Modalna Logika

Sadržaj:

Modalna Logika
Modalna Logika

Video: Modalna Logika

Video: Modalna Logika
Video: Убермаргинал критикует лекцию про модальную логику 2024, Ožujak
Anonim

Ulazna navigacija

  • Sadržaj unosa
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Prijatelji PDF pregled
  • Podaci o autoru i citiranju
  • Povratak na vrh

Modalna logika

Prvo objavljeno u utorak, 29. veljače 2000.; suštinska revizija Sat ruj 8, 2018

Modal je izraz (poput "nužno" ili "eventualno") koji se koristi da bi se kvalificirala istinitost presude. Modalna logika je, strogo govoreći, proučavanje deduktivnog ponašanja izraza „potrebno je to“i „moguće je to“. Međutim, izraz 'modalna logika' može se širiti upotrebljavati za obitelj povezanih sustava. Oni uključuju logiku vjerovanja, za napete i druge vremenske izraze, za deontske (moralne) izraze poput "to je obavezno" i "to je dopušteno", i mnoge druge. Razumijevanje modalne logike osobito je vrijedno u formalnoj analizi filozofskih argumenata, gdje su izrazi iz modalne obitelji uobičajeni i zbunjujući. Modalna logika ima također važne primjene u računalnoj znanosti.

  • 1. Što je modalna logika?
  • 2. Modalna logika
  • 3. Deontična logika
  • 4. Vremenska logika
  • 5. Uvjetna logika
  • 6. Semantika mogućih svjetova
  • 7. Modalni aksiomi i uvjeti na okvirima
  • 8. Karta odnosa modalnih logika
  • 9. Opći aksiom
  • 10. Dvodimenzionalna semantika
  • 11. Logika dokazivosti
  • 12. Napredna modalna logika
  • 13. Bisimulacija
  • 14. Modalna logika i igre
  • 15. Kvantifikatori u modalnoj logici
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Ostali internetski resursi
  • Povezani unosi

1. Što je modalna logika?

Usko konstruirana, modalna logika proučava rasuđivanje koje uključuje uporabu izraza "nužno" i "moguće". No, termin 'modalna logika' koristi se šire kako bi obuhvatio obitelj logika sa sličnim pravilima i mnoštvom različitih simbola.

Slijedi popis koji opisuje najpoznatije od ovih logika.

Logika simboli Izrazi simbolizirani
Modalna logika (Box) Potrebno je da…
(Dijamant) Moguće je da…
Deontična logika (O) Obavezno je…
(P) Dopušteno je da…
(F) Zabranjeno je…
Vremenska logika (G) Uvijek će biti tako da…
(F) Bit će to slučaj da …
(H) Oduvijek je bio slučaj da…
(P) Bilo je slučaja da …
Doksastična logika (Bx) (x) vjeruje da…

2. Modalna logika

Najpoznatija logika u modalnoj obitelji izvedena je iz slabe logike zvane (bK) (nakon Saula Kripkea). Pod uskim čitanjem, modalna logika odnosi se na nužnost i mogućnost. Različiti sustavi mogu se razviti za takvu logiku koristeći (bK) kao temelj. Simboli (bK) uključuju '({ sim})' za 'ne', '(rightarrow)' za 'ako… onda', i '(Kutija)' za modalni operater 'to je potrebno'. (Veze '(amp)', '(vee)' i '(leftrightarrow)' mogu se definirati iz '({ sim})' i '(rightarrow) 'kao što je učinjeno u logici prijedloga.) (bK) rezultat je dodavanja sljedećeg principa logike prijedloga.

Pravilo o nuždi: Ako je (A) teorema (bK), tada je to i (okvir A).

Aksiom distribucije: (Box (A / rightarrow B) rightarrow (Box A / rightarrow / Box B)).

(U tim principima koristimo '(A)' i '(B)' kao meta-varijable koje se kreću po formulama jezika.) Prema Pravilu o nuždi, bilo koja logika teoreme je potrebna. Aksiom distribucije kaže da ako je potrebno da ako je ((A) onda (B), onda ako je nužno (A), onda nužno (B).

Operator (Diamond) (za 'eventualno') može se definirati iz (Box) puštanjem (Diamond A = { sim} Box { sim} A). U (bK) se operateri (Kutija) i (Diamond) ponašaju vrlo slično kvantifikatorima (forall) (svi) i (postoji) (neki). Na primjer, definicija (Diamond) iz (Box) zrcali ekvivalentnost (forall xA) sa ({ sim} postoji x { sim} A) u predikatnoj logici, Nadalje, (Box (A / amp B)) podrazumijeva (Okvir A / amp / Box B) i obrnuto; a (Okvir A / vee / Okvir B) podrazumijeva (Kutija (A / vee B)), ali ne obrnuto. Ovo odražava obrasce izložene univerzalnim kvantifikatorom: (forall x (A / amp B)) podrazumijeva (forall xA / amp / forall xB) i obrnuto, dok (forall xA / vee / forall xB) podrazumijeva (forall x (A / vee B)), ali ne i obrnuto. Slične paralele između (Dijamant) i (postoji) mogu se povući. Osnova ove korespondencije između modalnih operatora i kvantifikatora jasnije će se pojaviti u odjeljku o mogućoj semanti svjetova.

Sustav (bK) je preslab da bi dao adekvatan račun nužnosti. Sljedeći aksiom nije dokazljiv u (bK), ali je očigledno poželjan.

) oznaka {(M)} okvir A / rightarrow A)

((M)) tvrdi da je sve što je potrebno. Primjetite da bi ((M)) bilo netočno bilo (Kutija) da se glasi "to bi trebalo biti" ili "to je bio slučaj". Dakle, prisutnost aksioma ((M)) razlikuje logiku za nuždu od ostalih logika u modalnoj obitelji. Osnovna modalna logika (M) nastaje dodavanjem ((M)) u (bK). (Neki autori nazivaju ovaj sustav (mathbf {T}).)

Mnogi logičari vjeruju da je (M) još uvijek preslab da bi ispravno formalizirao logiku nužnosti i mogućnosti. Preporučuju daljnje aksiome za upravljanje iteracijom ili ponavljanjem modalnih operatora. Evo dva od najpoznatijih aksioma ponavljanja:

) tag {4} Kutija A / rightarrow / Kutija / Kutija A)) oznaka {5} Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A)

(mathbf {S4}) je sustav koji je rezultat dodavanja (4) u (M). Slično je (mathbf {S5}) (M) plus (5). U (mathbf {S4}) rečenica (Box / Box A) je ekvivalentna (Box A). Kao rezultat, bilo koji niz kutija može se zamijeniti jednim okvirom, a isti se odnosi na nizove dijamanata. To predstavlja ideju da je iteracija modalnih operatora suvišna. Kazati da je (A) nužno potrebno smatra se beskorisnim dugovječnim načinom reći da je (A) neophodno. Sustav (mathbf {S5}) ima još jača načela za pojednostavljivanje nizova modalnih operatora. U (mathbf {S4}) niz operatora iste vrste može se zamijeniti za tog operatora; u (mathbf {S5}), žice koje sadrže i okvire i dijamante jednake su posljednjem operatoru u nizu. Tako npr.reći da je moguće da je (A) potrebno isto je kao i reći da je (A) potrebno. Slijedi sažetak ovih značajki (mathbf {S4}) i (mathbf {S5}).

) tag {(mathbf {S4})} Kutija / Kutija / ldots / Kutija = / Kutija / tekst {i} Dijamant / Dijamant / ldots / Diamond = / Diamond)) početak {poravnati *} tag {(mathbf {S5})} 00 / ldots / Kutija & = / Kutija / tekst {i} 00 / ldots / Diamond = / Diamond, \& / tekst {gdje je svaki} 0 / tekst {je ili} Kutija / tekst {ili} Dijamant / kraj {poravnati}})

Mogli bismo se uključiti u beskrajne rasprave o ispravnosti ili netočnosti ovih i drugih načela ponavljanja za (okvir) i (Diamond). Kontroverza se može dijelom riješiti uvažavanjem da riječi "nužno" i "moguće" imaju mnogo različitih upotreba. Dakle, prihvatljivost aksioma za modalnu logiku ovisi o tome koju od tih namjena imamo na umu. Iz tog razloga ne postoji nijedna modalna logika, već cijela obitelj sustava izgrađenih oko (M). Odnos između ovih sustava prikazan je u odjeljku 8, a njihova primjena na različite namjene „nužno“i „moguće“može se dublje razumjeti proučavanjem njihove moguće svjetske semantike u odjeljku 6.

Sustav (mathbf {B}) (za logičar Brouwer) nastaje dodavanjem aksioma ((B)) u (M).

) oznaka {(B)} A / rightarrow / Kutija / Dijamant A)

Zanimljivo je napomenuti da se (mathbf {S5}) može formulirati ekvivalentno dodavanjem ((B)) u (mathbf {S4}). Aksiom ((B)) postavlja važno pitanje o tumačenju modalnih formula. ((B)) kaže da ako je slučaj (A), tada je (A) nužno moguće. Moglo bi se tvrditi da ((B)) uvijek treba usvojiti u bilo kojoj modalnoj logici, jer sigurno ako je slučaj (A), tada je nužno da je (A) moguće. Međutim, postoji problem sa ovom tvrdnjom koja se može otkriti primijetivši da je (Diamond / Box A / rightarrow A) dostupan iz ((B)). Dakle, (Diamond / Box A / rightarrow A) bi trebao biti prihvatljiv ako je ((B)). Međutim, (Diamond / Box A / rightarrow A) kaže da ako je (A) eventualno potrebno, to je slučaj (A), a to je daleko od očitog. Zašto se ((B)) čini očiglednim,dok jedna od stvari koje uključuje čini se uopće nije očigledna? Odgovor je da u engleskoj interpretaciji (A / rightarrow / Box / Diamond A) postoji opasna dvosmislenost. Izraz 'Ako (A) često nužno (B)' često koristimo da izrazimo da je uvjet 'ako (A) tada (B)' neophodan. Ova interpretacija odgovara (Kutija (A / rightarrow B)). U drugim prilikama, mislimo da je ako je (A), tada je (B): (A / rightarrow / Box B). Na engleskom je 'nužno' prislov, a budući da se prilozi obično postavljaju u blizini glagola, nemamo prirodan način da naznačimo primjenjuje li se modalni operator na cijeli uvjetni ili na njegov posljedični. Iz tih razloga postoji tendencija brkanja ((B): A / rightarrow / Box / Diamond A) s (Box (A / rightarrow / Diamond A)). Ali (Box (A / rightarrow / Diamond A)) nije isto što i ((B)), jer je (Box (A / rightarrow / Diamond A)) već teorema (M), a ((B)) nije. Moramo posebno paziti da naša pozitivna reakcija na (Box (A / rightarrow / Diamond A)) ne utječe na našu procjenu ((B)). Jedan jednostavan način da se zaštitimo je formulirati (B) na ekvivalentni način koristeći aksiom: (Diamond / Box A / rightarrow A), gdje te nejasnoće opsega ne nastaju.gdje te nejasnoće dosega ne nastaju.gdje te nejasnoće dosega ne nastaju.

3. Deontična logika

Deontična logika uvodi primitivni simbol (O) za 'to je obavezno', od čega su simboli (P) za 'dopušteno da su' i (F) za 'zabranjeno to': (PA = { sim} O { sim} A) i (FA = O { sim} A). Deontski analog modalnog aksioma ((M): OA / rightarrow A) očito nije prikladan za deontsku logiku. (Nažalost, ono što bi trebalo biti nije uvijek slučaj.) Međutim, osnovni sustav (mathbf {D}) deontske logike može se konstruirati dodavanjem slabijeg aksioma ((D)) u (bk).

) oznaka {(D)} OA / rightarrow PA)

Aksiom ((D)) jamči dosljednost sustava obveza inzistiranjem da kada je (A) obavezan, (A) je dopušten. Sustav koji nas obvezuje na stvaranje (A), ali nam to ne dozvoljava, stavlja nas u neizbježni odnos. Iako će neki tvrditi da su takvi sukobi obveza barem mogući, većina deontičnih logičara prihvaća ((D)).

(O (OA / rightarrow A)) je još jedan deontski aksiom koji se čini poželjnim. Iako je pogrešno reći da ako je (A) obvezan, tada je (A) slučaj ((OA / rightarrow A)), to bi svejedno trebalo biti slučaj. Stoga neki deontični logičari vjeruju da (D) također treba nadopuniti s (O (OA / rightarrow A)).

Kontroverza oko iteracije (ponavljanja) operatora ponovo se pojavljuje u deontskoj logici. U nekim koncepcijama obveze (OOA) jednostavno iznosi (OA). "Trebalo bi biti da bi trebalo biti" tretira se kao vrsta mucanja; dodatni ne bi trebali dodati ništa novo. Dakle, dodani su aksiomi koji jamče ekvivalentnost (OOA) i (OA). Također se može usvojiti općenita politika iteracije utjelovljena u (mathbf {S5}). Međutim, postoje pojmovi obveze u kojima je razlika između (OA) i (OOA) sačuvana. Ideja je da postoje stvarne razlike između obveza koje zapravo imamo i obveza koje bismo trebali preuzeti. Tako, na primjer, "trebalo bi biti da bi to trebalo biti da (A)" naređuje usvajanje neke obveze koja zapravo ne može nastupiti, što rezultira da (OOA) može biti istinita i kada (OA) je netočno.

4. Vremenska logika

U vremenskoj logici (također poznato kao napeta logika) postoje dva osnovna operatera, (G) za budućnost i (H) za prošlost. (G) se čita "uvijek će biti tako", a definirani operator (F) (čitaj "to će biti slučaj") može uvesti pomoću (FA = { sim} G { sim } A). Slično se čita i (H): 'uvijek je to bilo' i (P) (jer 'to je bio slučaj') definiran je s (PA = { sim} H { sim} A), Osnovni sustav vremenske logike zvan (mathbf {Kt}) rezultat je usvajanja načela (bK) i za (G) i (H), zajedno s dva aksioma za upravljanje interakcijom između prošlih i budućih operatera:

Pravila nužde:

Ako je (A) teorema, tada su to i (GA) i (HA).

Aksiomi distribucije:

(G (A / rightarrow B) rightarrow (GA / rightarrow GB)) i (H (A / rightarrow B) rightarrow (HA / rightarrow HB))

Aksiomi interakcije:

(A / rightarrow GPA) i (A / rightarrow HFA)

Aksiomi interakcije postavljaju pitanja koja se tiču asimetrije između prošlosti i budućnosti. Standardna je intuicija da je prošlost fiksirana, dok je budućnost još uvijek otvorena. Prvi aksiom interakcije ((A / rightarrow GPA)) u skladu je s ovom intuicijom u izvještavanju da će ono što je slučaj ((A)) u svim budućim vremenima biti u prošlosti ((GPA)), Međutim, može se činiti da (A / rightarrow HFA) ima neprihvatljivo determinirane pretpostavke, jer, očito, tvrdi da je ono što je sada točno ((A)) uvijek bilo takvo da će se to dogoditi u budućnosti ((HFA)). Međutim, moguća svjetska semantika vremenske logike otkriva da je ta briga posljedica jednostavne zbrke i da su dva aksioma interakcije podjednako prihvatljiva.

Imajte na umu da karakteristični aksiom modalne logike, ((M): / okvir A / rightarrow A) nije prihvatljiv ni za (H) ni (G), jer (A) ne slijedi iz 'uvijek je bio slučaj da (A)', niti iz 'uvijek će biti slučaj (A)'. Međutim, prihvatljivo je u usko povezanoj vremenskoj logici gdje se (G) čita "ona jest i uvijek će biti", a (H) se čita "ona jest i uvijek je bila".

Ovisno o pretpostavkama o strukturi vremena, vremenskim se logikama moraju dodati daljnji aksiomi. Slijedi popis aksioma koji su obično prihvaćeni u vremenskoj logici. Izvještaj o tome kako oni ovise o strukturi vremena naći ćete u odjeljku Semantika mogućih svjetova.

) početak {poravnati *} GA / rightarrow GGA & / tekst {i} HA / rightarrow HHA \\ GGA / rightarrow GA & / text {i} HHA / rightarrow HA \\ GA / rightarrow FA & / text {and} HA / rightarrow PA / end {poravnati}})

Zanimljivo je primijeniti da se određene kombinacije operatora prošlih i budućih napetosti mogu koristiti za izražavanje složenih napetosti na engleskom jeziku. Na primjer, (FPA) odgovara rečenici (A) u budućem savršenom vremenu (kao u '20 sekundi od sada svjetlost će se promijeniti'). Slično tome, (PPA) izražava prošlu savršenu napetost.

Za detaljniju raspravu pogledajte zapis o vremenskoj logici.

5. Logična i uvjetna relevantnost

Osnivač modalne logike, CI Lewis, definirao je niz modalnih logika koje nisu imale (Box) kao primitivni simbol. Lewis je bio zabrinut za razvijanje logike uvjetovanja koja ne uključuje tzv. Paradokse materijalne implikacije, naime klasične teoreme (A / rightarrow ({ sim} A / rightarrow B)) i (B / rightarrow (A / pravica B)). Uneo je simbol (fishhook) za "strogu implikaciju" i razvio logiku u kojoj niti (A / fishhook ({ sim} A / fishhook B)) niti (B / fishhook (A / fishhook B)) je provjerljivo. Suvremena praksa je definirati (A / fishhook B) pomoću (Box (A / rightarrow B)), te koristiti modalnu logiku koja upravlja (Box) za dobivanje sličnih rezultata. Međutim, dokazivost takvih formula kao što je ((A / amp { sim} A) fishhook B) u takvoj logici čini se neskladnim zabrinjavajući zbog paradoksa. Anderson i Belnap (1975) razvili su sustave (mathbf {R}) (za relevantnu logiku) i (mathbf {E}) (za Entailment) koji su dizajnirani za prevladavanje takvih teškoća. Ovi sustavi zahtijevaju reviziju standardnih sustava prijedloge logike. (Vidi Mares (2004) i unos o logici važnosti.)

David Lewis (1973) i drugi razvili su uvjetnu logiku za obradu kontrafektivnih izraza, to jest izraza forme 'ako bi se (() tada dogodio (B)'. (Kvart (1980) je još jedan dobar izvor o toj temi.) Suprotne logike razlikuju se od onih temeljenih na strogoj implikaciji, jer prve odbijaju, dok druge prihvaćaju suprotnost.

6. Semantika mogućih svjetova

Svrha logike je opisati razliku između valjanih i nevaljanih argumenata. Logični sustav za jezik je skup aksioma i pravila koja su oblikovana tako da dokazuju točno važeće argumente koji se mogu održati na jeziku. Stvaranje takve logike može biti težak zadatak. Logičar mora osigurati da je sustav zvuk, odnosno da je svaki argument dokazan pomoću pravila i aksioma u stvari valjan. Nadalje, sustav bi trebao biti cjelovit, što znači da svaki valjani argument ima dokaz u sustavu. Pokazivanje ispravnosti i cjelovitosti formalnih sustava središnja je briga logičara.

Takva se demonstracija ne može započeti dok se strogo ne definira pojam valjanosti. Formalna semantika logike pruža definiciju valjanosti karakterizirajući ponašanje istine rečenica u sustavu. U prijedloškoj logici, valjanost se može definirati pomoću tablica istine. Valjani argument jednostavno je onaj gdje svaki redak tablice istine koji čini svoje pretpostavke istinitim čini i svoj zaključak istinitim. No tablice istine ne mogu se upotrijebiti za pružanje računa valjanosti u modalnoj logici jer ne postoje tablice istine za izraze poput "potrebno je to", "to je obavezno" i slično. (Problem je što vrijednost istine (A) ne određuje vrijednost istine za (Okvir A). Na primjer, kada je (A) 'Psi su psi', (Okvir A) je istina, ali kada je (A) 'Psi su kućni ljubimci', (Kutija A) je lažno.) Ipak,semantika modalne logike može se definirati uvođenjem mogućih svjetova. Ilustrirat ćemo moguće semantike svjetova za logiku nužnosti koja sadrži simbole ({ sim}, / rightarrow) i (Box). Zatim ćemo objasniti kako se ista strategija može prilagoditi drugim logikama u modalnoj obitelji.

U prijedloškoj logici, vrednovanje atomskih rečenica (ili retka tablice istine) dodijeljuje vrijednost istine ((T) ili (F)) svakoj propozicijskoj varijabli (p). Tada se vrijednosti istinitosti složenih rečenica izračunavaju s tablicama istine. U modalnu semantiku uvodi se skup (W) mogućih svjetova. Vrijednost tada daje vrijednost istinitosti svakoj predloženoj varijabli za svaki od mogućih svjetova u (W). To znači da vrijednost dodijeljena (p) za svijet (w) može se razlikovati od vrijednosti dodijeljene (p) za drugi svijet (w ').

Vrijednost istine atomske rečenice (p) u svijetu (w) dana vrednovanjem (v) može se zapisati (v (p, w)). S obzirom na ovu notu, vrijednosti istine ((T) za istinu, (F) za lažno) složene rečenice modalne logike za dano vrednovanje (v) (i član (w) skupa svjetova (W)) mogu se definirati slijedećim klauzulama istine. ('iff' kratice 'if and only if'.)

) tag {({ sim})} v ({ sim} A, w) = T / tekst {iff} v (A, w) = F.)) tag {(rightarrow)} v (A / rightarrow B, w) = T / tekst {iff} v (A, w) = F / tekst {ili} v (B, w) = T.)) tag {5} v (Okvir A, w) = T / tekst {iff za svaki svijet} w '\ tekst {in} W, v (A, w') = T.)

Klauzule (({ sim})) i ((rightarrow)) jednostavno opisuju standardno ponašanje tablice istine za negaciju i materijalne implikacije. Prema (5), (okvir A) je istina (u svijetu (w)) točno kad je (A) istina u svim mogućim svjetovima. S obzirom na definiciju (Diamond), (naime, (Diamond A = { sim} Box { sim} A)) uvjet istine (5) osigurava da je (Diamond A) istina za svaki slučaj (A) je istina u nekom mogućem svijetu. Budući da klauzule istine za (Box) i (Diamond) uključuju kvantifikatore "all" i "some" (respektivno), paralele u logičkom ponašanju između (Box) i (forall x), a između (Dijamant) i (postoji x) navedenih u odjeljku 2, očekuje se.

Odredbe (({ sim}), (rightarrow)) i (5) omogućuju nam da izračunamo vrijednost istinitosti bilo koje rečenice u bilo kojem svijetu na određenoj vrijednosti. Definicija valjanosti sada je odmah iza ugla. Argument je 5-validan za zadani skup W (od mogućih svjetova) ako i samo ako svaka procjena atomske rečenice koja dodjeljuje prostor (T) svijetu u (W) također daje zaključak (T) na istom svijetu. Argument se kaže da je 5-validan ako je validan za svaki neprazni skup (W) mogućih svjetova.

Pokazano je da je (mathbf {S5}) zvučan i potpun za 5-validnost (otuda i naša upotreba simbola '5'). 5-validni argumenti upravo su argumenti izvodljivi u (mathbf {S5}). Ovaj rezultat sugerira da je (mathbf {S5}) ispravan način formuliranja nužne logike.

Međutim, (mathbf {S5}) nije razumna logika za sve članove obitelji modalista. U deontskoj logici, vremenskoj logici i dr. Analog analognog stanja istine (5) očito nije prikladan; Nadalje, postoje čak i pojmovi nužnosti gdje (5) također treba odbaciti. Poanta se najlakše vidi u slučaju vremenske logike. Ovdje su članovi (W) trenuci vremena ili su svjetovi u trenutku "zamrznuti". Radi jednostavnosti, razmotrimo buduću vremensku logiku, logiku u kojoj (Okvir A) glasi: "Uvijek će biti tako". (Sustav formuliramo pomoću (Box), a ne tradicionalnim (G), tako da će veze s drugim modalnim logikama biti lakše cijeniti.) Ispravna odredba za (Box) bi trebala reći da (Okvir A) istinito je u vremenu (w) iff (A) je istina u svakom trenutku u budućnosti (w). Da bi se ograničila pažnja na budućnost, treba uvesti odnos (R) (za 'ranije nego'). Tada se ispravna klauzula može formulirati na sljedeći način.

) tag {(K)} v (Okvir A, w) = T / tekst {iff za svaki} w ', / tekst {ako} wRw', / tekst {tada} v (A, w ') = T.)

To kaže da je (Okvir A) istinit u (w) samo u slučaju da je (A) istina u svakom trenutku nakon (w).

Valjanost ove marke vremenske logike sada se može definirati. Okvir (langle W, R / rangle) je par koji se sastoji od ne praznog skupa (W) (svjetova) i binarnog odnosa (R) na (W). Model (langle F, v / rangle) sastoji se od okvira (F) i procjene (v) koji svakoj atomskoj rečenici u svakom svijetu dodjeljuje vrijednosti istine u (W). S obzirom na model, vrijednosti svih složenih rečenica mogu se odrediti pomoću (({ sim}), (rightarrow)) i ((K)). Argument je (bK) - vrijedi samo u slučaju da svaki model čija procjena dodjeljuje pretpostavke (T) u svijetu također daje zaključak (T) u istom svijetu. Kao što je čitatelj mogao pretpostaviti iz naše upotrebe '(bK)', pokazalo se da je najjednostavnija modalna logika (bK) zvučna i potpuna za (bK) - valjanost.

7. Modalni aksiomi i uvjeti na okvirima

Iz ove se rasprave može pretpostaviti da je (bK) ispravna logika kad se čita (Box) "to će uvijek biti tako". Međutim, postoje razlozi za mišljenje da je (bK) preslaba. Jedno očito logično obilježje odnosa (R) (ranije od) je tranzitivnost. Ako je (wRv (w) stariji od (v)) i (vRu (v) je raniji od (u)), onda slijedi da je (wRu (w) raniji od (u)). Dakle, definirajmo novu vrstu valjanosti koja odgovara ovom uvjetu na (R). Neka je 4-model bilo koji model čiji je okvir (langle W, R / rangle) takav da je (R) prijelazni odnos na (W). Zatim je argument 4-validan ako je bilo koji 4-model čija procjena dodjeljuje (T) prostorijama u svijetu također dodjeljuje (T) zaključku na istom svijetu. Mi koristimo '4' za opisivanje takvog tranzitivnog modela, jer je logika koja je adekvatna (i zvučna i potpuna) za 4-validnost (mathbf {K4}), logika koja proizlazi iz dodavanja aksioma (4): (Kutija A / rightarrow / Kutija / Kutija A) do (bK).

Tranzitivnost nije jedino svojstvo koje bismo mogli tražiti od okvira (langle W, R / rangle) ako (R) treba čitati 'ranije nego', a (W) skup trenutaka. Jedan je uvjet (koji je tek blago kontroverzan) da nema posljednjeg trenutka vremena, tj. Da za svaki svijet (w) postoji neki svijet (v) takav da (wRv). Ovaj se uvjet na okvirima naziva serijska serija. Serijalnost odgovara aksiomu ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A), na isti način na koji tranzitivnost odgovara (4). A (mathbf {D}) - model je (bK) - model sa serijskim okvirom. Iz koncepta modela (mathbf {D}) - odgovarajući pojam (mathbf {D}) - valjanost se može definirati kao što smo to učinili u slučaju 4-valjanosti. Kao što vjerojatno pogađate, sustav koji je adekvatan u pogledu (mathbf {D}) - valjanost je (mathbf {KD}),ili (bK) plus ((D)). I ne samo to, već je sustav (mathbf {KD4}) (to jest (bK) plus (4) i ((D))) adekvatan u odnosu na (mathbf {D4}) - valjanost, gdje je model (mathbf {D4}) model gdje je (langle W, R / rangle) i serijski i tranzitivni.

Još jedno svojstvo koje bismo možda željeli za odnos 'ranije nego' je gustoća, uvjet koji kaže da između dva puta uvijek možemo pronaći drugo. Gustoća bi bila lažna da je vrijeme atomsko, tj. Ako postoje intervali koji se ne mogu razgraditi na manje dijelove. Gustoća odgovara aksiomu ((C4): / Box / Box A / rightarrow / Box A), obrnutoj od (4), tako da, na primjer, sustav (mathbf {KC4}), što je (bK) plus ((C4)) je primjeren u odnosu na modele gdje je okvir (langle W, R / rangle) gust, a (mathbf {KDC4}) adekvatan s obzirom na modele na modele čiji su okviri serijski i gusti, i tako dalje.

Svaki od modalnih logičkih aksioma o kojima smo razgovarali odgovara stanju na okvirima na isti način. Odnos između uvjeta na okvirima i odgovarajućih aksioma jedna je od središnjih tema u proučavanju modalne logike. Nakon što se odluči interpretacija intenzivnog operatera (Box), mogu se odrediti odgovarajući uvjeti na (R) kako bi se utvrdio odgovarajući pojam valjanosti. To nam, zauzvrat, omogućuje odabir pravog skupa aksioma za tu logiku.

Na primjer, razmotrite deontsku logiku, gdje se (Box) čita "to je obavezno". Ovdje istina (Okvir A) ne zahtijeva istinu (A) u svakom mogućem svijetu, već samo u podskupini svjetova u kojima ljudi rade ono što trebaju. Stoga ćemo htjeti uvesti odnos (R) i za ovu vrstu logike te upotrijebiti klauzulu istine ((K)) za procjenu (okvir A) u svijetu. Međutim, u ovom slučaju (R) nije ranije od. Umjesto toga, (wRw ') vrijedi samo u slučaju da je svijet (w') moralno prihvatljiva varijanta (w), tj. Svijet koji mogu stvoriti naše radnje koji zadovoljava ono što je moralno ispravno, ili ispravno, ili samo. Pod takvim čitanjem treba biti jasno da se relevantni okviri moraju pokoravati serijskoj izvedbi, uvjetu koji zahtijeva da svaki mogući svijet ima moralno prihvatljivu varijantu. Analiza svojstava željenih za (R) jasno pokazuje da se osnovna deontička logika može formulirati dodavanjem aksioma ((D)) i u (bK).

Čak i u modalnoj logici, može se ograničiti opseg mogućih svjetova koji su relevantni za utvrđivanje je li (Box A) istinit u danom svijetu. Na primjer, mogao bih reći da je potrebno da platim račune, iako dobro znam da postoji mogući svijet u kojem ih ne bih platio. U uobičajenom govoru, tvrdnja da je (A) potrebna nije potrebna istina (A) u svim mogućim svjetovima, već samo u određenoj klasi svjetova koje imam na umu (na primjer, svjetovi u kojima Izbjegavam kazne zbog neplaćanja). Da bismo pružili općeniti tretman nužnosti, moramo reći da je (Okvir A) istinit u (w) iff (A) istinit u svim svjetovima koji su povezani sa (w) u pravi put. Dakle, za operatera (Box) koji se tumači kao nužnost,uvodimo odgovarajući odnos (R) u skup mogućih svjetova (W), koji se tradicionalno naziva odnos pristupačnosti. Odnos pristupa (R) drži između svjetova (w) i (w ') iff (w') moguć je s obzirom na činjenice (w). Prema ovom čitanju za (R), trebalo bi biti jasno da okviri za modalnu logiku trebaju biti refleksivni. Iz toga slijedi da se modalna logika treba temeljiti na (M), sustavu koji nastaje dodavanjem ((M)) u (bK). Ovisno o tome kako se shvaća odnos pristupačnosti, simetrija i tranzitivnost također se mogu poželjeti.trebalo bi biti jasno da okviri za modalnu logiku trebaju biti refleksivni. Iz toga slijedi da se modalna logika treba temeljiti na (M), sustavu koji nastaje dodavanjem ((M)) u (bK). Ovisno o tome kako se shvaća odnos pristupačnosti, simetrija i tranzitivnost također se mogu poželjeti.trebalo bi biti jasno da okviri za modalnu logiku trebaju biti refleksivni. Iz toga slijedi da se modalna logika treba temeljiti na (M), sustavu koji nastaje dodavanjem ((M)) u (bK). Ovisno o tome kako se shvaća odnos pristupačnosti, simetrija i tranzitivnost također se mogu poželjeti.

Popis nekih uobičajenijih stanja na okvirima i njihovih odgovarajućih aksioma zajedno s mapom koja prikazuje odnos između različitih modalnih logika nalazi se u sljedećem odjeljku.

8. Karta odnosa modalnih logika

Sljedeći dijagram prikazuje odnose između najpoznatijih modalnih logika, naime logike koje se mogu formirati dodavanjem odabira aksioma ((D), (M)), (4), ((B)) i (5) do (bK). Popis ovih (i ostalih) aksioma zajedno s njihovim odgovarajućim uvjetima okvira nalazi se ispod dijagrama.

nedostaje tekst, molimo vas da ga obavijestite
nedostaje tekst, molimo vas da ga obavijestite

Dijagram modalne logike

U ovom grafikonu sustavi su prikazani popisom njihovih aksioma. Tako je, na primjer, (mathbf {M4B}) rezultat dodavanja ((M)), (4) i ((B)) u (bK). Podebljanim slovima smo naznačili tradicionalna imena nekih sustava. Kad se sistem (mathbf {S}) pojavi dolje i / ili lijevo od (mathbf {S} ') povezanom linijom, tada je (mathbf {S}') proširenje (mathbf {S}). To znači da je svaki argument dokaziv u (mathbf {S}) dokaziv u (mathbf {S} '), ali (mathbf {S}) je slabiji od (mathbf {S} '), tj. nisu svi argumenti dokazivi u (mathbf {S}') dokazivi u (mathbf {S}).

Sljedeći popis pokazuje aksiome, njihova imena i odgovarajuće uvjete o odnosu pristupačnosti (R) za do sada raspravljene aksiome u ovom enciklopedijskom unosu.

Ime Aksiom Stanje na okvirima R je…
((D)) (Kutija A / rightarrow / Diamond A) (postoji u wRu) Serijski
((M)) (Okvir A / rightarrow A) (WRw) refleksivan
(4) (Kutija A / rightarrow / Kutija / Kutija A) ((wRv / amp vRu) Rightarrow wRu) prijelazan
((B)) (A / rightarrow / Kutija / Diamond A) (wRv / Rightarrow vRw) Simetričan
(5) (Dijamant A / rightarrow / Kutija / Dijamant A) ((wRv / amp wRu) Rightarrow vRu) euklidska
((CD)) (Diamond A / rightarrow / Box A) ((wRv / amp wRu) Rightarrow v = u) funkcionalna
((Okvir M)) (Kutija (Kutija A / rightarrow A)) (wRv / Rightarrow vRv)

Shift

Reflexive

((C4)) (Kutija / Kutija A / rightarrow / Kutija A) (wRv / Rightarrow / postoji u (wRu / amp uRv)) gust
((C)) (Dijamant / Kutija A / rightarrow / Kutija / Dijamant A) (wRv / amp wRx / Rightarrow / postoji u (vRu / amp xRu)) Konvergentan

Na popisu uvjeta na okvirima, a u ostatku ovog članka, varijable '(w)', '(v)', '(u)', '(x)' i kvantifikator "(postoji u)" podrazumijeva se da prelazi (W). '&' skraćenice 'i' i '(Rightarrow)' skraćenice 'if… then'.

Pojam podudarnosti između aksioma i okvirnih uvjeta koji je ovdje dan je objašnjen u prethodnom odjeljku. Kad je S popis aksioma, a F (S) odgovarajući skup uvjeta okvira, tada S odgovara F (S) točno kad je sustav K + S adekvatan (zvuk i potpunost) za F (S) -validitet, to jest, argument je dokaziv u K + S ako je F (S) -validan. U istraživanju modalne logike pojavilo se nekoliko jačih pojmova podudarnosti između aksioma i okvira okvira.

9. Opći aksiom

Podudaranje između aksioma i uvjeta na okvirima može se činiti misterijom. Lijep rezultat Lemmona i Scotta (1977) ide dalekim putem prema objašnjenju tih odnosa. Njihov se teorem odnosio na aksiome koji imaju sljedeći oblik:

) tag {(G)} Dijamant ^ h / Kutija ^ i A / rightarrow / Kutija ^ j / Dijamant ^ k A)

Notaciju '(Diamond ^ n)' koristimo za predstavljanje (n) dijamanata u nizu, pa, na primjer, '(Diamond ^ 3)' skraćuje niz od tri dijamanta: '(Dijamant / Dijamant / Dijamant) '. Slično tome, (Box ^ n) 'predstavlja niz (n) okvira. Kada su vrijednosti (h, i, j) i (k) sve jednake, imamo aksiom ((C)):

) oznaka {(C)} Dijamant / Kutija A / rightarrow / Kutija / Dijamant A = / Dijamant ^ 1 / Kutija ^ 1 A / Rightarrow / Kutija ^ 1 / Dijamant ^ 1 A)

Aksiom ((B)) rezultat je postavljanja (h) i (i) na 0, a (j) i (k) 1:

) oznaka {(B)} A / rightarrow / Kutija / Diamond A = / Diamond ^ 0 / Kutija ^ 0 A / rightarrow / Kutija ^ 1 / Dijamant ^ 1 A)

Da bismo dobili (4), možemo postaviti (h) i (k) na 0, postaviti (i) na 1 i (j) na 2:

) oznaka {4} Kutija A / rightarrow / Kutija / Kutija A = / Dijamant ^ 0 / Kutija ^ 1 A / rightarrow / Kutija ^ 2 / Dijamant ^ 0 A)

Mnogi (ali ne svi) aksiomi modalne logike mogu se dobiti postavljanjem pravih vrijednosti za parametre u ((G))

Naš sljedeći zadatak bit će dati uvjet na okvirima koji odgovara ((G)) za zadani izbor vrijednosti za (h, i, j) i (k). Da bismo to učinili, trebat će nam definicija. Sastav dva odnosa (R) i (R ') novi je odnos (R / circ R') koji je definiran na sljedeći način:

[wR / circ R'v / text {iff za neke} u, wRu / text {i} uR'v.)

Na primjer, ako je (R) odnos brata, a (R ') odnos roditelja, onda je (R / circ R') odnos ujaka, (jer je (w) ujak (v) iff za neku osobu (u), oba (w) je brat (u), a (u) je roditelj (v)). Odnos se može sastaviti sam sa sobom. Na primjer, kada je (R) odnos roditelja, onda je (R / krug R) odnos bake i djeda, a (R / krug R / krug R) je odnos biti pradjed i baka. Bilo bi korisno napisati '(R ^ n)', za rezultat sastavljanja (R) sa sobom (n) puta. Dakle, (R ^ 2) je (R / circ R), a (R ^ 4) je (R / kružnica R / krug R / krug R). Pustit ćemo da je (R ^ 1) (R), a (R ^ 0) će biti identitetski odnos, tj. (WR ^ 0 v) iff (w = v).

Sada možemo navesti rezultat Scott-Lemmon. To je da je uvjet na okvirima koji točno odgovara bilo kojem aksiomu oblika ((G)) sljedeći.

) tag {(hijk) - konvergencija} wR ^ hv / amp wR ^ ju / Rightarrow / postoji x (vR ^ ix / amp uR ^ kx))

Zanimljivo je vidjeti kako poznati uvjeti na (R) proizlaze iz postavljanja vrijednosti za (h), (i), (j) i (k) prema vrijednostima u odgovarajući aksiom. Na primjer, uzmite u obzir (5). U ovom slučaju (i = 0), i (h = j = k = 1). Dakle, odgovarajući uvjet je

[wRv / amp wRu / Rightarrow / postoji x (vR ^ 0 x / amp uRx).)

Objasnili smo da je (R ^ 0) odnos identiteta. Dakle, ako je (vR ^ 0 x) tada (v = x). Ali (postoji x (v = x / amp uRx)), ekvivalent je (uRv), pa se dobiva euklidski uvjet:

[(wRv / amp wRu) Rightarrow uRv.)

U slučaju aksioma (4), (h = 0, i = 1, j = 2) i (k = 0). Dakle, odgovarajući uvjet na okvirima je

[(w = v / amp wR ^ 2 u) Strelica / postoji x (vRx / amp u = x).)

Rješavanje identiteta to iznosi:

[vR ^ 2 u / Rightarrow vRu.)

Po definiciji (R ^ 2, vR ^ 2 u) iff (postoji x (vRx / amp xRu)), tako dolazi do:

) postoji x (vRx / amp xRu) Rightarrow vRu,)

koji je po predikatnoj logici ekvivalentan tranzitivnosti.

[vRx / amp xRu / Rightarrow vRu.)

Čitatelju je možda ugodna vježba kad vidi kako odgovarajući uvjeti ispadaju iz hijk-konvergencije kada vrijednosti parametara (h), (i), (j) i (k) postavljaju se drugim aksiomima.

Rezultati Scot-Lemmona daju brzu metodu za utvrđivanje rezultata o odnosu između aksioma i odgovarajućih okvira okvira. Budući da su pokazali adekvatnost bilo koje logike koja se proteže (bK) odabirom aksioma oblika ((G)) u odnosu na modele koji zadovoljavaju odgovarajući skup okvira okvira, osigurali su "veleprodajnu" adekvatnost dokaz za većinu sustava u obitelji modalista. Sahlqvist (1975) otkrio je važne generalizacije rezultata Scott-Lemmon koji pokrivaju mnogo širi spektar tipova aksioma.

Čitatelja, međutim, treba upozoriti da je uredna podudarnost između aksioma i uvjeta na kadrovima netipična. Postoje uvjeti na okvirima koji ne odgovaraju aksiomama, a postoje čak i uvjeti na okvirima za koje nijedan sustav nije adekvatan. (Za primjer vidjeti Boolos, 1993., str. 148ff.)

10. Dvodimenzionalna semantika

Dvodimenzionalna semantika je varijanta moguće svjetske semantike koja koristi dvije (ili više) vrsta parametara u procjeni istine, a ne samo moguće svjetove. Na primjer, logika indeksnih izraza poput "ja", "ovdje", "sada" i slično treba uvesti u jezični kontekst (ili ukratko kontekst). S obzirom na kontekst (c = / langle s, p, t / rangle) gdje je (s) govornik, (p) mjesto i (t) vrijeme izgovora, tada je "I 'odnosi se na (s),' ovdje 'na (p), a' sada 'na (t). Dakle, u kontekstu (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15:00 CST, 4/3 / (2014 / rangle) "Sada sam ovdje" je T iff Jim Garson je u Houstonu, u 15:00 CST, 3.4.2014.

U mogućoj semantičnosti svjetova vrijednost istine rečenice ovisila je o svijetu u kojem se vrednuje. Međutim, indeksičari donose drugu dimenziju - pa je moramo ponovo generalizirati. Kaplan (1989.) definira lik rečenice B da bude funkcija od skupa (jezičnih) konteksta do sadržaja (ili namjere) B, gdje je sadržaj, zauzvrat, jednostavno intencija B, tj. funkcioniraju od mogućih svjetova do vrijednosti istine. Ovdje procjena istine dvostruko ovisi - i o jezičnim kontekstima i o mogućim svjetovima.

Jedno od Kaplanovih najzanimljivijih opažanja je da su neke indeksne rečenice uvjetne, ali istodobno analitički istinite. Primjer je (1).

(1) Sad sam ovdje

Upravo iz značenja riječi vidljivo je da (1) mora biti istinit u bilo kojem kontekstu (c = / langle s, p, t / rangle). Uostalom, (c) se smatra jezičnim kontekstom samo u slučaju da je (s) govornik koji je na mjestu (p) u vremenu (t). Stoga je (1) istina na (c), a to znači da obrazac vrijednosti istine (1) ima duž dimenzije konteksta mora biti sav Ts (s obzirom da se mogući svijet drži fiksnim). Ovo sugeriše da je dimenzija konteksta pogodna za praćenje analitičkih znanja dobivenih majstorstvom našeg jezika. S druge strane, dimenzija mogućih svjetova prati ono što je potrebno. Ako je kontekst fiksiran, mogući su svjetovi u kojima je (1) lažno. Na primjer, kada (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15:00 CST, 4/3 / (2014 / rangle), (1) ne uspije kod (c) u mogućem svijetu u kojem Jim Garson je u Bostonu u 3:00:00 CST, 4.4.2014. Iz toga slijedi da je "sada sam ovdje" nepredviđena analitička istina. Stoga se dvodimenzionalna semantika može nositi sa situacijama kada se nužnost i analitičnost raspadaju.

Drugi primjer gdje je uvođenje dvije dimenzije korisno je u logici otvorene budućnosti (Thomason, 1984; Belnap i sur., 2001). Ovdje se koristi vremenska struktura u kojoj se mnoge buduće povijesti protežu iz određenog vremena. Razmotrimo (2).

(2) Joe će sutra narediti morsku bitku

Ako je (2) kontingent, onda postoji moguća povijest gdje se bitka događa dan nakon ocjenjivanja i druga gdje se tada ne dogodi. Dakle, za procjenu (2) morate znati dvije stvari: koje je vrijeme t za procjenu i koja je povijest h koja prolazi kroz t treba uzeti u obzir. Dakle, rečenica se u takvoj logici procjenjuje u paru (langle t, h / rangle).

Drugi problem koji se rješava dvodimenzionalnom semantikom je interakcija između "sad" i drugih vremenskih izraza poput buduće napetosti "to će biti slučaj". Tada je vjerovatno misliti da se "sada" odnosi na vrijeme evaluacije. Stoga bismo imali slijedeće stanje istine:

) tag {Sada} v (tekst {Sada} B, t) = / mathrm {T} tekst {iff} v (B, t) = / mathrm {T}.)

No ovo neće uspjeti za rečenice poput (3).

(3) U nekom će trenutku u budućnosti svi koji sada žive biti nepoznati

Sa (mathrm {F}) kao budućim operatorom napetosti, (3) se može prevesti:

) tag {(3 ')} mathrm {F} forall x (text {Sada} Lx / rightarrow Ux).)

(Ispravan prijevod ne može biti (forall x (text {Now} Lx / rightarrow / mathrm {F} Ux)), a (mathrm {F}) ima uski opseg, jer (3) kaže tamo je buduće vrijeme kada su sve stvari koje sada žive zajedno nepoznate, a ne da će svako živo biće biti nepoznato u nekom budućem vlastitom vremenu). Kad su izračunati uvjeti istine za (3) ('), koristeći (Now) i uvjet istine ((mathrm {F})) za (mathrm {F}), ispada da (3) (') je istina u vremenu (u) ako postoji vrijeme (t) nakon (u) takvo da sve što živi u (t) (ne (u)!) nije poznato na (t).

) tag {F} v (mathrm {F} B, t) = / mathrm {T} tekst {iff neko vrijeme} u / tekst {kasnije od} t, v (B, u) = / mathrm {T}.)

Da bismo pravilno ocijenili (3) (') tako da se podudara s onim što mislimo pod (3), moramo biti sigurni da se "sada" uvijek odnosi na izvorno vrijeme izgovora, kad "sada" leži u opsegu drugih vremenski operatori kao što je F. Stoga moramo pratiti koje je vrijeme vrijeme izgovaranja ((u)) kao i koje je vrijeme procjena ((t)). Dakle, naši indeksi imaju oblik para (langle u, e / rangle), gdje je (u) vrijeme izreke, a (e) vrijeme procjene. Tada se uvjet istine (Now) revidira u (2DNow).

) tag {2DNow} v (tekst {Sada} B, / langle u, e / rangle) = / mathrm {T} tekst {iff} v (B, / langle u, u / rangle) = / mathrm {T}.)

Iz toga proizlazi da je Sada (B) istinito u vremenu u izjavi i vremenu e evaluacije, pod uvjetom da je B istina kad je u u pitanju kao vrijeme vrednovanja. Kada su uvjeti istine za F, (forall) i (rightarrow) revidirani na očit način (zanemarite u u paru), (3) (') je istina u (langle u, e / rangle) pod uvjetom da postoji vrijeme (e ') kasnije od e, tako da sve što živi u (u) nije poznato u (e'). Nošenjem zapisa onoga što je (u) tijekom izračuna istine, uvijek možemo popraviti vrijednost za "sada" na prvobitno vrijeme izgovora, čak i kad je "sada" duboko ugrađen u druge vremenske operatore.

Sličan fenomen javlja se u modalnoj logici s operatorom Aktualnosti A (čitaj „to je zapravo slučaj”). Da bismo pravilno ocijenili (4), potrebno je pratiti koji je svijet stvarni (ili stvarni) svijet, kao i koji je odveden u svijet vrednovanja.

(4) Moguće je da svi koji žive zapravo budu nepoznati

Ideja o razlikovanju različitih mogućih svjetskih dimenzija u semantika imala je korisne primjene u filozofiji. Primjerice, Chalmers (1996.) je iznio argumente od zamislivosti (recimo) zombija do dualističkih zaključaka u filozofiji uma. Chalmers (2006) je primijenio dvodimenzionalnu semantiku kako bi pomogao identificirati apriorni aspekt značenja koji bi podržao takve zaključke.

Ideja je također primijenjena u filozofiji jezika. Kripke (1980) je slavno tvrdio da je "Voda je H2O" a posteriori, ali bez obzira na to, nužna istina, s obzirom da je voda upravo H20, ne postoji svijet u kojem su te stvari (recimo) osnovni element kako su Grci mislili. S druge strane, postoji snažna intuicija koja bi imala da se stvarni svijet donekle razlikuje od onoga što jest, tekućina bez mirisa koja pada s neba kao kiša, puni naša jezera i rijeke itd., Savršeno bi mogla biti element. Stoga je u određenom smislu moguće da voda nije H20. Dvodimenzionalna semantika daje prostor ovim intuicijama pružajući zasebnu dimenziju koja prati koncepciju vode koja odstupa od kemijske prirode onoga što voda zapravo jest. Takav „uski sadržaj“sa značenjem „vode“može objasniti kako netko može pokazati semantičku kompetenciju u korištenju tog izraza, a još uvijek nije svjestan kemije vode (Chalmers, 2002).

11. Logika dokazivosti

Modalna logika bila je korisna u razjašnjavanju našeg razumijevanja središnjih rezultata koji se tiču proverljivosti u osnovama matematike (Boolos, 1993.). Logika dokazivosti su sustavi u kojima se propozicijske varijable (p, q, r) itd. Kreću u odnosu na formule nekog matematičkog sustava, na primjer Peanov sustav (mathbf {PA}) za aritmetiku. (Sustav izabran za matematiku može varirati, ali pretpostavimo da je (mathbf {PA}) za ovu raspravu.) Gödel je pokazao da aritmetika ima snažne izražajne moći. Koristeći brojeve kodova za aritmetičke rečenice, uspio je demonstrirati podudarnost između matematičkih rečenica i činjenica o tome koje su rečenice, a nisu dokazane u (mathbf {PA}). Na primjer,pokazao je da postoji rečenica (C) koja je istinita samo u slučaju da se proturječnost ne dokaže u (mathbf {PA}), a postoji rečenica (G) (poznata Gödelova rečenica) koja je istina samo u slučaju da nije dokazana u (mathbf {PA}).

U logici dokazivosti, (okvir p) se tumači kao formula (aritmetička) koja izražava da je ono što označava (p) dokazljivo u (mathbf {PA}). Koristeći ovu notu, rečenice logike dokazivosti izražavaju činjenice o dokazivosti. Pretpostavimo da je (bot) konstanta logike dokazivosti koja označava kontradikciju. Tada ({ sim} Box / bot) kaže da je (mathbf {PA}) konzistentna i (Box A / rightarrow A) kaže da je (mathbf {PA}) zvuk u smislu da je, kad se dokaže (A, A) doista istinito. Nadalje, kutija se može ponoviti. Tako, na primjer, (Box { sim} Box / bot) postavlja sumnjivu tvrdnju da je (mathbf {PA}) u stanju dokazati vlastitu dosljednost, a ({ sim} Box / bot / rightarrow { sim} Box { sim} Box / bot) tvrdi (ispravno kao što je Gödel dokazao) da ako je (mathbf {PA}) dosljedan, tada je (mathbf {PA}) nije u mogućnosti dokazati vlastitu dosljednost.

Iako su logike provabilnosti obitelj povezanih sustava, sustav (mathbf {GL}) je daleko najpoznatiji. Rezultat je dodavanja sljedećeg aksioma u (bK):

) oznaka {(GL)} okvir (okvir A / rightarrow A) rightarrow / kutija A)

Aksiom (4): (Box A / rightarrow / Box / Box A) je dokaziv u (mathbf {GL}), pa je (mathbf {GL}) zapravo jačanje (mathbf {K4}). Međutim, aksiomi poput ((M): / Box A / rightarrow A), pa čak i slabiji ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A) nisu dostupni (niti su poželjni) u (mathbf {GL}). U logici dokazivosti, provabilnost se ne mora tretirati kao rob nužnosti. Razlog je taj što, kada je za matematiku (p) dokaziv proizvoljni sustav (mathbf {S}), ne slijedi da je istina (p), budući da je (mathbf {S}) može biti ne zvučan. Nadalje, ako je (p) dokaziv u (mathbf {S} (Box p)), ne mora ni slijediti da ({ sim} p) nedostaje dokaz (({ sim} Kutija { sim} p = / Diamond p). / Mathbf {S}) možda nije u skladu, pa dokazuju i (p) i ({ sim} p).

Aksiom ((GL)) bilježi sadržaj Loebove teoreme, važan rezultat u osnovama aritmetike. (Okvir A / rightarrow A) kaže da je (mathbf {PA}) zvuk za (A), tj. Da je, ako je (A) dokazano, A istina. (Takva tvrdnja možda nije sigurna za proizvoljno odabrani sustav (mathbf {S}), jer bi A mogao biti dokazljiv u tvrdnjama (mathbf {S}) i netočan.) ((GL)) da ako (mathbf {PA}) uspije dokazati rečenicu koja zahtijeva zvučnost određene dane rečenice (A), tada je (A) već dokaziv u (mathbf {PA}). Loebov teorem izvještava o svojevrsnoj skromnosti na (mathbf {PA}) dijelu (Boolos, 1993, str. 55). (mathbf {PA}) nikad ne inzistira (dokazuje) da dokaz (A) podrazumijeva istinu (A), osim ako već ima dokaz (A) koji bi to tražio, Pokazano je da je (mathbf {GL}) prikladan za dokazivanje u sljedećem smislu. Neka rečenica od (mathbf {GL}) bude uvijek dokaziva točno kad je aritmetička rečenica koju ona označi dokazana, bez obzira na to kako su joj varijable dodijeljene vrijednosti rečenicama (mathbf {PA}). Tada su provjerljive rečenice (mathbf {GL}) upravo one rečenice koje su uvijek provjerljive. Ovaj rezultat adekvatnosti bio je izuzetno koristan, jer se opća pitanja koja se odnose na provjerljivost u (mathbf {PA}) mogu pretvoriti u jednostavnija pitanja o onome što se može pokazati u (mathbf {GL}).

(mathbf {GL}) se također može opremiti mogućom svjetskom semantikom za koju je zvučna i cjelovita. Odgovarajući uvjet u okvirima za (mathbf {GL}) - valjanost je da okvir bude prolazan, konačan i nerefleksivan.

12. Napredna modalna logika

Primjene modalne logike u matematici i računarskoj znanosti postaju sve važnije. Logika dokazivosti samo je jedan primjer ovog trenda. Izraz "napredna modalna logika" odnosi se na tradiciju u istraživanju modalne logike koja je posebno dobro zastupljena na odjelima matematike i računarskih znanosti. Ta je tradicija utkana u povijest modalne logike od njenih samih početaka (Goldblatt, 2006). Istraživanje odnosa s topologijom i algebrama predstavlja jedan od prvih tehničkih radova na području modalne logike. Međutim, pojam "napredna modalna logika" općenito se odnosi na drugi val posla koji je obavljen od sredine 1970-ih. Neki primjeri mnogih zanimljivih tema koje se obrađuju uključuju rezultate o odlučnosti (da li je moguće izračunati da li je formula određene modalne logike teorem) i složenosti (troškovi u vremenu i memoriji potrebni za izračunavanje takvih činjenica o modalnoj logici),

13. Bisimulacija

Bisimulacija daje dobar primjer plodnih interakcija koje su razvijene između modalne logike i informatike. U računalnoj znanosti, označeni prijelazni sustavi (LTS-ovi) obično se koriste za predstavljanje mogućih putova računanja tijekom izvršavanja programa. LTSs su generalizacije Kripke okvira, koji se sastoje od skupa stanja (W) stanja i zbirke (i) - odnosa pristupačnosti (R_i), po jedan za svaki računalni proces (i). Intuitivno, (wR_i w ') vrijedi točno kad je (w') stanje koje je rezultat primjene postupka (i) na stanje (w).

Jezik polimodalne ili dinamičke logike uvodi zbirku modalnih operatora (Box_i), po jedan za svaki program (i) (Harel, 1984). Tada (Box_i) A navodi da rečenica (A) vrijedi u svakom rezultatu primjene (i). Tako se ideje poput ispravnosti i uspješnog prekida programa mogu izraziti na ovom jeziku. Modeli takvog jezika su poput Kripke modela, osim što se LTS-ovi koriste umjesto okvira. Bisimulacija je suprotni odnos između stanja dvaju takvih modela, tako da su potpuno iste propozicione varijable istinite u suprotnim državama, i kad god je svijet (v) (i) - dostupan iz jedne od dvije države protuustave, tada je drugi pandan ima (i) - odnos pristupačnosti s nekim pandanom (v). Ukratko,(i) - struktura pristupačnosti koja se može "vidjeti" iz danog stanja oponaša ono što vidimo od protuvrijednosti. Bisimulacija je slabiji pojam od izomorfizma (odnos prema bisimulaciji ne mora biti 1-1), ali je dovoljan da jamči ekvivalentnost u obradi.

U 1970-im su modalni logičari već razvili verziju bisimulacije kako bi bolje razumjeli odnos između modalnih logičkih aksioma i njihovih odgovarajućih uvjeta na Kripkeovim okvirima. Kripkeova semantika daje osnovu za prevođenje modalnih aksioma u rečenice jezika drugog reda, gdje je dopušteno kvantificiranje preko predikatskih slova na jednom mjestu (P). Zamijenite metavarke (A) otvorenim rečenicama (Px), prevedite (Box Px) u (forall y (Rxy / rightarrow Py)), i zatvorite slobodne varijable (x) i predikat slova (P) s univerzalnim kvantifikatorima. Na primjer, predikatski logički prijevod aksiomske sheme (Okvir A / rightarrow A) dolazi do (forall P / forall x) forall y (Rxy / rightarrow Py) rightarrow Px)]. S obzirom na ovaj prijevod, jedna varijabla (P) može se pojaviti u proizvoljnom predikatu na jednom mjestu,na primjer predikatu (Rx) čije je proširenje skup svih svjetova w takav da (Rxw) za zadanu vrijednost (x). Tada se dobiva (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], što se svodi na (forall xRxx), budući da (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) je tautologija. Ovo osvjetljava podudarnost između (Box A / rightarrow A) i refleksivnosti okvira ((forall xRxx)). Slični rezultati vrijede za mnoge druge aksiome i uvjete okvira. "Urušavanje" uvjeta aksioma drugog reda na uvjete okvira prvog reda vrlo je korisno za dobivanje rezultata cjelovitosti modalne logike. Na primjer, to je srž ideja iza elegantnih rezultata Sahlqvista (1975). Tada se dobiva (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], što se svodi na (forall xRxx), budući da (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) je tautologija. Ovo osvjetljava podudarnost između (Box A / rightarrow A) i refleksivnosti okvira ((forall xRxx)). Slični rezultati vrijede za mnoge druge aksiome i uvjete okvira. "Urušavanje" uvjeta aksioma drugog reda na uvjete okvira prvog reda vrlo je korisno za dobivanje rezultata cjelovitosti modalne logike. Na primjer, to je srž ideja iza elegantnih rezultata Sahlqvista (1975). Tada se dobiva (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], što se svodi na (forall xRxx), budući da (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) je tautologija. Ovo osvjetljava podudarnost između (Box A / rightarrow A) i refleksivnosti okvira ((forall xRxx)). Slični rezultati vrijede za mnoge druge aksiome i uvjete okvira. "Urušavanje" uvjeta aksioma drugog reda na uvjete okvira prvog reda vrlo je korisno za dobivanje rezultata cjelovitosti modalne logike. Na primjer, to je srž ideja iza elegantnih rezultata Sahlqvista (1975). Slični rezultati vrijede za mnoge druge aksiome i uvjete okvira. "Urušavanje" uvjeta aksioma drugog reda na uvjete okvira prvog reda vrlo je korisno za dobivanje rezultata cjelovitosti modalne logike. Na primjer, to je srž ideja iza elegantnih rezultata Sahlqvista (1975). Slični rezultati vrijede za mnoge druge aksiome i uvjete okvira. "Urušavanje" uvjeta aksioma drugog reda na uvjete okvira prvog reda vrlo je korisno za dobivanje rezultata cjelovitosti modalne logike. Na primjer, to je srž ideja iza elegantnih rezultata Sahlqvista (1975).

Ali kada se prijevod aksioma drugog reda na taj način svodi na stanje prvog reda na (R)? U 1970-im, van Benthem je pokazao da se to događa ako prevođenje u modelu podrazumijeva njegovo držanje u bilo kojem bisimularnom modelu, gdje su dva modela bisimularna ako postoji bisimulacija među njima, u posebnom slučaju kada postoji jedan odnos pristupačnosti. Taj se rezultat lako generalizira na polimodalni slučaj (Blackburn et al., 2001, str. 103). Ovo sugeriše da se polimodalna logika nalazi u točno odgovarajućoj razini apstrakcije za opisivanje i obrazloženje računanja i drugih procesa. (Uostalom, ono što je doista važno jest očuvanje vrijednosti istina formula u modelima, a ne finiji detalji okvira okvira.) Nadalje, implicitni prijevod tih logika u dobro razumljive fragmente predikatne logike pruža mnoštvo informacija koje su zanimljive računalnim znanstvenicima. Kao rezultat toga, plodno područje istraživanja informatike razvilo se s bisimulacijom kao njegovom osnovnom idejom (Ponse i sur., 1995.).

14. Modalna logika i igre

Interakcija između teorije igara i modalne logike cvjeta novo je područje istraživanja (van der Hoek i Pauly, 2007; van Benthem, 2011, Ch. 10, i 2014). Ovaj rad ima zanimljive aplikacije za razumijevanje suradnje i konkurencije među agentima kao dostupnim informacijama.

Zatvorenička dilema ilustrira neke koncepte u teoriji igara koji se mogu analizirati pomoću modalne logike. Zamislite dva igrača koja odluče ili surađivati ili varati. Ako oboje surađuju, oboje postižu nagradu od 3 boda, ako obojica varaju, obojica ne dobivaju ništa, a ako jedan surađuje, a drugi vara, varalica postiže 5 bodova, a suradnik ne dobiva ništa. Ako su oba igrača altruistična i motivirana da maksimalno povećaju svoje nagrade, obojica će surađivati, jer je to najbolje što mogu zajedno učiniti. Međutim, obojica su u iskušenju da varaju kako bi povećali svoju nagradu s 3 na 5. S druge strane, ako su racionalni, oni mogu prepoznati da ako varaju svog protivnika prijeti da će varati i ostaviti ih bez ičega. Dakle, suradnja je najbolje što se može stvoriti s obzirom na ovu prijetnju. A ako svaki misli da drugi to shvati, možda će biti motivirani za suradnju. Proširena (ili iteterizirana) verzija ove igre pruža igračima više poteza, odnosno ponavljane mogućnosti za igru i prikupljanje nagrada. Ako igrači imaju podatke o povijesti poteza i njihovim rezultatima, pojavljuju se nove brige, jer uspjeh u igri ovisi o poznavanju strategije protivnika i određivanju (na primjer) kada mu se može vjerovati da neće varati. U inačici igre za više igrača, u kojoj igrači izvlače u parovima iz većeg bazena pri svakom potezu, najbolja vlastita strategija može ovisiti o tome može li prepoznati nečije protivnike i strategiji koju su usvojili. (Vidi Grim i sur., 1998. za fascinantna istraživanja dileme intenzivnog zatvorenika.)Proširena (ili iteterizirana) verzija ove igre pruža igračima više poteza, odnosno ponavljane mogućnosti za igru i prikupljanje nagrada. Ako igrači imaju podatke o povijesti poteza i njihovim rezultatima, pojavljuju se nove brige, jer uspjeh u igri ovisi o poznavanju strategije protivnika i određivanju (na primjer) kada mu se može vjerovati da neće varati. U inačici igre za više igrača, u kojoj igrači izvlače u parovima iz većeg bazena pri svakom potezu, najbolja vlastita strategija može ovisiti o tome može li prepoznati nečije protivnike i strategiji koju su usvojili. (Vidi Grim i sur., 1998. za fascinantna istraživanja dileme intenzivnog zatvorenika.)Proširena (ili iteterizirana) verzija ove igre pruža igračima više poteza, odnosno ponavljane mogućnosti za igru i prikupljanje nagrada. Ako igrači imaju podatke o povijesti poteza i njihovim rezultatima, pojavljuju se nove brige, jer uspjeh u igri ovisi o poznavanju strategije protivnika i određivanju (na primjer) kada mu se može vjerovati da neće varati. U inačici igre za više igrača, u kojoj igrači izvlače u parovima iz većeg bazena pri svakom potezu, najbolja vlastita strategija može ovisiti o tome može li prepoznati nečije protivnike i strategiji koju su usvojili. (Vidi Grim i sur., 1998. za fascinantna istraživanja dileme intenzivnog zatvorenika.)Ako igrači imaju podatke o povijesti poteza i njihovim rezultatima, pojavljuju se nove brige, jer uspjeh u igri ovisi o poznavanju strategije protivnika i određivanju (na primjer) kada mu se može vjerovati da neće varati. U inačici igre za više igrača, u kojoj igrači izvlače u parovima iz većeg bazena pri svakom potezu, najbolja vlastita strategija može ovisiti o tome može li prepoznati nečije protivnike i strategiji koju su usvojili. (Vidi Grim i sur., 1998. za fascinantna istraživanja o intenzivnim dilemama zatvorenika.)Ako igrači imaju podatke o povijesti poteza i njihovim rezultatima, pojavljuju se nove brige, jer uspjeh u igri ovisi o poznavanju strategije protivnika i određivanju (na primjer) kada mu se može vjerovati da neće varati. U inačici igre za više igrača, u kojoj igrači izvlače u parovima iz većeg bazena pri svakom potezu, najbolja vlastita strategija može ovisiti o tome može li prepoznati nečije protivnike i strategiji koju su usvojili. (Vidi Grim i sur., 1998. za fascinantna istraživanja dileme intenzivnog zatvorenika.)nečija najbolja strategija može ovisiti o tome prepozna li nečije protivnike i strategije koje su usvojile. (Vidi Grim i sur., 1998. za fascinantna istraživanja dileme intenzivnog zatvorenika.)nečija najbolja strategija može ovisiti o tome prepozna li nečije protivnike i strategije koje su usvojile. (Vidi Grim i sur., 1998. za fascinantna istraživanja dileme intenzivnog zatvorenika.)

U igrama kao što su Šah, igrači se izmjenjuju, a njihovi protivnici mogu vidjeti poteze. Ako usvojimo konvenciju da igrači u igri izmjenjuju poteze, tada je Iterated Prisile's Dilemma igra s nedostajućim podacima o stanju igre - igraču s drugim potezom nedostaju informacije o tome što je bio posljednji potez drugog igrača, Ovo ilustrira interes za igre s nesavršenim informacijama.

Primjena igara na logiku ima dugu povijest. Jedna utjecajna aplikacija koja ima važne implikacije na lingvistiku je igra teoretske semantike (GTS) (Hintikka i sur. 1983.), gdje je valjanost definirana ishodom igre dva igrača koji jedan pokušava provjeriti, a drugi pokušava falsificirati zadanu formulu, GTS ima značajno jače resurse od standardne semantike Tarskog, jer se može koristiti (na primjer) za objašnjenje kako se značenje razvija u diskursu (niz rečenica).

Međutim, rad na igrama i modalna logika koji će biti ovdje opisani nešto su drugačiji. Umjesto da se igre koriste za analizu semantike logike, sporne modalne logike koriste se za analizu igara. Struktura igara i njihove igre je vrlo bogata, jer uključuje prirodu same igre (dozvoljeni potezi i nagrade za rezultate), strategije (koje su nizovi poteza kroz vrijeme) i protok informacija na raspolaganju igračima kako igra napreduje. Dakle, razvoj modalne logike za igre temelji se na značajkama koje se nalaze u logici koja uključuje koncepte poput vremena, agencije, sklonosti, ciljeva, znanja, vjerovanja i suradnje.

Kako biste pružili neke savjete o ovoj raznolikosti, ovdje je ograničen opis nekih modalnih operatora koji se pojavljuju u analizi igara i nekih stvari koje se mogu izraziti s njima. Osnovna ideja semantike je da se igra sastoji od skupa igrača 1, 2, 3,… i skupa W stanja igara. Za svakog igrača i postoji odnos pristupačnosti (R_i) shvaćen tako da (sR_i t) vrijedi za stanja (s) i (t) iff kada je igra došla u stanje (s) igrač (i) ima mogućnost napraviti potez koji rezultira (t). Ova zbirka odnosa definira stablo čije grane definiraju svaki mogući redoslijed poteza u igri. Semantika također dodjeljuje istinitim vrijednostima atome koji prate isplatu. Tako, na primjer, u igri poput Šah, može postojati atom (win_i) takav da (v (win_i,s) = T) iff state s je dobitak za igrača (i). Operatori modela (Box_i) i (Diamond_i) za svakog igrača i tada se mogu definirati na sljedeći način.

) početak {poravnati *} v (Box_i A, s) & = T / tekst {iff za sve} t / tekst {in} W, / tekst {ako} sR_i t, / tekst {tada} v (A, t) = T. \\ v (Diamond_i A, s) & = T / tekst {iff za neki} t / text {in} W, sR_i t / text {i} v (A, t) = T. / End {align *})

Dakle, (Box_i A) ((Diamond_i A)) je istinito s, pod uvjetom da rečenica (A) vrijedi u svakom (nekom) stanju koji (i) može odabrati iz stanja (s). S obzirom da je (bot) kontradikcija (pa je ({ sim} bot) tautologija), (Diamond_i { sim} bot) je istina u stanju kada je (i) je red da se preselim. Za igru za dva igrača (Box_1 / bot) & (Box_2 / bot) vrijedi stanje koje završava igru, jer se niti jedan ni drugi ne mogu kretati. (Box_1 / Diamond_2) win (_ 2) uvjerava da igrač 1 ima gubitak, jer sve što 1 napravi iz postojećeg stanja, 2 može pobijediti u sljedećem potezu.

Za općenitiji prikaz isplate igrača, odnosi narudžbe (leq_i) mogu se definirati preko stanja, tako da (s / leq_i t) znači da je isplata (i) za (t) barem je jednako dobar kao i za (s). Druga generalizacija je izraziti činjenice o nizovima (q) poteza, uvođenjem operatora interpretiranih odnosima (sR_q t) što ukazuje da slijed (q) koji počinje s s na kraju stigne do (t). S ovim i povezanim resursima moguće je izraziti (na primjer) da je q najbolja strategija (i) s obzirom na trenutno stanje.

Za analizu igara presudno je imati način izražavanja informacija dostupnih igračima. Jedan od načina da se to postigne je posuđivanje ideja iz epiztemske logike. Ovdje možemo uvesti odnos pristupačnosti ({ sim} _i) za svakog igrača tako da (s { sim} _i t) drži iff (i) ne može razlikovati države (s) od (t). Tada se operateri znanja (rK_i) za igrače mogu definirati tako da (rK_i A) kaže na (s) da (A) postoji u svim svjetovima od kojih se (() može razlikovati od (s); to jest, unatoč (i) neznanju stanja igranja, on / ona i dalje može biti siguran da (A). Operatori (rK) mogu se upotrijebiti da kažu da igrač 1 može podnijeti ostavku, jer zna da 2 vide da ima pobjedu: (rK_1 / rK_2 / Box_1 / Diamond_2 / win_2).

Budući da informacije igrača variraju kako igra napreduje, korisno je razmišljati o potezima igre indeksiranim vremenima i uvesti operatore (O) i (U) iz napete logike za 'next' i 'do', Tada (K_i OA / rightarrow OK_i A) izražava da igrač (i) ima "savršeno opoziv", tj. Da kada (i) zna da se (A) događa sljedeći, a zatim u sljedećem trenutku (i) nije zaboravio da se dogodilo (A). Ovo ilustrira kako modalna logika igara može odražavati kognitivne idealizacije i igračev uspjeh (ili neuspjeh) u nadživljavanju istih.

Tehnička strana modalne logike za igre je izazovna. Projekt prepoznavanja sustava koji su zvučni i cjeloviti za jezik koji sadrži veliku zbirku operatora može se voditi prošlim istraživanjem, ali interakcije između različitih odnosa pristupačnosti vode do novih problema. Nadalje, računalna složenost različitih sustava i njihovih fragmenata velik je krajolik uglavnom neistražen.

Teoretski koncepti igara mogu se primijeniti na iznenađujuće različite načine - od provjere argumentacije valjanosti do uspjeha u političkoj areni. Dakle, postoje snažne motivacije za formuliranje logika koje mogu podnijeti igre. Ono što je upečatljivo u ovom istraživanju je snaga koju dobivamo objedinjavanjem logike vremena, agencije, znanja, vjerovanja i sklonosti u jedinstvenom okruženju. Pouke iz te integracije vrijede mnogo više od onoga što doprinose razumijevanju igara.

15. Kvantifikatori u modalnoj logici

Čini se da bi bila jednostavna stvar iskoristiti modalnu logiku s kvantifikatima (forall) (sve) i (postoji) (neki). Jednostavno bi se dodala standardna (ili klasična) pravila za kvantifikatore načelima ovisno o odabirnoj modalnoj logici. Međutim, dodavanje kvantifikatora modalnoj logici uključuje niz poteškoća. Neki od njih su filozofski. Na primjer, Quine (1953) čuveno je tvrdio da je kvantificiranje u modalni kontekst jednostavno nekoherentno, gledište koje je iznjedrilo gigantsku literaturu. Quineovi prigovori ne nose težinu koju su nekada imali. Pogledajte dobar Barcan (1990) za dobar sažetak i zabilježite Kripkeovu (2017) (napisanu 60-ih za razred s Quine-om) koja pruža snažan formalni argument da ne može biti ništa pogrešno ako se "kvantificira".

Druga vrsta komplikacija je tehnička. Izbori se mogu odrediti u semantika za kvantificiranu modalnu logiku, a dokaz da je sustav pravila ispravan za neki izbor može biti težak. Rad Corsija (2002) i Garson-a (2005) ide pomalo na približavanje jedinstvu ovom terenu, a Johannesson (2018) uvodi ograničenja koja pomažu u smanjenju broja mogućnosti; Ipak, situacija i dalje ostaje izazovna.

Druga je komplikacija u tome što neki logičari vjeruju da modalitet zahtijeva napuštanje klasičnih pravila kvantifikata u korist slabijih pravila slobodne logike (Garson 2001). Glavne točke neslaganja u vezi s pravilima kvantifikata mogu se pratiti u odlukama o postupanju s domenom kvantifikacije. Najjednostavnija alternativa, pristup s fiksnom domenom (koji se ponekad naziva i mogućnost) pretpostavlja jednu domenu kvantifikacije koja sadrži sve moguće objekte. S druge strane, relativna (ili stvaristička) interpretacija na svijetu pretpostavlja da se domena kvantifikacije mijenja iz svijeta u svijet i sadrži samo predmete koji stvarno postoje u datom svijetu.

Pristup fiksne domene ne zahtijeva velika prilagođavanja klasičnih strojeva za kvantifikatore. Modalna logika prikladna za semantiku fiksne domene obično se može aksiomatizirati dodavanjem principa prijedloge modalne logike klasičnim pravilima kvantifikata zajedno s Barcanovom formulom ((BF)) (Barcan 1946). (Za prikaz nekih zanimljivih izuzetaka vidi Cresswell (1995)).

) tag {(BF)} forall x / Kutija A / rightarrow / Kutija / forall xA.)

Interpretacija s fiksnom domenom ima prednosti jednostavnosti i poznavanja, ali ne daje izravan prikaz semantike određenih izraza kvantifikatora prirodnog jezika. Ne mislimo da je 'neki čovjek koji je potpisao Deklaraciju o neovisnosti' istina, barem ne ako čitamo 'postoji' u sadašnjem vremenu. Ipak, ova je rečenica bila istinita 1777. godine, što pokazuje da se domena prirodnog jezičnog izraza „neki čovjek postoji koji“mijenja kako bi odražavala koji muškarci postoje u različitim vremenima. Povezani problem je da na interpretaciji fiksne domene rečenica (forall y / Box / postoji x (x = y)) vrijedi. Pod pretpostavkom da je čitano (postoji x (x = y)): (y) postoji, (forall y / Box / postoji x (x = y)) kaže da sve postoji nužno. Međutim,čini se temeljnim obilježjem zajedničkih ideja o modalitetu da je postojanje mnogih stvari uvjetno i da različiti predmeti postoje u različitim mogućim svjetovima.

Branitelj interpretacije fiksne domene može odgovoriti na ove prigovore inzistirajući da na njegovom (njezinu) čitanju kvantifikatora domena kvantifikacije sadrži sve moguće objekte, a ne samo predmete koji se događaju u datom svijetu. Dakle, teorem (forall y / Box / postoji x (x = y)) iznosi bezazlenu tvrdnju da se svaki mogući objekt nužno nalazi u domeni svih mogućih objekata. Nadalje, izrazi kvantifikatora prirodnog jezika čija domena ovisi o svijetu (ili vremenu) mogu se izraziti kvantifikatom fiksne domene (postoji x) i predikatnim slovom (E) s čitanjem „zapravo postoji“. Na primjer, umjesto prevođenja "Neki (M) postoji tko je (S) zapalio Deklaraciju o neovisnosti"

) postoji x (Mx / amp Sx),)

branitelj fiksnih domena može napisati:

) postoji x (ex / amp Mx / amp Sx),)

na taj se način osigurava da se prijevod u današnje vrijeme smatra lažnim. Cresswell (1991.) čini zanimljivo opažanje da kvantifikacija relativna u svijetu ima ograničenu izražajnu moć u odnosu na kvantifikaciju fiksne domene. Kvantifikacija relativne vrijednosti u svijetu može se definirati fiksnim kvantifikatorima domena i (E), ali ne postoji način da se u potpunosti izraze kvantifikatori fiksne domene s relativnim svjetskim. Iako ovo govori u prilog klasičnom pristupu kvantificiranoj modalnoj logici, taktika prevođenja također predstavlja nešto ustupak u korist slobodne logike, jer tako definirani svjetski kvantifikatori u potpunosti se pridržavaju pravila slobodne logike.

Problem sa strategijom prevođenja koju koriste branitelji fiksnog kvantifikacije domene je taj što je prevođenje engleskog u logiku manje izravno, jer (E) mora biti dodan svim prijevodima svih rečenica čiji izrazi kvantifikatora imaju domene ovisno o kontekstu. Ozbiljniji prigovor kvantifikaciji fiksne domene jest to što on uklanja kvantifikator uloge koju mu je preporučio Quine, naime da bilježi snažnu ontološku opredjeljenost. Prema ovom pogledu, domena (postoji x) mora sadržavati samo entitete koji su ontološki respektabilni, a mogući su objekti previše apstraktni da bi ih se kvalificiralo. Aktualisti ove pruge će htjeti razviti logiku kvantifikatora (postoji x) koji odražava opredijeljenost za ono što je u određenom svijetu stvarno, a ne ono što je tek moguće.

Međutim, neki radovi o realizmu (Menzel, 1990.) imaju tendenciju da potkopaju taj prigovor. Na primjer, Linsky i Zalta (1994.) i Williamson, (2013.) tvrde da se kvantifikatoru fiksne domene može dati interpretacija koja je potpuno prihvatljiva za stvarnike. Pavone (2018) čak tvrdi da su za haecceitističku interpretaciju koja kvantificira pojedine esencije potrebne fiksne domene. Aktualisti koji koriste semantiku mogućih svjetova rutinski kvantificiraju moguće svjetove u svojoj semantičkoj teoriji jezika. Izgleda da su mogući svjetovi stvarni tim stvarima. Puštanjem domene apstraktnim entitetima koji nisu više prigovor od mogućih svjetova, aktuelisti mogu osvetiti Barcanovu formulu i klasična načela.

Međutim, imajte na umu da neki aktuelisti mogu odgovoriti da se ne moraju zalagati za stvarnost mogućih svjetova sve dok se podrazumijeva da kvantifikatori korišteni u njihovoj teoriji jezika nemaju snažan ontološki značaj. Nadalje, Hayaki (2006) tvrdi da je kvantificiranje apstraktnih entiteta zapravo nespojivo s bilo kojim ozbiljnim oblikom aktualizma. U svakom slučaju, stvaristi (i ne-aktuelisti) također mogu istražiti logiku kvantifikatora s robusnijim domenima, na primjer, domenama koje isključuju moguće svjetove i druge takve apstraktne cjeline, a sadrže samo prostorno-vremenske pojedinosti pronađene u dat svijet. Za takve kvantifikatore prikladne su svjetske domene.

Takva razmatranja motiviraju interes za sustave koji priznaju kontekstnu ovisnost kvantifikacije uvođenjem domena relativnih svjetskih razmjera. Ovdje svaki mogući svijet ima svoju domenu kvantifikacije (skup objekata koji zapravo postoje u tom svijetu), a domene se razlikuju od svijeta do svijeta. Nakon donošenja ove odluke javlja se poteškoća u klasičnoj teoriji kvantifikacije. Primijetite da je rečenica (postoji x (x = t)) teorem klasične logike, pa je (Box / postoji x (x = t)) teorema (bK) po pravilo nužnosti. Neka izraz (t) stoji za Saula Kripkea. Tada ovaj teorem kaže da je neophodno da Saul Kripke postoji, kako bi bio u domeni svakog mogućeg svijeta. Cjelokupna motivacija za odnos prema svijetu bila je odražavanje ideje da predmeti u jednom svijetu možda neće postojati u drugom. Međutim, ako se koriste standardni vladari kvantifikatora, svaki se pojam (t) mora odnositi na nešto što postoji u svim mogućim svjetovima. To se čini nespojivim s našom uobičajenom praksom korištenja izraza za upućivanje na stvari koje postoje samo kontingentno.

Jedan od odgovora na ovu poteškoću je jednostavno uklanjanje pojmova. Kripke (1963.) daje primjer sustava koji koristi relativnu svjetsku interpretaciju i čuva klasična pravila. Međutim, troškovi su ozbiljni. Prvo, njegov je jezik umjetno osiromašen, a drugo, pravila za modalnu logiku prijedloga moraju biti oslabljena.

Pretpostavljajući da bismo željeli jezik koji uključuje izraze i da se klasičnim pravilima treba dodati u standardne sustave modalne prijedloge prijedloga, pojavljuje se novi problem. U takvom je sustavu moguće dokazati ((CBF)) suprotnost Barcanove formule.

) oznaka {(CBF)} Kutija / forall xA / rightarrow / forall x / Kartica A.)

Ova činjenica ima ozbiljne posljedice za semantiku sustava. Nije teško pokazati da svaki svjetski model ((CBF)) mora ispunjavati uvjet ((ND)) (za 'ugniježđene domene').

((ND)) Ako je (wRv), tada je domena (w) podskup domene (v)

Međutim, ((ND)) se sukobljava s uvođenjem domena relativnih svjetskih razmjera. Čitava ideja bila je da je postojanje objekata uvjetovano tako da postoje dostupni mogući svjetovi u kojima jedna od stvari u našem svijetu ne postoji.

Izravno rješenje ovih problema je napuštanje klasičnih pravila za kvantifikatore i umjesto toga usvajanje pravila za slobodnu logiku ((mathbf {FL})). Pravila (mathbf {FL}) ista su kao i klasična pravila, osim što su zaključci iz (forall xRx) (sve je stvarno) do (Rp) (Pegasus je stvaran) blokirani. To se postiže uvođenjem predikata '(E)' (za 'stvarno postoji') i izmjenom pravila univerzalne instancije. Iz (forall xRx) može se dobiti (Rp) samo ako je i jedan (Ep). Pod pretpostavkom da je univerzalni kvantifikator (forall x) primitivan, a egzistencijalni kvantifikat (postoji x) definiran je (postoji xA = _ {df} { sim} forall x { sim} A), onda se (mathbf {FL}) može konstruirati dodavanjem sljedećih dva načela pravilima logike prijedloga

Univerzalna generalizacija.

Ako je (B / rightarrow (Ey / rightarrow A (y))) teorem, onda je i (B / rightarrow / forall xA (x)).

Univerzalna instantnost.

(forall xA (x) rightarrow (En / rightarrow A (n)))

(Ovdje se pretpostavlja da je (A (x)) bilo koja dobro formirana formula logike predikata i da su (A (y)) i (A (n)) rezultat zamjene (y) i (n) ispravno za svaku pojavu (x) u (A (x)).) Imajte na umu da je aksiom instancije ograničen spominjanjem (En) u antecedentu. Pravilo univerzalne generalizacije modificirano je na isti način. U (mathbf {FL}), dokazi formule poput (postoji x / Box (x = t)), (forall y / Box / postoji x (x = y)), ((CBF)) i ((BF)), koji se čine nespojivim s interpretacijom u odnosu na svijet, blokirani su.

Jedna filozofska zamjerka (mathbf {FL}) je da se (E) čini predikatom egzistencije, i mnogi bi tvrdili da postojanje nije legitimno svojstvo poput zelene boje ili težine više od četiri kilograma. Tako filozofi koji odbacuju ideju da je postojanje predikat mogu prigovoriti (mathbf {FL}). Međutim, u većini (ali ne svih) kvantificirane modalne logike koja uključuje identitet ((=)) ove brige mogu biti zaoštrene definiranjem (E) na sljedeći način.

[Et = _ {df} postoji x (x = t).)

Najopćenitiji način formuliranja kvantificirane modalne logike je stvaranje (mathbf {FS}) dodavanjem pravila (mathbf {FL}) datoj modalnoj logici prijedloga (mathbf {S}), U situacijama u kojima se želi klasična kvantifikacija, može se jednostavno dodati (Et) kao aksiom (mathbf {FS}), tako da klasična načela postaju izvedljiva pravila. Rezultati adekvatnosti takvih sustava mogu se dobiti za većinu izbora modalne logike (mathbf {S}), ali postoje iznimke.

Posljednja komplikacija semantike za kvantificiranu modalnu logiku vrijedi spomenuti. Nastaje kada se u jezik uvode nečvrsti izrazi poput „izumitelj bifokala“. Izraz je netragi kada odabire različite predmete u različitim mogućim svjetovima. Semantičku vrijednost takvog pojma možemo dati onim što je Carnap (1947) nazvao individualnim konceptom, funkcijom koja odabire oznaku pojma za svaki mogući svijet. Jedan od načina bavljenja nepotvrđenim izrazima je korištenje Russell-ove teorije opisa. Međutim, na jeziku koji ne krute izraze smatra originalnim izrazima, ispada da ni klasična ni slobodna logička pravila za kvantifikatore nisu prihvatljiva. (Problem se ne može riješiti slabljenjem pravila zamjene identiteta.) Rješenje ovog problema je upotreba općenitijeg tretmana kvantifikata, gdje domena kvantifikacije sadrži pojedinačne koncepte, a ne predmete. Ova općenitija interpretacija omogućuje bolju podudarnost između obrade pojmova i tretmana kvantifikatora i rezultira sustavima koji odgovaraju klasičnim ili slobodnim logičkim pravilima (ovisno o tome da li su odabrane fiksne domene ili domene srodne svijetu). Također pruža jezik snažnih i prijeko potrebnih izražajnih moći (Bressan, 1973, Belnap i Müller, 2013a, 2013b). Ova općenitija interpretacija omogućuje bolju podudarnost između obrade pojmova i tretmana kvantifikatora i rezultira sustavima koji odgovaraju klasičnim ili slobodnim logičkim pravilima (ovisno o tome da li su odabrane fiksne domene ili domene srodne svijetu). Također pruža jezik snažnih i prijeko potrebnih izražajnih moći (Bressan, 1973, Belnap i Müller, 2013a, 2013b). Ova općenitija interpretacija omogućuje bolju podudarnost između obrade pojmova i tretmana kvantifikatora i rezultira sustavima koji odgovaraju klasičnim ili slobodnim logičkim pravilima (ovisno o tome da li su odabrane fiksne domene ili domene srodne svijetu). Također pruža jezik snažnih i prijeko potrebnih izražajnih moći (Bressan, 1973, Belnap i Müller, 2013a, 2013b).

Bibliografija

Tekstovi o modalnoj logici s filozofima na umu uključuju Hughes i Cresswell (1968, 1984, 1996), Chellas (1980), Fitting i Mendelsohn (1998), Garson (2013), Girle (2009) i Humberstone (2015).

Humberstone (2015) pruža izvrstan vodič literaturi o modalnoj logici i njihovoj primjeni u filozofiji. Bibliografija (s više od tisuću unosa) daje neprocjenjiv izvor za sve glavne teme, uključujući logiku napetosti, obveze, uvjerenja, znanja, agencije i nužne potrebe.

Gabbay i Guenthner (2001) daju korisne sažetke članaka o glavnim temama, dok Blackburn et. dr. (2007) je neprocjenjiv resurs iz naprednije perspektive.

Izvrsna bibliografija povijesnih izvora može se naći u Hughesu i Cresswellu (1968).

  • Anderson, A. i N. Belnap, 1975, 1992, Entailment: Logika relevantnosti i nužnosti, god. 1 (1975), god. 2 (1992), Princeton: Princeton University Press.
  • Barcan (Marcus), R., 1947, „Funkcionalni račun prvog reda na temelju stroge implikacije“, časopis za simboličku logiku, 11: 1–16.
  • –––, 1967, „Esencijalizam u modalnoj logici“, Noûs, 1: 91–96.
  • –––, 1990, „Pogled unazad na Quineove Animadverzije o modalitetima“, u R. Bartrett i R. Gibson (ur.), Perspektive na Quine, Cambridge: Blackwell.
  • Belnap, N., M. Perloff i M. Xu, 2001, Suočavanje s budućnosti, New York: Oxford University Press.
  • Belnap, N. i T. Müller, 2013a, „CIFOL: Logika prvog reda slučaja (I): prema jednoj vrsti logike“, časopis Filozofske logike, doi: 10.1007 / s10992-012-9267-x
  • –––, 2013b, „BH-CIFOL: Internacionalna logika slučaja prvog reda (II): Istorija grananja“, časopis za filozofsku logiku, doi: 10.1007 / s10992-013-9292-4
  • Bencivenga, E., 1986, "Slobodna logika", u D. Gabbay i F. Guenthner (ur.), Priručnik filozofske logike, III.6, Dordrecht: D. Reidel, 373–426.
  • Benthem, JF van, 1982., Logika vremena, Dordrecht: D. Reidel.
  • –––, 1983., Modalna logika i klasična logika, Napulj: Bibliopolis.
  • –––, 2010, Modal Logic for Open Minds, Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 2011, Logička dinamika informacija i interakcija, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2014., Logika u igrama, Cambridge, Mass: MIT Press.
  • Blackburn, P., s M. de Rijke i Y. Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Blackburn, P., s J. van Bentham i F. Wolter, 2007, Priručnik modalne logike, Amsterdam: Elsevier.
  • Bonevac, D., 1987., Odbitak, II. Dio, Palo Alto: Izdavačka kuća Mayfield.
  • Boolos, G., 1993, Logija dokazivosti, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Bressan, A., 1973, Opće interpretirano modalno računanje, New Haven: Yale University Press.
  • Bull, R. i K. Segerberg, 1984., "Osnovna modalna logika", u D. Gabbay i F. Guenthner (ur.), Priručnik filozofske logike, II.1, Dordrecht: D. Reidel, 1–88.
  • Carnap, R., 1947, Značenje i nužnost, Chicago: U. Chicago Press.
  • Carnielli, W. i C. Pizzi, 2008, Modalities and Multimodalities, Heidelberg: Springer-Verlag.
  • Chagrov, A. i M. Zakharyaschev, 1997, Modal Logic, Oxford: Oxford University Press.
  • Chalmers, D., 1996, The Conscious Mind, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2002, „Komponente sadržaja“, u D. Chalmers (ur.), Filozofija uma: klasična i suvremena čitanja, Oxford: Oxford University Press, 608–633.
  • –––, 2006, „Temelji dvodimenzionalne semantike“, u M. Garcia-Carpintero i J. Macia, Dvodimenzionalna semantika: temelji i primjene, Oxford: Oxford University Press, 55–140.
  • Chellas, B., 1980., Modalna logika: uvod, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Cresswell, MJ, 2001, „Modal Logic“, u L. Goble (ur.), Blackwell vodič za filozofsku logiku, Oxford: Blackwell, 136–158.
  • –––, 1991, „U obranu Barcanove formule“, Logique i Analiza, 135–136: 271–282.
  • –––, 1995, „Nepotpunost i Barcanova formula“, časopis za filozofsku logiku, 24: 379–403.
  • Cocchiarella, N. i M. Freund, 2008, Modal Logic Uvod u njegovu sintaksu i semantiku, New York: Oxford.
  • Corsi, G., 2002, „Objedinjena teorema cjelovitosti kvantificirane modalne logike“, časopis za simboličku logiku, 67: 1483–1510.
  • Crossley, J i L. Humberstone, 1977, "Logika" aktualnosti ", Izvješća o matematičkoj logici, 8: 11–29.
  • Fitting, M. i R. Mendelsohn, 1998., modalna logika prvog reda, Dordrecht: Kluwer.
  • Gabbay, D., 1976, Istraživanja u modalnoj i napetoj logici, Dordrecht: D. Reidel.
  • –––, 1994, Vremenska logika: Matematički temelji i računski aspekti, New York: Oxford University Press.
  • Gabbay, D. i F. Guenthner, F. (ur.), 2001., Priručnik filozofske logike, drugo izdanje, svezak 3, Dordrecht: D. Reidel, D.
  • Garson, J., 2001., "Kvantifikacija u modalnoj logici", u Gabbay i Guenthner (2001), 267–323.
  • –––, 2005., „Objedinjavanje kvantificirane modalne logike“, časopis Filozofske logike, 34: 621–649.
  • –––, 2013., Modalna logika za filozofe, drugo izdanje, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Girle, R., 2009., Modalna logika i filozofija (2. izdanje), Routledge, New York, New York.
  • Grim, P., Mar, G i St. Denis, P., 1998., Filozofsko računalo, Cambridge, Massachusetts: MIT Press.
  • Goldblatt, R., 1993, Mathematics of Modality, CSLI predavanja # 43, Chicago: University of Chicago Press.
  • –––, 2006., „Matematička modalna logika: prikaz njezine evolucije“, u D. Gabbay i J. Woods (ur.), Priručnik za povijest logike, god. 6, Amsterdam: Elsevier.
  • Harel, D., 1984, „Dinamička logika“, u D. Gabbay i F. Guenthner (ur.), Priručnik filozofske logike, II.10, Dordrecht: D. Reidel, 497–604.
  • Hayaki, R., 2006, "Okolni objekti i Barcanova formula", Erkenntnis, 64: 75–83.
  • Hintikka, J., 1962, Znanje i vjerovanje: uvod u logiku dvaju pojmova, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • –––, 1983., Jezična igra, Dordrecht: D. Reidel.
  • Hilpinen, R., 1971, Deontic Logic: Uvodna i sustavna čitanja, Dordrecht: D. Reidel.
  • van der Hoek, W. i Pauly, M., 2007, „Logika modela za igre i informacije“, 20. poglavlje Blackburn et. al., 2007.
  • Hughes, G. i M. Cresswell, 1968, Uvod u modalnu logiku, London: Methuen.
  • –––, 1984., Companion to Modal Logic, London: Methuen.
  • –––, 1996, New Introduction to Modal Logic, London: Routledge.
  • Humberstone, L. 2015, Filozofske primjene modalne logike, College Publications, London.
  • Johannesson, E., 2018, „Djelomična semantika za kvantificiranu modalnu logiku“, časopis za filozofsku logiku, 1–12.
  • Kaplan, D., 1989, "Demonstrative", u Temama iz Kaplana, Oxford: Oxford University Press.
  • Kripke, S., 1963, „Semantička razmatranja o modalnoj logici“, Acta Philosophica Fennica, 16: 83–94.
  • –––, 1980, Imenovanje i nužnost, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press.
  • –––, 2017, „Kvantificirani modalitet i esencijalizam“, Nous, 51, # 2: 221–234.
  • Konyndik, K., 1986, Uvodna modalna logika, Notre Dame: Sveučilište Notre Dame Press.
  • Kvart, I., 1986, Teorija kontrafaktualaca, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
  • Lemmon, E. i D. Scott, 1977, Uvod u modalnu logiku, Oxford: Blackwell.
  • Lewis, CI i CH Langford, 1959 (1932), Symbolic Logic, New York: Dover Publications.
  • Lewis, D., 1973, Counterfactuals, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press.
  • Linsky, B. i E. Zalta, 1994, „U obrani najjednostavnije kvantificirane modalne logike“, Filozofske perspektive (logika i jezik), 8: 431–458.
  • Mares, E., 2004, Relevantna logika: Filozofsko tumačenje, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Menzel, C., 1990, „Aktualizam, ontološka posvećenost i semantika mogućih svjetova“, Synthese, 85: 355–389.
  • Mints, G. 1992, Kratki uvod u modalnu logiku, Chicago: University of Chicago Press.
  • Ponse, A., s M. de Rijke i Y. Venema, 1995, Modalna logika i procesna algebra, Perspektiva bisimulacije, Stanford: CSLI Publications.
  • Pavone, L., 2018, „Plantingin haecceitizam i najjednostavnija kvantificirana modalna logika“, Logika i logička filozofija, 27: 151–160.
  • Popkorn, S., 1995, Prvi koraci u modalnoj logici, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Prije, AN, 1957, Vrijeme i modalnost, Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 1967, prošlost, sadašnjost i budućnost, Oxford: Clarendon Press.
  • Quine, WVO, 1953., “Reference i modalnost”, sa logičkog stajališta, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. 139-159.
  • Rescher, N i A. Urquhart, 1971, Temporal Logic, New York: Springer Verlag.
  • Sahlqvist, H., 1975, „Kompletnost i korespondencija u semantikama prvog i drugog reda za modalnu logiku“, u S. Kanger (ur.), Zbornik radova Trećeg skandinavskog logičkog simpozija, Amsterdam: Sjeverna Holandija. 110-143.
  • Thomason, R., 1984, „Kombinacije napetosti i modaliteta“, u: D. Gabbay i F. Guenthner (ur.), Priručnik filozofske logike, II.3, Dordrecht: D. Reidel, 135–165.
  • Williamson, T., 2013., Modalna logika kao metafizika, Oxford: Oxford University Press.
  • Zeman, J., 1973, Modal Logic, The Lewis-Modal Systems, Oxford: Oxford University Press.

Akademske alate

sep man ikona
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

  • Napredak u modalnoj logici
  • Popis resursa s Wikipedije
  • Priručnik o modalnoj logici Blackburn, Bentham i Wolter
  • Stranica modalne logike Johna McCarthya

Preporučeno: