Neodlučne Metode Iz Matematike

Sadržaj:

Neodlučne Metode Iz Matematike
Neodlučne Metode Iz Matematike

Video: Neodlučne Metode Iz Matematike

Video: Neodlučne Metode Iz Matematike
Video: «‎Пищеблок»‎ | 1 серия 2024, Ožujak
Anonim

Ulazna navigacija

  • Sadržaj unosa
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Prijatelji PDF pregled
  • Podaci o autoru i citiranju
  • Povratak na vrh

Neodlučne metode iz matematike

Prvi put objavljeno pon. Kolovoza 17, 2009; suštinska revizija Utorak, 21. travnja 2020

Kako sada stoji, ne postoji niti jedno, dobro definirano filozofsko potpolje posvećeno proučavanju matematike bez dedukcije. Kako se ovdje koristi termin, on uključuje skup različitih filozofskih stajališta, pristupa i istraživačkih programa čija je zajednička motivacija mišljenje da (i) postoje nedodučivi aspekti matematičke metodologije i da (ii) identifikacija i analiza od ovih aspekata može biti filozofski plodan.

  • 1. Uvod

    • 1.1 Otkriće prema opravdanju
    • 1.2 Odbitak i formalizacija
    • 1.3 Deduktivizam i temelji
  • 2. Neodlučni aspekti deduktivne metode

    • 2.1 Aspekti neformalnosti

      • 2.1.1 Polus formalni dokazi
      • 2.1.2 Nedostaci u dokazima
      • 2.1.3 Dijagrami
    • 2.2 Opravdavanje odbitka

      • 2.2.1 Obrazloženje pravila
      • 2.2.2 Status aksioma
    • 2.3 Gödelovi rezultati
  • 3. Alternativne nededuktivne metode

    • 3.1. Eksperimentalna matematika
    • 3.2
    • 3.3 Računalni dokazi
    • 3.4 Vjerojatni dokazi
  • 4. Sažetak / zaključci
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Ostali internetski resursi
  • Povezani unosi

1. Uvod

Filozofski stavovi koji se tiču ontologije matematike pokreću gamu od platonizma (matematika je područje kraljevstva apstraktnih objekata), do fikcionalizma (matematika je fikcija čija tema ne postoji), do formalizma (matematički su izgledi besmisleni nizovi kojima se manipulira formalno pravila), bez konsenzusa o tome koji je točan. Suprotno tome, čini se pravednim reći da postoji filozofski utvrđeno primljeno viđenje osnovne metodologije matematike. Otprilike je činjenica da matematičari imaju za cilj dokazivati matematičke tvrdnje raznih vrsta, a taj dokaz sastoji se od logičkog izvoda datog zahtjeva iz aksioma. Ovaj pogled ima dugu povijest;stoga Descartes piše u svojim Pravilima za usmjeravanje uma (1627–28) da se matematički prijedlog mora „izvesti iz istinskih i poznatih načela neprekidnim i neprekidnim djelovanjem uma koji ima jasnu viziju svakog koraka u procesu. (47). Važna implikacija ovog stajališta je da u matematici nema mjesta, makar idealno, za nedoduktivne metode. Frege, na primjer, kaže da je „u prirodi matematike uvijek preferirati dokaz, tamo gdje je to moguće, bilo koju potvrdu indukcijom“(1884, 2). Berry (2016) nudi noviju obranu dokaza kao promicanje ključnih vrlina zajedničkog ispitivanja unutar matematičke zajednice.barem u idealnom slučaju, u matematici za nedodirljive metode. Frege, na primjer, kaže da je „u prirodi matematike uvijek preferirati dokaz, tamo gdje je to moguće, bilo koju potvrdu indukcijom“(1884, 2). Berry (2016) nudi noviju obranu dokaza kao promicanje ključnih vrlina zajedničkog ispitivanja unutar matematičke zajednice.barem u idealnom slučaju, u matematici za nedodirljive metode. Frege, na primjer, kaže da je „u prirodi matematike uvijek preferirati dokaz, tamo gdje je to moguće, bilo koju potvrdu indukcijom“(1884, 2). Berry (2016) nudi noviju obranu dokaza kao promicanje ključnih vrlina zajedničkog ispitivanja unutar matematičke zajednice.

U filozofskoj literaturi možda je najpoznatiji izazov tom primljenom pogledu došao od Imre Lakatosa, u svojoj utjecajnoj (posthumno objavljenoj) knjizi iz 1976. godine, Dokazi i osporavanja:

Euklidska metodologija razvila je određeni obavezni stil prezentacije. Nazvat ću ovo kao "deduktivistički stil". Ovaj stil započinje mukotrpno navedenim popisom aksioma, lema i / ili definicija. Aksiomi i definicije često izgledaju umjetno i mistificirajuće komplicirano. Nikad se ne priča kako su nastale ove komplikacije. Popis aksioma i definicija slijedi pažljivo formulirani teorem. Oni su opterećeni teškim uvjetima; čini se nemogućim da ih je itko ikad pogodio. Teorem slijedi dokaz.

U deductivističkom stilu sve su tvrdnje istinite i svi zaključci su valjani. Matematika je predstavljena kao sve veći skup vječnih, nepromjenjivih istina.

Deductivistički stil skriva borbu, skriva avanturu. Čitava priča nestaje, sukcesivne formulacijske teoreme tijekom dokaznog postupka osuđene su na zaborav, dok je krajnji rezultat uzvišen u svetu nepogrešivost (Lakatos 1976, 142).

Prije nastavka, vrijedno je napraviti nekoliko razlika kako bismo usredotočili teme naknadne rasprave.

1.1 Otkriće prema opravdanju

Široka tvrdnja da postoje neki nedodirljivi aspekti matematičke aktivnosti čini se relativno nespornom. Ovo se samo odnosi na tvrdnju da se sve što matematičari rade kada rade matematiku ne sastoji od dobivanja izjava iz drugih izjava. Kako kaže James Franklin:

Matematika se ne može sastojati samo od pretpostavki, pobijanja i dokaza. Svatko može stvoriti pretpostavke, ali koje vrijedi istražiti? … Što bi se moglo dokazati metodom iz matematičkog repertoara? … Koji su vjerojatno da će dati odgovor do sljedećeg pregleda mandata? Matematičar mora odgovoriti na ova pitanja kako bi odvojio svoje vrijeme i trud. (Franklin 1987, 2)

Jedan od načina da se općeniti zahtjev smanji, tako da se učini sadržajnijim jest korištenje poznate (iako ne posve neproblematične) razlike između „konteksta otkrića“i „konteksta opravdanja“. S jedne strane, ovo razlikovanje može dopustiti održavanje tradicionalnog deduktivističkog stava u lice Lakatosove kritike, tvrdeći da se ono što Lakatos upućuje odnosi na kontekst otkrića u matematici. U kontekstu opravdanja, izvođenje rezultata iz aksioma možda je još uvijek točna i cjelovita priča. Neke od reakcija matematičara na Lakatosove stavove imaju takav karakter, na primjer sljedeća napomena Morrisa Klinea u pismu upućenom Lakatosu:

Vjerujem da nam treba mnogo više literature koja naglašava otkrivenu matematiku. Kao što znate i kao što implicirate, sav naglasak je na deduktivnoj strukturi matematike, a dojam koji se daje učenicima je da se iz starih donose novi zaključci. [1]

Također je moguće pronaći odlomke sličnih crta u djelu Pólya, koji je imao veliki utjecaj na Lakatosa:

Proučavajući metode rješavanja problema, opažamo drugo lice matematike. Da, matematika ima dva lica; To je stroga znanost o Euklidu, ali to je i nešto drugo. Matematika predstavljena euklidskim načinom izgleda kao sustavna, deduktivna znanost, ali matematika se u nastajanju pojavljuje kao eksperimentalna, induktivna znanost. (Pólya 1945, vii) [kurziv u originalu]

Suprotno tome, da bi se postavilo istinski izazov poznatoj deduktivističkoj poziciji, protuoptužba mora biti da nedoduktivne metode igraju ulogu u opravdanju matematičkih rezultata (Paseau 2015). Stoga će to biti prvenstveno opravdani konteksti na koje će se usmjeriti ostatak ovog istraživanja. [2]

1.2 Odbitak i formalizacija

Ovo nije mjesto za detaljnu analizu odbitka. U sadašnje će se svrhe smatrati da je poprilično jasan, barem u načelu. Odbitak je svaki niz iskaza koji je svaki izveden iz nekih početnih skupa izjava (pretpostavki) ili iz prethodnog iskaza u nizu. Međutim, jedno od pitanja koje treba riješiti jest odnos odbitka i formalizacije (vidi npr. Azzouni 2013).

Argument može biti deduktivan bez formalnog. Iako se slučajevi odbitka paradigme obično događaju u visoko formaliziranim sustavima, to nije potrebno. Svi parni brojevi veći od 2 su složeni; 1058 je veće od 2; 1058 je parno; prema tome, 1058 je složeni”, savršeno je dobar odbitak, iako nije formaliziran. Dakle, suprotno onome što se ponekad pretpostavlja u raspravama o tim pitanjima, nije istina da su svi neformalni aspekti matematičke prakse prema tome nedodlučni.

S druge strane, razvoj formalne logike usko je povezan s pružanjem jasnog jezika za predstavljanje (i ocjenjivanje) deduktivnih matematičkih zaključaka. Doista, kao što tvrdi John Burgess u svojoj (1992.), moderna klasična logika uglavnom se razvijala kao osnova za matematičko rasuđivanje, posebno dokaz. Povećanje strogosti u matematici tijekom 19 -og stoljeća pravilno gleda kao na uzrok, a ne posljedica, logičke revolucije krenuti po Frege rad. Burgess je, logika, opisna: cilj joj je konstruirati matematičke modele rasuđivanja. Klasična logika predstavlja idealizirani opis klasičnog matematičkog dokaza.

Također može biti važno razlikovati neformalne elemente određenog matematičkog dokaza od neformalnih elemenata (ako postoje takve stvari). [3] U odjeljku 4. ovo će se pitanje baviti vezom dijagrama u matematičkom rasuđivanju.

1.3 Deduktivizam i temelji

Pored razvoja formalne logike, drugi je aspekt deduktivizma njegov naglasak na 'temeljima'. Razlog za to je što je prolazak iz aksioma u teoremu u principu direktan, jer je riječ o logičkoj izvedbi. Zapravo nema ništa značajno matematičko uključeno u ovaj prijelaz. Stoga se pažnja preusmjerava na početnu točku deduktivnog procesa, odnosno na aksiome. A ako su ti aksiomi sami teoremi neke osnovne osnovne teorije, tada se to traženje sigurnog polazišta može nastaviti putem hijerarhije sve više utemeljenih matematičkih teorija.

Neosporno je da su problemi u temeljima matematike je središnja preokupacija filozofa matematike kroz veći dio 20. -og stoljeća. To, naravno, nije, jer su temeljna područja poput teorije skupova jedina područja matematike u kojima filozofi misle da se dedukcija odvija, već zato što je, kao što je gore naglašeno, fokusiranje na dedukciju posebno usmjerilo na polazišta dokaza. Čak će i oni koji simpatiziraju ovo usmjerenje na temeljna pitanja vjerojatno priznati da se time zanemaruju mnoga područja matematičke prakse. Pitanje je što - ako ništa - filozofskog interesa izgubi u procesu.

2. Neodlučni aspekti deduktivne metode

2.1 Aspekti neformalnosti

2.1.1 Polus formalni dokazi

Kao što je gore spomenuto u 1.2, jedna od karakteristika deduktivističkog stila jest ta što su paradigmatični matematički dokazi izraženi u potpunosti na nekom odgovarajućem formalnom jeziku (na primjer, predikatna logika prvog reda s identitetom). To omogućava lako i mehanički utvrđivanje valjanosti određenog dokaza. Ali naravno, malo, ako ih ima, dokaz koji su matematičari distribuirali i objavili ima ovaj oblik. Ono što kvalificira kao dokaz za rad matematičara kreće se od potpuno neformalnog do detaljnog i preciznog, sa popunjenim svaki (ili gotovo svaki) jaz. Međutim, čak su i detaljni i precizni dokazi rijetko izraženi čisto jezikom logike; radije su mješavina običnog jezika, matematičkih i logičkih simbola i terminologije.

Ponekad filozofi koji pišu u deduktivističkoj tradiciji zvuče kao da je to prilično trivijalna poanta; samo je pitanje matematičara koji imaju „shemu prevođenja“, ali ne i pisanje dokaza čistom logikom kako bi bilo dostupnije i lakše za čitanje. U stvari, često je daleko od očiglednog načina prevođenja datog dokaza u formalnu logiku. Nadalje, nije jasno da je pojam "prevođenja" neformalnog dokaza u formalni jezik nužno pravi način sagledavanja situacije. Stewart Shapiro u osnovi ovo gledište iznosi na početku svoje knjige iz 1991. godine Temelji bez utemeljenja, pišući kako:

Jezici pune logike su barem dijelom matematički modeli fragmenata uobičajenih prirodnih jezika, poput engleskog, ili možda običnih jezika s dodatkom izraza koji se koriste u matematici. Potonji se mogu nazvati „prirodnim jezicima matematike“. Radi naglašavanja ili izbjegavanja zabuna, jezik pune logike ponekad se naziva i "formalni jezik".

Kao matematički model uvijek postoji jaz između jezika logike i njegova prirodna jezična kolegica. Odgovaranje između modela i modela može biti dobro ili loše, korisno ili zabludu, u bilo koju svrhu. (Shapiro 1991, 3)

Alternativna slika je da formalni i neformalni jezici nude različite načine izražavanja matematičkih teorema i dokaza. Formalni se jezik ne koristi za "prijevod", pa ga stoga nije potrebno mjeriti u odnosu na ono što je izraženo neformalnim dokazom. Umjesto toga nudi vlastite, možda nadmoćnije, izvore za iskazivanje sadržaja matematičkih iskaza u preciznom i strogom okruženju koje je posebno osmišljeno za tu svrhu. Bez obzira koja je slika usvojena o odnosu formalnih i neformalnih prezentacija matematike, ostaju dvije točke. Prvo, deduktivni matematički argumenti - argumenti koje proizvode, prenose i nadograđuju matematičari - mogu biti formalni ili neformalni. Drugi,lakše je definitivno izvesti takve argumente kao deduktivno valjane ili nevaljane u kontekstu neke vrste formalnog sustava.

Također je vrijedno napomenuti da Lakatos tvrdi da treću kategoriju dokaza, osim formalne i neformalne, naziva "kvazi formalnim". Lakatos piše da:

sugerira da je neformalni dokaz samo nepotpun formalni dokaz čini mi se da čini istu pogrešku kao i rani odgojitelji kad su, pretpostavljajući da je dijete tek minijaturno odrastalo, zanemarili izravno proučavanje ponašanja djeteta u korist teoretiziranje na temelju jednostavnih analogija s ponašanjem odraslih. (Lakatos 1980, 63)

2.1.2 Nedostaci u dokazima

Gornji razgovor o "svakoj praznini koja se popunjava" u prelasku na idealan dokaz glosantna je nad činjenicom da je sam pojam "jaz" u dokazu potrebno dodatno pojašnjenje. Kao prvo, najjednostavniji način definiranja dokaznog jaza - kao što je navedeno u nastavku - primjenjiv je samo na potpuno formalne sustave.

Jaz je svaka točka u dokazu gdje ispisani redak ne slijedi iz nekog podskupina prethodnih redaka (zajedno s aksiomama) primjenom formalno valjanog i izričito navedenog pravila zaključka za sustav.

Razlog uvjeta da je svako pravilo izričito navedeno pravilo zaključivanja u sustavu je taj što želimo otvoriti mjesta za užurbane, ali valjane dokaze. Na primjer, "2 + 2 = 4, dakle, postoji beskonačno mnogo primi" valjan je argument, ali očigledno je da postoji velik jaz između njegove premise i njezinog zaključka. S druge strane, unatoč gore navedenoj definiciji samo za formalne dokaze, beskonacnost i formalnost ne idu uvijek zajedno. Tako je tradicionalni silogizam poput: „Svi su ljudi smrtni; Sokrat je čovjek; dakle Sokrat je smrtan “primjer je bezobzirnog neformalnog dokaza. Jedan od načina da se pojam sreće (i bezobzirnosti) proširi na neformalne dokaze je kroz pojam osnovnog matematičkog zaključka,drugim riječima, zaključak koji je "matematička zajednica prihvatila kao upotrebljiv u dokazivanju bez ikakvih daljnjih potreba za argumentima" (Fallis 2003, 49).

Međutim, na kraju karakteriziramo nedostatke, nesumnjivo je da većina stvarnih dokaza koliko ih iznose matematičari ima nedostataka. Don Fallis predlaže taksonomiju vrsta nedostataka u njegovim dokazima (2003):

  1. Infercijalne praznine

    "Matematičar je ostavio infektivni jaz kad god određeni niz prijedloga koje matematičar ima na umu (kao dokaz) nije dokaz" (Fallis 2003, 53).

  2. Antimematske praznine

    "Matematičar je ostavio antimematski jaz kad god izričito ne navede određeni slijed prijedloga koje ima na umu" (Fallis 2003, 54). [4]

  3. Neprerađeni nedostaci

    "Matematičar je ostavio neprelazni jaz kad god nije pokušao izravno potvrditi da svaki prijedlog u slijedu prijedloga koje misli (kao dokaz) slijedi iz prethodnih prijedloga u nizu osnovnim matematičkim zaključkom." (Fallis 2003, 56–7).

Pored ovog taksonomskog djela, Fallis se zalaže i za filozofsku tezu da praznine u dokazima nisu nužno loša stvar. Nastavljajući na (iii) gore, on uvodi pojam univerzalno neprekinuti jaz, drugim riječima jaz koji nije premoštio nijedan član matematičke zajednice. Fallis tvrdi da takve praznine nisu neuobičajene i da matematičari barem neke vremenske dokaze koji ih sadrže prihvaćaju u opravdanom kontekstu. To gledište potvrđuje i noviji rad Andersena (2018).

Jedna trenutno aktivna oblast rada koja je dovela do otkrivanja dosad neprepoznatih nedostataka raznih vrsta je automatizirana provjera dokaza. Posebno dizajnirani računalni programi koriste se za provjeru valjanosti dokaza koji su izvedeni na odgovarajućem formalnom jeziku. Do sada se glavni fokus nije stavljao na otkrivanje novih rezultata, već na provjeru statusa dokaza već utvrđenih rezultata. George Gonthier koristio je ovaj pristup kako bi potvrdio dokaz teoreme o četiri boje (Gonthier 2008) i dokaz teoreme neobičnog reda u teoriji grupe (Gonthier i sur. 2013), a Thomas Hales potvrdio je dokaz teorije teorije krivulje u Jordanu (Hales 2007). U svakom su slučaju pronađene brojne praznine, a zatim su pređene. Formalna provjera ove vrste može otkriti i druge informacije skrivene u sadržaju običnih matematičkih argumenata. Georg Kreisel opisao je ovaj opći postupak kao "odmotavanje dokaza", dok je Ulrich Kohlenbach nedavno skovao termin "dokazno miniranje". Avigad u vezi s gore opisanim metodama to piše

… Dokaza i teoretske metode i uvidi se mogu koristiti… u području automatiziranog obrazloženja i formalne provjere. Od početka dvadesetog stoljeća razumijeva se da se uobičajeni matematički argumenti mogu barem u načelu prikazati u formalnim aksiomatskim teorijama. Složenost koja je sadržavala čak i najosnovnije matematičke argumente učinila je većinu formalizacije neizvodljivom u praksi. Pojava pomoćnika za računanje dokaza počeo je to mijenjati, omogućujući formalizaciju sve složenijih matematičkih dokaza. [T] metode se mogu koristiti i za tradicionalniji zadatak provjere običnih matematičkih dokaza, a posebno su bitni za slučajeve kada se dokazi oslanjaju na računanje koje je preširoko da bi se moglo ručno provjeriti. (Avigad 2007, 7)

Delariviere i Van Kerkhove (2017), međutim, ističu da, iako računalne metode mogu igrati sve važnije pravilo u provjeri dokaza, mnogo je manje jasno da takve metode mogu igrati odgovarajuće središnju ulogu u unapređivanju matematičkog razumijevanja.

2.1.3 Dijagrami

Drugi aspekt neformalnih dokaza koji je bio predmet ponovne pozornosti u novijoj filozofskoj literaturi je uloga dijagrama (Giaquinto 2007; Shin & Lemon 2008). Ono što nije sporno je da su dokazi, posebno u geometriji, ali i na drugim područjima u rasponu od analize do teorije grupa, često popraćeni dijagramima. Jedno se pitanje odnosi na to igraju li takvi dijagrami nezamjenjivu ulogu u lancu zaključivanja koji vodi od pretpostavki određenog dokaza do njegovog zaključka. Prima facie, čini se da postoje tri moguće situacije:

  1. Dijagrami nemaju bitnu ulogu u dokazu i služe samo kao "ilustracija" aspekata predmeta s kojima se bavi.
  2. U praktičnom smislu teško je (ili čak nemoguće) shvatiti dokaz bez korištenja dijagrama, ali ta je neophodnost psihološka, a ne logična.
  3. Dijagrami igraju ključnu ulogu u logičkoj strukturi dokaza.

Početni val filozofskog rada učinjen na dijagramskim rezonovanjima usredotočen je na Euklidove Elemente, dijelom zbog središnje i povijesne važnosti ovog djela, a dijelom i zbog toga što se tako često drži kao kanonski primjer deduktivne metode (vidi npr. Mumma 2010). Ako neki ili svi dijagrami u Elementima potpadaju pod opciju (iii) gore, brisanje svih dijagrama učiniće mnoge dokaze nevažećim. Postavlja se dodatno pitanje može li se prepoznati i analizirati razlikovito dijagramički oblik obrazloženja i, ako jest, može li se uhvatiti u čisto deduktivnom sustavu. Jedna od poteškoća za bilo koju predloženu rigorizaciju je „problem generalizacije“: kako se dokaz koji je povezan sa određenim dijagramom može generalizirati na druge slučajeve? To je isprepleteno s pitanjem razlikovanja, formalno gledano,između bitnih i slučajnih značajki danog dijagrama.

Novije djelo o ulozi dijagrama u dokazima uključivalo je obranu stava da dijagramički dokazi ponekad mogu biti u potpunosti rigorozni (Azzouni, 2013), te istraživanje dijagrama zasnovanog na dijagramu u područjima matematičke prakse koja nisu geometrija (de Toffoli i Giardino, 2014; de Toffoli, 2017).

2.2 Opravdavanje odbitka

Čak i ako ograničimo pozornost na kontekst opravdanja, deduktivni dokaz daje kategorično znanje samo ako proizlazi iz sigurnog polazišta i ako su pravila zaključivanja sačuvana istinom. Može li se naše pouzdanje da su ta dva uvjeta također utemeljiti čisto deduktivno? Ti će se uvjeti razmatrati zauzvrat.

2.2.1 Obrazloženje pravila

U jednom smislu, čini se sasvim jednostavnim dati deduktivno opravdanje za neki preferirani skup pravila zaključivanja. Može se pokazati, na primjer, da ako su pretpostavke primjene Modus Ponens istinite, zaključak također mora biti točan. Problem je, barem potencijalno, u tome što takva opravdanja obično koriste samo pravilo koje nastoje opravdati. U gornjem slučaju: ako se MP primjenjuje na istinske premise, zaključak je točan; MP se primjenjuje na istinske prostore; otuda je zaključak istinit. Haack (1976) i drugi raspravljali su o tome je li kružnost ovdje začarana ili ne. Važno je razmotriti mogu li se dati analogna „opravdanja“za nevaljana pravila, na primjer, Prijevorova pravila o uvođenju i uklanjanju „tonka“, koja imaju i ovu značajku korištenja pravila da se opravda.[5] (Usko povezano pitanje može se pratiti do Lewisa Carrolla i njegova klasičnog (1895) rada.)

2.2.2 Status aksioma

Pretpostavimo, dakle, da idealizirani deduktivni dokaz pruža jednu vrstu sigurnosti: transparentnost svakog koraka osigurava valjanost argumenta kao cjeline i stoga jamči da ako su pretpostavke sve istinite, zaključak mora biti točan. Ali što je s aksiomima donijeti na početku postupka dokazivanja? Tradicionalni odgovor na ovo pitanje jest tvrditi da je istina aksioma sigurna jer su aksiomi "samorazumljivi". Izgleda da je ovo općeprihvaćeni prikaz aksioma euklidske geometrije, na primjer. Međutim, takav je stav mnogo manje rasprostranjen u suvremenoj matematici iz različitih razloga. Prvo, otkriće ne-euklidske geometrije u ranom 19. stoljećuStoljeće je pokazalo da prividni samo-dokazi, barem u slučaju paralelnog postulata, ne jamče potrebnu istinu. Drugo, sve veći raspon i složenost matematičkih teorija - i njihove aksiomatizacije - učinili su mnogo manje vjerojatnim tvrditi da je svaki pojedinačni aksiom transparentno istinit. Treće, mnoga su matematička polja u značajnoj mjeri apstrahirana od bilo kojeg konkretnog modela, i to je pošlo za rukom sa tendencijom da barem neki matematičari zauzmu formalistički stav prema teorijama koje razvijaju. U ovom pogledu aksiomi, umjesto da izražavaju temeljne istine, služe jednostavno pružanju početne pozicije za formalnu igru.

Pomak prema takvom formalističkom stavu prema aksiomima može se pratiti i Fregeovim logikom. Program logike nastojao je pokazati da se matematika može svesti na logiku, drugim riječima da se može pokazati da se matematički dokazi sastoje od logičkih dedukcija iz logički istinitih premisa. Za Fregea su ove logično istinite premise definicije pojmova koji se u njima javljaju. Ali to opet postavlja pitanje onoga što razlikuje prihvatljive od neprihvatljivih definicija. Ovdje se ne brine samo jesu li naši aksiomi istiniti, već jesu li uopće konzistentni (zamka koja slavno zadesi Fregeov vlastiti sustav). I to je problem nakon što se samoizvještavanje napusti kao "zlatni standard" za aksiome, bez obzira na to prelazimo li odavde prema formalističkom ili logičkom pogledu. U oba slučaja,moraju se osigurati neke druge granice prihvatljivosti aksioma kandidata.

Postoji li, dakle, sredina između visokog standarda samoispitivanja s jedne strane i stava 'sve ide' s druge? Jedna od ideja, čija se inačica može pratiti prema Bertrandu Russellu, jest pozivanje na verziju zaključka za najbolje objašnjenje. Russell-ovo gledište je, vjerovatno, dovoljno da su propozicije elementarne aritmetike - "2 + 2 = 4", "7 je prvobitno", itd. - mnogo jasnije od aksioma bilo kojeg logičkog ili skupa teorijskog sustava smisli ih prizemljiti. Stoga, umjesto da gledamo aksiome kao maksimalno samorazumljive, umjesto toga trebamo ih smatrati odabranima na temelju njihove (kolektivne) sposobnosti sistematizacije, izvedbe i objašnjenja osnovnih aritmetičkih činjenica. Drugim riječima, smjer logičke implikacije ostaje od aksioma do aritmetičkih činjenica,ali pravac opravdanja može ići drugim putem, barem u slučaju vrlo jednostavnih, očiglednih aritmetičkih činjenica. Izvođenje "2 + 2 = 4" iz naših teoretskih aksioma ne povećava naše pouzdanje u istinu "2 + 2 = 4", već činjenicu da možemo izvući tu nepoznatu činjenicu (a ne izvući druge tvrdnje koje mi znati da je lažno) zaista povećava naše povjerenje u istinitost aksioma.

Ovdje smjer opravdanja zrcali smjer opravdanja u zaključku da je najbolje objašnjenje. Jednom kada imamo mjeru pouzdanosti za određeni izbor aksioma, pravac opravdanja također može teći u konvencionalnijem smjeru, u koraku s deduktivnim zaključcima dokaza. To će se dogoditi kada dokazani teorem nije onaj čija je istina bila prije očita. Easwaran (2005), Mancosu (2008) i Schlimm (2013) su razvili ovaj osnovni prikaz izbora aksioma na različite načine. Na primjer, Mancosu tvrdi da analogni postupak može biti temelj razvoja novih matematičkih teorija koje proširuju domenu primjene ili ontologije prethodnih teorija. Daljnji napredak u analizi ovog procesa ovisit će o zadovoljavanju matematičkih objašnjenja,i to je postalo područje od velikog interesa u novijoj literaturi o filozofiji matematike.

Drugi pristup, koji je slijedila Maddy (1988, 1997, 2001, 2011) je da se detaljnije sagleda stvarna praksa matematičara i razlozi koje oni daju za prihvaćanje ili odbijanje različitih aksioma kandidata. Maddy je glavni fokus na aksiomima za teoriju skupova, a ona tvrdi da postoje različite teorijske vrline, bez izravne veze s 'samo-dokazima', koje aksiomi mogu posjedovati. Koje su ove vrline i kako ih se vaga u odnosu jedna na drugu, mogu se razlikovati u različitim područjima matematike. Dvije jezgre vrline koje Maddy identificira za teoretski skupa aksioma su UNIFY (tj. Da daju jedinstvenu teoriju osnova za odlučivanje teoretsko skupa pitanja) i MAXIMIZE (tj. Da ne proizvoljno ograničavaju raspon vrsta izomorfizma). Pitanje izbora aksioma u teoriji skupa također je zauzeto u nedavnom radu Lingamneni (2017) i Fontanella (2019).

2.3 Gödelovi rezultati

Nesumnjivo su najpoznatija ograničenja deduktivne metode u matematici ona koja proizlaze iz Gödelovih rezultata nepotpunosti. Iako se ovi rezultati primjenjuju samo na matematičke teorije koje su dovoljno jake da ugrade aritmetiku, središnja vrijednost prirodnih brojeva (i njihova ekstenzija u racionalne svrhe, komplekse, itd.) Kao fokus matematičke aktivnosti znači da su implikacije široko rasprostranjene.

Ne bi se smjele precijeniti ni precizne implikacije Gödelovog djela. Redoslijed kvantifikatora je važan. Ono što je Gödel pokazao jest da za svaki dosljedni, rekurzivno aksiomatizirani formalni sustav, F, dovoljno jak za aritmetiku, postoje istine koje se mogu izraziti na čisto aritmetičkom jeziku, a koje nisu dokazane u F. On nije pokazao da postoje aritmetičke istine koje su nedorečene u bilo koji formalni sustav. Unatoč tome, Gödelovi rezultati uronili su neke značajne čavle u lijes jedne verzije deduktivnog ideala matematike. Ne može postojati jedinstveni, rekurzivno aksiomatizirani formalni sustav za svu matematiku koji je (a) dosljedan, (b) čisto deduktivan i (c) potpun. Jedna linija odgovora na ovo teškoće je istražiti mogućnosti nedoduktivne metode opravdanja u matematici.

3. Alternativne nededuktivne metode

3.1. Eksperimentalna matematika

Uloga nededuktivnih metoda u empirijskoj znanosti lako je vidljiva i relativno nesporna (tempo Karl Popper). Zapravo je kanonski obrazac opravdanja u znanosti posterioriran i induktivan. Ono što empirijsku znanost čini empirijskim je ključna uloga promatranja, a posebno eksperimenta. Prirodno polazište, dakle, u istraživanju nedoduktivnih metoda u matematici, jest sagledati uspon žanra poznatog kao "eksperimentalna matematika". U posljednjih 15 godina ili otprilike, pojavili su se časopisi (npr., Journal of Experimental Mathematics), instituti (npr. Institut za eksperimentalnu matematiku na Sveučilištu u Essenu), kolokviji (npr., Eksperimentalni kolokvij iz matematike na Sveučilištu Rutgers), i knjige (npr. Borwein i Bailey 2003 i 2004) posvećene ovoj temi. Ovi potonji autori također tvrde u Borweinu i Baileyju (2015) da je značaj eksperimentalne matematike općenito u matematičkoj praksi, dok Sorensen (2016) daje širu povijesnu i sociološku analizu eksperimentalne matematike.

Na pozadini tradicionalne dihotomije između matematičkog i empirijskog puta do znanja, pojam eksperimentalne matematike izgleda u najboljem slučaju oksimoronički, a u najgorem slučaju paradoksalno. Jedan prirodni prijedlog je da eksperimentalna matematika uključuje izvođenje matematičkih eksperimenata, pri čemu se termin "eksperiment" ovdje tumači što je moguće doslovno. Ovo je pristup koji je prihvatio van Bendegem (1998). Prema van Bendegemu, eksperiment uključuje „manipulaciju objektima,… postavljanje procesa u„ stvarnom “svijetu i… promatranje mogućih ishoda tih procesa“(Van Bendegem 1998, 172). Njegov je prijedlog da se prirodni način za upoznavanje s matematičkim eksperimentom razmotri kako bi eksperiment u ovom paradigmatskom smislu mogao imati matematičke posljedice.

Jedan primjer koji van Bendegem navodi datira rad od strane 19 -og -century belgijski fizičar visoravni na minimalne površine područja problema. Izgradnjom različitih geometrijskih oblika od žice i uranjanjem ovih žičanih okvira u sapunicu, Plateau je mogao odgovoriti na specifična pitanja o minimalnoj površini koja ograničava različite pojedine oblike i, na kraju, - formulirati neka opća načela koja upravljaju konfiguracijama takvih površina. [6]Jedan od načina razumijevanja onoga što se događa u ovom primjeru jest da fizički eksperiment - uranjanje žičanog okvira u sapunicu - daje rezultate koji su izravno relevantni za određenu klasu matematičkog problema. Glavni nedostatak ovog načina karakteriziranja eksperimentalne matematike je taj što je previše restriktivan. Primjeri koje navodi Van Bendegem navode izuzetno su rijetki, pa utjecaj takve matematičke eksperimente na stvarnu matematičku praksu može biti u najboljem slučaju vrlo ograničen. Štoviše, matematičari to ne mogu imati samo u ovom doslovnom smislu eksperimenta kada govore o - i eksperimentalnoj matematici.

Toliko o doslovnom čitanju "matematičkog eksperimenta." Potencijalno korisniji pristup je razmišljanje analogno ili funkcionalno. Drugim riječima, možda se "eksperimentalna matematika" koristi da bi se označile aktivnosti koje djeluju unutar matematike na način analogan ulozi eksperimenta u empirijskoj znanosti. Tako matematički eksperimenti mogu dijeliti neke značajke s doslovnim eksperimentima, ali ne i druge značajke (Baker 2008; McEvoy 2008, 2013; Sorensen 2010; van Kerkhove 2008). Prije nego što nastavite s ovom vrstom analize, možda će biti korisno da se ukratko pogleda studija slučaja.

Lijep primjer trenutnog rada u eksperimentalnoj matematici pojavljuje se u jednoj od dviju nedavnih knjiga Borweina i Baileyja (1995b, Ch. 4). Za pravi se broj govori da je normalan u bazi n ako se svaki slijed znamenaka za bazu n (bilo koje duljine) pojavljuje jednako često u njegovom proširivanju baze-n. Broj je apsolutno normalan ako je normalan u svakoj bazi. Razmotrimo sljedeću hipotezu:

Koncept: svaki neracionalni algebrični broj je apsolutno normalan.

Borwein i Bailey koristili su računalo za računanje 10.000 decimalnih znamenki kvadratnih korijena i korijena kocke pozitivnih cijelih brojeva manjih od 1.000, a potom su te podatke podvrgli određenim statističkim testovima.

Postoji nekoliko upečatljivih značajki ovog primjera koje mogu ukazivati na općenitiju karakterizaciju eksperimentalne matematike. Prvo, put od dokaza do hipoteze je putem numeričke indukcije. Drugo, uključuje upotrebu računala. U daljnjem tekstu ove dvije karakteristike bit će proučene zauzvrat.

3.2

U pismu Euleru napisanom 1742. godine, Christian Goldbach je pretpostavio da su svi parni brojevi veći od 2 izraženi kao zbroj dvaju prašuma. [7] Tijekom sljedeća dva i pol stoljeća, matematičari nisu bili u mogućnosti dokazati Goldbachovu koncepciju. Međutim, provjereno je na više milijardi primjera, a čini se da postoji matematičar u suglasju da je pretpostavka najvjerojatnija istina. Slijedi djelomični popis (od listopada 2007.) koji pokazuje redoslijed veličine do kojeg su provjereni svi parni brojevi i pokazalo se da su u skladu s GC-om.

Bound Datum Autor
1 × 10 3 1742 Euler
1 × 10 4 1885 Desboves
1 × 10 5 1938 Pipping
1 × 10 8 1965 Stein & Stein
2 × 10 10 1989 Granville
1 × 10 14 1998 Deshouillers
1 × 10 18 2007 Oliveira & Silva

Unatoč velikom nakupljanju pojedinačnih pozitivnih slučajeva GC-a, potpomognutih od ranih 1960-ih uvođenjem i kasnijim brzim povećanjem brzine digitalnog računala, još uvijek nisu pronađeni dokazi o GC-u. I ne samo to, već je i mali broj teoretičara optimističan da postoje bilo kakvi dokazi. Alan Baker iz Fieldsovog odličja izjavio je u intervjuu iz 2000. godine: „Malo je vjerojatno da ćemo išta dalje postići (u dokazivanju GC-a) bez velikog napretka. Nažalost, na horizontu ne postoji tako velika ideja. Također 2000. godine, izdavači Faber i Faber ponudili su nagradu u iznosu od 1.000.000 dolara svima koji su dokazali GC između 20. ožujka 2000. i 20. ožujka 2002. uvjereni da je njihov novac relativno siguran.

Ono što ovu situaciju čini posebno zanimljivom je to što su matematičari dugo uvjereni u istinitost GC-a. Hardy & Littlewood tvrdili su davne 1922. godine, da "nema nikakve sumnje da je teorema točna", a Echeverria u nedavnom članku o istraživanju piše da je "sigurnost matematičara o istinitosti GC-a potpuna" (Echeverria 1996, 42). Štoviše, ovo povjerenje u istinitost GC-a obično je izričito povezano sa induktivnim dokazima: na primjer, GH Hardy je numeričke dokaze koji podržavaju istinu GC-a opisao kao „neodoljive“. Stoga se čini razumnim zaključiti da su razlozi vjerovanja matematičara u GC nabrojni induktivni dokazi.

Jedna karakteristična karakteristika matematičkog slučaja koja može utjecati na opravdavajuću snagu enumerativne indukcije je važnost reda. Primjeri koji potpadaju pod određenu matematičku hipotezu (barem u teoriji brojeva) su intrinzično poredani, i nadalje, položaj u ovom redu može donijeti presudnu razliku u matematičkim svojstvima koja su uključena. Kako piše Frege, što se tiče matematike:

[T] on je [zemlja] nepovoljan za indukciju; jer ovdje ne postoji nijedna ta jednoobraznost koja u drugim poljima može dati metodu visok stupanj pouzdanosti. (Frege, Osnove aritmetike)

Frege zatim citira Leibniza koji tvrdi da razlika u veličini dovodi do svih vrsta drugih relevantnih razlika između brojeva:

Neparni broj može se podijeliti na dva jednaka dijela, a neparni broj ne može; tri i šest su trokutasti brojevi, četiri i devet su kvadrati, osam je kocka i tako dalje. (Frege, Osnove aritmetike)

Frege također eksplicitno uspoređuje matematički i ne-matematički kontekst za indukciju:

U običnim indukcijama često dobro koristimo pretpostavku da je svaki položaj u prostoru i svaki trenutak u sebi dobar kao i svaki drugi. … Pozicija u nizu brojeva nije stvar ravnodušnosti poput položaja u prostoru. (Frege, Osnove aritmetike)

Kao što Fregeove primjedbe sugeriraju, jedan način da se potkrijepi argument protiv korištenja enumerativne indukcije u matematici je kroz nekakav princip jednoličnosti: u nedostatku dokaza, ne bismo trebali očekivati da će brojevi (općenito) dijeliti bilo kakva zanimljiva svojstva. Dakle, utvrđivanje da se svojstvo drži za određeni broj ne daje razloga za misljenje da će i drugi, proizvoljno odabrani broj imati to svojstvo. [8] Umjesto načela uniformnosti za koje Hume sugerira da je jedini način uzemljenja uzemljenja, imamo gotovo upravo suprotan princip! Čini se da iz ovog načela slijedi da je numerička indukcija neopravdana, jer ne treba očekivati (konačni) uzorci iz ukupnosti prirodnih brojeva koji ukazuju na univerzalna svojstva.

Potencijalno još ozbiljniji problem, u slučaju GC-a i svih ostalih slučajeva indukcije u matematici, jest taj što je uzorak koji promatramo pristran. Prvo, imajte na umu da su sve poznate instance GC-a (i zapravo sve instance koje je moguće znati) u važnom smislu malo.

U vrlo stvarnom smislu, nema velikog broja: za svaki eksplicitni cijeli broj može se reći da je „mali“. Zapravo, bez obzira koliko cifara ili kula eksponenata zapišete, postoji samo konačno mnogo prirodnih brojeva manjih od vašeg kandidata i beskonačno mnogo većih (Crandall i Pomerance 2001, 2).

Naravno, bilo bi pogrešno jednostavno se žaliti da su sve instance GC-a konačne. Uostalom, svaki je broj konačan, pa ako GC drži za sve konačne brojeve nego GC drži simplikator. [9] Ali možemo izdvojiti ekstremniji osjećaj malenosti, koji bi mogao biti nazvan minitetom.

Definicija: pozitivni cijeli broj, n, je minuta samo u slučaju da je n unutar raspona brojeva koje možemo zapisati pomoću uobičajene decimalne notacije, uključujući (ne-ponovljenu) eksponenciju.

Do danas provjerene instance GC-a nisu samo male, već su malene. A minutnost se, iako je prilično nejasno definirana, zna da mijenja. Uzmimo, na primjer, logaritamsku procjenu primarne gustoće (tj. Udjela brojeva manjih od datog n koji su primarni) za koje se zna da postaju podcjenjivački za dovoljno velike n. Neka je n * prvi broj za koji je logaritamska procjena premala. Ako je Riemannova hipoteza istinita, tada se može dokazati da je gornja granica za n * (prvi Skewesov broj) 8 × 10 370. Iako impresivno velik broj, prema gornjoj definiciji ipak je minut. Međutim, ako je Riemannova hipoteza lažna nego naša najpoznatija gornja granica za n *(drugi Skewesov broj) je 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 3. [10] Nužnost izmišljanja ove oznake "strelica" koja bi predstavljala ovaj broj govori nam da nije minuta. Drugi dio ovog rezultata, dakle, iako je uvjetno uvjetovan rezultatom koji se smatra malo vjerojatnim (tj. Neistinitost RH), implicira da postoji svojstvo koje drži sve brojeve minuta, ali ne drži za sve brojeve. Minutnost može značiti razliku.

Što je s naizgled pouzdanjem tog teoretičara broja u istinu GC-a? Echeverria (1996.) govori o važnoj ulozi koju je Cantorina objava 1894. godine odigrala u tablici vrijednosti Goldbach-ove particione funkcije, G (n), za n = 2 do 1.000 (Echeverria 1996,29–30). Funkcija particije mjeri broj različitih načina na koji se dati (paran) broj može izraziti kao zbroj dva prama. Dakle, G (4) = 1, G (6) = 1, G (8) = 1, G (10) = 2, itd. Ovaj pomak fokusa na funkciji particije podudarao se s dramatičnim porastom povjerenja matematičara u GC, Ono što je postalo očito iz Cantorinog djela jest da se G (n) povećava s povećanjem n. Imajte na umu da GC u ovom kontekstu znači da G (n) nikada ne uzima vrijednost 0 (za bilo koji čak n veći od 2). Ogroman dojam koji stvaraju podaci o funkciji particije je da je malo vjerovatno da će GC uspjeti za neko veliko n. Na primjer, za brojeve od 100 000, uvijek postoji barem 500 različitih načina da se svaki parni broj izrazi kao zbroj dva prama!

No, kako izgleda, ovi su rezultati čisto heuristički. Trideset godina nakon Cantor-ove objave njegove tablice vrijednosti (koju je Echeverria opisala kao „ drugo razdoblje“istraživanja GC-a) vidjeli su brojne pokušaje pronalaska analitičkog izraza za G (n). Ako bi se to moglo učiniti, vjerojatno bi bilo razmjerno jednostavno dokazati da ta analitička funkcija nikada ne preuzima vrijednost 0 (Echeverria 1996, 31). Već oko 1921. pesimizam o šansama za pronalaženjem takvog izraza doveo je do promjene naglaska, a matematičari su počeli usmjeravati njihovu pažnju pokušavajući pronaći niže granice za G (n). Bar se to, dosad, pokazalo neuspješnim.

Stoga razmatranje funkcije particije nije približilo dokaz GC-a. Međutim, to nam omogućava dati zanimljiv zaokret argumentu iz prethodnog odjeljka. Grafikon sugerira da će se najteži testni slučajevi za GC pojaviti među najmanjim brojevima; stoga je induktivni uzorak za GC pristran, ali je pristran u odnosu na šanse za GC. Povjerenje matematičara u istinu GC-a ne temelji se isključivo na enumeracijskoj indukciji. Vrijednosti uzete funkcijom particije pokazuju da je uzorak pozitivnih slučajeva GC-a doista pristran, a pristrani uzorci - kao opće pravilo, ne podržavaju hipotezu. Ali u ovom konkretnom slučaju priroda pristranosti čini dokaze jačim, a ne slabijim. Stoga je moguće tvrditi da je nabrajanje indukcije neopravdano uz istovremeno slaganje da su matematičari racionalni vjerovati GC-u na temelju dostupnih dokaza. (Imajte na umu da ovdje postoji osjetljiva ravnoteža jer dokazi o ponašanju particione funkcije sami po sebi nisu deduktivni. Međutim, dojam da je G (n) vjerojatno ograničen dolje nekom porastom analitičke funkcije ne temelji se na nabrajanju indukcija sama po sebi, pa opravdanje - iako nije deduktivno - nije kružno.)Međutim, dojam da će G (n) vjerojatno biti ograničen dolje nekom porastom analitičke funkcije ne temelji se na numeričkoj indukciji po sebi, pa opravdanje - iako nije deduktivno - nije kružno.)Međutim, dojam da će G (n) vjerojatno biti ograničen dolje nekom porastom analitičke funkcije ne temelji se na numeričkoj indukciji po sebi, pa opravdanje - iako nije deduktivno - nije kružno.)

Zaključak gornje rasprave, iako zasnovan na jednoj studiji slučaja, jest taj da matematičari ne bi trebali opravdavati matematičke tvrdnje i, općenito, ne daju težinu numeričkoj indukciji. (U kojoj mjeri enumeracija indukcija ima ulogu u otkrivanju novih hipoteza ili u izboru nad kojim otvorenim problemima matematičari odlučuju raditi, odvojeno je pitanje koje ovdje nije obrađeno.) Preciznije, teza je u dva dijelovi:

  1. Brojčana indukcija ne bi trebala povećati povjerenje u univerzalne matematičke generalizacije (preko beskonačne domene).
  2. Brojčana indukcija ne vodi (općenito) matematičare da budu sigurniji u istinitost zaključka takvih generalizacija.

3.3 Računalni dokazi

Upečatljiva značajka suvremenog rada u eksperimentalnoj matematici je ta što se izvodi pomoću računala, Je li to oslanjanje na složene dijelove elektronike ono što polje čini eksperimentalnim? Ako se pogleda ono što je objavljeno u suvremenim časopisima, knjigama i konferencijama posvećenim eksperimentalnoj matematici, stječe se dojam da su sve stavke usko povezane s računalima. Na primjer, čini se da ne postoji niti jedan rad objavljen u više od desetljeća vrijednim izdanjima eksperimentalne matematike koji ne uključuju upotrebu računala. Što je sa primjerima koje matematičari nude kao paradigme eksperimentalne matematike? Ovdje su podaci manje jasni. S jedne strane, neformalno istraživanje sugerira da većina takvih primjera uključuje eksplicitnu uporabu računala. S druge strane, nije neuobičajeno da matematičari također navedu jedan ili više povijesnih primjera,od vremena prije dobi računala, da ilustrira navodni rodovnik subdiscipline.

Najveći izazov na izjednačavanju eksperimentalne matematike s računalno utemeljenom matematikom dolazi iz onoga što samozvani eksperimentalni matematičari kažu o svojoj stečenoj disciplini. Kad matematičari svjesno razmišljaju o pojmu eksperimentalne matematike, skloni su odbaciti tvrdnju da je upotreba računala nužna značajka. Na primjer, urednici časopisa Experimental Mathematics - u svojoj „filozofijskoj izjavi“o opsegu i prirodi časopisa, daju sljedeće napomene:

Riječ "eksperimentalni" zamišljena je široko: mnogi se matematički eksperimenti ovih dana izvode na računalima, ali drugi su i dalje rezultat rada s olovkom i papirom, a postoje i druge eksperimentalne tehnike, poput izrade fizičkih modela. („Ciljevi i opseg“, eksperimentalna matematika - pogledajte ostale internetske resurse)

A ovdje je još jedan odlomak sličnog ukusa matematičara Doron Zeilberger:

[T] radijalnu eksperimentalnu matematiku … stoljećima su pratili svi veliki, a manje veliki, matematičari, koristeći papir i olovku. (Gallian i Pearson 2007, 14)

Čini se fer reći da se vezanje eksperimentalne matematike s računarskim računalima dobro uklapa s onim što rade suvremeni eksperimentalni matematičari, ali ne tako dobro s onim što kažu. [11]

Drugi problem predložene karakterizacije je više filozofske naravi. Razmotrimo još jedan široko citirani primjer eksperimentalne matematike koji nastaje u vezi s Goldbachovom koncepcijom. Od travnja 2007., provjereno je da su svi parni brojevi do 10 18 usklađeni s GC-om, a ovaj projekt (pod vodstvom Oliveira e Silva) je u tijeku. Ovaj masivni zadatak računanja općenito se smatra primjerom paradigme eksperimentalne matematike. I čini se da je očito da računala igraju bitnu ulogu ovdje: nijedan matematičar ili grupa matematičara ne može se nadati dupliciranju izračunavanja 10 18.

U trenutnom kontekstu, središnje pitanje nije je li računalna matematika "eksperimentalna", već je li - barem ponekad - nedoduška. U jednom smislu, naravno, svi pojedinačni proračuni koje obavlja računalo su deduktivni ili su barem izomorfni operacijama čisto deduktivnog formalnog sustava. Kada računalo provjeri instancu GC-a, ta je provjera u potpunosti deduktivna. Tada možemo izdvojiti dva različita pitanja. Prvo, igraju li ovi proračuni neku nedodelujuću ulogu u nekom većem matematičkom argumentu? I, drugo, jesu li uvjerenja koja formiramo izravno iz rezultata računalnih računanja deduktivno utemeljena uvjerenja? Prvo od ovih pitanja ne uključuje ništa specifično za računala,i stoga se vraća na pitanje raspravljeno u gornjem odjeljku 3 (B) o numeričkoj indukciji. Drugo će pitanje biti ispitano u nastavku.

Filozofsku raspravu o statusu računalnih dokaza uvelike je potaknuo Appel i Hakenov računalni dokaz teoreme o četiri boje 1976. U svom (1979) Tymoczko kontroverzno tvrdi da je matematičko znanje temeljeno na dokazima računala u osnovi empirijsko u karakteru. To je zato što takvi dokazi nisu a priori, nisu sigurni, ne mogu se ispitati i ne mogu ih ispitati ljudski matematičari. Prema svim tim aspektima, prema Timočkom, računalni dokazi nisu različiti od tradicionalnih dokaza olovke i papira. U vezi s istraživanjem, Tymoczko piše:

Dokaz je konstrukcija koju racionalni agent može pregledati, pregledati, provjeriti. Često kažemo da dokaz mora biti jasan ili sposoban da se provjerava rukom. To je izložba, izvedba zaključka, i ne treba joj ništa izvan sebe da bude uvjerljivo. Matematičar pregledava dokaz u cijelosti i na taj način saznaje zaključak. (Tymoczko 1979, 59)

Pretpostavimo radi argumentacije da je dotični računalni dokaz deduktivno ispravan, ali isto tako nije moguć u gornjem smislu. Da li naša odluka da se oslanjamo na izlaz računala ovdje predstavlja nedodirljivu metodu? Jedan od načina gledanja ove vrste primjera je vožnja klina između deduktivne metode i našeg nedodušnog pristupa rezultatima te metode. Usporedite, primjerice, da vam je stručni matematičar rekao određeni matematički rezultat (s dobrim rezultatima). Je li to 'nedodušna metoda'? [12]

3.4 Vjerojatni dokazi

Postoji mali, ali sve veći podskup matematičkih metoda koji su u osnovi vjerojatne naravi. U kontekstu opravdanja, ove metode ne nameću deduktivno njihov zaključak, već utvrđuju da postoji (često precizno određena) velika vjerojatnost da je zaključak istinit. Filozofska rasprava o tim metodama započela je s Fallisom (1997, 2002), dok je Berry (2019) koristan nedavni doprinos raspravi.

Jedna vrsta vjerojatne metode povezuje se s ranijom raspravom o eksperimentalnoj matematici jer uključuje provođenje eksperimenata u prilično bukvalnom smislu. Ideja je iskoristiti procesorsku snagu DNK za učinkovito stvaranje masovno paralelnog računala za rješavanje određenih inače neizrecivih kombinatoričkih problema. Najpoznatiji od njih je problem "Putnički prodavač", koji uključuje utvrđivanje postoji li neki mogući put kroz čvorove grafikona spojene jednosmjernim strelicama koje svaki čvor posjećuju točno jedanput. Adleman (1994) pokazuje kako se problem može kodirati korištenjem lanaca DNA koji se zatim mogu spojiti i rekombinirati korištenjem različitih kemijskih reakcija. Pojava nekih dužih nizova DNA na kraju postupka odgovara pronalaženju putanje otopine kroz graf. Vjerojatna razmatranja najočitije dolaze u slučaju kada više nisu pronađeni lanci DNK. To ukazuje da ne postoji staza kroz graf, ali čak i ako se eksperiment pravilno provodi, podrška ovdje nedostaje sa punom sigurnošću. Jer su male šanse da postoji rješenje, ali da ga ne uspije kodirati bilo kojim DNK nizom na početku eksperimenta.

Postoje i vjerojatne metode u matematici koje nisu gore eksperimentalne. Na primjer, postoje svojstva složenih (tj. Ne-pravih) brojeva za koja se može pokazati da drže u odnosu na otprilike polovinu brojeva manjih od određenog složenog broja. Ako su odabrani nasumično brojni brojevi manji od N i nijedan od njih nema taj odnos prema N, onda slijedi da je N gotovo sigurno primarni. Razina vjerojatnosti ovdje se može precizno izračunati, a može se povisiti koliko je potrebno odabirom više brojeva „svjedoka“za testiranje.

Imajte na umu da ove vrste vjerojatnih metoda sadrže obilje čisto deduktivnih obrazloženja. Zapravo, u drugom primjeru činjenica da je vjerojatnost da će N biti prvotno99 je postavljena čisto deduktivno. Bez obzira na to, u matematičkoj zajednici postoji opći konsenzus da takve metode nisu prihvatljiva zamjena za deduktivni dokaz zaključka. Fallis (1997, 2002) tvrdi da to odbacivanje nije razumno, jer svako svojstvo vjerojatnih metoda za koje se može ukazati da su problematične dijeli se s nekim dokazima koje matematička zajednica prihvaća. Fallisov fokus usredotočen je na utvrđivanje istine kao ključnog epiztemskog cilja matematike. Međutim, čini se vjerojatnim da je glavni razlog nezadovoljstva matematičara vjerojatnim metodama taj što ne objašnjavaju zašto su njihovi zaključci istiniti. Dodatno, Easwaran tvrdi, protiv Fallisa, da postoji imovina koju on naziva "prenosivost", da vjerojatni dokazi nedostaju i prihvatljivi dokazi (Easwaran 2009; Jackson 2009). Fallis (2011) je odgovor na neke od tih prigovora.

S druge strane, mogu postojati slučajevi kada je gola istina ili neistinitost tvrdnje važna čak i bez popratnog obrazloženja. Na primjer, moglo se zamisliti situaciju u kojoj se razmatra važna i zanimljiva pretpostavka - recimo Riemannova hipoteza -, a koristi se probabilistička metoda koja pokazuje da je neki broj vrlo vjerovatno kontraplemerak za to. Zanimljivo je nagađati kakva bi mogla biti reakcija matematičke zajednice na ovu situaciju. Hoće li raditi na pokušaju da se dokaže prestanak RH? Hoće li se nastaviti sve dok se ne izgradi rigorozni deduktivni dokaz kontra-primjera?

4. Sažetak / zaključci

Nije jasno zašto bi trebalo očekivati da će različite nedoduktivne metode korištene u matematici dijeliti bilo kakve supstancijalne značajke osim njihove nedodušljivosti. Filozofi koji gledaju ulogu nedodušnog rezonovanja u kontekstu otkrića često su razgovarali kao da postoji neko jedinstvo (na primjer, podnaslov Lakatosovim dokazima i odbacivanjima je "Logika matematičkog otkrića." da je niz nedoduktivnih metoda raznolik i raznorodan (Usporedi napomenu Stanislava Ulama da je „proučavanje nelinearne fizike slično proučavanju biologije ne slonova.“)

Rad suvremenih filozofa matematike nastavlja gurati proučavanje nedodirljivih matematičkih metoda u novim smjerovima. Jedno od područja interesa su „matematičke prirodne vrste“i može li se takav pojam koristiti za utemeljenje upotrebe analogije u matematičkom zaključivanju (Corfield 2004 [Other Internet Resources]). Drugo područje koje se istražuje je pretpostavljena uloga heurističkih principa u matematici. (Veliki dio ovog djela seže do Pólya (1945).)

Pozadinsko pitanje svih ovih rasprava odnosi se na opseg u kojem svaka određena nedoduktivna metoda igra ključnu ulogu u opravdavajućim matematičkim praksama. Ovo se pitanje postavlja i na lokalnoj i na globalnoj razini. Na lokalnoj razini, određeni dio obrazloženja koji opravdava određeni rezultat može biti neizbježno nedaduktivan, ali rezultat se može uspostaviti i nekim drugim, čisto deduktivnim obrazloženjem. Na globalnoj razini može se dogoditi da je naše jedino opravdanje za određene matematičke tvrdnje neprivlačno. Do koje je mjere naša primjena nedaduktivnih metoda zbog ograničenja u praksi, a ne u načelu ograničenja, ostaje pitanje za daljnje istraživanje.

Bibliografija

  • Adleman, L., 1994, "Molekularno računanje rješenja kombinacijskih problema", Znanost, CCLXVI: 1021–1024.
  • Andersen, L., 2018, "Prihvatljive praznine u matematičkim dokazima", Sinteza, URL = ,
  • Avigad, J., 2006, "Matematička metoda i dokaz", Synthese, 153: 105–159.
  • –––, 2007, „5 pitanja“, iz Filozofske matematike: 5 pitanja, V. Hendricks i H. Leitgeb (ur.), Kopenhagen: Automatic Press, str. 1–10.
  • Azzouni, J., 2013., "Odnos derivacija u umjetnim jezicima prema uobičajenom rigoroznom matematičkom dokazu", Philosophia Mathematica, 21: 247–254.
  • –––, 2013, „Vidimo da su neki dijagramski dokazi savršeno strogi“, Philosophia Mathematica, 21: 323–338.
  • Baker, A., 2007, "Postoji li problem indukcije u matematici?", U Matematičkom znanju, M. Leng, A. Paseau i M. Potter (ur.), Oxford: Oxford University Press, str. 59– 73
  • –––, 2008, „Eksperimentalna matematika“, Erkenntnis, 68: 331–344.
  • Berry, D., 2016, „Dokaz i vrline zajedničke istrage“, Philosophia Mathematica, 26: 112–130.
  • –––, 2019., „Treba li matematičari igrati kockice?“, Logique et Analyze, 246: 135–160.
  • Borwein, J., D. Bailey, 2003, Matematika eksperimentom: Prihvatljiva Obrazloženje za 21 st Century, Natick, MA: AK Peters.
  • –––, 2004., Eksperimentacija u matematici: Računarski putevi do otkrića, Natick, MA: AK Peters.
  • –––, 2015, „Eksperimentalna matematika kao izmjenjivač ontoloških igara: Utjecaj modernih alata za matematičko računanje na matematiku u ontologiji“, u Matematici, supstanci i pretpostavci, E. Davis i P. Davis (ur.), Springer, s. 25–68.
  • Brown, J., 2008, Filozofija matematike: suvremeni uvod u svijet dokaza i slika, drugo izdanje, New York: Routledge.
  • Burgess, J., 1992, „Dokazi o dokazima: obrana klasične logike. 1. dio: Ciljevi klasične logike”, u Dokazivanju, logici i formalizaciji, M. Detlefsen (ur.), London i New York: Routledge, str. 8–23.
  • Carroll, L. [CL Dodgson], 1895., "Što je kornjača rekla Ahilu", Mind, 4: 278-280.
  • Corfield, D., 2003, prema filozofiji stvarne matematike, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Courant, R. i H. Robbins, 1941., što je matematika?, Oxford: Oxford University Press.
  • Crandall, R., i C. Pomerance, 2001., Prime Numbers: Computational Perspective, New York: Springer-Verlag.
  • De Toffoli, S., i V. Giardino, 2014, “Oblici i uloge dijagrama u teoriji čvorova”, Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
  • De Toffoli, S., 2017, „Chasing“dijagram: upotreba vizualizacija u algebarskom rezoniranju “, Pregled simboličke logike, 10: 158–186.
  • Delariviere, S., i Van Kerkhove, B., 2017, „Umjetni prigovor matematičara: istraživanje (ne) mogućnosti automatizacije matematičkog razumijevanja“, u časopisu Humanizacija matematike i njezine filozofije, B. Sriraman (ur.), Springer International Publishing, str. 173–198.
  • Descartes, R., 1627–28, Pravila za usmjeravanje uma, u Descartesu: Selections, R. Eaton (tr.), New York: Sinovi Charlesa Scribnera, 1927., str. 38–83.
  • Detlefsen, M. (ur.), 1992, Proof, Logic and Formalization, London and New York: Routledge.
  • Dummett, M., 1978, Wang-ov paradoks, u Istini i drugim Enigmama, London: Duckworth, str. 248-268.
  • Easwaran, K., 2005, „Uloga aksioma u matematici“, Erkenntnis, 68: 381–391.
  • –––, 2009., „Vjerojatni dokazi i prenosivost“, Philosophia Mathematica, 17: 341–362.
  • Echeverria, J., 1996, “Empirijske metode u matematici. Studija slučaja: Goldbachova koncepcija “, u španjolskim studijama filozofije znanosti, G. Munévar (ur.), Dordrecht: Kluwer, str. 19–55.
  • Fallis, D., 1997, "Epistemski status vjerojatnog dokaza", časopis za filozofiju, 94 (4): 165–186.
  • –––, 2002, „Što matematičari žele? Vjerojatni dokazi i epiteljski ciljevi matematičara “, Logique et Analyze, 45: 373–388.
  • –––, 2003, „Namjerne praznine u matematičkim dokazima“, Synthese, 134: 45–69.
  • –––, 2011, „Vjerojatni dokazi i kolektivni epiztemski ciljevi matematičara“, u Collective Epistemology, HB Schmid, D. Sirtes i M. Weber (ur.), Ontos Verlag, str. 157–176.
  • Fontanella, L., 2019, „Kako odabrati nove aksiome za teoriju skupova?“, U razmišljanjima o osnovama matematike, D. Sarikaya, D. Kant i S. Centrone (ur.), Springer Verlag.
  • Franklin, J., 1987., "Neodlučna logika u matematici", Britanski časopis za filozofiju znanosti, 38: 1–18.
  • Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: W. Koebner. Prevedeno kao Temelji aritmetike: Logičko-matematičko istraživanje koncepta broja, JL Austin, Oxford: Blackwell, drugo revidirano izdanje, 1974. Reprinted 1980.
  • Gallian, J., i M. Pearson, 2007, "Intervju s Doron Zeilberger", FOCUS (bilten Matematičkog udruženja Amerike), 27 (5): 14–17.
  • Giaquinto, M., 2007, Vizualno mišljenje u matematici: epistemološka studija, Oxford: Oxford University Press.
  • Gonthier, G., et al., 2008., “Formalno dokazivanje - teorem u četiri boje”, Obavijesti American Mathematical Society, 55 (11): 1382-1393.
  • Gonthier, G., 2013, „Strojno provjeren dokaz teorema o neobaveznim redoslijedom“, u Dokazivanju interaktivne teoreme: Zbornik radova 4. međunarodne konferencije, S. Blazy, C. Paulin-Mohring i D. Pichardie (ur.), Berlin / Heidelberg: Springer-Verlag, str. 163–179.
  • Haack, S., 1976, „Opravdanje odbitka“, um, 85: 112–119.
  • Jackson, J., 2009, "Randomizirani argumenti su prenosivi", Philosophia Mathematica, 17: 363-368.
  • Lakatos, I., 1976., Dokazi i osporavanja, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 1980, „Što dokazuje matematički dokaz?“, Iz matematike, znanosti i epistemologije (Imre Lakatos: Filozofski radovi, svezak 2), J. Worrall i G. Currie (ur.), Cambridge: Cambridge University Press, str. 61–69.
  • Lingamneni, S., 2017, „Možemo li razriješiti hipotezu kontinuuma?“, Sinteza, URL = <https://doi.org/10.1007/s11229-017-1648-9>.
  • Maddy, P., 1988, „Vjerovanje u aksiome. I i II”, časopis za simboličku logiku, 53 (2): 481–511, 736–764.
  • –––, 1997, naturalizam u matematici, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2001, „Neke prirodne napomene o postavljenoj teoretskoj metodi“, Topoi, 20: 17–27.
  • –––, 2011, Braniti aksiomi: o filozofskim osnovama teorije skupa, Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, P., 2008, „Matematičko objašnjenje: zašto je to važno“, u Filozofiji matematičke prakse, P. Mancosu (ur.), Oxford: Oxford University Press, str. 134–149.
  • McEvoy, M., 2008, „Epistemološki status računalnih dokaza“, Philosophia Mathematica, 16: 374–387.
  • –––, 2013., „Eksperimentalna matematika, računala i A priori“, Synthese, 190: 397–412.
  • Mumma, J., 2010, „Dokazi, slike i euklid“, Synthese, 175: 255–287.
  • Paseau, A., 2015, „Znanje matematike bez dokaza“, Britanski časopis za filozofiju znanosti, 66: 775–799.
  • Pólya, G., 1945, kako to riješiti, Princeton: Princeton University Press.
  • Schlimm, D., 2013., „Aksiomi u matematičkoj praksi“, Philosophia Mathematica, 21: 37–92.
  • Shin, S., O. O. Lemon, 2008, "Dijagrami", Stanfordska enciklopedija filozofije (zima 2008, izdanje), Edward N. Zalta (ur.), URL = ,
  • Sorensen, HK, 2010, „Istraživačka eksperimentacija u eksperimentalnoj matematici: svjetlucanje u algoritmu PSLQ“, u Filozofiji matematike: Sociološki aspekti i matematička praksa, B. Lowe i T. Muller (ur.), London: College Publications, pp 341–360.
  • –––, 2016., „Kraj dokaza“? Integracija različitih matematičkih kultura kao eksperimentalne matematike dolazi s vremenom “, u Matematičkim kulturama, B. Larvor (ur.), Cham: Birkhauser, str. 139–160.
  • Steiner, M., 1993., „Pregled dokaza, logike i formalizacije“, časopis za simboličku logiku, 58 (4): 1459–1462.
  • Tennant, N., 2005, „Kružnost pravila i opravdanje odbitka“, Filozofski tromjesečnik, 55: 625–648.
  • te Riele, H., 1987, „O znaku razlike p (x) –Li (x)“, Matematika računanja, 48: 323–328.
  • Tymoczko, T., 1979, "Problem u četiri boje i njegov filozofski značaj", časopis za filozofiju, 76 (2): 57–83.
  • van Bendegem, J., 1998, "Što je, ako ništa, eksperiment u matematici?", u filozofiji i mnogim facama znanosti, D. Anapolitanos, i sur. (ur.), London: Rowman & Littlefield, str. 172–182.
  • van Kerkhove, B., i J. van Bendegem, 2008, „Pi na zemlji“, Erkenntnis, 68: 421–435.

Akademske alate

sep man ikona
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

  • Cilj i opseg časopisa Experimental Mathematics, koji je osnovao David Epstein 1992.
  • Filozofija matematike: Sociološki aspekti i matematička praksa, Benedikt Löwe i Thomas Müller (koordinacija).
  • Corfield, D., 2004., "Matematičke vrste ili biti rodbinski matematički" u arhivu PhilSci, Sveučilište u Pittsburghu.

Preporučeno: