Dokazno-teoretska Semantika

Sadržaj:

Dokazno-teoretska Semantika
Dokazno-teoretska Semantika

Video: Dokazno-teoretska Semantika

Video: Dokazno-teoretska Semantika
Video: HTML5 CSS3 2024, Ožujak
Anonim

Ulazna navigacija

  • Sadržaj unosa
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Prijatelji PDF pregled
  • Podaci o autoru i citiranju
  • Povratak na vrh

Dokazno-teoretska semantika

Prvo objavljeno u srijedu 5. prosinca 2012; suštinska revizija Čet 1. veljače 2018

Dokazno-teorijska semantika je alternativa semantika uvjeta istine. Temelji se na temeljnoj pretpostavci da je središnja predodžba po kojoj se značenja dodjeljuju određenim izrazima našeg jezika, posebno logičkim konstantama, više dokaz nego istina. U tom smislu dokazno-teorijska semantika je semantika u smislu dokaza. Dokazno-teorijska semantika znači i semantiku dokaza, tj. Semantiku entiteta koja opisuje kako dolazimo do određenih tvrdnji s obzirom na određene pretpostavke. Oba se aspekta teoretsko-teorijske semantike mogu ispreplesti, tj. Sama semantika dokaza često se daje u smislu dokaza.

Dokazno-teorijska semantika ima nekoliko korijena, od kojih je najviše specifična Gentzenova napomena da pravila uvođenja u njegov račun prirodne dedukcije definiraju značenja logičkih konstanti, dok se pravila eliminacije mogu dobiti kao posljedica ove definicije (vidjeti odjeljak 2.2. 1). Šire šire, pripada onome što je Prawitz nazvao općom teorijom dokaza (vidi odjeljak 1.1). Još šire, to je dio tradicije prema kojoj bi značenje pojma trebalo objasniti pozivanjem na način na koji se on koristi u našem jeziku.

U filozofiji je dokazno-teorijska semantika uglavnom figurirala pod naslovom „teorija značenja“. Ta terminologija slijedi Dummetta koji je tvrdio da je teorija značenja osnova teorijske filozofije, gledišta koje je pripisivao Fregeu. Izraz „dokazno-teorijska semantika“predložio je Schroeder-Heister (1991.; koristi se već 1987. predavanja u Stockholmu) kako se termin „semantika“ne bi ostavljao samo denotacionalizmom - na kraju krajeva, „semantika“je standardni pojam za istraživanja koja se bave značenjem jezičnih izraza. Nadalje, za razliku od "teorije značenja", pojam "dokazno-teorijska semantika" također pokriva filozofske i tehničke aspekte. Prva konferencija s ovim naslovom održana je 1999. godine u Tübingenu, a druga 2013. Prvi udžbenik s ovim naslovom pojavio se 2015. godine.

  • 1. Pozadina

    • 1.1 Opća teorija dokaza: posljedica nasuprot dokazima
    • 1.2 Inferencijalnost, intuicionizam, anti-realizam
    • 1.3 Teorija dokazivanja u stilu Gentzena: Smanjenje, normalizacija, eliminacija rezova
  • 2. Neke verzije dokazno-teorijske semantike

    • 2.1 Semantika implikacija: Prihvatljivost, izvedljivost, pravila

      • 2.1.1 Operativna logika
      • 2.1.2 Gentzen semantika
      • 2.1.3 Prirodni odbitak s pravilima više razine
    • 2.2 Semantika izvedenica na temelju pravila uvođenja

      • 2.2.1 Načela inverzije i harmonija
      • 2.2.2 Dokazno-teorijska valjanost
      • 2.2.3 Teorija konstruktivnog tipa
    • 2.3 Definicije klauzule i definitivno obrazloženje

      • 2.3.1 Izazov logičkog programiranja
      • 2.3.2 Definitivni odraz
    • 2.4 Strukturna karakterizacija logičkih konstanti
    • 2.5 Teorija kategoričkog dokaza
  • 3. Proširenja i alternative standardnoj dokazno-teorijskoj semantika

    • 3.1 Pravila za uklanjanje kao osnovna
    • 3.2 Negiranje i poricanje
    • 3.3 Harmonija i odraz u slijedu izračuna
    • 3.4 Subatomska struktura i prirodni jezik
    • 3.5 Klasična logika
    • 3.6 Hipotetičko rezonovanje
    • 3.7 Intenzivna dokazno-teorijska semantika
  • 4. Zaključak i izgledi
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Ostali internetski resursi
  • Povezani unosi

Ovaj unos uključuje i sljedeće dopunske dokumente koji su povezani u tekst:

  • Primjeri dokazno-teorijske valjanosti
  • Definitivna refleksija i paradoksi

1. Pozadina

1.1 Opća teorija dokaza: posljedica nasuprot dokazima

Izraz "opća teorija dokaza" skovao je Prawitz. Općenito, teorija dokazivanja „dokazi se proučavaju sami po sebi u nadi da će razumjeti njihovu prirodu“, u suprotnosti s Hilbertovom „teorijom reduktivnih dokaza“, koja je „pokušaj analize dokaza matematičkih teorija s namjerom da svodeći ih na neki elementarniji dio matematike, kao što je finitistička ili konstruktivna matematika”(Prawitz, 1972., str. 123). Na sličan način Kreisel (1971) traži preusmjeravanje teorije dokaza. Želi objasniti "nedavni rad u teoriji dokaza s zanemarene točke gledišta. Dokazi i njihovo prikazivanje formalnim izvedenjima tretiraju se kao glavni predmeti proučavanja, a ne kao puki alati za analizu posljedica odnosa. " (Kreisel, 1971, str.109) Dok se Kreisel usredotočuje na dihotomiju između teorije dokaza i teorije dokazivosti, Prawitz se koncentrira na različite ciljeve kojima se teorija dokazivanja može pridržavati. Međutim, obojica naglašavaju potrebu proučavanja dokaza kao temeljnih cjelina pomoću kojih stječemo demonstrativno (posebno matematičko) znanje. To posebno znači da su dokazi epiztematske cjeline koje ne bi trebale biti u vezi s formalnim dokazima ili izvodima. Oni su radije ono što izvedenice označavaju kada se smatraju reprezentacijom argumenata. (Međutim, u sljedećem tekstu često koristimo „dokaz“sinonim za „izvođenje“, ostavljajući ga čitatelju da utvrdi da li se misli na formalne dokaze ili dokaze kao epiztemske cjeline.) U raspravi o Prawitzevom (1971) istraživanju, Kreisel (1971, str.,111) izričito govori o „preslikavanju“između izvedenica i mentalnih djela i smatra da je zadatak dokazne teorije da se razjasni to preslikavanje, uključujući i ispitivanje identiteta dokaza, teme koja su Prawitz i Martin-Löf stavili na dnevni red,

To znači da nas u općenitoj teoriji dokazivanja ne zanima samo da li B slijedi iz A, nego na način na koji možemo doći do B polazeći od A. U tom je smislu opća teorija dokaza intenzivna i epistemološka po karakteru, dok je teorija modela, koju zanima odnos posljedica, a ne način uspostavljanja, ekstenzivna i metafizička.

1.2 Inferencijalnost, intuicionizam, anti-realizam

Dokazno-teorijska semantika je sama po sebi inferencijalna, budući da je inferencijalna aktivnost koja se očituje u dokazima. Stoga pripada inferencijalizmu (vidi Brandom, 2000.) prema kojem zaključke i pravila zaključivanja uspostavljaju značenje izraza, suprotno suprotnosti s denotacionalizmom, prema kojem su denotacije primarna vrsta značenja. Inferencijalizam i pogled semantike „značenja kao upotrebe“širi je filozofski okvir dokazno-teorijske semantike. Ova se opća filozofska i semantička perspektiva spojila s konstruktivnim pogledima koji su nastali u filozofiji matematike, posebno u matematičkom intuicionizmu. Većina oblika dokazno-teorijske semantike je po duhu intuicijska,što posebno znači da se načela klasične logike poput zakona isključene sredine ili zakona dvostruke negacije odbacuju ili u najmanju ruku smatraju problematičnim. Djelomično je to posljedica činjenice da je glavni alat dokazno-teorijske semantike, računanje prirodne dedukcije pristran prema intuicijističkoj logici, u smislu da je izravna formulacija njegovih pravila eliminacije intuicijska. Ondje je klasična logika dostupna samo pomoću nekog pravila neizravnog dokazivanja, koji, barem do neke mjere, uništava simetriju načela rasuđivanja (vidi odjeljak 3.5). Ako se usvoji stajalište prirodne dedukcije, tada je intuicijska logika prirodni logički sustav. Također BHK (Brouwer-Heyting-Kolmogorov) interpretacija logičkih znakova igra značajnu ulogu. Ova interpretacija nije jedinstven pristup semantikama, ali sadrži razne ideje koje su često više neformalno nego što su formalno opisane. Posebno je važno njegov funkcionalni prikaz implikacije, prema kojem je dokaz A → B konstruktivna funkcija koja, kada se primjenjuje na dokaz A, daje dokaz B. Ova funkcionalna perspektiva je u osnovi mnogih koncepcija dokazno-teorijske semantike, posebno onih Lorenzena, Prawitza i Martina Löfa (vidjeti odjeljke 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3). Ova funkcionalna perspektiva je u osnovi mnogih koncepcija dokazno-teorijske semantike, posebno onih Lorenzena, Prawitza i Martina Löfa (vidjeti odjeljke 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3). Ova funkcionalna perspektiva je u osnovi mnogih koncepcija dokazno-teorijske semantike, posebno onih Lorenzena, Prawitza i Martina Löfa (vidjeti odjeljke 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3).

Prema Dummettu, logički položaj intuicionizma odgovara filozofskom položaju antirealizma. Realistički pogled na neovisnu stvarnost prepoznavanja metafizički je kontra gledišta da su sve rečenice istinite ili lažne, neovisno o našim sredstvima prepoznavanja. Nakon Dummetta, glavni dijelovi dokazno-teorijske semantike povezani su s anti-realizmom.

1.3 Teorija dokazivanja u stilu Gentzena: Smanjenje, normalizacija, eliminacija rezova

Gentzen-ovo računanje prirodne dedukcije i njezino prikazivanje Prawitz je pozadina većine pristupa dokazno-teorijskoj semantiki. Prirodni odbitak temelji se na najmanje tri glavne ideje:

  • Ispraznivanje pretpostavki: Pretpostavke se mogu „isprazniti“ili „eliminirati“tijekom izvedbe, pa je središnji pojam prirodnog dedukcije on derivacije ovisno o pretpostavkama.
  • Odvajanje: Svaka primitivna shema pravila sadrži samo jednu logičku konstantu.
  • Uvod i eliminacije: Pravila za logičke konstante dolaze u parovima. Pravila uvođenja omogućuju (e) zaključivanje formule s konstantom o kojoj se radi kao glavnim operatorom, a pravila za uklanjanje dopuštaju (e) da iz takve formule izvlače posljedice.

U Gentzen-ovom prirodnom sustavu dedukcije za logičke izvode prvog reda pišu se u obliku stabla i temelje se na dobro poznatim pravilima. Primjerice, implikacija ima sljedeća pravila uvođenja i uklanjanja

[A]
B → ja
A → B
A → BA → E
B

pri čemu zagrade upućuju na mogućnost pražnjenja pojava pretpostavke A. Otvorene pretpostavke derivacije su one pretpostavke o kojima ovisi krajnja formula. Derivacija se naziva zatvorena, ako nema otvorenu pretpostavku, u protivnom se naziva otvorenom. Ako imamo posla s kvantifikatorima, moramo razmotriti i pojedinačne varijable koje se ponekad nazivaju "parametri". Metaloške značajke ključne za dokazno-teorijsku semantiku i prvi put sustavno istražene i objavljene od strane Prawitza (1965.) uključuju:

Smanjenje: Za svaki zaobilazni put koji se sastoji od uvoda odmah nakon čega slijedi uklanjanje, postoji korak smanjenja za uklanjanje ove obilaznice.

Normalizacija: Uzastopnim primjenama redukcija, derivati se mogu transformirati u normalne oblike koji ne obilaze.

Za implikaciju, standardni korak smanjenja uklanjanja obilazaka je sljedeći:

[A]
B |
A → B A
B
svodi na

|

A

B

Jednostavna, ali vrlo važna posljedica normalizacije je sljedeća: Svaka zatvorena izvedba u intuicijističkoj logici može se u posljednjem koraku svesti na derivaciju pomoću uvodnog pravila. Također kažemo da intuicijska prirodna dedukcija zadovoljava svojstvo "uvodnog oblika". U dokazno-teorijskoj semantici ovaj se rezultat ističe pod naslovom „temeljna pretpostavka“(Dummett, 1991, str. 254). "Temeljna pretpostavka" tipičan je primjer filozofske ponovne interpretacije tehničko dokazno-teorijskog rezultata.

Daljnje čitanje:

Za opću usmjerenost dokazno-teorijske semantike posebno izdanje Sinteze (Kahle i Schroeder-Heister, 2006.) čitatelj koji su uredili Piecha i Schroeder-Heister (2016b), udžbenik Francez (2015), Schroeder-Heister (2008b, 2016a) i Wansing (2000).

Za filozofsku poziciju i razvoj teorije dokaza, unosi u Hilbertov program i razvoj teorije dokaza kao i Prawitz (1971).

Za intuicionizam unose intuicijsku logiku, intuicionizam u filozofiji matematike i razvoj intuicionističke logike.

Za antirealizam ulazak u izazove metafizičkog realizma, kao i Tennant (1987); Tennant (1997), Tranchini (2010); Tranchini (2012a).

Za teoriju dokaza Gentzen-a i teoriju prirodne dedukcije: osim originalne prezentacije Gentzena (1934./35.), Jaśkowski-ova (1934.) teorija pretpostavki i Prawitzeva (1965.) klasična monografija, Tennant (1978.), Troelstra i Schwichtenberg (2000) i Negri i von Plato (2001).

2. Neke verzije dokazno-teorijske semantike

2.1 Semantika implikacija: Prihvatljivost, izvedljivost, pravila

Semantika implikacije leži u središtu dokazno-teorijske semantike. Suprotno klasičnoj semantika uvjeta istine, implikacija je sama po sebi logična konstanta. Također ima karakteristično svojstvo da je vezan za pojam posljedice. Može se promatrati kao izražajna posljedica na osjetnoj razini zbog modusa ponens i onoga što se u Hilbertovim sistemima naziva teoremom dedukcije, tj. Ekvivalentnosti Γ, A ⊢ B i Γ ⊢ A → B.

Sasvim prirodno razumijevanje implikacije A → B je čitanje kao izražavanje pravila zaključivanja koje omogućuje prelazak s A na B. Licenciranje koraka od A do B na temelju A → B upravo je ono što modus ponens kaže. A teoremu dedukcije možemo posmatrati kao sredstvo uspostavljanja pravila: Pokazom da se B može izvesti iz A opravdava pravilo da iz A možemo preći na B. U značenju implikacija na tim pravilima utemeljena je na nekoliko koncepata dokazno-teorijske semantike, osobito onih Lorenzena, von Kutschera i Schroeder-Heistera.

2.1.1 Operativna logika

Lorenzen u svom Uvodu u operativnu logiku i matematiku (1955.) započinje s atomskim (atomskim) kalkulacijama bez logike, koji odgovaraju proizvodnim sustavima ili gramatikama. Naziva pravilo dopušteno u takvom sustavu ako mu se može dodati bez povećanja skupa njegovih izvedljivih atoma. Strelica za implikaciju → tumači se kao izražavanje prihvatljivosti. Implikacija A → B smatra se valjanom, ako je, u pravilu, prihvatljiva (s obzirom na temeljni račun). Za ponavljane implikacije (= pravila) Lorenzen razvija teoriju izjava o prihvatljivosti viših razina. Određene izjave, poput A → A ili ((A → B), (B → C)) → (A → C), drže se neovisno o temeljnom računu. Nazivaju ih univerzalno prihvatljivim [“allgemeinzulässig”] i tvore sustav pozitivne implikacijske logike. Na srodan načinzakoni za univerzalno kvantificiranje ∀ opravdani su uporabom izjava o prihvatljivosti za pravila sa shematskim varijablama.

Za opravdanje zakona za logičke konstante ∧, ∨, ∃ i ⊥, Lorenzen koristi princip inverzije (pojam koji je skovao). U vrlo pojednostavljenom obliku, bez uzimanja u obzir varijabli u pravilima, princip inverzije kaže da sve što se može dobiti iz svakog definirajućeg stanja A može se dobiti od samog A. Na primjer, u slučaju disjunkcije, neka su A i B definirajući uvjeti A ∨ B izraženi primitivnim pravilima A → A ∨ B i B → A ∨ B. Tada princip inverzije kaže da je A ∨ B → C prihvatljivo pod pretpostavkom A → C i B → C, što opravdava pravilo uklanjanja za disjunkciju. Preostalim vezama obrađuje se na sličan način. U slučaju ⊥, pravilo apsurda ⊥ → A dobiva se iz činjenice da nema definiranog uvjeta za ⊥.

2.1.2 Gentzen semantika

U onome što naziva „Gentzen semantika“, von Kutschera (1968.) daje, kao Lorenzen, semantiku logički složenih implikacijskih izjava A 1,…, A n → B u odnosu na proračune K koji upravljaju rezoniranjem atomskim rečenicama. Temeljna razlika Lorenzena je činjenica da A 1,…, A n → B sada izražava varijabilnost, a ne izjavu o prihvatljivosti.

Da bismo to pretvorili u semantiku logičkih konstanti propozicijske logike, von Kutschera tvrdi kako slijedi: Pri odustajanju od bivalencije više ne možemo koristiti klasične zadatke vrijednosti istine atomskim formulama. Umjesto toga, možemo koristiti kalkulacije koje dokazuju ili opovrgavaju atomske rečenice. Nadalje, budući da kalkuli ne stvaraju samo dokaze ili pobijanja, već i proizvoljne odnose izvedljivosti, ideja je započeti izravno s izvedljivošću u atomskom sustavu i proširiti je pravilima koja karakteriziraju logičke veze. Za to je von Kutschera dao sekvencijalno računanje s pravilima za uvođenje n-prijedložnih veziva u sukcesivnom i antecedentnom, čime se dobiva sekvencijalni sustav za generalizirane propozicijske vezivnice. Von Kutschera zatim pokazuje da tako definirane generalizirane vezivne jedinice mogu se izraziti standardnim vezama intuicijske logike (konjunkcija, disjunkcija, implikacija, apsurdnost).

2.1.3 Prirodni odbitak s pravilima više razine

U okviru programa razvoja opće sheme pravila za proizvoljne logičke konstante, Schroeder-Heister (1984) predložio je da logički složena formula treba izraziti sadržaj ili zajednički sadržaj sustava pravila. To znači da se pravila o uvođenju ne smatraju osnovnim, već posljedicama definiranja uvjeta. Pravilo R je bilo formuli A ili ima oblik R 1, …, R n ⇒ A, u kojoj su R 1, …, R nsu i sama pravila. Ta takozvana „pravila više razine“generaliziraju ideju da pravila mogu ispustiti pretpostavke u slučaju kada te pretpostavke i same mogu biti pravila. Za standardne logičke konstante to znači da A ∧ B izražava sadržaj para (A, B); A → B izražava sadržaj pravila A ⇒ B; A ∨ B izražava zajednički sadržaj A i B; a apsurd ⊥ izražava zajednički sadržaj prazne obitelji vladajućih sustava. U slučaju proizvoljnih propozicijskih veza, to vodi prirodnom sustavu dedukcije s općenitim pravilima uvođenja i uklanjanja. Pokazalo se da su ove opće poveznice odredive u odnosu na standardne, uspostavljajući ekspresivnu cjelovitost standardnih intuicionističkih veza.

Daljnje čitanje:

Za Lorenzenov pristup u odnosu na dokazno-teorijsku semantiku stila Prawitz: Schroeder-Heister (2008a). Za ekstenzije ekspresivne cjelovitosti u stilu von Kutschera: Wansing (1993a).

2.2 Semantika izvedenica na temelju pravila uvođenja

2.2.1 Načela inverzije i harmonija

U svojim istraživanjima logičke dedukcije, Gentzen iznosi neke, danas vrlo često citirane, programske primjedbe o semantičkom odnosu između uvođenja i uklanjanja zaključaka u prirodnoj dedukciji.

Uvodi predstavljaju 'definicije' predmetnih simbola, a eliminacije u konačnoj analizi nisu više od posljedica tih definicija. Ta se činjenica može izraziti na sljedeći način: U uklanjanju simbola možemo koristiti formulu s čijim terminalnim simbolom imamo posla samo „u onom smislu koji je pribavljen uvođenjem tog simbola“. (Gentzen, 1934/35, str. 80)

To ne može, naravno, značiti da se pravila o uklanjanju mogu razlikovati od pravila uvođenja u doslovnom smislu te riječi; u stvari nisu. To može samo značiti da ih se na neki način može opravdati.

Preciziranjem ovih ideja trebalo bi biti moguće prikazati E-zaključke kao jedinstvene funkcije odgovarajućih I-zaključaka, na temelju određenih zahtjeva. (ibid., str. 81)

Dakle, ideja Gentzen-ovog programa je da imamo „definicije“u obliku pravila uvođenja i nekakvih semantičkih obrazloženja koja pomoću „određenih zahtjeva“potvrđuju pravila za uklanjanje.

Prihvaćajući Lorenzen-ov izraz i prilagođavajući njegovu osnovnu ideju kontekstu prirodne dedukcije, Prawitz (1965.) formulirao je „princip inverzije“kako bi Gentzen-ove napomene preciznije odredio:

Neka je α primjena pravila eliminacije koja kao posljedicu ima B. Zatim, odbitci koji zadovoljavaju dovoljan uvjet […] za izvođenje glavnih premisa α, u kombinaciji s odbitcima manjih premisa α (ako postoje), već "sadrže" odbitak B; na taj se način dedukcija B može dobiti izravno iz danih odbitaka bez dodavanja α. (str. 33)

Ovdje su dovoljni uvjeti postavljeni pretpostavkama odgovarajućih uvodnih pravila. Stoga načelo inverzije kaže da se izvedba zaključka pravila eliminacije može dobiti bez primjene pravila eliminacije ako su njegove glavne pretpostavke izvedene primjenom pravila uvođenja u posljednjem koraku, što znači da kombinacija

I-zaključak
A
{D i } E-zaključak
B

koraka, gdje {D i } stoji za (eventualno prazan) popis odbitaka manjih premisa, može se izbjeći.

Odnos između pravila uvođenja i uklanjanja često se opisuje kao "harmonija" ili kako se ravna "principom sklada" (vidi, npr. Tennant, 1978., str. 74). Ta terminologija nije ujednačena, a ponekad nije ni potpuno jasna. U biti izražava ono što se također podrazumijeva pod "inverzijom". Čak i ako je "harmonija" izraz koji sugerira simetričan odnos, često se shvaća kao izražavanje koncepcije zasnovane na uvodnim pravilima, kao što je, na primjer, u Readu (2010) "opća harmonija uklanjanja" (iako povremeno uključuje i koncepcije temeljene na eliminaciji).). Ponekad bi harmonija trebala značiti da su vezivi najjači ili najslabiji u određenom smislu s obzirom na njihovo uvođenje ili njihova pravila eliminacije. Ta se ideja temelji na načelu sklada Tennant (1978.),a također i Popper-ove i Koslowove strukturalne karakteristike (vidjeti dio 2.4). Specifični odnos između pravila uvođenja i uklanjanja kako je formulirano u principu inverzije isključuje navodne inferencijalne definicije poput one vezivnog tona koja kombinira pravilo uvođenja za disjunkciju s pravilom eliminacije za vezanje i koji je pokrenuo raspravu koja još traje o formatu inferencijalnih definicija (vidjeti Humberstone, 2010).i koja je pokrenula još uvijek raspravu o formatu inferencijalnih definicija (vidjeti Humberstone, 2010).i koja je pokrenula još uvijek raspravu o formatu inferencijalnih definicija (vidjeti Humberstone, 2010).

2.2.2 Dokazno-teorijska valjanost

Dokazno-teorijska valjanost je dominantan pristup dokazno-teorijskoj semantiki. Prawitz (1971; 1973; 1974) razvio ga je kao tehnički koncept, pretvarajući dokazno-teorijsku predodžbu valjanosti na temelju ideja Taita (1967) i izvorno koristio za dokazivanje snažne normalizacije, u semantički koncept. Dummett je pružio mnogo filozofskih temelja za taj pojam (vidjeti Dummett, 1991). Objekti koji su primarno valjani su dokazi kao reprezentacija argumenata. U sekundarnom smislu, pojedina pravila mogu biti valjana ako iz valjanih dokaza vode u valjane dokaze. U tom smislu, valjanost je globalni, a ne lokalni pojam. Ona se primjenjuje na proizvoljne derivacije određenog atomskog sustava, koje definiraju izvedljivost atoma. Pozivanje dokaza koji upotrebljava uvodno pravilo u kanonskom posljednjem koraku temelji se na sljedeće tri ideje:

  1. Prioritet zatvorenih kanonskih dokaza.
  2. Redukcija zatvorenih nekanonskih dokaza na kanonske.
  3. Zamjenski prikaz otvorenih dokaza.

Ad 1: Definicija valjanosti zasniva se na Gentzen-ovoj ideji da su pravila uvođenja "samorektivna" i daju logičkom konstanti svoje značenje. Ova se opravdavajuća značajka koristi samo za zatvorene dokaze, koji se smatraju primarnim u odnosu na otvorene.

Ad 2: Nekakanonski dokazi opravdani su svodeći ih na kanonske. Stoga postupci smanjenja (smanjenja obustava), koji se koriste u dokazima normalizacije, igraju presudnu ulogu. Kako opravdavaju argumente, Prawitz ih naziva i "opravdanjima". Ova se definicija ponovo odnosi samo na zatvorene dokaze, koji odgovaraju svojstvu uvodnog oblika zatvorenih normalnih derivacija u prirodnom dedukciji (vidjeti odjeljak 1.3).

Oglas 3: Otvoreni dokazi opravdani su razmatranjem zatvorenih slučajeva. Ovi zatvoreni primjeri dobivaju se zamjenom njihovih otvorenih pretpostavki sa zatvorenim dokazima o njima, a njihove otvorene varijable s zatvorenim izrazima. Na primjer, dokaz B iz A smatra se valjanim, ako je svaki zatvoreni dokaz, dobiven zamjenom otvorene pretpostavke A, sa zatvorenim dokazom A, valjan. Na taj se način otvorene pretpostavke smatraju rezerviranim mjestima za zatvorene dokaze, zbog čega možemo govoriti o zamjenskoj interpretaciji otvorenih dokaza.

Iz toga proizlazi slijedeća definicija dokazno-teorijske valjanosti:

  1. Svaki zatvoreni dokaz u osnovnom atomskom sustavu je valjan.
  2. Zatvoreni kanonski dokaz smatra se valjanim, ako vrijede njegove neposredne potpore.
  3. Zatvoreni nekanonski dokaz smatra se valjanim, ako se svodi na valjani zatvoreni kanonski dokaz ili na zatvoreni dokaz u atomskom sustavu.
  4. Otvoreni dokaz smatra se valjanim, ako vrijedi svaki zatvoreni dokaz dobiven zamjenom njegovih otvorenih pretpostavki zatvorenim, a otvorene varijable zatvorenim izrazima.

Formalno, ova definicija mora biti relativizirana na razmatrani atomski sustav i skup opravdanja (umanjenje dokaza). Nadalje, ovdje se dokazi shvaćaju kao kandidati valjanih dokaza, što znači da pravila iz kojih su sastavljena nisu utvrđena. Izgledaju kao dokazna stabla, ali njihovi pojedinačni koraci mogu imati proizvoljni (konačni) broj pretpostavki i mogu eliminirati proizvoljne pretpostavke. Definicija valjanosti izdvaja one strukture dokaza koje su "stvarni" dokazi na temelju datih postupaka redukcije.

Valjanost u odnosu na svaki izbor atomskog sustava može se promatrati kao generalizirani pojam logičke valjanosti. Zapravo, ako uzmemo u obzir standardne redukcije intuicionističke logike, tada su sve izvedbe u intuicionističkoj logici važeće neovisno o smatranom atomskom sustavu. To je semantička ispravnost. Možemo pitati ima li obrnuto, tj. da li, imajući u vidu da izvedenica vrijedi za svaki atomski sustav, postoji intuicija u logici. Ta je intuicijska logika potpuna u tom smislu poznata kao Prawitzeva pretpostavka (vidjeti Prawitz, 1973; Prawitz, 2013). Međutim, nisu dobili zadovoljavajući dokazi. Postoje značajne sumnje u valjanost ove pretpostavke za sustave koji nadilaze logiku primjedbi. U svakom slučaju, to će ovisiti o preciznoj formulaciji pojma valjanosti, posebno o njegovom rukovanju s atomskim sustavima.

Za formalniju definiciju i detaljnije primjere koji dokazuju valjanost, kao i neke napomene o Prawitzevoj pretpostavci pogledajte poglavlje

Dodatak na primjerima dokazno-teorijske valjanosti.

2.2.3 Teorija konstruktivnog tipa

Martin-Löfova teorija tipa (Martin-Löf, 1984.) vodeći je pristup u konstruktivnoj logici i matematici. Filozofski, on s Prawitzeom dijeli tri temeljne pretpostavke standardne dokazno-teorijske semantike, spomenute u odjeljku 2.2.2: prioritet zatvorenih kanonskih dokaza, svođenje zatvorenih nekanonskih dokaza na kanonske i zamjenski pogled otvorenih dokaza. Međutim, Martin-Löfova teorija tipa ima barem dvije karakteristične značajke koje nadilaze druge pristupe u dokazno-teorijskoj semantiki:

  1. Razmatranje objekata dokaza i odgovarajuće razlikovanje između dokaza-kao-predmeta i dokaza-kao-demonstracija.
  2. Gledajte na formacijska pravila kao svojstvena sustavu dokazivanja, a ne kao vanjska pravila.

Prva ideja seže do Curry-Howard-ove korespondencije (vidi de Groote, 1995; Sørensen i Urzyczyn, 2006), prema kojoj činjenica da formula A ima određeni dokaz može se kodificirati kao činjenica da je određeni pojam t tipa A, pri čemu se formula A poistovjećuje s tipom A. To se može formalizirati u računicu za dodjelu tipa, čiji su iskazi oblika t: A. Dokaz t: A u ovom sustavu može se iščitati kao pokazatelj da je t dokaz A. Martin-Löf (1995; 1998) je to stavio u filozofsku perspektivu, razlikujući ovaj dvostruki smisao dokaza na sljedeći način. Prvo imamo dokaze iskaza oblika t: A. Te se izjave nazivaju presudama, njihovi dokazi se nazivaju demonstracijama. Unutar takvih presuda izraz t predstavlja dokaz prijedloga A. Dokaz u potonjem smislu naziva se i dokaznim predmetom. Kad demonstriramo presudu t: A, pokazujemo da je t dokaz (predmet) za prijedlog A. Unutar ovog dvoslojnog sustava demonstracijski sloj je sloj argumentacije. Za razliku od dokazanih predmeta, demonstracije imaju epiztemski značaj; njihove presude nose asortorijsku silu. Dokazni sloj je sloj na kojem se objašnjavaju značenja: Značenje prijedloga A objašnjava se kazivanjem onoga što se za A smatra dokazom (objektom). Razlika između kanonskih i nekanonskih dokaza razlikuje se od propozicijskog, a ne na presudnom sloju. To podrazumijeva određeni zahtjev eksplicitnosti. Kad sam nešto dokazao, ne moram imati na raspolaganju samo svoje opravdanje kao u Prawitzovoj pojmu valjanosti,ali istodobno moraju biti sigurni da ovo opravdanje ispunjava njegovu svrhu. Ta se sigurnost jamči demonstracijom. Matematički, ovaj dvostruki dokaz dokaza razvija svoju stvarnu snagu samo onda kada tipovi mogu ovisiti o terminima. Zavisne vrste osnovni su sastojak Martin-Löfove teorije tipa i srodnih pristupa.

Druga ideja čini da se Martin-Löf pristup uvelike razlikuje od svih ostalih definicija teoretske valjanosti dokaza. Presudna razlika, na primjer, Prawitzeve procedure jest ta da on nije metajezički, pri čemu "metajezično" znači da se prijedlozi i kandidati dokazivanja najprije specificiraju, a zatim, pomoću definicije u metajeziku, utvrđuje koji od vrijede i koji nisu. Umjesto toga, prijedlozi i dokazi igraju samo u kontekstu demonstracija. Na primjer, ako pretpostavimo da je nešto dokaz implikacije A → B, ne moramo nužno pokazati da su i A i B dobro oblikovane tvrdnje, ali, osim što znamo da je A prijedlog, potrebna nam je samo znati da je B prijedlog pod uvjetom da je dokazano A. Biti prijedlog izražava se specifičnim oblikom prosudbe koji je uspostavljen istim sustavom dokazivanja koji se koristi da se utvrdi da je dokaz tvrdnje postignut.

U Martin-Löfovoj teoriji, dokazno-teorijska semantika dobija snažno ontološku komponentu. Nedavna rasprava bavi se pitanjem imaju li predmeti dokaza čisto ontološki status ili da li kodificiraju znanje, čak i ako sami nisu epiztemski akti.

Daljnje čitanje:

Za principe inverzije pogledajte Schroeder-Heister (2007).

Za varijante dokazno-teorijskog sklada vidi Francez (2015) i Schroeder-Heister (2016a). Za Prawitzevu definiciju teoretske valjanosti vidi Schroeder-Heister (2006).

Za Matin-Löfovu teoriju tipa vidi zapis o teoriji tipa, kao i Sommaruga (2000).

2.3 Definicije klauzule i definitivno obrazloženje

Dokazno-teorijska semantika obično se usredotočuje na logičke konstante. To se fokusiranje praktički nikad ne dovodi u pitanje, očito zato što se smatra tako očitim. U teoriji dokaza malo je pažnje posvećeno atomskim sustavima, iako je postojao Lorenzen-ov rani rad (vidi odjeljak 2.1.1), gdje je opravdanje logičkih pravila ugrađeno u teoriju proizvoljnih pravila, a Martin-Löf's (1971) teorija iteriranih induktivnih definicija gdje se predlažu pravila uvođenja i uklanjanja atomskih formula. Uspon logičkog programiranja proširio je ovu perspektivu. S dokazno-teorijskog stajališta, logičko programiranje je teorija atomskog rezonovanja s obzirom na klauzulske definicije atoma. Definicijski odraz je pristup dokazno-teorijskoj semantiki koji prihvaća ovaj izazov i pokušava izgraditi teoriju čiji opseg primjene nadilazi logičke konstante.

2.3.1 Izazov logičkog programiranja

U logičkom programiranju bavimo se programskim klauzulama obrasca

A ⇐ B 1,…, B m

koje definiraju atomske formule. Takve se klauzule mogu prirodno protumačiti kao opisivanje pravila uvođenja atoma. S gledišta dokazno-teorijske semantike sljedeće dvije točke su ključne:

(1) Uvodna pravila (klauzule) za logički složene formule u načelu se ne razlikuju od pravila uvođenja (klauzula) za atome. Tumačenje logičkog programiranja dokazno teoretski motivira proširenje dokazno-teorijske semantike na proizvoljne atome, što daje semantiku s mnogo širim područjem primjena.

(2) Programske klauzule nisu nužno utemeljene. Na primjer, glava klauzule može se pojaviti u njegovom tijelu. Dobro utemeljeni programi samo su posebna vrsta programa. Upotreba proizvoljnih klauzula bez daljnjih zahtjeva u logičkom programiranju motivirana je za slijedom iste ideje u dokazno-teorijskoj semantiki, priznavanjem bilo kakvih pravila uvođenja, a ne samo onih posebnog oblika, a posebno ne nužno onih koja su dobra -osnovan. To nosi ideju definitivne slobode koja je kamen temeljac logičkog programiranja, prelazi u semantiku i opet širi područje primjene dokazno-teorijske semantike.

Ideja razmatranja uvodnih pravila kao pravila koja daju značenje atoma usko je povezana s teorijom induktivnih definicija u njenom općem obliku prema kojoj su induktivne definicije sustavi pravila (vidi Aczel, 1977).

2.3.2 Definitivni odraz

Teorija definitivnog promišljanja (Hallnäs, 1991; Hallnäs, 2006; Hallnäs i Schroeder-Heister, 1990./91; Schroeder-Heister, 1993) prihvaća izazov iz logičkog programiranja i daje dokazno-teorijsku semantiku ne samo za logičke konstante, već za proizvoljne izraze, za koje se može dati klauzulana definicija. Formalno, ovaj pristup započinje s popisom klauzula koje su razmatrane definicije. Svaka klauzula ima oblik

A ⇐ Δ

gdje je glava A atomska formula (atom). U najjednostavnijem slučaju, tijelo Δ je popis atoma B 1,…, B m, u kojem slučaju definicija izgleda kao određeni logički program. Često smatramo proširenim slučajem gdje Δ može također sadržavati neke strukturne implikacije '⇒', a ponekad čak i neke strukturne univerzalne implikacije, što se u biti rješava ograničavanjem supstitucije. Ako definicija A ima oblik

tada A ima sljedeća pravila uvođenja i uklanjanja

Δ 1 · · · Δ n A A

1] n]
A C · · · C
C

Uvodna pravila, koja se nazivaju i pravila definitivnog zatvaranja, izriču obrazloženje klauzula „uzduž“. Pravilo eliminacije naziva se principom definitivnog promišljanja, jer se odražava na definiciju u cjelini. Ako je Δ 1,…, Δ niscrpljuju sve moguće uvjete za stvaranje A u skladu s danom definicijom, i ako svaki od tih uvjeta podrazumijeva isti zaključak C, tada A zaključuje s tim zaključkom. Ako se definicija klauzule promatra kao induktivna definicija, ovo se načelo može smatrati izrazom ekstremne klauzule u induktivnim definicijama: Ništa drugo osim zadanih klauzula ne definira A. Očito je da je definitivni odraz generalizirani oblik obrađenih principa inverzije. Svoju istinsku snagu razvija u definicijskim kontekstima sa slobodnim varijablama koje nadilaze čisto prijedložno rezonovanje i u kontekstima koji nisu dobro utemeljeni. Primjer neosnovane definicije je definicija atoma R vlastitom negacijom:

D R {R | )
D R {R | )

Ovaj je primjer detaljno obrađen u

Dodatak definicijskoj refleksiji i paradoksima.

Daljnje čitanje:

Za neosnovanost i paradokse pogledajte zapise o samo-upućivanju i Russellov paradoks, kao i reference citirane u prilogu vezanom na.

2.4 Strukturna karakterizacija logičkih konstanti

Postoji veliko polje ideja i rezultata u vezi s onim što bi se moglo nazvati „strukturalnom karakterizacijom“logičkih konstanti, pri čemu se „strukturalna“ovdje podrazumijeva iu dokazno-teoretskom smislu „strukturalnih pravila“i u smislu okvira koji ima određenu strukturu, gdje je ovaj okvir opet teoretski opisan. Neki od njegovih autora koriste semantički vokabular i barem implicitno sugeriraju da njihova tema pripada dokazno-teorijskoj semantiki. Drugi izričito negiraju ove konotacije, naglašavajući da ih zanima karakterizacija koja uspostavlja logičnost konstante. Pitanje "Što je logična konstanta?" na njih se može odgovoriti teoretski, čak i ako je semantika konstanti uvjetovana istinom:Naime, zahtijevajući da (možda istinski uvjetno definirane) konstante pokazuju određeno inferencijalno ponašanje koje se može opisati dokazno-teoretskim terminima. Međutim, kako neki autori svoju karakterizaciju istodobno smatraju semantikom, prikladno je ovdje spomenuti neke od tih pristupa.

Koslow je najprisutniji strukturalist u pogledu logičkih konstanti, koji se izričito razumije kao takav. U svojoj strukturalističkoj teoriji logike (1992.) razvija teoriju logičkih konstanti, u kojoj ih karakterizira određenim "implikacijskim odnosima", gdje implicitni odnos otprilike odgovara odnosu konačnih posljedica u Tarskom smislu (što se opet može opisati određena strukturalna pravila sustava sekvencijalnog stila). Koslow razvija strukturalnu teoriju u preciznom metamatematskom smislu, koja ni na koji način ne određuje domenu objekata izvan zadanih aksioma. Ako je dan jezik ili bilo koja druga domena objekata opremljenih implikacijskim odnosom, strukturalni pristup može se koristiti za izdvajanje logičkih spojeva provjerom njihovih implikacijskih svojstava.

U svojim ranim radovima o osnovama logike Popper (1947a; 1947b) daje inferencijalne karakterizacije logičkih konstanti dokazno-teoretskim terminima. Koristi proračune sekvenci i karakterizira logičke konstante određenim uvjetima izvedljivosti takvih sekvenci. Njegova terminologija jasno sugerira da namjerava dokazno-teorijsku semantiku logičkih konstanti, budući da govori o „infektivnim definicijama“i „trivijalizaciji matematičke logike“postignutim definiranjem konstanti na opisani način. Iako njegovo izlaganje nije oslonjeno na konceptualnu nepreciznost i pogreške, bio je prvi koji je razmotrio infekcijsko ponašanje logičkih konstanti u sekvencijalnom stilu kako bi ih okarakterizirao. To je sve izvanredno jer on vjerojatno uopće nije bioi definitivno nije u potpunosti svjestan Gentzenove procjene i daljnjih postignuća Gentzena (premda je bio u korespondenciji s Bernaysom). No, nasuprot vlastitom mišljenju, njegov se rad može bolje shvatiti kao pokušaj definiranja logičnosti konstanti i njihovo strukturno karakteriziranje, nego kao dokazno-teorijska semantika u pravom smislu. Ipak je predvidio mnoge ideje koje su sada uobičajene u dokazno-teorijskoj semantiki, poput karakterizacije logičkih konstanti pomoću određenih uvjeta minimalnosti ili maksimalnosti s obzirom na pravila uvođenja ili eliminacije.nego kao dokazno-teorijska semantika u pravom smislu. Ipak je predvidio mnoge ideje koje su sada uobičajene u dokazno-teorijskoj semantiki, poput karakterizacije logičkih konstanti pomoću određenih uvjeta minimalnosti ili maksimalnosti s obzirom na pravila uvođenja ili eliminacije.nego kao dokazno-teorijska semantika u pravom smislu. Ipak je predvidio mnoge ideje koje su sada uobičajene u dokazno-teorijskoj semantiki, poput karakterizacije logičkih konstanti pomoću određenih uvjeta minimalnosti ili maksimalnosti s obzirom na pravila uvođenja ili eliminacije.

Važni doprinosi raspravi o logičnosti koji karakteriziraju logičke konstante infrencijalno u smislu pravila uzastopnog izračuna, jesu oni Kneale (1956) i Hacking (1979). Došen (1980; 1989) u svojoj teoriji logičkih konstanti predlaže temeljit prikaz logičnosti kao "interpunkcijske znakove", izražavajući strukturne značajke na logičkoj razini. On razumije logičke konstante kako ih karakteriziraju određena pravila dvostruke linije za nastavke koji se mogu čitati u oba smjera. Na primjer, konjunkcija i disjunkcija (u klasičnoj logici, s sukcentima višestrukih formula) karakteriziraju se pravilima dvostruke linije

Γ⊢ A, Δ Γ⊢ B, Δ
Γ⊢ A ∧ B, Δ
Γ, A ⊢ Δ Γ, B ⊢ Δ
Γ⊢ A ∨ B, Δ

Došen je u mogućnosti dati karakterizacije koje uključuju sustave modalne logike. Izričito smatra da je njegov rad doprinos raspravi o logičnosti, a ne bilo kojoj koncepciji dokazno-teorijske semantike. Sambin i dr. U svojim osnovnim logikama (Sambin, Battilotti i Faggian, 2000) izričito razumiju ono što Došen naziva pravila dvostruke crte kao temeljna značenja koja daju pravila. Pravila dvostruke linije za vezanje i razdvajanje čitaju se kao implicitne definicije ovih konstanti, koje se nekim postupkom mogu pretvoriti u eksplicitna pravila sekvencijalnog stila na koja smo navikli. Dakle, Sambin i sur. koriste isto polazište kao Došen, ali ga tumače ne kao strukturalni opis ponašanja konstanti, već semantički kao njihovu implicitnu definiciju (vidjeti Schroeder-Heister, 2013).

Postoji nekoliko drugih pristupa ujednačenoj dokazno-teorijskoj karakterizaciji logičkih konstanti, koji se barem dotiču pitanja dokazno-teorijske semantike. Takve su teorije Belnapova prikazivačka logika (Belnap, 1982), Wansingova logika informacionih struktura (Wansing, 1993b), generički sustavi za uređivanje dokaza i njihove implementacije poput Edinburhovog logičkog okvira (Harper, Honsell i Plotkin, 1987.) i mnogi nasljednici koji dopuštaju specifikaciju raznih logičkih sustava. Od uspona linearne i općenito substrukturalne logike (Di Cosmo i Miller, 2010; Restall, 2009) postoje različiti pristupi koji se bave logikom koji se razlikuju s obzirom na ograničenja njihovih strukturnih pravila. Nedavni odmak od izdvajanja određene logike kao istinske prema pluralističkom stavu (vidi npr. Beall i Restall, 2006.) koje zanima što različite logike imaju zajedničkog bez ikakve sklonosti određenoj logici može se smatrati pomakom od semantičkog opravdanja prema strukturnoj karakterizaciji.

2.5 Teorija kategoričkog dokaza

Postoji značajna literatura o teoriji kategorija u vezi s teorijom dokaza, a, slijedom seminarskog rada Lawvere, Lambeka i drugih (vidi Lambek i Scott, 1986., i reference u njima), i sama kategorija može se smatrati svojevrsnim apstraktnim dokazom teorija. Ako neko gleda strelicu A → B u neku vrstu apstraktnog dokaza B od A, imamo prikaz koji nadilazi čistu izvedljivost B iz A (kao što strelica ima svoju individualnost), ali ne bavi se posebna sintaktička struktura ovog dokaza. Za intuicionističke sustave dokazno-teorijska semantika u kategorijskom obliku vjerojatno je najbliža onome što je denotacijska semantika klasična.

Došen je jedan od najrazvijenijih pristupa teoriji kategoričkog dokazivanja. On nije samo napredio primjenu kategorijskih metoda u teoriji dokaza (npr. Došen i Petrić, 2004), već je pokazao i kako se teoretski metode mogu koristiti u samoj teoriji kategorija (Došen, 2000). Najvažnije za kategoričku logiku u odnosu na dokazno-teorijsku semantiku je to da u kategoričkoj logici strelice uvijek dolaze zajedno s odnosom identiteta, koji u teoriji dokaza odgovara identitetu dokaza. Na taj se način ideje i rezultati teorije kategoričkog dokazivanja odnose na ono što se može nazvati intenzivnom dokazno-teorijskom semantikom, odnosno na ispitivanje dokaza kao entiteta samostalno, a ne samo kao vozila za utvrđivanje posljedica (Došen, 2006, 2016). Još jedna značajka kategoričke dokazne teorije je ta da je ona svojstveno hipotetičkom karakteru, što znači da polazi od hipotetičkih entiteta. Na taj način se prevladava standardna paradigma, posebno utemeljena na teoretskoj semantičkoj osnovi utemeljenoj na valjanosti (vidjeti odjeljak 3.6 dolje).

Daljnje čitanje:

Za Popper-ovu teoriju logičkih konstanta vidi Schroeder-Heister (2005).

Za logičke konstante i njihovu logičnost pogledajte unos o logičkim konstantama.

Za kategorijske pristupe vidi unos o teoriji kategorija.

3. Proširenja i alternative standardnoj dokazno-teorijskoj semantika

3.1 Pravila za uklanjanje kao osnovna

Većina pristupa dokazno-teorijskoj semantiki uvođenje pravila smatra osnovnim, značenjem davanja ili samo-opravdanjem, dok su zaključci eliminacije opravdani kao valjani u odnosu na navedena pravila uvođenja. Ova koncepcija ima najmanje tri korijena: Prva je verifikacijska teorija značenja prema kojoj uvjeti potvrdljivosti rečenice čine njeno značenje. Drugi je ideja da moramo razlikovati ono što daje značenje i posljedice toga značenja, jer se sva infektivna znanja ne mogu sastojati od primjene definicija. Treća je prvenstvo tvrdnje nad drugim govornim djelima, poput pretpostavke ili negiranja, što se podrazumijeva u svim dosad razmatranim pristupima.

Moglo bi se istražiti koliko daleko možemo doći uzimajući u obzir pravila za uklanjanje, a ne pravila uvođenja kao osnovu dokazno-teorijske semantike. Dummett (1991, Ch. 13) skicirao je neke ideje o dokazno-teorijskoj semantičnosti zasnovanoj na eliminaciji, a ne pravilima uvođenja, iako u vrlo rudimentarnom obliku. Prewitz (1971; 2007; vidi također Schroeder-Heister 2015), preciznija je definicija valjanosti na temelju zaključaka eliminacije. Njegova je osnovna ideja da se zatvoreni dokaz smatra valjanim, ako je rezultat primjene pravila za uklanjanje na njegovu krajnju formulu valjan dokaz ili se svodi na jedan. Na primjer, zatvoreni dokaz implikacije A → B vrijedi, ako je za bilo koji dati zatvoreni dokaz A rezultat primjene modus ponens

A → BA
B

na ova dva dokaza valjani je dokaz B, ili se svodi na takav dokaz. Ova koncepcija zadržava dva od tri osnovna sastojka Prawitzove dokazno-teorijske semantike (vidi odjeljak 2.2.2): uloga smanjenja dokaza i supstitucijski pogled pretpostavki. Samo kanoničnost dokaza koji završavaju uvodima mijenja se u kanoničnost dokaza koji završavaju eliminacijama.

3.2 Negiranje i poricanje

Standardna dokazno-teorijska semantika usredotočena je na tvrdnju u tome što uvjeti potvrđivanja određuju značenje logičkih konstanti. Odgovarajući intuicionističkom načinu postupanja, negacija ¬ A formule A normalno se razumijeva kao da podrazumijeva apsurd A → ⊥, gdje je a konstanta koja se ne može ustvrditi, tj. Za koju nije definiran uvjet potvrdivosti. Ovo je „neizravni“način razumijevanja negacije. U literaturi se raspravlja o onome što bi se, nakon Kutschera (1969.), moglo nazvati izravnom negacijom. Pod tim se podrazumijeva jednostrano primitivni operator negacije, koji se ne može, ili barem nije, svoditi na impliciranje apsurda. To nije ni klasična negacija. Ona se više pridržava pravila koja duualiziraju uobičajena pravila za logičke konstante. Ponekad se to naziva "uskraćivanjem" rečenice,ponekad i „snažna negacija“(vidjeti Odintsov, 2008). Tipična pravila za poricanje ~ A od A su

~ A ~ B ~ A ~ B
~ (A ∨ B) ~ (A ∧ B) ~ (A ∧ B)

U osnovi, pravila odbijanja za operatera odgovaraju pravilima tvrđenja za dualnog operatera. Istraženo je nekoliko logika poricanja, posebno Nelsonova logika „konstruktivne laži“koju je Nelson (1949.) motivirao prvi s obzirom na određenu semantiku realizacije. Glavni fokus je stavljen na njegove sustave koji se kasnije nazivaju N3 i N4, a koji se razlikuju s obzirom na postupanje proturječnosti (N4 je N3 bez ex contratistione kodlibeta). Korištenje poricanja bilo kojeg pristupa dokazno-teorijskoj semantiki može se dualistizirati samo razmjenom tvrdnji i poricanja i pretvaranjem s logičkih konstanti u njihove dvojnike. Pri tome se dobiva sustav zasnovan na opovrgavanju (= dokaz negiranja), a ne na dokazu. Može se shvatiti kao primjena popperijskog pogleda na dokazno-teorijsku semantiku.

Drugi pristup bi bio ne samo duualizirati dokazno-teorijsku semantiku usredsređenu na tvrdnju, u korist teoretske semantičke osnove usmjerene na poricanje, već uvidjeti odnos između pravila za tvrdnju i poricanja kako se upravlja principom inverzije ili načelom definitivne refleksije vlastite. To bi bilo princip onoga što bi se moglo nazvati "tvrdnja-poricanje-harmonija". Dok u standardnoj dokazno-teorijskoj semantičkoj principi inverzije kontrolira odnos tvrdnji i pretpostavki (ili posljedica), takav bi princip sada upravljao odnosom tvrdnje i poricanja. S obzirom na određene definirajuće uvjete A, moglo bi se reći da poricanje svakog definirajućeg uvjeta A vodi do poricanja samog A. Za povezanost i razdvajanje to vodi zajedničkim parovima pravila tvrdnje i poricanja

A B ~ A ~ B
A ∨ B A ∨ B ~ (A ∨ B)
AB ~ A ~ B
A ∧ B ~ (A ∧ B) ~ (A ∧ B)

Ova se ideja lako može generalizirati na definitivno promišljanje, rezultirajući sustavom obrazloženja u kojem se isprepliću tvrdnje i poricanje. Ima paralele s deduktivnim odnosima između oblika prosudbe proučenih na tradicionalnom trgu suprotnosti (Schroeder-Heister, 2012a; Zeilberger, 2008). Treba naglasiti da je operator odbijanja ovdje vanjski znak koji ukazuje na oblik prosudbe, a ne kao logični operator. To posebno znači da ga nije moguće ponoviti.

3.3 Harmonija i odraz u slijedu izračuna

Gentzen-ovo sekvencijsko računanje pokazuje simetriju između pravila uvođenja desno i lijevo, što sugerira traženje principa harmonije što ovu simetriju čini značajnom dokazno-teorijskom semantikom. Bavljene su najmanje tri crte koje su se bavile ovom pojavom. (i) Ili se uvođenje s desne strane ili s lijeve strane uvode kao pravila za uvođenje. Suprotna pravila (uvođenje lijevo i uvođenje desno) su tada opravdana primjenom odgovarajućih pravila za uklanjanje. To znači da se prethodno spomenute metode primjenjuju na cijele sekvence umjesto na formule unutar sekvenata. Za razliku od ovih formula, nastavci nisu logički strukturirani. Stoga se ovaj pristup temelji na definicijskom promišljanju,koja harmoniju i inverziju primjenjuje na pravila za proizvoljno strukturirane cjeline, a ne samo za logične kompozite. Potražili su ga de Campos Sanz i Piecha (2009). (ii) Pravila uvođenja desno i lijevo proizlaze iz karakterizacije u smislu Došenkovih pravila o dvostrukom retku (odjeljak 2.4), koja se zatim čita kao neka vrsta definicije. Pravilo dvostrukog retka odozgo prema dolje već je pravilo uvođenja desno ili lijevo. Drugi se može izvesti iz smjera odozdo prema gore pomoću određenih principa. Ovo je osnovni teoretski sastojak osnovne logike Sambina i drugih (Sambin, Battilotti i Faggian, 2000). (iii) Pravila uvođenja desno i lijevo vide se kao izražavanje interakcije između nastavka koristeći pravilo rezanja. S obzirom na desna ili lijeva pravila,komplementarna pravila izražavaju da sve što na određen način djeluje s njegovim premisama to isto čini i njegovim zaključkom. Ova ideja interakcije je općenito simetrično načelo definitivnog promišljanja. Može se smatrati generalizacijom principa inverzije, korištenjem pojma interakcije, a ne izvodljivosti posljedica (vidjeti Schroeder-Heister, 2013). Sva tri pristupa primjenjuju se na sekvencijalno računanje u svom klasičnom obliku, s mogućnošću da je više od jedne formule u slijedu sekvence, uključujući strukturno ograničene verzije kao što je istraženo u linearnoj i drugoj logici. Može se smatrati generalizacijom principa inverzije, korištenjem pojma interakcije, a ne izvodljivosti posljedica (vidjeti Schroeder-Heister, 2013). Sva tri pristupa primjenjuju se na sekvencijalno računanje u svom klasičnom obliku, s mogućnošću da je više od jedne formule u slijedu sekvence, uključujući strukturno ograničene verzije kao što je istraženo u linearnoj i drugoj logici. Može se smatrati generalizacijom principa inverzije, korištenjem pojma interakcije, a ne izvodljivosti posljedica (vidjeti Schroeder-Heister, 2013). Sva tri pristupa primjenjuju se na sekvencijalno računanje u svom klasičnom obliku, s mogućnošću da je više od jedne formule u slijedu sekvence, uključujući strukturno ograničene verzije kao što je istraženo u linearnoj i drugoj logici.

3.4 Subatomska struktura i prirodni jezik

Čak i ako, kao u definicijskom odrazu, razmatramo definicijska pravila za atome, njihovi definirajući uvjeti obično ne razgrađuju te atome. Wieckowski (2008; 2011; 2016) predložio je dokazno-teoretski pristup koji uzima u obzir unutarnju strukturu atomskih rečenica. On koristi pravila uvođenja i uklanjanja za atomske rečenice, pri čemu se te atomske rečenice ne svode samo na druge atomske rečenice, već na subatomske izraze koji predstavljaju značenje predikata i pojedinačnih imena. To se može smatrati prvim korakom prema prirodnim jezičnim primjenama dokazno-teorijske semantike. Daljnji korak u tom smjeru poduzeo je Francez, koji je razvio dokazno-teorijsku semantiku za nekoliko fragmenata engleskog jezika (vidjeti Francez, Dyckhoff i Ben-Avi, 2010; Francez i Dyckhoff, 2010,Francez i Ben-Avi 2015).

3.5 Klasična logika

Dokazno-teorijska semantika je intuicijski pristrana. To je zbog činjenice da prirodna dedukcija kao njen preferirani okvir ima određene značajke zbog kojih je posebno prikladna za intuicijsku logiku. U klasičnoj prirodnoj dedukciji ex falso quodlibet

A

zamjenjuje se pravilom klasičnog reductio ad absurdum

[A → ⊥]
A

Omogućujući da se izbaci A → ⊥ da bi se moglo zaključiti o A, ovo pravilo narušava princip subformule. Nadalje, sadržavanje i ⊥ i A → ⊥ odnosi se na dvije različite logičke konstante u jednom pravilu, tako da više ne postoji razdvajanje logičkih konstanti. Konačno, kao pravilo uklanjanja za ⊥ ono ne slijedi opći obrazac uvođenja i uklanjanja. Kao posljedica toga, uništava svojstvo obrasca uvoda da se svaka zatvorena izvedenica može svesti na ono koje koristi pravilo uvođenja u posljednjem koraku.

Klasična se logika vrlo dobro uklapa s višestrukim sukcesivnim računima. Tamo nam ne trebaju dodatni principi osim onih koji su pretpostavljeni u slučaju intuicije. Samo strukturalno obilježje dopuštanja više formula u naslonom dovoljno je za dobivanje klasične logike. Budući da postoje uvjerljivi pristupi uspostavljanja sklada između uvođenja desno i uvođenja s lijeva u sekvencijalni račun (vidi odjeljak 3.3), čini se da je klasična logika savršeno opravdana. Međutim, ovo je uvjerljivo samo ako je rezonovanje na odgovarajući način oblikovano kao višestruki zaključak, čak i ako to ne odgovara našoj standardnoj praksi u kojoj se fokusiramo na pojedinačne zaključke. Moglo bi se pokušati razviti odgovarajuća intuicija tvrdeći da razmišljanje o višestrukim zaključcima ocrtava područje u kojem se nalazi istina, a ne uspostavljanje jedinstvene tvrdnje kao istinite. Međutim, tu je intuiciju teško održati i formalno se ne može zarobiti bez ozbiljnih poteškoća. Filozofski pristupi poput Shoesmith-a i Smiley-ja (1978) i teoretski-teoretski pristupi poput mrežica dokaza (vidi Girard, 1987; Di Cosmo i Miller, 2010) pokušaji su u tom pravcu.

Temeljni razlog neuspjeha svojstva uvoda u klasičnoj logici je indeterminizam svojstven zakonima disjunkcije. A ∨ B može se izvesti iz A kao i iz B. Stoga, ako su zakoni disjunkcije jedini način zaključivanja A ∨ B, izvedljivost A A A, što je ključno načelo klasične logike, podrazumijevala bi i A ili ¬ A, što je apsurdno. Izlaz iz ove poteškoće je ukidanje neodređene disjunkcije i korištenje umjesto njenog klasičnog de Morganovog ekvivalenta ¬ (¬ A ∧¬ B). To u osnovi vodi u logiku bez odgovarajuće disjunkcije. U slučaju kvantifikatora ne bi postojao ni pravi egzistencijalni kvantifikator, jer bi se ∃ xA shvatio u smislu ∀ A. Ako je netko spreman prihvatiti ovo ograničenje, tada se mogu formulirati određeni principi sklada za klasičnu logiku.

3.6 Hipotetičko rezonovanje

Standardni pristupi dokazno-teorijske semantike, posebno Prawitzov pristup zasnovan na valjanosti (odjeljak 2.2.2), uzimaju zatvorene izvedenice kao osnovne. Valjanost otvorenih izvedenica definira se kao prijenos valjanosti iz zatvorenih izvedenica pretpostavki do zatvorenog izvoda tvrdnje, pri čemu se potonji dobija zamjenom zatvorene izvedenice otvorenom pretpostavkom. Stoga, ako neko naziva zatvorene izvedenice 'kategoričkim', a otvorene derivacije 'hipotetičkim', ovaj pristup može se okarakterizirati kao sljedeće dvije temeljne ideje: (I) primat kategoričkog nad hipotetičkim, (II) gledanje posljedice prijenosa. Ove dvije pretpostavke (I) i (II) mogu se promatrati kao dogme standardne semantike (vidjeti Schroeder-Heister 2012c). "Standardna semantika" ovdje ne znači samo standardnu dokazno-teorijsku semantiku,ali i klasična modelno-teorijska semantika, gdje se pretpostavljaju i ove dogme. Tamo započinjemo s definicijom istine, koja je kategorički koncept, i definira posljedicu, hipotetički pojam, kao prijenos istine iz uvjeta u posljedice. S tog stajališta, konstruktivna semantika, uključujući dokazno-teorijsku semantiku, razmjenjuju pojam istine s konceptom konstrukcije ili dokaza i interpretiraju „prijenos“u smislu konstruktivne funkcije ili postupka, ali u suprotnom ostavljaju okvir netaknut.konstruktivna semantika, uključujući dokazno-teorijsku semantiku, razmjenjuju pojam istine s konceptom konstrukcije ili dokaza i interpretiraju „prijenos“u smislu konstruktivne funkcije ili postupka, ali u suprotnom ostavljaju okvir netaknut.konstruktivna semantika, uključujući dokazno-teorijsku semantiku, razmjenjuju pojam istine s konceptom konstrukcije ili dokaza i interpretiraju „prijenos“u smislu konstruktivne funkcije ili postupka, ali u suprotnom ostavljaju okvir netaknut.

U principu nema ništa loše u tim dogmama. Međutim, postoje fenomeni s kojima se teško suočiti u standardnom okviru. Takav fenomen je neosnovanost, posebno kružnost, gdje možemo imati posljedice bez prijenosa istine i dokazivosti. Drugi su fenomen substrukturalne razlike, pri čemu je ključno uključiti strukturiranje pretpostavki od samog početka. Štoviše, a to je najvažnije, mogli bismo definirati stvari na određeni način, ne znajući unaprijed je li naša definicija ili lanac definicija dobro utemeljen ili ne. Mi se prvo ne uključujemo u metajezično proučavanje definicije s kojom započinjemo, nego bismo željeli početi razmišljati odmah. Taj se problem ne dobija ako se ograničimo na slučaj logičkih konstanti,gdje su definirajuća pravila trivijalno utemeljena. Ali problem nastaje odmah, kada razmotrimo složenije slučajeve koji nadilaze logičke konstante.

Zbog toga je vrijedno krenuti u drugom smjeru i krenuti s hipotetičkim konceptom posljedice, tj. Izravno karakterizirati posljedicu bez spuštanja na kategorički slučaj. Filozofski to znači da je kategorički koncept hipotetski granični pojam. U klasičnom slučaju, istina bi bila ograničavajući posljedica, naime posljedica bez hipoteza. Ovaj je program usko povezan s pristupom kategoričke teorije dokaza (odjeljak 2.5) koji se temelji na primatu hipotetičkih entiteta („strelice“). Formalno bi davao prednost sekvencijskom računu nad prirodnim dedukcijom, jer sekvencijski račun dopušta manipuliranje pretpostavke strane niza pomoću pravila o lijevom uvođenju.

3.7 Intenzivna dokazno-teorijska semantika

Kao što je spomenuto u prvom odjeljku (1.1), dokazno-teorijska semantika je duha intenzivna, jer ga zanimaju dokazi, a ne samo dokazivost. Za dokazno-teorijsku semantiku nije bitno samo da li B slijedi iz A, nego i na koji način možemo utvrditi da B slijedi iz A. Drugim riječima, identitet dokaza važno je pitanje. Međutim, iako je to očito prima facie, a dokazno-teorijski semantičari bi se obično složili s ovom apstraktnom tvrdnjom, praksa u dokazno-teorijskoj semantici je često drugačija, a tema identiteta dokaza prilično je zapostavljena tema. Vrlo se često dešava da se identificiraju jednako moćna pravila. Na primjer, kada se raspravlja o načelima sklada, a netko razmatra standardno pravilo uvođenja veze

AB
A ∧ B

mnogi dokazno-teorijski semantičari smatraju da je nebitno da li je netko odabrao par projekcija

A ∧ B A ∧ B
A B

ili par

A ∧ B A ∧ BA
A B

kao pravila za eliminaciju veznika. Drugi se par pravila često smatralo samo složenijom varijantom par projekcija. Međutim, s intenzivnog gledišta, ta dva para pravila nisu identična. Prepoznati ih odgovara identificiranju A ∧ B i A ∧ (A → B), što je samo ekstenzivno, ali nije intenzivno ispravno. Kao što je Došen često tvrdio (npr., Došen 1997, 2006), formule poput A ∧ B i A ∧ (A → B) su ekvivalentne, ali nisu izomorfne. Ovdje „izomorfno“znači da kada dokazujemo jednu formulu iz druge i obrnuto, kombiniranjem ova dva dokaza dobijamo dokaz identiteta. U ovom primjeru to nije slučaj.

Slijedom ove ideje dolazi do načela sklada i inverzije koja se razlikuju od standardnih. Kako su sklad i inverzija u središtu dokazno-teorijske semantike, mnoge su se teme dotakle. Ozbiljno shvatanje teme intenzivnosti može preoblikovati mnoga područja dokazno-teorijske semantike. A budući da je identitet dokaza osnovna tema teorije kategoričkog dokazivanja, potonje će morati dobiti veću pozornost u dokazno-teorijskoj semantiki nego što je to trenutno slučaj.

Daljnje čitanje

Za negaciju i poricanje vidjeti Tranchini (2012b); Wansing (2001).

Za semantiku prirodnog jezika vidi Francez (2015).

Za klasičnu logiku vidi unos o klasičnoj logici.

Za hipotetičko zaključivanje i intenzivnu dokaznu teorijsku semantiku vidi Došen (2003, 2016) i Schroeder-Heister (2016a).

4. Zaključak i izgledi

Standardna dokazno-teorijska semantika praktički je ekskluzivno zauzeta logičkim konstantama. Logičke konstante igraju središnju ulogu u zaključivanju i zaključivanju, ali definitivno nisu isključiva, a možda čak ni najtipičnija vrsta entiteta koja se može definirati inferencijski. Potreban je okvir koji obrađuje inferencijalne definicije u širem smislu i podjednako obuhvaća i logičke i izvan-logičke inferencijalne definicije. Ideja definitivnog promišljanja s obzirom na proizvoljna definicijska pravila (vidi 2.3.2.) I također prirodne jezične primjene (vidi 3.4.) Usmjerena je u tom smjeru, ali može se zamisliti što dalje dosežu. Nadalje, koncentracija na harmoniju, principe inverzije, definitivni odraz i slično pomalo je zabluda,kao što bi moglo sugerirati da se dokazno-teorijska semantika sastoji samo od toga. Treba naglasiti da su već kada je u pitanju aritmetika, osim inverzije potrebni i jači principi. Međutim, usprkos tim ograničenjima, dokazno-teorijska semantika već je stekla vrlo značajna dostignuća koja se mogu natjecati s široko rasprostranjenim pristupima semantike.

Bibliografija

  • Aczel, Peter (1977). „Uvod u induktivne definicije“, u Priručniku za matematičku logiku, John Barwise (ur.), Amsterdam: North-Holland, str. 739–782.
  • Beall, JC i Greg Restall (2006). Logički pluralizam, Oxford: Oxford University Press.
  • Belnap, Nuel D. (1982). "Prikaz logike", časopis za filozofsku logiku, 11: 375–417.
  • Brandom, Robert B. (2000). Artikulirajući razlozi: uvod u konferencijalizam, Cambridge Mass.: Harvard University Press.
  • de Campos Sanz, Wagner i Thomas Piecha (2009). “Inverzija definitivnim razmišljanjem i prihvatljivošću logičkih pravila”, Pregled simboličke logike, 2: 550–569.
  • –––, Thomas Piecha i Peter Schroeder-Heister (2014). „Konstruktivna semantika, prihvatljivost pravila i valjanost Peirceovog zakona“, Logički časopis IGPL-a, 22: 297–308.
  • de Groote, Philippe, ed. (1995). Curry-Howard izomorfizam, svezak 8 Cahiers du Centre de Logique, Academia-Bruyland.
  • Di Cosmo, Roberto i Dale Miller (2010). "Linearna logika", Stanfordska enciklopedija filozofije (jesensko izdanje 2010), Edward N. Zalta (ur.), URL =
  • Došen, Kosta (1980). Logičke konstante: esej iz teorije dokaza, D. Phil. Teza, Odsjek za filozofiju, Sveučilište Oxford.
  • ––– (1989.). „Logičke konstante kao interpunkcijske oznake“, časopis Notre Dame za formalnu logiku, 30: 362–381.
  • ––– (1997). "Logička posljedica: preokret u stilu", u: Dalla Chiara, ML, K. Doets, D. Mundici, J. van Benthem (ur.), Logika i znanstvene metode: svezak prvog Desetog međunarodnog kongresa logike, metodologije i Filozofija znanosti, Firenca, kolovoz 1995., Dordrecht: Kluwer, 289–311.
  • ––– (2000). Izbacivanje rezanja u kategorijama, Berlin: Springer.
  • ––– (2003). “Identitet dokaza utemeljen na normalizaciji i općenitosti”, Bilten simboličke logike, 9: 477–503.
  • ––– (2006). "Modeli dedukcije", u: Kahle i Schroeder-Heister, ur. (2006), str. 639–657.
  • ––– (2016). "Na stazama kategorija", u: Piecha i Schroeder-Heister, ur. (2016b), str. 65–77.
  • ––– i Zoran Petrić (2004). Proof-teoretska usklađenost, London: College Publications.
  • Dummett, Michael (1991). Logičke osnove metafizike, London: Duckworth.
  • Francez, Nissim (2015). Proof-teoretska semantika, London: College Publications.
  • ––– i Gilad Ben-Avi (2015). “Dokazno-teorijska rekonstrukcija generaliziranih kvantifikatora”, časopis Semantics, 32: 313–371.
  • ––– i Roy Dyckhoff (2010). „Dokazno-teorijska semantika za fragment prirodnog jezika“, lingvistika i filozofija, 33: 447–477.
  • –––, Roy Dyckhoff i Gilad Ben-Avi (2010). „Dokazno-teoretska semantika za subsencijalne fraze“, Studia Logica, 94: 381–401.
  • Gentzen, Gerhard (1934/35). "Untersuchungen über das logische Schließen", Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210, 405–431; Prijevod s engleskog na The Collected Papers Gerharda Gentzena, ME Szabo (ur.), Amsterdam: North Holland, 1969, str. 68–131.
  • Girard, Jean-Yves (1987). “Linearna logika”, Teorijska informatika, 50: 1–102.
  • Hakanje, Ian (1979). "Što je logika?", Časopis za filozofiju, 76: 285–319.
  • Hallnäs, Lars (1991). “Djelomične induktivne definicije”, Teorijska informatika, 87: 115–142.
  • ––– (2006). “O dokazno-teoretskom temelju teorije opće definicije”, Synthese, 148: 589–602.
  • Hallnäs, Lars i Peter Schroeder-Heister (1990./91.). „Dokazno-teoretski pristup logičkom programiranju: I. Odredbe kao pravila. II. Programi kao definicije “, časopis za logiku i računarstvo, 1: 261–283, 635–660.
  • Harper, Robert, Furio Honsell i Gordon Plotkin (1987). „Okvir za definiranje logike“, časopis Asocijacije za računske strojeve, 40: 194–204.
  • Humberstone, Lloyd (2010). „Konektori rečenice u formalnoj logici“, Stanfordska enciklopedija filozofije (ljeto 2010), Edward N. Zalta (ur.), URL =
  • Jaśkowski, Stanisław (1934). „O pravilima pretpostavki u formalnoj logici“, Studia Logica, 1: 5–32 (prepisano u S. McCall (ur.), Polish Logic 1920-1939, Oxford 1967, str. 232–258).
  • Jäger, Gerhard i Robert F. Stärk (1998). „Proof-teoretski okvir za logičko programiranje“, Priručnik teorije dokaza, Samuel R. Buss (ur.), Amsterdam: Elsevier, str. 639–682.
  • Kahle, Reinhard i Peter Schroeder-Heister, izd. (2006). Proof-teoretska semantika, Posebno izdanje Sinteze, svezak 148.
  • Kneale, William (1956). „Provincija logike“, Suvremena britanska filozofija, HD Lewis (ur.), London: Allen i Unwin, str. 237–261.
  • Koslow, Arnold (1992). Strukturalistička teorija logike, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Kreisel, Georg (1971). „Pregled teorije dokaza II“, Zbornik radova Drugog skandinavskog logičkog simpozija, JE Renstad (ur.), Amsterdam: North-Holland, str. 109-170.
  • Kremer, Philip (2009). "Teorija revizije istine", Filozofska enciklopedija Stanford (izdanje proljeće 2009), Edward N. Zalta (ur.), URL =
  • Kreuger, Per (1994). „Aksiomi u definicijskim kalkulacijama“, Proširenja logičkog programiranja: Zbornik radova 4. međunarodne radionice, ELP'93, St. Andrews, Velika Britanija, ožujak / travanj 1993. (Bilješke predavanja iz informatike, Voluem 798), Roy Dyckhoff (ur.), Berlin: Springer, str. 196–205.
  • Lambek, J. i PJ Scott (1986). Uvod u kategoričku logiku višeg reda, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lorenzen, Paul (1955). Einführung in die operative Logik und Mathematik, Berlin: Springer; 2. izdanje, 1969.
  • Martin-Löf, Per (1971). „Hauptsatz za intuicionističku teoriju iteriranih induktivnih definicija“, Zbornik radova Drugog skandinavskog logičkog simpozija, JE Fenstad (ur.), Amsterdam: North-Holland, str. 179–216.
  • ––– (1984). Intuitionistička teorija tipa, Napoli: Bibliopolis.
  • ––– (1995). „Verifikacionizam tada i sada“, Temeljna rasprava: Složenost i konstruktivnost u matematici i fizici, Werner DePauli-Schimanovich, Eckehart Köhler i Friedrich Stadler (ur.), Dordrecht: Kluwer, str. 187–196.
  • ––– (1998). „Istina i spoznajnost: Na načelima C i K Michaela Dummetta“, Istina u matematici, Harold G. Dales i Gianluigi Oliveri (ur.), Oxford: Clarendon Press, str. 105–114.
  • Negri, Sara i Jan von Plato (2001). Strukturna teorija dokazivanja, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Nelson, David (1949). „Konstruktibilna lažnost“, časopis za simboličku logiku, 14: 16–26.
  • Odintsov, Sergej P. (2008). Konstruktivne negacije i parakonzistentnost, Berlin: Springer.
  • Piecha, Thomas (2016). „Potpunost u dokazno-teoretskoj semantika“. U: Piecha i Schroeder-Heister, ur. (2016b), str: 231–251.
  • –––, Wagner de Campos Sanz i Peter Schroeder-Heister (2015). "Neuspjeh kompletnosti u dokazno-teoretskoj semantiki", časopis za filozofsku logiku, 44: 321–335.
  • ––– i Peter Schroeder-Heister (2016a). „Atomski sustavi u dokaznoj teoretskoj semantiki: dva pristupa“, u: Redmond, J., OP Martins, Á. N. Fernándezova epistemologija, znanje i utjecaj interakcije, Cham: Springer, str. 47–62.
  • ––– i Peter Schroeder-Heister, eds. (2016b). Napredak proof-teoretske semantike, Cham: Springer (otvoreni pristup)
  • Popper, Karl Raimund (1947a). "Logika bez pretpostavki", Zbornik Aristotelovskog društva, 47: 251–292.
  • ––– (1947b). „Novi temelji za logiku“, um, 56: 193-235; ispravke, Mind, 57: 69–70.
  • Prawitz, Dag (1965). Prirodni odbitak: dokazno-teorijska studija, Stockholm: Almqvist & Wiksell; reprinted Mineola, NY: Dover Publikacije, 2006.
  • ––– (1971). „Ideje i rezultati teorije dokazivanja“, Zbornik Drugog skandinavskog logičkog simpozija (Oslo 1970), Jens E. Fenstad (ur.), Amsterdam: North-Holland, str. 235–308.
  • ––– (1972). „Filozofski položaj teorije dokazivanja“, Suvremena filozofija u Skandinaviji, RE Olson i AM Paul (ur.), Baltimore, London: John Hopkins Press, str. 123–134.
  • ––– (1973). „Prema zakladi opće teorije dokazivanja“, logike, metodologije i filozofije znanosti IV, Patrick Suppes, i sur. (ur.), Amsterdam: North-Holland, str. 225-250.
  • ––– (1974). “O ideji opće teorije dokazivanja”, Synthese, 27: 63–77.
  • ––– (1985). „Primjedbe na neke pristupe konceptu logičke posljedice“, Synthese, 62: 152–171.
  • ––– (2006). „Značenje kojem se pristupa putem dokaza“, Synthese, 148: 507–524.
  • ––– (2007). „Pragmatističke i verifikacijske teorije značenja“, Filozofija Michaela Dummetta, Randalla E. Auxiera i Lewisa Edwina Hahna (ur.), La Salle: Otvoreni sud, str. 455–481.
  • ––– (2013). „Pristup općenitoj teoriji dokazivanja i konceptu vrste cjelovitosti intuicijske logike revidiran“, napretci prirodne dedukcije, Edward Hermann Haeusler, Luiz Carlos Pereira i Valeria de Paiva (ur.), Berlin: Springer.
  • Pročitajte, Stephen (2010). „Harmonija opće-eliminacije i značenje logičkih konstanta“, časopis Filozofska logika, 39: 557–576.
  • Restall, Greg (2009). "Substrukcijska logika", Stanfordska enciklopedija filozofije (ljeto 2009. Izdanje), Edward N. Zalta (ur.), URL =,
  • Sambin, Giovanni, Giulia Battilotti i Claudia Faggian (2000). „Osnovna logika: refleksija, simetrija, vidljivost“, časopis Simbolička logika, 65: 979–1013.
  • Sandqvist, Tor (2009). „Klasična logika bez dvoličnosti“, analiza, 69: 211–218.
  • Schroeder-Heister, Peter (1984). “Prirodni nastavak prirodne dedukcije”, časopis Symbolic Logic, 49: 1284–1300.
  • ––– (1991.). „Jedinstvena dokazno-teoretska semantika za logičke konstante (sažetak)“, časopis Simbolička logika, 56: 1142.
  • ––– (1992). „Izreži eliminaciju u logici s definicijskim odrazom“, neklasična logika i obrada informacija: Zbornik radova s Međunarodne radionice, Berlin, studeni 1990. (Bilješke predavanja iz informatike: svezak 619). David Pearce i Heinrich Wansing (ur.), Berlin: Springer, str. 146–171.
  • ––– (1993). “Pravila definitivne refleksije”, Zbornik radova 8. godišnjeg IEEE-ovog simpozija o logici u računalstvu, Los Alamitos: IEEE Press, str. 222-232.
  • ––– (2004). "O pojmu pretpostavke u logičkim sustavima", Izabrani radovi priloženi odjeljcima GAP5 (Peti međunarodni kongres Društva za analitičku filozofiju, Bielefeld, 22. i 26. rujna 2003.), R. Bluhm i C. Nimtz (ur.), Paderborn: mentis dostupan na mreži), str. 27–48.
  • ––– (2005). „Poperova strukturalistička teorija logike“, Karl Popper: Stogodišnja procjena. Vol. III: Znanost, Ian Jarvie, Karl Milford i David Miller (ur.), Aldershot: Ashgate, str. 17–36.
  • ––– (2006). „Pojmovi valjanosti u dokazno-teoretskoj semantiki“, Synthese, 148: 525–571.
  • ––– (2007). „Općenito određeni odraz i načelo inverzije“, Logica Universalis, 1: 355–376.
  • ––– (2008a). "Lorenzen-ovo operativno opravdanje intuicijske logike", Sto godina intuicionizma (1907-2007): Cerisyjeva konferencija, Mark van Atten, i dr. (ur.), Basel: Birkhäuser, 214–240 [Reference za cijeli svezak: 391–416].
  • ––– (2008b). „Dokazna teoretika nasuprot teoretskim rezultatima modela“, Godišnjak iz logike 2007, M. Peliš (ur.), Prag: Filozofija, str. 187–200.
  • ––– (2012a). „Definitivno obrazloženje proof-teoretske semantike i trga suprotnosti“, Trg opozicije: Opći okvir za spoznaju, Jean-Yves Béziau i Gillman Payette (ur.), Bern: Peter Lang, str. 323–349.
  • ––– (2012b). „Dokazna teoretska semantika, samokontrola i oblik deduktivnog obrazloženja“. U: Topoi 31, str. 77–85.
  • ––– (2012c). "Kategoričko i hipotetsko: kritika nekih temeljnih pretpostavki standardne semantike". U: Sinteza 187, str. 925–942.
  • ––– (2012d). „Paradoksi i strukturalna pravila“. U: Dutilh Novaes, Catarina i Ole T. Hjortland, ur., Netopljivosti i posljedice. Eseji u čast Stephena Pročitanog. London: College Publications, str. 203–211.
  • ––– (2013). „Definitivna refleksija i osnovna logika“, Anali čiste i primijenjene logike, 164 (4): 491–501.
  • ––– (2015). „Dokazna teoretska valjanost utemeljena na pravilima eliminacije“. U: Haeusler, Edward Hermann, Wagner de Campos Sanz i Bruno Lopes, ur., Zašto je to dokaz? Festschrift za Luiz Carlos Pereira. London: College Publications, str. 159–176.
  • ––– (2016a). „Otvoreni problemi u dokaznoj teoretskoj semantiki“. U: Piecha i Schroeder-Heister, ur. (2016b), str. 253–283.
  • ––– (2016b). "Ograničavanje početnih sekvenci: kompromisi između identiteta, kontrakcije i rezanja". U: Kahle, Reinhard, Thomas Strahm i Thomas Studer, ur., Napredak teorije dokazivanja Bazel: Birkhäuser, str. 339–351.
  • Shoesmith, DJ i Timothy J. Smiley (1978). Logika višestrukog zaključivanja, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Sommaruga, Giovanni (2000). Povijest i filozofija teorije konstruktivnog tipa, Dordrecht: Kluwer.
  • Sørensen, Morten Heine B. i Pawel Urzyczyn (2006). Predavanja o Curry-Howard izomorfizmu, Amsterdam: Elsevier.
  • Tait, W. W: (1967). “Intensionalna interpretacija funkcija konačnog tipa I”, Časopis Simbolička logika, 32: 198–212.
  • Tennant, Neil (1978). Prirodna logika, Edinburgh: Edinburgh University Press.
  • ––– (1982). „Dokaz i paradoks“, Dialectica, 36: 265–296.
  • ––– (1987). Anti-realizam i logika: Istina kao vječna, Oxford: Clarendon Press.
  • ––– (1997). Ukrotivanje istine, Oxford: Clarendon Press.
  • Tranchini, Luca (2010). Dokaz i istina: antirealistička perspektiva, Milano: Edizioni ETS, 2013.; reprint doktorata. disertacija, Odsjek za filozofiju, Sveučilište u Tuebingenu, 2010., dostupno putem interneta.
  • ––– (2012a). "Istina iz dokazno-teoretske perspektive". U: Topoi 31, str. 47–57.
  • ––– (2012b). „Prirodna dedukcija za dualnu intuicijsku logiku“, Studia Logica, 100: 631–648.
  • ––– (2016). „Dokazno-teoretska semantika, paradoksi i razlika između smisla i oznake“, časopis za logiku i računarstvo, 26, str. 495–512.
  • Troelstra, Anne S. i Dirk van Dalen (1988). Konstruktivizam u matematici: uvod, Amsterdam: Sjeverna Holandija.
  • Troelstra, AS i H. Schwichtenberg (2000). Osnovna teorija dokazivanja, Cambridge University Press, drugo izdanje.
  • von Kutschera, Franz (1968). “Die Vollständigkeit des Operatorensystems {¬, ∧, ∨, ür} for die intuitionistische Aussagenlogik im Rahmen der Gentzensemantik”, Archiv für matemache Logik und Grundlagenforschung, 11: 3–16.
  • ––– (1969.). “Ein verallgemeinerter Widerlegungsbegrifff für Gentzenkalküle”, Archiv für matemache Logik und Grundlagenforschung, 12: 104–118.
  • Wansing, Heinrich (1993a). "Funkcionalna cjelovitost za podsustave intuicionističke logike propozicija", časopis Filozofske logike, 22: 303–321.
  • ––– (1993b). Logika informacijskih struktura (Bilješke predavanja iz umjetne inteligencije, svezak 681), Berlin: Springer Springer.
  • ––– (2000). “Ideja dokazno-teorijske semantike”, Studia Logica, 64: 3–20.
  • ––– (2001). “Negacija”, Blackwell-ov vodič za filozofsku logiku, L. Goble (ur.), Cambridge, MA: Blackwell, str. 415–436.
  • Wieckowski, Bartosz (2008). „Predikacija u fikciji“, u Ljetopisu godišnjaka 2007, M. Peliš (ur.), Prag: Filozofija, str. 267–285.
  • ––– (2011). “Pravila za subatomsko izvođenje”, Pregled simboličke logike, 4: 219-236.
  • ––– (2016). „Subatomska prirodna dedukcija za prirodoslovni jezik prvog reda s neprimitivnim identitetom“, časopis za logiku, jezik i informacije, 25: 215-268.
  • Zeilberger, Noam (2008). „O jedinstvu dualnosti“, Anali čiste i primijenjene logike, 153: 66–96.

Akademske alate

sep man ikona
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

  • de Campos Sanz, Wagner i Thomas Piecha (2012). "Primjedbe na konstruktivnu semantiku za klasičnu i intuicijsku logiku", internetski rukopis.
  • Tranchini, Luca (2012b). "Programsko-teoretska semantika, paradoksi i razlika između smisla i oznake", internetski rukopis.

Preporučeno: