Nedosljedna Matematika

Sadržaj:

Nedosljedna Matematika
Nedosljedna Matematika

Video: Nedosljedna Matematika

Video: Nedosljedna Matematika
Video: Pismeno dijeljenje prirodnih brojeva 2024, Ožujak
Anonim

Ulazna navigacija

  • Sadržaj unosa
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Prijatelji PDF pregled
  • Podaci o autoru i citiranju
  • Povratak na vrh

Nedosljedna matematika

Prvo objavljeno, 2. srpnja 1996; suštinska revizija Fri Aug 18, 2017

Nedosljedna matematika je proučavanje matematičkih teorija koje nastaju kad se klasični matematički aksiomi utvrde u okviru (neklasične) logike koja može tolerirati prisutnost kontradikcije bez pretvaranja svake rečenice u teorem.

  • 1. Temelji matematike
  • 2. Aritmetika
  • 3. Analiza
  • 4. Geometrijska nedosljednost
  • 5. komad i permeat
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Ostali internetski resursi
  • Povezani unosi

1. Temelji matematike

Nedosljedna matematika započela je povijesno s osnovama razmatranja. Seto-teorijski paradoksi koje su primijetili Russell i drugi doveli su do pokušaja da se proizvede konzistentna teorija skupova kao temelj matematike. No, kao što je poznato, postavljene teorije poput ZF, NBG i slično bile su na različite načine ad hoc. Stoga su brojni ljudi, uključujući da Costa (1974), Brady (1971, 1989), Priest, Routley i Norman (1989, str. 152, 498), smatrali da je poželjnije zadržati punu snagu načela prirodnog razumijevanja (svaki predikat određuje skup) i toleriraju stupanj nedosljednosti u teoriji skupa. Brady je, posebno, u svojoj knjizi (2006) ove rezultate proširio, pojednostavio i pojednostavio ove rezultate na teoriji naivnih skupova; za jasan račun pogledajte i Restall-ovu recenziju (2007).

Ove konstrukcije zahtijevaju, naravno, da se dispenzira barem s logičkim principom ex contraictione quodlibet (ECQ) (iz kontradikcije se može zaključiti svaki prijedlog, također nedavno nazvan eksplozija), kao i bilo koji princip koji do njega vodi, poput disjunktivni silogizam (DS) (iz A -or- B, a ne- A dedu B). ECQ trivijalizira svaku nedosljednu teoriju (trivijalnost = svaka rečenica je dokazana), što je čini beskorisnom za matematički proračun. Ali značajna rasprava (Burgess 1981, Mortensen 1983) jasno je pojasnila da dispenziranje ECQ-om i DS-om nije toliko kontraintuitivno, pogotovo kad se pojavila uvjerljiva priča o posebnim uvjetima pod kojima se i dalje drže.

Također treba napomenuti da je Bradyjeva konstrukcija teorije naivnih skupova otvorila vrata oživljavanju Frege-Russellove logike, za koju se, kako i sam Frege, uvelike smatra da je Russell-ov paradoks teško oštećen. Ako se Russelova suprotnost ne širi, onda nema očiglednog razloga zašto ne bismo zauzimali stajalište da teorija naivnih skupova pruža adekvatan temelj za matematiku i da se teorija naivnih skupova može izvesti iz logike putem naivne šeme razumijevanja. Jedina potrebna promjena je prelazak na logiku tolerantnu nedosljednost. Još radikalnije, Weber je u povezanim radovima (2010), (2012) nedosljednost shvatio kao pozitivnu vrlinu, jer nam omogućuje da riješimo nekoliko pitanja koja je Cantor ostavio otvorenima, naime, da teorem o dobroj narudžbi a aksiom izbora je dokaziv,i da je hipoteza kontinuuma lažna (2012, 284). Neki od njih dokazano su istiniti i lažni; pri čemu je Weber zabrinut da unaprijedi dokaze o klasičnom vraćanju, što je projekt pokazivanja da tradicionalni rezultati ostaju istiniti (2010, 72). Ovo je novo osnažujuće tlo. Weber je također pokazao nešto bitno za ovaj projekt, naime, da se Cantorina teorema i dalje drži; to jest, to ne ovisi o pretjerano jakim logičkim načelima koje osporavaju parakonzistentisti. Zadržavanje Kantorove teoreme važno je po Weberovom mišljenju, jer različiti redovi beskonačnosti ostaju dostupni nedosljednoj teoriji skupa.koji je projekt pokazivanja da tradicionalni rezultati ostaju istiniti (2010, 72). Ovo je novo osnažujuće tlo. Weber je također pokazao nešto bitno za ovaj projekt, naime, da se Cantorina teorema i dalje drži; to jest, to ne ovisi o pretjerano jakim logičkim načelima koje osporavaju parakonzistentisti. Zadržavanje Kantorove teoreme važno je po Weberovom mišljenju, jer različiti redovi beskonačnosti ostaju dostupni nedosljednoj teoriji skupa.koji je projekt pokazivanja da tradicionalni rezultati ostaju istiniti (2010, 72). Ovo je novo osnažujuće tlo. Weber je također pokazao nešto bitno za ovaj projekt, naime, da se Cantorina teorema i dalje drži; to jest, to ne ovisi o pretjerano jakim logičkim načelima koje osporavaju parakonzistentisti. Zadržavanje Kantorove teoreme važno je po Weberovom mišljenju, jer različiti redovi beskonačnosti ostaju dostupni nedosljednoj teoriji skupa.budući da različiti redovi beskonačnosti ostaju dostupni u nedosljednoj teoriji skupa.budući da različiti redovi beskonačnosti ostaju dostupni u nedosljednoj teoriji skupa.

Osim toga, matematika ima metajezik, za razgovor o samoj matematici. To uključuje pojmove: (i) nazivi za matematičke iskaze i druge dijelove sintakse, (ii) samo referenca, (iii) dokaz i (iv) istina. Gödelov doprinos filozofiji matematike bio je pokazati da se prve tri od njih mogu strogo izraziti aritmetičkim teorijama, premda u teorijama koje su ili nedosljedne ili nepotpune. Mogućnost dobro strukturiranog primjera ove dvije alternative, nedosljednosti, nije shvaćena ozbiljno, opet zbog vjerovanja u ECQ. Međutim, izgleda da prirodni jezici imaju svoj predikat istine. U kombinaciji s samopuzivanjem, to stvara paradoks Lažljiv, „Ova je rečenica lažna“, nedosljednost. Priest (1987.) i Priest, Routley i Norman (1989., str.154) tvrdio je da Lažljivog treba smatrati istinom i lažom, istinitom kontradikcijom. To predstavlja još jedan argument za proučavanje nedosljednih teorija, naime tvrdnju da su neke suprotnosti istinite, poznate i kao dijaletizam. Kripke (1975) je umjesto toga predložio da se modeli istinitog predikata drugačije, u dosljednoj nepotpunoj teoriji. Vidimo dolje da su nepotpunost i nedosljednost usko povezani.

2. Aritmetika

Ali ove su se primjedbe odnosile na temelje, a matematika nije njezini temelji. Stoga postoji daljnji neovisni motiv da se vidi koja matematička struktura ostaje tamo gdje je ograničenje dosljednosti opušteno. Ali bilo bi pogrešno shvatiti ovo kao bilo koji način odbojnost struktura proučenih u klasičnoj matematici: nedosljedne strukture predstavljaju dodatak poznatim strukturama.

Čini se da je Robert K. Meyer (1976.) prvi koji je pomislio na nedosljednu aritmetičku teoriju. U ovom trenutku, njega je više zanimala sudbina konzistentne teorije, njegova relevantna aritmetika R #. To iznosi aksiomi za Peano aritmetiku, s bazom kvantificirane relevantne logike RQ, a Meyer se nadao da će slabija baza odgovarajuće logike omogućiti više modela. Bio je u pravu. Pokazalo se da postoji čitav razred nedosljednih aritmetičkih teorija; vidjeti, na primjer, Meyer i Mortensen (1984). Paralelno s gornjim primjedbama o rehabilitaciji logike, Meyer je tvrdio da ove aritmetičke teorije daju temelj za oživljeni Hilbert-ov program. Hilbertov program bio je projekt rigoroznog formaliziranja matematike i dokazivanje njegove dosljednosti jednostavnim finitarnim / induktivnim postupcima. Smatralo se da je ozbiljno oštećena Gödelova druga teorija nepotpunosti, prema kojoj je dosljednost aritmetike bila neprobavljiva unutar same aritmetike. No, posljedica Meyerove konstrukcije bila je ta što je unutar njegove aritmetičke R # bilo dokazano konačnim sredstvima da, bez obzira na postojanje suprotnosti, ne mogu negativno utjecati na bilo koje numeričke proračune. Stoga je Hilbertov cilj da konačno pokaže da je matematika bez problema, pokazao se uglavnom ostvarivim sve dok se koriste logike tolerantne na nedosljednost. No, posljedica Meyerove konstrukcije bila je ta što je unutar njegove aritmetičke R # bilo dokazano konačnim sredstvima da, bez obzira na postojanje suprotnosti, ne mogu negativno utjecati na bilo koje numeričke proračune. Stoga je Hilbertov cilj da konačno pokaže da je matematika bez problema, pokazao se uglavnom ostvarivim sve dok se koriste logike tolerantne na nedosljednost. No, posljedica Meyerove konstrukcije bila je ta što je unutar njegove aritmetičke R # bilo dokazano konačnim sredstvima da, bez obzira na postojanje suprotnosti, ne mogu negativno utjecati na bilo koje numeričke proračune. Stoga je Hilbertov cilj da konačno pokaže da je matematika bez problema, pokazao se uglavnom ostvarivim sve dok se koriste logike tolerantne na nedosljednost.

Aritmetički modeli koje su koristili Meyer i Mortensen pokazali su kasnije da omogućuju nedosljednu zastupljenost predikata istine. Oni također dopuštaju predstavljanje struktura izvan aritmetike prirodnog broja, poput prstenova i polja, uključujući svojstva redoslijeda. Osigurane su i aksiomatizacije. Nedavno je Graham Priest potpuno karakterizirao konačne nedosljedne aritmetičke modele kolapsa, strogo veću klasu od onih koje su proučavali Meyer i Mortensen. Modeli sakupljanja dobivaju se iz klasičnih modela kolabiranjem domene do klasa kongruencije generiranih različitim odnosima kongruencije. Kad se identificiraju pripadnici iste klase kongruencije, proizvedene teorije nisu u skladu. Na primjer, Meyerova početna konstrukcija srušila je cijeli brojeve pod modulom kongruencije 2. To postavlja 0 i 2 u istu klasu kongruencije i u odgovarajućoj trorednoj logici obje vrijednosti 0 = 2, a ne- (0 = 2). Priest je pokazao da ti modeli imaju određeni opći oblik, vidi Priest (1997) i (2000). Strogo govoreći, Priest je otišao malo predaleko uključujući „klike modele“. To su ispravili Pariz i Pathmanathan (2006), a produžili u beskonačnost Pariz i Sirokfskich (2008). Još je nedavno Tedder (2015) dobio aksiomatizacije za klasu modela konačnih kolapsa s drugačijom pozadinskom logikom, Avronovim A3-om.a produžili su ga u beskonačno Pariz i Sirokfskich (2008). Još je nedavno Tedder (2015) dobio aksiomatizacije za klasu modela konačnih kolapsa s drugačijom pozadinskom logikom, Avronovim A3-om.a produžili su ga u beskonačno Pariz i Sirokfskich (2008). Još je nedavno Tedder (2015) dobio aksiomatizacije za klasu modela konačnih kolapsa s drugačijom pozadinskom logikom, Avronovim A3-om.

3. Analiza

Teško bi se mogli zanemariti primjeri analize i njen poseban slučaj, račun. Za model-teoretski pristup ovome vidi Mortensen (1990, 1995)

Meyerov izvorni pristup prirodnim brojevima, to jest R #, bio je aksiomatičan, a ne teoretski model. Aksiomatski pristup uzeo je u analizu McKubre-Jordens i Weber (2012). U aksiomatizacijskoj analizi s osnovama parakonsistentne logike, njihov rad gura Meyer-ov pristup aritmetičkoj struji putem R # daleko dalje. Ti isti autori (u daljnjem tekstu) preispituju teoriju integracije kakva je bila u rukama Arhimeda, koji koristi metodu iscrpljenosti, koristeći parakonsistentno obrazloženje. To daje rezultat "do nedosljednosti", što znači da je u stanju dokazati "Klasični rezultat ili kontradikciju". Klasični rezultat može se tada ponoviti klasičnim disjunktivnim silogizmom primijenjenim na klasično lažni (nedosljedni) drugi disjunkt.

Svakako je važno i dostojno slijediti ovaj smjer, ali ovdje se unosi blagi oprez: aksiomatski projekt malo se razlikuje od nedosljedne matematike. Kao što je ranije napomenuto, Meyer je u ovoj fazi bio konzistentistički - tražio je konzistentnu teoriju s logikom tolerantnom nedosljednosti. Sa sličnom motivacijom, bio je zabrinut i pokušati riješiti ono što je nazvao "gama problemom", što je u osnovi bilo pitanje može li se pokazati da aksiomatska teorija R # sadrži klasičnu Peano aritmetiku kao podteoriju. Da je to tako, onda bi njegov dokaz netrivijalnosti za R # odmah dao novi dokaz konzistentnosti negacije klasične Peano-aritmetike! Imajte na umu da to ne bi bilo u suprotnosti s Godolovom drugom teoremom, jer se vjerojatno rezultati gama rezultata ne bi ograničili na konačne tehnike.(U slučaju Meyerove teorije, pokazalo se da nije tako.)

Pokazalo se da postoji puno mjesta u analizi gdje postoje različiti nedosljedni uvidi. Primjeri u ostatku ovog odjeljka crpljeni su iz Mortensena (1995). Na primjer: (1) Robinson-ova (1974) nestandardna analiza temeljila se na infinitezimalima, količinama manjim od bilo kojeg stvarnog broja, kao i njihovim uzajamnim odgovorima, beskonačnim brojevima. To je nedosljedna inačica, što ima neke prednosti za proračun u mogućnosti odbacivanja beskonačnih mališana višeg reda. Zanimljivo je da se ispostavilo da teorija diferencijacije ima ove prednosti, dok teorija integracije nije. Sličan rezultat, koristeći drugu logiku pozadine, dobio je Da Costa (2000). (2) Drugo mjesto za pronalaženje primjene nedosljednosti u analizi je topologija,pri čemu se lako promatra praksa rezanja i lijepljenja koja se opisuju kao "identifikacija" jedne granice s drugom. Može se pokazati da se to može opisati nedosljednom teorijom u kojoj su dvije granice identične i nisu identične, a može se dalje tvrditi da je to najprirodniji opis prakse. (3) Još je jedna primjena klase nedosljednih kontinuiranih funkcija. Nisu sve funkcije klasično prekinute podložne nedosljednom liječenju; ali neki su, na primjer, f (x) = 0 za sve x <0 i f (x) = 1 za sve x ≥0. Nedosljedni nastavak zamjenjuje prvo <s ≤ i ima karakteristična strukturna svojstva. Te nedosljedne funkcije mogu se možda primijeniti u dinamičnim sustavima u kojima postoje povremeni skokovi,poput sustava kvantnog mjerenja. Diferenciranje takvih funkcija dovodi do delta funkcija, koje je Dirac primijenio za proučavanje kvantnog mjerenja. (4) Zatim je dobro poznat slučaj nedosljednih sustava linearnih jednadžbi, poput sustava (i) x + y = 1, plus (ii) x + y = 2. Takvi se sustavi mogu potencijalno pojaviti u kontekstu automatizirane kontrole. Klasično je učinjeno malo rada na rješavanju takvih sustava, ali može se pokazati da postoje dobra ponašanja u neskladnim vektorskim prostorima. (5) Konačno, može se primijetiti daljnja primjena u topologiji i dinamici. S obzirom na pretpostavku koja se čini shvatljivom, naime da se sve što se događa ili je istina, događa se ili je istinito na otvorenom skupu (prostornih) točaka, ima logika da je logika dinamički mogućih staza otvorena zadana logika, to jest intuicionistička logika,što podupire nepotpune teorije par excellence. To je zbog toga što prirodni prikaz negacije prijedloga u takvom prostoru govori da se on drži najvećeg otvorenog skupa sadržanog u boolovskom komplementu skupa točaka na kojem se nalazio izvorni prijedlog, koji je općenito manji od boolova upotpuniti, dopuna. Međutim, navođenje topološkog prostora po njegovim zatvorenim skupovima razumljivo je koliko i njegovo otvaranje. Ipak, poznato je da je logika zatvorenih skupova parakonzistentna, tj. podržava nedosljedne netrivijalne teorije; vidjeti npr. Goodman (1981). Stoga, s obzirom na (alternativnu) pretpostavku, koja se također čini zamislivom, naime da je ono što je istina istina u zatvorenom nizu točaka, moglo bi se držati da se nedosljedne teorije. To je zato što je prirodni prikaz negacije prijedloga,naime, ono drži na najmanjem zatvorenom skupu koji sadrži booleovu negaciju prijedloga, znači da na preklapajućoj granici i prijedlog i njegovo negacijsko zadržavanje. Tako dinamičke teorije određuju vlastitu logiku mogućih propozicija i odgovarajućih teorija koje mogu biti nedosljedne i zasigurno prirodne poput njihovih nepotpunih kolega.

O zatvorenoj postavljenoj logici i granicama kao prirodnoj postavci za kontradiktorne teorije, vidi Mortensen (2003, 2010). Weber i Cotnoir (2015) također istražuju nedosljednost granica, proizilazeći iz nespojivosti tri principa (i) postoje granice, (ii) prostor je topološki povezan, i (iii) diskretni entiteti mogu biti u kontaktu (tj. Ne prostor između njih). To je vrlo zanimljiv problem, jer su sva trojica uvjerljiva; naročito izgleda da u našem svijetu postoje granice. U početku iznenađujuća značajka ovog računa jest da granice izgledaju kao "prazne"; uostalom, ništavne cjeline suprotne su duhu meologije. Ali to nije toliko šokantno jer ispada da su prazni samo u smislu da imaju članove nedosljedno.

Teorija kategorija baca svjetlo na mnoge matematičke strukture. Svakako je predložen kao alternativni temelj za matematiku. Takva općenitost neizbježno nailazi na probleme slične onima razumijevanja u teoriji skupa; vidjeti, npr., Hatcher 1982 (str. 255-260). Otuda postoji ista moguća primjena nedosljednih rješenja. Također je važna zbirka kategorijskih struktura, toposa, koji podržavaju logiku otvorenog skupa u točno paraleli s načinom na koji skupovi podržavaju logičku logiku. Mnogi su ovo smatrali dokazom utemeljenog gledišta matematičkog intuicionizma. Međutim, može se dokazati da to predlaže potporu logike zatvorenog skupa onoliko spremno koliko podržavaju i logiku otvorenog skupa, do sada jedinu kategorijsko-teorijsku semantiku za parakonistentnu logiku. To se, međutim, ne bi smjelo promatrati kao prigovor intuicionizmu, već kao argument da su nedosljedne teorije podjednako razumne kao i predmeti matematičkog proučavanja. Vidi Mortensen (1995. poglavlje 11, koautori Lavers). Ova je pozicija Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b) zauzela, proširila i odmjereno je branila. Isti se autor (2016) obvezuje pružiti kategorijski teorijski opis trivijalnih teorija, s ciljem da pokaže da trivijalnost nije tako nezanimljiva značajka koju matematičke teorije imaju. Sadašnji autor ostaje neuvjerljiv, jer je trivijalna teorija zasigurno beskorisna za matematički proračun; ali domišljatost argumenata mora se priznati.koautori Lavers). Ova je pozicija Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b) zauzela, proširila i odmjereno je branila. Isti se autor (2016) obvezuje pružiti kategorijski teorijski opis trivijalnih teorija, s ciljem da pokaže da trivijalnost nije tako nezanimljiva značajka koju matematičke teorije imaju. Sadašnji autor ostaje neuvjerljiv, jer je trivijalna teorija zasigurno beskorisna za matematički proračun; ali domišljatost argumenata mora se priznati.koautori Lavers). Ova je pozicija Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b) zauzela, proširila i odmjereno je branila. Isti se autor (2016) obvezuje pružiti kategorijski teorijski opis trivijalnih teorija, s ciljem da pokaže da trivijalnost nije tako nezanimljiva značajka koju matematičke teorije imaju. Sadašnji autor ostaje neuvjerljiv, jer je trivijalna teorija zasigurno beskorisna za matematički proračun; ali domišljatost argumenata mora se priznati. Sadašnji autor ostaje neuvjerljiv, jer je trivijalna teorija zasigurno beskorisna za matematički proračun; ali domišljatost argumenata mora se priznati. Sadašnji autor ostaje neuvjerljiv, jer je trivijalna teorija zasigurno beskorisna za matematički proračun; ali domišljatost argumenata mora se priznati.

Dualnost između nepotpunosti / intuicionizma i nedosljednosti / parakonzistentnosti ima najmanje dva aspekta. Prvo postoji gornja topološka (otvorena / zatvorena) dualnost. Drugo je Rualley * dualnost. Routleyeva zvijezda * skupa rečenica S, definirana je kao S * = df {A: ~ A nije u S}. Otkriveni od strane Routleys-a (1972) kao semantički alat za relevantnu logiku, * operacija dualistizira između nedosljednih i nepotpunih teorija velike prirodne klase de Morgan-ove logike. Obje vrste dualnosti također međusobno djeluju, pri čemu * daje karakteristične teoreme o dualnosti i invarijanci za aritmetičke teorije otvorenog skupa i zatvorenih skupova. Na temelju tih rezultata, fer je tvrditi da su obje vrste matematike, intuicionističke i parakonzistentne, podjednako razumne.

4. Geometrijska nedosljednost

Vrlo nedavni razvoj je aplikacija za objašnjenje fenomena nedosljednih slika. Najpoznatija od njih su možda MC Escherova remek-djela Belvedere, Vodopad i Uzlazno i silazno. Zapravo tradicija seže tisućljećima u Pompeje. Čini se da je Escher mnoge svoje intuicije izveo od švedskog umjetnika Oscara Reutersvärda, koji je započeo neskladno djelo 1934. Escher je također aktivno surađivao s engleskim matematičarom Rogerom Penroseom. Bilo je nekoliko pokušaja da se teoretičari kao što su Cowan, Francis i Penrose opisuju matematičku strukturu nedosljednih slika koristeći klasičnu konzistentnu matematiku. Kako tvrdi Mortensen (1997), međutim, nijedna konzistentna matematička teorija ne može shvatiti smisao da čovjek vidi nemoguću stvar. Samo nedosljedna teorija može uhvatiti sadržaj te percepcije. To znači apel na kognitivno opravdanje parakonzistentnosti. Tada se može prikazati nedosljedne teorije koje su kandidati za takve nedosljedne sadržaje. U ovom pogledu postoji analogija s klasičnom matematikom: projektivna geometrija je klasična konzistentna matematička teorija koja je zanimljiva jer smo stvorenja okom, jer objašnjava zašto stvari izgledaju onako kako izgledaju u perspektivi.projektivna geometrija je klasična konzistentna matematička teorija koja je zanimljiva jer smo stvorenja okom jer objašnjava zašto stvari izgledaju onako kako izgledaju u perspektivi.projektivna geometrija je klasična konzistentna matematička teorija koja je zanimljiva jer smo stvorenja okom jer objašnjava zašto stvari izgledaju onako kako izgledaju u perspektivi.

Nedosljedne geometrijske studije dalje su razvijene u Mortensenu (2002a), gdje se primjenjuje teorija kategorija kako bi se dao opći opis odnosa između različitih teorija i njihovih dosljednih rezova i nepotpunih dvojnika. Za neformalni prikaz koji naglašava razliku između vizualnih „paradoksa“i filozofski češćih paradoksa jezika, kao što je Lažov, vidi Mortensen (2002b).

U novije vrijeme dobiveni su nedosljedni matematički opisi za nekoliko razreda nedosljednih figura, primjerice Escherove kocke (pronađene u njegovom tisku Belvedere), trokuta Reutersvärd-Penrose i drugih. Vidi Mortensen (2010).

5. komad i permeat

Nedavno se pojavila alternativna tehnika općenitog rješavanja proturječnosti. Brown i Priest (2004) predložili su tehniku koju nazivaju "Chunk and Permeate", u kojoj se zaključivanje iz nedosljednih pretpostavki odvija razdvajanjem pretpostavki na konzistentne teorije (komadići), izvođenjem odgovarajućih posljedica, zatim prenošenjem (prožimanjem) tih posljedica u drugačije komad za daljnje posljedice. Oni sugeriraju da je Newtonovo prvobitno rasuđivanje o uzimanju derivata iz računice bilo ovog oblika. Ovo je zanimljiv i nov pristup, mada se mora ispuniti prigovor da bi se vjerovali zaključku dobivenom na ovoj osnovi, treba vjerovati svim premisama jednako; i stoga bi argument o češćem obliku, koji je privlačan svim premisama bez fragmentacije, trebao biti na kraju. Prigovor je stoga da su Chunk i Permeate dio konteksta otkrića, a ne kontekst opravdanja.

Nedavno su Benham et. dr. (2014) su te metode proširile na funkciju Dirac delta. To proširuje klasu primjena i tako jača tehniku. Međutim, i tamo postaje jasno da postoji bliska paralela između (jedne velike klase) Chunk i Permeate aplikacija i (dosljedne) nestandardne analize: gdje god Chunk i Permeate uzimaju derivat premještajući komade u onaj gdje su beskonačni mali nula, nestandardna analiza uzima derivat definirajući derivate „samo standardnim dijelovima“. Naravno, ekvivalencija između ove dvije tehnike ne pokazuje što je objašnjeno dublje. Razvijanja treba sačekati sa zanimanjem.

6. Zaključak

Zaključno: u posljednje vrijeme se pojavljuje poprilično filozofski materijal koji simpatizira uzrok nedosljedne matematike. Colyvan (2000) bavi se pitanjem da nedosljedne matematičke teorije podrazumijevaju nedosljedne matematičke predmete kao njihove teme. Također se zauzima za važan zadatak pružanja izvještaja o tome kako nedosljedna matematika može imati granu koja se primjenjuje matematiku. Priest (2013), poput Colyvana, primjećuje da nedosljedna matematika dodaje platonsku mješavinu. Berto (2007) korisno ispituje paradokse i temeljne probleme, te iznosi neke aritmetičke rezultate koji se odnose na važna filozofska pitanja poput teorema nepotpunosti. Van Bendegem (2014) slijedi zanimljivu motivaciju da je promjena uvijek stanje anomalije, tako da uvijek promjena podrazumijeva uvijek anomalo. Primjeri uključuju beskonačne mali broj, složene brojeve i beskonačnost. Treba voditi oprez pri razmišljanju da je nedosljednost uvijek neuobičajena, premda samo zato što je to jednostavno više materijala za matematički studij.

Ponovno treba naglasiti da ove strukture ni na koji način ne osporavaju ili ne odbacuju postojeću matematiku, već produbljuju našu predodžbu o tome što je matematički moguće. To pak zaoštrava pitanje Matematičkog pluralizma; vidi npr. Davies (2005), Hellman and Bell (2006) ili Priest (2013). Razni autori imaju različite verzije matematičkog pluralizma, ali to je nešto što bi nespojive matematičke teorije mogle biti jednako istinite. Slučaj matematičkog pluralizma počiva na opažanju da postoje različiti matematički „univerzumi“u kojima vrijede različite, doista nespojive matematičke teoreme ili zakoni. Dobro poznati primjeri su nespojivost između klasične matematike i intuicijske matematike, te nespojivost između ZF-sličnih svemira skupova, sa i bez,Aksiom izbora. Čini se apsurdnim reći da je ZF with Choice istinska matematika, a ZF without Choice lažna matematika, ako su obojica legitimni primjeri matematički dobro održanih teorija.

Primarno pitanje filozofije matematike zasigurno je što je matematika. Operacije dualnosti poput topološke dualnosti ili Routleyja * pojačavaju stav da su nepotpuni / nedosljedni dvojnici jednako razumni kao primjeri matematike. S ove točke gledišta, nesuglasice o tome koga intuicionista ili klasična ili nedosljedna matematika prihvatiti izgledaju besmisleno; svi su oni dio predmeta matematike. Shapiro (2014, za razliku od njega, vidi 2002), ovo učinkovito govori. Shapirovo razlikovno stajalište ima i druge sastojke: matematiku kao znanost o strukturi i matematički pluralizam koji implicira logički pluralizam (o logičkom pluralizmu vidi i Beall i Restall 2006); ali ovo ne uzimamo ovdje gore.

Zbog toga što vrijedi, ovaj pisac smatra da je očigledno neka inačica matematičkog pluralizma, ako se uzme matematika prije svega o matematičkim teorijama koje dopuštaju nedosljednost, a tek drugo, o objektima unutar tih teorija. Naravno, nema problema s nespojivim teorijama, kao strukture prijedloga, koegzistiraju. Primat teorija također se uklapa u prirodno opažanje da je epistemologija matematike deduktivan dokaz. Samo ako neko uzima kao polazište primat matematičkog objekta kao stvaraoca istine, mora se brinuti o tome kako njihovi objekti uspijevaju koegzistirati.

Bibliografija

  • Beall, JC i G. Restall, 2006, Logički pluralizam, Oxford: The Clarendon Press.
  • Benham, R., C. Mortensen i G. Priest, 2014, „Chunk and Permeate III: The Dirac Delta Function“, Synthese, 191 (13): 3057-3062. doi: 10,1007 / s11229-014-0473-7
  • Berto, F., 2007, How to Sell a Contradiction, London: College Publications.
  • Brady, R., 1971, „Dosljednost aksioma apstrakcije i ekstenzivnosti u trojezičnoj logici“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 12: 447–453.
  • –––, 1989, „Netrivijalnost teorije dijalektičke skupove“, u G. Priest, R. Routley i J. Norman (ur.), Paraconsistent Logic, München: Philosophia Verlag.
  • –––, 2006., Universal Logic, Stanford: CSLI Publications.
  • Brown, B. i G. Priest, 2004, „Chunk and Permeate: Paconistent dosljedna strategija. Dio I: Beskonačno minimalni račun”, časopis Filozofska logika, 33: 379–388.
  • Burgess, J., 1981., "Relevantnost, zabluda?", Časopis Notre Dame za formalnu logiku, 22: 97–104.
  • Colyvan, M., 2000, "Primjena nedosljedne matematike", Novi talasi u filozofiji matematike, O. Bueno i O. Limmbo (ur.), London: Palgrave McMillan, 160-172.
  • Da Costa, Newton CA, 1974, “O teoriji nedosljednih formalnih sustava”, časopis Notre Dame za formalnu logiku, 15: 497–510.
  • –––, 2000, „Parakonistentna matematika“, u D. Batens i sur. (ur.), Granice parakonzistentne logike, Hertfordshire: Research Studies Press, 165–180.
  • Davies, EB, 2005, "Obrana matematičkog pluralizma", Philosophia Mathematica, 13: 252–276.
  • Estrada-Gonzales, L., 2010, „Komplement-Topoi i dualna intuicijska logika“, Australski časopis za logiku, 9: 26–44.
  • –––, 2015a, „Zli blizanci: Osnove topove komplementa“, u Beziau, Chakraborty i Dutta (ur.), Novi pravci u parakonistentnoj logici, Dordrecht: Springer: 375-425.
  • –––, 2015b, „Od (parakonistentne) topos logike do univerzalne (topos) logike“, u Koslowu i Buchsbaumu (ur.), Put ka univerzalnoj logici: Festschrift za Jean-Yvesa Beziauja na njegov pedeseti rođendan, Dordrecht: Springer, 263-295.
  • –––, 2016, „Izgledi za trivijalnost“, u: H. Andreas i P. Verdee (ur.), Logičke studije parakonzistentnog obrazloženja u znanosti i matematici, Dordrecht: Springer, 81-89.
  • Goodman, N., 1981, „Logika suprotnosti“, Zeitschrift fur Mathematische Logic und Grundlagen der Arithmetik, 27: 119–126.
  • Hatcher, WS, 1982., Logički temelji matematike, Oxford: Pergamon.
  • Hellman, G. i J. Bell, 2006, "Pluralizam i temelji matematike", u CK Waters i sur. (ur.), znanstveni pluralizam (Minnesota Studies in the Philosophy of Science, svezak XIX), Minneapolis: University of Minnesota Press.
  • Kripke, S., 1975, „Pregled teorije istine“, časopis Filozofija, 72: 690–716.
  • McKubre-Jordens, M., i Zach Weber, 2012, "Realna analiza i parakonsistentna logika", Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 901–922.
  • –––, u nadolazećem tekstu, „Parakonsistentno mjerenje kruga: poziv na nedosljednu matematiku“, Australijski časopis za logiku.
  • Meyer, RK, 1976, "Relevantna aritmetika", Bilten Odjeljenja za logiku Poljske akademije znanosti, 5: 133–137.
  • Meyer, RK i C. Mortensen, 1984., „Nedosljedni modeli za relevantnu aritmetiku“, časopis za simboličku logiku, 49: 917–929.
  • Mortensen, C., 1983., "Odgovor Burgessu i za čitanje", časopis Notre Dame za formalnu logiku, 24: 35–40.
  • –––, 1990, „Modeli za nedosljednu i nepotpunu diferencijalnu računicu“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 31: 274-285.
  • –––, 1995, Neskladna matematika, Kluwer matematika i njezine primjene, Dordrecht: Kluwer. [Errata dostupna na mreži.]
  • –––, 1997, „Zavirivanje u nemoguće“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 38: 527–534.
  • –––, 2000, „Izgledi za nedosljednost“, u D. Batens i sur. (ur.), Granice parakonzistentne logike, London: Research Studies Press, 203–208.
  • –––, 2002a, „Prema matematici nemogućih slika“, u W. Carnielli, M. Coniglio i I. D'Ottaviano (ur.), Parakonzistentnost: Logički put do beskonačnog (Bilješke predavanja u čistom i primijenjenom Matematika, svezak 228), New York: Marcel Dekker, 445–454.
  • –––, 2002b, „Paradoksi unutar i izvan jezika“, jezik i komunikacija, 22: 301–311.
  • –––, 2003., „Logika zatvorenog skupa“, u R. Bradyju (ur.), Relevantne logike i njihovi rivali (svezak II), Aldershot: Ashgate, str. 252-262 (posebno 255-6).
  • –––, 2006., „Analiza nedosljednih i nepotpunih neckerskih kockica“, Australski časopis za logiku, 4: 216-225.
  • –––, 2010., Nedosljedna geometrija (Studije iz logike, svezak 27), London: College Publications (King's College).
  • Paris, J. i Pathmanathan, N., 2006, „Bilješka o svećenikovom konačnom aritmetikom“, časopis za filozofsku logiku, 35: 529–537.
  • Paris, J. i Sirokofskich, A., 2008, „O LP-modelima aritmetike“, časopis za simboličku logiku, 73 (1): 212–226.
  • Priest, G., 1987, U kontradikciji, Dordrecht: Nijhoff; drugo prošireno izdanje, Oxford: The Clarendon Press, 2006.
  • –––, 1997, „Nedosljedni modeli za aritmetiku: ja, konačni modeli“, časopis Filozofska logika, 26: 223–235.
  • –––, 2000, „Nedosljedni modeli za aritmetiku: II, opći slučaj“, časopis za simboličku logiku, 65: 1519–29.
  • –––, 2013., „Matematički pluralizam“, Logički časopis IGPL-a, 21 (1): 4–13: doi: 10,1093 / jzs018
  • Priest, G., R. Routley i J. Norman (ur.), 1989, Paraconsistent Logic, München: Philosophia Verlag.
  • Restall, G., 2007, "Pregled Bradyjeve univerzalne logike", Bilten simboličke logike, 13 (4): 544–547.
  • Robinson, A., 1974, nestandardna analiza, Amsterdam: North-Holland, revidirano izdanje.
  • Routley, R. i V. Routley, 1972, „Semantika obuzdavanja prvog stupnja“, Noûs, 6: 335–359.
  • Shapiro, S., 2002, „Nedosljednost i nepotpunost“, um, 111: 817–832.
  • –––, „Strukture i logika: slučaj za (a) relativizam“, Erkenntnis, 79: 309–329.
  • Tedder, A., 2015, „Aksiomi za aritmetičke modele konačnih kolapsa“, Pregled simboličke logike, 8 (3): 529-539.
  • Van Bendegem, JP., 2014, „Nedosljednost u matematici i matematici nedosljednosti“, Synthese, 191 (13), 3063-3078.
  • Weber, Z., 2010., "Transfinitirani brojevi u teoriji parakonzistentnih skupova", Pregled simboličke logike, 3 (1): 71-92.
  • –––, 2012, „Transfinitivni kardinali u teoriji parakonzistentnih skupova“, Pregled simboličke logike, 5 (2): 269–293.
  • ––– i Cotnoir, AJ, 2015, „Nedosljedne granice“, Synthese, 192: 1267-1294. doi: 10,1007 / 511229-014-0614-2

Akademske alate

sep man ikona
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

[Molimo kontaktirajte autora s prijedlozima.]

Preporučeno: