Aksiomatske Teorije Istine

Sadržaj:

Aksiomatske Teorije Istine
Aksiomatske Teorije Istine

Video: Aksiomatske Teorije Istine

Video: Aksiomatske Teorije Istine
Video: КОРОНАВИРУС ПРЕВАРА У СВЕТЛУ ИСТИНЕ 2023, Ožujak
Anonim

Ulazna navigacija

  • Sadržaj unosa
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Prijatelji PDF pregled
  • Podaci o autoru i citiranju
  • Povratak na vrh

Aksiomatske teorije istine

Prvo objavljeno u ponedjeljak 26. prosinca 2005.; suštinska revizija Thu 18. siječnja 2018

Aksiomatska teorija istine je deduktivna teorija istine kao primitivni neodređeni predikat. Zbog laži i ostalih paradoksa, aksiomi i pravila moraju se odabrati pažljivo kako bi se izbjegla nedosljednost. Mnogi su aksiomni sustavi za predikat istine diskutirani u literaturi i analizirana su njihova svojstva. Nekoliko filozofa, uključujući mnoge deflacioniste, podržalo je aksiomatske teorije istine u svojim pričama o istini. Logička svojstva formalnih teorija relevantna su za različita filozofska pitanja, poput pitanja o ontološkom statusu svojstava, Gödelovih teorema, istorijsko-teorijskog deflacionizma, uklonjivosti semantičkih pojmova i teorije značenja.

  • 1. Motivacije

    • 1.1 Istina, svojstva i skupovi
    • 1.2 Istina i promišljanje
    • 1.3 Istinito-teorijski deflacionizam
  • 2. Teorija baze

    • 2.1 Izbor teorije baze
    • 2.2 Javne ustanove
  • 3. Utipkane teorije istine

    • 3.1 Definirajuće predikatne istine
    • 3.2. Rečenice (T)
    • 3.3 Sastavnička istina
    • 3.4 Hijerarhijske teorije
  • 4. Istina bez tipa

    • 4.1 Bez tipa (T) - rečenice
    • 4.2 Sastavnost
    • 4.3 Friedman-Sheardova teorija i revizija semantika
    • 4.4 Kripke-Fefermanova teorija
    • 4.5 Snimanje minimalne fiksne točke
    • 4.6 Aksiomatizacija Kripkeove teorije s supervaluacijama
  • 5. Neklasični pristupi samo referenciranju

    • 5.1 Predikat istine u intuicijističkoj logici
    • 5.2 Aksiomatiziranje Kripkeove teorije
    • 5.3 Dodavanje uvjetnog
  • Bibliografija
  • Akademske alate
  • Ostali internetski resursi
  • Povezani unosi

1. Motivacije

Bilo je mnogo pokušaja definiranja istine u smislu prepiske, koherentnosti ili drugih pojmova. Međutim, daleko je jasno da je istina definitivan pojam. U formalnim postavkama koje zadovoljavaju određene prirodne uvjete, Tarski teorem o neodređenosti predikata istine pokazuje da definicija predikata istine zahtijeva resurse koji nadilaze one formalnog jezika za koji će se istina definirati. U tim slučajevima definitivni pristupi istini moraju propasti. Nasuprot tome, aksiomatski pristup ne pretpostavlja da se istina može definirati. Umjesto toga, formalni se jezik proširuje novim primitivnim predikatom za istinu ili zadovoljstvo, a zatim se postavljaju aksiomi za taj predikat. Ovaj pristup sam po sebi ne isključuje mogućnost da je predikat istine moguće definirati,iako se u mnogim slučajevima može pokazati da predikat istine nije moguće definirati.

U semantičkim teorijama istine (npr. Tarski 1935, Kripke 1975), nasuprot tome, predikat istine definiran je za jezik, takozvani objektni jezik. Ta se definicija provodi u metajeziku ili metateoriji, što se obično podrazumijeva da uključuje teoriju skupova ili barem još jednu jaku teoriju ili ekspresivno bogat interpretirani jezik. Tarski teorem o neodređenosti predikata istine pokazuje da, s obzirom na određene opće pretpostavke, resursi metajezika ili metateorije moraju nadići resurse objektnog jezika. Dakle, semantički pristupi obično zahtijevaju uporabu metajezika koji je snažniji od jezika predmeta za koji pruža semantiku.

Kao i kod drugih formalnih deduktivnih sustava, aksiomatske teorije istine mogu se prikazati u vrlo slabim logičkim okvirima. Ti okviri zahtijevaju vrlo malo resursa, a posebno izbjegavaju potrebu za snažnim metajezikom i metateorijom.

Formalni rad na aksiomatskim teorijama istine pomogao je osvijetliti semantičke teorije istine. Primjerice, donio je podatke o tome što se traži od metajezika, koji je dovoljan za definiranje predikata istine. Semantičke teorije istine zauzvrat pružaju teorijske alate potrebne za istraživanje modela aksiomatskih teorija istine i motivaciju za određene aksiomatske teorije. Tako se aksiomatski i semantički pristupi istini isprepliću.

Ovaj unos opisuje najpopularnije aksiomatske teorije istine i navodi neke formalne rezultate koji su se stekli u vezi s njima. Dajemo samo naznake njihovih filozofskih primjena.

1.1 Istina, svojstva i skupovi

Teorije istine i predviđanja usko su povezane s teorijama svojstava i atribucije svojstava. Reći da je otvorena formula (phi (x)) istinita za pojedinca (a) čini se (u nekom smislu) jednakom tvrđenju da (a) ima svojstvo biti takav da (phi) (ovo svojstvo označava se otvorenom formulom). Na primjer, moglo bi se reći da je „(x) loš filozof“vrijedi za Tome, umjesto da kaže da Tom ima svojstvo biti loš filozof. Kvantifikacija preko određenih svojstava tada se može oponašati na jeziku s predikatom istine kvantificiranjem preko formula. Umjesto da, na primjer, kažemo da (a) i (b) imaju potpuno ista svojstva, jedan kaže da su potpuno iste formule istinite za (a) i (b). Spuštanje svojstava na istinu u određenoj mjeri djeluje i za skupove pojedinaca.

Smanjivanja postoje i u drugom smjeru: Tarski (1935.) je pokazao da se za pretpostavku istine mogu upotrijebiti određene pretpostavke postojanja drugog reda (npr. Aksiomi razumijevanja) (vidi unos u Tarskijevoj definiciji istine). Matematička analiza aksiomatskih teorija istine i sustava drugog reda pokazala je mnoge ekvivalencije između ovih pretpostavki o postojanju drugog reda i teorijskih pretpostavki o istini.

Ovi rezultati pokazuju upravo ono što je potrebno za definiranje predikata istine koji zadovoljava određene aksiome, čime se pooštrava Tarskijev uvid u definiranje istine. Konkretno, dokazno-teorijske ekvivalencije opisane u odjeljku 3.3 dolje jasno pokazuju u kojoj mjeri metajezik (ili bolje metateorija) mora biti bogatiji od objektnog jezika kako bi se mogao definirati predikat istine.

Izjednačenost između teorija drugog reda i teorija istine također ima veze s tradicionalnim metafizičkim temama. Redukcije teorija drugog reda (tj. Teorije svojstava ili skupova) na aksiomatske teorije istine mogu se zamisliti kao oblici reduktivnog nominalizma, jer one zamjenjuju pretpostavke o postojanju skupova ili svojstava (npr. Aksiomi razumijevanja) ontološki bezazlenim pretpostavkama, u ovom slučaju pretpostavkama o ponašanju predikata istine.

1.2 Istina i promišljanje

Prema Gödelovim teoremima nepotpunosti, izjava da je Peano Aritmetika (PA) konzistentna, po svom obličju kao teoretski broj (s obzirom na tehniku Gödelova numeriranja), ne može se izvesti u samoj PA. Ali PA se može pojačati dodavanjem ove izjave o dosljednosti ili jačim aksiomima. Konkretno, mogu se dodati aksiomi koji djelomično izražavaju zvučnost PA. Oni su poznati kao principi refleksije. Primjer principa refleksije za PA bi bio skup rečenica (Bew_ {PA} (ulcorner \ phi \ urcorner) rightarrow \ phi) gdje je (phi) formula aritmetičkog jezika, (ulcorner \ phi \ urcorner) ime za (phi) i (Bew_ {PA} (x)) je standardni predikat proverljivosti za PA ('(Bew)' uveo Gödel i kratka je za njemačku riječ 'beweisbar', tj. 'dokaziv').

Postupak dodavanja načela refleksije može se ponoviti: može se dodati, na primjer, odrazni princip R za PA u PA; to rezultira novom teorijom PA + R. Zatim se teoriji PA + R dodaje princip refleksije za sustav PA + R. Taj se proces može nastaviti u transfinitet (vidi Feferman 1962 i Franzén 2004).

Načela refleksije izražavaju - barem djelomično - zvučnost sustava. Najprirodniji i najpotpuniji izraz zvučnosti sustava uključuje predikat istine i poznat je kao načelo globalne refleksije (vidjeti Kreisel i Lévy 1968). Globalno načelo refleksije formalnog sustava S kaže da su sve rečenice koje se mogu dokazati u S istinite:

) forall x (Bew_S (x) rightarrow Tx))

(Bew_S (x)) ovdje izražava dokazivost rečenica u sustavu S (ovdje izostavljamo raspravu o problemima definiranja (Bew_S (x))). Predikat istine mora zadovoljiti određene principe; inače bi princip globalne refleksije bio ispravan. Stoga se ne mora dodati samo princip globalne refleksije, nego i aksiomi istine. Ako se doda prirodna teorija istine poput T (PA) u nastavku, više nije potrebno eksplicitno postulatirati princip globalne refleksije, jer teorije poput T (PA) već dokazuju princip globalnog razmišljanja za PA. Stoga se teorije istine mogu gledati kao na načela refleksije, jer dokazuju ispravnost izjava i dodaju resurse za izražavanje tih izjava.

Stoga umjesto ponavljanja principa refleksije koji su u cijelosti formulirani na aritmetičkom jeziku, iteracijom se mogu dodati novi predikati istine i prema tome novi aksiomi za nove predikate istine. Time bi se mogli nadati izričito sve pretpostavke koje su implicitne u prihvaćanju teorije poput PA. Rezultirajuća teorija naziva se reflektivnim zatvaranjem početne teorije. Feferman (1991.) je predložio upotrebu jednog predikata istine i jedinstvene teorije (KF), umjesto hijerarhije predikata i teorija, kako bi se objasnio reflektivni zatvor PA i drugih teorija. (KF se dalje raspravlja u odjeljku 4.4. Dolje.)

Odnos teorija istine i načela (iteteriziranog) razmišljanja također su postali istaknuti u raspravi o teorijsko-teorijskom deflacionizmu (vidjeti Tennant 2002 i daljnju raspravu).

1.3 Istinito-teorijski deflacionizam

Mnogi zagovornici deflacionističkih teorija istine izabrali su da istinu tretiraju kao primitivni pojam i da je aksiomatiziraju, često koristeći neku verziju (T) rečenica kao aksiome. (T) - rečenice su ekvivalente oblika (T \ ulcorner \ phi \ urcorner \ leftrightarrow \ phi), gdje je (T) predikat istine, (phi) je rečenica i (ulcorner \ phi \ urcorner) je naziv za rečenicu (phi). (Više rafiniranih aksioma raspravljali su i deflacionisti.) Bar se na prvi pogled čini da je aksiomatski pristup mnogo manje 'deflacijski' od onih tradicionalnijih teorija koje se oslanjaju na definiciju istine u smislu korespondencije ili slično. Ako se istina može izričito definirati, ona se može eliminirati, dok aksiomatizirani pojam istine može i često dolazi s obvezama koje nadilaze okvire teorije baze.

Ako istina nema objašnjavajuću silu, kao što tvrde neki deflacionisti, aksiomi za istinu ne bi trebali dopustiti da dokažemo bilo kakve nove teoreme koje ne uključuju predikat istine. Prema tome, Horsten (1995), Shapiro (1998) i Ketland (1999) sugerirali su da bi deflacijska aksiomatizacija istine trebala biti barem konzervativna. Novi aksiomi istine konzervativni su ako ne podrazumijevaju dodatne rečenice (bez pojava predikata istine) koje se već ne mogu dokazati bez aksioma istine. Tako nekonzervativna teorija istine dodaje novi nesemantički sadržaj teoriji i ima istinsku objašnjenu moć, suprotno mnogim deflacionističkim pogledima. Međutim, neke prirodne teorije istine nisu konzervativne (vidjeti daljnji odjeljak 3.3, polje 1999 i Shapiro 2002 za daljnju raspravu).

Prema mnogim deflacionistima, istina služi samo svrsi izražavanja beskonačnih veza. Jasno je da se ne mogu izraziti sve beskonačne veznice jer postoji neizbrojan broj (neekvivalentnih) beskonačnih veznika preko brojajućeg jezika. Budući da jezik s predikatom predikata istine ima samo mnogobrojne formule, ne može se svaka beskonačna konjukcija izraziti drugačijom konačnom formulom. Formalni rad na aksiomatskim teorijama istine pomogao je da se precizira točno koje se beskonačne veze mogu izraziti predikatom istine. Feferman (1991.) daje dokazno-teorijsku analizu prilično jakog sustava. (Ponovo će to biti objašnjeno u raspravi o KF u odjeljku 4.4. Dolje.)

2. Teorija baze

2.1 Izbor teorije baze

U većini aksiomatskih teorija istina je zamišljena kao predikat predmeta. Postoji opsežna filozofska rasprava o kategoriji predmeta na koje se odnosi istina: predloženi su prijedlozi zamišljeni kao objekti koji su neovisni o bilo kojem jeziku, vrsti i znaku rečenica i izreka, misli i mnogih drugih objekata. Budući da je struktura rečenica koje se smatraju vrstama relativno jasna, vrste rečenica često se koriste kao predmeti koji mogu biti istiniti. U mnogim slučajevima nema potrebe preuzimati vrlo specifične metafizičke obveze, jer su potrebne samo određene skromne pretpostavke o strukturi tih objekata, neovisno o tome jesu li oni konačno sintaktički objekti, propozicije ili još nešto drugo. Teorija koja opisuje svojstva predmeta kojima se istina može pripisati naziva se osnovnom teorijom. Formulacija osnovne teorije ne uključuje predikat istine niti bilo kakve posebne teorijske pretpostavke. Teorija baze mogla bi opisati strukturu rečenica, prijedloga i slično, tako da se pojmovi poput negacije takvog predmeta mogu upotrijebiti u formulaciji teorijskih aksioma.

U mnogim teorijama aksiomatske istine istina se uzima kao predikat koji se primjenjuje na Gödelove brojeve rečenica. Peano aritmetika pokazala se kao svestrana teorija predmeta na koje se primjenjuje istina, uglavnom zato što dodavanje teoretskih aksioma istine Peano aritmetike daje zanimljive sustave i zato što je Peano aritmetika ekvivalentna mnogim izravnim teorijama sintakse, pa čak i teorijama propozicija. Međutim, razmotrene su i druge osnovne teorije, uključujući formalne teorije sintakse i postavljene teorije.

Naravno, također možemo istražiti teorije koje rezultiraju dodavanjem teorijskih aksioma mnogo jačim teorijama poput teorije skupova. Obično ne postoji mogućnost dokazivanja dosljednosti teorije skupa plus daljnji teorijski aksiomi jer dosljednost same teorije skupa ne može se uspostaviti bez pretpostavki koje prevazilaze teoriju skupa. U mnogim slučajevima nisu čak niti dokaza relativne konzistentnosti. Međutim, ako dodavanje određenih teoretskih aksioma istini PA daje dosljednu teoriju, čini se najmanje vjerojatnim da dodavanje analognih aksioma teoriji skupa neće dovesti do nedosljednosti. Stoga je nada da će istraživanje teorija istine preko PA dati određeni pokazatelj onoga što će se dogoditi kad proširimo jače teorije s aksiomima za predikat istine. Međutim,Fujimoto (2012) pokazao je da se neke teorije aksiomatične istine o teoriji skupa u pojedinim aspektima razlikuju od njihovih kolega u odnosu na Peanovu aritmetiku.

2.2 Javne ustanove

Radi definitivnosti pretpostavljamo da aritmetički jezik ima točno (neg, \ klin) i (vee) kao povezivače, a (forall) i (postoji) kao kvantifikatore. Kao pojedinačne konstante ima samo simbol 0 za nulu; njegov jedini funkcijski simbol je urski simbol nasljednika (S); zbrajanje i množenje izraženi su predikatnim simbolima. Stoga su jedini aritmetički zatvoreni izrazi u broju brojeva (0, S) (0), (S (S) (0)), (S (S (S) (0))),….

Aritmetički jezik ne sadrži simbol nejedinstvenih predikata (T), pa neka je (mathcal {L} _T) jezik aritmetike dopunjen istinitim novim unarnim predikatnim simbolom (T) za istinu. Ako je (phi) rečenica od (mathcal {L} _T, \ ulcorner \ phi \ urcorner) naziv za (phi) na jeziku (mathcal {L} _T); formalno gledano, to je broj Gödelovog broja (phi). Općenito, grčka slova poput (phi) i (psi) su varijable metajezika, tj. Jezika koji se koristi za razgovor o teorijama istine i jeziku na kojem je napisan ovaj unos (tj. Engleski obogaćen nekim simbolima). (phi) i (psi) se raspoređuju preko formula formalnog jezika (mathcal {L} _T).

U sljedećem tekstu koristimo mala, velika slova i krsna slova poput ({ scriptptsize A}, { scriptptsize B}, \ ldots) kao varijable u (mathcal {L} _T) rasponu preko rečenica (ili njihovih Gödel brojevi, da budemo precizni). Tako (forall { scriptptsize A} (ldots { scriptptsize A} ldots)) označava (forall x (Sent_T (x) rightarrow \ ldots x \ ldots)), gdje je (Sent_T (x)) u aritmetičkom jeziku izražava da je (x) rečenica aritmetičkog jezika proširena predikatnim simbolom (T). Sintaktičke operacije oblikovanja veznika dviju rečenica i slične operacije mogu se izraziti aritmetičkim jezikom. Budući da aritmetički jezik ne sadrži nijedan simbol funkcije osim simbola za nasljednika, ove operacije moraju biti izražene prikladnim predikatnim izrazima. Stoga se u jeziku (mathcal {L} _T) može reći da je negacija rečenice (mathcal {L} _T) istinita ako i samo ako rečenica sama nije istinita. To bismo napisali kao

) forall { scriptptsize A} (T) neg { scriptptsize A}] leftrightarrow \ neg T { scriptptsize A}).)

Kvadratni zagrade pokazuju da je operacija formiranja negacije ({ scriptptsize A}) izražena aritmetičkim jezikom. Budući da aritmetički jezik ne sadrži simbol funkcije koji predstavlja funkciju koja šalje rečenice na njihove negacije, moraju se dati odgovarajući parafrazi koji uključuju predikate.

Tako, na primjer, izraz

) forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T [{ scriptpts A} wedge { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptpts A} wedge T { scriptptsize B})))

je jedna rečenica jezika (mathcal {L} _T) koja kaže da je veznik rečenica (mathcal {L} _T) istinit ako i samo ako su obje rečenice istinite. U kontrastu, [T \ ulcorner \ phi \ wedge \ psi \ urcorner \ leftrightarrow (T \ ulcorner \ phi \ urcorner \ klin T \ ulcorner \ phi \ urcorner))

je samo shema. Odnosno, predstavlja skup svih rečenica koje su dobivene iz gornjeg izraza zamjenom rečenica (mathcal {L} _T) grčkim slovima (phi) i (psi). Jedna rečenica (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T [{ scriptpts A} klin { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptpts A} klin T { scriptptsize B}))) podrazumijeva sve rečenice koje su slučajevi sheme, ali instance sheme ne podrazumijevaju jedinstvenu univerzalno kvantificiranu rečenicu. Općenito, kvantificirane verzije su jače od odgovarajućih shema.

3. Utipkane teorije istine

U tipiziranim teorijama istine dokazana je samo istina rečenica koje ne sadrže isti predikat istine, čime se izbjegavaju paradoksi promatranjem razlikovanja Tarskog između objekta i metajezika.

3.1 Definirajuće predikatne istine

Određene predikatne istine mogu se definirati unutar aritmetičkog jezika. Predikati prikladni kao predikati istine za podjezike jezika aritmetike mogu se definirati unutar aritmetičkog jezika, sve dok je kvantitativna složenost formula u podjeziku ograničena. Konkretno, postoji formula (Tr_0 (x)) koja izražava da je (x) prava atomska rečenica aritmetičkog jezika, to jest rečenica oblika (n = k), gdje su (k) i (n) identični brojevi. Za daljnje informacije o preliminarnim predikatima istine pogledajte, na primjer, Hájek i Pudlak (1993), Kaye (1991) i Takeuti (1987).

Definibilne predikatne istine doista su suvišne, jer su u njima izražene u PA; stoga ih nema potrebe uvoditi aksiomatski. Sve istine koje predlažu u nastavku nisu definirane u aritmetičkom jeziku i stoga nisu suvišne barem u smislu da ih nije moguće definirati.

3.2. Rečenice (T)

Upisane (T) rečenice sve su ekvivalente oblika (T \ ulcorner \ phi \ urcorner \ leftrightarrow \ phi), gdje je (phi) rečenica koja ne sadrži predikat istine. Tarski (1935) je svaku teoriju koja dokazuje te ekvivalencije nazvao "materijalno odgovarajućom". Tarski (1935) kritizirao je aksiomatizaciju istine oslanjajući se samo na rečenice (T), ne zato što je imao za cilj definiciju, a ne aksiomatizaciju istine, već zato što se takva teorija činila previše slabom. Iako je teorija materijalno odgovarajuća, Tarski je smatrao da su rečenice (T) deduktivno preslabe. Posebno je opazio da rečenice (T) ne dokazuju načelo cjelovitosti, tj.rečenica (forall { scriptptsize A} (T { scriptpts A} vee T) neg { scriptptsize A})]) gdje je kvantifikator ((forall { scriptptsize A}) ograničen na rečenice koje ne sadrže T.

Teorije istine utemeljene na (T) rečenicama i njihova formalna svojstva također su nedavno bile žarište interesa u kontekstu takozvanih deflacijskih teorija istine. (T) - rečenice (T \ ulcorner \ phi \ urcorner \ leftrightarrow \ phi) (gdje (phi) ne sadrži (T)) nisu konzervativne u logikama prvog reda s identitetom, to jest, oni dokazuju rečenicu koja ne sadrži (T) koja nije logično valjana. Za rečenice (T) rečenice dokazuju da su rečenice (0 = 0) i (neg 0 = 0) različite i da zato postoje najmanje dva objekta. Drugim riječima, rečenice (T) nisu konzervativne u odnosu na teoriju praznih baza. Ako se rečenicama (T) dodaju PA, rezultirajuća teorija je konzervativna u odnosu na PA. To znači da teorija ne dokazuje (T) - slobodne rečenice koje u PA nisu već dokazane. Ovaj rezultat vrijedi čak i ako se uz rečenice (T) dodaju i svi indukcijski aksiomi koji sadrže predikat istine. To se može pokazati ulaganjem u teoremu kompaktnosti.

U gore navedenom obliku, T rečenice izražavaju ekvivalenciju između (T \ ulcorner \ phi \ urcorner) i (phi) samo kad je (phi) rečenica. Da bi se zabilježila ekvivalencija svojstava ((x) ima svojstvo P iff 'P' je istina za (x)) treba generalizirati T rečenice. Rezultat se obično naziva ujednačenim T-sencema i formaliziraju se ekvivalentima (forall x (T \ ulcorner \ phi (podcrtaj {x}) urcorner \ leftrightarrow \ phi (x))) za svaku otvorena formula (phi (v)) s najviše (v) slobodnim u (phi). Podvlačenje varijable znači da je spojena izvana. Preciznije, (ulcorner \ phi (podcrtaj {x}) urcorner) označava rezultat zamjene varijable (v) u (ulcorner \ phi (v) urcorner) brojem od (x).

3.3 Sastavnička istina

Kao što je već primijetio Tarski (1935.), neke poželjne generalizacije ne slijede iz T-rečenica. Na primjer, zajedno s razumnim osnovnim teorijama ne impliciraju da je konjunkcija istinita ako su oba veznika istinita.

Da bi se dobili sustavi koji također dokazuju univerzalno kvantificirana načela teorije o istini, induktivne klauzule Tarske definicije istine mogu se pretvoriti u aksiome. U sljedećim aksiomima (AtomSent_ {PA} (ulcorner { scriptptsize A} urcorner)) izražava da je ({ scriptptsize A}) atomska rečenica aritmetičkog jezika, (Sent_ {PA } (ulcorner { scriptptsize A} urcorner)) izražava da je ({ scriptptsize A}) rečenica aritmetičkog jezika.

  1. (forall { scriptptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptptsize A}) rightarrow (T { scriptptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptptsize A}))))
  2. (forall { scriptptsize A} (Sent_ {PA} ({ scriptptsize A}) rightarrow (T) neg { scriptptsize A}] leftrightarrow \ neg T { scriptptsize A})))
  3. (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (Sent_ {PA} ({ scriptptsize A}) wedge Sent_ {PA} ({ scriptptsize B}) rightarrow (T [{ scriptpts A } wedge { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptptsize A} wedge T { scriptptsize B}))))
  4. (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (Sent_ {PA} ({ scriptptsize A}) wedge Sent_ {PA} ({ scriptptsize B}) rightarrow (T [{ scriptpts A } vee { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptptsize A} vee T { scriptptsize B}))))
  5. (forall { scriptptsize A} (v) (Sent_ {PA} (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T) forall v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow \ forall xT [{ scriptpts A} (podcrtaj {x}))]))
  6. (forall { scriptptsize A} (v) (Sent_ {PA} (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T) postoji v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow \ postoji xT [{ scriptpts A} (podcrtaj {x}))]))

Aksiom 1 kaže da je atomska rečenica jezika peano-aritmetike istinita ako i samo ako je istina u skladu s aritmetičkim predikatom istine za ovaj jezik ((Tr_0) definirano u odjeljku 3.1). Aksiomi 2–6 tvrde da se istina mijenja sa svim vezivima i kvantifikatorima. Aksiom 5 kaže da je univerzalno kvantificirana rečenica aritmetičkog jezika istinita ako i samo ako su istiniti svi brojčani primjerci. (Sent_ {PA} (forall v { scriptptsize A})) kaže da je ({ scriptptsize A} (v)) formula s najviše (v) bez (jer (forall v { scriptptsize A} (v)) je rečenica).

Ako se ovi aksiomi trebaju formulirati za jezik poput teorije skupova u kojem nedostaju nazivi za sve objekte, aksiomi 5 i 6 zahtijevaju upotrebu relacije zadovoljstva, a ne predikat nejedinstvene istine.

Aksiomi u stilu 1-6 gore igrali su središnju ulogu u teoriji značenja Donalda Davidsona i u nekoliko deflacionističkih pristupa istini.

Teorija dana svim aksiomima PA i Aksioma 1–6, ali s indukcijom samo za (T) slobodne formule je konzervativna za PA, to jest, ne dokazuje nikakve nove (T) slobodne teoreme koje koji se već ne mogu dokazati u PA. Međutim, ne mogu se svi modeli PA-a proširiti na modele PA + aksioma 1-6. To proizlazi iz rezultata Lachlana (1981). Kotlarski, Krajewski i Lachlan (1981) dokazali su da je konzervativnost vrlo slična PA + aksiomima 1–6 modelno-teorijskim sredstvima. Iako je nekoliko autora tvrdilo da je ovaj rezultat također dokazivo, takav dokaz nije bio dostupan sve do Enayat & Visser (2015) i Leigh (2015). Nadalje, teorija dana PA + aksiomima 1–6 relativno je interpretabilna u PA. Međutim, ovaj je rezultat osjetljiv na izbor teorije baze: ne uspijeva u fino aksiomatiziranim teorijama (Heck 2015, Nicolai 2016). Ovi dokazno-teoretski rezultati korišteni su opsežno u raspravi o teorijsko-teorijskom deflacionizmu (vidjeti Cieśliński 2017).

Naravno, PA + aksiomi 1–6 su restriktivni ako ne sadrže indukcijske aksiome u jeziku s predikatom istine. Postoje razne oznake za sustav koji se dobiva dodavanjem svih indukcijskih aksioma koji uključuju predikat istine u sustav PA + aksiomi 1–6: T (PA), CT, PA (S) ili PA + 'postoji potpuno induktivno zadovoljstvo klasa. Ova teorija više nije konzervativna u odnosu na njegovu teoriju baza PA. Na primjer, može se formalizirati teorema zvučnosti ili globalni princip refleksije za PA, to jest tvrdnja da su sve rečenice koje se mogu dokazati u PA istinite. Globalni princip refleksije za PA zauzvrat podrazumijeva konzistentnost PA, što nije moguće dokazati u čistom PA po Gödelovoj drugoj teoriji nepotpunosti. Stoga T (PA) nije konzervativan za PA. T (PA) je mnogo jači od izjave dosljednosti za PA:T (PA) je ekvivalentan aritmetičkom shvaćanju drugog reda sustava ACA (vidjeti Takeuti 1987 i Feferman 1991). Preciznije, T (PA) i ACA su međusobno prenosivi na način da čuvaju sve aritmetičke rečenice. ACA se daje aksiomima PA s potpunom indukcijom na jeziku drugog reda i sljedećim principom razumijevanja:

) postoji X \ forall y (y \ u X \ lijevo svjetlo \ phi (x)))

gdje je (phi (x)) bilo koja formula (u kojoj (x) može ili ne mora biti slobodna) koja ne sadrži nikakve kvantifikatore drugog reda, ali eventualno slobodne varijable drugog reda. U T (PA) se kvantifikacija nad skupovima može definirati kao kvantifikacija preko formula s jednom slobodnom varijablom i članstvo kao istina formule primijenjene na broj.

Kako načelo globalne refleksije podrazumijeva formalnu konzistentnost, rezultat konzervativnosti za PA + aksiome 1–6 implicira da princip globalne refleksije za Peano aritmetiku nije izvedljiv u tipiziranoj kompozicijskoj teoriji bez širenja aksioma indukcije. U stvari, ova teorija ne dokazuje ni tvrdnju da su sve logičke valjanosti istinite (globalni odraz za čistom logikom prvog reda) niti da su svi Peanovi aksiomi aritmetike istiniti. Možda je iznenađujuće da je od ove dvije neobjašnjive tvrdnje onaj jači. Potonji se može dodati kao aksiom, a teorija ostaje konzervativna u odnosu na PA (Enayat i Visser 2015, Leigh 2015). Suprotno tome, preko PA + aksioma 1–6, princip globalne refleksije za logiku prvog reda jednak je globalnom odrazu za Peano aritmetiku (Cieśliński 2010),a ove dvije teorije imaju iste aritmetičke posljedice kao dodavanje aksioma indukcije za ograničene ((Delta_0)) formule koje sadrže predikat istine (Wcisło i Łełyk 2017).

Prijelaz iz PA u T (PA) može se zamisliti kao čin razmišljanja o istini (mathcal {L}) rečenica u PA. Slično tome, korak od tipiziranih (T) rečenica do kompozicijskih aksioma također je vezan uz princip refleksije, konkretno načela jednoobraznog odražavanja nad tipkanim jednoličnim (T) rečenicama. Ovo je zbirka rečenica (forall x \, Bew_S (ulcorner \ phi (podcrtaj {x}) urcorner) rightarrow \ phi) (x) gdje se (phi) kreće preko formula u (mathcal {L} _T) s jednom slobodnom varijablom, a S je teorija jednoobraznih tipkanih T rečenica. Ravnomjerna refleksija točno bilježi razliku između dviju teorija: princip refleksije je oboje izvedljiv u T (PA) i dovoljan je za dobivanje šest kompozicijskih aksioma (Halbach 2001). Štoviše, ekvivalentnost se proteže na iteracije ujednačenog odraza,pri čemu se za bilo koje redne (alfa, 1 + \ alfa) iteracije jednolikog odraza nad tipkanim (T) - rečenice podudaraju s T (PA) produženim transfinitiranom indukcijom do ordinalne (varepsilon _ { alfa}), naime (alfa) - redni sa svojstvom koje (omega ^ { alfa} = \ alfa) (Leigh 2016).

Mnogo jači fragmenti aritmetike drugog reda mogu se interpretirati sustavima istina bez tipa, odnosno teorijama istine koje dokazuju ne samo istinitost aritmetičkih rečenica, već i istinitost rečenica jezika (mathcal {L} _T) s predikatom istine; vidi Odjeljak 4 u nastavku.

3.4 Hijerarhijske teorije

Gore navedene teorije istine mogu se ponoviti uvođenjem indeksiranih predikata istine. Jedan dodaje jeziku predikata istine PA indeksiran indeksima (ili rednim notacijama) ili jedan binarni predikat istine koji se odnosi na ordinalne notacije i rečenice. U tom pogledu, hijerarhijski pristup ne odgovara okviru navedenom u Odjeljku 2, jer jezik ne sadrži niti jedan prejednik prejedine istine koji se primjenjuje na rečenice, već mnogo prepisa unarne istine ili jedan predikat binarne istine (ili čak jedan predikat unarne istine primjenjujući se na parove rednih bilježaka i rečenica).

Na takvom se jeziku može formulirati aksiomatizacija Tarskih hijerarhije predikata istine. S dokazno-teorijske strane iterirajuće teorije istine u stilu T (PA) odgovaraju iteriziranom elementarnom razumijevanju, tj. Iteracijskom ACA-u. Sustav ponavljanih teorija istine odgovara sustavu potvrđene analize (vidjeti Feferman 1991).

Visser (1989) je proučavao neosnovane hijerarhije jezika i njihove aksiomatizacije. Ako se dodaju (T) rečenice (T_n \ ulcorner \ phi \ urcorner \ leftrightarrow \ phi) jeziku aritmetike gdje (phi) sadrži samo predikat istine (T_k) sa (k \ gt n) PA, dobiva se teorija koja nema standardni model ((omega) -).

4. Istina bez tipa

Istina, predikati u prirodnim jezicima ne dolaze s ograničenjem isključenog tipa. Stoga se smatra da su tipične teorije istine (aksiomatske i semantičke teorije) neadekvatne za analizu predikata istine prirodnog jezika, premda su Glanzberg (nadolazeće) i druge nedavno zagovarale hijerarhijske teorije. Ovo je jedan motiv za ispitivanje teorijskih istina bez tipa, odnosno sustavi istine koji omogućuju dokazivanje istine rečenica koje uključuju predikat istine. Neke teorije istine bez tipa imaju mnogo veću izražajnu snagu od tipiziranih teorija koje su istraživane u prethodnom odjeljku (barem dok se izbjegavaju indeksirani predikati istine). Stoga su bestežinske teorije istine mnogo snažnije oruđe za smanjenje drugih teorija (na primjer, onih drugog reda).

4.1 Bez tipa (T) - rečenice

Skup svih (T) rečenica (T \ ulcorner \ phi \ urcorner \ leftrightarrow \ phi), gdje je (phi) bilo koja rečenica jezika (mathcal {L} _T), to jest tamo gdje (phi) može sadržavati (T), nije u skladu s PA (ili bilo kojom teorijom koja dokazuje dijagonalnu lemu) zbog paradoksa Liar. Stoga se može pokušati izbaciti iz skupa svih (T) rečenica samo onih koje vode u nedosljednost. Drugim riječima, mogu se razmotriti maksimalno dosljedni skupovi (T) rečenica. McGee (1992) pokazao je da postoji neizbrojivo mnogo maksimalnih skupova (T) rečenica koje su u skladu s PA. Dakle, strategija ne vodi niti jednoj teoriji. Što je još gore, s obzirom na aritmetičku rečenicu (tj. Rečenicu koja ne sadrži (T)) koja se ne može dokazati ili opovrgnuti u PA, može se naći dosljedna (T) - rečenica koja odlučuje o ovoj rečenici (McGee 1992),To podrazumijeva da mnogi dosljedni skupovi (T) rečenica dokazuju lažne aritmetičke izjave. Tako je strategija za odbacivanje samo (T) rečenica koja daje nedosljednost osuđena na propast.

Skup rečenica (T) koje ne podrazumijevaju nijednu lažnu aritmetičku izjavu može se dobiti dopuštajući samo one (phi) u (T) - rečenicama (T \ ulcorner \ phi \ urcorner \ leftrightarrow \ phi) koji sadrže (T) samo pozitivno, to jest u području jednolikog broja negacijskih simbola. Poput tipizirane teorije u odjeljku 3.2., Ova teorija ne dokazuje određene generalizacije, ali dokazuje iste rečenice bez T kao jaka sastavna Kripke-Fefermanova teorija u nastavku (Halbach 2009). Schindler (2015) je dobio deduktivno vrlo jaku teoriju istine koja se temelji na slojevitim diskutacijskim načelima.

4.2 Sastavnost

Pored diskurzivnog obilježja istine, također bi se htjelo uhvatiti kompozicijske značajke istine i generalizirati aksiome tipkane kompozicijske istine na slučaj bez tipa. U tu svrhu morat će se dodati aksiomi ili pravila koja se odnose na istinitost atomskih rečenica s predikatom istine, a ograničenje na (T) rečenice bez sastava u sastavnim aksiomima mora se ukinuti. Da biste istinu tretirali kao i druge predikate, jedan će dodati aksiom (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A})) (gdje (forall { scriptpts A}) rasponi preko svih rečenica). Ako je uklonjeno ograničenje tipa upisane kompozicijske aksiome za negaciju, aksiom (forall { scriptptsize A} (T) neg { scriptptsize A}] leftrightarrow \ neg T { scriptptsize A})) je dobiti.

Međutim, aksiomi (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A})) i (forall { scriptptsize A} (T) neg { scriptptsize A}] leftrightarrow \ neg T { scriptptsize A})) nisu u skladu s slabim teorijama sintakse, pa se jedna od njih mora odreći. Ako se zadrži (forall { scriptptsize A} (T) neg { scriptptsize A}] leftrightarrow \ neg T { scriptptsize A})), morat će se naći slabiji aksiomi ili pravila za ponavljanje istine, ali istina ostaje klasični koncept u smislu da (forall { scriptptsize A} (T) neg { scriptptsize A}] leftrightarrow \ neg T { scriptptsize A})) podrazumijeva zakon isključene sredine (za bilo koju rečenicu istina je ili sama rečenica ili njena negacija) i zakon nekonkurentnosti (jer nijedna rečenica nije tačna i niječna rečenica). Ako, nasuprot tome,(forall { scriptptsize A} (T) neg { scriptptsize A}] leftrightarrow \ neg T { scriptptsize A})) se odbacuje i (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptpts A}] leftrightarrow T { scriptptsize A})) zadržat će se, tada će postati dokazivo da su ili neke rečenice istinite zajedno s njihovim negacijama ili da za neke rečenice nisu ni one ni njihove negacije, te su tako sustavi dobiva se neklasična istina, iako su i sami sustavi formulirani u klasičnoj logici. U sljedeća dva odjeljka pregledamo najistaknutiji sustav svake vrste.tada će postati dokazivo da su ili neke rečenice istinite zajedno s njihovim negacijama ili da za neke rečenice nisu ni one, niti njihove negacije, i tako se dobivaju sustavi neklasične istine, iako su i sami sustavi formulirani u klasičnoj logici. U sljedeća dva odjeljka pregledamo najistaknutiji sustav svake vrste.tada će postati dokazivo da su ili neke rečenice istinite zajedno s njihovim negacijama ili da za neke rečenice nisu ni one, niti njihove negacije, i tako se dobivaju sustavi neklasične istine, iako su i sami sustavi formulirani u klasičnoj logici. U sljedeća dva odjeljka pregledamo najistaknutiji sustav svake vrste.

4.3 Friedman-Sheardova teorija i revizija semantika

Sustav FS, nazvan po Friedmanu i Sheardu (1987), zadržava aksiom negacije (forall { scriptptsize A} (T) neg { scriptptsize A}] leftrightarrow \ neg T { scriptptsize A})), Daljnji kompozicijski aksiomi dobivaju se podizanjem ograničenja tipa na njihove netipične kolegice:

  1. (forall { scriptptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptptsize A}) rightarrow (T { scriptptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptptsize A}))))
  2. (forall { scriptptsize A} (T) neg { scriptptsize A}] leftrightarrow \ neg T { scriptptsize A}))
  3. (forall { scriptsize A} forall { scriptptsize B} (T [{ scriptpts A} wedge { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptpts A} wedge T { scriptptsize B})))
  4. (forall { scriptptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptpts A} vee { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptptsize B})))
  5. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T) forall v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow \ forall xT [{ scriptptsize A} (naglasiti {x}))])
  6. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T) postoji v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow \ postoji xT [{ scriptptsize A} (naglasiti {x}))]))

Ti se aksiomi dodaju PA izrađenom na jeziku (mathcal {L} _T). Kako je aksiom ponavljanja istine (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A})) nedosljedan, dodaju se samo sljedeća dva pravila:

Ako je (phi) teorem, može se zaključiti (T \ ulcorner \ phi \ urcorner), i obrnuto, ako je (T \ ulcorner \ phi \ urcorner) teorem, može se zaključiti (phi).

Iz rezultata zbog McGeea (1985) proizlazi da je FS (omega) - nedosljedan, to jest, FS dokazuje (postoji x \ neg \ phi (x)), ali dokazuje i (phi) (0), (phi) (1), (phi) (2), … za neku formulu (phi (x)) of (mathcal {L} _T). Aritmetičke teoreme FS-a su, međutim, sve točne.

U FS-u se mogu definirati sve konačne razine klasične Tarskijeve hijerarhije, ali FS nije dovoljno jak da bi omogućio oporavak bilo koje od njezinih transfinitetnih razina. Zapravo, Halbach (1994.) je svoju dokazno-teorijsku snagu utvrdio upravo onom teorijom razgranate istine za sve konačne razine (tj., Konačno ponavljano T (PA); vidjeti odjeljak 3.4) ili, što je jednako tako, teorija potvrđene analize za sve konačne razine. Ako padne bilo koji smjer pravila, a drugi se zadrži, FS zadržava dokazno-teorijsku snagu (Sheard 2001).

Vrlina FS-a je u tome što je temeljno klasična: formulirana je u klasičnoj logici; ako je kazna dokazivo istinita u FS-u, onda je i sama rečenica dokazana u FS-u; i obratno, ako je rečenica dokaziva, onda je i dokazno istinita. Nedostatak mu je (omega) - nedosljednost. FS se može shvatiti kao aksiomatizacija semantike vladanja revizijom za sve konačne razine (vidi zapis o teoriji revizije istine).

4.4 Kripke-Fefermanova teorija

Kripke-Fefermanova teorija zadržava aksiom iteracije istine (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A})), ali pojam istine aksiomatiziran više nije klasično jer je ispuštan aksiom negacije (forall { scriptptsize A} (T) neg { scriptptsize A}] leftrightarrow \ neg T { scriptptsize A})).

Semantička konstrukcija uhvaćena ovom teorijom generalizacija je Tarkanske tipkane induktivne definicije istine uhvaćene u T (PA). U generaliziranoj definiciji jedna započinje s pravom atomskom rečenicom aritmetičkog jezika, a zatim proglašava istinitim složene rečenice, ovisno o tome jesu li njezine komponente istinite ili ne. Na primjer, kao što je slučaj s upisanim slučajem, ako su (phi) i (psi) istinite, i njihova će veza (phi \ klin \ psi) biti istinita. U slučaju kvantificiranih rečenica, njihova vrijednost istine određena je vrijednostima istinitosti njihovih instanci (klauzule kvantifikata mogu se pretvoriti u čisto sastavnu uporabu predikata zadovoljstva); na primjer, univerzalno kvantificirana rečenica će biti proglašena istinom ako i samo ako su sve njezine instance istinite. Sada se može proširiti ta induktivna definicija istine na jezik (mathcal {L} _T) proglašavanjem rečenice oblika (T \ ulcorner \ phi \ urcorner) istinitom ako je (phi) već pravi. Štoviše, jedan će izjaviti (neg T \ ulcorner \ phi \ urcorner) istinitim ako je (neg \ phi) istina. Pobliže precizirajući ovu ideju, dobiva se varijanta Kripkeove (1975) teorije istine s takozvanom shemom vrednovanja Strong Kleene (vidi unos u viševrednoj logici). Ako se aksiomatizira, dolazi do sljedećeg sustava, poznatog kao KF ('Kripke-Feferman'), od čega se u literaturi pojavljuje nekoliko inačica:jedna dobiva varijantu Kripkeove (1975) teorije istine s takozvanom shemom vrednovanja Strong Kleene (vidi unos o viševrednoj logici). Ako se aksiomatizira, dolazi do sljedećeg sustava, poznatog kao KF ('Kripke-Feferman'), od čega se u literaturi pojavljuje nekoliko inačica:jedna dobiva varijantu Kripkeove (1975) teorije istine s takozvanom shemom vrednovanja Strong Kleene (vidi unos o viševrednoj logici). Ako se aksiomatizira, dolazi do sljedećeg sustava, poznatog kao KF ('Kripke-Feferman'), od čega se u literaturi pojavljuje nekoliko inačica:

  1. (forall { scriptptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptptsize A}) rightarrow (T { scriptptsize A} leftrightarrow Tr_0 ({ scriptptsize A}))))
  2. (forall { scriptptsize A} (AtomSent_ {PA} ({ scriptptsize A}) rightarrow (T) neg { scriptptsize A}] leftrightarrow \ neg Tr_0 ({ scriptptsize A}))))
  3. (forall { scriptptsize A} (T [T { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A}))
  4. (forall { scriptptsize A} (T) neg T { scriptptsize A}] leftrightarrow T) neg { scriptptsize A})])
  5. (forall { scriptptsize A} (T) neg \ neg { scriptptsize A}] leftrightarrow T { scriptptsize A}))
  6. (forall { scriptsize A} forall { scriptptsize B} (T [{ scriptpts A} wedge { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptpts A} wedge T { scriptptsize B})))
  7. (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T) neg ({ scriptpts A} wedge { scriptptsize B})] leftrightarrow (T) neg { scriptptsize A}] vee T) neg { scriptptsize B})]))
  8. (forall { scriptptsize A} forall { scriptsize B} (T [{ scriptpts A} vee { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptptsize B})))
  9. (forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T) neg ({ scriptpts A} vee { scriptptsize B})] leftrightarrow (T) neg { scriptptsize A}] klin T) neg { scriptptsize B})]))
  10. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T) forall v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow \ forall xT [{ scriptptsize A} (naglasiti {x}))])
  11. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T) neg \ forall v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow \ postoji xT) neg { scriptptsize A} (podcrtaj {x}))])
  12. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T) postoji v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow \ postoji xT [{ scriptptsize A} (naglasiti {x}))]))
  13. (forall { scriptptsize A} (v) (Poslano (forall v { scriptptsize A}) rightarrow (T) neg \ postoji v { scriptptsize A} (v)] leftrightarrow \ forall xT) neg { scriptptsize A} (podcrtaj {x}))]))

Osim teorijskih aksioma istine, KF obuhvaća sve aksiome PA i sve indukcijske aksiome koji uključuju predikat istine. Sustav se Fefermanu pripisuje na temelju dva predavanja za Udruženje simboličke logike, jedno 1979. i drugo 1983., kao i u kasnijim rukopisima. Feferman je svoju verziju sustava objavio pod oznakom Ref (PA) („slabo reflektirajuće zatvaranje PA“) tek 1991., nakon što se u tisku već pojavilo nekoliko drugih verzija KF-a (npr. Reinhardt 1986, Cantini 1989, koji obje spominju ovom neobjavljenom djelu Fefermana).

Sam KF formuliran je u klasičnoj logici, ali opisuje neklasičan pojam istine. Na primjer, može se dokazati (T \ ulcorner L \ urcorner \ leftrightarrow T \ ulcorner \ neg L \ urcorner) ako je (L) rečenica Liar. Tako KF dokazuje da su i kazna lažljivca i njena negacija istinite ili da nijedna nije istina. Dakle, ili je pojam istine parakonzistentan (rečenica je istinita zajedno sa njenom negacijom) ili parakompletan (niti istina nije). Neki su autori povećali KF aksiomom koji isključuje glitke vrijednosti istine, što KF zvuči za Kripkeovu konstrukciju modela, jer je Kripke isključio svjetlucanja.

Feferman (1991.) pokazao je da je KF teorijski dokaz ekvivalentan teoriji ramificirane analize kroz sve razine ispod (varepsilon_0), granica niza (omega, \ omega ^ { omega}, \ omega ^ { omega ^ { omega}}, \ ldots) ili teorija potvrđene istine kroz iste ordinale. Ovaj rezultat pokazuje da se u KF tačno (varepsilon_0) može uspostaviti mnogo razina klasične Tarške hijerarhije u svom aksiomatiziranom obliku. Dakle, KF je daleko jači od FS, a kamoli T (PA). Feferman (1991.) također je zamislio jačanje KF-a koje je jednako jako kao i potpuna predikativna analiza, to jest razmnožena analiza ili istina do ordinalnih (Gamma_0).

Baš kao što je s tipkanim predikatom istine, teorija KF (točnije, njezina uobičajena varijanta) može se dobiti činom refleksije na sustavu netipičnih (T) rečenica. Sustav (T) dotičnih rečenica je proširenje jednoobraznih pozitivnih netipičnih (T) - rečenica primitivnog predikata laži, tj. Teorija sadrži dva nejedinstvena predikata (T) i (F) i aksiomi

) početak {poravnati *} & \ forall x (T \ ulcorner \ phi (podcrtaj {x}) urcorner \ leftrightarrow \ phi (x)) & \ forall x (F \ ulcorner \ phi (podvući {x}) urcorner \ leftrightarrow \ phi '(x)) end {poravnati *})

za svaku formulu (phi (v)) pozitivnu i u (T) i (F), gdje (phi ') predstavlja De Morgan dvojnik (phi) (razmjena (T) za (F) i obrnuto). Iz primjene ravnomjernog razmišljanja o ovoj teoriji diskvotacije, izvode se aksiomi istine za odgovarajuće dvije verzije predikata KF (Horsten i Leigh, 2016). Suprotno tome, također vrijedi i generalizacija do konačnih i transfinitetnih iteracija refleksije (Leigh, 2017).

4.5 Snimanje minimalne fiksne točke

Kao što je gore spomenuto, ako KF dokaže (T \ ulcorner \ phi \ urcorner) za neku rečenicu (phi), tada (phi) vrijedi u svim Kripkeovim modelima fiksne točke. Osobito postoje (2 ^ { aleph_0}) fiksne točke koje tvore model interne teorije KF. Stoga iz perspektive KF-a ne izdvaja se najmanje fiksna točka (iz koje je definirana Kripkeova teorija). Burgess (nadolazeći) pruža ekspanziju KF, nazvanog (mu) KF, koji pokušava uhvatiti minimalnu kripkeansku fiksnu točku. KF se proširuje dodatnim aksiomima koji izražavaju da je unutarnja teorija KF najmanja klasa zatvorena pod definiranim aksiomima za Kripkeovu istinu. To se može formulirati kao jedinstvena shema aksioma koja navodi, za svaku otvorenu formulu (phi), Ako (phi) zadovoljava iste aksiome KF kao predikat (T), tada vrijedi (phi) svake prave rečenice.

Iz dokazno-teorijske perspektive (mu) KF je značajno jači od KF. Shema jednog aksioma koja izražava minimalizam predikata istine omogućava ugradnju u (mu) KF ID sustava (_ 1) jedne aritmetičke induktivne definicije, nepredvidive teorije. Iako je intuitivno vjerodostojan, (mu) KF trpi istu ekspresivnu nepotpunost kao KF: Budući da minimalna kripkeanska fiksna točka tvori potpun (Pi ^ {1} _1) skup i unutarnju teoriju (mu) KF ostaje rekurzivno nabrojan, postoje standardni modeli teorije u kojima tumačenje predikata istine zapravo nije minimalna fiksna točka. Trenutno nedostaje temeljita analiza modela (mu) KF.

4.6 Aksiomatizacija Kripkeove teorije s supervaluacijama

KF je zamišljen kao aksiomatizacija Kripkeove (1975) semantičke teorije. Ova se teorija temelji na djelomičnoj logici sa shemom stroge Kleeneove ocjene. U snažnoj Kleeneovoj logici nije svaka rečenica (phi \ vee \ neg \ phi) teorema; posebno ta disjunkcija nije istinita ako (phi) nema vrijednost istine. Prema tome, (T \ ulcorner L \ vee \ neg L \ urcorner) (gdje je (L) rečenica Liar) nije teorema KF-a i njena negacija je čak i dokaziva. Cantini (1990.) je predložio VF sustava koji je inspiriran shemom supervaluacije. U VF-u su sve klasične tautologije dokazno istinite i (T \ ulcorner L \ vee \ neg L \ urcorner), na primjer, predstavlja teoremu VF. VF se može formulirati u (mathcal {L} _T) i koristi klasičnu logiku. To više nije kompozicijska teorija istine, jer sljedeće nije teorema VF-a:

) forall { scriptptsize A} forall { scriptptsize B} (T [{ scriptpts A} vee { scriptptsize B}] leftrightarrow (T { scriptsize A} vee T { scriptptsize B})).)

Ne samo da je ovo načelo u neskladu s ostalim aksiomima VF-a, ne odgovara modelu supervaluacije jer podrazumijeva (T \ ulcorner L \ urcorner \ vee T \ ulcorner \ neg L \ urcorner), što naravno nije tačno jer prema zamišljenoj semantiki niti lažna rečenica niti njena negacija nisu istinite: obje nemaju vrijednost istine.

Proširivši rezultat zbog Friedmana i Shearda (1987), Cantini je pokazao da je VF mnogo jači od KF: VF je teorijski dokaz ekvivalentan teorijskom ID-u (_ 1) ne-iteriziranih induktivnih definicija, što nije predikativno.

5. Neklasični pristupi samo referenciranju

Dosadašnje diskutirane teorije istine u klasičnoj su logici aksiomatizirane. Neki su se autori također osvrnuli na aksiomatične teorije istine utemeljene na neklasičnoj logici (vidjeti, na primjer, Field 2008, Halbach i Horsten 2006, Leigh i Rathjen 2012). Postoji nekoliko razloga zbog kojih se može preferirati logika slabija od klasične logike. Najočiglednije je da slabljenjem logike neke zbirke aksioma istine koje su prethodno bile nedosljedne postaju konzistentne. Drugi je čest razlog taj što je predmetna aksiomatska teorija namijenjena obuhvatiti određenu neklasičnu semantiku istine, za koju se klasična teorija pozadine može pokazati nevaljanom.

Postoji i veliki broj pristupa koji koriste parakonzistentnu ili substrukturalnu logiku. U većini slučajeva ovi pristupi ne koriste aksiomatičnu teoriju baza kao što je Peano aritmetika i stoga odstupaju od ovdje postavljenih postavki, iako ne postoji tehnička prepreka u primjeni parakonistentnih ili substrukturalnih logika na teorije istine nad takvim teorijama baza. Ovdje pokrivamo samo račune koji su blizu gore spomenute postavke. Za daljnje informacije o primjeni substrukturalnih i parakonzistentnih logika na teorijske paradokse istine, vidi odgovarajući odjeljak u zapisu o lažljivom paradoksu.

5.1 Predikat istine u intuicijističkoj logici

Nedosljednost rečenica (T) ne oslanja se na klasično obrazloženje. Također je nedosljedan u odnosu na puno slabije logike poput minimalne i djelomične logike. Međutim, klasična logika igra ulogu u ograničavanju slobodne uporabe načela istine. Na primjer, preko klasične teorije baze, kompozicijski aksiom za implikaciju ((rightarrow)) je ekvivalentan načelu cjelovitosti, (forall { scriptptsize A} (T [{ scriptptsize A}] vee T) neg { scriptptsize A})]). Ako je logika pod predikatom istine klasična, potpunost je jednaka kompozicijskom aksiomu za disjunkciju. Bez zakona isključene sredine, FS se može formulirati kao potpuno kompozicijska teorija, a da se pritom ne dokaže načelo cjelovitosti istine (Leigh & Rathjen 2012). U Dodatku,klasična logika utječe na pokušaje kombiniranja kompozicijskih i samoprimjerenih aksioma istine. Ako, na primjer, jedan spusti aksiom dosljednosti istine iz FS-a (smjer lijevo-desno od aksioma 2 u odjeljku 4.3) kao i zakon isključene sredine za predikat istine, moguće je dosljedno dodavati aksiom istine-iteracija (forall { scriptptsize A} (T [{ scriptptsize A}] rightarrow T [T { scriptptsize A}])). Rezultirajuća teorija još uvijek jako sliči FS-u po tome što konstruktivna verzija semantike revizije pravila za sve konačne razine pruža prirodan model teorije, a dvije teorije dijele isto (Pi ^ {0} _2) posljedice (Leigh & Rathjen 2012; Leigh, 2013). Ovaj bi rezultat trebao biti u suprotnosti s KF-om koji, ako je formuliran bez zakona izuzete sredine,ostaje maksimalno dosljedan u pogledu izbora aksioma istine, ali je konzervativni nastavak Heytingove aritmetike.

5.2 Aksiomatiziranje Kripkeove teorije

Kripkeova (1975) teorija u različitim oblicima temelji se na djelomičnoj logici. Da bi se dobili modeli za teoriju u klasičnoj logici, proširenje predikata istine u djelomičnom modelu ponovo se koristi kao produženje istine u klasičnom modelu. U klasičnom modelu lažne rečenice i one bez vrijednosti istine u djelomičnom modelu proglašavaju se neistinitim. KF je zvučan u odnosu na ove klasične modele i na taj način uključuje dvije različite logike. Prvi je "unutarnja" logika izjava pod predikatom istine i formuliran je shemom vrednovanja Strong Kleene. Druga je "vanjska" logika koja je puna klasična logika. Učinak formuliranja KF-a u klasičnoj logici je taj što se teorija ne može dosljedno zatvoriti u skladu s pravilom unošenja istine

Ako je (phi) teorema KF, to je (T \ ulcorner \ phi \ urcorner).

Drugi učinak klasične logike je izjava o isključenoj sredini za lažljivu rečenicu. Ni rečenica Liar niti njena negacija ne dobivaju vrijednost istine u Kripkeovoj teoriji, tako da disjunkcija ovih dviju nije valjana. Zaključak je da KF, ako se promatra kao aksiomatizacija Kripkeove teorije, nije zvučan s obzirom na predviđenu semantiku. Zbog toga Halbach i Horsten (2006) i Horsten (2011) istražuju aksiomatizaciju Kripkeove teorije djelomičnom logikom kao unutarnjom i vanjskom logikom. Njihov prijedlog, teorija označena kao PKF ('djelomični KF'), može se aksiomatizirati kao dvostrano sekvencijalno računanje u stilu Gentzen-a temeljeno na snažnoj Kleenovoj logici (vidi unos o mnogovrednoj logici). PKF nastaje dodavanjem ove računice aritmetičkim akiomima Peano-Dedekind, uključujući potpunu indukciju i kompozicijska pravila i pravila ponavljanja istine kao što je predviđeno Kripkeovom teorijom. Rezultat je teorija istine koja je zvučna u odnosu na Kripkeovu teoriju.

Halbach i Horsten pokazuju da je ta aksiomatizacija Kripkeove teorije značajno slabija od klasične rođakinje KF. Rezultat pokazuje da ograničenje logike samo na rečenice s predikatom istine može otežati i izvođenje teorema bez istine.

5.3 Dodavanje uvjetnog

Field (2008) i drugi kritizirali su teorije utemeljene na djelomičnoj logici zbog nepostojanja "pravilnog" uvjetnog i dvo-uvjetnog. Razni autori predložili su uvjetovanja i dvo-uvjete koji se ne mogu definirati u smislu (neg, \ vee) i (klin). Field (2008) cilja na aksiomatičnu teoriju istine koja se ne razlikuje od PKF-a, ali s novim uvjetnim. Feferman (1984) je također uveo bi-uvjetno u teoriju u neklasičnoj logici. Za razliku od Fieldsove i njegove vlastite teorije iz 1984. godine, Fefermanova (2008) teorija DT formulirana je u klasičnoj logici, ali njezina je unutarnja logika opet djelomična logika s jakom uvjetovanom.

Bibliografija

  • Aczel, Peter, 1980, "Fregeove strukture i pojam propozicije, istine i skupa", The Kleene Symposium, Jon Barwise i sur. (urednici), Amsterdam: North-Holland, 31–59.
  • Bealer, George, 1982., Kvaliteta i koncept, Oxford: Clarendon Press.
  • Burgess, John P., 2014., „Friedman i aksiomatizacija Kripkeove teorije istine“, u Temeljnim pustolovinama: Eseji u čast Harveyja M. Friedmana, uredio Neil Tennant, London: College Publications i Templeton Press (na mreži).
  • Cantini, Andrea, 1989, „Bilješke o formalnim teorijama istine“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 35: 97–130.
  • –––, 1990, „Teorija formalne istine aritmetički ekvivalentna (mathrm {ID} _1)“, Časopis Simbolička logika, 55: 244–59.
  • –––, 1996., Logički okviri za istinu i apstrakciju: aksiomatična studija, studije logike i temelji matematike (br. 135), Amsterdam: Elsevier.
  • Cieśliński, Cezary, 2010, „Istina, konzervativnost i dokazivost“, um, 119: 409–422.
  • –––, 2007, „Deflacionizam, konzervativnost i maksimalnost“, časopis Filozofske logike, 36: 695–705.
  • –––, 2017., Epistemska lakoća istine: deflacionizam i njegova logika, Sveučilište Cambridge.
  • Enayat, Ali i Albert Visser, 2015, "Nove konstrukcije klasa zadovoljstva", u objedinjavanju filozofije istine, T. Achourioti, H. Galinon, K. Fujimoto i J. Martínez-Fernández (ur.), Dordrecht: Springer, 321–335.
  • Feferman, Solomon, 1962, „Transfinitivno rekurzivno napredovanje aksiomatskih teorija“, časopis za simboličku logiku, 27: 259–316.
  • –––, 1984., „Prema korisnim teorijama bez tipa. I.” Časopis Simbolička logika, 49: 75–111.
  • –––, 1991, „Razmišljanje o nepotpunosti“, časopis Simbolička logika, 56: 1–49.
  • –––, 2008, „Aksiomi za odlučnost i istinu“, Pregled simboličke logike, 1: 204–217.
  • Field, Hartry, 1999, "Pobijanje argumenta o konzervativnosti", časopis Philosophy, 96: 533–40.
  • –––, 2003, „Osvetničko-imuno rješenje semantičkih paradoksa“, časopis Filozofska logika, 32: 139–177.
  • –––, 2008., Spremanje istine od Paradoxa, Oxford: Oxford University Press.
  • Franzén, Torkel, 2004, Neiscrpljivost: neiscrpni tretman, Udruženje za simboličku logiku.
  • Friedman, Harvey i Michael Sheard, 1987., „Aksiomatični pristup samoreferencijskoj istini“, Anali čiste i primijenjene logike, 33: 1–21.
  • –––, 1988., „Svojstva razdvajanja i postojanja za aksiomatične sustave istine“, Anali čiste i primijenjene logike, 40: 1–10.
  • Fujimoto, Kentaro 2012, „Klase i istine u teoriji skupa“, Anali čiste i primijenjene logike, 163: 1484–1523.
  • Glanzberg, Michael, 2015, "Složenost i hijerarhija u istinitim predikatima", u objedinjavanju filozofije istine, T. Achourioti, H. Galinon, K. Fujimoto i J. Martínez-Fernández (ur.), Dordrecht: Springer, 211 -243.
  • Halbach, Volker, 1994., „Sustav potpune i dosljedne istine“, časopis Notre Dame of Formal Logic, 35: 311–27.
  • –––, 2001., „Diskutaciona istina i analitičnost“, časopis za simboličku logiku, 66: 1959–1973.
  • –––, 2009., „Smanjivanje kompozicijske diskutacijske istine“, Pregled simboličke logike 2 (2009), 786–798.
  • –––, 2011, Axiomatic Theories of Truth, Sveučilište Cambridge, revidirano izdanje 2014.
  • Halbach, Volker i Leon Horsten, 2006., „Aksiomatizacija Kripkeove teorije istine“, časopis za simboličku logiku, 71: 677–712.
  • Hájek, Petr i Pavel Pudlak, 1993., Metamatika aritmetike prvog reda, Berlin: Springer.
  • Heck, Richard, 2001, "Istina i diskutacija", Synthese, 142: 317–352.
  • –––, 2015., „Dosljednost i teorija istine“, Pregled simboličke logike, 8: 424–466.
  • Horsten, Leon, 1995., „Semantički paradoksi, neutralnost istine i neutralnost minimalističke teorije istine“, u „Mnogi problemi realizma (Studije iz opće filozofije znanosti: svezak 3), P. Cortois (ur..), Tilburg: Tilburg University Press, 173–87.
  • –––, 2011, Tarski okret. Deflacionizam i aksiomatska istina, MIT Press.
  • Horsten, Leon i Graham E. Leigh, 2017, "Istina je jednostavna", Mind, 126 (501): 195-232.
  • Kahle, Reinhard, 2001., "Istina u aplikativnim teorijama", Studia Logica, 68: 103–128.
  • Kaye, Richard, 1991, Modeli peano aritmetike, Oxford Logic Guides, Oxford: Oxford University Press.
  • Ketland, Jeffrey, 1999, "Defulacionizam i Tarski raj", um, 108 (429): 69–94.
  • Kotlarski, Henryk i Zygmunt Ratajczyk, 1990a, „Induktivne klase potpunog zadovoljstva“, Anali čiste i primijenjene logike, 47: 199–223.
  • –––, 1990b, „Više o indukciji u jeziku s klasom zadovoljstva“, Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 36: 441–54.
  • Kotlarski, Henryk, Stanislav Krajewski i Alistair H. Lachlan, 1981, „Izgradnja klasa zadovoljstva za nestandardne modele“, Kanadski matematički bilten, 24: 283–93.
  • Kreisel, Georg i Azriel Lévy, 1968., "Načela refleksije i njihova upotreba za uspostavljanje složenosti aksiomatičnih sustava", Zeitschrift für mateische Logic und Grundlagen der Mathematik, 14: 97–142.
  • Kremer, Michael, 1988, „Kripke i logika istine“, časopis za filozofsku logiku, 17: 225–278.
  • Kripke, Saul, 1975, „Pregled teorije istine“, časopis Filozofija, 72: 690–716.
  • Lachlan, Alistair H., 1981., "Klase potpunog zadovoljstva i rekurzivna saturacija", Kanadski matematički bilten, 24: 295–97.
  • Leigh, Graham E., 2013., "Teoretsko-teorijski prikaz klasičnih principa istine." Anali čiste i primijenjene logike, 164: 1009–1024.
  • –––, 2015, „Konzervativnost za teorije kompozicijske istine putem eliminiranja reza“. Časopis Simbolička logika, 80 (3): 845–865
  • –––, 2016, „Razmišljanje o istini“, IfCoLog časopis za logiku i njihove primjene, 3 (4): 557–594.
  • Leigh, Graham E. i Michael Rathjen, 2012., “Friedman-Sheardov program u intuicijskoj logici”, časopis Symbolic Logic, 77: 777–806.
  • –––, 2010, „Redovna analiza za teorije samoreferencijalne istine“, Arhiv za matematičku logiku, 49: 213–247.
  • Leitgeb, Hannes, 2001., "Teorije istine koje nemaju standardne modele", Studia Logica, 68: 69–87.
  • Maudlin, Tim, 2004., Istina i paradoks. Rješavajući zagonetke, Oxford: Clarendon Press.
  • McGee, Vann, 1985., „Koliko istinit može biti predikat? Negativni rezultat ", časopis Filozofske logike, 14: 399–410.
  • –––, 1991, istina, nejasnoća i paradoks: esej o logici istine, Indianapolis i Cambridge: Hackett Publishing.
  • –––, 1992, „Maksimalni konzistentni skupovi primjera Tarske sheme (T)“, časopis za filozofsku logiku, 21: 235–241.
  • Myhill, John, 1950, „Sustav koji može definirati vlastitu istinu“, Fundamenta Mathematicae, 37: 190–92.
  • Nicolai, Carlo, 2016, „Bilješka o tipkanim tvrdnjama o istini i dosljednosti“, časopis Filozofska logika, 45: 89–119.
  • Reinhardt, William N., 1986., "Neke napomene o proširenju i tumačenju teorija s djelomičnim predikatom istine", časopis Filozofska logika, 15: 219–51.
  • Schindler, Thomas, 2015, „Diskutaciona teorija istine jaka kao i (mathrm {Z} ^ {-} _ 2)“, časopis Filozofske logike, 44: 395–410.
  • Scott, Dana, 1975, „Kombinatori i predavanja“, u (lambda) - teorija izračuna i računarske znanosti (Bilješke predavanja iz informatike: svezak 37), C. Böhm (ur.), Berlin: Springer, 1– 26.
  • Shapiro, Stewart, 1998, „Dokaz i istina: Kroz debljine i tanke“, časopis za filozofiju, 95 (10): 493–521.
  • –––, 2002, „Deflacija i očuvanje“, Načela istine, Volker Halbach i Leon Horsten (ur.), Frankfurt aM: Dr. Hänsel-Hohenhausen, 103–128
  • Sheard, Michael, 1994., “Vodič do istine predikata u modernom dobu”, časopis Symbolic Logic, 59: 1032–54.
  • –––, 2001., „Slabe i jake teorije istine“, Studia Logica, 68: 89–101.
  • –––, 2002, „Istina, vjerojatnost i naivni kriteriji“, Načela istine, Volker Halbach i Leon Horsten (ur.), Frankfurt aM: Dr. Hänsel-Hohenhausen, 169–181.
  • Takeuti, Gaisi, 1987., Door Theory (Studije iz logike i temelji matematike: br. 81), Amsterdam: North-Holland, drugo izdanje.
  • Tarski, Alfred, 1935, „Pojam istine u formaliziranim jezicima“, u Logika, Semantika, Metamatika, Indianapolis: Hackett 1983, 2d izdanje, 152–278.
  • Tennant, Neil, 2002, "Deflacionizam i fenomeni Gödel-a", um, 111: 551–582.
  • Turner, Raymond, 1990., Istina i modalnost, London: Pitman.
  • Visser, Albert, 1989., „Semantika i paradoks lažljivca“, Priručnik filozofske logike, 4: 617–706.
  • Yablo, Stephen, 1993., Paradoks bez samovolje, analiza, 53: 251–252.
  • Wcisło, Bartosz i Mateusz Łełyk, 2017, „Bilješke o ograničenoj indukciji za predikat kompozicijske istine“, Pregled simboličke logike, 10: 455-480.

Akademske alate

sep man ikona
sep man ikona
Kako navesti ovaj unos.
sep man ikona
sep man ikona
Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
inpho ikona
inpho ikona
Pogledajte ovu temu unosa na projektu Internet Filozofska ontologija (InPhO).
ikona papira phil
ikona papira phil
Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi

[Molimo kontaktirajte autora s prijedlozima.]

Popularno po temi