Russell-ov Paradoks

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-08-25 04:38

Ulazna navigacija

• Sadržaj unosa
• Bibliografija
• Akademske alate
• Prijatelji PDF pregled
• Podaci o autoru i citiranju
• Povratak na vrh

Russell-ov paradoks

Prvo objavljeno: Fri Dec 8, 1995; suštinska revizija ned listopad 9, 2016

Russell-ov paradoks najpoznatiji je od logičkih ili set-teorijskih paradoksa. Poznat i kao Russell-Zermelo paradoks, paradoks nastaje unutar naivne teorije skupova razmatrajući skup svih skupova koji nisu sami članovi. Čini se da je takav skup član sam po sebi ako i samo ako nije član samog sebe. Odatle i paradoks.

Neki setovi, poput skupa svih čajnica, nisu sami članovi. Ostali setovi, poput skupa svih ne-čaša, članovi su sami. Nazovite skup svih skupova koji nisu članovi sami sebe „R“. Ako je R član sam po sebi, onda po definiciji ne smije biti član samog sebe. Slično tome, ako R nije član samog sebe, onda po definiciji mora biti član samog sebe.

Iako je to primijetio i Ernst Zermelo, proturječnost se nije smatrala važnom sve dok je Bertrand Russell nije samostalno otkrio u proljeće 1901. Paradoks je od tada potaknuo velik rad u logici, teoriji skupa i filozofiji i osnove matematike.

• 1. Paradoks
• 2. Povijest paradoksa
• 3. Rani odgovori na paradoks
• 4. Russell-ov paradoks u suvremenoj logici
• Bibliografija
• Akademske alate
• Ostali internetski resursi
• Povezani unosi

1. Paradoks

Centralno u bilo kojoj teoriji skupova je izjava uvjeta pod kojima se skupovi formiraju. Pored jednostavnog popisa članova skupa, prvotno se pretpostavljalo da se bilo koji dobro definirani uvjet (ili točno određeno svojstvo) može koristiti za određivanje skupa. Na primjer, ako je T svojstvo čajne čašice, tada se skup S, svih čašica može definirati kao S = {x: T (x)}, skup svih pojedinaca, x, tako da x ima svojstvo biti T. Za određivanje skupa može se upotrijebiti čak proturječna osobina. Na primjer, svojstvo Biti i T i T odrediti će prazan skup, a skup nema članova.

Preciznije, teorija naivnih skupova pretpostavlja takozvani naivni ili neograničeni aksiom razumijevanja, aksiom da će za bilo koju formulu φ (x) koja sadrži x kao slobodnu varijablu postojati skup {x: φ (x)} čiji su članovi upravo oni predmeti koji zadovoljavaju φ (x). Prema tome, ako formula φ (x) stoji za „x je prost“, tada će {x: φ (x)} biti skup pravih brojeva. Ako φ (x) stoji za "~ (x = x)", tada će {x: φ (x)} biti prazan skup.

No iz pretpostavke ovog aksioma proizlazi Russellova suprotnost. Na primjer, ako pustimo da φ (x) stoji za x ∈ x, a R = {x: ~ φ (x)}, tada je R skup čiji su članovi upravo oni objekti koji nisu članovi sami po sebi.

Je li R član sebe? Ako jest, onda mora ispunjavati uvjet da nije član sebe, pa nije. Ako nije, onda ne smije zadovoljiti uvjet da nije član sebe, i tako mora biti član samog sebe. Budući da se klasičnom logikom jedan ili drugi slučaj mora držati - ili je R član sam ili nije - proizlazi da teorija podrazumijeva kontradikciju.

Kao što nam Russell kaže, nakon što je primijenio istu vrstu zaključka pronađenog u Cantorinom dijagonalnom argumentu na „pretpostavljenu klasu svih zamislivih predmeta“, on je doveden u proturječje:

Sveobuhvatna klasa koju razmatramo, a koja treba obuhvatiti sve, mora se prigrliti kao jedan od svojih članova. Drugim riječima, ako postoji nešto poput "sve", onda je "sve" nešto i član je klase "sve". Ali normalno, klasa nije sama po sebi. Čovječanstvo, na primjer, nije čovjek. Sada formirajte skup svih klasa koji nisu sami članovi. Ovo je klasa: je li član samoga sebe ili ne? Ako jest, to je jedna od onih klasa koja nisu članovi sebe, tj. Nije član samog sebe. Ako nije, to nije jedna od onih klasa koja nisu članovi sebe, tj. To je član samog sebe. Dakle, od dvije hipoteze - da jest i da nije član samog sebe - svaka implicira svoju kontradiktornost. Ovo je kontradikcija. (1919, 136)

Standardni odgovori na paradoks pokušaju na neki način ograničiti uvjete pod kojima se formiraju skupovi. Cilj je obično oboje ukloniti R (i slične kontradiktorne skupove), a istovremeno zadržati sve ostale skupove potrebne za matematiku. To se često događa zamjenom neograničenog Aksioma razumijevanja s restriktivnijim aksiomom razdvajanja, odnosno s aksiomom koji je dao bilo koji (dosljedni) skup S i bilo koju formulu φ (x) s x slobodnim, postojat će skup {x ∈ S: φ (x)} čiji su članovi upravo oni članovi S koji zadovoljavaju φ (x). Ako sada pustimo da φ (x) stoji za formulu x ∉ x, ispada da odgovarajući skup, {x ∈ S: x ∉ x} neće biti kontradiktoran jer se sastoji samo od onih članova koji se nalaze unutar S koji nisu članovi sebe. Zbog toga skup ne uključuje sebe.

O raznim srodnim paradoksima raspravlja se u drugom poglavlju Uvoda u Whitehead i Russell (1910., drugo izd. 60-65.), Kao i u unosu o paradoksima i suvremenoj logici u ovoj enciklopediji.

2. Povijest paradoksa

Čini se da je Russell otkrio svoj paradoks u kasno proljeće 1901, radeći na svojim Načelima matematike (1903). Nije točno kada se dogodilo otkriće. Russell u početku navodi da je naišao na paradoks „u lipnju 1901.” (1944, 13). Kasnije izvještava da se otkriće dogodilo "u proljeće 1901" (1959, 75). Još kasnije izvještava da je naišao na paradoks, ne u lipnju, već u svibnju te godine (1969, 221). Cesare Burali-Forti, pomoćnik Giuseppea Peanoa, otkrio je sličnu antinomiju 1897. godine kada je primijetio da, budući da je skup ordinala dobro uređen, i on mora imati ordinal. Međutim, ovaj ordinal mora biti i element skupa svih ordinacija, a još veći od svakog takvog elementa.

Za razliku od paradoksa Burali-Fortija, Russell-ov paradoks ne uključuje ni ordinale ni kardinale, već se oslanja samo na primitivne pojmove uključenja i skupa. Zermelo je primijetio sličnu kontradikciju negdje između 1897. i 1902., Vjerojatno predviđajući Russela do nekih godina (Ebbinghaus i Peckhaus 2007, 43–48; Tappenden 2013, 336), iako Kanamori zaključuje da bi otkriće lako moglo biti već 1902 (Kanamori 2009, 411). U svakom slučaju, smatralo se da je paradoks od malene važnosti dok se ne shvati koliko je to štetno za temelje matematike Gottlob Fregea.

Russell je pisao Fregeu s vijestima o svom paradoksu 16. lipnja 1902. (Za odgovarajuću korespondenciju pogledajte Russell (1902) i Frege (1902) u Van Heijenoortu (1967).) Paradoks je bio značajan za Fregeov logički rad od, u stvari, pokazalo je da su aksiomi koje Frege koristi da bi formalizirao svoju logiku bili nedosljedni. Naime, Fregeov aksiom V zahtijeva da se izraz poput φ (x) smatra i funkcijom argumenta x i funkcijom argumenta φ. (Preciznije, Fregeov zakon kaže da je tijek vrijednosti pojma f identičan tijeku vrijednosti pojma g ako i samo ako se f i g slažu o vrijednosti svakog argumenta, tj. Ako i samo ako je za svaki objekt x, f (x) = g (x). Pogledajte odjeljak 2.4.1 unosa o Gottlob Frege u ovoj enciklopediji za više rasprava.) U stvari,upravo je ta dvosmislenost omogućila Russellu da konstruira R na takav način da je mogao biti i ne biti sam.

Russellovo pismo stiglo je baš kad je tiskan drugi svezak Fregeove Grundgesetze der Arithmetik (Osnovni zakoni aritmetike, 1893, 1903). Odmah shvativši poteškoće koje je paradoks predstavljao, Frege je Grundgesetzeu ubrzano dodao dodatak koji raspravlja o Russellovom otkriću. U prilogu Frege primjećuje da posljedice Russellovog paradoksa nisu odmah jasne. Na primjer, „Je li uvijek dopušteno govoriti o proširenju pojma klase? Ako ne, kako prepoznati iznimne slučajeve? Možemo li uvijek zaključiti iz podudaranja jedne koncepcije koja se podudara s onom druge, da svaki objekt koji spada pod prvi pojam, također spada pod drugi? Ovo su pitanja ", napominje Frege," postavljena komunikacijom g. Russella "(1903, 127). Zbog tih briga,Frege se na kraju osjećao prisiljen napustiti mnoga svoja stajališta o logici i matematici.

Unatoč tome, kako Russell ističe, Frege je vijest o paradoksu dočekao nevjerojatnom hrabrošću:

Dok razmišljam o djelima integriteta i milosti, shvaćam da ne postoji ništa što bi se moglo uspoređivati s Fregeovom predanošću istini. Cijelo njegovo životno djelo bilo je na rubu dovršetka, velik dio njegovog rada bio je zanemaren u korist muškaraca beskrajno manje sposobnih, uskoro je trebao objaviti svoj drugi svezak, a kad je otkrio da je njegova temeljna pretpostavka bila u zabludi, odgovorio je s intelektualni užitak očito potiskuje bilo kakav osjećaj osobnog razočaranja. Bilo je to gotovo nadljudsko i pokazatelj onoga za što su muškarci sposobni ako je njihova predanost kreativnom radu i znanju, a ne grubim naporima da dominiraju i budu poznati. (Citirano u van Heijenoort (1967), 127)

Naravno, i Russell je bio zabrinut za posljedice kontradikcije. Saznavši da se Frege s njim složio o značaju rezultata, odmah je počeo pisati prilog za svoja uskoro objavljena Načela matematike. Dodatak "Dodatak B: Doktrina tipova", dodatak predstavlja Russell-ov prvi pokušaj pružanja principijelne metode za izbjegavanje onoga što je uskoro trebalo postati poznato kao "Russell-ov paradoks."

3. Rani odgovori na paradoks

Značaj Russellovog paradoksa može se vidjeti nakon što se shvati da, koristeći klasičnu logiku, sve rečenice slijede iz kontradikcije. Na primjer, uz pretpostavku da su i P i ~ P, bilo koji proizvoljni prijedlog, Q, može se dokazati na sljedeći način: iz P dobivamo P ∨ Q pravilom dodavanja; tada iz P ∨ Q i ~ P dobivamo Q pravilom Disjunktivnog silogizma. Budući da je teorija skupova u osnovi svih grana matematike, mnogi su se počeli zabrinjavati da će nedosljednost teorije skupova značiti da nijedan matematički dokaz ne može biti potpuno pouzdan. Samo uklanjanjem Russell-ovog paradoksa matematika kao cjelina mogla je dobiti dosljednost.

Russell-ov paradoks u konačnici proizlazi iz ideje da se za određivanje skupa može koristiti bilo koji uvjet ili svojstvo. Na primjer, svojstvo ravnomjernog dijeljenja samo na sebe i broj jedan razlikuje skup pravih brojeva od skupa cijelih brojeva. Svojstvo posjedovanja mliječnih žlijezda razlikuje skup sisavaca od gmazova, ptica i drugih živih organizama. Svojstvo da su kvadratni, a ne kvadratni (ili bilo koji drugi spoj suprotnih svojstava) određuje prazan skup, i tako dalje.

Jedan rani skeptik vezan za neograničeni aksiom razumijevanja (ili apstrakcije) bio je začetnik moderne teorije skupova, Georg Cantor. Još prije Russellovog otkrića, Cantor je odbacio neograničeno razumijevanje u korist onoga što je, ustvari, razlika između skupova i klasa, priznajući da su neka svojstva (poput imovine redovnog) stvorila zbirke koje su jednostavno bile prevelike da bi bile postavlja i da bi svaka pretpostavka suprotnog dovela do nedosljednosti. (Pojedinosti se mogu naći u Moore (1982), Hallett (1984) i Menzel (1984).)

Russell-ov vlastiti odgovor na paradoks uslijedio je s njegovom primjereno nazvanom teorijom tipova. Vjerujući da je samopojava u središtu paradoksa, Russellova osnovna ideja bila je da možemo izbjeći predanost R-u (skup svih skupova koji nisu sami članovi) uređivanjem svih rečenica (ili, točnije, svih prijedloga funkcija, funkcije koje daju prijedloge kao njihove vrijednosti) u hijerarhiju. Tada je moguće uputiti na sve objekte za koje je određeno stanje (ili predikat) samo ako su svi na istoj razini ili istog tipa.

Ovo rješenje Russellovog paradoksa velikim dijelom je motivirano usvajanjem takozvanog principa začaranog kruga. Načelno načelo kaže da se nijedna propozicijska funkcija ne može definirati prije navođenja opsega primjene funkcije. Drugim riječima, prije nego što se funkcija može definirati, prvo morate navesti točno one objekte na koje će se funkcija primjenjivati (domena funkcije). Na primjer, prije nego što definiramo predikat „je primarni broj“, prvo treba definirati kolekciju objekata koji eventualno mogu zadovoljiti ovaj predikat, naime skup prirodnih brojeva, N.

Kao što objašnjavaju Whitehead i Russell,

Analiza paradoksa koje treba izbjegavati pokazuje da svi oni potječu iz nekakvog začaranog kruga. Zanimljivi krugovi u pitanju proizlaze iz pretpostavke da zbirka predmeta može sadržavati članove koji se mogu definirati samo pomoću zbirke u cjelini. Tako će, na primjer, trebalo sadržavati prijedloge koji navode da su „sve prijedloge ili istinite ili neistinite“. Međutim, čini se da takva izjava ne bi mogla biti legitimna ukoliko se „sve prijedloge“ne odnose na već određenu zbirku, što ne može učiniti ako se nove prijedloge stvore izjavama o „svim prijedlozima“. Stoga ćemo morati reći da izjave o "svim prijedlozima" nemaju smisla. … Načelo koje nam omogućuje izbjegavanje nelegitimnih totaliteta može se utvrditi na sljedeći način:„Što god sve obuhvaća zbirka, ne smije biti ni jedna od zbirki“; ili, obrnuto: "Ako bi neki skup imao ukupan broj, članovi bi ga mogli definirati samo u smislu tog skupa, tada spomenuta zbirka nema ukupno." Nazvat ćemo ovo "načelom začaranog kruga", jer nam omogućuje da izbjegnemo začarane krugove koji su uključeni u pretpostavku o nelegitimnim ukupnostima. (1910., 2. izd. 37.)

Ako su Whitehead i Russell u pravu, slijedi da nijedan opseg primjene funkcije nikada neće moći uključiti nijedan objekt koji pretpostavlja sama funkcija. Kao rezultat, prijedloge će se funkcije (zajedno s njihovim odgovarajućim prijedlozima) organizirati u hijerarhiji vrste koju Russell predlaže.

Iako je Russell prvi put uveo svoju teoriju tipova u svojim Načelima matematike iz 1903. godine, odmah je prepoznao da je potrebno još posla jer je, čini se, njegov početni račun riješio neke paradokse, ali ne i sve. Među alternativama koje je smatrao bila je takozvana supstitucijska teorija (Galaugher 2013). To je zauzvrat dovelo do zrelijeg izraza teorije tipa pet godina kasnije u Russell-ovom članku iz 1908., „Matematička logika kao zasnovana na teoriji tipova“, a u monumentalnom djelu bio je koautor sa Alfredom North Whiteheadom, Principia Mathematica (1910, 1912, 1913). Russell-ova teorija tipa pojavljuje se u dvije verzije: „jednostavna teorija“iz 1903. i „razgranata teorija“iz 1908. Obe verzije kritizirane su kao previše ad hoc da bi uspješno eliminirale paradoks.

Kao odgovor na Russell-ov paradoks, David Hilbert je također proširio svoj program izgradnje konzistentnog, aksiomatičnog temelja za matematiku tako da je uključivao aksiomatični temelj za logiku i teoriju skupova (Peckhaus 2004). U osnovi ovog formalističkog pristupa ležala je ideja dopuštanja upotrebe samo konačnih, dobro definiranih i konstruktivnih objekata, zajedno s pravilima zaključivanja koja se smatraju apsolutno sigurnim.

Konačno, Luitzen Brouwer razvio je intuicionizam, čija je osnovna ideja bila da se ne može ustvrditi postojanje matematičkog objekta ako se ne može definirati postupak za njegovo konstruiranje.

Zajedno su svi ovi odgovori pomogli usredotočiti pozornost na veze između logike, jezika i matematike. Oni su također pomogli logičarima da razviju eksplicitnu svijest o prirodi formalnih sustava i vrsta metaloških i metamatskih matematičkih rezultata koji su se pokazali središnjim za istraživanje temelja logike i matematike u posljednjih stotinu godina.

4. Russell-ov paradoks u suvremenoj logici

Russell-ov paradoks ponekad se doživljava kao negativan razvoj - kao rušenje Fregeovog Grundgesetze-a i kao jedan od izvornih konceptualnih grijeha koji vodi do našeg protjerivanja iz kantorova raja. WV Quine opisuje paradoks kao "antinomiju" koja "priprema iznenađenje koje može biti prihvaćeno samo umanjenjem naše konceptualne baštine" (1966, 11). Quine se odnosi na ranije spomenuti princip Naive Razumijevanja. U simbolima, načelo kaže da

(NC) ∃ A ∀ x (x ∈ A ≡ φ),

pri čemu A nije slobodan u formuli φ. To kaže: "Postoji skup A takav da je za bilo koji objekt x, x element A i ako i samo ako je uvjet izražen sa φ". Russell-ov paradoks nastaje uzimajući φ kao formulu: x ∉ x.

Unatoč Quineovom komentaru, moguće je vidjeti Russell-ov paradoks u pozitivnijem svjetlu. I zbog jedne stvari, iako je stvar i dalje kontroverzna, kasnija istraživanja otkrila su da paradoks ne mora nužno kratko Fregeovo Fregeovo izvođenje aritmetike samo iz logike. Fregeova verzija NC-a (njegov Axiom V) jednostavno se može napustiti. (Pojedinosti potražite u članku o Fregeovoj teoremi.) S druge strane, Church daje elegantnu formulaciju jednostavne teorije tipova koja se pokazala plodonosnom čak i na područjima uklonjenim iz temelja matematike. (Za detalje pogledajte unos o Teoriji tipa.) Napokon,razvoj aksiomatskih (za razliku od naivnih) postavljenih teorija koje pokazuju različite genijalne i matematički i filozofski značajne načine suočavanja s Russellovim paradoksom otvorio je put zapanjujućim rezultatima u metamathemiji teorije skupova. Ovi rezultati uključuju Gödelove i Cohenove teoreme o neovisnosti aksioma izbora i Cantorinu hipotezu o kontinuumu. Pogledajmo otprilike kako se neke od ovih metoda - konkretno, takozvane "netipične" metode, bave Russellovim paradoksom.

Zermelo zamjenjuje NC sljedećom aksiomskom shemom odvajanja (ili Aussonderungsaxiom):

(ZA) ∀ A ∃ B ∀ x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ φ)).

Opet, kako bi se izbjegla kružnost, B ne može biti slobodan u φ. Ovo zahtijeva da x da bi mogao ući u B mora biti član postojećeg skupa A. Kao što bi se moglo zamisliti, za ovo je potreban niz dodatnih aksioma postavljanja, od kojih nijedan ne bi bio potreban da se NC drži.

Kako ZA izbjegava Russell-ov paradoks? Moglo bi se isprva pomisliti da to ne čini. Uostalom, ako dopustimo A biti V - cijeli svemir skupova - i φ biti x ∉ x, opet se pojavljuje kontradikcija. Ali u ovom slučaju, sva proturječnost pokazuje da V nije skup. Sve kontradikcije pokazuju da je "V" prazno ime (tj. Da nema referencu, da V ne postoji), jer se ontologija Zermelovog sustava sastoji isključivo od skupova.

Ista poanta može se navesti i na drugi način, uključujući relativizirani oblik Russellove argumentacije. Neka je B bilo koji skup. Po ZA, skup R _B = {x ∈ B: x ∉ x} postoji, ali ne može biti element B. Jer ako je to element B, onda se možemo upitati je li to element R _B ili ne; i to je ako i samo ako nije. Tako nešto, naime R _B, "nedostaje" iz svakog skupa B. Dakle, V nije skup, jer ništa ne može nedostajati V. Ali primijetite sljedeću suptilnost: za razliku od prethodnog argumenta koji uključuje izravnu primjenu Aussonderungs na V, ovaj argument nagovještava ideju da, iako V nije a postavljeno, "V" nije prazno ime. Sljedeća strategija rješavanja Russellovog paradoksa temelji se na ovom nagovještaju.

Netipična metoda Johna von Neumanna (1925.) za bavljenje paradoksima, a posebno Russellov paradoks, jednostavna je i genijalna. Von Neumann uvodi razliku između članstva i nečlanstva i na temelju toga razlikuje skupine i klase. Objekt je član (simpliciter) ako je član neke klase; a nečlan je ako nije član nijedne klase. (Zapravo, von Neumann razvija teoriju funkcija, uzetu kao primitivnu, a ne klasu, pri čemu u skladu s razlikovanjem član / nečlan postoji razlika između predmeta koji može biti argument neke funkcije i onoga koji ne može. njegov moderni oblik, zbog Bernaysa i Gödela, to je jednoznačna teorija nastave.)

Setovi su tada definirani kao članovi, a ne-članovi su označeni kao "odgovarajuće klase". Tako, na primjer, Russell-ova klasa, R, ne može biti pripadnik nijedne klase, i stoga mora biti odgovarajuća klasa. Ako se pretpostavlja da je R element klase A, onda iz jednog od Neumannovih aksioma proizlazi da R nije ekvivalentan V. Ali R je ekvivalentan V i stoga nije element A. Dakle, von Neumannova metoda usko je povezana s gore navedenim rezultatom o skupu _RB, za proizvoljni B. Metoda Von Neumanna, dok su je divili likovi Gödela i Bernaysa, posljednjih je godina podcijenjena.

Quine (1937) i (1967) na sličan način pružaju još jednu netipičnu metodu (slovom, ako ne i duhom) blokiranje Russellovog paradoksa i onu koja je obiluju zanimljivim anomalijama. Quineova osnovna ideja je uvesti slojeviti aksiom razumijevanja. U stvari, aksiom blokira kružnost uvodeći hijerarhiju (ili stratifikaciju) koja je na neki način slična teoriji tipa, a drugačija. (Pojedinosti se mogu naći u unosu Quine's New Foundations.)

Nasuprot Zermelovoj, von Neumannovoj i Quineovoj strategiji, koja je u izvjesnom smislu čisto postavljena teoretski, također je bilo pokušaja izbjegavanja Russellovog paradoksa mijenjanjem temeljne logike. Bilo je mnogo takvih pokušaja i nećemo ih pregledati sve, ali jedan se ističe da su u ovom trenutku i radikalni i pomalo popularni (mada ne i kod postavljenih teoretičara kao takvih): ovo je parakonsistentni pristup, koji ograničava cjelokupni učinak izolirane suprotnosti na čitavu teoriju. Klasična logika nalaže da svaka suprotnost trivializira teoriju čineći svaku rečenicu teorije dokazivom. To je stoga što je, u klasičnoj logici, teorema sljedeće:

(Prim. Falso Quadlibet) A ⊃ (~ A ⊃ B).

Sada, gotovo jedini način da se izbjegne EFQ je odustati od disjunktivnog silogizma, to jest, s obzirom na uobičajene definicije veznika, modus ponens! Stoga je mijenjanje osnovne logike osjećanja na ovaj način zaista radikalno - ali moguće. Nažalost, čak i odustajanje od EFQ-a nije dovoljno za zadržavanje nazora NC-a. Isto tako, treba se odreći sljedeće teoreme osnovne logike osjetljivosti:

(Kontrakcija) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

Tada se može tvrditi da NC vodi izravno, ne samo do izolirane suprotnosti, već do trivijalnosti. (Za argument da je to tako, pogledajte zapis o Curry-ovom paradoksu, odjeljak 2.2. Također imajte na umu da nije dovoljno samo zadržati naziv „modus ponens“, već i samo pravilo koje postaje modificirano unutar netradicionalne logike.) Stoga se čini da patnje NC-a nisu ograničene na Russell-ov paradoks, već uključuju paradoks bez negacije zbog Curryja.

Drugi bi prijedlog mogao zaključiti da paradoks ovisi o instanci načela Isključene sredine, da je ili R član R ili nije. To je princip koji se odbacuje nekim neklasičnim pristupima logici, uključujući intuicionizam. Međutim, paradoks je moguće formulirati bez pozivanja na Izuzeću Sredine oslanjajući se umjesto na Zakon protivu proturječnosti. Radimo na sljedeći način: S obzirom na definiciju R slijedi da je R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R). Dakle, R ∈ R ⊃ ~ (R ∈ R). Ali isto tako znamo da je R ∈ R ⊃ R ∈ R. Dakle, R ∈ R ⊃ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Ali po Zakonu o nespokojnosti znamo da je ~ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Dakle, iz modus tollena zaključujemo da je ~ (R ∈ R). Istovremeno znamo i da, budući da je R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R), slijedi da je ~ (R ∈ R) ⊃ R ∈ R, a samim tim i da je R ∈ R. Stoga možemo zaključiti i R ∈ R i njegovu negaciju koristeći samo intuitivno prihvatljive metode.

Čini se, dakle, da zagovornici neklasične logike ne mogu tvrditi da su sačuvali NC u bilo kojem značajnom smislu, osim očuvanja čisto sintaktičke forme načela, a niti intuicionizam ni parakonzistentnost plus odustajanje od kontrakcije neće ponuditi prednost nad netipična rješenja Zermela, von Neumanna ili Quinea. (Daljnja rasprava može se naći u Meyer, Routley i Dunn (1979), Irvine (1992), Priest (2006, pogl. 18), Weber (2010), Weber (2012), te u zapisima o Curryjevom paradoksu (sec. 2.2) i parakonzistentna logika (odjeljak 2.3).)

Također je vrijedno napomenuti da Russell-ov paradoks nije bio jedini paradoks koji je uznemirio Russela i, samim tim, nije jedini motiv za ograničenja tipa koje nalazimo u Principia Mathematica. U svom ranijem radu, Principi matematike, Russell je posvetio poglavlje „Kontradikciji“(Russell-ov paradoks), predstavljajući ga u nekoliko oblika i odbacujući nekoliko odgovora koji nisu bili započeti. Potom signalizira da će "ubrzo" raspravljati o doktrini vrsta. To se ne događa za nekoliko stotina stranica, dok ne dođemo do samog kraja knjige, u Dodatku B! Tamo Russell predstavlja početnu, jednostavnu teoriju tipova, a ne teoriju tipova koju nalazimo u Principia Mathematica. Zašto je potrebna kasnija teorija? Razlog je taj što u Dodatku B Russell iznosi i drugi paradoks za koji smatra da se ne može riješiti jednostavnom teorijom tipova. Ovaj novi paradoks odnosi se na prijedloge, a ne na klase, i to je, zajedno sa semantičkim paradoksima, natjeralo Russell-a da formulira svoju razrađenu verziju teorije tipova.

Nova, parapozicijska verzija paradoksa nije imala značajnu ulogu u daljnjem razvoju logike i teorije skupova, ali je Russellu zbunjivala. Kao jedno, čini se da proturječi Cantorinoj teoremi. Russell piše: "Ne možemo priznati da postoji više raspona [klasa prijedloga] nego prijedloga" (1903, 527). Razlog je taj što se čini da postoji jednostavna, međusobna povezanost između klasa prijedloga i prijedloga. Na primjer, klasa m propozicija može se povezati s tvrdnjom da je svaki prijedlog u m istinit. Ovo, zajedno s fino zamišljenim principom individuacije za propozicije (tvrdeći, na primjer, da ako se klase m i n propozicija razlikuju, tada će svaki prijedlog o m biti različit od bilo kojeg prijedloga o n) dovodi do kontradikcije.

O ovom paradoksu raspravlja se relativno malo, iako je on odigrao ključnu ulogu u razvoju Crkvene logike osjećaja i denotacije. Iako imamo nekoliko teorija skupa za odabir, nemamo ništa poput dobro razvijene teorije russellijskih propozicija, premda su takve prijedloge središnje u pogledu milijanaca i teoretičara izravne reference. Čovjek bi pomislio da će takva teorija biti potrebna za temelje semantike, ako ne i za temelje matematike. Dakle, dok je jedan od Russellovih paradoksa doveo do plodnog razvoja temelja matematike, njegov „drugi“paradoks tek treba dovesti do nečeg sličnog u osnovama semantike. Biti siguran,Church (1974a) i Anderson (1989) pokušali su razviti Russeljevu intenzivnu logiku koja se temelji na razgraničenoj teoriji tipova, ali može se argumentirati da je razrušena teorija previše restriktivna da bi poslužila kao temelj za semantiku prirodnog jezika. Nedavno je bilo i pokušaja dobivanja početaka russellove intenzivne logike temeljenih na netipičnim teorijama skupova (Cantini 2004; Deutsch 2014). Prilično je ironično da iako su fino zrnate russellijske propozicije omiljene u filozofiji jezika, u formalnom razvoju intenzivne logike dominira Montagueova gramatika, s njezinom teorijskom teorijom prijedloga. Nedavno je bilo i pokušaja dobivanja početaka russellove intenzivne logike temeljenih na netipičnim teorijama skupova (Cantini 2004; Deutsch 2014). Prilično je ironično da iako su fino zrnate russellijske propozicije omiljene u filozofiji jezika, u formalnom razvoju intenzivne logike dominira Montagueova gramatika, s njezinom teorijskom teorijom prijedloga. Nedavno je bilo i pokušaja dobivanja početaka russellove intenzivne logike temeljenih na netipičnim teorijama skupova (Cantini 2004; Deutsch 2014). Prilično je ironično da iako su fino zrnate russellijske propozicije omiljene u filozofiji jezika, u formalnom razvoju intenzivne logike dominira Montagueova gramatika, s njezinom teorijskom teorijom prijedloga.

Također je vrijedno napomenuti da su brojni naizgled čisto postavljeni teorijski principi zapravo (primijenjeni) primjeri teorema čiste logike (tj. Teorije kvantifikacije prvog reda s identitetom)! Postoji (djelomični) popis njih u Kalishu, Montagueu i Maru (2000). Russell-ov paradoks primjer je T269 na ovom popisu:

(T269) ~ ∃ y ∀ x (Fxy ≡ ~ Fxx).

Čitajući dijadikalno predikatno slovo "F" kao "član je", to kaže da nije slučaj da postoji tako da je za bilo koji x, x član y ako i samo ako x nije član x. Znači li to da se Russell-ov paradoks svodi na T269?

Zasigurno dokaz T269 destilira suštinu Russellovog argumenta, njegov obrazac obrazloženja. Ali taj obrazac podliježe i beskonačnom popisu naoko neozbiljnih „paradoksa“poput poznatog paradoksa brijača koji brije sve, samo one koji se ne brije, ili slično, paradoksa dobroćudnog, ali učinkovitog Boga koji pomaže svima i samo oni koji sebi ne pomažu.

Kako se ovi „pseudo paradoksi“, kako ih ponekad nazivaju, razlikuju, ako uopće, od Russellovog paradoksa? Obrazac rezonovanja je isti, a zaključak - da ne postoji takav Brijač, nema tako učinkovitog Boga, ne postoji takav skup nečlanskih skupina - isti: takve stvari jednostavno ne postoje. (Međutim, kao što je pokazao von Neumann, nije potrebno ići toliko daleko. Metoda Von Neumanna upućuje nas da takve stvari kao R ne postoje, već samo da o njima ne možemo puno reći, jer R i slično ne mogu spadaju u proširenje bilo kojeg predikata koji se kvalificiraju kao klasa.)

Standardni odgovor na ovo pitanje je da se razlika nalazi u temi. Quine pita: "zašto se to [Russell-ov paradoks] smatra antinomijom, a brijački paradoks ne?"; i on odgovara, „Razlog je taj što je u našim navikama misli postojala prevladavajuća pretpostavka postojanja takve klase, ali ne i pretpostavka da postoji takav brijač“(1966, 14). Usprkos tome, psihološki razgovor o "navikama razmišljanja" nije osobito rasvjetljavajući. Nadalje, Russell-ov paradoks razumno postavlja pitanje kakvih se skupina nalazi; ali besmisleno je pitati se po takvim osnovama kao što je T269, koji brijači ili Bogovi postoje!

Ova presuda, međutim, nije sasvim fer prema fanovima Brijača ili T269 općenito. Inzistirat će na tome da pitanje koje postavlja T269 nije koji brijači ili bogovi postoje, već kakvi ne paradoksalni predmeti postoje. Ovo je pitanje gotovo isto kao i ono što je postavilo Russell-ov paradoks. Dakle, iz ove perspektive, odnos Barber-a i Russellovog paradoksa mnogo je bliži nego što su mnogi (slijedeći Quine) bili spremni dopustiti (Salmon 2013).

Primjećujemo da postoji logička formula prvog reda koja ima isti odnos s principom o _RB koji T269 ima prema Russellovom paradoksu. To je sljedeće:

(T273) ∀ z ∀ y (∀ x [Fxy ≡ (Fxz ∧ ~ Fxx)] ⊃ ~ Fyz).

(Uzeli smo slobodu proširiti brojanje korišteno u Kalishu, Montagueu i Maru (2000.) na T273.). Nisu svi paralelni teoretski skupovi na sličan način povezani s logičkim teoremima prvog reda. Paradoks Burali-Forti je primjer, jer pojam dobro uređenja nije elementarni; to jest, nije moguće odrediti prvog reda.

Russell-ov paradoks nikada nije prošao, ali nedavno je došlo do eksplozije interesa znanstvenika koji su se bavili istraživanjem matematičke logike i filozofsko-povijesnim studijama moderne logike. Pogled na sadržaj sveska iz 2004. Sto godina Russellovog paradoksa prikazuje istaknute matematičke i filozofske logike i povjesničare logike koji se prelijevaju paradoksom, predlažući nove načine povratka u Cantorov raj ili druge načine rješavanja problema. Njihova istraživanja uključuju radikalno nove načine izlaska iz dileme koju je paradoks postavio, nove studije teorija tipova (jednostavne i razgranate i njihove ekstenzije), nove interpretacije Russellovih paradoksa i konstruktivnih teorija, Russellovih paradoksa propozicija i njegovih vlastitih pokušaj netipične teorije (teorija supstitucije) i tako dalje.

Sve ovo podsjeća nas da plodonosan rad može proizaći iz najnevjerovatnijih zapažanja. Kao što je to izjavila Dana Scott, „Od početka se treba razumjeti da se Russell-ov paradoks ne može smatrati katastrofom. To i povezani paradoksi pokazuju da je naivan pojam kolekcija sveobuhvatno neodrživ. To je zanimljiv rezultat, u to nema sumnje “(1974, 207).

Bibliografija

• Anderson, C. Anthony, 1989., "Russellian Intensional Logic", u Joseph Almog, John Perry i Howard Wettstein (ur.), Teme iz Kaplana, Oxford: Oxford University Press, 67–103.
• Barwise, Jon, 1975. Dopuštene garniture i strukture, Berlin: Springer-Verlag.
• ––– i John Etchemendy, 1987. Lažljivac: esej o istini i kružnosti, Oxford: University of Oxford.
• ––– i Lawrence Moss, 1996. Vicious Circles, Stanford: CSLI Publications.
• Bealer, George, 1982. Kvaliteta i koncept, New York: Oxford University Press.
• Beaney, Michael, 2003. „Russell i Frege“, u Nicholasu Griffinu (ur.), Cambridge Companion Bertrandu Russellu, Cambridge: Cambridge University Press, 128–170.
• Cantini, Andrea, 2004. "O russeljevskom paradoksu o prijedlozima i istini", u Godehardu Link (ur.) (2004.) Sto godina Russellovog paradoksa, Berlin i New York: Walter de Gruyter, 259–284.
• –––, 2009. „Paradoksi, samo referenca i istina u 20. stoljeću“, u Dov M. Gabbay i John Woods (ur.) (2009) Priručnik povijesti logike: svezak 5 - Logija od Russella do Crkve, Amsterdam: Elsevier / Sjeverna Holandija, 875–1013.
• Crkva, Alonzo, 1974a. „Russellian jednostavna teorija tipa“, Zbornik i adresa Američkog filozofskog udruženja, 47: 21–33.
• –––, 1974b. „Teorija skupa univerzalnim setom“, Zbornik radova Tarski simpozij, 297–308; Repr. u International Logic Review, 15: 11–23.
• –––, 1978. „Usporedba Russellove rezolucije semantičkih antinomija s onom Tarski“, Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760; Repr. u AD Irvine, Bertrand Russell: Kritičke procjene, god. 2, New York i London: Routledge, 1999, 96-112.
• Coffa, Alberto, 1979. "Skromno porijeklo Russellovog paradoksa", Russell, 33–34: 31–7.
• Copi, Irving, 1971. Teorija logičkih tipova, London: Routledge i Kegan Paul.
• Demopoulos, William i Peter Clark, 2005. "Logika Fregea, Dedekinda i Russella", u Stewart Shapiro (ur.), Priručnik za filozofiju matematike i logike Oxforda, Oxford: Oxford University Press, 129–165.
• Deutsch, Harry, 2014. "Rezolucija nekih paradoksa prijedloga", analiza, 74: 26-34.
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter i Volker Peckhaus, 2007. Ernst Zermelo: Pristup njegovom životu i radu, Berlin: Springer-Verlag.
• Forster, TE, 1995. Teorija skupa s univerzalnim setom, 2. izd., Oxford: Clarendon Press.
• Frege, Gottlob, 1902. „Pismo Russellu“, u Jean van Heijenoort (ur.), Od Fregea do Gödela, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967, 126–128.
• –––, 1903. „Russell Paradox“, u Gottlob Frege, Osnovni zakoni aritmetike, Berkeley: University of California Press, 1964, 127–143; skraćeni i repr. u AD Irvine, Bertrand Russell: Kritičke procjene, god. 2, New York i London: Routledge, 1999, 1–3.
• Gabbay, Dov M. i John Woods (ur.), 2009. Priručnik povijesti logike: svezak 5 - Logija od Russella do crkve, Amsterdam: Elsevier / North Holland.
• Galaugher, JB, 2013. „Zamijenjena nerazriješena„ nesolbilija “, Russell, 33: 5–30.
• Garciadiego, A., 1992. Bertrand Russell i porijeklo skupa teoretskih „Paradoksa“, Boston: Birkhäuser.
• Grattan-Guinness, I., 1978. "Kako je Bertrand Russell otkrio svoj paradoks", Historia Mathematica, 5: 127–37.
• –––, 2000. Potraga za matematičkim korijenima: 1870–1940, Princeton i Oxford: Princeton University Press.
• Griffin, Nicholas (ur.), 2003. The Cambridge Companion Bertrandu Russellu, Cambridge: Cambridge University Press.
• –––, 2004. „Povijest Russellovog paradoksa“, u Godehardu Link (ur.), Sto godina Russellovog paradoksa, Berlin i New York: Walter de Gruyter, 349–371.
• ––– Bernard Linsky i Kenneth Blackwell (ur.), 2011. Principia Mathematica u 100, Hamilton, ON: Istraživački centar Bertrand Russell; također objavljeno kao Posebno izdanje, svezak 31, broj 1 od Russell-a.
• Hallett, Michael, 1984. Kantorijanska teorija skupa i ograničenje veličine, Oxford: Clarendon.
• Halmos, Paul R., 1960. Teorija naivnih skupova, Princeton: D. van Nostrand.
• Irvine, AD, 1992. „Praznine, propuhi i paradoks“, Kanadski časopis za filozofiju (dopunski svezak), 18: 273-299.
• ––– (ur.), 2009. Filozofija matematike, Amsterdam: Elsevier / North Holland.
• Kanamori, Akihiro, 2004. „Zermelo i teorija skupa“, Bilten simboličke logike, 10: 487–553.
• –––, 2009. „Postavljena teorija od Cantor do Cohena“, u AD Irvine (ur.), Filozofija matematike, Amsterdam: Elsevier / North Holland, 395–459.
• Kalish, Donald, Richard Montague i Gary Mar, 2000. Logika: Tehnike formalnog razmišljanja, 2. izd., New York: University of Oxford.
• Klement, Kevin, 2005. „Podrijetlo verzije propozicijskih funkcija Russellovog paradoksa“, Russell, 24: 101–132.
• –––, 2014., „Paradoks i Russellova teorija nepotpunih simbola“, Filozofske studije, 169: 183–207.
• Landini, Gregory, 2006. "Ulazi i dijelovi Fregeova puta", Philosophia Mathematica, 14: 1–25.
• –––, 2013. „Zermelo“i „Russellov paradoks: Postoji li univerzalni skup?“Philosophia Mathematica, 21: 180–199.
• Levy, A., 1979. Osnovna teorija skupova, Berlin: Springer-Verlag; New York: Heidelberg.
• Link, Godehard (ur.), 2004. Sto godina Russellovog paradoksa, Berlin i New York: Walter de Gruyter.
• Linsky, Bernard, 1990. "Je li aksiom reducibilnosti bio princip logike?" Russell, 10: 125–140; Repr. u AD Irvine (ur.) (1999) Bertrand Russell: Kritičke procjene, 4 sveska, London: Routledge, vol. 2, 150–264.
• –––, 2002. „Rezolucija Russellovog paradoksa u Principia Mathematici,“Filozofske perspektive, 16: 395–417.
• Mares, Edwin, 2007. „Sama činjenica o teoriji ramificiranog tipa i aksiomu reducibilnosti“, časopis Notre Dame za formalnu logiku, 48: 237–251.
• Menzel, Christopher, 1984. "Cantor i paradoks Burali-Forti", Monist, 67: 92–107.
• Meyer, Robert K., Richard Routley i Michael Dunn, 1979. "Curryjev paradoks", analiza, 39: 124–128.
• Moore, Gregory H., 1982. Zermelov Axiom of Choice, New York: Springer.
• –––, 1988. „Korijeni Russellovog paradoksa“, Russell, 8: 46–56.
• Murawski, Roman, 2011. „O Chwistek-ovoj filozofiji matematike“, u Nicholas Griffin, Bernard Linsky i Kenneth Blackwell (ur.) (2011) Principia Mathematica u 100, u Russellu (Specijalno izdanje), 31 (1): 121–130.
• Peckhaus, Volker, 2004. „Paradoksi u Göttingenu“, u Godehardu Link (ur.), Sto godina Russellovog paradoksa, Berlin i New York: Walter de Gruyter, 501–515.
• Priest, Graham, 2006. U suprotnosti, 2. izd., New York: Oxford University Press.
• Quine, WVO, 1937. „Nova osnova matematičke logike“, Američki matematički mjesečnik, 44: 70–80; Repr. u WVO Quine, s logičkog stajališta, London: Harper & Row, 1953.
• –––, 1966. Putovi paradoksa i drugi eseji, New York: Slučajna kuća.
• –––, 1967. Teorija skupa i njegova logika, Harvard: Belknap Press.
• Russell, Bertrand, 1902. "Pismo Fregeu", u Jean van Heijenoort (ur.), Od Fregea do Gödela, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967, 124–125.
• –––, 1903. „Dodatak B: Doktrina vrsta“, Bertrand Russell, Principi matematike, Cambridge: Cambridge University Press, 1903, 523–528.
• –––, 1908. „Matematička logika na temelju teorije tipova“, Američki časopis za matematiku, 30: 222–262; Repr. u Bertrandu Russellu, Logika i znanje, London: Allen i Unwin, 1956, 59–102; i repr. u Jean van Heijenoort (ur.), od Fregea do Gödela, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967, 152–182.
• –––, 1919. Uvod u matematičku filozofiju, London: George Allen i Unwin Ltd, te New York: The Macmillan Co.
• –––, 1944. „Moj mentalni razvoj“, u Paul Arthur Schilpp (ur.), Filozofija Bertranda Russella, 3. izd., New York: Tudor, 1951., 3–20.
• –––, 1959. My Philosophical Development, London: George Allen i Unwin, i New York: Simon i Schuster.
• –––, 1967, 1968., 1969. Autobiografija Bertranda Russella, 3 sveska, London: George Allen i Unwin; Boston: Little Brown and Company (svezak 1 i 2), New York: Simon i Schuster (svezak 3).
• Salmon, N., 2013. „Bilješka o Kripkeovom paradoksu o vremenu i razmišljanju“, časopis Philosophy, 110: 213-220.
• Scott, Dana, 1974. "Axiomatizing teorija skupova", u TJ Jech (ur.), Zbornik radova Simpozije iz čiste matematike (svezak 13, dio 2), Američko matematičko društvo, 207-214.
• Shapiro, Stewart (ur.), 2005. Priručnik o filozofiji matematike i logike Oxforda, Oxford: Oxford University Press.
• Simmons, Keith, 2000. „Postupci, klase i proširenja: pristup singularnosti Russellovom paradoksu“, Filozofske studije, 100: 109–149.
• –––, 2005. „Berry and Russell without self-reference“, Filozofske studije, 126: 253–261.
• Sorensen, Roy A., 2002. „Filozofske implikacije logičkih paradoksa“, u Dale Jacquette (ur.), Companion to Philosophical Logic, New York: Oxford University Press, 131–142.
• –––, 2003. „Russell's Set“, u Kratkoj povijesti paradoksa, New York: Oxford University Press, 316–332.
• Stevens, Graham, 2004. „Od Russellovog paradoksa do teorije presude: Wittgenstein i Russell o jedinstvu predloga“, Theoria, 70: 28–61.
• –––, 2005. Russellian porijeklo analitičke filozofije, London i New York: Routlege.
• Tappenden, Jamie, 2013. "Matematička i logička pozadina analitičke filozofije", u Michaelu Beaneyu (ur.) Priručnik o povijesti analitičke filozofije u Oxfordu, Oxford: Oxford University Press, 318–354.
• Urquhart, Alasdair, 1988. „Russell-ov Zig-Zagov put do ramificirane teorije tipova“, Russell, 8: 82–91.
• –––, 2003. „Teorija tipova“, u Nicholasu Griffinu (ur.), The Cambridge Companion Bertrandu Russellu, Cambridge: Cambridge University Press, 286–309.
• van Heijenoort, Jean (ur.), 1967. Od Fregea do Gödela: Izvorna knjiga iz matematičke logike, 1879-1931, Cambridge i London: Harvard University Press.
• von Neumann, John, 1925. „Axiomatilization of Theory Theory“, u Jean van Heijenoort (ur.), od Fregea do Gödela, Cambridgea i Londona: Harvard University Press, 1967, 393–413.
• Wahl, Russell, 2011. "Aksiom reducibilnosti", u Nicholas Griffin, Bernard Linsky i Kenneth Blackwell (ur.) (2011) Principia Mathematica u 100, u Russellu (specijalno izdanje), 31 (1): 45–62.
• Weber, Z., 2010. „Transfinitirani brojevi u teoriji parakonzistentnih skupova“, Pregled simboličke logike, 3: 71–92.
• –––, 2012. „Transfinitivni kardinali u teoriji parakonzistentnih skupova“, Pregled simboličke logike, 5: 269–293.
• Whitehead, Alfred North i Bertrand Russell, 1910, 1912, 1913. Principia Mathematica, 3 sveska, Cambridge: Cambridge University Press; drugo izdanje, 1925. (svezak 1), 1927. (Vols 2, 3); skraćen kao Principia Mathematica do * 56, Cambridge: Cambridge University Press, 1962.

Akademske alate

	Kako navesti ovaj unos.
	Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
	Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
	Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

• Bertrand Russell Archives
• Bertrand Russell Research Center
• Bertrand Russell Society
• Principia Mathematica: svezak 1 (Zbirka povijesne matematike Sveučilišta u Michiganu)
• Principia Mathematica: svezak 2 (Zbirka povijesne matematike Sveučilišta u Michiganu)
• Principia Mathematica: svezak 3 (Zbirka povijesne matematike Sveučilišta u Michiganu)
• Russell: časopis Bertrand Russell Studije
• Russell's Antinomy (Wolfram MathWorld)