Zenonovi Paradoksi

Sadržaj:

Zenonovi Paradoksi
Zenonovi Paradoksi

Video: Zenonovi Paradoksi

Video: Zenonovi Paradoksi
Video: What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher 2024, Ožujak
Anonim

Ulazna navigacija

  • Sadržaj unosa
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Prijatelji PDF pregled
  • Podaci o autoru i citiranju
  • Povratak na vrh

Zenonovi paradoksi

Prvo objavljeno utorak, 30. travnja 2002.; suštinska revizija pon. lipnja 11, 2018

Gotovo sve što znamo o Zenou iz Elea možete pronaći na početnim stranicama Platonovih Parmenida. Ondje saznajemo da je Zeno bio star skoro 40 godina kad je Sokrat bio mladić, recimo 20. Budući da je Sokrat rođen 469. godine prije Krista, datum rođenja Zenoa možemo procijeniti oko 490. godine prije Krista. Pored toga, stvarno sve što znamo jest da je bio blizak Parmenidu (Platon izvještava tračeve da su bili ljubavnici kad je Zeno bio mlad), te da je napisao knjigu paradoksa braneći Parmenidsovu filozofiju. Nažalost ova knjiga nije preživjela, a ono što znamo o njegovim argumentima je rabljeno, uglavnom kroz Aristotela i njegove komentatore (ovdje posebno privlačimo Simpliciusa, koji je, iako piše tisuću godina nakon Zenona, očito posjedovao barem neke svoje knjiga). Očito je bilo 40 'paradoksa pluralnosti',pokušaj pokazivanja da ontološki pluralizam - vjerovanje u postojanje mnogih stvari a ne samo jedne dovodi do apsurdnih zaključaka; od ovih paradoksa samo dva definitivno opstaju, mada se treći argument vjerojatno može pripisati Zenou. Aristotel govori o još četiri argumenta protiv pokreta (i općenito promjenom proširenja), koje sve on daje i pokušava odbiti. Pored toga, Aristotel pripisuje Zenou još dva paradoksa. Nažalost opet, gotovo nijedan od ovih paradoksa različiti komentatori ne navode u Zenonovim izvornim riječima, nego parafraziraju. Aristotel govori o još četiri argumenta protiv pokreta (i općenito promjenom proširenja), koje sve on daje i pokušava odbiti. Pored toga, Aristotel pripisuje Zenou još dva paradoksa. Nažalost opet, gotovo nijedan od ovih paradoksa različiti komentatori ne navode u Zenonovim izvornim riječima, nego parafraziraju. Aristotel govori o još četiri argumenta protiv pokreta (i općenito promjenom proširenja), koje sve on daje i pokušava odbiti. Pored toga, Aristotel pripisuje Zenou još dva paradoksa. Nažalost opet, gotovo nijedan od ovih paradoksa različiti komentatori ne navode u Zenonovim izvornim riječima, nego parafraziraju.

  • 1. Pozadina
  • 2. Paradoksi pluralnosti

    • 2.1 Argument iz gustoće
    • 2.2 Argument s konačne veličine
    • 2.3 Argument iz potpune podjele
  • 3. Paradoksi pokreta

    • 3.1 Dihotomija
    • 3.2 Ahil i kornjača
    • 3.3 Strelica
    • 3.4 Stadion
  • 4. Još dva paradoksa

    • 4.1 Paradoks mjesta
    • 4.2 Zrno proso
  • 5. Zenonov utjecaj na filozofiju
  • Daljnja čitanja
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Ostali internetski resursi
  • Povezani unosi

1. Pozadina

Prije nego što pogledamo same paradokse, biti će korisno skicirati neki njihov povijesni i logički značaj. Prvo, Zeno je pokušao obraniti Parmenida napadajući njegove kritičare. Parmenides je odbacio pluralizam i stvarnost bilo kakve promjene: za njega je sve bila jedna nedjeljiva, nepromjenjiva stvarnost, a bilo kakve pojave za razliku od toga bile su iluzije, koje je trebalo razbaciti razum i otkrivenje. Nije iznenađujuće što je ova filozofija našla mnoge kritičare koji su ismijavali taj prijedlog; uostalom, ona se suočava s nekim od naših najosnovnijih vjerovanja o svijetu. (Zanimljivo je da opća relativnost, posebno kvantna opća relativnost - vjerojatno daje novitet - ako je novina moguća - argument za Parmenidovsko poricanje promjena: Belot i Earman, 2001.) Kao odgovor na ovu kritiku Zeno je učinio nešto što može zvučati očito,ali koji je imao dubok utjecaj na grčku filozofiju koja se osjeća do danas: pokušao je pokazati da jednaki apsurdi logično slijede iz poricanja Parmenidsovih stavova. Mislite da postoji mnogo stvari? Tada morate zaključiti da je sve i beskrajno malo i beskonačno veliko! Mislite li da je to kretanje beskrajno djeljivo? Zatim slijedi da se ništa ne miče! (Ovo je "paradoks": demonstracija da kontradikcija ili apsurdna posljedica proizlazi iz naoko razumnih pretpostavki.)Mislite li da je to kretanje beskrajno djeljivo? Zatim slijedi da se ništa ne miče! (Ovo je "paradoks": demonstracija da kontradikcija ili apsurdna posljedica proizlazi iz naoko razumnih pretpostavki.)Mislite li da je to kretanje beskrajno djeljivo? Zatim slijedi da se ništa ne miče! (Ovo je "paradoks": demonstracija da kontradikcija ili apsurdna posljedica proizlazi iz naoko razumnih pretpostavki.)

Dok čitamo argumente, ključno je imati na umu ovu metodu. Uvijek su usmjereni prema manje ili više specifičnom cilju: stavovima neke osobe ili škole. Moramo imati na umu da su argumenti "ad hominem" u doslovnom latinskom smislu da su usmjereni "na (stavove) osoba", ali ne i "ad hominem" u tradicionalnom tehničkom smislu napada na (karakter) ljudi koji iznose stavove umjesto da napadaju same poglede. Djeluju tako što privremeno pretpostavljaju 'radi argumentacije' da su te tvrdnje istinite, i tvrdeći da ako su potom apsurdne posljedice - da se ništa ne kreće na primjer: oni su 'reductio ad absurdum' argumenti (ili 'dijalektika' u smislu razdoblja). Zatim, ako je argument logično valjan, a zaključak je zaista neprihvatljiv,tvrdnje moraju nakon svega biti lažne. Stoga, kad pogledamo Zenonove argumente, moramo postaviti dva povezana pitanja: na koga ili u kojem položaju napada Zeno i što se točno pretpostavlja radi argumentacije? Ako ustanovimo da Zeno čini skrivene pretpostavke izvan onoga što napadni položaj čini, tada se apsurdni zaključak može izbjeći poricanjem jedne od skrivenih pretpostavki, zadržavajući položaj. Doista komentatori barem otkad je Aristotel na Zenona odgovorio na ovaj način.uz zadržavanje položaja. Doista komentatori barem otkad je Aristotel na Zenona odgovorio na ovaj način.uz zadržavanje položaja. Doista komentatori barem otkad je Aristotel na Zenona odgovorio na ovaj način.

Dakle, na čije stavove napadaju Zenonovi argumenti? Postoji ogromna literatura koja raspravlja o Zenovoj točnoj povijesnoj meta. Kao što ćemo u nastavku raspravljati u daljnjem tekstu, neki kažu da je meta bila tehnička doktrina pitagorejaca, ali većina danas Zenoa doživljava kao suprotstavljenje zdravim razumima pojmovima pluralnosti i pokreta. Približit ćemo se paradoksima u tom duhu i uputit ćemo čitatelja u literaturu o interpretacijskoj raspravi.

U skladu s tim, većinsko je mišljenje i da - uz određene kvalifikacije - Zenonovi paradoksi otkrivaju neke probleme koji se ne mogu riješiti bez punih resursa matematike, obrađenih u devetnaestom stoljeću (a možda i šire). Nije (nužno) reći da je suvremena matematika potrebna kako bi odgovorila na bilo koji problem koji je Zeno izričito želio postaviti; vjerojatno Aristotel i ostali starci imali su odgovore koji bi Zeljena trebali ili trebali zadovoljiti. (Nećemo praviti nikakve posebne tvrdnje o Zenonovom utjecaju na povijest matematike.) Međutim, kako se matematika razvijala, i paradoksima se više razmišljalo, nastale su nove poteškoće; ove poteškoće zahtijevaju modernu matematiku za njihovo rješavanje. Te nove poteškoće nastaju dijelom kao odgovor na evoluciju u našem razumijevanju onoga što zahtijeva matematička strogost: rješenja koja bi udovoljila Zenovim standardima strogosti ne bi zadovoljila naša. Stoga ćemo nekoliko paradoksa iz njihovih zdravorazumskih formulacija potaknuti na njihovo razrješenje u modernoj matematici. (Još jedna kvalifikacija: ponudit ćemo rješenja u smislu „standardne“matematike, ali druge moderne formulacije također se mogu nositi sa Zenoom, i vjerojatno na načine koji bolje predstavljaju njegove matematičke koncepte.)ali druge moderne formulacije također su sposobne nositi se sa Zenoom, i vjerojatno na načine koji bolje predstavljaju njegove matematičke koncepte.)ali druge moderne formulacije također su sposobne nositi se sa Zenoom, i vjerojatno na načine koji bolje predstavljaju njegove matematičke koncepte.)

2. Paradoksi pluralnosti

2.1 Argument iz gustoće

Ako ih ima puno, mora ih biti onoliko koliko ih je i ni više ni manje od toga. Ali ako ih bude toliko koliko bi ih bilo, bili bi ograničeni. Ako ih ima mnogo, stvari koje su neograničene. Jer između stvari koje postoje, a opet između drugih, postoje i druge stvari, pa tako i stvari koje su neograničene. (Simplicius (a) O Aristotelovoj fizici, 140,29)

Ovaj prvi argument, dan Zenovim riječima prema Simpliciusu, pokušava pokazati da ne bi moglo postojati više od toga, o kontradikciji: ako postoji mnogo stvari, one su i 'ograničene' i 'neograničene', kontradikcija, S jedne strane, on kaže da svaka zbirka mora sadržavati određeni broj stvari, ili riječima "ni više ni manje". Ali ako imate definitivan broj stvari, zaključuje on, morate ih imati konačni 'ograničeni' broj; crtajući ovaj zaključak, on pretpostavlja da imati beskonačno mnogo stvari znači imati neodređen broj njih. S druge strane, zamislite bilo koju zbirku 'mnogih' stvari raspoređenih u svemiru, slikajte ih u jednoj dimenziji da bi ih se definitivno utvrdilo. Između bilo koje dvije od njih, tvrdi, treća je; a između ta tri elementa još dva;i još četiri između ovih pet; i tako dalje bez kraja. Stoga je i kolekcija 'neograničena'. Dakle, naša izvorna pretpostavka množine vodi kontradiktornosti, pa je stoga i lažna: na kraju nema mnogo stvari. Barem tako Zenona rasuđuje.

Razmotrimo dva podargumenta, obrnutim redoslijedom. Prvo, postoje li "uvijek drugi između stvari koje jesu"? (U modernoj terminologiji, zašto se predmeti uvijek moraju redovno uređivati?) Pretpostavimo da smo zamislili kolekciju od deset jabuka; tada postoji uistinu još jedna jabuka između šeste i osme, ali između sedme i osme ne postoji! Pod pretpostavkom da Zeno nije jednostavno zbunjen, što on ima na umu? Tekstovi ne govore, ali postoje dvije mogućnosti: prvo, moglo bi se smatrati da za svaki par fizičkih objekata (dvije jabuke kažu) da su dva različita objekta, a ne samo jedan ("dvostruka jabuka") mora postojati treće između njih, fizički ih razdvajajući, čak i ako je to samo zrak. I moglo bi se pomisliti da za razliku od ova tri moraju postojati još dva objekta koja ih razdvajaju,i tako dalje (ovo gledište pretpostavlja da njihovo stvaranje od različitih tvari nije dovoljno da bi ih razlikovalo). Stoga se možda Zeno protivi pluralnosti s obzirom na određenu predodžbu o fizičkoj različitosti. Ali drugo, moglo bi se također smatrati da bilo koje tijelo ima dijelove koji se mogu urediti. Naravno da 1/2s, 1/4s, 1/8s i sl. Jabuke nisu guste - takvi dijelovi mogu biti susjedni - ali može biti dovoljno malih dijelova - nazovite ih "točkasti dijelovi" - koji jesu. Doista, ako između bilo kojeg dva točka-dijela postoji konačna udaljenost, a ako dijelovi točaka mogu biti proizvoljno blizu, tada su gusti; trećina leži na pola puta bilo koje dvije. Konkretno, poznate geometrijske točke su takve, a time i guste. Pa možda Zeno nudi argument u vezi s razdvajanjem tijela. Bilo kako biloZenonova pretpostavka gustoće zahtijeva neku daljnju pretpostavku o pluralnosti o kojoj je riječ i na odgovarajući način fokusira na cilj njegovog paradoksa.

Ali pretpostavimo da neko drži da je neka zbirka (recimo točke u liniji) gusta, dakle "neograničena" ili beskonačna. Prvo zonu Zenonovog napada navodno je pokazalo da zato što sadrži određeni broj elemenata, također je 'ograničeno', ili ograničeno. Može li se izbjeći ta kontradikcija? Pretpostavka da je bilo koji određeni broj konačan čini se intuitivnom, ali sada znamo, zahvaljujući radu Kantorice u devetnaestom stoljeću, kako razumjeti beskonačne brojeve na način koji ih čini jednako definitivnim kao i konačni brojevi. Središnji element ove teorije 'transfinitetnih brojeva' je precizna definicija kada su dvije beskonačne zbirke iste veličine i kada je jedna veća od druge. S takvom definicijom u ruci, tada je moguće naručiti beskonačne brojeve onako kako su određeni konačni brojevi: na primjer, postoje različiti,određeni beskonačni broj frakcija i geometrijskih točaka u liniji, iako su obje guste. (Pogledajte Dalje čitanje u daljnjem tekstu referenci na uvode u ove matematičke ideje i njihovu povijest.) Dakle, suprotno Zenovoj pretpostavci, smisleno je usporediti beskonačne kolekcije s obzirom na broj njihovih elemenata, reći imaju li njih dva više od, ili manje ili manje 'toliko', na primjer, postoji više decimalnih brojeva od cijelih brojeva, ali isto toliko brojeva kao i cijelih brojeva. Dakle, matematički, Zenonovo razmišljanje nije zvučno kad kaže da, jer zbirka ima točan broj, mora biti konačan, a prvi je subargument pogrešan. (Iako naravno samo pokazuje da su beskonačne kolekcije matematički konzistentne, a ne da fizički postoje.)))iako su obje guste. (Pogledajte Dalje čitanje u daljnjem tekstu referenci na uvode u ove matematičke ideje i njihovu povijest.) Dakle, suprotno Zenovoj pretpostavci, smisleno je usporediti beskonačne kolekcije s obzirom na broj njihovih elemenata, reći imaju li njih dva više od, ili manje ili manje 'toliko', na primjer, postoji više decimalnih brojeva od cijelih brojeva, ali isto toliko brojeva kao i cijelih brojeva. Dakle, matematički, Zenonovo razmišljanje nije zvučno kad kaže da, jer zbirka ima točan broj, mora biti konačan, a prvi je subargument pogrešan. (Iako naravno samo pokazuje da su beskonačne kolekcije matematički konzistentne, a ne da fizički postoje.)iako su obje guste. (Pogledajte Dalje čitanje u daljnjem tekstu referenci na uvode u ove matematičke ideje i njihovu povijest.) Dakle, suprotno Zenovoj pretpostavci, smisleno je usporediti beskonačne kolekcije s obzirom na broj njihovih elemenata, reći imaju li njih dva više od, ili manje ili manje 'toliko', na primjer, postoji više decimalnih brojeva od cijelih brojeva, ali isto toliko brojeva kao i cijelih brojeva. Dakle, matematički, Zenonovo razmišljanje nije zvučno kad kaže da, jer zbirka ima točan broj, mora biti konačan, a prvi je subargument pogrešan. (Iako naravno samo pokazuje da su beskonačne kolekcije matematički konzistentne, a ne da fizički postoje.)i njihovu povijest.) Dakle, suprotno Zenovoj pretpostavci, smisleno je uspoređivati beskonačne kolekcije s obzirom na broj njihovih elemenata, reći imaju li njih dvije više ili manje ili "toliko", postoje:, na primjer, više decimalnih brojeva od cijelih brojeva, ali isto toliko brojeva kao i cijelih brojeva. Dakle, matematički, Zenonovo razmišljanje nije zvučno kad kaže da, jer zbirka ima točan broj, mora biti konačan, a prvi je subargument pogrešan. (Iako naravno samo pokazuje da su beskonačne kolekcije matematički konzistentne, a ne da fizički postoje.)i njihovu povijest.) Dakle, suprotno Zenovoj pretpostavci, smisleno je uspoređivati beskonačne kolekcije s obzirom na broj njihovih elemenata, reći imaju li njih dvije više ili manje ili "toliko", postoje:, na primjer, više decimalnih brojeva od cijelih brojeva, ali isto toliko brojeva kao i cijelih brojeva. Dakle, matematički, Zenonovo razmišljanje nije zvučno kad kaže da, jer zbirka ima točan broj, mora biti konačan, a prvi je subargument pogrešan. (Iako naravno samo pokazuje da su beskonačne kolekcije matematički konzistentne, a ne da fizički postoje.)na primjer, više decimalnih brojeva od cijelih brojeva, ali isto toliko brojeva kao i cijelih brojeva. Dakle, matematički, Zenonovo razmišljanje nije zvučno kad kaže da, jer zbirka ima točan broj, mora biti konačan, a prvi je subargument pogrešan. (Iako naravno samo pokazuje da su beskonačne kolekcije matematički konzistentne, a ne da fizički postoje.)na primjer, više decimalnih brojeva od cijelih brojeva, ali isto toliko brojeva kao i cijelih brojeva. Dakle, matematički, Zenonovo razmišljanje nije zvučno kad kaže da, jer zbirka ima točan broj, mora biti konačan, a prvi je subargument pogrešan. (Iako naravno samo pokazuje da su beskonačne kolekcije matematički konzistentne, a ne da fizički postoje.)

2.2 Argument s konačne veličine

… Ako bi mu dodali nešto drugo što postoji, ne bi to učinilo većim. Jer ako nema veličinu i doda se, ne može se povećavati u veličini. I tako odmah slijedi da ono što se dodaje nije ništa. Ali ako se oduzme, druga stvar nije manja, niti se povećava kada se zbroji, jasno da stvar koja se dodaje ili oduzima nije ništa. (Simplicius (a) O Aristotelovoj fizici, 139.9)

Ali ako postoji, svaka stvar mora imati neku veličinu i debljinu, a dio mora biti odvojen od ostalih. I isto obrazloženje vrijedi i za dio koji je ispred. I za to će imati veličinu, a dio će biti ispred. Sada je isto reći ovo jednom i to stalno reći. Jer nijedan takav dio neće biti posljednji, niti će postojati jedan dio koji nije povezan s drugim. Ako postoje mnoge stvari, one moraju biti i male i velike; tako mala da nema veličinu, ali tako velika da ne može biti neograničena. (Simplicius (a) O Aristotelovoj fizici, 141.2)

Još jednom imamo vlastite riječi Zenoa. Prema njegovom zaključku, u ovom argumentu postoje tri dijela, ali preživljavaju samo dva. Prvi argument koji nedostaje pokazuje da ako postoje mnoge stvari, one uopće ne moraju imati veličinu. Drugo, iz ovoga Zeno tvrdi da slijedi da oni uopšte ne postoje; Budući da rezultat spajanja (ili uklanjanja) nebrojenog predmeta u bilo čemu uopće nije promjena, on zaključuje da stvar dodana (ili uklonjena) nije doslovno ništa. Argument do ove točke je samodostatno odbacivanje pluralizma, ali Zeno nastavlja stvarati daljnji problem za nekoga tko i dalje podstiče postojanje pluralnosti. Ovaj treći dio argumenta je prilično loše postavljen, ali čini se da vodi ovako nešto: pretpostavimo da postoji mnoštvo, tako da postoji neki prostorno prošireni objekt (uostalom,samo je tvrdio da neiskrene stvari ne postoje). Budući da je produžen, ima dva prostorno različita dijela (jedan 'ispred' drugog). A dijelovi postoje, tako da imaju i produžetak, pa tako i oni imaju dva prostorno različita dijela; i tako dalje bez kraja. I stoga, čini se da je konačna crta argumenta zaključena, objekt je, ako je uopće produljen, u mjeri u kojoj je beskonačan.

Ali što bi moglo opravdati ovaj posljednji korak? Čini se da, jer objekt ima dva dijela, mora biti beskonačno velik! A niti to ne proizlazi iz bilo koje druge podjele koju Zeno ovdje opisuje; četiri, osam, šesnaest ili bilo koji konačni dijelovi čine konačnu cjelinu. Opet, Zeno je sigurno svjestan tih činjenica i stoga mora imati na umu nešto drugo, vjerojatno sljedeće: pretpostavlja da bi se, ako bi se beskonačni niz podjela koje je opisao ponavljao beskonačno mnogo puta, tada stvorila definitivna zbirka dijelova. I primijetite da ne mora pretpostaviti da je itko mogao izvršiti podjele - nema dovoljno vremena i noževi nisu dovoljno oštri - samo što se predmet može geometrijski rastaviti u takve dijelove (niti on pretpostavlja da su ti dijelovi su ono što bismo prirodno kategorizirali kao različite fizičke predmete poput jabuka, stanica, molekula, elektrona ili slično, ali samo da su oni geometrijski dijelovi tih objekata). Dakle, ako - kao što pluralist može dobro prihvatiti - takvi dijelovi postoje, iz drugog dijela njegove argumentacije proizlazi da su oni prošireni i, čini se, pretpostavlja, beskonačni zbroj konačnih dijelova je beskonačan. Iz drugog dijela njegove argumentacije proizlazi da su oni produženi i, izgleda pretpostavlja, beskonačan je zbroj konačnih dijelova. Iz drugog dijela njegove argumentacije proizlazi da su oni produženi i, izgleda pretpostavlja, beskonačan je zbroj konačnih dijelova.

Ovdje moramo napomenuti da postoje dva načina na koja je on zamislio rezultat beskonačne podjele.

Prvo, čovjek bi ga mogao pročitati kao prvo dijeljenje objekta na 1/2, zatim jedan od 1/2 / recimo drugi-u dva 1/4s, zatim jedan od 1/4s - ponoviti drugi - na dva 1 / 8s i tako dalje. U ovom slučaju rezultat beskonačne podjele rezultira beskonačnim nizom komada veličine 1/2 ukupne duljine, 1/4 duljine, 1/8 duljine …. I tada je ukupna duljina (1/2 + 1/4 + 1/8 +… duljine, za koju Zeno zaključuje da je beskonačna udaljenost, tako da je pluralist posvećen apsurdu da su konačna tijela toliko velika kao biti neograničen '.

Ono što se u odgovoru često ističe jest da nam Zeno ne daje razloga da mislimo da je suma beskonačna, a ne konačna. Možda je imao intuiciju da svaki beskonačni zbroj ograničenih količina, budući da beskrajno raste sa svakim novim pojmom, mora biti beskonačan, ali takav bi primjer mogao pokazati i da pokazuje da su neki beskonačni zbrojevi konačni. Dakle, suprotno onome što je mislio, Zeno nije dokazao da slijedi apsurdni zaključak. Međutim, ono što se ne cijeni uvijek je da pluralist nije tako lako otkinuti, jer nije dovoljno samo reći da je zbroj konačan, ona također mora pokazati da je konačna - inače ostajemo nesigurni u vezi s održivošću svog položaja. Kao ilustraciju ovdje svladanih poteškoća uzmite u obzir sljedeće:mnogi komentatori govore kao da je jednostavno očito da je beskonačni zbroj frakcija 1, da nema što beskonačno zbrajati. Ali što je sa sljedećom svotom: (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - / ldots). Očito, čini se, zbroj se može prepisati ((1 - 1) + (1 - 1) + / ldots = 0 + 0 + / ldots = 0). Sigurno se ovaj odgovor čini intuitivnim kao i zbroj frakcija. Ali ovaj se zbroj može prepisati i (1 - (1 - 1 + 1 - 1 + / ldots) = 1 - 0) - budući da smo upravo pokazali da izraz u zagradama nestaje - (= 1). Oslanjanje na intuiciju o izvršavanju beskonačnih zbroja dovodi do zaključka da je (1 = 0). Dok se ne može dati teorija o beskonačnim iznosima koja može dati zadovoljavajući odgovor na bilo koji problem, ne može se reći da je Zenoov beskonačni zbroj očito konačan. Takvu teoriju Cauchy nije u cijelosti razradio do devetnaestog stoljeća.(U Cauchyjevom sustavu (1/2 + 1/4 + / ldots = 1), ali (1 - 1 + 1 - / ldots) nije definirano.)

Drugo, moglo bi biti da Zeno znači da je objekt podijeljen na pola, zatim su obje 1/2 podijeljene na pola, zatim su 1/4 sve podijeljene na pola i tako dalje. U ovom su slučaju komadi u bilo kojoj određenoj fazi iste konačne veličine, pa bi se moglo zaključiti da bi rezultat kontinuiranog provođenja postupka bili komadi iste veličine koji bi, ako postoje - prema Zenou - veći od nule; ali beskonačnost jednakih produženih dijelova je doista beskrajno velika.

Ali toj se misli misli može oduprijeti. Prvo, pretpostavimo da upravo opisani postupak u potpunosti dijeli objekt na dijelove koji se ne preklapaju. (Postoji problem s ovom pretpostavkom koju ćemo vidjeti dolje.) To uključuje udvostručenje broja komada nakon svake podjele i tako nakon (N) podjela postoji (2 ^ N) komada. Ali ispada da je za svaki prirodni ili beskonačni broj, (N), (2 ^ N / gt N), pa je broj (navodnih) dijelova dobivenih beskonačno opisanim podjelama još veća beskonačnost, Ovaj rezultat ne predstavlja neposredne poteškoće, jer kao što smo gore spomenuli, beskonačnosti dolaze u različitim veličinama. Broj puta koliko je sve podijeljeno na dva dijela kaže se da je "beskrajno beskonačno": u zbirci postoji brojljiva beskonačnost stvari koje se mogu označiti brojevima 1, 2, 3,… Bez ostatka s obje strane. Ali broj komada koje beskonačna podjela proizvodi je "nebrojeno beskonačan", što znači da ne postoji način da ih označimo 1, 2, 3, … bez da neki od njih propuste - u stvari beskonačno mnogo njih. Međutim, Cauchyjeva definicija beskonačnog zbroja odnosi se samo na neizmjerno beskonačan niz brojeva, pa se ne odnosi na dijelove koje razmatramo. Međutim, mogli bismo uzeti u obzir upravo mnogo njih čija će duljina prema Zeno-u, budući da on tvrdi da su sve jednake i ne-nule, iznositi beskonačnu duljinu; duljina svih komada ne može biti manja od ove. Cauchyjeva definicija beskonačnog zbroja odnosi se samo na neizmjerno beskonačan niz brojeva, pa se ne odnosi na dijelove koje razmatramo. Međutim, mogli bismo uzeti u obzir upravo mnogo njih čija će duljina prema Zeno-u, budući da on tvrdi da su sve jednake i ne-nule, iznositi beskonačnu duljinu; duljina svih komada ne može biti manja od ove. Cauchyjeva definicija beskonačnog zbroja odnosi se samo na neizmjerno beskonačan niz brojeva, pa se ne odnosi na dijelove koje razmatramo. Međutim, mogli bismo uzeti u obzir upravo mnogo njih čija će duljina prema Zeno-u, budući da on tvrdi da su sve jednake i ne-nule, iznositi beskonačnu duljinu; duljina svih komada ne može biti manja od ove.

U ovom trenutku, pluralist koji vjeruje da Zenonova podjela potpuno dijeli predmete na dijelove koji se ne preklapaju (vidi sljedeći odlomak) mogao bi odgovoriti da dijelovi u stvari nemaju proširenje, iako postoje. To bi blokiralo zaključak da su konačni predmeti beskonačni, ali čini se da je gurnu natrag na drugi rog Zenonove rasprave, kako mogu svi ti dijelovi nulte dužine činiti cjelinu veličine jednaku nuli? (Imajte na umu da prema Cauchy (0 + 0 + 0 + / ldots = 0), ali ovaj rezultat ovdje ne pokazuje ništa, jer kao što smo vidjeli, postoji bezbroj komada za dodavanje-više nego što je dodano u ovom zbroju.) odgodit će ovo pitanje za raspravu o sljedećem paradoksu, ako dolazi izričito.

Drugi problem tumačenja beskonačne podjele kao opetovane podjele svih dijelova je taj što ne dijeli objekt na različite dijelove, ako su predmeti sastavljeni na prirodan način. Da bismo to vidjeli, postavimo pitanje koji su dijelovi dobiveni ovom podjelom na 1/2s, 1 / 4s, 1 / 8s,…. Budući da se podjela ponavlja bez kraja, nema posljednjeg djela koje možemo dati kao odgovor, pa o tom pitanju moramo razmišljati na drugačiji način. Ako pretpostavimo da objekt može biti predstavljen linijskim segmentom jedinične duljine, tada podjela proizvodi zbirke segmenata, pri čemu je prva ili prva ili druga polovica cijelog segmenta, druga je prva ili druga četvrtina, ili treće ili četvrto tromjesečje, a općenito segment proizveden od (N) odjeljcima je prva ili druga polovica prethodnog segmenta. Na primjer, pisanje segmenta krajnjim točkama (a) i (b) kao ([a, b]), neke od tih zbirki (tehnički poznate kao "lanci", jer elemente zbirke naručuje veličina) započet će ({[0,1], [0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [1 / 4,3 / 8], / ldots }). (Kad smo se prije raspravljali o tome da je Zenonova divizija proizvela bezbroj komada predmeta, ono što smo trebali pažljivije reći jest da proizvodi bezbroj ovakvih lanaca.)ono što smo trebali pažljivije reći jest da proizvodi nebrojeno mnogo lanaca poput ovog.)ono što smo trebali pažljivije reći jest da proizvodi nebrojeno mnogo lanaca poput ovog.)

Pitanje iz kojih dijelova se nalazi odjeljenje je pitanje iz kojeg dijela izabere bilo koji lanac; prirodno je reći da lanac odabere dio linije koji se nalazi u svakom njegovom elementu. Uzmimo za primjer lanac ({[0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [3 / 8,1 / 2], / ldots }), drugim riječima lanac koji započinje s lijevom polovicom retka i za koji je svaki drugi element desna polovina prethodnog. Točka na pola puta nalazi se u svakom od segmenata u ovom lancu; to je desna krajnja točka svakog od njih. Ali nijedna druga točka nije u svim njenim elementima: očigledno da nema točke izvan polovice; i odaberite bilo koju točku (p) prije polovice, ako dovoljno dovoljno uzmete desne polovice [0,1 / 2], lijevi kraj segmenta bit će desno od (p). Dakle, jedini dio linije koji je u svim elementima ovog lanca je točka na pola puta, i to je onaj dio linije koji je izabran od lanca. (U stvari, iz postulata teorije brojeva proizlazi da postoji točno jedna točka koju imaju svi članovi bilo kojeg takvog lanca.) Problem je što paralelnim zaključivanjem, pola na pola bira i točka različiti lanac ({[1 / 2,1], [1 / 2,3 / 4], [1 / 2,5 / 8], / ldots }), gdje je svaki segment nakon prvog lijeva polovica prethodne. I tako oba lanca odabiru isti dio crte: točku na pola puta. I tako na mnoge druge parove lanaca. Stoga Zenoov argument, interpretiran u smislu ponovljene podjele svih dijelova na pola, ne dijeli liniju na različite dijelove. Dakle, ako mislimo da su predmeti sastavljeni na isti način kao linija,slijedi da, unatoč izgledima, ova verzija argumenta ne reže predmete na dijelove o čijoj ukupnoj veličini možemo pravilno raspravljati.

(Mogli biste pomisliti da bi se ovaj problem mogao otkloniti tako da elementi lanaca budu segmenti bez krajnje točke s desne strane. Tada prvi od dva lanca za koja smo smatrali da više nema pola točke u bilo kojem od njegovih segmenata, i tako ne odabire tu točku. Sada je problem u tome što ne uspijeva odabrati niti jedan dio crte: prethodno obrazloženje pokazalo je da ne odabire nijednu točku veću ili manju od točke na pola puta, i sada ni ta točka ne odabire to!)

2.3 Argument iz potpune podjele

… Kad god je tijelo po prirodi djeljivo na sve strane, bilo bisezijom, bilo općenito bilo kojom drugom metodom, ništa nemoguće ne bi rezultiralo ako je stvarno podijeljeno… premda to zapravo možda nitko ne bi mogao podijeliti.

Što će onda ostati? Veličinu? Ne: to je nemoguće, jer tada će se nešto ne podijeliti, dok je ex hypothesi tijelo bilo djeljivo kroz i kroz. Ali ako se prizna da neće ostati niti tijelo niti veličina … tijelo će se sastojati od bodova (i njegovi će sastojci biti bez veličine) ili će biti apsolutno ništa. Ako je ovo posljednje, tada bi moglo i nastati iz ničega i postojati kao sastav ničega; i tako će vjerojatno cijelo tijelo biti samo izgled. Ali ako se sastoji od točaka, neće posjedovati nikakvu veličinu. (Aristotel o generaciji i korupciji, 316a19)

Ove Aristotelove riječi nisu Zenonove, a Aristotelove te argumente Zenoni uopće ne pripisuju. Međutim, mi imamo Simpliciusovo mišljenje ((a) O Aristotelovoj fizici, 139.24) da potječe sa Zenoom, zbog čega je i ovdje uključeno. Aristotel započinje pretpostavkom da je neko tijelo potpuno djeljivo, "kroz i kroz"; drugi korak te tvrdnje jasno daje do znanja da se pod tim podrazumijeva da je djeljiv na dijelove koji sami nemaju veličinu, a dijelovi s bilo kojom veličinom ostaju nepotpuno podijeljeni. (Još jednom važno je da je tijelo zbilja sastavljeno od takvih dijelova, a ne da itko ima vremena i alata za podjelu; i prisjećajući se iz prethodnog odjeljka da takvi dijelovi ne mogu dobiti ponovljenim dijeljenjem svih dijelova na pola.) Dakle, pretpostavimo da je tijelo podijeljeno na svoje dimenzijske dijelove. Ovi dijelovi mogu biti ili u biti ništa - kao što je Zeno tvrdio iznad - ili 'dijelovi točke'. Ako dijelovi nisu ništa, tada je i tijelo: to je samo iluzija. A argument zaključuje, čak i ako su točke, budući da su one neistražene, tijelo će biti neiscrpno: sigurno je svaki zbroj - čak i beskonačna jedna od nule jednaka nuli.

Može li se ta konačna pretpostavka dovesti u pitanje? To je (kao što je gore spomenuto) posljedica Cauchyjeve definicije beskonačnog zbroja; međutim Grünbaum (1967.) istaknuo je da se ta definicija odnosi samo na brojeve zbrojeve, a Cantor je dao lijep, zapanjujući i izuzetno utjecajan „dijagonalni“dokaz da je broj bodova u segmentu neograničeno beskonačan. Ne postoji način da se sve točke u liniji označe s beskonačnošću brojeva 1, 2, 3,…, i tako postoji više točaka u segmentu linija od zbrojeva u Cauchyjevom zbroju. Ukratko, analiza koja se koristi za neizmjerno beskonačnu podjelu ovdje se ne primjenjuje.

Pretpostavimo da vam je upravo dat broj točaka u liniji i da su sve njihove duljine jednake nuli; kako biste odredili duljinu? Trebamo li novu definiciju, onu koja proširuje Cauchyjeve do beskrajno beskonačnih iznosa? Ispada da to ne bi pomoglo, jer je Cauchy nadalje pokazao da bilo koji segment, bilo koje duljine (i doista čitava beskonačna linija) ima točno isti broj bodova kao i naš jedinični segment. Dakle, poznavanje broja točaka neće odrediti duljinu crte, pa nije moguće ništa poput poznatog zbrajanja - u kojem se cjelina određuje dijelovima -. Umjesto toga, moramo razmišljati o svojstvima udaljenosti crte koja su logično posmatračka njenom sastavu: prvo imamo skup točaka (poredanih na određeni način, tako da postoji neka činjenica, na primjer,o tome koja od bilo koje tri je između ostalih) tada definiramo funkciju parova točaka koja određuje koliko su udaljene (zadovoljavajući takve uvjete da je udaljenost između (A) i (B) plus udaljenost između (B) i (C) jednaka je udaljenost između (A) i (C) - ako je (B) između (A) i (C)). Tako na Zeno odgovaramo ovako: argument pretpostavlja da je veličina tijela zbroj veličina dijelova točaka, ali to nije slučaj; prema modernoj matematici, segment geometrijskih linija je neizbrojiva beskonačnost točaka plus funkcija udaljenosti. (Imajte na umu da je Grünbaum upotrijebio činjenicu da sastav točaka ne utvrđuje duljinu koja bi podržala njegovo 'konvencionalističko' gledište da linija uopće nema određenu duljinu, neovisno o mjernoj normi.)))))Tako na Zeno odgovaramo ovako: argument pretpostavlja da je veličina tijela zbroj veličina dijelova točaka, ali to nije slučaj; prema modernoj matematici, segment geometrijskih linija je neizbrojiva beskonačnost točaka plus funkcija udaljenosti. (Imajte na umu da je Grünbaum upotrijebio činjenicu da sastav točaka ne utvrđuje duljinu koja bi podržala njegovo 'konvencionalističko' gledište da linija uopće nema određenu duljinu, neovisno o mjernoj normi.)Tako na Zeno odgovaramo ovako: argument pretpostavlja da je veličina tijela zbroj veličina dijelova točaka, ali to nije slučaj; prema modernoj matematici, segment geometrijskih linija je neizbrojiva beskonačnost točaka plus funkcija udaljenosti. (Imajte na umu da je Grünbaum upotrijebio činjenicu da sastav točaka ne utvrđuje duljinu koja bi podržala njegovo 'konvencionalističko' gledište da linija uopće nema određenu duljinu, neovisno o mjernoj normi.)(Imajte na umu da je Grünbaum upotrijebio činjenicu da sastav točaka ne utvrđuje duljinu koja bi podržala njegovo 'konvencionalističko' gledište da linija uopće nema određenu duljinu, neovisno o mjernoj normi.)(Imajte na umu da je Grünbaum upotrijebio činjenicu da sastav točaka ne utvrđuje duljinu koja bi podržala njegovo 'konvencionalističko' gledište da linija uopće nema određenu duljinu, neovisno o mjernoj normi.)

Kao što Ehrlich (2014) naglašava, čak bismo mogli ustvrditi da je 'nebrojivi zbroj' nula nula, jer duljina crte nije jednaka zbroju duljina točaka koje sadrži (obraćajući se Sherry's, 1988., zabrinjava da odbijanje proširenja definicije bilo bi ad hoc). Prema tome, ako se propisuje da je duljina crte zbroj kompletne zbirke pravilnih dijelova, onda slijedi da točke nisu pravilno dijelovi dijelova crte (za razliku od polovica, četvrtina i tako dalje). U strogom smislu u modernoj teoriji mjera (koja generalizira Grünbaumov okvir), točke u liniji su s njom nespojive, a sama postavka koju je dao Aristotel u kojoj se dužina cjeline analizira u smislu njegovih točaka nelegitimna je,

3. Paradoksi pokreta

3.1 Dihotomija

Prvi tvrdi da nepostojanje kretanja na terenu ono što je u kretanju mora stići na pola puta prije nego što dođe do cilja. (Aristotelova fizika, 239b11)

Ovaj paradoks poznat je kao 'dihotomija' jer uključuje opetovanu podjelu na dva (poput drugog paradoksa pluralnosti). Kao i drugi paradoksi pokreta, imamo ga od Aristotela, koji ga je želio pobiti.

Pretpostavimo da vrlo brz trkač - poput mitske Atalante - treba trčati za autobus. Jasno prije nego što stigne do autobusnog stajališta, ona mora trčati na pola puta, kako Aristotel kaže. Nema tu problema; pretpostavljajući da je stalno kretanje, trebat će joj 1/2 vremena da trči na pola puta tamo, a 1/2 vrijeme da provede ostatak puta. Sada također mora trčati na pola puta do polovice točke - tj. 1/4 ukupne udaljenosti - prije nego što dosegne polovičnu točku, ali opet joj preostaje ograničen broj konačnih duljina za trčanje, i puno vremena za to. Prije nego što dosegne 1/4 puta, mora dostići (1/2) od (1/4 = 1/8) puta; a prije toga 1/16; i tako dalje. Nema problema ni na jednom konačnom mjestu u ovoj seriji, ali što ako je prepolovljenje provedeno beskonačno mnogo puta? Dobivena serija ne sadrži prvu udaljenost koju treba pretrčati,svaka moguća prva udaljenost mogla bi se podijeliti na pola, a samim tim ne bi bila prva. Međutim, sadrži konačnu udaljenost, naime 1/2 puta; i pretposljednja udaljenost, 1/4 puta; i treća do zadnje udaljenosti, 1/8 puta; i tako dalje. Prema tome, udaljenost od Atalante koju treba prijeći je:…, zatim 1/16 puta, zatim 1/8 puta, zatim 1/4 puta i konačno 1/2 puta (za sada ne sugeriramo joj da se zaustavi na kraju svakog segmenta, a zatim se počne odvijati na početku sljedećeg - mislimo na to da se njezin kontinuirani niz sastoji od takvih dijelova). A sada postoji problem, jer ovaj opis njezine vožnje trči beskonačan broj konačnih udaljenosti, što bi, zaključio bi Zeno, trebalo beskonačno vrijeme, što znači da nikad nije dovršeno. A budući da argument ne ovisi o udaljenosti ili o tome tko je ili što je pokretač, slijedi da se nikad ne može prijeći konačna udaljenost, što znači da je svako kretanje nemoguće. (Imajte na umu da paradoks lako može nastati u drugom smjeru, tako da Atalanta prvo mora trčati na pola puta, zatim na polovici preostalog puta, zatim na polovinu toga i tako dalje, tako da mora voditi sljedeći beskrajni niz frakcija ukupnog broja udaljenost: 1/2, pa 1/4, zatim 1/8, zatim….)tako da ona mora voditi sljedeći beskrajni slijed ulomaka ukupne udaljenosti: 1/2, zatim 1/4, zatim 1/8, pa onda….)tako da ona mora voditi sljedeći beskrajni slijed ulomaka ukupne udaljenosti: 1/2, zatim 1/4, zatim 1/8, pa onda….)

Nekoliko uobičajenih odgovora nije adekvatno. Kao što Simplicius (a) o Aristotelovoj fizici, 1012,22) kaže da je Diogenes Cinik to učinio šutljivim stajanjem i hodanjem, istaknuo je da je stvar najčešće iskustva koje se stvari zapravo kreću i da znamo vrlo dobro da Atalanta neće imati problema doći do svog autobusnog stajališta. Ali to ne bi impresioniralo Zenoa, koji je, kao plaćeni parmeniđanin, smatrao da mnoge stvari nisu takve kakve se čine: može se činiti da Diogen hoda ili da Atalanta trči, ali nastupi mogu biti varljivi i sigurno imamo logičan dokaz da se oni zapravo uopće ne kreću. Alternativno, ako neko ne prihvati da je Zeno dao dokaz da je gibanje iluzorno - kao što nadamo se da ne - i tada duguje račun onoga što nije u redu s njegovim argumentom: dao je razloge zbog kojih je kretanje nemoguće,i stoga adekvatan odgovor mora pokazati zašto ti razlozi nisu dovoljni. I neće naprosto naglasiti da postoje neki načini da se Atalanta uništi u samo dvije polovice, recimo u kojima nema problema. Jer ako prihvaćate sve korake u Zenonovoj argumentaciji, morate prihvatiti i njegov zaključak (pod pretpostavkom da je obrazložio na logički deduktivan način): nije dovoljno prikazati neproblematičnu podjelu, morate također pokazati zašto je ta podjela neproblematična.nije dovoljno pokazati neproblematičnu podjelu, morate pokazati i zašto je podjela neproblematična.nije dovoljno pokazati neproblematičnu podjelu, morate pokazati i zašto je podjela neproblematična.

Još jedan odgovor koji je dao sam Aristotel - je da napominjemo da, dok dijelimo prijeđene udaljenosti, također bismo trebali podijeliti ukupno trajalo vrijeme: postoji 1/2 vrijeme za konačni 1/2, 1/4 vremena za prethodnu 1/4, 1/8 vremena za 1/8 trčanja i tako dalje. Stoga svaka frakcijska udaljenost ima upravo pravi udio konačnog ukupnog vremena koje je Atalanta mogla da je završi, pa se udaljenost može završiti u konačnom vremenu. Aristotel je smatrao da ovaj odgovor treba zadovoljiti Zenoa, međutim također je shvatio (Physics, 263a15) da to ne može biti kraj stvari. Za sada kažemo da vrijeme koje Atalanta treba da stigne do autobusnog stajališta sastoji se od beskonačnog broja konačnih komada -…, 1/8, 1/4 i 1/2 ukupnog vremena - i nije li to beskonačno vrijeme?

Naravno, moglo bi se opet tvrditi da neki beskonačni zbrojevi imaju konačan zbroj, a posebno da je zbroj tih komada (1 / puta) ukupno vrijeme, što je naravno ograničeno (i opet bi cjelovito rješenje zahtijevalo strog prikaz beskonačnog zbrajanja, poput Cauchija). Međutim, Aristotel nije napravio takav potez. Umjesto toga, on je oštro napravio razliku između onoga što je nazvao "kontinuiranom" linijom i crte podijeljene na dijelove. Razmotrimo jednostavnu podjelu crte na dvije: s jedne strane je nepodijeljena linija, a s druge crta sa srednjom točkom odabranom kao granica dviju polovica. Aristotel tvrdi da su to dvije različite stvari: i da je potonje jedino „potencijalno“izvedljivo od prvoga. Zatim Aristotel zauzima zdravorazumsko mišljenje da je vrijeme poput geometrijske crte,i razmatra vrijeme potrebno za dovršavanje trke. Opet možemo razlikovati dva slučaja: postoji neprekidni interval od početka do cilja, a tu je i interval podijeljen u Zenovu beskonačnost poluproga. Prva je "potencijalno beskonačna" u smislu da bi se druga mogla podijeliti na "stvarnu beskonačnost". Evo ključnog koraka: Aristotel misli da, budući da su ti intervali geometrijski različiti, moraju biti i fizički različiti. Ali kako je to moguće? Tvrdi da trkačica mora učiniti nešto na kraju svakog poluproleta, kako bi se razlikovala od sljedećeg: ona mora prestati, čineći sam trčanje prekidom. (Nije jasno zašto neka druga radnja ne bi bila dovoljna za podjelu intervala.) Aristotelov potpuni odgovor na paradoks jest da je pitanje je li beskonačan niz vožnja moguć ili nije dvosmislen:moguća je beskonačna serija polovica u kontinuiranom trčanju, dok stvarna beskonačnost diskontinuiranih pola staza nije - Zeno identificira nemogućnost, ali ne opisuje uobičajeni način spuštanja staza!

Teško je iz naše moderne perspektive vidjeti kako bi ovaj odgovor mogao biti u potpunosti zadovoljavajući. U prvom redu pretpostavlja da se može jasno razlikovati između potencijalnih i stvarnih beskonačnosti, što nikada nije u potpunosti ostvareno. Drugo, pretpostavimo da se Zenoov problem odnosi na tvrdnju da su beskonačne sume konačnih količina neizmjerno beskonačne. Tada će Aristotelovo razlikovanje pomoći samo ako on može objasniti zašto su potencijalno beskonačne svote u stvari konačne (zar ne bismo mogli zbrojiti (1 + 1 + 1 + / ldots), koji nema konačni ukupni zbroj); ili ako može objasniti zašto potencijalno beskonačne svote jednostavno ne postoje. Ili Aristotel možda nije vidio beskonačne svote kao problem, već je li metafizički i konceptualno i fizički moguće dovršavanje beskonačnih konačnih radnji. Ukratko ćemo raspravljati o ovom izdanju 'Supertaksa' dolje, ali imajte na umu da postoji dobro definirana vožnja u kojoj su faze trčanja Atalante ograničene konačnim ostancima, pri čemu je moguće prikazati mogućnost ispunjavanja beskonačnog niza konačnih zadataka u ograničeno vrijeme (Huggett 2010, 21–2). Konačno, razlika između potencijalnih i stvarnih beskonačnosti nije igrala nikakvu ulogu u matematici otkad je Cantor pripitomio transfinite brojeve - zasigurno potencijalni beskonačni nije igrao nikakvu ulogu u modernim matematičkim rješenjima koja se ovdje raspravljaju.razlika između potencijalnih i stvarnih beskonačnosti nije igrala nikakvu ulogu u matematici jer je Cantor pripitomio transfinite brojeve - zasigurno potencijalni beskonačni nije igrao ulogu u modernim matematičkim rješenjima koja se ovdje raspravljaju.razlika između potencijalnih i stvarnih beskonačnosti nije igrala nikakvu ulogu u matematici jer je Cantor pripitomio transfinite brojeve - zasigurno potencijalni beskonačni nije igrao ulogu u modernim matematičkim rješenjima koja se ovdje raspravljaju.

3.2 Ahil i kornjača

[Drugi] argument nazvan je "Ahil", shodno tome iz činjenice da je Ahilej uzet [kao lik] u njemu, a argument kaže da mu je nemoguće prestići kornjaču dok je progoni. Zapravo je nužno da ono što pretjera [nešto], prije nego što ga pretjeramo, prvo dosegne granicu od koje izlazi ono što bježi. U vremenu u kojem dolazi ono što slijedi, ono što bježi će unaprijediti određeni interval, čak i ako je manji od onog što napreduje ono što slijedi…. I u vremenu u kojem će ono što slijedi preći će taj [interval] koji napreduje, u ovo će vrijeme opet ono što bježi preći neku količinu …. I tako će u svako doba u kojem će se slijevati prijeći [interval] koji je ono što bježi, sporiji, već napredovao,ono što bježi također će unaprijediti neki iznos. (Simplicius (b) O Aristotelovoj fizici, 1014.10)

Ovaj paradoks polazi od istih razmatranja kao i posljednji. Zamislite da Ahil lovi kornjaču i pretpostavite da Ahil trči brzinom od 1 m / s, da kornjača puze brzinom od 0,1 m / s i da kornjača kreće 0,9 m ispred Ahila. Na njegovom licu Ahil bi trebao uhvatiti kornjaču nakon 1 s, na udaljenosti od 1 m od mjesta gdje počinje (i tako 0,1 m od mjesta gdje kornjača započinje). Mogli bismo razbiti Ahilovo kretanje kao što smo to učinili Atalanta, na polovice, ili to možemo učiniti na sljedeći način: prije nego što Achilles uspije uhvatiti kornjaču mora doći do točke gdje je kornjača započela. Ali u vremenu koje mu je potrebno za to, kornjača puze malo dalje. Stoga sljedeći Ahilej mora doći do ove nove točke. Ali u vremenu koje je potrebno da Ahil postigne ovo kornjača puze naprijed malo dalje. I tako u beskonačnost:svaki put kada Ahil stigne do mjesta na kojem je bila kornjača, kornjača je imala dovoljno vremena da se još malo približi, pa je Ahil još jedan zalet i zato Ahilej ima beskonačan broj konačnih hvatanja prije nego što može uhvatiti kornjaču i tako, zaključuje Zeno, nikad kornjaču ne hvata.

Stoga je jedan aspekt paradoksa taj da Ahili mora prijeći sljedeće beskonačne nizove udaljenosti prije nego što uhvati kornjaču: prvo 0,9m, zatim dodatnih 0,09m, zatim 0,009m,…. Ovo su niz udaljenosti koje naprijed imaju kornjače na početku svakog od Ahilovih hvata. Gledano na ovaj način, zagonetka je identična Dihotomiji jer je samo reći da 'ono što je u lokomociji mora stići [devet desetina puta] prije nego što dođe do cilja'. I tako sve što smo gore rekli vrijedi i ovdje.

Ali ono što paradoks u ovom obliku najbolje otkriva je problem dovršetka niza radnji koje nemaju konačnog člana - u ovom slučaju beskonačnog niza hvatanja prije nego što Ahil dosegne kornjaču. Ali samo u čemu je problem? Možda je sljedeće: Ahilov trčanje do mjesta na kojem bi trebao stići do kornjače može, izgleda, biti potpuno rastavljeno u niz hvata, od kojih nijedan ne može odvesti u kornjaču. Stoga nigdje u svom naletu ne uspijeva doći do kornjače. Ali ako je to Zeno imao na umu, to neće učiniti. Naravno da Ahil ne doseže kornjaču u bilo kojem trenutku sekvence, jer se svako trčanje u nizu događa prije nego što očekujemo da će Ahil doći do njega! Razmišljajući u smislu bodova do kojih Achilles mora doći tijekom svog trčanja, 1m se ne javlja u slijedu 0,9m, 0,99m, 0,999m,…,tako da, naravno, nikad ne uhvati kornjaču tijekom tog slijeda trčanja! (I ista situacija nastaje u Dihotomiji: nema prve udaljenosti u nizu, dakle ne sadrži start Atalante!) Stoga serija hvatanja naposljetku u potpunosti ne razara trčanje: konačna točka - u kojoj Achilles radi uhvatiti kornjaču-mora joj se dodati. Dakle, postoji li neka zagonetka? Moguće da.

Ahilova vožnja prolazi kroz niz točaka 0,9m, 0,99m, 0,999m,…, 1m. No, ima li tako neobičan slijed koji se sastoji od beskonačnog broja članova nakon čega slijedi još jedan matematički smisao? Ako ne, onda naš matematički opis trčanja ne može biti točan, ali što je onda? Srećom, teorija transfinita koju je pokrenuo Cantor uvjerava nas da je takva serija savršeno respektabilna. Shvaćeno je da su redoslijedna svojstva beskonačnih nizova mnogo složenija od svojstava konačnih serija. Na primjer, bilo koji način slaganja brojeva 1, 2 i 3 daje niz u istom obrascu, ali postoji mnogo različitih načina da se naruče prirodni brojevi: na primjer, 1, 2, 3,…. Ili…, 3, 2, 1. Ili…, 4, 2, 1, 3, 5,…. Ili 2, 3, 4,…, 1, što je upravo ista vrsta serija kroz koje moraju proći Ahili. Stoga teorija transfinita ne tretira samo „kardinalne“brojeve - koji ovise samo o tome koliko ih ima - već i „redne“brojeve koji dalje ovise o načinu na koji su stvari raspoređene. Budući da su ordinati standardno uzeti kao matematički legitimni brojevi, a budući da niz točaka koje Ahil mora proći ima redni broj, smatrat ćemo da je serija matematički legitimna. (Opet, pogledajte "Supertaksi" u nastavku za drugu vrstu problema koji se mogu pojaviti kod Ahila. ")pretpostavit ćemo da je serija matematički legitimna. (Opet, pogledajte "Supertaksi" u nastavku za drugu vrstu problema koji se mogu pojaviti kod Ahila. ")pretpostavit ćemo da je serija matematički legitimna. (Opet, pogledajte "Supertaksi" u nastavku za drugu vrstu problema koji se mogu pojaviti kod Ahila. ")

3.3 Strelica

Treće je… leteća strelica u mirovanju, što proizlazi iz pretpostavke da se vrijeme sastoji od trenutaka…. on kaže da ako je sve u zaravnjenom položaju u mirovanju i ako je ono što je u kretanju uvijek u jednom trenutku, leteća strijela je, dakle, nepomična. (Aristotelova fizika, 239b30)

Zeno ukida pokret rekavši: "Ono što je u pokretu ne kreće se ni na mjestu na kojem je, niti na onome u kojem nije". (Diogenes Laertius, životi poznatih filozofa, ix.72)

Ovaj argument protiv pokreta izričito uključuje određenu vrstu pretpostavke pluralnosti: to vrijeme sastoji se od trenutaka (ili „nows“) i ničega drugog. Razmotrite strelicu, očigledno u pokretu, u svakom trenutku. Prvo, Zeno pretpostavlja da u tom trenutku ne prelazi nikakvu udaljenost - 'zauzima jednak prostor' cijeli trenutak. Ali cijelo razdoblje kretanja sadrži samo trenutke, od kojih svi sadrže strelicu u mirovanju, i tako, zaključuje Zeno, strelica se ne može pomicati.

Neposredna je zabrinutost zašto je Zeno opravdan u pretpostavci da je strelica u stanju mirovanja u bilo kojem trenutku. Slijedi odmah ako pretpostavimo da trenutak traje 0s: bez obzira na brzinu strelice, neće stići nigdje ako uopće nema vremena. Ali što ako netko smatra da su najmanji dijelovi vremena ograničeni - ako su sitni - tako da bi se strelica koja se kreće mogla u trenu pomaknuti neku udaljenost? Jedan način potkrepljenja pretpostavke - koji zahtijeva prilično čitanje u tekstu - započinje pretpostavkom da su momenti nedjeljivi. Zatim pretpostavite da se strelica u trenu pomaknula. Bilo bi na različitim lokacijama na početku i na kraju trenutka, što implicira da trenutak ima 'početak' i 'kraj', što zauzvrat podrazumijeva da ima najmanje dva dijela, i tako je djeljivo, suprotno naša pretpostavka.(Imajte na umu da ovaj argument samo utvrđuje da se ništa ne može kretati tijekom trenutka, a ne da momenti ne mogu biti konačni.)

Dakle, ništa se ne pomiče ni u jednom trenutku, već je vrijeme u potpunosti sastavljeno od trenutaka, pa se nikad ništa ne kreće. Prvi odgovor je naglasiti da određivanje brzine strelice znači dijeljenje pređenog puta u nekom vremenu s dužinom tog vremena. Ali ako od sada pretpostavimo da momenti nemaju nulto trajanje - ova formula nema smisla u slučaju trenutka: strelica putuje 0m u 0s trenutak traje, ali 0/0 m / s uopće nije nikakav broj. Stoga je pogrešno zaključiti iz činjenice da strijela ni u jednom trenutku ne prijeđe nijednu udaljenost da je u stanju mirovanja; da li je u pokretu u trenutku ili ne, ovisi o tome prelazi li bilo koju udaljenost u konačnom intervalu koji uključuje predmetni trenutak.

Odgovor je točan, ali nosi kontrainutitivnu implikaciju da gibanje nije nešto što se događa u bilo kojem trenutku, već samo tijekom ograničenih vremenskih razdoblja. Razmislite na ovaj način: vrijeme, kao što smo rekli, sastoji se samo od trenutaka. Ni jedan trenutak se ne prijeđe Pa kad se strelica zapravo pomiče? Kako se može prebaciti s jednog mjesta na drugo kasnije? Postoji samo jedan odgovor: strelica dolazi od točke (X) u vremenu 1 do točke (Y) u vremenu 2 jednostavno zbog toga što se nalazi u uzastopnim intermedijarnim točkama u uzastopnim intermedijarnim vremenima - strelica nikada ne mijenja svoj položaj tijekom trenutačno, ali samo u intervalima sastavljenim od trenutaka, zauzimanjem različitih položaja u različito vrijeme. Bergsonovim pamtljivim riječima - za koje je mislio da izražavaju apsurd - "pokret se sastoji od nepokretnosti" (1911, 308):prelaz iz (X) u (Y) stvar je zauzimati točno jedno mjesto između njih u svakom trenutku (u pravom redoslijedu, naravno). Za daljnju raspravu o ovoj „at-at“koncepciji vremena pogledajte Arntzenius (2000) i Salmon (2001, 23-4).

3.4 Stadion

Četvrti argument je onaj koji se odnosi na jednaka tijela koja se kreću uz jednaka tijela na stadionu iz suprotnih smjerova - ona s kraja stadiona, druga iz sredine - jednakom brzinom, za koja on misli da slijedi da polovina vremena jednaka je njegovom dvostrukom…. (Aristotelova fizika, 239b33)

Aristotel nastavlja s razradom i pobijanjem argumenta za Zenoov konačni paradoks pokreta. Tekst je prilično kriptičan, ali obično se tumači sljedećim linijama: zamislite tri niza dodirnih kockica - sve potpuno isto - u relativnom gibanju. Jedan skup-(A) s-su u mirovanju, a drugi-(B) s i (C) s-pomiču se udesno, odnosno s desnom brzinom s jednakom brzinom. A pretpostavimo da su se u jednom trenutku krajnji desni (B) i lijevi lijevi (C) poravnali sa sredinom (A), kao što je prikazano (tri su prikazana za jednostavnost).

(A) (A) (A)
(B) (B) (B)
(C) (C) (C)

Budući da se (B) s i (C) s kreću istim brzinama, oni će se istovremeno poravnati s (A) s.

(A) (A) (A)
(B) (B) (B)
(C) (C) (C)

U ovom trenutku, najviši desni (B) je prošao kroz sva (C) s, ali samo polovica (A) s; Budući da su jednake veličine, prešao je i malo udaljenosti i upola. Ovdje nije povučena pretpostavljena suprotnost, vjerojatno zato što je jasno da su ove suprotne udaljenosti u odnosu na (C) s i (A) s; općenito nema kontradikcije u postojanju različitih odnosa prema različitim stvarima. Umjesto toga, udaljenosti se pretvaraju u vrijeme dijeljenjem udaljenosti s brzinom od (B) s; pola udaljenost pri određenoj brzini traje pola vremena. Tada prijeti kontradikcija, jer je vrijeme između država nedvosmisleno, a ne relativno - proces traje neko (ne-nulto) vrijeme i pola tog vremena.

Opća presuda je da je Zeno bio beznadno zbunjen relativnim brzinama u ovom paradoksu. Ako se (B) s kreću brzinom S m / s udesno u odnosu na (A) s, i ako se (C) s kreću brzinom S m / s lijevo u odnosu na (A) s, tada se (C) s kreću brzinom (S + S = 2) S m / s ulijevo u odnosu na (B) s. I tako, naravno, dok (B) putuju dvostruko više u odnosu na (C) s u odnosu na (A) s, to čine dvostruko relativnom brzinom, pa su vremena isto bilo kako. Ali je li Zeno mogao biti zbunjen? (Sattler, 2015, osporava ovo i druga uobičajena čitanja stadiona.)

Možda je (Davey, 2007) umjesto toga imao na umu sljedeće (iako je Zeno prema ovom čitanju pametniji, to baš i ne odgovara Aristotelovim riječima): pretpostavimo da je (A) s, (B) s i (C) s su najmanjeg prostornog opsega, "veličine točka", pri čemu su "točke" nulte veličine ako je prostor kontinuiran, ili konačne ako je prostor "atomski". Pretpostavimo nadalje da nema razmaka između (A) s ili između (B) s ili između (C) s. Tijekom kretanja iznad vodećeg (B) prolazi sve (C) s i polovina (A) s, dakle upola manje (A) s koliko (C) s, Sada, kada se točka kontinuirano kreće duž crte bez ikakvih praznina, postoji 1: 1 podudaranje između trenutaka vremena i točaka na liniji - svakom trenutku i svakoj točki trenutak. Stoga,broj "(A) - instanci" vremena koji vodi (B) treba da prođe (A) s pola je broja "(C) - instanci" koji treba da prođe (C) s-iako ti procesi traju isto vrijeme. Ako onda, presudno, pretpostavimo da polovina vremena znači polovinu vremena, zaključujemo da je polovica vremena jednaka cijelom vremenu, što je kontradikcija.

Vidjeli smo gore, u našoj raspravi o potpunoj podjeli, problem s takvim zaključivanjem primijenjenim na neprekidne crte: bilo koji segment linija ima isti broj bodova, pa se na ovaj način ništa ne može zaključiti iz broja točaka - sigurno ne da je polovica polovine točke (ovdje, instancije) znače polovinu duljine (ili vremena). Paradoks ne uspijeva kako je navedeno. Ali nije li i sama tvrdnja da intervali sadrže isti broj instanci u sukobu s korakom argumenta koji zaključuje da je upola manje (A) - instanci koliko (C) - instanci? Ovo je pitanje suptilno za beskonačne skupove: pružiti drugačiji primjer, 1, 2, 3,… nalazi se u korespondenciji 1: 1 s 2, 4, 6,…, pa postoji isti broj svakog. To je u ovom smislu 1:1 dopisivanje - precizan osjećaj "istog broja" koji se koristi u matematici - da svaka konačna linija ima isti broj bodova kao i svaka druga. Međutim, neformalno gledano, postoji i "upola više" parnih brojeva kao i cijeli brojevi: parovi (1, 2), (3, 4), (5, 6), … mogu se staviti i u korespondenciju 1: 1 s 2, 4, 6,…. Slično tome, postoje neformalno govoreći-pola više (A) - instanci koliko (C) - instants: (A) - trenutci su u korespondenciji 1: 1 s parovima (C) - instanci, Dakle, u broju točaka nema proturječnosti: neformalna polovina jednaka je strogoj cjelini (potrebno je drugačije rješenje za atomsku teoriju, u skladu s linijama predstavljenim u završnom stavku ovog odjeljka).1 dopisivanje sa 2, 4, 6,…. Slično tome, postoje neformalno govoreći-pola više (A) - instanci koliko (C) - instants: (A) - trenutci su u korespondenciji 1: 1 s parovima (C) - instanci, Dakle, u broju točaka nema proturječnosti: neformalna polovina jednaka je strogoj cjelini (potrebno je drugačije rješenje za atomsku teoriju, u skladu s linijama predstavljenim u završnom stavku ovog odjeljka).1 dopisivanje sa 2, 4, 6,…. Slično tome, postoje neformalno govoreći-pola više (A) - instanci koliko (C) - instants: (A) - trenutci su u korespondenciji 1: 1 s parovima (C) - instanci, Dakle, u broju točaka nema proturječnosti: neformalna polovina jednaka je strogoj cjelini (potrebno je drugačije rješenje za atomsku teoriju, u skladu s linijama predstavljenim u završnom stavku ovog odjeljka).

(Spominjem sličan paradoks kretanja - 'kamen temeljac' koji se pripisuje Maimonidesu. Zamislite dva kotača, jedno dvostruko u krugu i opsegu drugog, pričvršćena na jednu osovinu. Neka se kreću niz kolosijek, s podignutom jednom šinom da bi osovina bila vodoravna, za jedno okretanje oba kotača [okreću se jednakom brzinom zbog osovine]: svaka točka svakog kotača stupa u kontakt s točno jednom točkom njegove šine, a svaka točka svake tračnice s točno jednom točkom svog kotača. Da li sklop prijeđe udaljenost jednaku opsegu velikog kotača? Malog? Oba? Nešto drugo? Kako? Ovaj problem također zahtijeva razumijevanje kontinuiteta, ali to nije paradoks Zenonovog pa ćemo prepustite to domišljatosti čitatelja.)

Konačna moguća rekonstrukcija Zenovog stadiona uzima ga kao argument protiv atomske teorije prostora i vremena, što je zanimljivo jer suvremena fizika istražuje takav pogled kada pokušava 'kvantizirati' prostor-vrijeme. Pretpostavimo da su tada stranice svake kocke jednake 'kvantu' duljine i da su dva razmatrana trenutka odvojena jednim kvantom vremena. Tada se mora dogoditi nešto neobično, jer krajnji desni (B) i srednji (C) prolaze jedan za drugim tijekom pokreta, a ipak ne postoji trenutak na kojem su oni ravni: jer su dva trenutka odvojena najmanjim moguće vrijeme, među njima ne može biti trenutka - bilo bi to vrijeme manje od najmanjeg vremena iz dva trenutka koja smo razmatrali. Suprotno tome, ako netko inzistira da ako prođu onda mora postojati trenutak kada su u ravni,tada pokazuje da ne može biti najkraći konačni interval - ma kakav bio, samo pokrenite ovaj argument protiv njega. Međutim, zašto treba inzistirati na toj pretpostavci? Problem je što jedan prirodno zamišlja kvantizirani prostor kao šahovsku ploču, na kojoj se šahovski komadi zamrzavaju tijekom svakog kvantiteta vremena. Tada se čovjek zapita kada crvena kraljica, recimo, prelazi iz jednog u drugi kvadrat, ili kako prolazi pored bijele kraljice, a da nije ravno s njom. Ali analogija je pogrešna. Bolje je misliti na kvantizirani prostor kao na divovsku matricu svjetla koja sadrži neki uzorak osvijetljenih svjetala za svaki kvant vremena. U ovoj analogiji zapaljena žarulja predstavlja prisustvo predmeta: na primjer, niz žarulja u liniji koja svijetli u nizu predstavlja tijelo koje se kreće ravno. U ovom slučaju nema iskušenja pitati kada svjetlost "prelazi" iz jedne žarulje u drugu - ili analogno tome kako se tijelo kreće s jednog mjesta na drugo. (Ovdje se dotičemo pitanja vremenskih dijelova i jesu li predmeti 'izdržali' ili 'provalili'.)

4. Još dva paradoksa

Aristotel je Zenou pripisao još dva paradoksa, ali oni su dati u kontekstu drugih točaka koje on iznosi, pa se Zenonova namjera ne može sa sigurnošću utvrditi: čak i jesu li oni namjeravali raspravljati protiv pluralnosti i pokreta. O njima ćemo ukratko razgovarati radi potpunosti.

4.1 Paradoks mjesta

Zenova poteškoća zahtijeva objašnjenje; jer ako sve što postoji ima mjesto, i mjesto će također imati ad in infinitum. (Aristotelova fizika, 209a23.)

Kad je u svojoj teoriji pokreta postavio svoju teoriju mjesta - ključnu prostornu predodžbu - Aristotel navodi razne teorije i probleme koje su na tu temu formulirali njegovi prethodnici, uključujući i Zeno. Argument opet pokreće pitanja beskonačnog, budući da drugi korak argumenta govori za beskonačan regres mjesta. Međutim, Aristotel to predstavlja kao argument protiv same ideje o mjestu, a ne pluralnosti (čime je vjerojatno izvađen iz konteksta). Teško je osjetiti snagu zaključka, jer zašto ne bi postojao beskonačan niz mjesta mjesta mjesta mjesta…? Vjerojatno bi zabrinutost bila veća za nekoga tko je (poput Aristotela) vjerovao da ne može postojati stvarna beskonačnost stvari, jer se čini da argument pokazuje da postoje. Ali kao što smo gore raspravljali, danas ne trebamo imati takve smetnje;čini se da ništa nije problematično sa stvarnom beskonačnošću mjesta.

Jedini drugi način da se regres može smatrati zabrinjavajućim ako se smatra da tijela imaju „apsolutna“mjesta, u smislu da uvijek postoji jedinstven privilegirani odgovor na pitanje „gdje je“? Problem tada nije u tome što postoji beskonačno puno mjesta, već samo u tome što ih ima mnogo. A Aristotel je možda imao tu zabrinutost, jer je u svojoj teoriji gibanja prirodno gibanje tijela određeno odnosom njegovog mjesta prema središtu svemira: račun koji zahtijeva mjesto da se odredi, jer je prirodno kretanje. (Vidi Sorabji 1988 i Morrison 2002 za općenito, kompetitivni prikaz Aristotelovih stajališta o mjestu; poglavlje 3 posljednjeg posebno za raspravu o Aristotelovu postupanju paradoksa.) Ali pretpostavimo da je neko mjesto apsolutno iz bilo kojeg razloga, tada za primjer,gdje sam dok pišem? Ako je paradoks u pravu, tada sam na svom mjestu i ja sam također na mjestu svog mjesta, i mjestu svog mjesta, i mom…. Budući da se nalazim na svim tim mjestima, može se činiti prikladnim odgovorom na pitanje. Mogući su različiti odgovori: negirati apsolutna mjesta (pogotovo jer ih naša fizika ne zahtijeva), definirati pojam mjesta koje je jedinstveno u svim slučajevima (vjerojatno Aristotelovo rješenje) ili možda tvrditi da su mjesta vlastita mjesta i tako odsjeći regres !definirati pojam mjesta koje je jedinstveno u svim slučajevima (vjerojatno Aristotelovo rješenje) ili možda tvrditi da su mjesta njihova vlastita mjesta i na taj način prekinuti regres!definirati pojam mjesta koje je jedinstveno u svim slučajevima (vjerojatno Aristotelovo rješenje) ili možda tvrditi da su mjesta njihova vlastita mjesta i na taj način prekinuti regres!

4.2 Zrno proso

… Zenono je obrazloženje lažno kad tvrdi da ne postoji dio prosa koji ne daje zvuk; jer nema razloga zašto bilo koji dio ne bi smio ni u jednom vremenskom roku ne uspjeti pomaknuti zrak kojim se cijela bušilica kreće padajući. (Aristotelova fizika, 250a19)

U kontekstu, Aristotel objašnjava da djelić sile mnogi ne proizvodi isti udio gibanja. Na primjer, dok 100 stevedore-a može povući baržu, netko je ne može natjerati da se pomakne, a kamoli 1/100 brzine; tako da vam daje onoliko vremena koliko želite da ga možda ne pomiče do stope stotine. (Ovu činjenicu opisujemo kao efekt trenja.) Slično tome, samo što padajuća pužnica prosota stvara bučni zvuk dok pada, čini se nemojte slijediti da bi svako pojedino zrno dalo, ili čini: ako dobijete onoliko vremena koliko želite, ono neće pomicati istu količinu zraka kao što prolazi. Međutim, dok opovrgava ovu premisu Aristotel ne objašnjava kakvu je ulogu igrao Zeno, a možemo samo nagađati. Nije čak ni jasno je li to dio paradoksa ili nekog drugog spora:je li i Zeno tvrdio da pokazuje da jedno zrno proso ne stvara zvuk? Jedna od nagađanja jest da naša čula otkrivaju da to nije, jer ne možemo čuti kako pada jedno zrno. Tada je Aristotelov odgovor prikladan; i sličan je odgovor koji i sam sluh zahtijeva kretanje u zraku iznad određenog praga.

5. Zenonov utjecaj na filozofiju

U ovom završnom odjeljku trebali bismo ukratko razmotriti utjecaj koji je Zeno imao na razne filozofe; pretraga literature otkrit će da se te rasprave nastavljaju.

  • Pitagorejci: U prvoj polovici dvadesetog stoljeća većina čitanja slijedećih Fabrika (1885.) Zenona smatrala je da su njegovi argumenti usmjereni protiv tehničke doktrine pitagorejaca. Prema ovom čitanju smatrali su da su sve stvari sastavljene od elemenata koji imaju svojstva jediničnog broja, geometrijske točke i fizikalnog atoma: ovakav položaj bi odgovarao njihovoj doktrini da je stvarnost u osnovi matematička. Međutim, sredinom stoljeća niz komentatora (Vlastos, 1967., rezimira argument i sadrži reference) snažno je tvrdio da je Zenoov cilj umjesto zdravog razuma razumijevanje pluralnosti i pokreta - jedan zasnovan na poznatim geometrijskim predodžbama - i doista nauk nije bio glavni dio pitagorejske misli. Implicirano smo pretpostavili da su ovi argumenti tačni u našem čitanju paradoksa. U tom smislu, Tanneryjeva interpretacija i dalje ima svoje branitelje (vidi npr. Matson 2001).
  • Atomisti: Aristotel (o generaciji i korupciji 316b34) tvrdi da je naš treći argument - onaj koji se odnosi na potpunu podjelu - bio ono što je uvjerilo atomiste da moraju postojati najmanji, nedjeljivi dijelovi materije. Pogledajte Abraham (1972) za daljnju raspravu o Zenovoj vezi s atomistima.
  • Vremenski postanak: U ranom dijelu dvadesetog stoljeća nekoliko utjecajnih filozofa pokušalo je Zeenove argumente staviti u službu metafizike 'vremenskog postanka', (pretpostavljenog) procesa nastajanja sadašnjosti. Takvi mislioci poput Bergson (1911), James (1911, Ch 10-11) i Whitehead (1929) tvrdili su da Zenonovi paradoksi pokazuju da prostor i vrijeme nisu strukturirani kao matematički kontinuum: oni su tvrdili da je način očuvanja stvarnosti pokreta je bilo zanijekati da se prostor i vrijeme sastoje od točaka i trenutaka. Međutim, jasno smo vidjeli da alati standardne moderne matematike spremaju rješavanje paradoksa, pa se takav zaključak ne čini opravdanim: ako sadašnjost doista 'postane', nema razloga da mislimo da postupak nije zarobljen kontinuumom.
  • Primjena matematičkog kontinuuma na fizički prostor i vrijeme: Nakon navođenja Russela (1929, 182–198), brojni filozofi, ponajviše Grünbaum (1967), preuzeli su zadatak pokazati kako moderna matematika može riješiti sve Zenonove paradoksa; njihov je rad temeljito utjecao na našu raspravu o argumentima. Shvatili su da čisto matematičko rješenje nije dovoljno: paradoksi ne dovode u pitanje samo apstraktnu matematiku, već i prirodu fizičke stvarnosti. Dakle, ono što su tražili bio je argument ne samo da Zeno ne predstavlja opasnost za matematiku beskonačnosti, već i da ta matematika pravilno opisuje predmete, vrijeme i prostor. Ne bi odgovorio na Zenonove paradokse ako matematički okvir na koji smo se pozvali nije dobar opis stvarnog prostora, vremena i kretanja!Poznata je ideja da matematički zakon - recimo Newtonov zakon univerzalne gravitacije - može ili ne mora ispravno opisati stvari, ali neki su aspekti matematike beskonačnosti - priroda kontinuuma, definicija beskonačnih zbroja i tako dalje - toliko osnovna da će možda biti teško u početku vidjeti da se i oni primjenjuju kontingentno. Ali zasigurno jesu: ništa ne garantira a priori da prostor ima strukturu kontinuuma, ili čak da se dijelovi prostora sastavljaju prema Cauchyjevoj definiciji. (Losos nudi lijep primjer kako bi vam pomogao u tome: jer alkohol se rastopi u vodi, ako ih pomiješate, na kraju s manje od njihove količine, pokazujući da čak i običan dodatak nije primjenjiv na sve vrste sustava.) Naše uvjerenje da matematička teorija beskonačnosti opisuje prostor i vrijeme opravdana je do te mjere da zakoni fizike pretpostavljaju da jesu, i do te mjere da su ti zakoni i sami potvrđeni iskustvom. Iako je istina da gotovo sve fizičke teorije pretpostavljaju da prostor i vrijeme doista imaju strukturu kontinuuma, također je slučaj da kvantne teorije gravitacije vjerojatno podrazumijevaju da ih ne čine. Iako nitko zapravo ne zna kuda će ovo istraživanje u konačnici voditi, sasvim je moguće da će se prostor i vrijeme, na najosnovnijoj razini, poprilično razlikovati od matematičkog kontinuuma koji smo ovdje pretpostavili. Iako je istina da gotovo sve fizičke teorije pretpostavljaju da prostor i vrijeme doista imaju strukturu kontinuuma, također je slučaj da kvantne teorije gravitacije vjerojatno podrazumijevaju da ih ne čine. Iako nitko zapravo ne zna kuda će ovo istraživanje u konačnici voditi, sasvim je moguće da će se prostor i vrijeme, na najosnovnijoj razini, poprilično razlikovati od matematičkog kontinuuma koji smo ovdje pretpostavili. Iako je istina da gotovo sve fizičke teorije pretpostavljaju da prostor i vrijeme doista imaju strukturu kontinuuma, također je slučaj da kvantne teorije gravitacije vjerojatno podrazumijevaju da ih ne čine. Iako nitko zapravo ne zna kuda će ovo istraživanje u konačnici voditi, sasvim je moguće da će se prostor i vrijeme, na najosnovnijoj razini, poprilično razlikovati od matematičkog kontinuuma koji smo ovdje pretpostavili.

    Treba napomenuti da je Grünbaum preuzeo posao pokazivanja da moderna matematika opisuje prostor i vrijeme kako bi uključio nešto poprilično drugačije od argumentacije da je to potvrđeno iskustvom. Tada je vladalo mišljenje (iako trenutno ne) da znanstveni izrazi imaju značenje u onoj mjeri u kojoj su se izravno odnosili na predmete iskustva - poput "vladara 1 m" - ili, ako su se odnosili na "teorijske", a ne na "promatrane" cjeline - kao "točka prostora" ili "1/2 od 1/2 od 1/2 1/2 trkališta" - tada su dobili smisao svojim logičkim odnosima - kroz definicije i teorijske zakone - takvim terminima promatranja. Tako je Grünbaum poduzeo impresivan program kako bi dao smisao svim izrazima koji su uključeni u modernu teoriju beskonačnosti, interpretiranim kao račun prostora i vremena.

  • Supertaksati: Daljnji niz misli odnosi se na ono što je Black (1950–51) nazvao „strojevima beskonačnosti“. Black i njegovi sljedbenici htjeli su pokazati da iako Zenoni paradoksi ne nude matematiku nikakav problem, pokazali su da nakon svega matematika nije primjenjiva na prostor, vrijeme i kretanje. Najupečatljivije, naša rezolucija o Dihotomiji i Ahilsu pretpostavljala je da se čitav niz može slomiti u beskonačni niz od pola izvođenja, koji se može sažeti. No, je li zaista moguće dovršiti bilo koji beskonačni niz radnji: dovršiti ono što je poznato kao "supertaks"? Ako ne, i pod pretpostavkom da Atalanta i Ahiles mogu dovršiti svoje zadatke, njihovi se kompletni trčanja ne mogu ispravno opisati kao beskonačni niz polutrgova, iako bi ih moderna matematika tako opisala. Ono što bi uređaji za beskonačnost trebali uspostaviti jest da beskonačni niz zadataka ne može biti dovršen, pa nijedan dovršivi zadatak ne može se raščlaniti u beskonačnost manjih zadataka, što god matematika sugerira.
  • Infinitesimals: Napokon, vidjeli smo kako se boriti sa paradoksima koristeći resurse matematike razvijene u devetnaestom stoljeću. Dugo se smatralo jednom od velikih vrlina ovog sustava što je napokon pokazalo da su beskonačne minimalne količine, manje od bilo kojeg konačnog broja, ali veće od nule, nepotrebne. (Newtonova računica, na primjer, učinkovito je koristila takve brojeve, tretirajući ih ponekad kao nulu, a ponekad kao konačne; problem takvog pristupa je u tome što je tretirati brojeve stvar intuicije, a ne strogosti.) Međutim, u dvadesetom stoljeću Robinson je pokazao kako u matematiku uvesti beskonačno mali broj: ovo je sustav 'nestandardne analize' (poznati sustav stvarnih brojeva, koji je Dedekind dao rigoroznim temeljima, za razliku je samo 'analiza'). analogno,Bell (1988) objašnjava kako se beskonačno mali segmenti linija mogu uvesti u geometriju i komentira njihov odnos prema Zenou. Štoviše, McLaughlin (1992, 1994) pokazuje kako se Zenonovi paradoksi mogu razriješiti u nestandardnoj analizi; oni više nisu argument protiv nestandardne analize nego protiv standardne matematike koju smo ovdje pretpostavili. No treba naglasiti da, suprotno McLaughlinim prijedlozima, ne treba nestandardna analiza da bi se riješili paradoksi: bilo koji sustav podjednako je uspješan. (Reeder, 2015, tvrdi da je nestandardna analiza nezadovoljavajuća u odnosu na strelicu, i nudi alternativni račun koristeći drugačiju koncepciju beskonačnih životinja.) Izgradnja nestandardne analize ipak postavlja dodatno pitanje o primjenjivosti analize na fizičko prostor i vrijeme:čini se vjerojatnim da se sve fizičke teorije mogu formulirati u bilo kojem pogledu, pa, koliko se naše iskustvo proširuje, obje se čine podjednako potvrđene. Ali ne mogu biti istinite ni za prostor i za vrijeme: ili prostor ima beskonačno male dijelove ili ih nema.

Daljnja čitanja

Nakon relevantnih unosa u ovu enciklopediju, mjesto započinjanja bilo kakvih daljnjih istraga je Salmon (2001), koji sadrži neke od najvažnijih članaka o Zenou do 1970. godine i impresivno sveobuhvatnu bibliografiju djela na engleskom jeziku u dvadesetom stoljeću.

Moglo bi se pogledati i Huggett (1999, Ch. 3) i Huggett (2010, Ch. 2–3) radi daljnjih odlomaka i rasprava o izvorima. Uvod u matematičke ideje koje stoje iza modernih rezolucija dobro su započeti Dodatak lososu (2001) ili Stewartu (2017); Russell (1919) i Courant i sur. (1996, Chs. 2 i 9) su također čudesni izvori. Konačno, tri zbirke izvornih izvora za Zenonove paradokse: Lee (1936. [2015.) Sadrži sve poznato, Kirk i sur. (1983, Ch. 9) sadrže mnogo materijala (na engleskom i grčkom jeziku) s korisnim komentarima i Cohen i sur. (1995.) imaju i glavne odlomke.

Bibliografija

  • Abraham, WE, 1972, "Priroda Zenove argumentacije protiv pluralnosti u DK 29 B I", Phronesis, 17: 40–52.
  • Aristotel, 'O generaciji i korupciji', AA Joachim (pre), u Kompletnim djelima Aristotela, J. Barnes (ur.), Princeton: Princeton University Press, 1984.
  • Aristotel, 'Physics', WD Ross (pre), u The Complete Works of Aristotel, J. Barnes (ur.), Princeton: Princeton University Press, 1984.
  • Arntzenius, F., 2000, "Postoje li stvarno trenutne brzine?", Monist, 83: 187–208.
  • Bell, JL, 1988., "Infinitesimals", Synthese, 75 (3): 285–315.
  • Belot, G. i Earman, J., 2001, 'Predsokratska kvantna gravitacija', u fizici se susreće s filozofijom na ljestvici Planka: Suvremene teorije kvantne gravitacije, C. Callender i N. Huggett (ur.), Cambridge: Sveučilište u Cambridgeu Press.
  • Bergson, H., 1911, Creative Evolution, A. Mitchell (trans.), New York: Holt, Reinhart i Winston.
  • Black, M., 1950, 'Ahil i kornjača', Analiza, 11: 91–101.
  • Cohen, SM, Curd, P. i Reeve, CDC (eds), 1995, Čitanja drevne grčke filozofije od Thalesa do Aristotela, Indianapolis / Cambridge: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Courant, R., Robbins, H. i Stewart, I., 1996, što je matematika? Elementarni pristup idejama i metodama, drugo izdanje, New York, Oxford: Oxford University Press.
  • Davey, K., 2007, 'Aristotel, Zeno i paradoks stadiona', Kvartalna povijest filozofije, 24: 127–146.
  • Diogenes Laertius, 1983., "Životi poznatih filozofa", str. 273, predsokratskih filozofa: kritička povijest s izborom tekstova, drugo izdanje, GS Kirk, JE Raven i M. Schofield (ur.), Cambridge: Cambridge University Press,
  • Ehrlich, P., 2014, „Esej u čast devedesetog rođendana Adolfa Grünbauma: preispitivanje Zenodovog paradoksa proširenja“, Filozofija znanosti, 81 (4): 654–675.
  • Grünbaum, A., 1967, Moderna znanost i Zenonovi paradoksi, Middletown: Connecticut Wesleyan University Press.
  • Huggett, N. (ur.), 1999, Prostor od Zenona do Einsteina: Klasična čitanja sa suvremenim komentarom, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Huggett, N., 2010, Everywhere and Everywhen: Avanture u fizici i filozofiji, Oxford: Oxford University Press.
  • James, W., 1911., Neki problemi filozofije, New York: Longmans, Green & Co.
  • Kirk, GS, Raven JE i Schofield M. (ur.), 1983., Presokratski filozofi: Kritična povijest s izborom tekstova, 2. izdanje, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lee, HDP (ur.), 1936. [2015], Zeno of Elea: Tekst, s prijevodom i bilješkama, Cambridge: Cambridge University Press, reprinted 2015.
  • Matson, WI, 2001., "Zeno se kreće!", U Esejima drevne grčke filozofije VI: Prije Platona, A. Preus (ur.), Albany: Državno sveučilište New York Press.
  • McLaughlin, WI, 1994., "Rješavanje Zenovih paradoksa", Scientific American, 271 (5): 84–89.
  • McLaughlin, WI, i Miller, SL, 1992, 'Epistemološka upotreba nestandardne analize za odgovor na Zenonove prigovore protiv pokreta', Synthese, 92: 371–384.
  • Morison, B, 2002, na lokaciji: Aristotelov koncept mjesta, Oxford: Oxford University Press.
  • Newton, I., The Principia: Matematički principi prirodne filozofije, IB Cohen i AM Whitman (prev.), Berkeley: University of California Press, 1999.
  • Plato, 1997, 'Parmenides', ML Gill i P. Ryan (pre), u Platonu: Kompletna djela, JM Cooper (ur.), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Reeder, P., 2015, "Zenova strelica i beskonačno mali račun", Synthese, 192: 1315–1335.
  • Russell, B., 1919, Uvod u matematičku filozofiju, London: George Allen i Unwin Ltd.
  • Russell, B., 1929, Naše znanje o vanjskom svijetu, New York: WW Norton & Co. Inc.
  • Salmon, WC, 2001., Zeno's Paradoxes, 2. izdanje, Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Sattler, B., 2015, „Vrijeme je dvostruko veće: Zenoovi pokretni redovi“, Antička filozofija, 35: 1–22.
  • Sherry, DM, 1988., Zenov je metrički paradoks ponovljen, Filozofija znanosti, 55: 58–73.
  • Simplicius (a), „O Aristotelovoj fizici“, u knjigama iz grčke filozofije od Thalesa do Aristotela, SM Cohen, P. Curd i CDC Reeve (ur.), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., str. 58–59, 1995.
  • Simplicius (b), O Aristotelovoj fizici 6, D. Konstan (prev.), London: Gerald Duckworth & Co. Ltd, 1989.
  • Sorabji, R., 1988., Teorije materije, svemira i pokreta u antici i njihov slijed, Ithaca: Cornell University Press.
  • Stewart, I., 2017, Infinity vrlo kratak uvod, Oxford: Oxford University Press.
  • Tannery, P., 1885, „Le Concept Scientifique du continu: Zenon d'Elee et Georg Cantor“, Revue Philosophique de la France et de l'Etranger, 20: 385–410.
  • Vlastos, G., 1967, 'Zeno of Elea', u Enciklopediji filozofije, P. Edwards (ur.), New York: The Macmillan Co. i The Free Press.
  • Whitehead, AN, 1929, Proces i stvarnost, New York: Macmillan Co.

Akademske alate

sep man ikona
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

Preporučeno: