogućnosti formalizacije druge vrste izjava. To se dobiva dodavanjem uobičajenoj modalnoj logici druge vrste prijedloga simbola nazvanih nominali tako da je u Kripkeovoj semantiki svaki nomin tačan u odnosu na točno jednu točku. Izjava druge vrste prirodnog jezika (poput primjera izjave u vremenu od pet sati 15. ožujka 2006.) tada se formalizira korištenjem nominalnog, a ne običnog prijedloškog simbola (koji bi se koristio za formalizaciju primjera izjave s kišnim vremenom), Činjenica da je nominalna vrijednost tačna u odnosu na točno jednu točku znači da se nominala može smatrati pojmom koji se odnosi na točku, na primjer, ako je (mathtt {a}) naziv koji znači pet je o 'sat 15. ožujka 2006.',onda se ovaj naziv može smatrati pojmom koji se odnosi na vrijeme u pet sati 15. ožujka 2006. Dakle, u hibridnoj logici izraz je specifična vrsta prijedloga simbola, dok je u logici prvog reda argument za predikat.

Većina hibridnih logika uključuje dodatne dodatne strojeve od nominala. Postoji nekoliko mogućnosti za dodavanje daljnjih strojeva; ovdje ćemo razmotriti ono što nazivamo operaterima zadovoljstva. Motivacija za dodavanje operatora zadovoljstva je u mogućnosti formalizirati izjavu koja je istinita u određenom vremenu, mogućem svijetu ili nečem drugom. Na primjer, želimo biti u stanju formalizirati da je izjava „pada kiša“istinita u vrijeme pet sati, 15. ožujka 2006. godine, tj. Da

u pet sati 15. ožujka 2006. pada kiša.

To je formalizirano formulom (mathtt {@_ a p}) gdje naziv (mathtt {a}) označava "to je pet sati 15. ožujka 2006." kao gore, a gdje je (mathtt {p}) je uobičajeni prijedloški simbol koji označava "pada kiša". To je dio (mathtt {@_ a}) formule (mathtt {@_ a p}) koji se zove operator zadovoljstva. Općenito, ako je (mathtt {a}) nominalna, a (mathtt { phi}) proizvoljna formula, tada se nova formula (mathtt {@_ a / phi}) naziva a izjava o zadovoljstvu može se izgraditi. Izjava o zadovoljstvu (mathtt {@_ a / phi}) izražava da je formula (mathtt { phi}) tačna u odnosu na određenu točku, naime na točku na koju je naziv (mathtt {a }) odnosi se.

Ukratko, sada smo dodali dodatnu ekspresivnu snagu običnoj modalnoj logici u obliku nominala i operatora zadovoljstva. Neformalno, naziv (mathtt {a}) ima uvjet istine

(mathtt {a}) je istina u odnosu na točku (w)

ako i samo ako

je referenca (mathtt {a}) identična (w)

a izjava o zadovoljstvu (mathtt {@_ a / phi}) ima uvjet istine

(mathtt {@_ a / phi}) je istina u odnosu na točku (w)

ako i samo ako je

(mathtt { phi}) tačno u odnosu na referencu (mathtt {a })

Imajte na umu da točka (w) zapravo nije bitna u stanju istine za (mathtt {@_ a / phi}) jer operator zadovoljstva (mathtt {@_ a}) pomiče točku vrednovanja na referencu (mathtt {a}) bez obzira na identitet (w).

Izvrsno je da nam nominali zajedno s operaterima zadovoljstva omogućuju da izrazimo da su dvije točke identične: Ako su nominali (mathtt {a}) i (mathtt {b}) upućeni na točke (w) i (v), tada formula (mathtt {@_ a b}) izražava da su (w) i (v) identični. Sljedeći redak obrazloženja pokazuje zašto.

(mathtt {@_ a b}) je istina u odnosu na točku (w)

ako je i samo ako je

(mathtt {b}) tačno u odnosu na referencu (mathtt {a})

ako i samo ako je

(mathtt {b}) istina u odnosu na (w)

ako i samo ako

je referenca (mathtt {b}) identična (w)

ako i samo ako je

(v) istovjetan (w)

Odnos identiteta na skupu ima dobro poznata svojstva refleksivnost, simetričnost i tranzitivnost, što se odražava na činjenicu da formule

) start {align *} & / mathtt {@_ a a} & / mathtt {@_ a b / rightarrow @_b a} & (mathtt {@_ a b / amp @_b c) rightarrow @ _a c} kraj {poravnati}})

vrijede formule hibridne logike. Također formula

[(mathtt {@_ ab / amp @_a / phi) rightarrow @_b / phi})

vrijedi. Ovo je pravilo zamjene.

Pored nominala i operatora zadovoljstva, u nastavku teksta razmotrit ćemo tzv. Veziva (mathtt { forall}) i (mathtt { downarrow}) koji nam omogućuju izgradnju formula (mathtt { forall a / phi}) i (mathtt {{ downarrow} a / phi}). Vezivi vežu nominale na bodove na dva različita načina: Vezivo (mathtt { forall}) kvantificira nad bodovima analognim standardnom univerzalnom kvantifikatu prvog reda, to jest (mathtt { forall a / phi}) je istina u odnosu na (w) ako i samo ako se bez obzira na točku na koju se odnosi oznaka (mathtt {a}), slučaj (mathtt { phi}) je istina u odnosu na (m). Vezivac (mathtt { downarrow}) veže nominalno na točku vrednovanja, to jest, (mathtt {{ downarrow} a / phi}) je istina u odnosu na (w) ako i samo ako je (mathtt { phi}) istina u odnosu na (w) kad se (mathtt {a}) odnosi na (w). Ispada da je vezivo (mathtt { downarrow}) moguće definirati u smislu (mathtt { forall}) (kao što je prikazano u nastavku).

2. Formalna semantika

Jezik koji smatramo jezikom je obične modalne logike izgrađene preko običnih prijedloga simbola (mathtt {p}, / mathtt {q}, / mathtt {r}, …), kao i nominala (mathtt {a}, / mathtt {b}, / mathtt {c},…) i proširio se s operaterima zadovoljstva i vezivačima. Uzmemo da su prijedloge veza (mathtt { wedge}) i (mathtt { neg}) primitivna; ostali propozicijski vezni elementi definirani su kao i obično. Slično tome, uzmemo modalni operator (mathtt { Box}) kao primitivan i definiramo modalni operator (mathtt { Diamond}) kao (mathtt { neg / Box / neg}), Kao što ime sugerira, veziva vezuju nominale, a pojmovi slobodnih i vezanih pojava nominala definirani su analogno logici prvog reda. Operatori zadovoljstva ne vežu nominale, tj.slobodni nazivni događaji u formuli (mathtt {@_ a / phi}) su slobodni nazivni događaji u (mathtt { phi}) zajedno s pojavom (mathtt {a}). Pustimo (mathtt { phi [c / a]}}) formula (mathtt { phi}) u kojoj je naziv (mathtt {c}) zamijenjen za sve slobodne pojave naziv (mathtt {a}). Ako se nominalno (mathtt {a}) pojavljuje besplatno u (mathtt { phi}) u okviru (mathtt { forall c}) ili (mathtt {{ downarrow} c}), tada je vezani nominalni (mathtt {c}) u (mathtt { phi}) preimenovan kao prikladan. Ako se nominalno (mathtt {a}) pojavljuje besplatno u (mathtt { phi}) u okviru (mathtt { forall c}) ili (mathtt {{ downarrow} c}), tada je vezani nominalni (mathtt {c}) u (mathtt { phi}) preimenovan kao prikladan. Ako se nominalno (mathtt {a}) pojavljuje besplatno u (mathtt { phi}) u okviru (mathtt { forall c}) ili (mathtt {{ downarrow} c}), tada je vezani nominalni (mathtt {c}) u (mathtt { phi}) preimenovan kao prikladan.

Sada definiramo modele i okvire. Model hibridne logike je trostruki ((W, R, V)) gdje je (W) neprazan skup, (R) je binarni odnos na (W), i (V) je funkcija koja svakom paru koji se sastoji od elementa (W) i običnog prijedloga simbola dodjeljuje element skupa ({0,1 }). Par ((W, R)) naziva se okvirom. Dakle, modeli i okviri su isti kao u običnoj modalnoj logici. Elementi (W) nazivaju se svjetovi, a odnos (R) naziva se odnosom pristupačnosti. Kaže se da se model ((W, R, V)) temelji na okviru ((W, R)).

Zadatak za model (M = (W, R, V)) je funkcija (g) koja svakom nazivu dodjeljuje element (W). Zadatak (g ') je (mathtt {a}) -varijant (g) ako se (g') slaže s (g) na svim nominalima, osim eventualno (mathtt {a}). Odnos (M, g, w / vDash / phi) je definiran indukcijom, gdje je (g) zadatak, (w) je element (W), a (mathtt { phi}) je formula.

(M, g, w / vDash / mathtt {p}) iff (V (w, / mathtt {p}) = 1)

(M, g, w / vDash / mathtt {a}) iff (w = g (mathtt {a}))

(M, g, w / vDash / mathtt { phi / klin / psi}) iff (M, g, w / vDash / mathtt { phi }) i (M, g, w / vDash / mathtt { psi})

(M, g, w / vDash / mathtt { neg / phi}) ako ne (M, g, w / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt { Box} phi) iff za bilo koji element (v) od (W) takav da (wRv), slučaj je da (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {@_ a / phi}) iff (M, g, g (mathtt {a}) vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt { forall a / phi}) iff za bilo koji (mathtt {a}) - varijanta (g ') od (g), slučaj je (M, g', w / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {{ downarrow} a / phi}) iff (M, g ', w / vDash / mathtt { phi}) gdje je (g') (mathtt {a}) - varijanta (g) takva da je (g '(mathtt {a}) = w).

Formula (mathtt { phi}) se kaže da je istinita u (w) ako (M, g, w / vDash / mathtt { phi}); inače se za (w) kaže da je lažna. Prema konvenciji (M, g / vDash / mathtt { phi}) znači (M, g, w / vDash / mathtt { phi}) za svaki element (w) od (W) i (M / vDash / mathtt { phi}) znači (M, g / vDash / mathtt { phi}) za svaki zadatak (g). Formula (mathtt { phi}) vrijedi u okviru ako i samo ako (M / vDash / mathtt { phi}) za bilo koji model (M) koji se temelji na dotičnom okviru, Formula (mathtt { phi}) vrijedi u klasi okvira (F) ako i samo ako (mathtt { phi}) vrijedi u bilo kojem okviru u (F). Formula (mathtt { phi}) vrijedi ako i samo ako je (mathtt { phi}) valjana u klasi svih okvira. Definicija zadovoljstva prepuštena je čitatelju.

Imajte na umu da je vezivo (mathtt { downarrow}) moguće definirati u smislu (mathtt { forall}) kao formula (mathtt {{ downarrow} a / phi / leftrightarrow / forall a (a / rightarrow / phi)}) vrijedi u bilo kojem okviru.

Činjenica da hibridizacija obične modalne logike zapravo daje veću izražajnu moć, na primjer, može se vidjeti razmatranjem formule (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}). Jednostavno je provjeriti vrijedi li ta formula u okviru ako i samo ako je okvir nerefleksivan. Dakle, nerefleksivnost se može izraziti hibridno-logičkom formulom, ali dobro je poznato da se ona ne može izraziti nijednom formulom uobičajene modalne logike. Nerefleksivnost se zapravo može izraziti samo dodavanjem nominala u uobičajenu modalnu logiku, točnije formulom (mathtt {c / rightarrow / Box / neg c}). Ostali primjeri svojstava koja se mogu izraziti hibridnom logikom, ali ne u uobičajenoj modalnoj logici, su asimetrija (izražena (mathtt {c / rightarrow / Box / neg / Diamond c})), antisimetrija (izraženo s (mathtt { c / rightarrow / Box (Dijamant c / rightarrow c)})),i univerzalnost (izražena s (mathtt { Diamond c})).

Pogledajte poglavlje priručnika Areces i ten Cate (2006) za detaljan prikaz sintakse i semantike hibridne logike, kao i mnoge druge osnovne definicije. Gornja sintaksa i semantika mogu se proširiti na više načina, posebice se mogu dodati strojevi prvog reda (naravno, ekvivalentan način dobivanja hibridne logike prvog reda je dodavanjem hibridno-logičke mašinerije u modalitet prvog reda logika). Pogledajte Braüner (2014) za pregled hibridne logike prvog reda, za detaljniji račun pogledajte poglavlje 6 Braüner (2011a), a poglavlje 7 Braüner (2011a) za račun intenzivne hibridne logike prvog reda.

3. Prijevodi

Hibridna logika može se s ravnopravnošću prevesti u logiku prvog reda, a (fragment) logike prvog reda s jednakošću može se prevesti natrag (u fragment) hibridne logike. Jezik prvog reda koji se razmatra ima predikatni simbol na jednom mjestu (mathtt {p ^ *}) koji odgovara svakom uobičajenom prijedlogu simbola (mathtt {p}) modalne logike, predikatski simbol na dva mjesta (mathtt {R}) i predikatni simbol na dva mjesta (mathtt {=}). Naravno, predikatni simbol (mathtt {p ^ *}) tumačit će se tako da relativizira interpretaciju odgovarajućeg modalnog prijedložnog simbola (mathtt {p}) na svjetove, predikatni simbol (mathtt {R}) će se interpretirati korištenjem odnosa pristupačnosti, a predikatni simbol (mathtt {=}) bit će interpretiran pomoću identickog odnosa na svjetovima. Dopuštamo (mathtt {a}, / mathtt {b},\ mathtt {c}, / ldots) raspon nad varijablama prvog reda. Jezik nema stalne ili funkcijske simbole. Identificirat ćemo varijable prvog reda s nominalama hibridne logike.

Prvo hibridiziramo hibridnu logiku u logiku prvog reda s ravnopravnošću. S obzirom na dvije nove varijable prvog reda (mathtt {a}) i (mathtt {b}), prijevodi (mathrm {ST} _ / mathtt {a}) i (mathrm { ST} _ / mathtt {b}) definirani su međusobnom rekurzijom. Samo dajemo prijevod (mathrm {ST} _ / mathtt {a}).

) početak {poravnati}} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {p}) & = / mathtt {p ^ * (a)} / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a } (mathtt {c}) & = / mathtt {a = c} / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi / wedge / psi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) mathtt { wedge} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { psi}) / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a } (mathtt { neg / phi}) & = / mathtt { neg} mathrm {ST} _a (phi) / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { Box / phi }) & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt { phi}) mathtt {)} / \ mathrm {ST } _ / mathtt {a} (mathtt {@_ c / phi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi})) mathtt {c} / / mathtt {a}] / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {{ downarrow} c / phi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi})) mathtt {a} / / mathtt {c}] / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { forall c / phi}) &= / mathtt { forall c} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) end {poravnati *})

Definicija (mathrm {ST} _ / mathtt {b}) dobiva se razmjenom (mathtt {a}) i (mathtt {b}). Prijevod je proširenje dobro poznatog standardnog prijevoda iz modalne logike u logiku prvog reda. Kao primjer, korak po korak prikazujemo kako se hibridno-logička formula (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) prevodi u formulu prvog reda:

) početak {poravnati *} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { Box / neg c})) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt { neg c}) mathtt {)}) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt {c}) mathtt {)}) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg b = c)}) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg b = a)}. / End {align *})

Rezultirajuća formula prvog reda jednaka je (mathtt { neg R (a, a)}) što pokazuje da (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) doista odgovara odnos pristupačnosti je irefleksivan, usp. iznad.

Logika prvog reda s jednakošću može se prevesti natrag u hibridnu logiku dolje navedenim prijevodom HT-a.

) početak {poravnati}} mathrm {HT} (mathtt {p ^ * (a)}) & = / mathtt {@_ a p} / \ mathrm {HT} (mathtt {R (a, c)}) & = / mathtt {@_ a / Diamond c} / \ mathrm {HT} (mathtt {a = c}) & = / mathtt {@_ a c} / \ mathrm {HT} (mathtt { phi / wedge / psi}) & = / mathrm {HT} (mathtt { phi}) mathtt { wedge} mathrm {HT} (mathtt { psi}) / \ mathrm {HT} (mathtt { neg / phi}) & = / mathtt { neg} mathrm {HT} (mathtt { phi}) / \ mathrm {HT} (mathtt { forall a / phi}) & = / mathtt { forall a} mathrm {HT} (mathtt { phi}) end {poravnati *})

Imajte na umu da je potrebno hibridno-logičko vezivo (mathtt { forall}). Povijest gore spomenutih opažanja seže do djela Arthura N. Prior-a, čemu ćemo se vratiti kasnije.

Slično tome, ono što se naziva ograničeni fragment logike prvog reda može se prevesti u hibridnu logiku, ali ovdje je potrebno samo vezivo (mathtt { downarrow}), kao što je istaknuto u dokumentima Areces, Blackburn i Marx (2001). Ograničeni fragment je fragment logike prvog reda sa svojstvom koje se kvantifikatori javljaju samo kao u formuli (mathtt { forall c (R (a, c) rightarrow / phi)}), gdje je potrebno da su varijable (mathtt {a}) i (mathtt {c}) različite. Prijevod iz ograničenog fragmenta u hibridnu logiku bez veziva (mathtt { forall}) može se dobiti zamjenom posljednje rečenice u prijevodu HT gore s

) mathrm {HT} (mathtt { forall c (R (a, c) rightarrow / phi)}) = / mathtt {@_ a / Box { downarrow} c} mathrm {HT} (mathtt { phi}).)

U člancima Areces, Blackburn i Marx (2001.) date su brojne neovisne semantičke karakteristike omeđenog fragmenta.

Gore navedeni prijevodi čuvaju istinu. Da bismo to formalno iznijeli, koristi se dobro poznato opažanje da se modeli i zadaci hibridne logike mogu smatrati modelima i zadacima logike prvog reda i obrnuto. Ove rezultate očuvanja istine lako je formulirati, a detalje ostavljamo čitatelju. Dakle, hibridna logika sa vezivom (mathtt { forall}) ima istu izražajnu snagu kao logika prvog reda s jednakošću i hibridna logika bez veziva (mathtt { forall}) (ali s vezivo (mathtt { downarrow})) ima istu izražajnu snagu kao ograničeni fragment logike prvog reda (imajte na umu da prijevod (mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi})) bilo koje formule (mathtt { phi}) bez veziva (mathtt { forall}) je u ogranicenom fragmentu).

Gore navedeni prijevodi mogu se proširiti na hibridnu logiku prvog reda, u tom slučaju relevantna ciljna logika je dvostrana logika prvog reda s jednakošću, jedna vrsta za svjetove i jedna vrsta za pojedince, vidi poglavlje 6 Braünera (2011a). U slučaju intenzivne hibridne logike prvog reda, primjenjuju se tri vrste, a treća vrsta je za intenzitete, vidi 7. poglavlje Braünera (2011a).

4. Arthur N. Prioritetna i hibridna logika

Povijest hibridne logike seže do Arthura N. Prior-ove hibridne napete logike, što je hibridizirana inačica obične napete logike. S ciljem daljnjeg istraživanja, dat ćemo formalnu definiciju hibridne napete logike: Jezik hibridne napete mreže jednostavno je jezik hibridne logike definiran gore, osim što postoje dva modalna operatora, naime (mathtt {G}) i (mathtt {H}), umjesto pojedinog modalnog operatora (mathtt { Box}). Dva nova modalna operatera nazivaju se napetim operaterima. Semantika hibridne napete logike je semantika hibridne logike, usp. ranije, s klauzulom za (mathtt { Box}) zamijenjena klauzulama za napete operatore (mathtt {G}) i (mathtt {H}).

(M, g, w / vDash / mathtt {G / phi}) iff za bilo koji element (v) od (W) takav da (wRv), to je slučaj (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {H / phi}) iff za bilo koji element (v) od (W) takav da (vRw), slučaj je (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

Dakle, sada postoje dva modalna operatera, onaj koji "gleda naprijed" duž odnosa pristupačnosti i onaj koji "gleda unatrag". U napetoj logici elementi skupa (W) nazivaju se momenti ili momenti, a odnos (R) naziva odnos raniji-kasniji.

Naravno, izravno je mijenjati prijevode (mathrm {ST} _a) i (mathrm {HT}) gore tako da se prijevodi dobivaju između hibridne napete logike (uključujući (mathtt { forall }) vezivo) i logika prvog reda s jednakošću. Logika prvog reda koja se razmatra ono je što je Prior nazvao logikom prvog reda ranije-kasnije. S obzirom na prijevode, slijedi da ranija-kasnija logika Prvog reda ima istu izražajnu snagu kao i hibridna napeta logika.

Sada je Prior uveo hibridnu napetu logiku u vezi s onim što je nazvao četiri stupnja napeto-logičke uključenosti. Motivacija za njegova četiri stupnja napeto-logičke uključenosti bila je filozofska. Četiri razreda predstavljene su u knjizi Prior (1968), poglavlje XI (također poglavlje XI u novom izdanju Prior (2003)). Štoviše, vidi Prije (1967.), poglavlje V.6 i dodatak B.3-4. Za općenitiju raspravu pogledajte posthumno objavljenu knjigu Prior and Fine (1977). Faze napreduju od onoga što se može smatrati čistom logikom prvog reda ranije-kasnije do onoga što se može smatrati čistom napetom logikom; cilj je biti sposoban smatrati napetu logiku četvrtog stupnja koja uključuje raniju-kasniju logiku prve faze. Drugim riječima, cilj je bio biti u mogućnosti prevesti logiku prvog reda odnosa ranijeg i kasnijeg u napetost. To je s tim ciljem imao na umu. Prior je uveo takozvane instant prijedloge:

Ono što ću nazvati trećim razredom napeto-logičke uključenosti sastoji se u tretiranju trenutnih varijabli (a, b, c), itd., Kao i predstavljajući prijedloge. (Prije 2003., str. 124)

U kontekstu modalne logike, Prior je takve propozicije nazivao prijedlogom mogućih svijeta. Naravno, to je ono što mi ovdje zovemo nominali. Prior je također uveo vezivo (mathtt { forall}) i ono što mi ovdje nazivamo operaterima zadovoljstva (upotrijebio je notaciju (mathtt {T (a, / phi)}) umjesto (mathtt {@ _a / phi}) za operatore zadovoljstva). U stvari, Pregorova logika napetog trećeg razreda identična je hibridnoj napetosti kao što je gore definirano. Vezivac (mathtt { downarrow}) uveden je mnogo kasnije. Tako je Prior stekao ekspresivnu snagu svojeg prvog reda logike ranijeg i kasnijeg dodavanja uobičajenoj nategnutoj logici daljnju ekspresivnu snagu u obliku nominala, operatora zadovoljstva i veziva (mathtt { forall}). Tako je s tehničkog gledišta jasno postigao svoj cilj.

Međutim, s filozofskog stajališta raspravljalo se o tome je li ontološki uvoz njegove logike trećeg razreda isti ili ne kao ontološki uvoz logike prvog reda ranije-kasnije. Na primjer, vezivo (mathtt { forall}) neki autori smatraju izravnom analogijom kvantifikatora prvog reda (mathtt { forall}), i stoga sumnjivim; pogledajte primjerice članak Sylvan (1996) u zbirci Copeland (1996). Također je relevantan i niz drugih radova u ovoj zbirci. Pogledajte Braüner (2002) za raspravu o Prijerovoj napetoj logici četvrtog razreda. Vidi također Øhrstrøm i Hasle (1993), Øhrstrøm i Hasle (2006), Müller (2007), i Blackburn (2007). Konačno, pogledajte raspravu o Priorovim četiri razreda u 1. poglavlju Braünera (2011a).

Navedeni rad Øhrstrøm i Hasle (2006) daje detaljan prikaz Prehorovog logičnog rada. Za sveobuhvatni prikaz Priorova života i rada pogledajte knjigu Øhrstrøm i Hasle (1995). U radu Hasle i Øhrstrøm (2016) opisan je Priorov metodološki pristup, posebno njegov pogled na formalizaciju i ulogu simboličke logike u konceptualnim studijama.

5. Razvoj hibridne logike od Prior

Prva potpuno stroga definicija hibridne logike dana je u Bullu (1970.) koji se pojavio u posebnom broju časopisa Theoria u sjećanje na Prior. Bull uvodi treću vrstu prijedloga simbola gdje se pretpostavlja da je prijedloški simbol istinit točno u jednoj grani ("tijek događaja") u razgranatoj vremenskom modelu. Ovu ideju sortiranja prijedloga simbola prema ograničenjima njihove interpretacije kasnije su razvili neki autori, pogledajte raspravu u odjeljku 5 rada Blackburn i Tzakova (1999).

Hibridni logički stroj koji je Prior izumio krajem šezdesetih godina prošlog vijeka ponovo su izmislili 1980. Solomon Passy i Tinko Tinchev iz Bugarske, vidi Passy i Tinchev (1985), kao i Passy i Tinchev (1991). Umjesto uobičajene modalne logike, ovaj se rad odvijao u vezi s mnogo izraženijom Propozicionom dinamičkom logikom.

Glavni doprinos u devedesetima bilo je uvođenje obveznice (mathtt { downarrow}). Ranu verziju veziva za silaz uveo je Valentin Goranko u radovima Goranko (1994) i Goranko (1996). Verzija ovog rada uvedena je u časopisima Blackburn i Seligman (1995.). Od tada se hibridna logika s vezivom (mathtt { downarrow}) detaljno proučavala, pogledajte primjerice članak Areces, Blackburn i Marx (2001) o teorijsko-teorijskim aspektima ove logike. Opsežna studija teorije modela hibridne logike je doktorska disertacija deset Cate (2004).

Također slabija hibridna logika dobivena izostavljanjem oba veziva (mathtt { downarrow}) i (mathtt { forall}) bila je predmetom opsežnog istraživanja. Ispada da je ta logika bez veziva i brojne njezine varijante odlučiva. U radu Areces, Blackburn i Marx (1999) dati su brojni rezultati složenosti za hibridne modalne i napete logike u različitim klasama okvira, na primjer proizvoljna, tranzitivna, linearna i grananja. Znakovito je da je problem zadovoljavanja hibridne logike bez veziva preko proizvoljnih okvira odlučiv u PSPACE, što je isto što i složenost odlučivanja o zadovoljavanju u običnoj modalnoj logici. Dakle, hibridiziranje obične modalne logike daje više ekspresivne moći, ali složenost ostaje ista. Izvršen je neki rad na simulaciji nominala unutar modalne logike,vidjeti Kracht i Wolter (1997).

Svaka obična modalna formula izražava monadsko svojstvo drugog reda na okvirima, a dobro je poznato da je za neke modalne formule, uključujući one koje se nazivaju Sahlqvist formule, svojstvo drugog reda ekvivalentno svojstvu prvog reda. U radu Goranko i Vakarelov (2006) pokazalo se da to vrijedi i za klasu hibridno-logičkih formula, uključujući nominale. Postoji nekoliko algoritama za izračunavanje ekvivalenta prvog reda uobičajene modalne formule. Jedan takav algoritam, SQEMA, nalazi se u radu Conradie, Goranko i Vakarelov (2006) koji obuhvaća hibridno-logičke formule razmatrane u Goranku i Vakarelovu (2006).

Značajno je da hibridna logika prvog reda nudi upravo one značajke potrebne za dokazivanje interpolacijskih teorema: Iako interpolacija ne uspije u većini poznatih modalnih logika prvog reda, njihovi hibridizirani paneli imaju ovo svojstvo, vidi Areces, Blackburn i Marx (2003) kao i Blackburn i Marx (2003). Prvi rad daje teoretski model interpolacije, dok drugi rad daje algoritam za izračun interpolanata na temelju tabela sustava.

Također treba napomenuti da logika slična hibridnoj logici ima središnju ulogu u području logike opisa, a to je obitelj logika koja se koristi za reprezentaciju znanja u umjetnoj inteligenciji, vidjeti članak Blackburn i Tzakova (1998) te doktorat Carlos Areces teza (2000).

Kao što je opisano u prethodnom odjeljku, Prior je uveo hibridnu napetu logiku da bi se bavio određenim pitanjem filozofije vremena, ali u Prioru (1968.), poglavlju XIV. (Također poglavlju XIV. U novom izdanju Prior (2003.)), također je pokazao ta hibridna napeta logika može zamijeniti dvodimenzionalnu vremensku logiku koju je uveo Hans Kamp u Kampu (1971). Dimenzija je jednostavno broj primjeraka prema kojima se formula procjenjuje u odnosu na, pa dodavanje hibridno-logičkog stroja omogućava da se dvije dimenzije zamijene jednom. Ovaj je rad nedavno praćen u velikom broju radova Blackburn-a i Jørgensena, za pregled pogledajte Blackburn i Jørgensen (2016a). Sada dajemo kratku skicu ove linije rada, prilagođene terminologiji ovog rada. Predmetna inačica hibridne logike ima označeni naziv (mathtt {sada}), a svaki model dolazi zajedno s određenim vremenom (t_0) tako da i) se svaka samostalna formula procjenjuje u odnosu na (t_0) i ii) nominalni (mathtt {sada}) odnosi se na (t_0). Formalnije, usvajamo konvenciju da ((M, t_0), g / vDash / mathtt { phi}) znači (M, g, t_0 / vDash / mathtt { phi}) i da razmatramo samo zadatke (g) gdje je (g (mathtt {sada}) = t_0). Imajte na umu da nominalno (mathtt {now}), koji se smatra samostalnom formulom, vrijedi u ovoj semantika, ali to nije slučaj za bilo koji drugi naziv. Ovaj novi pojam valjanosti Blackburn i Jørgensen nazivaju kontekstualnom valjanošću. Rad Blackburn i Jørgensen (2013) daje sustav aksioma koji je cjelovit wrt. ovaj pojam kontekstualne valjanosti. Rad Blackburn i Jørgensen (2012) daje cjelovit sustav tableau, ali semantika ovog rada u skladu je s Kampovom izvornom dvodimenzionalnom semantikom. Oba rada također razmatraju daljnje indekse poput (mathtt {jučer}), (mathtt {danas}) i (mathtt {sutra}).

Radovi Blackburn i Jørgensen (2016b) koriste hibridnu nategnutu logiku za kombiniranje ideja Prior-a s idejama Hansa Reichenbacha o tome kako predstaviti prirodne jezične napetosti. Prije je dao prednost poznatim gore opisanim operaterima napetosti, dok je Reichenbach preferirao vremenske reference, to jest reference na određeno vrijeme, Reichenbach (1947). Ispada da se dva pristupa mogu kombinirati, a to nije put kojim je sam Prior prešao - pogledajte prikaz koji je dan u Blackburn i Jørgensen (2016b),

6. Aksiomi za hibridnu logiku

U nekoliko se članaka bavio aksiomima hibridne logike, na primjer, Gargov i Goranko (1993), Blackburn (1993), Blackburn i Tzakova (1999). U radu Gargov i Goranko (1993.) dan je aksiomski sustav hibridne logike, a pokazano je da ako je sustav proširen skupom dodatnih aksioma koji su čiste formule (tj. Formule u kojima su svi predloženi simboli nominala), tada je sustav proširenog aksioma cjelovit s obzirom na klasu okvira koji potvrđuju predmetne aksiome. Čiste formule odgovaraju uvjetima prvog reda o odnosu pristupačnosti (usp. Prijevod (mathrm {ST} _ / mathtt {a}) gore), tako da su aksiomski sustavi za nove hibridne logike s uvjetima prvog reda o pristupačnosti odnos se može dobiti na ujednačen način jednostavnim dodavanjem aksioma prema potrebi. Tako,ako je na primjer formula (mathtt {c / rightarrow / Box / neg c}) dodana kao aksiom, tada je rezultirajući sustav potpun u odnosu na nerefleksivne okvire, usp. ranije. Pogledajte raspravu o takvim pravilima u odjeljku 4. rada Blackburn (2000).

Sustav dokazivanja u Gargov i Goranko (1993) koristi složeno pravilo (zvano COV), gdje shema formula koja sadrži aktivni dio pravila može biti proizvoljno velika; zapravo je aktivni dio ugrađen u proizvoljno duboke gnijezde modalnih operatora. Blackburn i Tzakova (1999) pokazuju da se operateri zadovoljstva mogu koristiti za formuliranje aksiomnog sustava u standardnijem formatu, koristeći jednostavnije pravilo zvano PASTE, tako da je sustav i dalje cjelovit kad se produži čistim osovinama.

Rad Blackburn i ten Cate (2006) istražuju ortodoksne dokazne propise (koji su dokazni propisi bez sporednih uvjeta) u aksiomnim sustavima, a pokazalo se da ako je potrebna proširena cjelovitost korištenjem čistih formula, tada su neortodoksna pravila dokaza neophodna u aksiomnim sustavima za hibridnu logiku bez veziva, ali sustav aksioma može se dati samo koji uključuje ortodoksna pravila dokaza za jaču hibridnu logiku, uključujući vezivo (mathtt { downarrow}). Vidi također knjigu Braüner (2011a) za još jedan aksiomski sustav za hibridnu logiku, kao i aksiomski sustavi za intuicijsku hibridnu logiku i hibridizaciju Nelsonove parakonistentne logike N4 (usporedi s Costa i Martins (2016), gdje se razmatra druga parakonistentna hibridna logika). Istraživanje intuicijske hibridne logike može se naći u Braüner (2011b).

Rad Areces, Blackburn, Huertas i Manzano (2014) bavi se hibridno-logičkom verzijom modalne logike višeg reda (to jest, modalnom logikom izgrađenom na osnovu jednostavne crkvene teorije vrsta). Dani su aksiomni sustavi i cjelovitost je dokazana wrt. Henkinova semantika. Radovi Blackburn, Huertas, Manzano i Jørgensen (2014) proširuju ove rezultate da obuhvate vezivo za silazak i daje prijevode na i iz ograničenog fragmenta logike prvog reda (vidi gore).

7. Metode analitičkog dokazivanja hibridne logike

Tableau, Gentzen i prirodna teorija dokazivanja stila dedukcije za hibridnu logiku djeluju vrlo dobro u usporedbi s običnom modalnom logikom. Obično, kada je dan modalni sustav, Gentzen ili prirodni dedukcijski sustav, to je za jednu određenu modalnu logiku i ispostavilo se da je problematično formulirati takve sustave za modalnu logiku na jedinstveni način bez uvođenja metajezičnih strojeva. To se može popraviti hibridizacijom, to jest, hibridizacija modalne logike omogućava formuliranje ujednačenih tableau, Gentzen i prirodnih dedukcijskih sustava za široke klase logike. Časopis Blackburn (2000) uvodi sustav tableau za hibridnu logiku koji ima ovo poželjno svojstvo: analogno aksiomnom sustavu Blackburna i Tzakova (1999), cjelovitost se zadržava ako se sustav tableau proširi skupom čistih aksioma, tj.,skup čistih formula koje je dopušteno dodati stolu tijekom izgradnje tableau. Tablični sustav Blackburna (2000.) osnova je postupka odlučivanja za fragment hibridne logike bez veziva, naveden u Bolander i Braüner (2006). Ova linija rada nastavljena je u radovima Bolander i Blackburn (2007) i Bolander i Blackburn (2009). U radu Cerrito i Cialdea (2010) predstavljen je još jedan postupak za hibridnu logiku utemeljen na tablici. Ostali postupci odlučivanja za hibridne logike, koji se također temelje na teoriji dokaza, dati su u radu Kaminski i Smolka (2009). Postupci potonjeg rada temelje se na formulaciji hibrida višeg reda koja uključuje jednostavno tipkanu lambda računicu. Tablični sustav Blackburna (2000.) osnova je postupka odlučivanja za fragment hibridne logike bez veziva, naveden u Bolander i Braüner (2006). Ova linija rada nastavljena je u radovima Bolander i Blackburn (2007) i Bolander i Blackburn (2009). U radu Cerrito i Cialdea (2010) predstavljen je još jedan postupak za hibridnu logiku utemeljen na tablici. Ostali postupci odlučivanja za hibridne logike, koji se također temelje na teoriji dokaza, dati su u radu Kaminski i Smolka (2009). Postupci potonjeg rada temelje se na formulaciji hibrida višeg reda koja uključuje jednostavno tipkanu lambda računicu. Tablični sustav Blackburna (2000.) osnova je postupka odlučivanja za fragment hibridne logike bez veziva, naveden u Bolander i Braüner (2006). Ova linija rada nastavljena je u radovima Bolander i Blackburn (2007) i Bolander i Blackburn (2009). U radu Cerrito i Cialdea (2010) predstavljen je još jedan postupak za hibridnu logiku utemeljen na tablici. Ostali postupci odlučivanja za hibridne logike, koji se također temelje na teoriji dokaza, dati su u radu Kaminski i Smolka (2009). Postupci potonjeg rada temelje se na formulaciji hibrida višeg reda koja uključuje jednostavno tipkanu lambda računicu. Ova linija rada nastavljena je u radovima Bolander i Blackburn (2007) i Bolander i Blackburn (2009). U radu Cerrito i Cialdea (2010) predstavljen je još jedan postupak za hibridnu logiku utemeljen na tablici. Ostali postupci odlučivanja za hibridne logike, koji se također temelje na teoriji dokaza, dati su u radu Kaminski i Smolka (2009). Postupci potonjeg rada temelje se na formulaciji hibrida višeg reda koja uključuje jednostavno tipkanu lambda računicu. Ova linija rada nastavljena je u radovima Bolander i Blackburn (2007) i Bolander i Blackburn (2009). U radu Cerrito i Cialdea (2010) predstavljen je još jedan postupak za hibridnu logiku utemeljen na tablici. Ostali postupci odlučivanja za hibridne logike, koji se također temelje na teoriji dokaza, dati su u radu Kaminski i Smolka (2009). Postupci potonjeg rada temelje se na formulaciji hibrida višeg reda koja uključuje jednostavno tipkanu lambda računicu. Postupci potonjeg rada temelje se na formulaciji hibrida višeg reda koja uključuje jednostavno tipkanu lambda računicu. Postupci potonjeg rada temelje se na formulaciji hibrida višeg reda koja uključuje jednostavno tipkanu lambda računicu.

Članak Hansen, Bolander i Braüner (2017) daje postupak odlučivanja temeljen na tablici za više-vrednovanu hibridnu logiku, odnosno hibridnu logiku gdje je dvocjenovna osnova klasične logike generalizirana na viševalentnu logičku osnovu koja uključuje prostor istine i vrijednosti koji ima strukturu konačne Heytingove algebre. Hansen (2010) daje postupak odlučivanja temeljen na stolu za hibridiziranu verziju dinamičke epistemičke logike zvane javna logika objavljivanja. Ovo je ujedno i veliko pitanje doktorskog rada Hansen (2011).

Teorija dokazivanja hibridne logike prirodnog dedukcije istražena je u knjizi Braüner (2011a). Ova knjiga također daje Gentzen sustav hibridne logike. Ovi prirodni dedukcijski i Gentzen sustavi mogu se proširiti dodatnim dokaznim pravilima koja odgovaraju uvjetima prvog reda o odnosima pristupa izraženim takozvanim geometrijskim teorijama (ovo je, naravno, analogno proširenim sustavima tabloa i aksioma s čistim aksiomima). Vidi također Braüner i de Paiva (2006) gdje je dan prirodni sustav dedukcije za intuicijsku hibridnu logiku (Poglavlje 8 Braünera (2011a)).

Tableau sustavi za hibridnu logiku prvog reda mogu se naći u člancima Blackburn i Marx (2002). Prirodni dedukcijski i aksiomni sustavi hibridne logike prvog reda mogu se naći u 6. poglavlju knjige Braüner (2011a), a u 7. poglavlju knjige govori se o prirodnom dedukciji za intenzivnu hibridnu logiku prvog reda. Rad Barbosa, Martins i Carreteiro (2014) daje aksiomatizaciju fragmenta hibridne logike prvog reda koji se naziva jednakovrijedna hibridna logika prvog reda.

Gentzen i sustave prirodne dedukcije za logike slične hibridnoj logici istraživao je Jerry Seligman već u 1990-ima, vidi pregled u Seligmanu (2001). Konkretno, Seligman je razvio sustave dokaza koji rade s proizvoljnim formulama, a ne samo sa izjavama zadovoljstva, što je posljedica za većinu sustava provjere hibridne logike, gdje se operateri zadovoljstva koriste za pristup informacijama skrivenim iza modaliteta. Prirodni sustav dedukcije u ovom stilu uveden je u Seligmanu (1997.), a ovaj sustav dalje je razvijen u 4. poglavlju knjige Braüner (2011a). Sustavi tablica u Seligmanovom dokaznom stilu razmatrani su u Blackburnu, Bolanderu, Braüneru i Jørgensenu (2017) gdje je dan sintaktički dokaz potpunosti. Semantički cjeloviti dokaz stolnoga sustava dat je u Jørgensen, Blackburn, Bolander,Braüner (2016). Obrazloženje u tim sustavima ne oslanja se izravno na globalne kodiranje koje operateri zadovoljstva omogućavaju, stoga se ovi sustavi mogu smatrati više u skladu s lokalnim karakterom standardne Kripkeove semantike za modalnu logiku. U stvari, ovaj više lokalni stil zaključivanja čini ove sustave pogodnima za formaliziranje perspektivnog rezonovanja koji se odvijaju u određenim psihološkim zadacima zaključivanja; vidjeti Braüner (2014b), kao i Braüner, Blackburn i Polyanskaya (2016).ovaj više lokalni stil zaključivanja čini ove sustave prikladnima za formaliziranje perspektivnog rezonovanja koji se odvijaju u određenim psihološkim zadacima zaključivanja, vidi Braüner (2014b), kao i Braüner, Blackburn i Polyanskaya (2016).ovaj više lokalni stil zaključivanja čini ove sustave prikladnima za formaliziranje perspektivnog rezonovanja koji se odvijaju u određenim psihološkim zadacima zaključivanja, vidi Braüner (2014b), kao i Braüner, Blackburn i Polyanskaya (2016).

Proveden je dio rada na izračunavanju razlučivosti i provjeri modela, za izračun rezolucije vidi Areces, de Rijke i de Nivelle (2001) kao i Areces i Gorin (2011), a vidi Franceschet i de Rijke (2006) kao i Lange (2009) za rezultate provjere modela.

Od sredine 1990-ih rad na hibridnoj logici procvjetao je. Za daljnje reference upućujemo čitatelja u publikacije u bibliografiji. Štoviše, pogledajte internetske izvore u nastavku.

Bibliografija

• Areces, C., 2000. Logičko inženjerstvo. Slučaj opisa i hibridne logike, doktorski rad, Institut za logiku, jezik i računarstvo, Sveučilište u Amsterdamu.
• Areces, C., Blackburn, P., i Marx, M., 1999. "Računalna složenost hibridne vremenske logike", Logički časopis IGPL, 8: 653–679.
• –––, 2001. „Hibridna logika: karakterizacija, interpolacija i složenost“, časopis za simboličku logiku, 66: 977–1010.
• –––, 2003. „Popravak teorije interpolacije u kvantificiranoj modalnoj logici“, Anali čiste i primijenjene logike, 124: 287-299.
• Areces, C., Blackburn, P., Huertas, A. i Manzano, M., 2014. „Potpunost u teoriji hibridnog tipa“, časopis za filozofsku logiku, 43: 209–238.
• Areces, C., de Rijke, M. i de Nivelle, H., 2001. „Rezolucija u modalnoj, opisnoj i hibridnoj logici“, časopis za logiku i računarstvo, 11: 717–736.
• Areces, C. i Gorin, D., 2011. „Rezolucija s redoslijedom i izborom za hibridne logike“, Časopis za automatizirano razmišljanje, 46: 1–42.
• Areces, C. i deset Cate, B., 2006. "Hibridna logika", u Blackburn-u, van Benthem i Wolter (ur.) (2006).
• Barbosa, LS, Martins, MA, i Carreteiro, M., 2014. „Axiomatisation u stilu Hilberta za ekvivalentnu hibridnu logiku“, časopis za logiku, jezik i informacije, 23: 31–52.
• Blackburn, P., 1993. "Nominal Tense Logic", Notre Dame Journal of Formal Logic, 14: 56–83.
• –––, 2000. „Internaliziranje označene dedukcije“, časopis za logiku i računarstvo, 10: 137–168.
• –––, 2007. „Arthurova prioriteta i hibridna logika“, Synthese, 150: 329–372.
• Blackburn, P., Bolander, T., Braüner, T., i Jørgensen, KF, 2017. „Kompletnost i prekid za sustav tabloida u stilu Seligmana“, časopis za logiku i računarstvo, 27: 81–107.
• Blackburn, P., Huertas, A., Manzano, M., i Jørgensen, KF, 2014. "Henkin i hibridna logika", u Životu i djelu Leona Henkina: Eseji o njegovim doprinosima (Studije u univerzalnoj logici), pp 279–306. Birkhauser.
• Blackburn, P. i Jørgensen, KF, 2012. „Indeksna hibridna napeta logika“, u Napretci u modalnoj logici (svezak 9), str. 144–160. Publikacije na fakultetima.
• –––, 2013. „Kontekstualna valjanost u hibridnoj logici“, u Modeliranju pomoću konteksta (Bilješke predavanja iz informatike: svezak 8177), str. 185–198. Heidelberg: Springer.
• –––, 2016a. "Arthur Prior i" sada ", Synthese, 193: 3665-3676.
• –––, 2016b. “Reichenbach, Prior i hibridna napetost logike”, Synthese, 193: 3677-3689.
• Blackburn, P. i Marx, M., 2002. „Tableaux za kvantificiranu hibridnu logiku“, u Automatizirano rezoniranje analitičkim tableauxom i srodnim metodama, TABLEAUX (Bilješke predavanja u umjetnoj inteligenciji: svezak 2381), str. 38–52. Heidelberg: Springer.
• –––, 2003. „Konstruktivna interpolacija u hibridnoj logici“, časopis za simboličku logiku, 68: 463–480.
• Blackburn, P. i Seligman, J., 1995. "Hibridni jezici", časopis za logiku, jezik i informacije, 4: 251–271.
• Blackburn, P. i ten Cate, B., 2006. „Čista ekstenzija, dokazna pravila i hibridna aksiomatika“, Studia Logica, 84: 277–322.
• Blackburn, P. i Tzakova, M., 1998. „Hibridiziranje pojmovnih jezika“, Anali matematike i umjetne inteligencije, 24: 23–49.
• –––, 1999. „Hibridni jezici i vremenska logika“, Logički časopis IGPL, 7: 27–54.
• Blackburn, P., van Benthem, J. i Wolter, F. (ur.), 2006. Priručnik modalne logike, Amsterdam: Elsevier.
• Bolander, T. i Blackburn, P., 2007. „Prekid za hibridne tablice“, časopis za logiku i računarstvo, 17: 517–554.
• –––, 2009. „Završni proračuni tablice za hibridnu logiku koja se proširuje K“, u Zbornik metoda metoda za modalitete 5 (Elektroničke bilješke iz teorijske informatike: svezak 231), str. 21–39.
• Bolander, T. i Braüner, T., 2006. „Postupci odlučivanja na temelju tablice za hibridnu logiku“, časopis za logiku i računarstvo, 16: 737–763.
• Braüner, T., 2002. „Modalna logika, istina i modalitet gospodara“, časopis Filozofska logika, 31: 359–386.
• –––, 2011a. Hibridna logika i njena teorija dokazivanja (primenjena logička serija: svezak 37), Dordrecht-Heidelberg-Berlin-New York: Springer.
• –––, 2011b. „Intuitionistička hibridna logika: uvod i istraživanje“, informacije i računanje, 209: 1437–1446.
• –––, 2014a. „Hibridna logika prvog reda: uvod i istraživanje“, Logički časopis IGPL-a, 22: 155–165.
• –––, 2014b. "Hibridno-logičko razmišljanje u zadacima i zadacima Sally-Anne", časopis za logiku, jezik i informacije, 23: 415–439.
• Braüner, T., Blackburn, P., i Polyanskaya, I., 2016. „Zadaci lažnog uvjerenja drugog reda: Analiza i formalizacija“, iz logike, jezika, informacija i računanja: 23. međunarodna radionica, WoLLIC (Bilješke predavanja u Računarstvu: svezak 9803), str. 125–144. Heidelberg: Springer.
• Braüner, T. i de Paiva, V., 2006. „Intuitionistička hibridna logika“, časopis za primijenjenu logiku, 4: 231–255.
• Bull, R., 1970. "Pristup napetoj logici", Teorija, 36: 282-300.
• Cerrito, S. i Cialdea, M., 2010. „Nominalna supstitucija na djelu s globalnim i obratnim modalitetima“, u Napretci modalne logike (svezak 8), str. 57–74. Publikacije na fakultetima.
• Conradie, W., Goranko, V. i Vakarelov, D., 2006. „Algoritamska korespondencija i cjelovitost u modalnoj logici II. Polidijska i hibridna proširenja algoritma SQEMA”, časopis za logiku i računarstvo, 16: 579–612.
• Copeland, J. (ur.), 1996. Logika i stvarnost: eseji u nasljeđu Arthura Prior, Oxford: Clarendon Press.
• Costa, D. i Martins, MA, 2016. „Paraconsistentnost in Hybrid Logic“, časopis za logiku i računanje, koji će se pojaviti. DOI:
• Franceschet, M. i de Rijke, M., 2006. „Model Checking Hybrid Logics (s aplikacijom za polustrukturirane podatke)“, Journal of Applied Logic, 4: 279–304.
• Gabbay, D. i Woods, J. (ur.), 2006. Logika i modaliteti u dvadesetom stoljeću. Priručnik za povijest logike (svezak 7). Amsterdam: Elsevier.
• Gargov, G. i Goranko, V., 1993. "Modalna logika s imenima", časopis Filozofska logika, 22: 607–636.
• Goranko, V., 1994. „Vremenska logika s referentnim pokazateljima“, Zbornik radova 1. međunarodne konferencije o vremenskoj logici (Bilješke predavanja iz umjetne inteligencije: svezak 827), str. 133–148. Berlin: Springer.
• –––, 1996. „Hijerarhije modalne i vremenske logike s referentnim pokazateljima“, časopis za logiku, jezik i informacije, 5: 1–24.
• Goranko, V. i Vakarelov, D., 2001. „Sahlqvist Formule in Hybrid Polyadic Modal Logics“, Journal of Logic and Computation, 11: 737–754.
• Hansen, JU, 2010. „Prekid tablice za dinamičku eppistemsku logiku“, u Zborniku 6. radionice o metodama za modalitete (M4M-6 2009) (Elektroničke bilješke u teorijskoj računalnoj znanosti: svezak 262), str. 141–156.
• –––, 2011. Logic Toolbox za modeliranje znanja i informacija u višeagencijskim sustavima i socijalnoj epistemologiji, doktorski rad, Sveučilište Roskilde.
• Hansen, JU, Bolander, T., i Braüner, T., 2015. Pojavit će se „Viševredna hibridna logika“, časopis za logiku i računarstvo. DOI:
• Hasle, P. i Øhrstrøm, P., 2016. „Priorova paradigma za proučavanje vremena i njegove metodološke motivacije“, Synthese, 193: 3401–3416.
• Jørgensen, KF, Blackburn, P., Bolander, B., i Braüner, T., 2016. „Dokazi dovršenosti sinteze za tablične sustave u stilu Seligmana“, u Napretci u modalnoj logici (svezak 11), str. 302–321. Publikacije na fakultetima.
• Kaminski, M. i Smolka, G., 2009. „Terminating Tableau Systems for Hybrid Logic with Difference and Converse“, Journal of Logic, Language and Information, 18: 437–464.
• Kamp, H., 1971. "Formalna svojstva" sada ", Teorija, 37: 237–273.
• Kracht, M. i Wolter, F., 1997. „Simulacija i prijenos rezultata u modalnoj logici - istraživanje“, Studia Logica, 59: 149–177.
• Lange, M., 2009. „Provjera modela za hibridnu logiku“, časopis za logiku, jezik i informacije, 18: 465–491.
• Müller, T., 2007. „Prior-ov napeto-logički univerzalizam“, Logique i Analiza, 50: 223–252.
• Øhrstrøm, P. i Hasle, P., 1993. „AN Prior ponovno otkrivanje napete logike“, Erkenntnis, 39: 23–50.
• –––, 1995. Vremenska logika. Od drevnih ideja do umjetne inteligencije, Dordrecht: Kluwer.
• –––, 2006. „Logika AN Priorsa“, u Gabbayu i Woodsu (2006.), str. 399–446.
• Passy, S. i Tinchev, T., 1985. „Kvantifikatori u kombiniranom PDL-u: cjelovitost, definiranje, nepotpunost“, u Fundamentals of Computation Theory FCT 85 (Bilješke predavanja iz informatike: svezak 199), str. 512–519. Berlin: Springer.
• Passy, S. i Tinchev, T., 1991. "Esej o kombiniranoj dinamičkoj logici", Informacije i računanje, 93: 263-332.
• Prije, AN, 1967. Prošlost, sadašnjost i budućnost, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1968. Radovi o vremenu i vremenu, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 2003. Radovi o vremenu i vremenu, Oxford: Oxford University Press. Drugo revidirano i prošireno izdanje Prior (1968). Uredili: P. Hasle, P. Øhrstrøm, T. Braüner i J. Copeland.
• Prior, AN i Fine, K., 1977. Worlds, Times and Selves, London: Duckworth. Temeljeno na rukopisima Prior, s predgovorom i postkriptu K. Finea.
• Reichenbach, H., 1947. Elementi simboličke logike, New York: Slobodni tisak.
• Seligman, J., 1997. "Logika ispravnog opisa", u Napretci u intenzivnoj logici (Serija primenjene logike: svezak 7), str. 107-135. Kluwer.
• Seligman, J., 2001. „Internalizacija: slučaj hibridne logike“, časopis za logiku i računarstvo, 11: 671–689.
• Sylvan, R., 1996., "Ostali izumrli panjevi vremena", u Copelandu (1996), str. 111-130.
• ten Cate, B., 2004. Model teorije za proširene modalne jezike, doktorski rad, Institut za logiku, jezik i računarstvo, Sveučilište u Amsterdamu.

Akademske alate

	Kako navesti ovaj unos.
	Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
	Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
	Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi