Kantova Filozofija Matematike

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-05-24 11:17

Ulazna navigacija

Sadržaj unosa
Bibliografija
Akademske alate
Prijatelji PDF pregled
Podaci o autoru i citiranju
Povratak na vrh

Prvo objavljeno pet srpnja 2013

Kant je bio student i učitelj matematike tijekom cijele karijere, a njegova razmišljanja o matematici i matematičkoj praksi duboko su utjecala na njegovu filozofsku misao. Razvio je razmatrao filozofske poglede na status matematičkog prosuđivanja, prirodu matematičkih definicija, aksioma i dokaza, te odnos čiste matematike i prirodnog svijeta. Štoviše, njegov pristup općem pitanju "kako su a priori moguće sintetičke prosudbe?" oblikovan je njegovim pojmom matematike i njezinim postignućima kao dobro utemeljenom znanošću.

Kantova filozofija matematike interesira razne učenjake iz više razloga. Prvo, njegova razmišljanja o matematici presudna su i središnja komponenta njegovog kritičkog filozofskog sustava, pa tako osvjetljavaju povjesničara filozofije koji radi na bilo kojem aspektu Kantovog korpusa. Uz to, pitanja suvremenog interesa i relevantnosti proizlaze iz Kantovih razmišljanja o najosnovnijim i najosnovnijim matematičkim disciplinama, pitanjima koja i dalje daju važna pitanja iz metafizike i epistemologije matematike. Napokon, neslaganja oko toga kako protumačiti Kantovu filozofiju matematike stvorila su plodno područje aktualnih istraživanja i rasprava.

1. Kantova prekritička filozofija matematike
2. Kantova kritička filozofija matematike
- 2.1 Kantova teorija konstrukcije matematičkih pojmova u „Disciplina čistog razuma u dogmatskoj upotrebi“
- 2.2 Kantov odgovor na njegovo pitanje "Kako je moguća čista matematika?"
- 2.3 Kantova koncepcija uloge matematike u transcendentalnom idealizmu
3. Komentar i interpretativna rasprava
Bibliografija
Akademske alate
Ostali internetski resursi
Povezani unosi

1. Kantova prekritička filozofija matematike

Godine 1763. Kant je ušao u nagradni natječaj za eseje koji se bavio pitanjem mogu li se dokazati prva načela metafizike i morala i time postići isti stupanj sigurnosti kao matematičke istine. Iako je njegov esej dobio drugu nagradu Kraljevske akademije znanosti u Berlinu (izgubivši Moses Mendelssohn "O dokazima metafizičkih znanosti"), on je ipak postao poznat kao Kantova "Nagrada za esej". Esej o nagradama objavila je Akademija 1764. godine pod naslovom „Istraga o razlikovanju principa prirodne teologije i morala“i predstavlja ključni tekst u Kantovoj pretkritičkoj filozofiji matematike.

U Nagradnom eseju Kant se obvezao uspoređivati metode matematike i metafizike (Carson 1999; Sutherland 2010). Tvrdio je da je "posao matematike … objedinjavanje i uspoređivanje datih pojmova veličine, koji su jasni i izvjesni, da bi se utvrdilo što se iz njih može zaključiti" (2, 278). Dalje je tvrdio da se ovaj posao obavlja ispitivanjem figura ili "vidljivih znakova" koji pružaju konkretne prikaze univerzalnih koncepata koji su sintetski definirani. Na primjer, jedan definira matematički pojam proizvoljnom kombinacijom drugih pojmova („četiri ravne linije koje ograničavaju ravninsku površinu tako da suprotne strane nisu paralelne jedna s drugom“^[1]), praćen "razumnim znakom" koji prikazuje odnose između dijelova svih tako definiranih objekata. Definicije, kao i temeljne matematičke propozicije, na primjer, da prostor može imati samo tri dimenzije, moraju se „ispitati concreto tako da ih intuitivno mogu spoznati“, ali takve se tvrdnje nikada ne mogu dokazati jer nisu izvedene iz drugih propozicija (2: 281). Teoreme se uspostavljaju kada se jednostavne spoznaje kombiniraju "pomoću sinteze" (2: 282), kao kad je, na primjer, pokazano da su proizvodi segmenata formiranih od dva akorda koji se presijecaju unutar kruga jednaki. U potonjem slučaju,jedan dokazuje teoremu o bilo kojem paru linija koje se presijecaju unutar kruga, ne crtanjem svih mogućih linija koje bi se mogle presijecati unutar kruga, već crtanjem samo dvije crte i identificiranjem odnosa koji se drži između njih (2: 278). „Univerzalno pravilo“koje rezultira izvedeno je sintezom između osjetnih znakova koji su prikazani, i, kao rezultat, među pojmovima koje razumljivi znakovi ilustriraju.

Kant zaključuje da se matematička metoda ne može primijeniti za postizanje filozofskih (a naročito metafizičkih) rezultata iz primarnog razloga što „geometri svoje koncepte stječu sintezom, dok filozofi mogu svoje koncepte steći samo analizom i što u potpunosti mijenja metodu mišljenja”(2: 289). Ipak, u ovoj prekritičkoj fazi, on također zaključuje da, iako joj nedostaju sintetičke definicije njegovih primarnih pojmova, „metafizika je onoliko sposobna za sigurnost koja je nužna za dobivanje uvjerenja kao i matematika“(2: 296). (Kasnije, u kritičnom razdoblju, Kant će proširiti pojam sinteze kako bi opisao ne samo genezu i kombinaciju matematičkih pojmova, već i čin objedinjavanja mnogostrukih reprezentacija. Također će, naravno,koristite izraze „sintetički“i „analitički“da biste razlikovali dva međusobno isključiva načina na koja se subjektivni i predikatski pojmovi međusobno odnose u različitim presudama bilo koje vrste, a on će naglasiti prošireni smisao te razlike koji uključuje metodološki kontrast između dva načina argumentacije, jedan sintetički ili progresivni, a drugi analitički ili regresivni. Ova će se različita osjetila analitičkog / sintetičkog razlikovanja razmotriti ukratko, u nastavku.)Ova će se različita osjetila analitičkog / sintetičkog razlikovanja razmotriti ukratko, u nastavku.)Ova će se različita osjetila analitičkog / sintetičkog razlikovanja razmotriti ukratko, u nastavku.)

U esejima „O konačnom tlu diferencijacije smjerova u prostoru“i „O obliku i načelima razumljivog i razumljivog svijeta [inauguracijska disertacija]“iz 1768. i 1770. započinju Kantove misli o matematici i njenim rezultatima evoluirati u smjeru svoje kritičke filozofije jer počinje prepoznavati ulogu koju će na račun matematičke spoznaje odigrati različiti sposobnost senzibiliteta (Carson 2004). U ovim esejima on pripisuje uspjeh matematičkog rasuđivanja njegovom pristupu „načelima osjetljive forme“i „primarnim podacima intuicije“, što rezultira „zakonima intuitivne spoznaje“i „intuitivnim prosudbama“o veličini i proširenju. Jedna takva prosudba služi za utvrđivanje mogućnosti objekta koji je „potpuno jednak i sličan drugom,ali koji se ne mogu zatvoriti u istim granicama kao onaj drugi, njegova nepristupačna strana "(2: 382) (Buroker 1981; Van Cleve i Frederick 1991; Van Cleve, 1999). Kant poziva takve „nekonkurentne kolege“u „Smjerovi u svemiru“kako bi ustanovio orijentabilnost i aktualnost apsolutnog prostora newtonskog stila, geometrijskog predmeta kako ga on tada razumije. Isti je primjer pozvao u „Inauguralnoj disertaciji“kako bi utvrdio da se prostorni odnosi „mogu shvatiti samo određenom čistom intuicijom“i tako pokazuju da „geometrija koristi principe koji nisu samo indubudibilni i diskurzivni, već i koji padaju pod pogled uma. " Matematički su dokazi „paradigma i sredstvo svih dokaza u drugim znanostima“(2: 403). (Kasnije, u Prolegomena kritičkog razdoblja,pozvat će neprimjerene kolege da uspostave transcendentalnu idealnost prostora, oduzimajući time svoj raniji argument u prilog apsolutnom prostoru.)

2. Kantova kritička filozofija matematike

2.1 Kantova teorija konstrukcije matematičkih pojmova u „Disciplina čistog razuma u dogmatskoj upotrebi“

Kantova kritička matematička filozofija pronalazi najpotpuniji izraz u odjeljku Kritike čistog razuma pod naslovom „Disciplina čistog razuma u dogmatskoj upotrebi“, koji započinje drugo od dva glavna odjeljenja kritike, „Transcendentalna doktrina metode“. U prethodnim odjeljcima Kritike, Kant je kritički izložio čisti razum „u svojoj transcendentalnoj upotrebi u skladu s pukim konceptima“kako bi „ograničio svoju sklonost širenju izvan uskih granica mogućeg iskustva“(A711 / B739). No, Kant nam govori da je nepotrebno podvrgavati matematiku takvoj kritici, jer se upotreba čistog razuma u matematici održava intuicijom na „vidljivi trag“: „[matematički] pojmovi moraju se izlagati concreto u čistoj intuiciji,kroz što sve neosnovano i proizvoljno odmah postaje očito”(A711 / B739). Ipak, matematička praksa i disciplina zahtijevaju objašnjenje kako bi se objasnio njen uspjeh u dokazivanju suštinskih i potrebnih istina, ali i dozvolilo njezino prizivanje kao model obrazloženja. Kant se tako usmjerio, kao i u prijekritično razdoblje, na pitanje što je rezultat „sretne i dobro utemeljene“matematičke metode, kao i je li ona korisna u bilo kojoj disciplini osim matematici. Da bi na ovo posljednje pitanje odgovorio negativno, Kant mora objasniti jedinstvenost matematičkog rasuđivanja.kako bi ujedno objasnili svoj uspjeh u dokazivanju bitnih i potrebnih istina, kao i licencirati svoj poziv kao model obrazloženja. Kant se tako usmjerio, kao i u prijekritično razdoblje, na pitanje što je rezultat „sretne i dobro utemeljene“matematičke metode, kao i je li ona korisna u bilo kojoj disciplini osim matematici. Da bi na ovo posljednje pitanje odgovorio negativno, Kant mora objasniti jedinstvenost matematičkog rasuđivanja.kako bi objasnili svoj uspjeh u dokazivanju bitnih i potrebnih istina, kao i licencirali svoj poziv kao model obrazloženja. Kant se tako usmjerio, kao i u prijekritično razdoblje, na pitanje što je rezultat „sretne i dobro utemeljene“matematičke metode, kao i je li ona korisna u bilo kojoj disciplini osim matematici. Da bi na ovo posljednje pitanje odgovorio negativno, Kant mora objasniti jedinstvenost matematičkog rasuđivanja. Kant mora objasniti jedinstvenost matematičkog rasuđivanja. Kant mora objasniti jedinstvenost matematičkog rasuđivanja.

Središnja teza Kantovog računa o jedinstvenosti matematičkog rezoniranja je njegova tvrdnja da matematička spoznaja proizlazi iz "konstrukcije" njegovih pojmova: " konstruiratikoncept znači pokazati a priori intuiciju koja mu odgovara”(A713 / B741) (Friedman 1992, Friedman 2010). Na primjer, dok se koncept može diskurzivno definirati kao pravocrtna figura sadržana u tri ravne linije (kao što je učinjeno u Euklidovim Elementima), koncept je u Kantovom tehničkom smislu tog pojma konstruiran samo kad je takva definicija uparena s odgovarajući intuiciji, to jest jedinstvenom i odmah vidljivom prikazu trostranog lika. Kant tvrdi da kad čovjek napravi trokut radi izvođenja pomoćnih konstruktivnih koraka potrebnih za geometrijski dokaz, to čini i a priori, bilo da je trokut proizveden na papiru ili samo iz mašte. To je zato što ni u jednom slučaju prikazani objekt ne posuđuje svoj obrazac iz bilo kojeg iskustva (A713 / B741). Osim toga,iz takvog jedinstvenog prikaza pojedinog trokuta može se izvesti univerzalna istina o svim trokutima, jer su određene odrednice prikazanog predmeta, npr. veličina njegovih strana i kutova, "potpuno ravnodušne" na mogućnost iscrtanog trokuta da se pokaže opći koncept (A714 / B742). Kantov račun stoga se mora obraniti od uobičajenog stava da se univerzalne istine ne mogu izvući iz rezonovanja koje ovise o određenim prikazima. (S tim u vezi, manje od savršeno ravnih strana empirijski izvedenog trokuta također su „indiferentne“, pa se takva empirijska intuicija smatra prikladnom za geometrijski dokaz. To postavlja pitanja o tome kako čovjek može biti siguran da intuicija adekvatno prikazuje sadržaj koncepta, odnosa čiste i empirijske intuicije, i,posebno koje se od intuitivno prikazanih značajki mogu sigurno zanemariti (Friedman 2010, Friedman 2012).

Naposljetku, Kant tvrdi da se „samo pojam veličine“(količine) može konstruirati čistom intuicijom, budući da se „kvalitete ne mogu pokazati samo ničim osim empirijskom intuicijom“(A714 / B742) (Sutherland 2004a; 2004b, 2005a), To dovodi do principijelne razlike između matematičke i filozofske spoznaje: dok je filozofska kognicija ograničena na rezultate apstraktne konceptualne analize, matematička kognicija rezultat je "lanca zaključaka koji uvijek upravlja intuicijom", tj. konkretni prikaz njegovih predmeta (Hintikka 1967, Parsons 1969, Friedman 1992). Kant se napreže donekle kako bi objasnio kako matematičar konstruira aritmetičke i algebarske veličine, koje se razlikuju od prostornih figura koje su predmet geometrijskog rasuđivanja. Izvodeći razliku između "ostenzivne" i "simboličke" konstrukcije, on identificira ostencijalnu konstrukciju s geometrijskom praksom prikazivanja ili prikazivanja prostornih figura, dok simbolička konstrukcija korelira s činom spajanja aritmetičkih ili algebričnih simbola (kao na primjer, kada je npr. "Jedan veličina se dijeli s drugom, [matematika] svoje simbole stavlja zajedno u obliku oznake za podjelu … ") (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[matematika] svoje simbole sastavlja zajedno u obliku oznake za podjelu … ") (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[matematika] svoje simbole sastavlja zajedno u obliku oznake za podjelu … ") (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).

Kant nadalje tvrdi da je čisti pojam veličine pogodan za izgradnju jer, za razliku od drugih čistih koncepata, ne predstavlja sintezu mogućih intuicija, već "već sadrži čistu intuiciju u sebi." Ali budući da su jedini kandidati za takvu "čistu intuiciju" prostor i vrijeme ("puki oblik pojavljivanja"), slijedi da samo prostorne i vremenske veličine mogu biti izložene u čistoj intuiciji, tj. Konstruirane. Takve prostorne i vremenske veličine mogu se prikazati kvalitativno prikazujući oblike stvari, npr. Pravokutnost okna prozora, ili se mogu izložiti samo kvantitativno, prikazujući broj dijelova stvari, npr. Broj okna koji se prozor sastoji. U oba slučaja, ono što se prikazuje smatra se čistom i "formalnom intuicijom",inspekcija koja donosi prosudbe koje "nadilaze" sadržaj izvornog koncepta s kojim je intuicija bila povezana. Takve su prosudbe aradne presude paradigmatično sintetičke (o kojima će se detaljnije govoriti u nastavku), jer su pojačavajuće istine koje opravdavaju neovisno o iskustvu (Shabel, 2006).

Kant tvrdi da se matematičko rezonovanje ne može upotrijebiti izvan domene matematike koja je takva da bi ga moglo shvatiti, jer on to razumije, nužno je usmjereno na predmete koji su "precizno dani u čistoj intuiciji a priori i bez empirijskih podataka" (A724 / B752). Budući da se mogu dati samo formalni matematički objekti (tj. Prostorne i vremenske veličine), matematičko rezoniranje je beskorisno s obzirom na materijalno dan sadržaj (premda su istine koje proizlaze iz matematičkog razmišljanja o formalnim matematičkim objektima plodno primijenjene na takav materijalni sadržaj, što je reći da je matematika apriori istinita za pojave.) Prema tome, "temeljno utemeljenje" koje matematika nalazi u svojim definicijama, aksiomima i demonstracijama ne može se "postići ili oponašati" filozofijom ili fizičkim znanostima (A727 / B755).

Dok se Kantova teorija matematičke konstrukcije koncepta može smatrati pružanjem objašnjenja matematičke prakse onako kako ju je Kant shvatio ^[2], teorija je isprepletena s Kantovim širim opredjeljenjima za stroge razlike između intuicija i pojmova, kao načina reprezentacije; između mentalnih sposobnosti senzibiliteta i razumijevanja; između sintetskih i analitičkih prosudbi; a između a priori i posteriori dokaza i obrazloženja. Konačno, slika matematike razvijena u Disciplini čistog razuma u dogmatskoj upotrebi ovisi o cjelovitoj teoriji prosudbe koju Kritika želi pružiti, a presudno i o teoriji senzibiliteta koju Kant nudi u Transcendentalnoj estetici (Parsons 1992, Carson 1997), kao i u odgovarajućim odlomakima u Glavnom transcendentalnom pitanju Prolegomena, prvi dio, gdje istražuje "porijeklo" čistih razumskih pojmova matematike i "opseg njihove važnosti" (A725 / B753).^[3]

2.2 Kantov odgovor na njegovo pitanje "Kako je moguća čista matematika?"

Kant postavlja dva povezana vodeća pitanja svoje kritičke filozofije: (1) Kako su sintetičke prosudbe a priori moguće ?; i (2) Kako je metafizika moguća kao znanost (B19; B23)? Matematika pruža poseban put za pomoć u odgovoru na ova pitanja pružajući model kodificirane znanstvene discipline čija je mogućnost jasna i, štoviše, zagarantovana vlastitim postignućem spoznaje koje je i sintetičko i a priori. Drugim riječima, objašnjenje kako se sintetičke a priori presude afirmiraju u matematičkim kontekstima, zajedno s rezultirajućim i povezanim objašnjenjem o tome kako sustavno tijelo dokazivog znanja sadrži takve prosudbe, dopuštaju da se matematička istina može pozivati kao suštinska paradigma nužne i univerzalne istine koje se metafizika nada postići. Kant”teorija konstrukcije matematičkog koncepta (raspravljana gore) može se u cijelosti shvatiti samo u kombinaciji s njegovim tretmanom tako širokih pitanja o samoj prirodi i mogućnosti matematičkog i metafizičkog znanja.

I u Preambuli o prolementi bilo kakve metafizike budućnosti i B-uvodu u kritiku čistog razuma, Kant uvodi analitičko / sintetičko razlikovanje koje razlučuje presude kojima predikati pripadaju ili su sadržani u predmetnom konceptu i prosudbe čiji predikati su povezani, ali nadilaze predmetni koncept. U svakom tekstu prati njegovo izlaganje te razlike raspravom o njegovoj tvrdnji da su sve matematičke prosudbe sintetske i a priori. ^[4]Tamo prvo tvrdi da su "pravilno matematičke prosudbe uvijek a priori prosudbe" na osnovu toga što su potrebne i stoga se ne mogu izvesti iz iskustva (B14). On slijedi s objašnjenjem kako takve neempirijske prosudbe još mogu biti sintetičke, tj. Kako mogu poslužiti za sintezu koncepta subjekta i predikata, a ne samo za objašnjavanje ili analiziranje subjektivnog koncepta u njegovim sastavnim logičkim dijelovima. Ovdje slavno poziva na prijedlog „7 + 5 = 12“i negativno tvrdi, „bez obzira koliko dugo analizirao moj koncept tako moguće sume (od sedam i pet], još uvijek u njemu neću naći dvanaest“, i također pozitivno, tvrdeći da "Treba nadići te koncepte [od sedam i pet], tražeći pomoć u intuiciji koja odgovara jednom od dva, nečiji pet prstiju,recimo … i jednu za drugom dodajte jedinice pet date u intuiciji u pojam sedam … i tako vidite kako broj 12 nastaje "(B15). Iz toga slijedi da potrebnu istinu aritmetičkog prijedloga poput "7 + 5 = 12" nije moguće utvrditi nijednom metodom logičke ili konceptualne analize (Anderson 2004), već se može utvrditi intuitivnom sintezom (Parsons 1969). On slijedi ovu raspravu o aritmetičkim rezonovanjima i istini s odgovarajućim tvrdnjama o euklidskoj geometriji, prema kojima principi geometrije izražavaju sintetičke odnose između pojmova (kao što je između koncepta ravne linije između dviju točaka i koncepta najkraće crte između tih iste dvije točke), od kojih nijedna ne može biti analitički „izvučena“iz druge. Načela geometrije na taj način izražavaju odnose između osnovnih geometrijskih koncepata u mjeri u kojoj se oni mogu „pokazati intuicijom“(Shabel 2003, Sutherland 2005a).

Inače, Kant također uključuje geometrijske teoreme kao vrste prijedloga (osim geometrijskih principa) koji se računaju kao sintetičke (Friedman 1992, Friedman 2010). No Kantov račun sintetičnosti takvih teorema nije transparentan. Negirajući da se načela (Grundsätze) mogu analitički spoznati iz načela suprotnosti, priznaje da matematički zaključak vrste potreban za uspostavljanje geometrijskih teorema odvija „u skladu s načelom suprotnosti“, kao i da je „sintetski prijedlog može se, naravno, shvatiti u skladu s načelom kontradikcije ", premda" samo ako je pretpostavljen drugi sintetički prijedlog iz kojeg se može izvesti, nikada sam po sebi "(B14). Iako je jasno da sve matematičke prosudbe, uključujući geometrijske teoreme,sintetički je, on mu nije manje jasan što točno znači za takve tvrdnje ili zaključke koji ih podržavaju da se "usuglase" s načelom suprotnosti, izvedljivosti iz kojega on treba biti test paradigme analitičnosti. To dovodi do neslaganja u interpretaciji u vezi s tim da li demonstrirani matematički prosudbi slijede iz sintetskih načela strogo logičkim ili konceptualnim zaključcima - i tako u strogom skladu s samo načelom suprotnosti - ili su izvedeni putem zaključaka koji su i sami ovisni o intuiciji, ali koji ne krše zakon kontradikcije. Stoga postoji neslaganje oko toga je li Kant posvećen samo sintetizmu matematičkih aksioma (koji putem logičkog zaključivanja prenose sintetičnost u demonstrirane teoreme),ili se također zalaže za sintetičnost samog matematičkog zaključivanja. Ranija interpretacijska pozicija povezana je s Ernstom Cassirerom i Lewisom White Beckom; potonji položaj s Bertrandom Russelom (dolazak Hogana). Gordon Brittan (Brittan 2006) zamišlja obje takve pozicije „evidencionističkim“, što je njegova oznaka za bilo koju interpretaciju prema kojoj intuicije pružaju nezamjenjive dokaze za istinitost matematike, bilo da se ti dokazi daju u prilog aksioma ili zaključaka, ili oboje. Prema njegovom alternativnom „objektivističkom“stavu, intuicije ne pružaju dokaze, već su prilično semantički mehanizmi jednine referencije i „objektivne stvarnosti“(Brittan 2006).potonji položaj s Bertrandom Russelom (dolazak Hogana). Gordon Brittan (Brittan 2006) zamišlja obje takve pozicije „evidencionističkim“, što je njegova oznaka za bilo koju interpretaciju prema kojoj intuicije pružaju nezamjenjive dokaze za istinitost matematike, bilo da se ti dokazi daju u prilog aksioma ili zaključaka, ili oboje. Prema njegovom alternativnom „objektivističkom“stavu, intuicije ne pružaju dokaze, već su prilično semantički mehanizmi jednine referencije i „objektivne stvarnosti“(Brittan 2006).potonji položaj s Bertrandom Russelom (dolazak Hogana). Gordon Brittan (Brittan 2006) zamišlja obje takve pozicije „evidencionističkim“, što je njegova oznaka za bilo koju interpretaciju prema kojoj intuicije pružaju nezamjenjive dokaze za istinitost matematike, bilo da se ti dokazi daju u prilog aksioma ili zaključaka, ili oboje. Prema njegovom alternativnom „objektivističkom“stavu, intuicije ne pružaju dokaze, već su prilično semantički mehanizmi jednine referencije i „objektivne stvarnosti“(Brittan 2006). Prema njegovom alternativnom „objektivističkom“stavu, intuicije ne pružaju dokaze, već su prilično semantički mehanizmi jednine referencije i „objektivne stvarnosti“(Brittan 2006). Prema njegovom alternativnom „objektivističkom“stavu, intuicije ne pružaju dokaze, već su prilično semantički mehanizmi jednine referencije i „objektivne stvarnosti“(Brittan 2006).

Pozornost na ovo tumačenje u Kantovoj filozofiji matematike od vitalne je važnosti za svjetlo koje ono baca na općenitije pitanje onoga što omogućava sintetičku apriornu spoznaju, središnje pitanje Kantove kritike čistog razuma. S obzirom na ovo općenitije pitanje, važno je razlikovati Kantovu uporabu pojmova „analitička“i „sintetička“za označavanje logičko-semantičke razlike između vrsta prosudbi - koju Kant koristi za obranu razlikovne teze da je matematička spoznaja sintetička a priori - upotrebom istih izraza za označavanje tradicionalne matematičke razlike između analitičkih i sintetskih metoda (Beaney 2012). On koristi ovu posljednju razliku kako bi identificirao dvije različite argumentirane strategije za odgovor na pitanje o „mogućnosti čiste matematike.“Analitičku metodu karakterizira rasuđivanje koje u umu prati određeno tijelo spoznaje, poput matematike, do njezina porijekla ili izvora. Suprotno tome, sintetička metoda ima cilj izvesti stvarnu spoznaju izravno iz takvih izvornih kognitivnih izvora, koje izvore ili moći najprije eksprimira neovisno o bilo kojem određenom tijelu spoznaje (uključujući matematiku) koje bi snage u konačnici mogle proizvesti. Kant je u svojoj Prolegomena usvojio bivšu metodu, argumentirajući od sintetičke i a priori prirode matematičke prosudbe do tvrdnje da su prostor i vrijeme oblici čovjekove osjetljivosti; on usvaja potonju metodu u Kritiku čistog razuma, tvrdeći da oblici ljudskog senzibiliteta, prostora i vremena daju osnovu za dobivanje sintetičkih i apriornih matematičkih prosudbi (Shabel 2004). Ti argumenti,zajedno s pojedinostima njegova izlaganja o sintetičkoj i a priori prirodi svih matematičkih prosuđivanja daju odgovor na pitanje o mogućnosti matematike: prakse koje daju paradigmatično sintetičke i apriorne prosudbe znanosti matematike utemeljene su na i objašnjeno samom prirodom ljudskog senzibiliteta, a posebno prostorno-vremenskim oblikom svih (i samo) predmeta ljudskog iskustva (Van Cleve, 1999).prostorno-vremenskim oblikom svih (i samo) objekata ljudskog iskustva (Van Cleve, 1999).prostorno-vremenskim oblikom svih (i samo) objekata ljudskog iskustva (Van Cleve, 1999).

2.3 Kantova koncepcija uloge matematike u transcendentalnom idealizmu

Kantova teorija matematičke prakse povezuje se ne samo s njegovom teorijom senzibiliteta (kao što je gore opisano) već i s drugim aspektima doktrine transcendentalnog idealizma, kako je artikulirano u Kantovim kritičkim djelima.

U Transcendentalnom analitičaru Kant donosi tablicu od dvanaest kategorija, ili čistih koncepata razumijevanja, od kojih prvih šest opisuje kao "matematičke" (za razliku od "dinamičkih") kategorija zbog njihove zabrinutosti za predmete intuicije (B110). Koncept broja tretira se kao "pripadnost" kategoriji "sveobuhvatnosti" ili ukupnosti, za koju se smatra da nastaje iz kombinacije pojmova jedinstva i pluralnosti (Parsons 1984). No, Kant nadalje tvrdi da poteškoće koje nastaju u predstavljanju beskonačnosti - u kojima jedan navodno predstavlja jedinstvo i mnoštvo bez rezultirajućeg predstavljanja broja - otkrivaju da pojam broja mora zahtijevati posredovanje „posebnog čina razumijevanja“(B111).(Ovaj poseban čin je vjerojatno sinteza koju Kant opisuje kao funkciju i mašte i razumijevanja, a koju objašnjava posao čitave teorije prosudbe - uključujući transcendentalnu dedukciju i shematizam (Longuenesse 1998.). Dakle, iako također tvrdi da aritmetika „oblikuje svoje pojmove brojeva uzastopnim dodavanjem jedinica u vremenu“(4: 283), pogrešno je zaključiti da je aritmetika vremenu jer je geometrija svemiru, jer formalna intuicija vremena je neadekvatno za objašnjenje opće i apstraktne znanosti o broju.iako također tvrdi da aritmetika „oblikuje svoje pojmove brojeva uzastopnim dodavanjem jedinica u vremenu“(4: 283), pogrešno je zaključiti da je aritmetika vremenu jer je geometrija prostora, budući da formalna intuicija vremena nije adekvatna. objasniti opću i apstraktnu znanost o broju.iako također tvrdi da aritmetika „oblikuje svoje pojmove brojeva uzastopnim dodavanjem jedinica u vremenu“(4: 283), pogrešno je zaključiti da je aritmetika vremenu jer je geometrija prostora, budući da formalna intuicija vremena nije adekvatna. objasniti opću i apstraktnu znanost o broju.^[5] (U stvari, Kant izjavljuje da je mehanika matematička znanost koja treba dati vremenu koje je geometrija svemiru.)

U shematizmu se Kant obvezuje identificirati određeni mehanizam koji omogućuje čistim konceptima razumijevanja da potisne razumne intuicije s kojima su heterogene. Kategorije moraju biti „shematizirane“jer njihovo neimpirijsko podrijetlo, u čistom razumijevanju, sprečava da imaju takav kakav razuman sadržaj koji bi ih odmah povezao s objektima iskustva; transcendentalne sheme su posredničke reprezentacije koje su namijenjene uspostavljanju veze između čistih koncepata i pojava na način koji vlada pravom. U ovom su kontekstu razmatrani matematički koncepti budući da su oni jedinstveni po tome što su čisti, ali i razumni pojmovi: čisti su jer su strogo a priori podrijetla, a ipak su razumni jer su izgrađeni u betonu.(Kant dodatno zakomplicira ovo pitanje identificirajući broj kao čistu shemu kategorije veličine (Longuenesse 1998.)) Postavlja se interpretacijsko pitanje da li matematički pojmovi, kojima je konceptualni sadržaj razumno dan, zahtijevaju shematizaciju razlikovnom „trećom stvari“", I ako jeste, ono što iznosi (Young 1984). Šire šire, postavlja se pitanje kako transcendentalna imaginacija, sposobnost odgovorna za shematizam, djeluje u matematičkim kontekstima (Domski 2010).postavlja se pitanje kako transcendentalna mašta, fakultet odgovoran za shematizam, djeluje u matematičkim kontekstima (Domski 2010).postavlja se pitanje kako transcendentalna mašta, fakultet odgovoran za shematizam, djeluje u matematičkim kontekstima (Domski 2010).

Konačno, u analitičkim načelima, Kant izvodi sintetičke prosudbe koje „a priori proizlaze iz čistih pojmova razumijevanja“i koje utemeljuju sve ostale apriorne spoznaje, uključujući i matematičku (A136 / B175). Načela čistog razumijevanja koja su povezana s kategorijama kvantiteta (tj. Jedinstva, pluralnosti i ukupnosti) su Aksiomi intuicije. Iako su pravi matematički principi „izvedeni samo iz intuicije“i stoga ne predstavljaju niti jedan dio sustava načela čistog razumijevanja, objašnjenje mogućnosti takvih matematičkih principa (gore navedeno) mora biti dopunjeno najvišim mogućim računom transcendentalna načela (A148–9 / B188–9). Prema tome, Aksiomi intuicije daju meta princip ili princip kvantitativnih matematičkih principa,naime da su "Sve intuicije opsežne veličine" (A161 / B202). Većina komentatora ovdje tumači Kanta kako bi naznačili zašto su načela matematike, koja imaju veze sa čistim prostorom i vremenom, primjenjiva na pojave: nastupi mogu biti predstavljeni „kroz istu sintezu kao onaj kroz koji prostor i vrijeme uopće utvrđeni su”(A161 / B202). Dakle, sve intuicije, bile one čiste ili empirijske, su "opsežne veličine" koje vladaju principima matematike. Izražavajući alternativno gledište, Daniel Sutherland vidi da Aksiomi intuicije smatraju "ne samo primjenjivost matematike, već i mogućnost bilo koje matematičke spoznaje, bilo čiste ili primijenjene, opću ili specifičnu" i tako da ima širi značaj nego što je cijenjen (Sutherland 2005b).

(Također je primjetno da se ključni odlomci u Kritici moći suda provode o matematici i „matematičkom uzvišenju“(Breitenbach 2015). Vidi posebno [5: 248ff].)

3. Komentar i interpretativna rasprava

O Kantovoj koncepciji matematike raspravljali su njegovi suvremenici; utjecali i provocirali Fregea, Russella i Husserla; i pružio inspiraciju za brouwerian intuicionizam. Njegova koncepcija matematike bila je pomlađena kao dostojna bliskog povijesnom proučavanju Gottfried Martinove monografije iz 1938. Arithmetik i Kombinatoric bei Kant (Martin 1985). Unatoč vrlo različitim stajalištima koje suvremeni komentatori razvijaju kako najbolje razumjeti Kantovu misao, oni se uglavnom ujedinjuju u suprotstavljanju dugo standardnoj priči (možda ju je izvorno promovirao Bertrand Russell u svojim načelima matematike i Rudolph Carnap u svojim Filozofskim temeljima fizika), prema kojoj je razvoj moderne logike u 19 ^-og i 20 ^-ogstoljeća, otkriće ne-euklidske geometrije i formalizacija matematike čini Kantovu teoriju matematike utemeljenu na intuiciji i zastarjela filozofska opredjeljenja zastarjela ili nevažna. Suvremeni komentatori nastoje rekonstruirati Kantovu filozofiju matematike s vidika Kantovog vlastitog povijesnog konteksta i identificirati elemente Kantove filozofije matematike koji su od vječnog filozofskog interesa.

U novije vrijeme na stipendiju Kantove filozofije matematike najjače je utjecala trajna rasprava Jaakka Hintikka i Charlesa Parsonsa o tome što je postalo poznato kao Kantove "logičke" i "fenomenološke" interpretacije; Seminarna knjiga Michaela Friedmana, Kant i egzaktne znanosti (Friedman 1992), kao i njegovi sada klasični članci „Kantova teorija geometrije“i „Geometrija, konstrukcija i intuicija kod Kanta i njegovih nasljednika“(Friedman 1985, 2000); i radovima prikupljenim u zborniku Carl Posy-ove Kantove Filozofije matematike (koji uključuje priloge Hintikka, Parsonsa i Friedmana, kao i Stephen Barker, Gordon Brittan, William Harper, Philip Kitcher, Arthur Melnick, Carl Posy, Manley Thompson i J. Michael Young,a svi su objavljeni prije više od dvadeset godina (Posy 1992).)^[6] Nove generacije znanstvenika doprinose živoj, plodnoj i stalnoj raspravi o tumačenju i nasljeđu Kantove filozofije matematike koja je nastala s ovom literaturom.

Interpretativna rasprava o tome kako shvatiti Kantov pogled na ulogu intuicije u matematičkom rasuđivanju imala je najjači utjecaj na oblik učenja u Kantovoj filozofiji matematike; ova je rasprava izravno povezana s pitanjem (opisanim gore) o sintetičnosti matematičkih aksioma, teorema i zaključaka. U svojoj općoj raspravi o mentalnom predstavljanju, Kant implicira da su neposrednost i singularnost i kriteriji nekonceptualne, intuitivne reprezentacije, vrsta reprezentacije koja utemeljuje sintetičku prosudbu. U nizu radova, Charles Parsons (Parsons 1964, 1969, 1984) tvrdio je da sintetičnost matematičkih prosudbi ovisi o tome da su matematičke intuicije u osnovi neposredne, a on neposrednost takvih prikaza objašnjava na perceptivni način, kao izravni,fenomenološka prisutnost uma. Jaakko Hintikka (Hintikka 1965, 1967, 1969), razvijajući ideju iz ranijeg rada EW Beth, tvrdi da sintetičnost matematičkih prosudbi umjesto toga ovisi samo o posebnosti njihovih intuitivnih sastavnih dijelova. Hintikka asimilira matematičku intuiciju u pojedinačne pojmove ili pojedinosti i objašnjava uporabu intuicije u matematičkom kontekstu analogiju s logičkim potezom egzistencijalne instance. Ova su dva stajališta postala poznata kao "fenomenološka" i "logička" interpretacija. Hintikka asimilira matematičku intuiciju u pojedinačne pojmove ili pojedinosti i objašnjava uporabu intuicije u matematičkom kontekstu analogiju s logičkim potezom egzistencijalne instance. Ova su dva stajališta postala poznata kao "fenomenološka" i "logička" interpretacija. Hintikka asimilira matematičku intuiciju u pojedinačne pojmove ili pojedinosti i objašnjava uporabu intuicije u matematičkom kontekstu analogiju s logičkim potezom egzistencijalne instance. Ova su dva stajališta postala poznata kao "fenomenološka" i "logička" interpretacija.

Izvorni položaj Michaela Friedmana (Friedman 1985, 1992) u vezi s ulogom intuicije u matematičkom rasuđivanju potječe od Bethovih i Hintikkinih, iako se bitno razlikuje od njihovog i modificiran je u svojim najnovijim spisima. U svome Kantu i egzaktnim znanostima (Friedman 1992) Friedman zauzima stajalište da se naša suvremena koncepcija logike treba koristiti kao alat za tumačenje (a ne kritiziranje) Kanta, primjećujući da je eksplicitni prikaz beskonačnosti matematičkih predmeta koji može se generirati polidalnom logikom moderne teorije kvantifikacije konceptualno nedostupne matematičaru i logičaru Kantovog vremena. Kao rezultat neadekvatnosti monadske logike za predstavljanje beskonačnosti objekata,matematičar iz osamnaestog stoljeća oslanja se na intuiciju da iznese predstave potrebne za matematičko rasuđivanje. Friedman objašnjava detalje Kantove filozofije matematike na temelju ovog povijesnog uvida.

Friedman je izmijenio svoj izvorni položaj kao odgovor na kritike Emily Carson (Carson 1997), koja je razvila interpretaciju Kantove teorije geometrije koja je Parsonsijanska u svom antiformalističkom naglasku na epistemološkom i fenomenološkom nad logičkom ulogom intuicije u matematici., U nedavnom radu (Friedman 2000, 2010), Friedman tvrdi da je intuicija koja utemelji geometriju u osnovi kinematička, a najbolje se objašnjava prijevodima i rotacijama koji opisuju i konstruktivno djelovanje euklidskog geometra i percepcijsko gledište običnog, prostorno orijentirani promatrač. Ovaj novi račun pruža sintezu između logičkih i fenomenoloških tumačenja,velikim dijelom povezivanjem geometrijskog prostora koji mašta istražuje euklidskim konstrukcijama s perspektivnim prostorom koji je, prema Kantevu obliku, sve vanjsko osjetilno djelovanje. Konkretnije, on usklađuje logičko s fenomenološkim tako što „[ugrađuje] čisto logično razumijevanje geometrijskih konstrukcija (kao Skolemove funkcije) u prostor kao čisti oblik naše vanjske razumske intuicije (kako je opisano u Transcendentalnoj estetici)“(Friedman 2012, n.17).on usklađuje logičko s fenomenološkim tako što [ugrađuje] čisto logično razumijevanje geometrijskih konstrukcija (kao Skolemove funkcije) u prostoru kao čisti oblik naše vanjske razumske intuicije (kako je opisano u Transcendentalnoj estetici)”(Friedman 2012, n. 17).on usklađuje logičko s fenomenološkim tako što [ugrađuje] čisto logično razumijevanje geometrijskih konstrukcija (kao Skolemove funkcije) u prostoru kao čisti oblik naše vanjske razumske intuicije (kako je opisano u Transcendentalnoj estetici)”(Friedman 2012, n. 17).

Bibliografija

Upućivanja na Kantove tekstove prate paginiranje izdanja Akademije (Gesammelte Schriften, Akademie der Wissenschaften (ur.), Berlin: Reimer / DeGruyter, 1910ff.) Upućivanja na Kritiku čistog razuma koriste uobičajenu A / B konvenciju. Prijevodi su iz Cambridgeovog izdanja djela Immanuela Kanta.

Anderson, RL, 2004., "To se dodaje nakon svega: Kantova filozofija aritmetike u svjetlu tradicionalne logike", Filozofija i fenomenološka istraživanja, 69 (3): 501–540.
Barker, S., 1992, "Kantov pogled na geometriju: djelomična obrana", u Posy 1992, str. 221–244.
Breitenbach, A., 2015, „Ljepota u dokazima: Kant o estetici u matematici“, Europski časopis za filozofiju, 23: 955–977; prvi put objavljen na mreži 2013, doi: 10.1111 / ejop.12021
Brittan, G., 1992, "Algebra i intuicija" u Posyu 1992, str. 315-340.
–––, 2006., Kantova filozofija matematike u G. Birdu (ur.), A Companion to Kant, Malden, MA: Blackwell, pp. 222-235.
Buroker, JV, 1981., Svemir i inkongruencija: ishodište Kantovog idealizma, Dordrecht: D. Reidel.
Butts, R., 1981, „Pravila, primjeri i konstrukcije Kantove teorije matematike“, Synthese, 47 (2): 257–288.
Carson, E., 1997, "Kant o intuiciji u geometriji", Kanadski časopis za filozofiju, 27 (4): 489–512.
–––, 1999, „Kant o metodi matematike“, časopis za povijest filozofije, 37 (4): 629–652.
–––, 2002, „Lockeov račun izvjesnog i poučnog znanja“, Britanski časopis za povijest filozofije, 10 (3): 359–378.
–––, 2004, „Metafizika, matematika i razlika između osjetnih i razumljivih u Kantovoj ustavačkoj disertaciji“, časopis za povijest filozofije, 42 (2): 165–194.
Domski, M., 2010, „Kant o imaginaciji i geometrijskoj izvjesnosti“, Perspektive Science, 18 (4): 409–431.
–––, 2012, „Kant i Newton o priori nužnosti geometrije“, Studije iz povijesti i filozofije znanosti (dio A), 44 (3): 438–447.
Domski, M. i Dickson, M. (ur.), 2010, Diskurs o novoj metodi: Pojačati brak povijesti i filozofije znanosti, Chicago: Publishing Open Court.
Dunlop, K., 2012, „Kant i Strawson o sadržaju geometrijskih pojmova“, Noûs, 46 (1): 86–126.
Friedman, M., 1985, "Kantova teorija geometrije", Filozofski pregled, 94 (4): 455–506.
–––, 1992, Kant i Exact Sciences, Cambridge: Harvard University Press.
–––, 2000, „Geometrija, konstrukcija i intuicija u Kantu i njegovim nasljednicima“, u G. Scher i R. Tieszen (ur.), Između logike i intuicije: Eseji u čast Charlesa Parsonsa, Cambridge: Cambridge University Press, str. 186–218.
–––, 2010, „Preispitana sintetska povijest“, u Domski i Dickson, 2010, str. 573–813.
–––, 2012, „Kant o geometriji i prostornoj intuiciji“, Synthese, 186: 231–255.
Guyer, P. (ur.), 1992, The Cambridge Companion to Kant, Cambridge: Cambridge University Press.
Guyer, P. (ur.), 2006., The Cambridge Companion to Kant and Modern Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press.
Hagar, A., 2008, "Kantova i ne-euklidska geometrija", Kant-Studien, 99 (1): 80–98.
Hanna, R., 2002, „Matematika za ljude: Kantova filozofija aritmetike revidirana“, Europski časopis za filozofiju, 10 (3): 328–352.
Harper, W., 1984, „Kant o svemiru, empirijski realizam i temelji geometrije“, Topoi, 3 (2): 143–161. [Reprinted in Posy 1992.]
Hatfield, G., 2006, „Kant o percepciji prostora (i vremena)“, u Guyer, 2006, str. 61–93.
Heis, J., u nadolazećem tekstu, "Kant na paralelnim linijama", u Posy i Rechter, u predstojećem vremenu.
Hintikka, J., 1965, "Kantova nova metoda mišljenja" i njegove teorije matematike ", Ajatus, 27: 37–47.
–––, 1967, „Kant o matematičkoj metodi“, Monist, 51 (3): 352–375. [Reprinted in Posy 1992]
–––, 1969, „O Kantovom pojmu intuicije (Anschauung)“, u T. Penelhum i JJ MacIntosh (ur.), Prva kritika, Belmont, Kalifornija: Wadsworth Publishing.
–––, 1984., Kantova transcendentalna metoda i njegova teorija matematike, Topoi, 3 (2): 99–108. [Reprinted in Posy 1992]
Hogan, D., u nadolazećem tekstu, „Kant i lik matematičke zaključke“, u predstojećim Posy i Rechter.
Horstmann, RP, 1976, „Prostor kao intuicija i geometrija“, omjer, 18: 17–30.
Jauernig, A., 2013, „Sintetička priroda geometrije i uloga konstrukcije u intuiciji“, u: S. Bacin, A. Ferrarin, C. La Rocca i M. Ruffing (ur.), Akten des XI. Internationalen Kant Kongresses 2010, Berlin / New York: Walter de Gruyter.
Kim, J., 2006, „Koncepti i intuicije u Kantovoj filozofiji geometrije“, Kant-Studien, 97 (2): 138–162.
Kitcher, P., 1975, "Kant i temelji matematike", Filozofski zbornik, 84 (1): 23–50. [Reprinted in Posy 1992]
Laywine, A., 1993., Kantova rana metafizika i izvori kritičke filozofije, Atascadero, CA: Ridgeview.
–––, 2010., „Kant i Lambert o geometrijskim postulatima u reformi metafizike“, u Domski i Dickson, 2010, str. 113–133.
Longuenesse, B., 1998, Kant i sposobnost ocjenjivanja. Princeton: Princeton University Press.
Martin, G., 1985, Arithmetic and Combinatorics: Kant and the Contemporaries, J. Wubnig, (trans.), Carbondale i Edwardsville: Southern Illinois University Press.
Melnick, A., 1984, „Geometrija oblika intuicije“, Topoi, 3 (2): 163–168. [Reprinted in Posy 1992]
Parsons, C., 1964, „Beskonačnost i Kantova koncepcija„ mogućnosti iskustva “, Filozofski zbornik, 73 (2): 182–197. [Reprinted in Parsons 1983]
–––, 1969, „Kantova filozofija aritmetike“, S. Morgenbesser, P. Suppes i M. White (ur.), Filozofija, nauka i metoda: eseji u čast Ernesta Nagela, New York: St. Martin's Press. [Reprinted in Parsons 1983. i u Posy 1992]
–––, 1983., Matematika u filozofiji: Izabrani eseji. Ithaca: Cornell University Press.
–––, 1984., „Aritmetika i kategorije“, Topoi, 3 (2): 109–121. [Reprinted in Posy 1992.]
–––, 1992, „Transcendentalna estetika“, u Guyeru 1992, str. 62–100.
–––, 2010., „Dvije studije recepcije Kantove filozofije aritmetike“, u Domski i Dickson, 2010, str. 135–153.
–––, 2012, Od Kanta do Husserla: Izabrani eseji, Cambridge: Harvard University Press.
Posy, C., 1984, "Kantov matematički realizam", The Monist, 67: 115–134. [Reprinted in Posy 1992.]
––– (ur.), 1992, Kantova filozofija matematike: moderni eseji, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
–––, 2008, „Intuicija i beskonačnost: Kantovska tema s odjekom u osnovama matematike“, Dodatak Kraljevskog instituta za filozofiju, 63: 165–193.
Posy, C. i Rechter, O. (ur.), Predstojeće, Kantova filozofija matematike, 2 sveska, Cambridge: Cambridge University Press.
Rechter, O., 2006, "Pogled iz 1763: Kant na aritmetičku metodu prije intuicije", u: E. Carson i R. Huber (ur.), Intuicija i aksiomatična metoda, Dordrecht: Springer.
Risjord, M., 1990, „Osjetljiva zaklada za matematiku: obrana Kantovog pogleda“, Studije iz povijesti i filozofije znanosti, 21 (1): 123–143.
Rusnock, P., 2004., "Je li Kantova filozofija matematike bila prava za njegovo vrijeme?", Kant-Studien, 95 (4): 426–442.
Schönfeld, M., 2000, The Philosophy of the Young Kant: The Precritical Project, New York: Oxford University Press.
Shabel, L., 1998, „Kant o„ simboličkoj konstrukciji “matematičkih koncepata“, Studije iz povijesti i filozofije znanosti, 29 (4): 589–621.
–––, 2003., Matematika u Kantovoj kritičkoj filozofiji: razmišljanja o matematičkoj praksi, New York: Routledge.
–––, 2004., Kantov „Argument iz geometrije“, časopis za povijest filozofije 42 (2): 195–215.
–––, 2006., „Kantova filozofija matematike“, u Guyeru 2006, str. 94–128.
Strawson, PF, 1966, Bound of Sense, London: Methuen, peti dio.
Sutherland, D., 2004a, "Kantova filozofija matematike i grčka matematička tradicija", The Philosophical Review, 113 (2): 157–201.
–––, 2004b, „Uloga veličine u Kantovoj kritičkoj filozofiji“, Kanadski časopis za filozofiju, 34 (3): 411–441.
–––, 2005a, „Kant o temeljnim geometrijskim odnosima“, Archiv für Geschichte der Philosophie, 87 (2): 117–158.
–––, 2005b, „Poanta Kantovih aksioma intuicije“, Pacifički filozofski kvartal, 86 (1): 135–159.
–––, 2006., „Kant o aritmetici, algebri i teoriji proporcija“, časopis za povijest filozofije, 44 (4): 533–558.
–––, 2010., „Filozofija, geometrija i logika u Leibnizu, Wolffu i ranom Kantu“, Domski i Dickson, 2010, str. 155–192.
Thompson, M., 1972, „Pojedinačni pojmovi i intuicije u Kantovoj epistemologiji“, Pregled metafizike, 26 (2): 314–343. [Reprinted in Posy 1992]
van Cleve, J. i Frederick, R. (ur.), 1991., Filozofija desne i lijeve: Nekonkurentni pandan i priroda svemira, Dordrecht, Boston: Kluwer Academic Publishers.
van Cleve, J., 1999, Problemi s Kanta, Oxford: Oxford University Press.
Young, JM, 1984, "Konstrukcija, shematizam i mašta", Topoi, 3 (2): 123–131. [Reprinted in Posy 1992]

Akademske alate

sep man ikona	Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona	Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona	Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil	Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.