Sanktpeterburški Paradoks

Sadržaj:

Sanktpeterburški Paradoks
Sanktpeterburški Paradoks

Video: Sanktpeterburški Paradoks

Video: Sanktpeterburški Paradoks
Video: Epikurov paradoks 2024, Ožujak
Anonim

Ulazna navigacija

  • Sadržaj unosa
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Prijatelji PDF pregled
  • Podaci o autoru i citiranju
  • Povratak na vrh

Sanktpeterburški paradoks

Prvo objavljeno u srpnju 30, 2019

Paradoks u Sankt Peterburgu uveo je Nicolaus Bernoulli 1713. I dalje je pouzdan izvor novih zagonetki i uvida u teoriju odluka.

Standardna verzija paradoksa Sankt Peterburga izvedena je iz igre u Sankt Peterburgu, koja se igra na sljedeći način: Fer kovanica se vrti dok se prvi put ne pojavi. U tom trenutku igrač pobjeđuje ($ 2 ^ n,) gdje je n broj koliko je novčića prebačeno. Koliko treba biti spreman platiti za igranje ove igre? Teoretičari odluka savjetuju da primijenimo princip maksimiranja očekivane vrijednosti. Prema ovom principu, vrijednost neizvjesne perspektive je ukupni zbroj dobiven množenjem vrijednosti svakog mogućeg ishoda s njegovom vjerojatnošću, a zatim zbrajanjem svih izraza (vidi zapis o normativnim teorijama racionalnog izbora: očekivana korisnost). U igri u St. Petersburgu lako je odrediti novčane vrijednosti ishoda i njihove vjerojatnosti. Ako novčić sleti u glavu, tada dobivate 2 USD,Ako sleti glave na drugi okret, dobit ćete 4 USD, a ako se to dogodi na trećem, osvojite 8 USD i tako dalje. Vjerojatnosti ishoda su (frac {1} {2}), (frac {1} {4}), (frac {1} {8}),…. Stoga je očekivana novčana vrijednost igre u Sankt Peterburgu

) početak {align} frac {1} {2} cdot 2 + / frac {1} {4} cdot 4 + / frac {1} {8} cdot 8 + / cdots & = 1 + 1 +1+ / cdots \& = / sum_ {n = 1} ^ { infty} lijevo (frac {1} {2} desno) ^ n / cdot 2 ^ n \& = / infty. / End {align})

(Neki bi rekli da se zbroj približava beskonačnosti, a ne da je beskonačan. O toj razlici ćemo raspravljati u odjeljku 2.)

„Paradoks“se sastoji u činjenici da čini se da naša najbolja teorija racionalnog izbora podrazumijeva da bi bilo racionalno platiti bilo koji konačni honorar za jednu priliku igrati igru u St. Petersburgu, iako je gotovo sigurno da će igrač igrati osvojiti vrlo skroman iznos. Vjerojatnost je (frac {1} {2}) da igrač osvoji ne više od 2 USD, i (frac {3} {4}) da on ili ona osvoji ne više od $ 4.

U strogo logičnom smislu, sankt Peterburg nije paradoks jer se ne izvodi nikakva formalna suprotnost. Međutim, tvrdnja da bi racionalni agent trebao platiti milijune ili čak milijarde za igranje ove igre čini se apsurdnim. Stoga se čini da u najmanju ruku imamo kontraprimjerak načelu maksimiziranja očekivane vrijednosti. Ako nas racionalnost prisili da likvidiramo svu svoju imovinu za jednu priliku da igramo igru Sankt Peterburga, tada se čini neprimjerenim za racionalno.

  • 1. Povijest St.
  • 2. Moderni Sankt Peterburg paradoks
  • 3. Nerealne pretpostavke?
  • 4. Ograničena uslužna funkcija?
  • 5. Zanemarite male vjerojatnosti?
  • 6. Teorija relativne očekivane korisnosti
  • 7. Igra Pasadena
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Ostali internetski resursi
  • Povezani unosi

1. Povijest St

Paradoks u St. Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis "[" Izlaganje nove teorije o mjerenju rizika "] 1738. Daniel Bernoulli je za problem saznao od svog brata Nikolaja II (1695–1726), koji je predložio ranu, ali nepotrebno složenu verziju paradoksa u pismu Pierreu Rémondu de Montmortu 9. rujna 1713. (za to i srodna pisma vidi J. Bernoulli 1975). Nicolaus je zamolio de Montmorta da zamisli primjer u kojem se kotrljaju obične kockice dok se ne pojavi 6:

[W] šešir je očekivanje B… ako A obeća B-u da će mu dati neke kovanice u ovom napredovanju 1, 2, 4, 8, 16 itd. Ili 1, 3, 9, 27 itd. Ili 1, 4, 9, 16, 25 itd. Ili 1, 8, 27, 64 umjesto 1, 2, 3, 4, 5 itd. Kao i prije. Iako većinom ovi problemi nisu teški, ipak ćete pronaći nešto najčudnije. (N. Bernoulli za Montmort, 9. rujna 1713.)

Čini se da Montmort nije odmah dobio Nicolausov bod. Montmort je odgovorio da su ti problemi

nemaju poteškoća, jedina je briga pronaći zbroj niza od kojih su brojnici u progresiji kvadrata, kocke itd., a nazivnici su u geometrijskoj progresiji. (Montmort u N. Bernoulli, 15. studenog 1713.)

Međutim, nikada nije izvršio nikakve kalkulacije. Da jest, otkrio bi da je očekivana vrijednost prve serije (1, 2, 4, 8, 16, itd.):

) sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {5 ^ {n-1}} {6 ^ n} cdot 2 ^ {n-1}.)

Za ovu seriju to i drži

) lim_ {n / do / infty} lijevo | / frac {a_ {n + 1}} {a_n} desno | / gt 1,)

pa je primjenom testa omjera lako provjeriti da li je serija različita. (Ovaj test otkrio je d'Alembert 1768. godine, pa bi moglo biti nepravedno kritizirati Montmorta što to nije vidio.) Međutim, matematički argument koji je iznio sam Nicolaus također je bio pomalo začaran i ne bi impresionirao suvremene matematičare. Dobra vijest je da je njegov zaključak bio točan:

Iz toga bi proizišlo da B mora dati A beskonačnu svotu i još više od beskonačnosti (ako mu je dopušteno tako govoriti) da bi mogao iskoristiti prednost da mu u ovom napredovanju daje neke kovanice 1, 2, 4, 8, 16 itd. (N. Bernoulli za Montmort, 20. veljače 1714.)

Sljedeći važan doprinos raspravi dao je Cramér 1728. godine. O Nicolausovom izvornom problemu čitao je u knjizi koju je objavio Montmort i predložio jednostavniju i elegantniju formulaciju u pismu Nicolausu:

Da bi slučaj bio jednostavniji pretpostavit ću da A baci u zrak komad novca, B se obvezuje da će mu dati novčić, ako strana Glava padne na prvi bacanje, 2, ako je samo drugi, 4, ako je 3. bacanje, 8, ako je 4. bacanje, itd. Paradoks se sastoji u tome da proračun daje ekvivalent koji A mora dati B beskonačnom iznosu, što bi izgledalo apsurdno. (Cramér za N. Bernoulli, 21. svibnja 1728.)

U istom je pismu Cramér predložio rješenje koje je revolucioniralo novo polje teorije odluka. Cramér je istaknuo da izbor racionalnog agenta ne bi trebao biti usmjereni na očekivanu novčanu vrijednost, već na "upotrebu" kojom "dobronamjerni ljudi" mogu zaraditi novac. Prema Craméru, dvadeset milijuna ne vrijedi više od deset milijuna, jer je deset milijuna dovoljno za zadovoljenje svih želja koje agent može razumno imati:

matematičari cijene novac razmjerno njegovoj količini, a muškarci dobrog razmjera s razmjernom uporabom koju od njega mogu koristiti. Ono što čini matematičko očekivanje beskonačnim, je ogromna svota koju sam u stanju dobiti ako strana Glava padne tek vrlo kasno, 100. ili 1000. bacanje. Sada ova svota, ako razumem kao razuman čovjek, nije više za mene, ne čini mi veće zadovoljstvo, ne angažira me više da prihvatim igru, nego ako bi to bilo samo 10 ili 20 milijuna kovanica. (21. svibnja 1728.)

Cramér koji je u ovom odlomku iznio Cramér može se generalizirati. Pretpostavimo da je gornja granica vrijednosti ishod jest (2 ^ m.) Ako je tako, da je ishod će se dobiti ako se novčić zemljišta glave na m -tog flip. To znači da će očekivana vrijednost svih beskonačno mnogih mogućih ishoda u kojima je novčić okrenut više od m puta biti konačna: To je (2 ^ m) veća vjerojatnost da će se to dogoditi, tako da ne može biti veća od (2 ^ m). Ovome moramo dodati agregiranu vrijednost prvih m mogućih ishoda, koja je očito konačna. Budući da je zbroj bilo koja dva konačna broja konačan, očekivana vrijednost Cramérove verzije igre u St. Petersburgu je konačna.

Cramér je bio svjestan da bi bilo sporno tvrditi da postoji gornja granica, iznad koje dodatna bogatstva uopće nisu bitna. Međutim, istaknuo je da njegovo rješenje djeluje čak i ako se vrijednost novca strogo povećava, ali relativni porast postaje sve manji i manji (21. svibnja 1728.):

Ako se želi pretpostaviti da je moralna vrijednost dobara bila kvadratni korijen matematičkih veličina … moje moralno očekivanje bit će

) frac {1} {2} cdot / sqrt {1} + / frac {1} {4} cdot / sqrt {2} + / frac {1} {8} cdot / sqrt {4} + / frac {1} {16} cdot / sqrt {8} ldots)

Ovo je prva jasna izjava onoga što suvremeni teoretičari i ekonomisti nazivaju smanjenom marginalnom korisnošću: Dodatna korisnost više novca nikad nije nula, ali što ste bogatiji, to manje ćete dobiti povećavajući daljnje bogatstvo. Cramér je ispravno izračunao očekivanu korisnost („moralna vrijednost“) igre u Sankt Peterburgu na oko 2,9 jedinica za agenta čiju korisnost novca daje funkcija korijena.

Daniel Bernoulli je predložio vrlo sličnu ideju u svom čuvenom članku iz 1738. koji je spomenut na početku ovog odjeljka. Daniel je tvrdio da je agentova korisnost bogatstva jednaka logaritmu novčanog iznosa, što podrazumijeva da će nevjerojatne, ali velike novčane nagrade doprinijeti manje očekivanoj korisnosti igre nego vjerojatniji, ali manji novčani iznos. Kako je njegov članak trebao biti objavljen, Danielov brat Nicolaus spomenuo mu je da je Cramér 1728. godine predložio vrlo sličnu ideju (u gore navedenom pismu). U posljednjoj verziji teksta Daniel je to otvoreno priznao:

Doista sam smatrao [Cramérovu] teoriju tako sličnom mojoj da se čini čudesnim da smo neovisno postigli tako tijesan sporazum u vezi s ovom vrstom predmeta. (Daniel Bernoulli 1738. [1954: 33])

2. Moderni Sankt Peterburg paradoks

Cramérova napomena o agentinoj smanjenoj marginalnoj upotrebi novca rješava izvornu verziju paradoksa iz Sankt Peterburga. Međutim, moderni teoretičari odluke slažu se da je to rješenje preusko. Paradoks se može obnoviti povećanjem vrijednosti ishoda do točke u kojoj se agentu u potpunosti nadoknađuje njegova smanjena granična korisnost novca (vidjeti Menger 1934 [1979]). Stoga se verzija paradoksa iz Sankt Peterburga o kojoj se govori u modernoj literaturi može formulirati na sljedeći način:

Pravi novčić prebacuje se dok ne digne glave. U tom trenutku igrač osvaja nagradu vrijednu (2 ^ n) korisnih jedinica na ljestvici korisnikove osobne korisnosti, gdje je n koliko je puta novčić prebačen.

Imajte na umu da je očekivana korisnost ove igre na sreću beskonačna čak i ako se agentova granična korisnost novca smanjuje. Točno možemo ostaviti otvorenim od čega se nagrade sastoje. To ne mora biti novac.

Vrijedi naglasiti da niti jedna nagrada u igri u Sankt Peterburgu nema beskonačnu vrijednost. Bez obzira koliko puta novčić bacio, igrač će uvijek osvojiti neku konačnu količinu korisnosti. Očekivana korisnost igre u Sankt Peterburgu nije konačna, ali stvarni ishod uvijek će biti konačan. Stoga bi bilo pogrešno odbaciti paradoks tvrdeći da niti jedna stvarna nagrada ne može imati beskonačnu korisnost. Nisu potrebne stvarne beskonačnosti za izgradnju paradoksa, samo potencijalne. (Za raspravu o razlici između stvarnih i potencijalnih beskonačnosti, vidi Linnebo i Shapiro 2019.) U raspravama paradoksa iz Sankt Peterburga često je korisno tumačiti pojam "beskonačna korisnost" kao "nije konačan", ali to prepustiti filozofima matematike kako bi se utvrdilo da li je ili se samo približava beskonačnosti.

Neki su autori raspravljali upravo o tome što je problematično uz tvrdnju da je očekivana korisnost modificirane igre u Sankt Peterburgu beskonačna (čitaj: nije konačna). Je li samo činjenica da je fer cijena oklade "previsoka" ili postoji nešto drugo što pobuđuje brigu? James M. Joyce to primjećuje

oklada beskonačne korisnosti strogo će se dati prednost bilo kojoj njezinoj isplati jer su svi potonji konačni. To je apsurdno s obzirom na to da svoju pažnju ograničavamo na kladionice koje oklade cijene samo kao sredstva do kraja povećanja bogatstva. (Joyce 1999: 37)

Čini se da je Joyceova poanta da će agent koji plaća poštenu cijenu oklade sigurno znati da će joj se stvarno pogoršati nakon što plati honorar. Međutim, čini se da to pretpostavlja da postoje stvarne beskonačnosti. Ako postoje samo potencijalne beskonačnosti, igrač ne može "platiti" beskonačnu naknadu za igranje igre. Ako je to slučaj, možda bismo Joycea mogli protumačiti tako da nas podsjeća da bez obzira na konačni iznos igrača zapravo pobjeđuje, očekivanost korisnosti uvijek će biti veća, što znači da bi bilo racionalno platiti još više. Teoretičari odluka analiziraju pojam racionalnosti na kraju načina, prema kojem je racionalno učiniti sve što je najbolje za nečiji cilj. Igrač tako zna da plaćanje više od onoga što stvarno pobijedi ne može biti najbolje sredstvo do kraja maksimiziranja korisnosti. Ovo opažanje omogućava nam da ojačamo izvorni „paradoks“(u kojem nije izvedena formalna suprotnost) u jaču verziju koja se sastoji od tri nespojive tvrdnje:

  1. Količina korisnosti koju je racionalno platiti za igranje igre u Sankt Peterburgu nije konačna.
  2. Igrač zna da je stvarni iznos korisnosti koju će osvojiti konačan.
  3. Nije racionalno svjesno platiti više za igru nego što će netko pobijediti.

Mnoge rasprave o paradoksu u Sankt Peterburgu usredotočene su na (1). Kao što ćemo vidjeti u sljedećih nekoliko odjeljaka, mnogi znanstvenici tvrde da je vrijednost igre iz Sankt Peterburga iz ovog ili onog razloga konačna. Rijetka iznimka su Hájek i Nover. Oni nude sljedeći argument za prihvaćanje (1):

Igra u St. Petersburgu može se smatrati ograničenjem niza skraćenih igara s St. Peterburgom, s uzastopno višim konačnim bodovima skraćenja - na primjer, igra se isključuje ako glave ne dosegnu deseti bacanje; po jedanaestom bacanju; dvanaestim bacanjem;…. Ako prihvatimo zaključak prevlasti, ta uzastopna skraćenja mogu voditi našu procjenu vrijednosti igre u Sankt Peterburgu: ona je dolje ograničena svakom njihovom vrijednošću, a ove se granice monotono povećavaju. Stoga imamo principijelan razlog za prihvaćanje da je vrijedno uplatiti bilo koji konačni iznos za igranje utakmice St. (Hájek i Nover 2006: 706)

Iako izričito ne kažu, Hájek i Nover vjerojatno bi to odbili (3). Najmanje kontroverzna tvrdnja je možda (2). Naravno, logično je moguće da novčić zadrži repove za slijetanje svaki put kada okrene, iako beskonačni niz repova ima vjerojatnost 0. (Za raspravu o ovoj mogućnosti pogledajte Williamson 2007.) Neki događaji koji imaju vjerojatnost 0 doista se događaju, a u neizbrojivim prostorima vjerojatnosti nemoguće je da svi ishodi imaju vjerojatnost veću od 0. Čak štoviše, ako novčić zadrži repove za slijetanje svaki put kada se okrene, agent osvaja 0 korisnih jedinica. Dakle (2) bi i dalje vrijedila.

3. Nerealne pretpostavke?

Neki autori tvrde da bi igra u Sankt Peterburgu trebala biti odbačena jer počiva na pretpostavkama koje se nikada ne mogu ispuniti. Na primjer, Jeffrey (1983: 154) tvrdi da je „onaj tko ponudi agentu da igra kocku iz Sankt Peterburga lažljivac, jer se pretvara da ima neograničeno veliku banku“. Slične prigovore iznijeli su u osamnaestom stoljeću Buffon i Fontaine (vidi Dutka 1988).

Međutim, nije jasno zašto bi Jeffreyev stav o stvarnim ograničenjima bio relevantan. Što nije u redu s ocjenom vrlo idealizirane igre za koju nemamo puno razloga vjerovati da ćemo se ikada i igrati? Hájek i Smithson (2012) ističu da je paradoks u St. u hipotezi je. Bilo koja ne-nužna vremena vjerojatnosti beskonačnost je jednaka beskonačnosti, tako da svaka opcija u kojoj morate igrati igru Sankt Peterburga s ne-nuro vjerojatnošću ima beskonačno očekivanu korisnost.

Također je vrijedno imati na umu da igra u Sankt Peterburgu možda nije toliko nerealna kao što Jeffrey tvrdi. Činjenica da banka nema na raspolaganju neograničen iznos novca (ili druge imovine) prije nego što je novčić prebačen ne bi trebao biti problem. Važno je samo da banka može vjerodostojno obećati igraču da će tačan iznos biti dostupan u razumnom roku nakon dovršetka provjere. Koliko novca banka ima u trezoru kada igrač igra igru, nije važno. Ovo je važno jer, kao što je napomenuto u odjeljku 2, iznos koji igrač zapravo osvoji uvijek će biti konačan. Stoga možemo zamisliti da igra funkcionira na sljedeći način: Prvo prebacimo novčić, a kad saznamo koji konačni iznos banka duguje igraču, izvršni direktor će se pobrinuti da banka prikupi dovoljno novca.

Ako to ne uvjeri igrača, možemo zamisliti da središnja banka izda bjanko ček u kojem igrač mora ispuniti ispravan iznos nakon što je novčić bacio. Budući da ček izdaje središnja banka ne može odskočiti. Novi novac automatski se stvara kad se čekovi koje izda središnja banka uvedu u gospodarstvo. Jeffrey odbacuje ovu verziju igre u Sankt Peterburgu sljedećim argumentom:

[Zamislite da] Ministarstvo financija pobijedi dobitniku nove novčanice u iznosu od milijardu milijardi dolara. Zbog rezultirajuće inflacije, granične poželjnosti tako visokih isplata vjerojatno bi bile dovoljno niske da bi se mogućnost igranja igre konačno očekivala [korisnost]. (Jeffrey 1983: 155)

Jeffrey je vjerojatno u pravu da bi "novi novčanica od milijardu milijardi dolara" izazvala neku inflaciju, ali čini se da bi to moglo nešto uzeti u obzir prilikom konstruiranja igre. Važno je samo da su usluge u shemi otplate linearne.

Čitatelji koji se ne uvjeravaju u ovaj argument, možda žele zamisliti inačicu igre iz Sankt Peterburga u kojoj je igrač spojen na Nozikov doživljajni stroj (vidi odjeljak 2.3 u unosu o hedonizmu). Konstrukcijom ovaj stroj može proizvesti ugodno iskustvo koje agent želi. Nakon što je novčić bačen n puta, Experience Machine će generirati ugodno iskustvo vrijedno (2 ^ n) jedinica korisnosti na skali osobnih korisničkih igrača. Aumann (1977) napominje bez izričitog spominjanja Iskusnog stroja koji:

Isplate ne moraju biti izražene u pogledu određenog ograničenog broja robe ili u odnosu na robu uopće […] lutrijska karta […] može biti neka vrsta otvorenih aktivnosti - ona koja bi mogla dovesti do senzacija koje on dosad nije iskusio. Primjeri mogu biti religiozna, estetska ili emocionalna iskustva, poput ulaska u samostan, uspona na planinu ili uključivanja u istraživanje s eventualno spektakularnim rezultatima. (Aumann 1977: 444)

Mogući primjer vrste iskustva koje Aumann ima na umu može biti broj dana provedenih na Nebu. Nije jasno zašto vrijeme provedeno na Nebu mora imati smanjenu marginalnu korisnost.

Druga vrsta praktičnih briga tiče se vremenske dimenzije igre u St. Brito (1975) tvrdi da prebacivanje kovanica može jednostavno trajati predugo. Ako svaki preokret traje n sekundi, moramo biti sigurni da će biti moguće ga dovoljno puta okrenuti prije nego što igrač umre. Očito, ako postoji gornja granica koliko puta se novčić može okrenuti, očekivana korisnost također bi bila konačna.

Izravan odgovor na tu zabrinutost je zamišljanje da se okretanje dogodilo jučer i zabilježeno je na video snimci. Prvi preokret dogodio se u 11:00 oštro, drugi flip (frac {60} {2}) minutu kasnije, treći (frac {60} {4}) minutu nakon drugog, i tako dalje. Videozapis još nije dostupan svima, ali čim igrač plati naknadu za igranje igre, videozapis će biti postavljen u javno područje. Imajte na umu da je novac u načelu mogao biti prebačen beskonačno mnogo puta u roku od jednog sata. (Ovo je primjer "supertaksa"; pogledajte unos o supertaksima.)

Istina je da ovaj slučajni eksperiment zahtijeva da se novčić baca sve brže i brže. U nekom bismo trenutku morali novčić vrtjeti brže od brzine svjetlosti. To nije logično nemoguće, iako ova pretpostavka krši neprimjereni zakon prirode. Ako vam se to čini problematičnim, možemo zamisliti da netko baca pikado na stvarnu liniju između 0 i 1. Vjerojatnost da će pikado pogoditi prvu polovicu intervala, (lijevo [0, / frac {1} { 2} desno),) je (frac {1} {2}.) I vjerojatnost da će strelica pogoditi sljedeću četvrtinu, (lijevo) frac {1} {2}, / frac { 3} {4} desno),) je (frac {1} {4}), i tako dalje. Ako se na ovaj način generiraju „kovanice novčića“, nasumični eksperiment će uopće biti završen. Da bismo se oslobodili brige da nijedan stvarni dart nije beskrajno oštar, možemo definirati točku na kojoj će strelica pogoditi stvarnu liniju na sljedeći način: Neka je područje strelice. Točka u kojoj strelica pogađa interval [0,1] definirana je tako da je polovica područja a desno od neke okomite linije kroz a, a druga polovica s lijeve okomite crte. Točka u kojoj vertikalna linija prelazi interval [0,1] rezultat je slučajnog pokusa.

U suvremenoj literaturi o St. svoje pravo.

4. Ograničena uslužna funkcija?

Arrow (1970: 92) sugerira da funkciju korisnosti racionalnog agenta treba „smatrati ograničenom funkcijom.… Jer je takva pretpostavka potrebna da bi se izbjegao paradoks [St. Basset (1987) čini sličnu točku; vidi također Samuelson (1977) i McClennen (1994).

Arrowova je tvrdnja da se komunalne usluge moraju ograničiti kako bi se izbjegao paradoks St. Na primjer, poznate aksiomatizacije koje su predložili Ramsey (1926), von Neumann i Morgenstern (1947) i Savage (1954) podrazumijevaju da je korisna funkcija donositelja odluka ograničena. (Pogledajte odjeljak 2.3 u zapisu o teoriji odlučivanja za pregled von Neumanna i Morgensternove aksiomatizacije.)

Ako je funkcija korisnosti ograničena, tada će očekivana korisnost igre iz Sankt Peterburga biti konačna. Ali zašto aksiomi teorije očekivane korisnosti jamče da je funkcija korisnosti ograničena? Ključna pretpostavka je da su racionalno dopuštene preferencije nad lutrijama kontinuirane. Da biste objasnili značaj ovog aksioma, korisno je uvesti neke simbole. Neka je ({pA, (1-p) B }) lutrija koja rezultira A s vjerojatnošću p i B s vjerojatnošću (1-p). Izraz (A / predeq B) znači da agent smatra B barem jednako dobrim kao A, tj., Slabo preferira B od A. Štoviše, (A / sim B) znači da su A i B jednaki, a (A / prec B) znači da je B prednost A. Smatrati:

Aksiom kontinuiteta: Pretpostavimo (A / prethodq B / prethodq C). Tada je vjerojatnost (p / u [0,1]) takva da ({pA, (1-p) C } sim B)

Da biste objasnili zašto ovaj aksiom podrazumijeva da nijedan objekt ne može imati beskonačnu vrijednost, pretpostavimo za redukciju da je A nagradni ček vrijedan 1 USD, B je ček u vrijednosti od 2 USD, a C je nagrada kojoj agent dodijeli beskonačnu korisnost. Preferira donositelj odluke (A / prec B / prec C), ali ne postoji vjerojatnost p takva da je ({pA, (1-p) C / sim B). Kad god je p nula, donositelj odluke će strogo preferirati ({pA, (1-p) C }) B, a ako je p 0, donositelj odluke će strogo preferirati B. Dakle, jer nijedan objekt (lutrija ili ishod) ne može imati beskonačnu vrijednost, a korisna funkcija je definirana uslužnim programima koje dodjeljuje tim objektima (lutrija ili ishodi), funkcija uslužnog programa mora biti ograničena.

To rješava paradoks Sankt Peterburga? Odgovor ovisi o tome smatramo li da racionalan agent koji se igrao igru u Sankt Peterburgu ima razloga prihvatiti aksiom kontinuiteta. Moguće je mišljenje da svatko kome je ponuđeno da igra igru Sankt Peterburga ima razloga odbiti aksiom kontinuiteta. Budući da igra u Sankt Peterburgu ima beskonačnu korisnost, agent nema razloga ocjenjivati lutrije na način predviđen ovim aksiomom. Kao što je objašnjeno u odjeljku 3, možemo zamisliti neograničeno korisne isplate.

Neki bi mogli prigovoriti da su aksiomi kontinuiteta, kao i ostali aksiomi koje su predložili von Neumann i Morgenstern (i Ramsey i Savage), bitni za matematički precizno definiranje korisnosti. Stoga bi bilo besmisleno govoriti o korisnosti ako odbacimo aksiom kontinuiteta. Taj je aksiom dio onoga što znači reći da nešto ima veću korisnost od nečeg drugog. Dobar bi odgovor mogao biti razvijanje teorije korisnosti u kojoj se preferencije pred lutrijama ne koriste za definiranje značenja koncepta; vidi Luce (1959.) rani primjer takve teorije. Drugi bi odgovor mogao biti razvijanje teorije korisnosti u kojoj se aksiom kontinuiteta izričito odbacuje; vidi Skala (1975).

5. Zanemarite male vjerojatnosti?

Buffon je 1777. tvrdio da bi racionalni donositelj odluka trebao zanemariti mogućnost osvajanja puno novca u igri u Sankt Peterburgu, jer je vjerojatnost da će to učiniti vrlo mala. Prema Buffonu, neki dovoljno nevjerojatni ishodi su "moralno nemogući" i stoga ih treba zanemariti. S tehničkog gledišta, ovo je rješenje vrlo jednostavno: paradoks u Sankt Peterburgu nastaje zato što je donositelj odluka spreman sakupiti beskonačno mnogo izuzetno vrijednih, ali vrlo nevjerojatnih ishoda, tako da ako ograničimo skup „mogućih“ishoda isključivanjem dovoljno one nevjerojatne očekivane korisnosti bit će, naravno, konačne.

Ali zašto bi se male vjerojatnosti trebale zanemariti? I kako ćemo povući granicu između malih vjerojatnosti koje su izvan svake brige i drugih koje nisu? Dutka ovako sažima Buffonov odgovor:

Da bi došao do odgovarajuće granične vrijednosti, [Buffon] primjećuje da će pedeset šestogodišnjak, vjerujući da je njegovo zdravlje dobro, zanemariti vjerojatnost da će umrijeti u roku od dvadeset četiri sata, iako tablice smrtnosti govore da su šanse za njegova umiranja u ovom razdoblju su samo 10189 do 1. Buffon tako uzima vjerojatnost od 1/10 000 ili manje za događaj kao vjerojatnost koja se može zanemariti. (Dutka 1988: 33)

Je li to uvjerljiv argument? Prema Buffonu, trebali bismo zanemariti neke male vjerojatnosti jer ih ljudi poput 56-godišnjaka (zapravo muškarci starosti 56 godina) u stvari ignoriraju. Buffon se stoga može optužiti za pokušaj izvlačenja „duge“iz „je“. Kako bi izbjegao Humeovo protivnovanje, Buffon bi trebao dodati pretpostavku da su svakodnevne reakcije ljudi na rizik uvijek racionalne. Ali zašto bismo prihvaćali takvu pretpostavku?

Drugi prigovor je da ako zanemarimo male vjerojatnosti, ponekad ćemo morati zanemariti sve moguće ishode događaja. Razmotrite sljedeći primjer: Običan špil karata ima 52 kartice, tako da se može složiti u točno 52! različiti putevi. Stoga je vjerojatnost bilo kojeg rasporeda oko 1 u (8 / cdot 10 ^ {67}). To je vrlo mala vjerojatnost. (Ako bismo na špil dodali šest karata, tada bi broj mogućih narudžbi premašio broj atoma u poznatom svemirskom svemiru.) Međutim, svaki put kada pomiješamo špil karata, znamo da je točno jedna od mogući ishodi će se ostvariti, pa zašto bismo zanemarili sve takve vrlo nevjerovatne ishode?

Nicholas JJ Smith (2014) brani modernu verziju Buffonovog rješenja. Argument zasniva na sljedećem principu:

Racionalno zanemarljive vjerojatnosti (RNP): Za svaku lutriju koja sadrži bilo koji problem s kojim se suočava bilo koji agent, postoji (epsilon> 0) takav da agent ne mora uzimati u obzir rezultate te lutrije vjerojatnosti manje od (epsilon) dolazak do potpuno racionalne odluke. (Smith 2014: 472)

Smith ističe da je redoslijed kvantifikatora u RNP-u presudan. Tvrdnja je da za svaku lutriju postoji neki prag vjerojatnosti (epsilon) ispod kojeg bi se sve vjerojatnosti trebalo zanemariti, ali bilo bi pogrešno misliti da je jedan i isti (epsilon) primjenjiv na svaku lutriju, To je važno jer bismo u protivnom mogli tvrditi da nam RNP omogućuje kombiniranje tisuća ili milijuna zasebnih događaja s vjerojatnošću manjom od (epsilon.) Očito bi bilo malo smisla ignorirati, recimo, pola milijuna jedan-in -milijun događaja. Imajući u vidu da se odgovarajući (epsilon) može razlikovati od slučaja do slučaja, što može zabrinuti ovu brigu.

Smith također ističe da ako zanemarimo vjerojatnosti manje od (epsilon,), tada moramo povećati neke druge vjerojatnosti kako bismo osigurali da se sve vjerojatnosti zbroje na jednu, kako to zahtijevaju aksiomi vjerojatnosti (vidi odjeljak 1. u unosu na interpretacije vjerojatnosti). Smith predlaže princip za to na sistematski način.

Međutim, zašto bismo trebali prihvatiti RNP? Koji je argument za prihvaćanje tog kontroverznog načela osim činjenice da bi se time riješio paradoks u Sankt Peterburgu? Smithov argument tvrdi kako slijedi:

Beskonačna preciznost se ne može zahtijevati: radije, u bilo kojem kontekstu, mora postojati određena konačna tolerancija - neki pozitivni prag tako da se ignorisanje svih ishoda čije vjerojatnosti leže ispod ovog praga računa kao da zadovoljavaju normu…. Postoji norma teorije odlučivanja koja kaže da se zanemaruju ishodi čija je vjerojatnost jednaka nuli. Kako ova norma spominje određenu vrijednost vjerojatnosti (nula), ona je vrsta norme u kojoj ima smisla nametati toleranciju: nula plus ili minus (epsilon) (koja postaje nula plus (epsilon,) da su sve vjerojatnosti između 0 i 1 … ideja koja stoji iza (RNP) je da u bilo kojem stvarnom kontekstu u kojem se treba donijeti odluka nikada ne treba biti beskrajno precizan na ovaj način - da to nikada nije važno. Postoji (za svaki problem s odlukom, svaka lutrija u njemu,a svaki agent) neki prag takav da agent ne bi bio neracionalan ako je jednostavno zanemario ishode čije vjerojatnosti leže ispod tog praga. (Smith 2014: 472–474)

Pretpostavimo da prihvaćamo tvrdnju da se u teoriji odlučivanja ne zahtijeva beskonačna preciznost. To bi, prema Smithovu argumentu, podrazumijevalo da je racionalno dopušteno zanemariti vjerojatnosti manje od (epsilon). Međutim, kako bi se osiguralo da donositelj odluke nikada ne uplati bogatstvo za igranje igre u Sankt Peterburgu, čini se da bi Smith trebao braniti snažniju tvrdnju da se od donositelja odluka racionalno zahtijeva da zanemaruju male vjerojatnosti, tj. Da nije dopušteno ne ignoriraj ih. Donositelji odluka koji se slože sa Smithovim mišljenjem riskiraju da plate vrlo velik iznos za igranje igre u Sankt Peterburgu, a da RNP ne učini ništa što neracionalno smatra. Ova je točka važna jer je teško teže pokazati da se od donositelja odluka racionalno zahtijeva izbjegavanje "beskonačne preciznosti" u odlukama u kojima je to dostižan i potpuno realan cilj, poput igre u Sankt Peterburgu. Za kritiku RNP-a i raspravu o nekim srodnim pitanjima, vidi Hájek (2014).

Još jedan prigovor RNP-u predložio je Yoaav Isaacs (2016). On pokazuje da RNP zajedno s dodatnim principom koji je odobrio Smith (slaba konzistentnost) podrazumijeva da će donosilac odluke ponekad riskirati proizvoljno veliki rizik za proizvoljno malu nagradu.

Lara Buchak (2013) predlaže što je vjerojatno elegantnija verzija ovog rješenja. Njezin je prijedlog da malim vjerojatnostima treba pripisati eksponencijalno manju težinu dok izračunavamo vrijednost opcije. Moguća funkcija vaganja r o kojoj raspravlja Buchak je (r (p) = p ^ 2.) Dakle, njezin je prijedlog da ako je vjerojatnost (frac {1} {8}) da osvojite 8 USD u pored onoga što već imate, a vaša korisnost novca linearno raste, umjesto da množite dobitak u korisnosti s (frac {1} {8},), pomnožite ga sa ((frac {1} {8}) ^ 2 = / frac {1} {64}.) Štoviše, ako je vjerojatnost (frac {1} {16}) da dobijete 16 USD, osim onoga što već imate, trebali biste pomnožite dobitak s (frac {1} {256},) i tako dalje. To znači da male vjerojatnosti vrlo malo doprinose rizičnoj ponderiranoj očekivanoj korisnosti.

Buchakov prijedlog neodoljivo podsjeća na poznatu ideju da se naša marginalna korisnost novca smanjuje. Kako ističu Cramér i Daniel Bernoulli, više novca je uvijek bolje nego manje, ali korisnost dobivena iz svakog dodatnog dolara smanjuje se. Prema Buchaku, težina koju bismo trebali dodijeliti vjerojatnosti ishoda je također nelinearna: Male su vjerojatnosti manje koliko su one manje, a njihova relativna važnost se eksponencijalno smanjuje:

Intuicija koja je stajala iza smanjene analize marginalne korisnosti odbojnosti prema riziku bila je da dodavanje novca nekom ishodu ima manje vrijednosti i više novca koji ishod već sadrži. Intuicija koja stoji iza ove analize averzije prema riziku je da je dodavanje vjerojatnosti ishodu više vrijednosti što je vjerojatnije da će se ishod već dobiti. (Buchak 2014: 1099.)

Buchak napominje da ovaj potez sam po sebi ne rješava paradoks Sankt Peterburga. Iz razloga koji su slični onima koje je Menger (1934 [1979]) spomenuo u svom komentaru na Bernoullijevo rješenje, paradoks se može ponovno unijeti prilagođavanjem rezultata tako da se zbroj povećava linearno (za detalje vidjeti Buchak 2013: 73–74). Buchak je zbog toga također predan RNP-u, tj. Kontroverznoj pretpostavci da će vjerovatnoća biti tako mala da ne donosi nikakvu razliku u ukupnoj vrijednosti kockanja.

Još jedna zabrinutost je da se, budući da Buchak odbacuje princip maksimiziranja očekivane korisnosti i zamjenjuje ga načelom ponderiranog rizika za maksimiziranje očekivane korisnosti, mnogi teoretičari o prigovorima o dionicama koje su podigli protiv kršenja očekivanog načela korisnosti mogu postaviti protiv njezina načela kao dobro. Na primjer, ako prihvaćate načelo rizičnog ponderiranja maksimiziranja očekivane korisnosti, morate odbaciti aksiom neovisnosti. To podrazumijeva da možete biti iskorišteni u nekom pametno dizajniranom pragmatičnom argumentu. Pogledajte Briggs (2015) za raspravu o nekim prigovorima Buchakove teorije.

6. Teorija relativne očekivane korisnosti

U igri s Petrogradom, koju je uveo Colyvan (2008), igrač osvaja 1 USD više nego u igri Sankt Peterburga, bez obzira koliko puta novčić bačen. Dakle, umjesto da osvoji dvije korisne jedinice ako novčić padne glavom na prvi bacanje, igrač osvaja 3; i tako dalje. Vidi tablicu 1.

stol 1

Vjerojatnost (Frac {1} {2}) (Frac {1} {4}) (Frac {1} {8})
St. Petersburg 2 4 8
Petrogradu (2 + 1) (4 + 1) (8 + 1)

Čini se očiglednim da igra Petrograda vrijedi više od igre u Sankt Peterburgu. Međutim, nije lako objasniti zašto. Obje igre imaju beskonačno očekivanu korisnost, pa princip očekivane korisnosti daje pogrešan odgovor. Nije istina da igra Petrograd vrijedi više od igre u Sankt Peterburgu, jer je njena očekivana korisnost veća; dvije igre imaju potpuno isti očekivani program. To pokazuje da načelo očekivane korisnosti nije univerzalno primjenjivo na sve rizične izbore, što je i sam po sebi zanimljivo promatranje.

Da li igra Petrograda vrijedi više od igre u Sankt Peterburgu, jer ishodi igre Petrograd dominiraju nad igrama iz Sankt Peterburga? U tom kontekstu, dominacija znači da će igrač uvijek osvojiti 1 $ više, bez obzira u kojem se svijetu svijeta ispada u pravom stanju, odnosno bez obzira koliko puta novčić bacio. Problem je u tome što je lako zamisliti verzije igre Petrograd na koje načelo dominacije ne bi bilo primjenjivo. Zamislite, na primjer, verzija Petrogradu igra koja je upravo poput one u tablici 1 osim što za neke vrlo nevjerojatan ishod (recimo, ako se novčić zemljišta glave po prvi put na 100 -ogokret) igrač osvaja 1 jedinicu manje nego u igri St. Ova igra, igra Petrogradskij, ne dominira u igri Sankt Peterburga. Međutim, budući da je gotovo sigurno da će igračima biti bolje igrati igrajući Petrogradskij, vjerojatna teorija odlučivanja trebala bi biti u stanju objasniti zašto igra Petrogradskij vrijedi više od igre u Sankt Peterburgu.

Colyvan tvrdi da ovu zagonetku možemo riješiti uvođenjem nove verzije očekivane teorije uslužne djelatnosti pod nazivom Relativna očekivana teorija korisnosti (REUT). Prema REUT-u trebali bismo izračunati razliku u očekivanoj korisnosti između dvije mogućnosti za svaki mogući ishod. Formalno, relativna očekivana korisnost ((reu)) akta (A_k) nad (A_l) je

) reu (A_k, A_l) = / sum_ {i = 1} ^ n p_i (u_ {ki} - u_ {li}).)

Prema Colyvanu, racionalno je odabrati (A_k) nad (A_l) ako i samo ako (reu (A_k, A_l) gt 0).

Colyvanov REUT uredno objašnjava zašto igra Petrograda vrijedi više od igre u Sankt Peterburgu, jer je relativna očekivana korisnost 1. REUT također objašnjava zašto igra Petrogradskij vrijedi više od igre u Sankt Peterburgu: razlika u očekivanoj korisnosti je (1 - (frac {1} {2}) ^ {100}) što je> 0.

Ipak, Peterson (2013) primjećuje da REUT ne može objasniti zašto igra Leningradskij vrijedi više od igre Lenjingrada (vidjeti Tablicu 2). Igra Leningradskij verzija je Petrogradske igre u kojoj igrač, osim što prima konačan broj korisnih jedinica, također dobiva igru Sankt Peterburga (SP) ako novčić pristane u drugom krugu. U igrama Lenjingrada igrač dobiva igru Sankt Peterburga (SP) ako novčić sleti u treću rundu.

Tablica 2

Vjerojatnost (Frac {1} {2}) (Frac {1} {4}) (Frac {1} {8}) (Frac {1} {16})
Lenjingrad 2 4 (8 + / textrm {SP}) 16
Leningradskij 2 (4+ / textrm {SP}) 8 16

Očito je da igra Leningradskij vrijedi više od Lenjingradske igre, jer je vjerojatnost da igrač dobije SP kao bonus (što ima beskonačno očekivanu korisnost) veća. Međutim, REUT ne može objasniti zašto. Razlika u očekivanoj korisnosti za stanje koje se pojavljuje s vjerojatnošću (frac {1} {4}) u tablici 2 je (- / infty) i ona je (+ / infty) za stanje koje se dogodi s vjerojatnošću (frac {1} {8}.) Zato, jer (p / cdot / infty = / infty) za sve pozitivne vjerojatnosti (p), i (infty - / infty)”Nije definirano u standardnoj analizi, REUT se ne može primijeniti na ove igre.

Bartha (2016) predlaže složeniju verziju Colyvanove teorije namijenjene rješavanju gore zabrinutih briga. Njegov je prijedlog tražiti od agenta da usporedi "problematičnu" igru s lutrijom između dvije druge igre. Ako je, na primjer, Petrograd + igra u kojoj igrač uvijek osvoji 2 jedinice više nego u igri Sankt Peterburga, bez obzira koliko puta je novac bačen, tada bi igrač mogao usporediti igru Petrograda s lutrijom između Petrograda + i igra u Sankt Peterburgu. Određivanjem kolike su vjerojatnosti lutrije u kojoj igra Petrograd +s vjerojatnošću p, a igra St. Peterburga s vjerojatnošću (1-p) je bolja od igranja igre s Petrogradom sigurno se može utvrditi mjera relativne vrijednosti Petrograda u usporedbi s Petrograd + ili St. (Pojedinosti potražite u 5. odjeljku u Barthi 2016. Vidi također Colyvan i Hájek u 2016. raspravu o Bartha teoriji.)

Spomenimo još jednu, prilično jednostavnu varijaciju izvorne igre iz Sankt Peterburga, koja se igra na sljedeći način (vidi Peterson 2015: 87): Manipulirani novčić slijeće u visini od 0,4, a igrač dobiva nagradu vrijednu (2 ^ n) korisne jedinice, gdje je n broj puta bacanja novčića. Ova igra, igra Moskva, vjerovatnije će rezultirati dugim redoslijedom okreta i stoga vrijedi više od igre u Sankt Peterburgu, ali očekivana korisnost obje igre je ista, jer obje igre imaju beskonačno očekivanu korisnost. Možda bi bilo primamljivo reći da je igra Moskve atraktivnija jer igra Moskve stohastički dominira igrom Sankt Peterburga. (To što jedna igra stohastički dominira drugom igrom znači da za svaki mogući ishod,prva igra ima najmanje toliko visoku vjerojatnost da će dobiti nagradu vrijednu barem u jedinica korisnosti kao i druga igra; a kod nekih u prva igra daje u s većom vjerojatnošću od druge.) Međutim, načelo stohastičke dominacije nije primjenjivo na igre u kojima postoji mali rizik da igrač osvoji nagradu vrijednu nešto manje nego u drugoj igri, Na primjer, možemo zamisliti da ako novčić sleti glavama na 100Preokretom igra u Moskvi plaća jednu jedinicu manje od igre u Sankt Peterburgu; u ovom scenariju niti jedna igra stohastički ne dominira nad drugom. Unatoč tome, još uvijek je opravdano inzistirati da igra koja gotovo sigurno daje bolji ishod (u smislu koji je gore objašnjen) vrijedi više. Izazov je objasniti zašto na robustan i ne proizvoljan način.

7. Igra Pasadena

Paradoks Pasadene koji su uveli Nover i Hájek (2004) nadahnut je igrom iz Sankt Peterburga, ali raspored otplate je drugačiji. Kao i obično, lijepi novčić baca se n puta dok se prvi put ne digne glave. Ako je n neparno, igrač osvaja ((2 ^ n) / n) korisne jedinice; međutim, ako je n čak i igrač, mora platiti ((2 ^ n) / n) jedinice. Koliko treba biti spreman platiti za igranje ove igre?

Ako zbrojimo izraze u vremenskom redoslijedu u kojem se ishodi javljaju i izračunamo očekivanu korisnost na uobičajeni način, ustanovit ćemo da igra Pasadena vrijedi:

) početak {poravnati} frac {1} {2} cdot / frac {2} {1} - / frac {1} {4} cdot / frac {4} {2} + / frac {1} {8} cdot / frac {8} {3} & - / frac {1} {16} cdot / frac {16} {4} + / frac {1} {32} cdot / frac {16} { 5} - / cdots \& = 1 - / frac {1} {2} + / frac {1} {3} - / frac {1} {4} + / frac {1} {5} - / cdots & = / sum_n / frac {(- 1) ^ {n-1}} {n} kraj {poravnaj})

Ova se beskonačna suma konvergira u ln 2 (oko 0,69 korisnih jedinica). No Nover i Hájek ističu da bismo dobili vrlo različit rezultat kada bismo preuredili redoslijed po kojem se zbijaju isti brojevi. Evo jednog od mnogih mogućih primjera ove matematičke činjenice:

) početak {poravnati} 1 - / frac {1} {2} - / frac {1} {4} + / frac {1} {3} - / frac {1} {6} - / frac {1} {8} + / frac {1} {5} - / frac {1} {10} & - / frac {1} {12} + / frac {1} {7} - / frac {1} {14} - / frac {1} {16} cdots \& = / frac {1} {2} (ln 2). / End {align})

To, naravno, nije vijest za matematičare. Beskonačna suma proizvedena igrom Pasadena poznata je kao izmjenični harmonični niz, koji je uvjetno konvergentni niz. (Serija (a_n) je uvjetno konvergentna ako se (sum_ {j = 1} ^ { infty} a_n) konvergira, ali (sum_ {j = 1} ^ { infty} lvert a_n / rvert) razilazi se.) Zbog teorema poznatog kao Riemannova teorema o preuređenju, znamo da ako je beskonačni niz uvjetno konvergentan, tada se njegovi izrazi mogu uvijek preurediti tako da se zbroj konvergira u bilo koji konačni broj, ili u (+ / infty) ili na (- / infty).

Nover i Hájekova poanta je da se čini proizvoljno sažeti pojmove iz igre Pasadena u vremenskom redoslijedu proizvedenom u novčiće. Da biste vidjeli zašto, korisno je zamisliti malo izmijenjenu verziju igre. U svom izvornom radu, Nover i Hájek traže da zamislimo to:

Bacimo pošten novčić dok se prvi put ne slegne. Na uzastopne kartice napisali smo vašu isplatu za svaki mogući ishod. Karte glase na sljedeći način: (gornja karta) Ako je prva = glava na bacanju br. 1, platit ćemo vam 2 USD. […] Slučajno ostavljamo kartice, i nakon što ih podignemo i složimo na stol, ustanovimo da su preuređene. Nema veze, kažete - očigledno da se igra nije promijenila, budući da raspored otplate ostaje isti. Igra je, uostalom, ispravno i u potpunosti određena uvjetima navedenim na karticama, a mi smo samo promijenili redoslijed u kojem su uvjeti predstavljeni. (Nover i Hájek 2004: 237-239)

Pod ovdje opisanim okolnostima, čini se da nemamo razloga preferirati određeni redoslijed u kojem bi se zbrajali pojmovi beskonačnog niza. Tako je očekivana vrijednost igre Pasadena (ln 2) ili (frac {1} {2} (ln 2)) ili (frac {1} {3}) ili (- / infty) ili 345,68? Svi ti prijedlozi izgledaju jednako proizvoljno. Štoviše, to vrijedi i za igru Altadena, u kojoj se svaki isplata povećava za jedan dolar. Igra Altadena očito je bolja od igre Pasadene, ali zagovornici očekivane teorije korisnosti ne znaju objasniti zašto.

Literatura o igri Pasadena je opsežna. Vidi, npr., Hájek i Nover (2006), Fine (2008), Smith (2014) i Bartha (2016). Posebno utjecajno rješenje je zbog Easwarana (2008). On uvodi razliku između jake i slabe verzije očekivanog načela korisnosti, nadahnute dobro poznatom razlikom između jake i slabe verzije zakona velikog broja. Prema jakom zakonu velikog broja, prosječna korisnost igre konvertira se u njenu očekivanu korisnost s vjerojatnošću jedan jer broj ponavljanja ide u beskonačnost. Slabi zakon velikog broja drži da se za dovoljno veliki skup pokusa vjerojatnost može proizvesti proizvoljno mala da se prosječna korisnost neće razlikovati od očekivane korisnosti za više od nekog malog unaprijed određenog iznosa. Prema slabom očekivanom principu korisnosti,

unaprijed fiksiranjem dovoljno velikog broja n igranja, može se osigurati da prosječna isplata po igri proizvoljno bude blizu ln 2,

dok snažna verzija načela to uključuje

ako se jedan igrač nastavi odlučivati hoće li igrati ponovo ili odustati, gotovo sigurno može jamčiti onoliko profita koliko želi, bez obzira na (konstantnu) cijenu po igri. (Easwaran 2008: 635)

Easwaranovo gledište je da bi slabi princip očekivane korisnosti trebao voditi izbor agenta i da fer cijena koju treba platiti iznosi 2 nn.

Međutim, rješenje Easywarana ne može se generalizirati na ostale igre s malo drugačijim isplativim shemama. Bartha (2016: 805) opisuje verziju igre Pasadena koja nema očekivanu vrijednost. U ovoj igri, igri Arroyo, igrač pobjeđuje (- 1 ^ {n + 1} (n + 1)) s vjerojatnošću (p_n = / frac {1} / {(n + 1)}). Ako izračunamo očekivanu korisnost redoslijedom u kojem su proizvedeni ishodi, dobićemo isti rezultat kao i za igru Pasadena: (1 - / frac {1} {2} + / frac {1} {3} - / frac {1} {4} cdots) Iz razloga koji je Bartha objasnio (i dokazao), igra Arroyo nema slabu očekivanu korisnost.

Također je vrijedno imati na umu da se scenariji slični Pasadeni mogu pojaviti u nevjerojatnom kontekstu (vidi Peterson 2013). Zamislite, na primjer, beskonačnu populaciju u kojoj je korisnost pojedinačnog broja j (frac {(- 1) ^ {j-1}} {j}). Kolika je ukupna korisnost ovog stanovništva? Ili zamislite da ste ponosni vlasnik slike Jacksona Pollocka. Trgovac umjetninama govori kako je ukupna estetska vrijednost slike zbroj nekih njezinih dijelova. Bodove na slici numerirate proizvoljnim brojevima 1, 2, 3,… (možda tako što ćete zapisati brojeve na karticama, a zatim sve karte baciti na pod); estetska vrijednost svake točke j je (frac {(- 1) ^ {j-1}} {j}). Koja je ukupna estetska vrijednost slike? Ti su primjeri neverovatne verzije problema Pasadena,na koji se neprimjenjuje očekivani princip korisnosti. Ne postoji neizvjesnost o bilo kojem stanju prirode; donositelj odluka sigurno zna kakav je svijet. To znači da razlika između slabog i jakog očekivanja u Easywaranu nije primjenjiva.

Iako se neki od ovih problema mogu činiti pomalo ezoteričnim, ne možemo ih otkloniti. Svi problemi slični Pasadeni osjetljivi su na isti problem zaraze kao i igra iz Sankt Peterburga (vidjeti odjeljak 2). Hájek i Smithson nude sljedeće šarene ilustracije:

Za večeru možete birati između pice i kineske. Željnost svake opcije ovisi o tome kako vjerovatno važite različite scenarije (spaljena pizza, savršeno kuhana pizza,… prezačinjena kineska, savršeno začinjena kineska…) i komunalije koje im odobrite. Dopustimo da odredimo da niti jedan izbor ne dominira nad drugim, ipak bi trebao biti krajnje direktan za vas. Ali nije ako su očekivanja pice i Kineza zagađena čak i malim (sic) dodjelom vjerodostojnosti za igru Pasadena. Ako se vrata otvore samo pukotina, ona spušta vrata i prekriva sve očekivane proračune korisnosti. Ne možete čak ni birati između pice i kineskog. (Hájek i Smithson 2012: 42, dodano.)

Colyvan (2006) sugerira da bismo trebali ugasiti metak na igru Pasadena i prihvatiti da nema očekivanu korisnost. Problem zaraze pokazuje da ako bismo to učinili, morali bismo priznati da će načelo maksimiziranja očekivane korisnosti biti primjenjivo na gotovo nikakve odluke. Štoviše, budući da je problem zaraze podjednako primjenjiv na sve igre o kojima je riječ u ovom zapisu (Sankt Peterburg, Pasadena, Arroyo, itd.), Čini se da bi svi ovi problemi mogli zahtijevati jedinstveno rješenje.

Stotine godina, teoretičari odluka složili su se da racionalni agenti trebaju maksimizirati očekivanu korisnost. Rasprava je uglavnom bila usredotočena na to kako protumačiti taj princip, posebno na izborima u kojima je uzročna struktura svijeta neobična. Međutim, donedavno nitko nije ozbiljno doveo u pitanje da je načelo maksimiziranja očekivane korisnosti pravo načelo koje se primjenjuje. Bogata i rastuća literatura o mnogim zagonetkama nadahnutih paradoksom iz Sankt Peterburga ukazuju na to da je to možda bila pogreška. Možda bi načelo maksimiziranja očekivane korisnosti trebalo zamijeniti nekim posve drugačijim principom?

Bibliografija

  • Alexander, JM, 2011, „Očekivanja i mogućnost izbora“, um, 120 (479): 803–817. doi: 10,1093 / um / fzr049
  • Arrow, Kenneth J., 1970, Eseji iz teorije podnošenja rizika, Amsterdam: North-Holland.
  • Aumann, Robert J., 1977, “Paradoks Sankt Peterburga: rasprava o najnovijim komentarima”, Časopis Economic Theory, 14 (2): 443–445. doi: 10,1016 / 0022-0531 (77) 90143-0
  • Bartha, Paul FA, 2016, „Napraviti bez očekivanja“, um, 125 (499): 799–827. doi: 10,1093 / um / fzv152
  • Bassett, Gilbert W., 1987, Sanktpeterburški paradoks i ograničena korisnost, Povijest političke ekonomije, 19 (4): 517–523. doi: 10,1215 / 00182702-19-4-517
  • Bernoulli, Daniel, 1738. [1954], “Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis”, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 5: 175–192. Engleski prijevod, 1954, „Izložba nove teorije o mjerenju rizika“, Econometrica, 22 (1): 23–36. doi: 10,2307 / 1.909.829
  • Bernoulli, Jakob, 1975, Die Werke von Jakob Bernoulli, Band III, Basel: Birkhäuser. Prijevod ovog pisma Richarda J. Pulskampa iz pisma Nicolasa Bernoullija o igri Sankt Peterburga dostupan je na mreži.
  • Briggs, Rachael, 2015, „Troškovi napuštanja načela sigurne stvari“, Kanadski časopis za filozofiju, 45 (5–6): 827–840. doi: 10,1080 / 00455091.2015.1122387
  • Brito, DL, 1975, „Beckerova teorija o raspoređivanju vremena i paradoksa Sankt Peterburga“, časopis ekonomska teorija, 10 (1): 123–126. doi: 10,1016 / 0022-0531 (75) 90067-8
  • Buchak, Lara, 2013., Rizik i racionalnost, New York: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: OSO / 9780199672165.001.0001
  • –––, 2014., „Rizici i kompromisi“, Erkenntnis, 79 (S6): 1091–1117. doi: 10,1007 / s10670-013-9542-4
  • Buffon, GLL, 1777, "Essai d'Arithmdéétique Motale", u Suppléments à l'Histoire Naturelle. Ponovno tiskano u Oeuvres Philosophiques de Buffon, Pariz, 1954.
  • Chalmers, David J., 2002, "Paradoks dvostruke ovojnice Sankt Peterburga", Analiza, 62 (2): 155–157. doi: 10,1093 / Analitičar / 62.2.155
  • Chen, Eddy Keming i Daniel Rubio, u daljnjem tekstu, "Nadrealne odluke", Filozofija i fenomenološka istraživanja, Prvo online: 5. lipnja 2018. doi: 10.1111 / phpr.12510
  • Colyvan, Mark, 2006, „Nema očekivanja“, Mind, 115 (459): 695–702. doi: 10,1093 / um / fzl695
  • –––, 2008, „Teorija relativnih očekivanja“:, časopis za filozofiju, 105 (1): 37–44. doi: 10.5840 / jphil200810519
  • Colyvan, Mark i Alan Hájek, 2016, „Napraviti Ado bez očekivanja“:, Um, 125 (499): 829–857. doi: 10,1093 / um / fzv160
  • Cowen, Tyler i Jack High, 1988., "Vrijeme, ograničena korisnost i paradoks Sankt Peterburga", Teorija i odluka, 25 (3): 219–223. doi: 10,1007 / BF00133163
  • Dutka, Jacques, 1988, „O paradoksu Sankt Peterburga“, Arhiv za povijest egzaktnih znanosti, 39 (1): 13–39. doi: 10,1007 / BF00329984
  • Easwaran, Kenny, 2008, „Jaka i slaba očekivanja“, Mind, 117 (467): 633–641. doi: 10,1093 / um / fzn053
  • Fine, Terrence L., 2008, "Procjena kockanja Pasadena, Altadena i St. Petersburg", Mind, 117 (467): 613–632. doi: 10,1093 / um / fzn037
  • Hájek, Alan, 2014., “Neočekivana očekivanja”, um, 123 (490): 533–567. doi: 10,1093 / um / fzu076
  • Hájek, Alan i Harris Nover, 2006, "Zbunjujuća očekivanja", Mind, 115 (459): 703–720. doi: 10,1093 / um / fzl703
  • –––, 2008, „Složena očekivanja“, Mind, 117 (467): 643–664. doi: 10,1093 / um / fzn086
  • Hájek, Alan i Michael Smithson, 2012, „Racionalnost i neodređene vjerojatnosti“, Synthese, 187 (1): 33–48. doi: 10,1007 / s11229-011-0033-3
  • Isaacs, Yoaav, 2016, “Vjerojatnosti se ne mogu racionalno zanemariti”, um, 125 (499): 759–762. doi: 10,1093 / um / fzv151
  • Jeffrey, Richard C., 1983., Logika odluke, drugo izdanje, Chicago: University of Chicago Press.
  • Jordan, Jeff, 1994., "Paradoks Sankt Peterburga i Pascalov klad", Philosophia, 23 (1–4): 207–222. doi: 10,1007 / BF02379856
  • Joyce, James M., 1999, Temelji teorije uzročne odluke, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lauwers, Luc i Peter Vallentyne, 2016, „Teorija odluka bez konačne standardne očekivane vrijednosti“, Ekonomija i filozofija, 32 (3): 383–407. doi: 10,1017 / S0266267115000334
  • Linnebo, Øystein i Stewart Shapiro, 2019, „Stvarna i potencijalna beskonačnost: stvarna i potencijalna beskonačnost“, Noûs, 53 (1): 160–191. doi: 10.1111 / nous.12208
  • Luce, R. Duncan, 1959, „O mogućim psihofizičkim zakonima“, Psihološki pregled, 66 (2): 81–95. doi: 10,1037 / h0043178
  • McClennen, Edward F., 1994, „Pascalova teorija oklada i konačnih odluka“, u Kockanju o Bogu: Eseji o Pascalovom okladi, Jeff Jordan (ur.), Boston: Rowman & Littlefield, 115–138.
  • Menger, Karl, 1934. [1979], “Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre: Betrachtungen im Anschluß an das sogenannte Petersburger Spiel”, Zeitschrift für Nationalökonomie, 5 (4): 459–485. Prevedeno, 1979., kao "Uloga nesigurnosti u ekonomiji", u Mengerovim izabranim radovima iz logike i zaklade, didaktike, ekonomije, Dordrecht: Springer Nizozemska, 259–278. doi: 10.1007 / BF01311578 (de) doi: 10.1007 / 978-94-009-9347-1_25 (hr)
  • Nover, Harris i Alan Hájek, 2004., „Uznemirujuća očekivanja“, Mind, 113 (450): 237–249. doi: 10,1093 / um / 113.450.237
  • Peterson, Martin, 2011, "Novi zaokret paradoksa u Sankt Peterburgu":, časopis za filozofiju, 108 (12): 697–699. doi: 10.5840 / jphil20111081239
  • –––, 2013, „Generalizacija zagonetke Pasadena: Generalizacija zagonetke Pasadena“, Dialectica, 67 (4): 597–603. doi: 10,1111 / 1746-8361,12046
  • –––, 2009. [2017], Uvod u teoriju odluka, Cambridge: Cambridge University Press; drugo izdanje 2017. doi: 10.1017 / CBO9780511800917 doi: 10.1017 / 9781316585061
  • –––, 2019., „Intervalne vrijednosti i racionalni izbor“, ekonomija i filozofija, 35 (1): 159–166. doi: 10,1017 / S0266267118000147
  • Ramsey, Frank Plumpton, 1926. [1931.], “Istina i vjerojatnost”, tiskano u Temeljima matematike i drugim logičkim esejima, RB Braithwaite (ur.), London: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co., 156–198. Reprinted in Philosophy of Probability: Contemporary Readings, Antony Eagle (ur.), New York: Routledge, 2011: 52–94. [Ramsey 1926 [1931] dostupan na mreži]
  • Samuelson, Paul A., 1977, „St. Petersburški paradoksi: defannirani, secirani i povijesno opisani “, Časopis za ekonomsku literaturu, 15 (1): 24–55.
  • Savage, Leonard J., 1954, The Foundation of Statistics, (Wiley Publications in Statistics), New York: Wiley. Drugo izdanje, Kurirska korporacija, 1974.
  • Skala, Heinz J., 1975., Ne-Arhimedova korisna teorija, Dordrecht: D. Reidel.
  • Smith, Nicholas JJ, 2014, „Je li evaluacijska kompozicija zahtjev racionalnosti?“, Um, 123 (490): 457–502. doi: 10,1093 / um / fzu072
  • von Neumann, John i Oskar Morgenstern, 1947, Teorija igara i ekonomsko ponašanje, drugo revidirano izdanje, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Weirich, Paul, 1984., Kockanje i rizik u Sankt Peterburgu, Teorija i odluka, 17 (2): 193–202. doi: 10,1007 / BF00160983
  • Williamson, Timothy, 2007, „Koliko je vjerovatno beskonačno slijed glava?“, Analiza, 67 (295): 173–180. doi: 10,1111 / j.1467-8284.2007.00671.x

Akademske alate

sep man ikona
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

[Molimo kontaktirajte autora s prijedlozima.]

Preporučeno: