Video: Теория ДВС: Карбюратор шиберного типа, теория (мото-карб) 2023, Ožujak
Ulazna navigacija
Sadržaj unosa
Bibliografija
Akademske alate
Prijatelji PDF pregled
Podaci o autoru i citiranju
Povratak na vrh
Teorija tipa
Prvo objavljeno u 8. veljače 2006; suštinska revizija Utorak, 17. srpnja 2018
Tema teorije tipa temeljna je i u logici i u računalnoj znanosti. Ovdje se ograničavamo da skiciramo neke aspekte koji su važni u logici. Zbog važnosti tipova u računalnoj znanosti, čitatelja navodimo na primjer u Reynolds 1983 i 1985.
1. Paradoksi i Russellove vrste teorija
2. Teorija jednostavnog tipa i (lambda) - račun
3. Ramificirana hijerarhija i nepristojna načela
4. Upišite teoriju / postavite teoriju
5. Unesite teoriju / teoriju kategorija
6. Proširenja tipa sustava, polimorfizam, paradoksi
7. Univalentni zaklade
Bibliografija
Akademske alate
Ostali internetski resursi
Povezani unosi
1. Paradoksi i Russellove vrste teorija
Teoriju tipova uveo je Russell kako bi se nosio s nekim kontradikcijama koje je pronašao u svom računu teorije skupova i uveden je u "Dodatak B: Doktrina tipova" Russell 1903. Ova kontradikcija dobijena je analizom teorema Kantora da nema mapiranja
[F: X \ rightarrow \ Pow (X))
(gdje je (Pow (X)) klasa potklasa klase (X)) može biti surjektivna; to jest, (F) ne može biti takav da je svaki član (b) od (Pow (X)) jednak (F (a)) za neki element (a) od (X). To se može intuitivno izraziti kao činjenica da postoji više podskupova (X) nego elemenata (X). Dokaz toj činjenici je toliko jednostavan i osnovan da ga ovdje vrijedi dati. Razmotrimo sljedeći podskup (X):
[A = {x \ u X \ sredini x \ ne \ u F (x) }.)
Ovaj podskup ne može biti u rasponu (F). Jer ako je (A = F (a)), za neke (a), tada
) početak {poravnati} a \ u F (a) & \ tekst {iff} a \ u A \& \ tekst {iff} a \ ne \ u F (a) kraj {poravnati})
što je kontradikcija. Neke su primjedbe na redu. Prvo, dokaz ne koristi zakon isključene sredine i stoga vrijedi intuicijski. Drugo, metoda koja se koristi, nazvana dijagonalizacijom, već je bila prisutna u radu du Bois-Reymonda za izgradnju stvarnih funkcija koje rastu brže od bilo koje funkcije u određenom slijedu funkcija.
Russell je analizirao što se događa ako primijenimo ovu teoremu na slučaj gdje je A klasa svih klasa, priznajući da postoji takva klasa. Potom su ga vodili da razmatra posebnu klasu nastave koja ne pripada njima samima
) tag {*} R = {w \ mid w \ ne \ in w }.)
Mi jesmo
[R \ u R \ tekst {iff} R \ ne \ u R.)
Čini se da je Cantor već bio svjestan činjenice da se klasa svih skupova ne može smatrati skupom.
Russell je ovaj problem priopćio Fregeu, a njegovo se pismo zajedno s Fregeovim odgovorom pojavljuje u van Heijenoortu 1967. Važno je shvatiti da se formulacija (*) ne primjenjuje kao na Fregeov sustav. Kao što je i Frege napisao u svom odgovoru na Russell, izraz "predikat sam po sebi pretpostavlja" nije točan. Frege je imao razliku između predikata (koncepata) i objekata. Predikat (prvog reda) odnosi se na objekt, ali ne može imati predikat kao argument. Točna formulacija paradoksa u Fregeovom sustavu koristi pojam proširenja predikata (P), koji označujemo kao (varepsilon P). Proširenje predikata samo je objekt. Važni aksiom V je:
) tag {Aksiom V} varepsilon P = \ varepsilon Q \ equiv \ forall x [P (x) equiv Q (x)])
Ovaj aksiom tvrdi da je produženje (P) identično produženju (Q) ako i samo ako su (P) i (Q) materijalno ekvivalentne. Zatim možemo prevesti Russell-ov paradoks (*) u Fregeov sustav definirajući predikat
[R (x) text {iff} postoji P [x = \ varepsilon P \ klin \ neg P (x)])
Tada se može provjeriti, koristeći Axiom V na presudan način, da
[R (varepsilon R) equiv \ neg R (varepsilon R))
i mi imamo kontradikciju. (Primjetite da smo za definiranje predikata (R) koristili nepredvidivu egzistencijalnu kvantifikaciju predikata. Može se pokazati da je prediktivna verzija Fregeovog sustava dosljedna (vidjeti Heck 1996 i za daljnja preciziranja Ferreira 2002).
Iz ovog računa je jasno da je ideja o vrstama već bila prisutna u Fregeovom djelu: tamo nalazimo razliku između objekata, predikata (ili koncepata), predikata predikata itd. (Ova je točka naglašena u Quineu 1940.) Ova hijerarhija Russell je nazvao "hijerarhijom ekstenzija" (1959), a Russell je njegovu potrebu prepoznao kao posljedicu svog paradoksa.
2. Teorija jednostavnog tipa i (lambda) - račun
Kao što smo vidjeli gore, razlika: predmeti, predikati, predikati predikata itd. Čini se dovoljnom da blokira Russell-ov paradoks (a to su prepoznali i Chwistek i Ramsey). Prvo opisujemo strukturu tipa kakva je u Principiji, a kasnije u ovom odjeljku predstavljamo elegantnu formulaciju Crkve 1940 koja se temelji na (lambda) - računici. Vrste se mogu definirati kao
(i) je vrsta pojedinaca
((,)) je vrsta prijedloga
ako su (A_1, \ ldots, A_n) tipovi, tada je ((A_1, \ ldots, A_n)) vrsta (n) - ary odnosa nad objektima odgovarajućih tipova (A_1, \ ldots, A_n)
Na primjer, vrsta binarnih odnosa nad pojedincima je ((i, i)), vrsta binarnih veziva je (((,), (,))), vrsta kvantifikatora nad pojedincima je (((i))).
Za oblikovanje propozicija koristimo ovu vrstu strukture: dakle (R (a_1, \ ldots, a_n)) je prijedlog ako je (R) tipa ((A_1, \ ldots, A_n)) i (a_i) je tipa (A_i) za (i = 1, \ ldots, n). Ovo ograničenje onemogućuje formiranje prijedloga oblika (P (P)): vrsta (P) treba biti oblika ((A)), a (P) može samo se primjenjuje na argumente tipa (A), pa se stoga ne može primijeniti na sebe jer (A) nije isto što i ((A)).
Međutim, jednostavna teorija tipa nije predikativna: objekt (Q (x, y)) tipa ((i, i)) možemo definirati pomoću
) forall P [P (x) supset P (y)])
Pretpostavimo da imamo dvije jedinke (a) i (b) takve da vrijedi (Q (a, b)). Možemo definirati (P (x)) da je (Q (x, a)). Tada je jasno da (P (a)) vrijedi, jer je (Q (a, a)). Stoga (P (b)) također vrijedi. Dokazali smo, na nepredvidljiv način, da (Q (a, b)) podrazumijeva (Q (b, a)).
Gödel i Tarski formulirali su alternativne jednostavnije formulacije, koje zadržavaju samo pojam klase, klase klasa itd. Zapravo je ovu jednostavniju verziju koristio Gödel u svom radu iz 1931. godine o formalno nedvojbenim prijedlozima. Otkrivanje nedodirljivih tvrdnji možda je motivirano heurističkim argumentom da je malo vjerojatno da se može proširi teorema o potpunosti logike prvog reda na teoriju tipa (vidi kraj predavanja u Königsbergu 1930. u Zbirci djela Gödel, svezak III. i Goldfarb 2005). Tarski je imao verziju teorema o određivanju izraženu u teoriji tipa (vidi Hodges 2008). Pogledajte Schiemer i Reck 2013.
Imamo objekte tipa 0, za pojedince, objekte tipa 1, za klase pojedinaca, objekte tipa 2, za klase klasa pojedinaca i tako dalje. Funkcije dva ili više argumenata, poput odnosa, ne moraju biti uključene među primitivne objekte, jer se mogu definirati odnosi klase uređenih parova, a naredjeni parovi klase klasa. Na primjer, poredani par pojedinaca a, b može se definirati kao ({ {a }, {a, b } }) gdje označava ({x, y }) klasa čiji su jedini elementi (x) i (y). (Wiener 1914 predložio je sličnu redukciju odnosa prema klasama.) U ovom sustavu svi prijedlozi imaju oblik (a (b)), gdje je (a) znak tipa (n + 1) i (b) znak tipa (n). Stoga je ovaj sustav izgrađen na konceptu proizvoljne klase ili podskupine objekata određene domene i na činjenici da zbirka svih podskupova date domene može tvoriti novu domenu sljedećeg tipa. Polazeći od određene domene pojedinaca, ovaj se postupak potom ponavlja. Kao što je na primjer naglašeno u Scottu 1993, u teoriji skupa ovaj proces formiranja podskupina je preveden u transfinite.
U ovim inačicama teorije tipa, kao i u teoriji skupova, funkcije nisu primitivni objekti, već su predstavljene kao funkcionalni odnos. Funkcija dodavanja, na primjer, predstavljena je kao ternarni odnos objektom tipa ((i, i, i)). Church je 1940. godine dobila crkvu elegantnu formulaciju teorije jednostavnog tipa koja je proširuje uvođenjem funkcija kao primitivnih objekata. Koristi oznaku (lambda) - račun (Barendregt 1997). Kako je takva formulacija važna u računalnoj znanosti, za povezanost s teorijom kategorija, a za teoriju tipa Martin-Löf, detaljno ćemo je opisati. U ovoj se formulaciji predikati vide kao posebna vrsta funkcija (propozicijske funkcije), ideja koja seže do Fregea (vidi, na primjer, Quine 1940). Osim toga,pojam funkcije smatra se primitivnijim od pojma predikata i odnosa, a funkcija se više ne definira kao posebna vrsta odnosa. (Oppenheimer i Zalta 2011 iznose neke argumente protiv tako primitivnog predstavljanja funkcija.) Vrste ovog sustava definirane su induktivno kako slijedi
postoje dvije osnovne vrste (i) (vrsta pojedinaca) i (o) (vrsta prijedloga)
ako su (A, B) tipovi, tada je (A \ rightarrow B), vrsta funkcija od (A) do (B) je vrsta
Na ovaj način možemo oblikovati vrste:
(i \ rightarrow o)
(vrsta predikata)
((i \ rightarrow o) rightarrow o)
(vrsta predikata predikata)
koji odgovaraju tipovima ((i)) i (((i))), ali i novim vrstama
U smislu ove logike nećemo slijediti crkveni račun, već njegovu malu varijaciju, zbog Curryja (koji je imao slične ideje prije pojave crkvenog papira) i koja je detaljno predstavljena u knjizi R. Hindleyja o teoriji tipa. Poput Crkve, koristimo i (lambda) - račun, koji daje općenitu oznaku funkcija
[M:: = x \ srednja MM \ srednja \ lambda xM)
Ovdje smo koristili takozvanu BNF notaciju, vrlo prikladnu za računanje znanosti. To daje sintaktičku specifikaciju (lambda) pojmova koji, kada se proširi, znači:
svaka je varijabla simbol funkcije;
svaki je sastav dvaju simbola funkcija funkcijski simbol;
svaki (lambda xM) je simbol funkcije;
nema drugih simbola funkcija.
Notacija za primjenu funkcije (MN) malo se razlikuje od matematičke notacije koja bi bila (M (N)). Općenito, [M_1 M_2 M_3)
zalaže se za
[(M_1 M_2) M_3)
(udruženje s lijeve strane). Izraz (lambda xM) predstavlja funkciju koja (N) asocira (M [x: = N)]. Ovaj je zapis toliko prikladan da se čovjek zapita zašto se ne koristi široko u matematici. Glavna jednadžba (lambda) - račun je tada ((beta) - pretvorba)
[(lambda xM) N = M [x: = N])
što izražava značenje (lambda xM) kao funkciju. Koristili smo (M [x: = N)] kao oznaku za vrijednost izraza koji nastaje kada je (N) zamijenjena varijablom (x) u matrici (M). Ovu jednadžbu obično vidimo kao pravilo prepisa ((beta) - smanjenje)
[(lambda xM) N \ rightarrow M [x: = N])
U netipičnom lambda računu, može se dogoditi da takvo prepisivanje ne prestane. Kanonski primjer dan je izrazom (Delta = \ lambda xx x) i aplikacijom
) Delta \ Delta \ rightarrow \ Delta \ Delta)
(Uočite sličnost s Rusdolovim paradoksom.) Ideja Curryja je tada gledati vrste kao predikate preko lambda izraza, pišući (M: A) da bi izrazili da (M) zadovoljava predikat / tip (A). Značenje
[N: A \ pravica B)
je tada
) forall M, \ tekst {ako} M: A \ tekst {tada} NM: B)
što opravdava sljedeća pravila
) frac {N: A \ rightarrow BM: A} {NM: B})) frac {M: B [x: A]} { lambda xM: A \ rightarrow B})
Općenito se radi o prosudbama forme
[x_1: A_1,…, x_n: A_n \ vdash M: A)
gdje su (x_1,…, x_n) različite varijable, a (M) je pojam koji ima sve slobodne varijable među (x_1,…, x_n). Kako bismo mogli dobiti crkveni sustav, treba dodati neke konstante kako bi se formirali prijedlozi. Tipično
ne:
(o \ pravednica o)
podrazumijevaju:
(o \ rightarrow o \ rightarrow o)
i:
(o \ rightarrow o \ rightarrow o)
za sve:
((A \ riđa zrnca) riđokolica o)
Uvjet
) lambda x. \ neg (xx))
predstavlja predikat predikata koji se ne odnose na sebe. Ovaj izraz nema vrstu, ali nije moguće naći (A) takav
Ovaj primjer opet ilustrira da u jednostavnoj teoriji tipa možemo formulirati nepredvidive definicije.
Upotreba (lambda) - termina i (beta) - redukcije je najpovoljnija za predstavljanje složenih pravila supstitucije koja su potrebna u jednostavnoj teoriji tipa. Na primjer, ako želimo zamijeniti predikat (lambda xQ ax) za (P) u prijedlogu
) podrazumijeva (P a) (P b))
dobivamo
) podrazumijeva ((lambda xQ sjekira) a) ((lambda xQ sjekira) b))
i pomoću (beta) - smanjenja,) podrazumijeva (Q aa) (Q ab))
Ukratko, jednostavna teorija tipa zabranjuje samo-primjenu, ali ne i kružnost koja je prisutna u nepredvidivim definicijama.
Formalizam kalkulacije (lambda) - također omogućuje jasniju analizu Russellovog paradoksa. Možemo to shvatiti kao definiciju predikata
[R x = \ neg (xx))
Ako mislimo na redukciju (beta) kao proces razvijanja definicije, vidimo da već postoji problem s razumijevanjem definicije RR-a
U određenom smislu imamo neosnovanu definiciju, koja je jednako problematična koliko i kontradikcija (prijedlog jednak njenoj negaciji). Jedna važna teorema, teorema o normalizaciji, kaže da se to ne može dogoditi s jednostavnim tipovima: ako imamo (M: A), onda je (M) normalizirati na snažan način (bilo koji slijed smanjenja počevši od (M) prestaje).
Za više informacija o ovoj temi, molimo pogledajte članak Crkvene jednostavne teorije tipa.
3. Ramificirana hijerarhija i nepristojna načela
Russell je uveo drugu hijerarhiju, koju nisu motivirali formalni paradoksi izraženi u formalnom sustavu, već strah od "kružnosti" i neformalni paradoksi slični paradoksu lažljivca. Ako čovjek kaže "lažem", imamo situaciju koja podsjeća na Russell-ov paradoks: prijedlog koji je ekvivalentan vlastitoj negaciji. Druga neformalna takva paradoksalna situacija dobiva se ako definiramo cijeli broj koji je "najmanje cijeli broj koji se ne može definirati s manje od 100 riječi". Kako bi izbjegao takve neformalne paradokse, Russell je smatrao da je potrebno uvesti drugu vrstu hijerarhije, takozvanu "razgraničenu hijerarhiju". Na potrebu takve hijerarhije nagovješteno je u Dodatku B Russell 1903. Zanimljivo je da je ovo povezano s pitanjem identiteta ekvivalentnih propozicija i logičkog proizvoda klase propozicija. Temeljita rasprava može se naći u 10. poglavlju Russella 1959. Budući da je ovaj pojam razjarene hijerarhije izuzetno utjecao na logiku i posebno teoriju dokaza, opisujemo ga u nekim pojedinostima.
Kako bi se dodatno motivirala ova hijerarhija, evo jednog primjera zbog Russella. Ako kažemo
Napoleon je bio Korzikanac.
ne spominjemo u ovoj rečenici nikakvu skupinu svojstava. Kaže se da svojstvo "biti Korzikanac" predikativno. Ako s druge strane kažemo
Napoleon je imao sve kvalitete velikog generala
mislimo na ukupnost kvaliteta. Kaže se da imanje "imati sve kvalitete velikog generala" nepredvidivo.
Drugi primjer, koji također dolazi od Russella, pokazuje kako nepredvidiva svojstva mogu potencijalno dovesti do problema koji podsjećaju na lažljiv paradoks. Pretpostavimo da predlažemo definiciju
Tipični Englez je onaj koji posjeduje sva imanja u vlasništvu većine Engleza.
Jasno je da većina Engleza nema sva svojstva koja posjeduje većina Engleza. Stoga bi tipični Englez prema ovoj definiciji trebao biti netipičan. Problem, prema Russellu, je taj što je riječ "tipična" definirana referencom na sva svojstva i tretira se kao samo svojstvo. (Značajno je da se slični problemi pojavljuju kod definiranja pojma slučajnih brojeva, usp. Martin-Löf "Bilješke o konstruktivnoj matematici" (1970.). Treba napraviti razliku između svojstava prvog reda, poput korzikanskih, koja se ne odnose na ukupnost nekretnina, i uzeti u obzir da se svojstva drugog reda odnose samo na ukupnost svojstava prvog reda. Tada se mogu uvesti svojstva trećeg reda, koja se mogu odnositi na ukupnost svojstava drugog reda, i tako dalje. Ovo jasno eliminira sve kružnosti povezane s nepredvidivim definicijama.
Otprilike u isto vrijeme Poincaré je izvršio sličnu analizu. Naglasio je važnost „predikativnih“klasifikacija i ne definiranje elemenata klase pomoću kvantifikacije ove klase (Poincaré 1909). Poincaré je koristio sljedeći primjer. Pretpostavimo da imamo kolekciju s elementima 0, 1 i operaciju + udovoljavanje
) početak {poravnati} x + 0 & = 0 \\ x + (y + 1) & = (x + y) +1 \ kraj {poravnati})
Recimo da je svojstvo induktivno ako ima 0 i drži za (x + 1) ako drži za (x).
Nepredvidljiva i potencijalno "opasna" definicija bi bila definiranje elementa koji treba biti broj ako zadovoljava sva induktivna svojstva. Lako je pokazati da je ovo svojstvo "biti broj" samo po sebi induktivno. Doista, 0 je broj jer zadovoljava sva induktivna svojstva, a ako (x) zadovoljava sva induktivna svojstva, onda je to i (x + 1). Slično je lako pokazati da je (x + y) broj ako su (x, y) brojevi. Doista je svojstvo (Q (z)) da je (x + z) broj induktivno: (Q) (0) ima od (x + 0 = x) i ako (x + z) je broj, pa je i (x + (z + 1) = (x + z) +1). No, čitav ovaj argument kružan je s obzirom da svojstvo "biti broj" nije predikativno i prema njemu treba postupati sumnjivo.
Umjesto toga, treba uvesti razgranatu hijerarhiju svojstava i brojeva. Na početku, postoji samo induktivna svojstva prvog reda, koja se u svojim definicijama ne odnose na ukupnost svojstava, a jedna definira da su brojevi reda 1 elementi koji zadovoljavaju sva induktivna svojstva prvog reda. Zatim se mogu razmotriti induktivna svojstva drugog reda, koja se mogu odnositi na kolekciju svojstava prvog reda i brojeve reda 2, koji su elementi koji zadovoljavaju induktivna svojstva reda 2. Zatim se može slično razmatrati i broj redoslijeda 3, i tako dalje. Poincaré naglašava činjenicu da je broj reda 2 jedan fortiori broj reda 1, a općenitije, jedan broj naloga (n + 1) je fortiori broj reda (n). Stoga imamo niz sve više i više ograničenih svojstava:induktivna svojstva reda 1, 2, … i niz sve više i više ograničenih zbirki objekata: brojevi reda 1, 2, … Također, svojstvo "biti broj reda (n)" samo je induktivno svojstvo reda (n + 1).
Ne čini se mogućim dokazati da je (x + y) broj reda (n) ako su (x, y) brojevi reda (n). S druge strane, moguće je pokazati da ako je (x) broj reda (n + 1), a (y) broj reda (n + 1), tada (x + y) je niz reda (n). Zapravo, svojstvo (P (z)) da je "(x + z) broj reda (n)" induktivno svojstvo reda (n + 1: P) (0) ima jer je (x + 0 = x) broj reda (n + 1), pa otuda i red (n), a ako vrijedi (P (z)), to je ako (x + z) je broj reda (n), tada je tako i (x + (z + 1) = (x + z) +1), i tako (P (z + 1)) drži. Budući da je (y) broj reda (n + 1), a (P (z)) je induktivno svojstvo reda (n + 1, P (y)) vrijedi i tako (x + y) je broj reda (n). Ovaj primjer dobro ilustrira složenosti koje je uvela razgranata hijerarhija.
Složenosti se dodatno pojačavaju ako jedan, poput Russela kao za Fregea, definira čak i osnovne objekte poput prirodnih brojeva kao klase klasa. Na primjer, broj 2 je definiran kao klasa svih klasa pojedinaca koji imaju točno dva elementa. Opet dobivamo prirodne brojeve različitih reda u razgraničenoj hijerarhiji. Pored samog Russella, i unatoč svim tim komplikacijama, Chwistek je pokušao razviti aritmetiku na razgranati način, a interes takve analize naglasio je Skolem. Pogledajte Burgess i Hazen 1998 za nedavni razvoj.
Drugi matematički primjer nepredvidive definicije, koji se često daje, je definiranje najmanje gornje granice ograničene klase realnih brojeva. Ako identificiramo stvarnost sa skupom racionalnih koji su manji od stvarnog, vidjet ćemo da se ta najmanja gornja granica može definirati kao sjedinjenje svih elemenata u ovoj klasi. Identificiramo podskupove racionalnih kao predikate. Na primjer, za racionalne brojeve (q, P (q)) drži iff (q) je član podskupine koji je identificiran kao (P). Sada definiramo predikat (L_C) (podskup racionalnih) koji je najmanje gornja granica klase (C) kao:
) forall q [L_C (q) lijeva svjetlost \ postoji P [C (P) klin P (q)]])
što je nepredvidljivo: odredili smo predikat (L) egzistencijalnom kvantifikacijom svih predikata. Ako je (C) klasa racionalnih razreda prve klase, tada će (L) biti klasa racionalnog reda drugog reda. Potom se dobiva ne jedan pojam ili stvarni broj, već stvarni brojevi različitih naloga 1, 2, … Najnovija gornja granica zbirke rezultata 1 će tada biti najmanje reda 2 općenito.
Kao što smo vidjeli, još jedan primjer nepredvidive definicije daje Leibnizova definicija jednakosti. Za Leibniz predikat "jednak (a)" vrijedi za (b) iff (b) zadovoljava sve predikate zadovoljne s (a).
Kako se treba nositi s komplikacijama koje donosi razgranata hijerarhija? Russell je u uvodu drugog izdanja Principia Mathematica pokazao da se te komplikacije mogu izbjeći u nekim slučajevima. U Dodatku B drugog izdanja Principia Mathematice čak je i pomislio da se razgranata hijerarhija prirodnih brojeva reda 1,2,… ruši u redoslijedu 5. Međutim, Gödel je kasnije pronašao problem u svojoj argumentaciji i doista je to bio pokazao Myhill 1974 da se ta hijerarhija zapravo ne ruši ni na jednoj konačnoj razini. Sličan problem,o kojem je raspravljao Russell u uvodu drugog izdanja Principia Mathematica, proizlazi u dokazu Cantor-ove teoreme da od prikupljanja svih predikata do skupa svih objekata ne može biti nikakvih injektivnih funkcija (verzija Russellovog paradoksa u Fregeovom sustavu koju mi predstavljena u uvodu). Može li se to učiniti u razgraničenoj hijerarhiji? Russell je sumnjao da bi se to moglo učiniti unutar razjarene hijerarhije predikata, a to se doista kasnije i potvrdilo (Heck 1996).
Zbog ovih problema Russell i Whitehead su u prvom izdanju Principia Mathematica uveli sljedeći aksiom reducibilnosti: hijerarhija predikata, prvog reda, drugog reda itd., Propada na razini 1. To znači da za bilo koji predikat bilo kojeg redoslijed, postoji predikat razine prvog reda koji mu je ekvivalentan. Na primjer, u slučaju jednakosti, postuliramo odnos prvog reda „(a = b)“što je ekvivalentno „(a) zadovoljava sva svojstva koja zadovoljava (b)“. Motivacija za ovaj aksiom bila je čisto pragmatična. Bez njega, svi osnovni matematički pojmovi, poput realnih ili prirodnih brojeva, složeni su u različite redoslijede. Također, usprkos očiglednoj kružnosti nepredvidivih definicija, čini se da aksiom reducibilnosti ne dovodi do nedosljednosti.
Kao što je prvo primijetio Chwistek, a kasnije i Ramsey, u prisutnosti aksioma reducibilnosti, zapravo nema smisla uopće uvoditi razgraničenu hijerarhiju! Mnogo je jednostavnije prihvatiti nepredvidive definicije od samog početka. Tada je dovoljna jednostavna „ekstenzivna“hijerarhija pojedinaca, klasa, klasa…. Na ovaj način dobivamo jednostavnije sustave formalizirane u Gödel 1931. ili Church 1940. koji su predstavljeni gore.
Aksiom reducibilnosti skreće pozornost na problematični status nepredvidivih definicija. Da citiramo Weyl 1946, aksiom reducibilnosti „podebljan je, gotovo fantastičan aksiom; malo je opravdanja za to u stvarnom svijetu u kojem živimo, a nikako u dokazima na kojima naš um temelji svoje konstrukcije”! Do sada nisu pronađene proturječnosti pomoću aksioma reducibilnosti. Međutim, kao što ćemo vidjeti u nastavku, dokazno-teorijska istraživanja potvrđuju ekstremnu snagu takvog načela.
Ideja razjašnjene hijerarhije bila je izuzetno važna u matematičkoj logici. Russell je razmatrao samo konačnu hijerarhiju iterarhije: prvog reda, drugog reda itd., Ali od početka je razmatrana mogućnost produženja ramifikacije bezgranično. Poincaré (1909) spominje rad Koeniga u tom smjeru. Za gornji primjer brojeva različitog redoslijeda, on također definira da je broj induktivan za red (omega) ako je induktivan za sve konačne redoslijede. Zatim ističe da je x + y induktivni od reda (omega) ako su i (x) i (y). To pokazuje da uvođenje transfinitetnih naloga može u nekim slučajevima igrati ulogu aksioma reducibilnosti. Takav transfinitirani nastavak razgranate hijerarhije dodatno je analizirao Gödel koji je primijetio ključnu činjenicu da je sljedeći oblik aksioma reducibilnosti zapravo dokaziv: kada se proširi razgranata hijerarhija svojstava preko prirodnih brojeva u transfinitnu, ova hijerarhija propada na razini (omega_1), najmanje nebrojivi ordinal (Gödel 1995, i Prawitz 1970). Nadalje, dok je na svim razinama (lt \ omega_1) prikupljanje predikata podbrojivo, zbirka predikata na razini (omega_1) je kardinalnosti (omega_1). Ta je činjenica bila snažna motivacija iza Gödelovog modela konstruktivnih skupova. U ovom je modelu zbirka svih podskupova skupa prirodnih brojeva (prikazanih predikatima) kardinalnosti (omega_1) i slična je razrađenoj hijerarhiji. Ovaj model na ovaj način zadovoljava hipotezu kontinuiranog i daje relativni dokaz konzistentnosti ovog aksioma. (Motivacija Gödela prvotno je bila samo za izradu modela u kojem je zbirka svih podskupova prirodnih brojeva dobro uređena.)
Raslođena hijerarhija također je bila izvor velikog rada u teoriji dokaza. Nakon što je Gentzen otkrio da se dosljednost Aritmetike može dokazati transfinitskom indukcijom (preko odlučnih predikata) duž rednog (varepsilon_0), prirodno je pitanje bilo pronaći odgovarajuću ordinalu za različite razine razmnožene hijerarhije. Schütte (1960) je ustanovio da za prvu razinu razgranate hijerarhije, to jest ako proširimo aritmetiku kvantificirajući samo preko svojstava prvog reda, dobivamo sustav ordinalne jakosti (varepsilon _ { varepsilon_0}). Za drugu razinu dobivamo rednu jakost (varepsilon _ { varepsilon_ { varepsilon_0}}) itd. Podsjećamo da (varepsilon _ { alpha}) označava (alfa) - th (varepsilon) - redni broj,an (varepsilon) - redni broj je redni (beta) takav da (omega ^ { beta} = \ beta), vidjeti Schütte (1960).
Gödel je naglasio činjenicu da njegov pristup problemu hipoteze kontinuuma nije konstruktivan, jer mu je potreban neizbrojiv red (omega_1), i bilo je prirodno proučavati razgraničenu hijerarhiju uz konstruktivne ordinale. Nakon preliminarnih radova Lorenzena i Wanga, Schütte je analizirao što se događa ako nastavimo na sljedeći konstruktivniji način. Budući da aritmetika ima za ordinalnu snagu (varepsilon_0), prvo razmotrimo iteraciju razgranate hijerarhije do (varepsilon_0). Schütte je izračunao ordinalnu čvrstoću rezultirajućeg sustava i pronašao ordinalnu čvrstoću (u (1) gt \ varepsilon_0). Ponavljamo, zatim razgranatu hijerarhiju do ove redne (u (1)) i dobivamo sustav ordinalne jakosti (u (2) gt u (1)) itd. Svaki (u (k)) može se izračunati kroz tzv. Veblenovu hijerarhiju:(u (k + 1)) je (phi_ {u (k)} (0)). Granica ovog postupka daje ordinal nazvan (Gamma_0): ako ponovimo razgranatu hijerarhiju do ordinalne (Gamma_0), dobit ćemo sustav ordinalne jakosti (Gamma_0). Takav je ordinal neovisno dobivao S. Feferman otprilike u isto vrijeme. Tvrdi se da (Gamma_0) za predikativne sustave igra ulogu sličnu (varepsilon_0) za Aritmetiku. No nedavna dokazno-teorijska djela odnose se na sustave koji imaju veće dokazno-teorijske naloge koji se mogu smatrati predikativnim (vidjeti primjerice Palmgren 1995). Tvrdi se da (Gamma_0) za predikativne sustave igra ulogu sličnu (varepsilon_0) za Aritmetiku. No nedavna dokazno-teorijska djela odnose se na sustave koji imaju veće dokazno-teorijske naloge koji se mogu smatrati predikativnim (vidjeti primjerice Palmgren 1995). Tvrdi se da (Gamma_0) za predikativne sustave igra ulogu sličnu (varepsilon_0) za Aritmetiku. No nedavna dokazno-teorijska djela odnose se na sustave koji imaju veće dokazno-teorijske naloge koji se mogu smatrati predikativnim (vidjeti primjerice Palmgren 1995).
Osim ovih teoretskih dokaza o dokazu koji se odnose na razgraničenu hijerarhiju, mnogo je rada u teoriji dokaza posvećeno analiziranju konzistentnosti aksioma reducibilnosti, ili, jednako tako, dosljednosti nepredvidivih definicija. Nakon Gentzen-ove analize svojstva-uklanjanja rezanja u sekvencijskom računu, Takeuti je pronašao elegantnu sekvencijalnu formulaciju jednostavne teorije tipa (bez razgranavanja) i napravio hrabre pretpostavke koje bi uklanjanje reza trebalo održati za ovaj sustav. Ova je pretpostavka u početku izgledala krajnje sumnjivo s obzirom na kružnost nepredvidivog kvantifikacije, što se dobro odražava u ovom formalizmu. Pravilo za kvantifikacije doista je
) frac { Gamma \ vdash \ forall X [A (X)]} { Gamma \ vdash A [X: = T]})
pri čemu je (T) bilo koji termin predikat, koji može sam uključivati kvantifikaciju nad svim predikatima. Stoga je formula (A [X: = T]) sama po sebi možda mnogo složenija od formule (A (X)).
Jedan od ranih rezultata je da eliminacija reza u Takeutievom nepredvidivom sustavu podrazumijeva na konačan način dosljednost Aritmetike drugog reda. (Jedan pokazuje da to podrazumijeva konzistentnost odgovarajućeg oblika aksioma beskonačnosti, vidi Andrews 2002.) Nakon Schütteovog rada, kasnije su W. Tait i D. Prawitz pokazali da svojstvo uklanjanja doista posjeduje (dokaz o to mora koristiti jači teoretski princip dokaza, kao što bi trebao biti prema teoremu nepotpunosti.)
Ono što je ovdje važno jest da su ove studije otkrile ekstremnu snagu nepredvidivog kvantifikacije ili, ekvivalentno, ekstremnu snagu aksioma reducibilnosti. To na neki način potvrđuje intuicije Poincaréa i Russella. Dokazno-teoretska snaga Aritmetike drugog reda je iznad svih razgranatih aritmetičkih ekstenzija koje je Schütte smatrao. S druge strane, unatoč kružnosti nepredvidivih definicija, koja je tako eksplicitna u Takeutijevom računu, još nisu pronađeni paradoksi u Aritmetici drugog reda.
Drugi smjer istraživanja u teoriji dokaza bio je razumijevanje koliko se nepredvidljiva kvantifikacija može objasniti principima koji su dostupni u intuicijističkoj matematici. Najjači takvi principi su snažni oblici induktivnih definicija. S takvim se načelima može objasniti ograničeni oblik nepredvidivog kvantifikacije, zvan (Pi_ {1} ^ 1) - razumijevanje, gdje se koristi samo jedna razina nepredvidivog kvantifikacije nad predikatima. Zanimljivo je da se gotovo sve poznate uporabe nepredvidivih kvantifikacija: Leibnizova jednakost, najmanje gornja granica itd., Može obaviti s razumijevanjem (Pi_ {1} ^ 1). To smanjenje (Pi_ {1} ^ 1) razumijevanja prvo je Takeuti postigao na sasvim neizravan način, a kasnije su ga Buchholz i Schütte pojednostavili primjenom pravila (Omega) -. Može se promatrati kao konstruktivno objašnjenje nekih ograničenih, ali netrivijalnih primjena nepredvidivih definicija.
4. Upišite teoriju / postavite teoriju
Teorija tipova može se koristiti kao temelj za matematiku, a Russell ju je kao takav predstavio u svom radu iz 1908., koji se pojavio iste godine kao i Zermelov rad, predstavljajući teoriju skupova kao temelj za matematiku.
Intuitivno je jasno kako teoriju tipa možemo objasniti u teoriji skupova: tip se jednostavno tumači kao skup, a vrste funkcija (A \ rightarrow B) mogu se objasniti pomoću postavljenog teorijskog pojma funkcije (kao funkcionalni odnos, tj. skup parova elemenata). Vrsta (A \ rightarrow o) odgovara operaciji napajanja.
Drugi smjer je zanimljiviji. Kako možemo objasniti pojam skupova u smislu vrsta? Postoji elegantno rješenje, zahvaljujući A. Miquelu, koje nadopunjuje prethodna djela P. Aczela (1978) i koje također ima prednost objašnjavanja ne nužno dobro utemeljenih skupova a la Finsler. Jedno jednostavno skup interpretira kao šiljast graf (gdje strelica na grafu predstavlja odnos članstva). Ovo je vrlo prikladno predstavljeno u teoriji tipa, a šiljast graf se jednostavno daje tipom A i parom elemenata
[a: A, R: A \ rightarrow A \ rightarrow o)
Tada možemo definirati u teoriji tipa kada su dva takva skupa (A, a, R) i (B, b, S) jednaka: to je slučaj ako postoji bisimulacija (T) između (A) i (B) takvi da vrijedi (Tab). Bisimulacija je odnos
[T: A \ rightarrow B \ rightarrow o)
tako da kad god se zadrže (Txy) i (Rxu) postoji (v) takav da zadrži (Tuv) i (Syv), i kad god (Txy) i (Ryv)) držite, postoji (u) takvih da su (Tuv) i (Rxu) zadržani. Zatim možemo definirati odnos članstva: skup predstavljen (B, b, S) je član skupa predstavljen s (A, a, R) ako postoji (a_1) takav da (Ra_1a) i (A, a_1, R) i (B, b, S) su jednaki.
Tada se može provjeriti da se u ovom jednostavnom modelu nalaze svi uobičajeni aksiomi ekstenzivnosti teorije skupova, skupa moći, sjedinjenja, razumijevanja ograničenih formula (pa čak i antifundiranja, tako da odnos prema članstvu ne treba biti dobro utemeljen). (Ograničena formula je formula u kojoj su sve kvantifikacije u obliku (forall x \ u a \ ldots) ili (postoji x \ u a \ ldots)). Na taj se način može pokazati da je crkvena teorija jednostavnog tipa jednaka konzistentnoj verziji Zermelove teorije skupova.
5. Unesite teoriju / teoriju kategorija
Postoje duboke veze između teorije tipa i teorije kategorija. Ograničavamo se predstavljanjem dviju primjena teorije tipa na teoriju kategorija: konstrukcije slobodne kartezijanske zatvorene kategorije i slobodnih toposa (vidi objašnjenje teorije kategorija za objašnjenja „kartezijanskih zatvorenih“i „toposa“).
Za izgradnju besplatne kartezijanske zatvorene kategorije proširujemo jednostavnu teoriju tipa s tipom 1 (tip jedinice) i vrstom proizvoda (A \ puta B) za (A, B) tipove. Pojmovi se proširuju dodavanjem operacija uparivanja i projekcija i posebnog elementa tipa 1. Kao u Lambek i Scott 1986, tada se može definirati pojam tipkanih pretvorbi između pojmova i pokazati da je taj odnos odlučiv. Tada se može pokazati (Lambek i Scott 1986) da je kategorija s tipovima kao objekti i kao morfizmi od (A) do (B) skup zatvorenih izraza tipa (A \ rightarrow B) (s pretvorbom kao jednakost) slobodna kartezijanska zatvorena kategorija. Ovo se može koristiti za pokazivanje da je jednakost između strelica u ovoj kategoriji odlučujuća.
Teorija tipova Crkve također se može koristiti za izgradnju slobodnih toposa. Za to uzimamo kao parove objekata (A, E) tip (A) i (E) parcijalni odnos ekvivalencije, to je zatvoreni pojam (E: A \ rightarrow A \ rightarrow o) koja je simetrična i tranzitivna. Kao morfizme uzimamo između (A, E) i (B, F) odnose (R: A \ rightarrow B \ rightarrow o) koji su funkcionalni i toliki da za bilo koji (a: A) koji zadovoljavaju (E aa) postoji jedan i samo jedan (modulo (F)) element (b) od (B) takav da (F bb) i (R ab), Za podobjektivni klasifikator uzmemo par (o, E) s (E: o \ rightarrow o \ rightarrow o) definiranim kao
Tada se može pokazati da ova kategorija tvori topos, uistinu slobodni topos.
Treba napomenuti da teorija tipa u Lambeku i Scottu 1986. koristi varijaciju teorije tipa, koju je uveo Henkin i doradio P. Andrews (2002) koja treba imati ekstenzijsku jednakost kao jedinu logičku poveznicu, tj. Polimorfnu konstantu
) text {eq}: A \ rightarrow A \ rightarrow o)
te definirati sve logičke konektive od ove vezivne i konstante (T, F: o). Na primjer, jedan definira
) forall P = _ {df} tekst {eq} (lambda xT) P)
Jednakost u tipu (o) je logička ekvivalencija.
Jedna prednost intenzivnog pripravka je ta što omogućava izravan zapis dokaza na osnovi (lambda) - izračuna (Martin-Löf 1971 i Coquand 1986).
6. Proširenja tipa sustava, polimorfizam, paradoksi
Vidjeli smo analogiju između operacije A (rightarrow) A (rightarrow) o na tipovima i rada s napajanjem na skupovima. U teoriji skupa, rad pogona može se beskonačno ponavljati duž kumulativne hijerarhije. Tada je prirodno tražiti analogne transfinite verzije teorije tipa.
Jedno takvo proširenje crkvene jednostavne teorije tipa dobiva se dodavanjem svemira (Martin-Löf 1970). Dodavanje svemira proces je refleksije: dodamo tip (U) čiji su objekti dosad razmatrani tipovi. Za crkvenu teoriju jednostavnih vrsta imat ćemo
[o: U, i: U \ tekst {i} A \ riđavsko svjetlo B: U \ tekst {ako} A: U, B: U)
i, nadalje, (A) je tip if (A: U). Tada možemo razmotriti vrste poput
[(A: U) rightarrow A \ riđokosa A)
i funkcije poput
) text {id} = \ lambda A. \ lambda xx: (A: U) rightarrow A \ rightarrow A)
ID funkcije uzima kao argument "mali" tip (A: U) i element (x) tipa (A), te daje element tipa (A). Općenitije, ako je (T (A)) vrsta pod pretpostavkom (A: U), može se formirati ovisna vrsta
[(A: U) rightarrow T (A))
To je (M) ove vrste znači da (MA: T (A)) kad god (A: U). Na ovaj način dobivamo proširenja teorije tipa čija je snaga slična onoj Zermelove teorije skupova (Miquel 2001). Snažniji oblik svemira razmatra se u (Palmgren 1998). Miquel (2003) predstavlja verziju tipa teorije čvrstoće jednake onoj Zermelo-Fraenkel.
Jedan vrlo jak oblik svemira dobiva se dodavanjem aksioma (U: U). To je predložio P. Martin-Löf 1970. JY Girard pokazao je da rezultirajuća teorija tipa nije u skladu s logičkim sustavom (Girard 1972). Iako se u početku čini da bi se mogao izravno reproducirati Russell-ov paradoks pomoću skupa svih skupova, takav izravan paradoks zapravo nije moguć zbog razlike između skupova i vrsta. Doista, izvedba kontradikcije u takvom sustavu je suptilna i prilično je neizravna (premda, kako je primijećeno u Miquel 2001., Sada se može svesti na Russell-ov paradoks predstavljanjem skupova u obliku istaknutih grafova). JY Girard prvi je dobio svoj paradoks za slabiji sustav. Taj paradoks je kasnije rafiniran (Coquand 1994 i Hurkens 1995). (Pojam sustava čistog tipa, uveden u Barendregt 1992.,pogodno je za dobivanje oštre formulacije ovih paradoksa.) Umjesto aksioma (U: U) pretpostavljamo samo
[(A: U) pravac T (A): U)
ako je (T (A): U [A: U]). Uočite kružnost, doista iste vrste kao i ona koju odbacuje razgranata hijerarhija: određujemo element tipa (U) kvantificiranjem svih elemenata (U). Na primjer, vrstu
[(A: U) rightarrow A \ riđa zvijezda A: U)
bit će vrsta polimorfne funkcije identiteta. Usprkos ovoj kružnosti, JY Girard je uspio pokazati normalizaciju za sustave tipa s ovim oblikom polimorfizma. Međutim, proširenje crkvene teorije jednostavnog tipa s polimorfizmom nije u skladu s logičkim sustavom, tj. Sve su tvrdnje (izrazi tipa o) dokazivi.
Motiva JY Girarda za razmatranje tipa tipa s polimorfizmom bila je proširiti interpretaciju Gödelove dijalektike (Gödel 1958) na aritmetiku drugog reda. Dokazao je normalizaciju primjenom metode reducibilnosti, koju je uveo Tait (1967.), analizirajući Gödel 1958. Prilično je nevjerojatno da kružnost svojstvena nepredvidivosti ne rezultira u ne-normalnim uvjetima. (Girard je argument tada upotrijebljen da pokaže da eliminacija reza završava u Takeuti-jevom sekvencijalnom računu prikazanom gore.) Sličan je sustav samostalno uveo J. Reynolds (1974), analizirajući pojam polimorfizma u računalnoj znanosti.
Martin-Löf uvođenje vrste svih vrsta dolazi iz identifikacije koncepta propozicija i vrsta, što predlaže rad Curryja i Howarda. Ovdje vrijedi podsjetiti se na njegove tri motivirajuće točke:
Russell-ova definicija tipova kao raspona značaja prijedloga funkcija
činjenica da se treba kvantificirati nad svim propozicijama (nepredvidivost teorije jednostavnog tipa)
identifikacija prijedloga i vrsta
S obzirom na (1) i (2) trebali bismo imati vrstu prijedloga (kao u teoriji jednostavnog tipa), a s obzirom na (3), to bi trebala biti i vrsta svih vrsta. Girardov paradoks pokazuje da čovjek ne može imati (1), (2) i (3) istovremeno. Martin-Löf-ov izbor bio je oduzeti (2), ograničavajući teoriju tipa predikativnom (i doista, pojam univerzuma pojavio se prvi u teoriji tipa kao predikativna verzija tipa svih vrsta). Alternativni izbor oduzimanja (3) raspravlja se u Coquand 1986.
7. Univalentni zaklade
Povezanost između teorije tipa, teorije skupova i teorije kategorija dobiva novo svjetlo kroz rad o Univalentnim zakladama (Voevodsky 2015) i Aksiom Univalencije. To uključuje na bitan način proširenje teorije tipa opisano u prethodnom odjeljku, posebno ovisne tipove, prikaz prijedloga kao tipova i pojam univerzuma tipova. Ovi su događaji također bitni za raspravu o pojmu strukture, čiji je značaj primjerice naglašen u Russellu 1959.
Martin-Löf 1975 [1973] uveo je novi osnovni tip (mathbf {Id} _A (a, b)), ako su (a) i (b) u tipu (A), što se može smatrati tipom dokaza jednakosti elementa (a) i (b). Važna značajka ove nove vrste je da se može ponoviti, tako da možemo razmotriti tip (mathbf {Id} _ { mathbf {Id} _A (a, b)} (p, q)) ako (p) i (q) su tipa (mathbf {Id} _A (a, b)). Ako o tipu mislimo na posebnu vrstu skupa, prirodno je pretpostaviti da je takva vrsta dokaza jednakosti uvijek naseljena za bilo koja dva dokaza jednakosti (p) i (q). Zaista, intuitivno se čini da postoji najviše dokaza jednakosti između dva elementa (a) i (b). Iznenađujuće, Hofmann i Streicher 1996 dizajnirali su model teorije ovisnog tipa tamo gdje to ne vrijedi,to je model gdje mogu biti različiti dokazi da su dva elementa jednaka. U ovom modelu tip se tumači groupoidom, a tip (mathbf {Id} _A (a, b)) skupom izomorfizama između (a) i (b), postavljenih koji mogu imaju više elemenata. Postojanje ovog modela ima za posljedicu da se u teoriji tipa ne može općenito dokazati da vrsta jednakosti ima najviše jedan element. Ova grupna interpretacija generalizirana je na sljedeći način, što daje intuitivnu interpretaciju vrste identiteta. Tip se tumači topološkim prostorom, do homotopije, a tip (mathbf {Id} _A (a, b)) tumači tip staze koja povezuje (a) i (b), (Pogledajte Awodey i dr. 2013. i [HoTT 2013, Ostali internetski resursi].)tip se tumači groupoidom, a tip (mathbf {Id} _A (a, b)) skupom izomorfizama između (a) i (b), skupa koji može imati više od jednog element. Postojanje ovog modela ima za posljedicu da se u teoriji tipa ne može općenito dokazati da vrsta jednakosti ima najviše jedan element. Ova grupna interpretacija generalizirana je na sljedeći način, što daje intuitivnu interpretaciju vrste identiteta. Tip se tumači topološkim prostorom, do homotopije, a tip (mathbf {Id} _A (a, b)) tumači tip staze koja povezuje (a) i (b), (Pogledajte Awodey i dr. 2013. i [HoTT 2013, Ostali internetski resursi].)tip se tumači groupoidom, a tip (mathbf {Id} _A (a, b)) skupom izomorfizama između (a) i (b), skupa koji može imati više od jednog element. Postojanje ovog modela ima za posljedicu da se u teoriji tipa ne može općenito dokazati da vrsta jednakosti ima najviše jedan element. Ova grupna interpretacija generalizirana je na sljedeći način, što daje intuitivnu interpretaciju vrste identiteta. Tip se tumači topološkim prostorom, do homotopije, a tip (mathbf {Id} _A (a, b)) tumači tip staze koja povezuje (a) i (b), (Pogledajte Awodey i dr. 2013. i [HoTT 2013, Ostali internetski resursi].)Postojanje ovog modela ima za posljedicu da se u teoriji tipa ne može općenito dokazati da vrsta jednakosti ima najviše jedan element. Ova grupna interpretacija generalizirana je na sljedeći način, što daje intuitivnu interpretaciju vrste identiteta. Tip se tumači topološkim prostorom, do homotopije, a tip (mathbf {Id} _A (a, b)) tumači tip staze koja povezuje (a) i (b), (Pogledajte Awodey i dr. 2013. i [HoTT 2013, Ostali internetski resursi].)Postojanje ovog modela ima za posljedicu da se u teoriji tipa ne može općenito dokazati da vrsta jednakosti ima najviše jedan element. Ova grupna interpretacija generalizirana je na sljedeći način, što daje intuitivnu interpretaciju vrste identiteta. Tip se tumači topološkim prostorom, do homotopije, a tip (mathbf {Id} _A (a, b)) tumači tip staze koja povezuje (a) i (b), (Pogledajte Awodey i dr. 2013. i [HoTT 2013, Ostali internetski resursi].)b)) tumači se tipom staza koje povezuju (a) i (b). (Pogledajte Awodey i dr. 2013. i [HoTT 2013, Ostali internetski resursi].)b)) tumači se tipom staza koje povezuju (a) i (b). (Pogledajte Awodey i dr. 2013. i [HoTT 2013, Ostali internetski resursi].)
Voevodsky 2015 uveo je sljedeću slojevitost. (Ova je stratifikacija dijelom motivirana ovom interpretacijom tipa kao topološkog prostora, ali može se shvatiti izravno bez veze na to tumačenje.) Kažemo da je tip (A) prijedlog ako imamo (mathbf {Id} _A (a, b)) za bilo koji element (a) i (b) od (A) (to znači da tip (A) ima najviše jedan element). Kažemo da je tip (A) skup ako je tip (mathbf {Id} _A (a, b)) prijedlog za bilo koji element (a) i (b) od (A). Kažemo da je tip (A) groupoid ako je tip (mathbf {Id} _A (a, b)) skup za bilo koji element (a) i (b) od (A). Opravdanje ove terminologije je da se može pokazati, samo koristeći pravila teorije tipa, da se bilo koji takav tip doista može vidjeti kao skupni u uobičajenom kategoričkom smislu,gdje su objekti elementi ove vrste, skup morfizama između (a) i (b) predstavljen skupa (mathbf {Id} _A (a, b)). Sastav je dokaz tranzitivnosti jednakosti, a identitetni morfizam je dokaz refleksivnosti jednakosti. Činjenica da svaki morfizam ima obrnuto odgovara činjenici da je identitet simetričan odnos. Ta se stratifikacija tada može proširiti i možemo definirati kada je tip 2-groupoid, 3-groupoid i tako dalje. U ovom pogledu, teorija tipa pojavljuje se kao velika generalizacija teorije skupova, budući da je skup posebna vrsta.a morfizam identiteta dokaz je refleksivnosti jednakosti. Činjenica da svaki morfizam ima obrnuto odgovara činjenici da je identitet simetričan odnos. Ta se stratifikacija tada može proširiti i možemo definirati kada je tip 2-groupoid, 3-groupoid i tako dalje. U ovom pogledu, teorija tipa pojavljuje se kao velika generalizacija teorije skupova, budući da je skup posebna vrsta.a morfizam identiteta dokaz je refleksivnosti jednakosti. Činjenica da svaki morfizam ima obrnuto odgovara činjenici da je identitet simetričan odnos. Ta se stratifikacija tada može proširiti i možemo definirati kada je tip 2-groupoid, 3-groupoid i tako dalje. U ovom pogledu, teorija tipa pojavljuje se kao velika generalizacija teorije skupova, budući da je skup posebna vrsta.
Voevodsky 2015 također uvodi pojam ekvivalencije između tipova, pojam koji na jednoobrazan način generalizira pojmove logičke ekvivalencije između prijedloga, bijekcije između skupova, kategoričke ekvivalencije između skupina, itd. Kažemo da je karta (f: A \ rightarrow B) ekvivalencija ako je za bilo koji element (b) u (B) vrsta parova (a, p) gdje je (p) je tipa (mathbf {Id} _B (fa, b)), prijedlog je i naseljen je. To snažno izražava da je element u (B) slika točno jednog elementa u (A), a ako su skupovi (A) i (B), oporavljamo uobičajeni pojam bijekcije između skupova. (Općenito ako je (f: A \ rightarrow B) ekvivalencija, tada imamo kartu (B \ rightarrow A), koja se može smatrati inverzijom (f).) Na primjer, može se pokazati da je identitetna karta uvijek jednakovrijedna. Neka je (tekst {Equiv} (A, B)) vrsta parova (f, p) gdje je (f: A \ rightarrow B) i (p) dokaz da (f) je ekvivalencija. Koristeći činjenicu da je mapa identiteta jednakovrijedna, imamo element (text {Equiv} (A, A)) za bilo koju vrstu (A). To podrazumijeva da imamo kartu
) mathbf {Id} _U (A, B) rightarrow \ text {Equiv} (A, B))
a Aksiom Univalencije kaže da je ta karta jednakovrijedna. Naročito, imamo implikaciju
) text {Equiv} (A, B) rightarrow \ mathbf {Id} _U (A, B))
pa ako postoji ekvivalencija između dvije male vrste, te su vrste jednake.
Taj se Aksiom može posmatrati kao snažan oblik načela ekstenzivnosti. To doista generalizira Aksiom propozicijske ekstenzivnosti koju spominje Crkva 1940., a koji kaže da su dvije logički jednake propozicije jednake. Iznenađujuće je da implicira i Aksiom ekstenzivnosti funkcija, Aksiom 10 u Crkvi 1940, koji kaže da su dvije točkaste jednake funkcije jednake (Voevodsky 2015). To također izravno implicira da su dva izomorfna skupa jednaka, da su dva kategorički jednaka skupina jednaka, i tako jedan.
Ovo se može upotrijebiti za dobivanje formulacije pojma transporta konstrukcija (Bourbaki 1957) zajedno s ekvivalentom. Na primjer, neka je (MA) vrsta monoidnih struktura na skupu (A): ovo je vrsta tupola (m, e, p) gdje je (m) binarna operacija na (A) i (e) element (A) i (p) dokaz da ti elementi zadovoljavaju uobičajene monoidne zakone. Pravilo supstitucije jednakog jednakim ima oblik
) mathbf {Id} _U (A, B) rightarrow MA \ rightarrow MB)
Ako postoji bijekcija između (A) i (B), oni su jednaki aksiomom jedinstvenosti i možemo upotrijebiti ovu implikaciju za prijenos bilo koje monoidne strukture (A) u monoidnoj strukturi (B).
Ovaj okvir također možemo iskoristiti za pročišćavanje Russell-ove rasprave iz 1959. o pojmu strukture. Na primjer, neka Monoid bude vrsta parova (A, p) gdje je (p) element (MA). Dva takva para (A, p) i (B, q) su izomorfna ako postoji bijekcija (f) iz (A) u (B) takva da je (q) jednak je transportu strukture (p) duž (f). Posljedica Aksioma Univalencije je da su dva izomorfna elementa tipa Monoidjednaki su i stoga dijele ista svojstva. Primjetite da takav opći transport svojstava nije moguć kad su strukture formulirane u postavljenom teoretskom okviru. Doista, u postavljenom teoretskom okviru moguće je formulirati svojstva koristeći odnose članstva, na primjer, svojstvo koje nosivi skup strukture sadrži prirodni broj (0), svojstvo koje izomorfizmi nisu sačuvani općenito. Intuitivno, postavljeni teorijski opis strukture nije dovoljno apstraktan jer možemo govoriti o načinu na koji je ova struktura izgrađena. Ova razlika između teorije skupova i teorije tipova još je jedan prikaz karakterizacije J. Reynoldsa 1983. tipa tipične strukture kao "sintaktičke discipline za provođenje razine apstrakcije".
Bibliografija
Aczel, P., 1978, „Teorijska interpretacija tipa teorije konstruktivnih skupova“, Kolokvij logike '77, Amsterdam: North-Holland, 55–66.
Andrews, P., 2002, Uvod u matematičku teoriju i teoriju tipa: do istine kroz dokaz (Applied Logic Series: svezak 27), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, drugo izdanje.
Awodey, S., Pelayo, A., Warren, M. 2013, „Axiom of Univalence in Homotopy Type Theory“, Obavijesti American Mathematical Society, 60 (9): 1157–1164.
Barendregt, H., 1997, „Uticaj lambda kalkulusa na logiku i računarsku znanost“, Bilten simboličke logike, 3 (2): 181–215.
–––, 1992., Lambda proračunava se vrstama. Priručnik logike u računalnoj znanosti, svezak 2, Oxford, New York: Oxford University Press, 117–309.
Bell, JL, 2012., "Vrste, skupovi i kategorije", u Priručniku za povijest logike Akihiro Kanamory. Svezak 6: Kompleti i produžeci u dvadesetom stoljeću, Amsterdam: Sjeverna Holandija.
Bourbaki, N., 1958, Théorie des Ansambles, 3. izdanje, Pariz: Hermann.
de Bruijn, NG, 1980, "Istraživanje o projektu AUTOMATH", u HB Curry: eseji o kombinatornoj logici, lambda računici i formalizmu, London-New York: Academic Press, 579–606.
Burgess JP i Hazen AP, 1998, „Predikativna logika i formalni aritmetički izvor“, Notre Dame J. Formal Logic, 39 (1): 1–17.
Buchholz, W. i K. Schütte, 1988., Dokazna teorija nepredvidivih podsustava analize (Studije u teoriji dokaza: Monografija 2), Napulj: Bibliopolis.
Church, A., 1940, „Formulacija jednostavne teorije tipova“, Journal of Symbolic Logic, 5: 56–68
–––, 1984., „Russell-ova teorija identiteta prijedloga“, Philosophia Naturalis, 21: 513–522
Chwistek, L., 1948, Granice znanosti: obrisi logike i metodologije egzaktnih znanosti, London: Routledge i Kegan Paul.
Coquand, T., 1986, „Analiza Girardovog paradoksa“, Zbornik radova IEEE simpozija o logici u računarstvu, 227-236.
–––, 1994, „Novi paradoks u teoriji tipa“, Stud. Logika pronađena. Matematika. (Svezak 134), Amsterdam: Sjeverna Holandija, 555–570.
du Bois-Reymond, P., 1875, „Ueber asymptotische Werthe, infintaere Appproximationen und infitaere Aufloesung von Gleichungen,“Mathematische Annalen, 8: 363–414.
Feferman, S., 1964, „Sustavi predikativne analize“, časopis za simboličku logiku, 29: 1–30.
Ferreira, F. i Wehmeier, K., 2002, „O konzistentnosti fragmenta Delta-1-1-CA iz Fregeove Grundgesetze“, časopis za filozofsku logiku, 31: 301–311.
Girard, JY, 1972., Interpretation fonctionelle et eleimination des coupures dans l'arithmetique d'ordre superieure, These d'Etat, Université Paris 7.
Gödel, K., 1995, Zbornik radova III svezak, neobjavljeni eseji i predavanja, Oxford: Oxford University Press, 1995.
–––, 1931, „Über formal untentscheidbare Sätze der Principia Mathematica i verwandter Systeme I“, Monatshefte fü Mathematik und Physik, 38: 173–198.
–––, 1944., „Russell-ova matematička logika“, u filozofiji Bertranda Russella, PA Schilpp (ur.), Evanston: Northwestern University Press, 123–153.
–––, 1958., „Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes“, Dialectica, 12: 280–287.
Heck, R., Jr., 1996, "Dosljednost predikativnih fragmenata Fregeove Grundgesetze der Arithmetik," Povijest i filozofija logike, 17 (4): 209-220.
van Heijenoort, 1967., od Fregea do Gödela. Izvorna knjiga iz matematičke logike 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Hindley, R., 1997, osnovna teorija jednostavnog tipa, Cambridge: Cambridge University Press.
Hodges, W., 2008, „Tarski o metodi Padova: testni slučaj za razumijevanje logičara drugih tradicija“, u „Logika“, „Navya-Nyāya“i „Primjene: Počast Bimalu Krišni Matilal“, Mihir K. Chakraborti i sur. (ur.), London: College Publications, str. 155–169
Hofmann, M. i Streicher, Th. 1996, „Groupoidno tumačenje teorije tipa“, u dvadeset pet godina konstruktivne teorije tipa (Oxford Logic Guides: svezak 36), Oxford, New York: Oxford University Press, 83–111.
Howard, WA, 1980, “Pojam konstrukcije kao vrste-konstrukcije”, u HB Curry: eseji o kombinatornoj logici, lambda računici i formalizmu, London, New York: Academic Press, 480–490.
Hurkens, AJC, 1995., „Pojednostavljenje Girardovog paradoksa. Upisani lambda proračuni i aplikacije”, u Bilješke predavanja iz informatike (svezak 902), Berlin: Springer: 266–278.
Lambek, J., 1980. "Od (lambda) - obračun do kartezijanskih zatvorenih kategorija" u članku HB Curry: Eseji o kombiniranoj logici, (lambda) - račun i formalizam, J. Seldin i J. Hindley (ur.), London, New York: Academic Press. s. 375–402.
Lambek, J. i Scott, PJ, 1986., Uvod u kategoričku logiku višeg reda (Cambridge Studies in Advanced Mathematics: Volume 7), Cambridge: Cambridge University Press; reprinted 1988.
Lawvere, FW i Rosebrugh, R., 2003, Kompleti za matematiku, Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 1971., Teorija tipova, Tehničko izvješće 71–3, Stockholm: Sveučilište u Stockholmu.
–––, 1998., „intuicionistička teorija tipova“, u dvadeset pet godina teorije konstruktivne vrste (Oxford Logic Guides: Volume 36), Oxford, New York: Oxford University Press, 127–172.
–––, 1975 [1973], „Intuitionistička teorija tipova: predikativni dio“, u Logičkom kolokviju '73 (Zbornik radova o logičkom kolokviju, Bristol 1973) (Studije iz logike i temelji matematike: svezak 80), HE Rose i JC Shepherdson (ur.), Amsterdam: North-Holland, 73–118.
Myhill, J., 1974, „Neodređenost skupa prirodnih brojeva u raslojenoj Principiji“, u Bertrand Russell's Philosophy, G. Nakhnikian (ur.), London: Duckworth, 19–27.
Miquel, A., 2001, Le Calcul des Constructions impplicite: sintaksa i sémantique, Thèse de doctorat, Université Paris 7.
–––, 2003, „Snažno normalizirajući Curry-Howardovo dopisivanje za IZF teoriju skupova“, u području Computer Computer Logic (Predavanja u Computer Science, 2803), Berlin: Springer: 441–454.
Oppenheimer, P. i E. Zalta, 2011, „Odnosi prema funkcijama na osnovama logike: tip-teoretske razmatranja“, časopis za logiku i računarstvo, 21: 351–374.
Palmgren, Erik, 1998, „O univerzumima u teoriji tipa“, u dvadeset pet godina teorije konstruktivnog tipa (Oxford Logic Guides: Volume 36), Oxford, New York: Oxford University Press, 191–204.
Poincaré, 1909, „H. La logique de l'infini”Revue de metaphysique et de moral, 17: 461–482.
Prawitz, D., 1967, „Potpunost i Hauptsatz za logiku drugog reda“, Theoria, 33: 246–258.
–––, 1970, „O dokaznoj teoriji matematičke analize“, u „Logika i vrijednost“(Eseji posvećeni Thorildu Dahlquistu na njegov pedeseti rođendan), Filosofiska Studier (Filosof. Föreningen och Filosof. Inst.), Br. 9, Uppsala: Sveučilište Uppsala, 169-180.
Quine, W., 1940, "Pregled crkve" Formulacija jednostavne teorije tipova "," Journal of Symbolic Logic, 5: 114.
Russell, B., 1903, Principi matematike, Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 1908., „Matematička logika zasnovana na teoriji tipova“, Američki časopis za matematiku, 30: 222–262.
–––, 1959, Moj filozofski razvoj, London, New York: Routledge.
Russell, B. i Whitehead, A., 1910, 1912, 1913, Principia Mathematica (3 sveska), Cambridge: Cambidge University Press.
Reynolds, J., 1974, „Prema teoriji tipološke strukture“, u Simpoziju o programiranju (Bilješke predavanja iz informatike: svezak 19), Berlin: Springer, 408–425.
–––, 1983., „Vrste, apstrakcija i parametrični polimorfizam“, Zbornik radova 9. svjetskog računalnog kongresa računala IFIP, Pariz, 513–523.
–––, 1984., „Polimorfizam nije teoretski postavljen. Semantika vrsta podataka, „Bilješke predavanja iz informatike (svezak 173), Berlin: Springer, 145–156.
–––, 1985., „Tri pristupa tipološkoj strukturi. Matematički temelji razvoja softvera”, u Bilješke predavanja iz računalnih znanosti (svezak 185), Berlin: Springer, 97–138.
Schiemer, G. i Reck, EH, 2013., "Logika 1930-ih: Teorija tipova i teorija modela", Bilten simboličke logike, 19 (4): 433–472.
Schütte, K., 1960, Beweistheorie, Berlin: Springer-Verlag.
