Obrazloženje Logika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-08-25 04:38

To je spis u arhivu filozofske enciklopedije Stanford. Autor i podaci o citiranju | Prijatelji PDF pregled | InPho pretraživanje | PhilPapers Bibliografija

Obrazloženje Logika

Prvo objavljeno Wed Jun 22, 2011; suštinska revizija Wed Jul 20, 2011

Možda ćete reći: „Znam da je Abraham Lincoln bio visok čovjek. Zauzvrat, možda će vas pitati kako znate. Gotovo sigurno ne biste odgovorili semantički, u stilu Hintikke, da je Abraham Lincoln visok u svim situacijama kompatibilnim s vašim znanjem. Umjesto toga, vjerovatnije biste rekli: „Čitao sam o visini Abrahama Lincolna u nekoliko knjiga, i vidio sam njegove fotografije pored drugih ljudi. „Osoba potvrđuje znanje obrazloženjem razloga, opravdanja. Hintikka semantika bilježi znanje kao istinsko vjerovanje. Obrazloženje Logika pruža nedostajuću treću komponentu Platonove karakterizacije znanja kao opravdanog istinskog uvjerenja.

• 1. Zašto logika opravdanja?

  • 1.1 Epistemska tradicija
  • 1.2. Matematička logička tradicija

• 2. Osnovne komponente logike opravdanja

  • 2.1 Jezik logike opravdanja
  • 2.2. Osnovno opravdanje Logika J ₀
  • 2.3 Logička svjesnost i stalne specifikacije
  • 2.4 Faktičnost
  • 2.5 Pozitivna introspekcija
  • 2.6 Negativna introspekcija

• 3. Semantika

  • 3.1 Mogući svjetski modeli opravdanja za jednog agenta za J
  • 3.2 Slaba i snažna kompletnost
  • 3.3 Obitelj za jednog agenta
  • 3.4 Modeli jedinstvenog svjetskog opravdanja
• 4. Teoreme realizacije

• 5. Generalizacije

  • 5.1 Miješanje eksplicitnog i implicitnog znanja
  • 5.2 Mogući svjetski modeli opravdanja za više agencija
• 6. Russelov primjer: inducirana faktivnost
• 7. Samoreferencijalnost opravdanja
• 8. Kvantifikatori u logici opravdanja
• 9. Povijesne bilješke
• Bibliografija
• Akademske alate
• Povezani unosi
• Ostali internetski resursi

1. Zašto logika opravdanja?

Obrazloženje Logika je epistemička logika koja omogućuje da se modaliteti znanja i vjerovanja „razviju“u pojmove opravdanja: umjesto □ X piše se t: X, i čita kao „X je opravdano razlogom t“. O tradicionalnim modalnim operaterima može se pomisliti kao na implicitne modalitete, a na opravdavajuće izraze kao na njihove eksplicitne razrade koje nadopunjuju modalnu logiku s fino zrnatim epitelnim strojevima. Obitelj opravdanja ima strukturu i operaciju. Izbor operacija rađa različite logike opravdanja. Za sve uobičajene epiztemske logike njihovi se modaliteti mogu u potpunosti razviti u eksplicitni oblik opravdanja. U tom pogledu Obrazloženje Logika otkriva i koristi eksplicitni, ali skriveni sadržaj tradicionalne epistemičke modalne logike.

Logika opravdanja nastala je kao dio uspješnog projekta pružanja konstruktivne semantike intuicionističkih pojmova logičkog opravdanja kojima su oduzeta sva osnovna obilježja matematičkih dokaza. Dokazi su opravdanja u možda njihovom najčišćem obliku. Potom su logike opravdanja uvedene u formalnu epistemologiju. Ovaj članak predstavlja opći raspon logika opravdanja kako se trenutačno razumije. Raspravlja o njihovim odnosima s uobičajenom modalnom logikom. Članak, osim tehničke mehanizacije, ispituje na koji način upotreba izričite odredbe obrazloženja osvjetljava brojne tradicionalne filozofske probleme. Predmet u cjelini još uvijek se aktivno razvija. Ono što je ovdje predstavljeno je njegov kratki snimak u vrijeme pisanja.

Korijeni logike opravdanja mogu se pratiti do više različitih izvora, od kojih su dva detaljno obrađena: epistemologija i matematička logika.

1.1 Epistemska tradicija

Svojstva znanja i vjerovanja predmet su formalne logike barem još od von Wrighta i Hintikka, (Hintikka 1962, von Wright 1951). Znanje i vjerovanje tretiraju se kao modaliteti na način koji je danas vrlo poznat - epiztemska logika. Ali Platonova tri kriterija za znanje, opravdano, istinito, uvjerenje (Gettier 1963, Hendricks 2005), epistemička logika doista djeluje sa samo dva. Mogući svjetovi i nerazlučivi model vjerovanja - čovjek vjeruje u ono što je to pod svim okolnostima smatrano mogućim. U stvarnost se u igru unosi komponenta istinitosti - ako nešto nije stvarno u stvarnom svijetu, to se ne može znati, samo vjerovati. Ali ne postoji zastupanje za uvjet opravdanja. Ipak,modalni pristup je bio izuzetno uspješan u omogućavanju razvoja bogate matematičke teorije i primjena (Fagin, Halpern, Moses i Vardi 1995, van Ditmarsch, van der Hoek i Kooi 2007). Ipak, to nije cijela slika.

Modalni pristup logici znanja u izvjesnom je smislu izgrađen oko univerzalnog kvantifikatora: X je poznat u situaciji ako je X istinit u svim situacijama koje se ne razlikuju od one. Opravdanja, s druge strane, u sliku unose egzistencijalni kvantifikator: X je poznat u situaciji ako za to postoji opravdanje za X. Ova univerzalna / egzistencijalna dihotomija poznata je logičarima - u formalnoj logici postoji dokaz za formulu X ako i samo ako je X istinit u svim modelima logike. Čovjek razmišlja o modelima kao svojstvenim nekonstruktivnim, a dokazi kao konstruktivnim stvarima. Neće pogriješiti u razmišljanju o opravdanjima općenito koliko i matematičkih dokaza. Zapravo, prva logika opravdanja bila je izričito osmišljena da prikupi matematičke dokaze iz aritmetike,nešto o čemu će se dalje raspravljati u odjeljku 1.2.

U obrazloženju Logika, pored kategorije formula, postoji i druga kategorija obrazloženja. Opravdanja su formalni izrazi, izgrađeni od konstanti i varijabli koristeći različite simbole rada. Konstante predstavljaju opravdanja za općeprihvaćene istine - obično aksiome. Varijable označavaju neodređena opravdanja. Različite se logike opravdanja razlikuju o tome koje su operacije dopuštene (pa i na druge načine). Ako je t pojam opravdanja i X je formula, t: X je formula, a treba je pročitati:

t je opravdanje za X.

Jedna operacija, zajednička svim logikama opravdanja, je primjena, napisana poput množenja. Ideja je, ako je s opravdanje za A → B i t je opravdanje za A, onda je [s ⋅ t] opravdanje za B ^[1]. To jest, općenito se pretpostavlja valjanost sljedećeg:

(1)	s:(A → B) → (t: A → [s ⋅ t]: B).

Ovo je izričita verzija uobičajene distribucije operatora znanja i modalnih operatora općenito kroz implikacije:

(2)	□ (A → B) → (□ A → □ B).

U stvari, formula (2) stoji iza mnogih problema logičke sveznanja. Tvrdi se da agent zna sve što se podrazumijeva pod njegovim agentovim znanjem, posljedica je zatvorena. Iako je načelo znanja u principu zatvoreno zbog posljedice, to se ne može reći za svaku uvjerljivu verziju stvarnog znanja. Razlika između (1) i (2) može se iskoristiti u raspravi o paradigmatičnom primjeru Crvene štale Goldmana i Kripkea; ovdje je pojednostavljena verzija priče preuzeta iz (Dretske 2005).

Pretpostavimo da se vozim kroz susjedstvo u kojem su, po meni nepoznati, staje papier-mâché raštrkane, i vidim da je objekt ispred mene staja. Pošto imam percepciju štala, vjerujem da je objekt ispred mene. Naše intuicije sugeriraju da ne znam barn. Ali sada pretpostavimo da u kvartu nema lažnih crvenih staja, a također primjećujem da je objekt ispred mene crven, pa znam da je tamo crvena staja. Ovaj sastav, biti crvena štala, što znam, podrazumijeva da tamo postoji i ambar, a ja to ne činim „neugodno je“.

U prvoj formalizaciji primjera Crvene štale, logična će se izvedba izvesti u osnovnoj modalnoj logici u kojoj se □ tumači kao modalitet 'vjerovanja'. Zatim će se neke pojave of izvana tumačiti kao „znanje“prema opisu problema. Neka je B rečenica 'objekt ispred mene je štala', a R rečenica 'objekt ispred mene je crven'.

1. □ B, 'Vjerujem da je objekt ispred mene štala'
2. □ (B ∧ R), „Vjerujem da je objekt preda mnom crvena štala“.

Na meta nivou 2, 2 je zapravo znanje, dok prema opisu problema, 1 nije znanje.

□ (B ∧ R → B), tvrdnja znanja o logičkom aksiomu

Unutar ove formalizacije, čini se da je epistemično zatvaranje u svom modalnom obliku (2) prekršeno: linija 2, □ (B ∧ R), a linija 3, □ (B ∧ R → B) slučajevi su znanja dok je □ B (linija 1) nije znanje. Čini se da modalni jezik ovdje ne pomaže u rješavanju ovog problema.

Zatim razmotrite primjer Crvene štale u Logika opravdanja gdje se t: F tumači kao ' Vjerujem F s razlogom t'. Neka u bude specifično pojedinačno opravdanje za vjerovanje da je B, i v, za vjerovanje da je B ∧ R. Uz to, neka bude opravdanje za logičnu istinu B ∧ R → B. Tada je popis pretpostavki:

1. u: B, 'u je razlog da vjerujem da je objekt preda mnom ambar'
2. v:(B ∧ R), 'v je razlog da vjerujem da je objekt preda mnom crvena staja'
3. a:(B ∧ R → B).

Na meta razini, u opisu problema stoji da su 2 i 3 slučajevi znanja, a ne samo vjerovanje, dok je 1 vjerovanje koje nije znanje. Evo kako ide formalno obrazloženje:

1. a:(B ∧ R → B) → (v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B), po principu (1);
2. v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B, od 3 i 4, prijedloškom logikom;
3. [a ⋅ v]: B, iz 2 i 5, prijedloškom logikom.

Primjetite da je zaključak 6: [a ⋅ v]: B, a ne u: B; epistemično zatvaranje drži. Obrazloženjem u logici opravdanja zaključeno je da je [a ⋅ v]: B slučaj znanja, tj. 'Ja znam B s razlogom a ⋅ v'. Činjenica da u: B nije slučaj znanja ne kvari načelo zatvaranja, jer ono zahtijeva znanje posebno za [a ⋅ v]: B. Dakle, nakon što promatram crvenu fasadu, doista znam B, ali to znanje nema nikakve veze s 1, što ostaje slučaj vjerovanja, a ne znanja. Formiranje logike opravdanja prikazuje situaciju prilično.

Praćenje opravdanja predstavlja strukturu primjera Crvene štale na način koji nije obuhvaćen tradicionalnim epistemičkim modalnim alatima. Obrazloženje Logička formalizacija modelira što se čini da se događa u takvom slučaju; zatvaranje znanja pod logičkim podrazumijevanjem zadržava se iako percep nije "poznato". ^[2]

1.2. Matematička logička tradicija

Prema Brouweru, istina u konstruktivnoj (intuicijističkoj) matematici znači postojanje dokaza, usp. (Troelstra i van Dalen, 1988). U 1931.-34., Heyting i Kolmogorov dali su neformalni opis namjeravane dokazne semantike intuicijske logike (Kolmogorov 1932, Heyting 1934), koja se danas naziva semantikom Brouwer-Heyting-Kolmogorov (BHK). Prema uvjetima BHK-a, formula je „istinita“ako ima dokaze. Nadalje, dokaz složene izjave povezan je s dokazima njegovih sastavnih dijelova na sljedeći način:

• dokaz A ∧ B sastoji se od dokaza prijedloga A i dokaza prijedloga B;
• dokaz A ∨ B daje se predstavljanjem dokaza A ili dokaza B;
• dokaz A → B konstrukcija pretvara dokaze A u dokaze B;
• neistina ⊥ prijedlog koji nema dokaz, ¬ A kratica je za A → ⊥.

Kolmogorov je izričito predložio da dokazi slični predmeti u njegovoj interpretaciji ("rješenja problema") potječu iz klasične matematike (Kolmogorov 1932). Doista, s temeljnog gledišta, nema puno smisla razumjeti gore navedene dokaze kao dokaze u intuicijskom sustavu koji ovi uvjeti trebaju biti specifični.

Temeljna vrijednost semantike BHK-a je u tome što neformalno, ali i nedvosmisleno predlaže tretiranje opravdanja, ovdje matematičkih dokaza, kao predmeta s operacijama.

U (Gödel 1933.) Gödel je učinio prvi korak prema razvoju rigorozne semantike za intuicijunizam utemeljene na dokazima. Gödel je klasičnu modalnu logiku S4 smatrao računicom koja opisuje svojstva dokazivosti:

• Aksiomi i pravila klasične propozicijske logike;
• □ (F → G) → (□ F → □ G);
• □ F → F;
• □ F → □□ F;
• Pravilo nužnosti: ako je ⊢ F, onda je ⊢ □ F.

Na temelju Brouwerovog razumijevanja logičke istine kao dokazivosti, Gödel je definirao prijevod tr (F) propozicijske formule F iz intuicijskog jezika u jezik klasične modalne logike: tr (F) se dobiva prefiksiranjem svake podformule F provabilnošću modalitet □. Neformalno gledano, kada se uobičajeni postupak utvrđivanja klasične istine formule primijeni na tr (F), testirat će se provabilnost (a ne istina) svake F-ove podformule u skladu s Brouwerovim idejama. Iz Gödelovih rezultata i McKinsey-Tarskiva rada na topološkoj semantiki za modalnu logiku proizlazi da prijevod tr (F) daje pravilno ugrađivanje intuicijskog propozicijskog izračuna, IPC, u S4, tj. Ugradnju intuicijske logike u klasičnu logiku produženo od strane operatera provjerljivosti.

(3)	Ako IPC dokaže F, tada S4 dokazuje tr (F).

Ipak, nije postignut Gödelov izvorni cilj definiranja intuicijske logike u smislu klasične provabilnosti, budući da veza S4 s uobičajenim matematičkim pojmom proverljivosti nije uspostavljena. Štoviše, Gödel je napomenuo da je izravna ideja interpretacije modaliteta as F kao F dokaziva u određenom formalnom sustavu T u suprotnosti s Gödelovim drugim teoremom nepotpunosti. Doista, □ (□ F → F) se može odrediti u S4 pravilom nužnosti iz aksioma □ F → F. S druge strane, interpretirajući modalitet □ kao predikat formalne dokazivosti u teoriji T i F kao kontradikciju, pretvara ovu formulu u lažnu tvrdnju da je konzistencija T interno dokazana u T-u.

Situacija nakon (Gödel 1933.) može se opisati sljedećom slikom na kojoj „X ↪ Y“treba čitati kao „X se tumači Y“

IPC ↪ S4 ↪? ↪ KLASIČNI DOKAZI

U javnom predavanju u Beču 1938., Gödel je primijetio kako koristi format izričita dokaza:

(4)	t je dokaz F

može pomoći u tumačenju njegove računice dokazivosti S4 (Gödel 1938). Nažalost, Gödelovo djelo (Gödel 1938.) ostalo je neobjavljeno do 1995. godine, do tada je gödelova logika eksplicitnih dokaza već bila ponovno otkrivena i aksiomatizirana kao Logika dokaza LP i opskrbljena teoremima potpunosti koji ga povezuju i s S4 i s klasičnim dokazima (Artemov 1995).

LP iz logike dokaza postao je prvi u obitelji opravdanja. Dokazni pojmovi u LP nisu ništa drugo nego pojmovi BHK-a koji se shvaćaju kao klasični dokazi. Uz LP, propoziciona intuicijska logika dobila je željenu strogu BHK semantiku:

IPC ↪ S4 ↪ LP ↪ KLASIČNI DOKAZI

Za daljnju raspravu o tradiciji matematičke logike, pogledajte Odjeljak 1 dopunskog dokumenta Još nekih tehničkih pitanja.

2. Osnovne komponente logike opravdanja

U ovom su dijelu prikazane sintaksa i aksiomatika najčešćih sustava logike opravdanja.

2.1 Jezik logike opravdanja

Da bi se stvorio formalni prikaz logike opravdanja, potrebno je napraviti osnovnu strukturnu pretpostavku: opravdanja su apstraktni objekti koji na njima imaju strukturu i operacije. Dobar primjer opravdanja pružaju formalni dokazi koji su već dugo bili predmet proučavanja matematičke logike i informatike (usp. Odjeljak 1.2).

Obrazloženje Logika je formalni logički okvir koji uključuje epistemičke tvrdnje t: F, zalaganje za 't je opravdanje za F'. Obrazloženje Logika ne analizira izravno što znači za t opravdati F izvan formata t: F, već pokušava ovaj odnos osetiti aksiomatično. To je slično načinu na koji Boolova logika tretira svoje spojeve, recimo, razdvajanje: ona ne analizira formulu p ∨ q, već pretpostavlja određene logičke aksiome i tablice istine o ovoj formuli.

Doneseno je nekoliko dizajnerskih odluka. Obrazloženje Logika polazi od najjednostavnije baze: klasične logičke logike i to iz dobrih razloga. Opravdanja pružaju dovoljno ozbiljan izazov čak i na najjednostavnijoj razini. Paradigmatični primjeri Russela, Goldmana-Kripkea, Gettiera i drugih mogu se obraditi s logikom logike opravdanja. Jezgra Epistemic Logic-a sastoji se od modalnih sustava s klasičnom logičkom bazom (K, T, K4, S4, K45, KD45, S5 itd.), A svaki od njih ima odgovarajući pratitelj Logika utemeljen na logičkoj logici, Konačno, ne može se pretpostaviti uvijek vjerojatnost opravdanja. To omogućuje uhvatiti suštinu rasprava u epistemologiji koja uključuje pitanja vjerovanja, a ne znanja.

Osnovna operacija na obrazloženjima su primjena i zbroj. Operacija aplikacije uzima opravdanja s i t i daje opravdanje s takvim da ako su s:(F → G) i t: F, onda [s ⋅ t]: G. simbolično,

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G)

To je osnovno svojstvo opravdanja pretpostavljenih u kombinatornoj logici i λ -calculi (Troelstra i Schwichtenberg 1996), Brouwer-Heyting-Kolmogorov semantika (Troelstra i van Dalen 1988), Kleeneovoj realizaciji (Kleene 1945), Logika dokaza dokaza, itd.,

Bilo koja dva opravdanja mogu se sigurno kombinirati u nešto šireg opsega. To se izvodi pomoću operativnog zbroja '+'. Ako je s: F, bez obzira koji dokazi mogu biti, kombinirani dokazi s + t ostaju opravdanje za F. Točnije, operacija '+' uzima opravdanja s i t i stvara s + t, što je opravdanje za sve opravdano s ili t.

s: F → [s + t]: F i t: F → [s + t]: F

Kao motivaciju može se s i t smatrati dva sveska enciklopedije, a s + t kao skupom tih dviju svezaka. Zamislite da jedan od svezaka, recimo s, sadrži dovoljno opravdanja za prijedlog F, tj. S: F je slučaj. Tada veći skup s + t sadrži i dovoljno opravdanja za F, [s + t]: F. U odjeljku 1.2 logike dokaza o dokazu, 's + t' se može protumačiti kao spajanje dokaza s i t.

2.2. Osnovno opravdanje Logika J ₀

Izrazi za opravdanje izgrađeni su iz varijabli opravdanja x, y, z,… i konstante opravdanja a, b, c,… (s indeksima i = 1, 2, 3,… koje se izuzimaju kad god je to sigurno) pomoću operacija ' ⋅ 'i' + '. Složenija logika koja se razmatra u nastavku omogućuje i dodatne operacije na obrazloženjima. Konstante označavaju atomska opravdanja koja sustav ne analizira; varijable označavaju neodređena opravdanja. Osnovna logika opravdanja, J ₀ aksiomatizirana je sljedećim.

Klasična logika

Klasični propozicijski aksiomi i pravilo Modus Ponens

Aksiom primjene

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G),

Zbirni aksiomi

s: F → [s + t]: F, s: F → [t + s]: F.

J ₀ je logika općih (ne nužno faktivnih) opravdanja za apsolutno skeptičnog agensa za koji nijedna formula nije opravdano opravdana, tj. J ₀ ne izvodi t: F za bilo koji t i F. Takav agent, međutim, može izvući relativne zaključke obrazloženja obrasca

Ako je x: A, y: B,…, z: C držite, onda t: F.

Sa ovim kapacitetom J ₀ je u stanju adekvatno oponašati ostale logičke sustave na svom jeziku.

2.3 Logička svjesnost i stalne specifikacije

Načelo logičke svijesti kaže da su logični aksiomi opravdani po službenoj dužnosti: agent prihvaća logičke aksiome kao opravdane (uključujući one koji se tiču opravdanja). Kao što je već rečeno, logička svijest može biti prejaka u nekim epiztemskim situacijama. Međutim, obrazloženje Logika nudi fleksibilan mehanizam stalnih specifikacija za predstavljanje različitih nijansi logičke svijesti.

Naravno, razlikuje se između pretpostavke i opravdane pretpostavke. U obrazloženju Logičke konstante koriste se za predstavljanje opravdanja pretpostavki u situacijama u kojima se oni dalje ne analiziraju. Pretpostavimo da je poželjno postulirati da je aksiom A opravdan za spoznaju. Jednostavno postulira e ₁: A za neku konstantu dokaza e ₁ (s indeksom 1). Ako se, nadalje, želi postulirati da je i ovaj novi princip e ₁: A također opravdan, može se postulirati e ₂:(e ₁: A) za konstantnu e ₂(s indeksom 2). I tako dalje. Praćenje indeksa nije potrebno, ali je jednostavno i pomaže u postupcima odlučivanja (Kuznets 2008). Skup svih pretpostavki ove vrste za određenu logiku naziva se stalnom specifikacijom. Evo formalne definicije:

Constant Specifikacija CS za dani opravdanje logičke L je skupina formule u obliku

e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A (n ≥ 1),

gdje je A aksiom L, a e ₁, e ₂,…, e _n su slične konstante s indeksima 1, 2,…, n. Pretpostavlja se da CS sadrži sve intermedijarne specifikacije, tj. Kad god je e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A je u CS, tada je i _{n −1}:…: e ₁: A je i u CS.

Postoji niz posebnih uvjeta koji su stavljeni na stalne specifikacije u literaturi. Slijede najčešći.

Prazan

CS = ∅. To odgovara apsolutno skeptičnom agentu. To iznosi rad s logikom J ₀.

konačan

CS je konačni skup formula. Ovo je potpuno reprezentativan slučaj, jer će svaka specifična izvedenica u Logičkoj opravdanosti uključivati samo ograničeni skup konstanti.

Aksiomatski prikladno

Svaki aksiom, uključujući one koji su tek stečeni stalnom specifikacijom, ima svoje opravdanje. U formalnoj postavci za svaki aksiom A postoji konstanta e ₁ takva da je e ₁: A u CS, a ako je e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A ∈ CS, tada je _{n n +1}: e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A ∈ CS, za svaki n ≥ 1. Aksiomatično odgovarajuće konstantne specifikacije potrebne su za osiguranje svojstva internalizacije, o kojem se raspravlja na kraju ovog odjeljka.

ukupno

Za svaki aksiom A i bilo koje konstante e ₁, e ₂, … e _n,

e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A ∈ CS.

Naziv TCS rezerviran je za ukupnu konstantnu specifikaciju (za zadanu logiku). Naravno, ukupna konstanta specifikacije je aksiomatski prikladna.

Sada možemo odrediti:

Logika opravdanja s zadanom stalnom specifikacijom:

Neka CS bude konstantna specifikacija. J _CS je logika J ₀ + CS; aksiomi su oni J ₀ zajedno s članovima CS-a, a jedino pravilo zaključivanja je Modus Ponens. Imajte na umu da je J ₀ J _∅.

Logika opravdanja

J je logika J ₀ + Pravilo internalizacije aksioma. Novo pravilo kaže:

Za svaki aksiom A i bilo koje konstante e ₁, e ₂,…, e _n zaključimo _n: e _{n −1}:…: e ₁: A.

Potonje utjelovljuje ideju neograničene logičke svijesti za J. Slično pravilo pojavilo se i u LP Logic of Proofs, a isto se tako očekivalo u Goldmanovoj (Goldman 1967). Logička svjesnost, izražena aksiomatično odgovarajućim stalnim specifikacijama, izričito je utjelovljenje pravila nužnosti u modalnoj logici: ⊢ F ⇒ ⊢ □ F, ali ograničeno na aksiome. Imajte na umu da se J podudara s J _TCS.

Ključna značajka Obrazloženja Logički sustavi su njihova sposobnost da internaliziraju vlastite izvode kao dokazive tvrdnje opravdanja unutar svojih jezika. Ovaj je objekt predviđen u (Gödel 1938.).

Teorem 1: Za svaku aksiomatično odgovarajuću konstantnu specifikaciju CS, J _CS uživa internalizaciju:

Ako je ⊢ F, tada je ⊢ p: F za neki pojam opravdanja p.

Dokaz. Indukcija na duljini izvedbe. Pretpostavimo ⊢ F. Ako je F član J ₀ ili član CS, postoji konstantna e _n (gdje n može biti 1) takva da je e _n: F u CS, jer je CS aksiomatično prikladan. Tada je e _n: F izvedljivo. Ako je F dobiven od Modus Ponens iz X → F i X, tada je, prema hipotezi indukcije, some s:(X → F) i ⊢ t: X za neki s, t. Koristeći aplikacijski aksiom, ⊢ [s ⋅ t]: F.

Pogledajte odjeljak 2 dopunskog dokumenta Neke više tehničkih pitanja za primjere konkretnih sintaktičkih izvedenica u logici opravdanja.

2.4 Faktičnost

Faktičnost kaže da su opravdanja dovoljna da agent zaključi istinu. To je utjelovljeno u sljedećem.

Aksiom faktivnosti t: F → F.

Aksiom faktivnosti ima sličnu motivaciju kao Istiniti aksiom eppistemske logike, → F → F, koji je široko prihvaćen kao osnovno svojstvo znanja.

Za razliku od principa primjene i zbroja, u osnovnim logičkim sustavima opravdanja nije potrebna faktifikacija opravdanja koja ih omogućuje da predstavljaju i djelomična i faktivna opravdanja. Aksiom faktivnosti pojavio se u LP Logika dokaza, odjeljak 1.2, kao glavna značajka matematičkih dokaza. Doista, u ovoj postavci faktičnost jasno vrijedi: ako postoji matematički dokaz t F, tada F mora biti istinit.

Aksiom faktivnosti prihvaćen je zbog opravdanja koja vode ka znanju. Međutim, sama stvarnost ne jamči znanje, kao što su pokazali primjeri Gettiera (Gettier 1963).

Logika stvarnih opravdanja

• JT ₀ = J ₀ + faktivnost;
• JT = J + faktivnost.

Sustavi JT _{CS koji} odgovaraju konstantnim specifikacijama CS definirani su kao u odjeljku 2.3.

2.5 Pozitivna introspekcija

Jedno od najčešćih načela znanja je identificiranje znanja i znanje onoga što se zna. U modalnim postavkama to odgovara □ F → □□ F. Ovo načelo ima odgovarajuću eksplicitnu suprotnost: činjenica da agent prihvaća t kao dovoljan dokaz za F služi kao dovoljan dokaz za t: F. Često takvi „meta-dokazi“imaju fizički oblik: izvještaj suca koji potvrđuje da je dokaz u radu ispravan; izlaz za računalnu verifikaciju s formalnim dokazom t F kao ulazom; formalni dokaz da je t dokaz F, itd. Pozitivna introspekcijska operacija '!' može se dodati jeziku u tu svrhu; tada se pretpostavlja da s obzirom na t, agent proizvodi opravdanje! t of t: F takav da t: F →! t:(t: F). Pozitivna introspekcija u ovom se operativnom obliku prvi put pojavila u LP Logic of Proofs.

Aksiom pozitivne introspekcije: t: F →! t:(t: F).

Zatim definiramo:

• J4: = J + pozitivna introspekcija;
• LP: = JT + pozitivna introspekcija. ^[3]

Logika J4 ₀, J4 _CS, LP ₀ i LP _CS definirana su na prirodan način (usp. Odjeljak 2.3). Izravni analog teorema 1 vrijedi i za J4 _CS i LP _CS.

U prisutnosti pozitivnog introksiovnog aksioma, može se ograničiti opseg pravila internalizacije aksioma na internalizirajuće aksiome koji nisu u obliku e: A. Ovako je to učinjeno u LP-u: Internalizacija aksioma tada se može oponašati korištenjem !! e:(! e:(e: A)) umjesto e ₃:(e ₂:(e ₁: A)) itd. Pojam stalne specifikacije također se može u skladu s tim pojednostaviti. Takve su izmjene manje i ne utječu na glavne teoreme i primjenu Logike opravdanja.

2.6 Negativna introspekcija

(Pacuit 2006, Rubtsova 2006) smatrao je negativnu introspekcijsku operaciju '?' što potvrđuje da je dana navedena tvrdnja opravdanja lažna. Moguća motivacija za razmatranje takve operacije je pozitivna samopregledna operacija '!' može se smatrati sposobnim pružiti uvjerljive presude o provjeri valjanosti tvrdnji opravdanja t: F, pa kad t nije opravdanje za F, takav je '!' treba zaključiti da ¬ t: F. To se obično događa kod provjeravača računalnih dokaza, provjeravanja dokaza u formalnim teorijama itd. Ova je motivacija, međutim, nijansirana: primjeri verifikatora dokaza i ispitivači provjere djeluju s ulazima t i F kao ulaz, dok je Pacuit-Rubtsova format? t sugerira da je jedini ulaz za '?' je opravdanje t, a rezultat? t bi trebao opravdati prijedloge ¬ t:F ravnomjerno za sve F s za koje t: F ne vrijedi. Takva operacija '?' ne postoji od formalnih matematičkih dokaza od tada? t bi tada trebao biti pojedinačni dokaz beskonačno mnogih propozicija ¬ t: F, što je nemoguće.

Aksiom negativne introspekcije ¬ t: F →? t: (¬ t: F)

Definiramo sustave:

• J45 = J4 + negativna introspekcija;
• JD45 = J45 + ¬ t: ⊥;
• JT45 = J45 + Factivity

i prirodno proširiti ove definicije u J45 _CS, JD45 _CS i JT45 _CS. Izravni analogni Teorem 1. drži za J45 _CS, JD45 _CS i JT45 _CS.

3. Semantika

Sada standardna semantika logike opravdanja potječe iz (Fitting 2005) - korišteni modeli se u literaturi uglavnom nazivaju Fitting modeli, ali će se ovdje nazvati mogući svjetski modeli opravdanja. Mogući su modeli svjetskog opravdanja amalgam poznate moguće svjetske semantike za logiku znanja i vjerovanja, zahvaljujući Hintikki i Kripkeu, s strojevima specifičnim za pojmove opravdanja, koje je uveo Mkrtychev u (Mkrtychev 1997), (usp. Odjeljak 3.4).

3.1 Mogući svjetski modeli opravdanja za jednog agenta za J

Da budemo precizni, treba definirati semantiku za J _CS, gdje je CS bilo koja stalna specifikacija. Formalno, mogući svjetski logički model opravdanja za J _CS je struktura M = ⟨G, R, E, V⟩. Od toga je ⟨G, R⟩ standardni K okvir, gdje je G skup mogućih svjetova i R je binarni odnos na njemu. V je preslikavanje od propozicijskih varijabli na podskupine G, specificiranje atomske istine u mogućim svjetovima.

Nova stavka je E, dokazna funkcija koja je nastala u (Mkrtychev 1997). Ovim se preslikavaju pojmovi i formule opravdanja u skupove svjetova. Intuitivna ideja je: ako je mogući svijet Γ u E (t, X), t je relevantan ili prihvatljiv dokaz za X u svijetu Γ. Ne treba smatrati relevantne dokaze uvjerljivim. Umjesto toga, mislite na to kao na dokaze koji se mogu priznati na sudu: ovo svjedočenje, ovaj dokument nešto je što bi porota trebala ispitati, nešto što je primjereno, ali nešto o čijem statusu utvrđivanja istine tek treba razmotriti. Dokazne funkcije moraju ispunjavati određene uvjete, ali o njima se raspravlja malo kasnije.

S obzirom na J _CS mogući svjetski model opravdanja M = ⟨G, R, E, V⟩, istina formule X u mogućem svijetu Γ označena je s M, Γ ⊩ X, a potrebna je za ispunjavanje sljedećih standardnih uvjeta:

Za svaki Γ ∈ G:

1. M, Γ ⊩ P iff Γ ∈ V (P) za P prijedložno slovo;
2. nije slučaj da je M, Γ ⊩ ⊥;
3. M, Γ ⊩ X → Y ako nije slučaj da su M, Γ ⊩ X ili M, Γ ⊩ Y.

Oni samo govore da je atomska istina određena proizvoljno, a propozicioni veziva ponašaju se istinom u funkcionalnom smislu u svakom svijetu. Ključna stavka je sljedeća.

M, Γ ⊩ (t: X) ako i samo ako je Γ ∈ E (t, X) i, za svaki Δ ∈ G s Γ R Δ, imamo to M, Δ ⊩ X

Ovo se stanje dijeli na dva dijela. Odredba koja zahtijeva da je M, Δ ⊩ X za svaki Δ ∈ G takav da je Γ R Δ poznati Hintikka / Kripkeov uvjet da se u X može vjerovati ili biti vjerodostojan, Γ. Odredba koja zahtijeva da Γ ∈ E (t, X) dodaje da t treba biti relevantan dokaz za X na Γ. Onda, neformalno, t: X je istinito u mogućem svijetu ako je X vjerovan u taj svijet u uobičajenom smislu eppistemske logike, a t je relevantan dokaz za X u tom svijetu.

Važno je shvatiti da, u ovoj semantika, čovjek ne može vjerovati nečemu iz određenog razloga u svijetu bilo zato što jednostavno nije vjerovatno, ili zato što jest, ali razlog nije prikladan.

Neki se uvjeti moraju postaviti u dokazne funkcije, a stalne specifikacije također se moraju unijeti u sliku. Pretpostavimo da su jedan i s i t dobili opravdanja. Moguće ih je kombinirati na dva različita načina: istovremeno koristiti informacije s oba; ili upotrijebite podatke samo jednog od njih, ali prvo odaberite koji. Svaka od njih potiče osnovnu operaciju pod uvjetima opravdanja ⋅ i +, aksiomatično uveden u odjeljak 2.2.

Pretpostavimo da je s relevantan dokaz o implikaciji i t je relevantan dokaz za prethodnika. Tada s i t zajedno pružaju relevantne dokaze za posljedično. Pretpostavlja se sljedeći uvjet u dokaznim funkcijama:

E (s, X → Y) ∩E (t, X) ⊆ E (s ⋅ t, Y)

Uz ovaj uvjet dodan je rok valjanosti

s:(X → Y) → (t: X → [s ⋅ t]: Y)

je osigurana.

Ako su s i t dokazni predmeti, moglo bi se reći da je nešto opravdano jednim od s ili t, bez da se trudite navesti koji i to će i dalje biti dokaz. Sljedeći uvjet nameće se dokaznim funkcijama.

E (s, X) ∪ E (t, X) ⊆ E (s + t, X)

Nije iznenađujuće i jedno i drugo

s: X → [s + t]: X

i

t: X → [s + t]: X

sada drži.

Na kraju, valja uzeti u obzir i konstantnu specifikaciju CS-a. Podsjetimo da su konstante namijenjene predstavljanju razloga za osnovne pretpostavke koje su usvojene. Model M = ⟨G, R, E, V⟩ ispunjava CS stalne specifikacije: ako je c: X ∈ CS, onda je E (c, X) = G.

Mogući svjetski model opravdanja Mogući svjetski model opravdanja za J _CS je struktura M = ⟨G, R, E, V⟩ koja zadovoljava sve gore navedene uvjete i koja ispunjava stalnu specifikaciju CS.

Unatoč njihovim sličnostima, mogući svjetski modeli opravdanja omogućuju finozrnu analizu koja kod Kripke modela nije moguća. Pogledajte odjeljak 3 dodatnog dokumenta Neke više tehničkih pitanja za više pojedinosti.

3.2 Slaba i snažna kompletnost

Formula X vrijedi u određenom modelu za J _CS ako je istinita u svim mogućim svjetovima modela. Aksiomatika za J _CS navedena je u odjeljcima 2.2 i 2.3. Teorem o cjelovitosti sada poprima očekivani oblik.

Teorem 2: Formula X je dokazana u J _CS ako i samo ako X vrijedi u svim J _CS modelima.

Kao što je upravo rečeno teorem o potpunosti, ponekad se naziva i slaba potpunost. Možda je malo iznenađujuće da je za modalnu logiku K. značajno lakše dokazati nego cjelovitost. Komentari o ovoj točki slijede. S druge strane, vrlo je općenito, radi za sve stalne specifikacije.

U (Fitting 2005) uvedena je i jača verzija semantike. Model M = ⟨G, R, E, V⟩ naziva se potpuno objašnjenim ako ispunjava sljedeći uvjet. Za svaki Γ ∈ G, ako je M, Δ ⊩ X za sve Δ ∈ G, tako da je Γ R Δ, onda je M, Γ ⊩ t: X za neki pojam opravdanja t. Imajte na umu da je uvjet, M, Δ ⊩ X za sve Δ ∈ G takav da je Γ R Δ, uobičajeni uvjet da je X vjerovan na Γ u smislu Hintikka / Kripke. Dakle, potpuno objašnjeno zaista govori da, ako je formula moguća u mogućem svijetu, za to postoji opravdanje.

Nisu svi slabi modeli u potpunosti ispunjeni uvjeti. Modeli koji to nazivaju jaki su modeli. Ako je konstantna specifikacija CS dovoljno bogata da bi se držala teorema o internalizaciji, tada je cjelovitost s obzirom na snažne modele koji zadovoljavaju CS. Zapravo, u odgovarajućem smislu potpunost u odnosu na snažne modele ekvivalentna je mogućnosti dokazivanja internalizacije.

Dokaz cjelovitosti s obzirom na jake modele ima sličnu sličnost s dokazom cjelovitosti koristeći kanonske modele za modalnu logiku K. Zauzvrat, snažni modeli se mogu koristiti da daju semantički dokaz teoreme realizacije (usp. Odjeljak 4),

3.3 Obitelj za jednog agenta

Do sada se raspravlja o mogućoj svjetskoj semantičari za jednu logiku opravdanja, za J, kolegu K. Sada su stvari proširene tako da obuhvataju analoge opravdanja drugih poznatih modalnih logika.

Jednostavnim dodavanjem refleksivnosti odnosa pristupačnosti R uvjetima na modelu iz odjeljka 3.1, dobiva se valjanost t: X → X za svaki t i X, a dobiva semantiku za JT, analogiju logike opravdanja modalne logike T, najslabija logika znanja. Doista, ako je M, Γ ⊩ t: X, tada je X posebno istinit u svakom stanju dostupnom od Γ. Budući da je odnos pristupačnosti potreban da bude refleksivan, M, Γ ⊩ X. Teoremi slabe i jake cjelovitosti mogu se provjeriti korištenjem istih strojeva koji su primijenjeni u slučaju J, a dostupan je i semantički dokaz teoreme realizacije koji povezuje JT i T. Isto se odnosi na logiku o kojoj je riječ u daljnjem tekstu.

Za analogiju K4 opravdanje dodatni jednolik operator '!' dodaje se izrazu jezik, vidi odjeljak 2.5. Podsjetimo ovog operatora preslikava opravdanja u opravdanja, pri čemu je ideja da ako je t opravdanje za X, tada! t treba biti opravdanje za t: X. Semantički to dodaje uvjete za model M = ⟨G, R, E, V⟩, kako slijedi.

Prvo, naravno, R treba biti tranzitivan, ali ne nužno i refleksivan. Drugo, potreban je uvjet monotonosti u dokaznim funkcijama:

Ako su Γ R Δ i Γ ∈ E (t, X), tada je Δ ∈ E (t, X)

I na kraju, potreban je još jedan uvjet funkcioniranja dokaza.

E (t, X) ⊆ E (! T, t: X)

Ovi uvjeti zajedno podrazumijevaju valjanost t: X →! t: t: X i proizvesti semantiku za J4, analogiju K4 opravdanja, s teoremom realizacije koji ih povezuje. Dodavanje refleksije dovodi do logike koja se iz povijesnih razloga naziva LP.

Može se dodati i operator negativne introspekcije, '?', Vidjeti odjeljak 2.6. Modeli logike opravdanja koji uključuju ovog operatora dodaju tri uvjeta. Prvo R je simetrično. Drugo, dodaje se uvjet koji je postao poznat kao snažan dokaz: M, Γ ⊩ t: X za sve Γ ∈ E (t, X). I na kraju, postoji uvjet u funkciji dokaznog postupka:

E (t, X) ⊆ E (? T, ¬ t: X)

Ako se ovom stroju doda J4, dobivamo logiku J45, kontra opravdanja K45. Aksiomatična stabilnost i cjelovitost može se dokazati. Na sličan način mogu se formulirati povezane logike JD45 i JT45.

Teorema realizacije koja uzima u obzir ovog operatera prikazana je u (Rubtsova 2006).

3.4 Modeli jedinstvenog svjetskog opravdanja

Modeli jedinstvenog svjetskog opravdanja razvijeni su znatno prije općenitijih mogućih svjetskih modela opravdanja o kojima smo razgovarali (Mkrtychev 1997). Danas se najjednostavnije mogu razmišljati o mogućim modelima opravdanja u svijetu koji slučajno imaju jedan svijet. Dokaz cjelovitosti za J i ostale gore spomenute logike opravdanja može se lako izmijeniti da bi se uspostavila cjelovitost u odnosu na modele jedinstvenog svjetskog opravdanja, mada, naravno, to nije bio izvorni argument. Potpuna potpunost u odnosu na modele jedinstvenog svjetskog opravdanja govori nam da se informacije o mogućoj svjetskoj strukturi modela opravdanja mogu u potpunosti kodirati dopuštenom dokaznom funkcijom, barem za dosad raspravu o logikama. Mkrtychev je koristio jedinstvene svjetske modele opravdanja za utvrđivanje odlučivosti LP-a,i drugi su ih temeljno iskoristili u postavljanju granica složenosti za logiku opravdanja, kao i za prikazivanje rezultata konzervativnosti za logiku vjerovanja opravdanja (Kuznets 2000, Kuznets 2008, Milnikel 2007, Milnikel 2009). Rezultati složenosti nadalje su korišteni za rješavanje problema logičke sveznanja.

4. Teoreme realizacije

Prirodni modalni epistemski pandan tvrdnji o dokazima t: F je □ F, čitajte za neke x, x: F. Ovo promatranje dovodi do pojma zaboravne projekcije koja zamjenjuje svaku pojavu t: F □ F i stoga pretvara obrazloženje Logička rečenica S u odgovarajuću modalnu logičku rečenicu S ^o. Zaboravljiva projekcija prirodno se proteže od rečenica do logike.

Očigledno, različite opravdanosti Logičke rečenice mogu imati istu zaboravnu projekciju, stoga S ^o gubi određene podatke koji su sadržani u S. Međutim, lako je uočiti da zaboravna projekcija uvijek preslikava važeće formule Logike opravdanja (npr. Aksiomi J) u valjane formule odgovarajuće epiztemičke logike (K u ovom slučaju). Suprotno tome, vrijedi i svaka valjana formula epiztemičke logike zaboravna je projekcija neke valjane formule logike opravdanja. To proizlazi iz teorema korespondencije 3.

Teorem 3: J ^o = K.

Ova se korespondencija odnosi na druge parove Obrazloženja i Epistemički sustavi, na primjer, J4 i K4, ili LP i S4, i mnogi drugi. U tako proširenom obliku teorem dopisivanja pokazuje da glavne modalne logike kao što su K, T, K4, S4, K45, S5 i neke druge imaju točne dijelove logike opravdanja.

U srži teorema korespondencije nalazi se sljedeća teorema realizacije.

Teorem 4: Postoji algoritam koji svakoj modalnoj formuli F koja se može izvesti u K dodijeli dokazne pojmove svakoj pojavi modaliteta u F na takav način da rezultirajuća formula F ^r može biti izvedljiva u J. Štoviše, realizacija dodjeljuje varijable dokaza na negativne pojave modalnih operatora u F, poštujući tako egzistencijalno čitanje epistemičke modalnosti.

Poznati algoritmi realizacije koji oporavljaju dokazne pojmove u modalnim teoremama koriste rezne izvedbe u odgovarajućim modalnim logikama. Teorem realizacije se može semantički uspostaviti Fittingovom metodom ili njezinim odgovarajućim modifikacijama. U principu, ovi semantički argumenti također proizvode postupke realizacije koji se temelje na iscrpnom traženju.

Bilo bi pogrešno izvući zaključak da svaka modalna logika ima razuman logički koleg. Na primjer, logika formalne dokazivosti, GL, (Boolos 1993) sadrži načelo Löba:

(5)	□ (□ F → F) → □ F,

za koje se čini da nema epitetski prihvatljive eksplicitne verzije. Uzmimo, primjerice, slučaj gdje je F konstanta prijedloga ⊥ za lažno. Ako bi analogan teoremu 4 obuhvatio Löbovo načelo, postojali bi uvjeti opravdanja s i t takvi da su x:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥. Ali to je intuitivno lažno za faktivno opravdanje. Zapravo je s: ⊥ → ⊥ primjer Aksioma fakultativnosti. Primijenite internalizaciju aksioma da biste dobili c:(s: ⊥ → ⊥) za neku konstantu c. Ovaj izbor c čini antecedent of c:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥ intuitivno istinit, a zaključak lažan ^[4]. Konkretno, Löbovo načelo (5) ne vrijedi za dokazno tumačenje (usp. (Goris 2007) za cjelovit prikaz koji su principi GL moguće realizirati).

Teorem dopisivanja daje svjež uvid u epiztemičku modalnu logiku. Najvažnije je da pruža novu semantiku za glavne modalne logike. Pored tradicionalnog „univerzalnog“čitanja □ F kao što je F u svim mogućim situacijama, u stilu Kripkea, sada postoji stroga „egzistencijalna“semantika za □F koja se može iščitati ako postoji svjedok (dokaz, opravdanje) za Ž.

Obrazloženje Semantika ima sličnu ulogu u Modalnoj logici kao ona koju je reagirala Kleene u Intuitionističkoj logici. U oba slučaja namjeravana semantika je egzistencijalna: Brouwer-Heyting-Kolmogorov interpretacija intuicijske logike (Heyting 1934, Troelstra i van Dalen 1988, van Dalen 1986) i Gödelovo čitanje S4 (Gödel 1933, Gödel 1938). U oba slučaja postoji moguće semantika univerzalnog svijetalik koji je vrlo moćan i dominantan tehnički alat. Međutim, ne bavi se egzistencijalnim karakterom namjeravane semantike. Potrebna je Kleeneova realizacija (Kleene 1945, Troelstra 1998.) da bi otkrila računsku semantiku intuicijske logike i logike dokaza da bi omogućila točnu BHK semantiku dokaza za intuicionističku i modalnu logiku.

U epiztemskom kontekstu, Obrazloženje Logika i teorem dopisivanja dodaju novu komponentu 'opravdanja' modalnoj logici znanja i vjerovanja. Opet, ova nova komponenta bila je, u stvari, stari i središnji pojam o kojem su široko raspravljali glavni tokovi epistemolozi, ali koji je ostao izvan okvira klasične epiztemske logike. Teorem za dopisivanje govori nam da su opravdanja kompatibilna sa sustavima u stilu Hintikka i stoga se mogu sigurno uključiti u temelj Epistemičke modalne logike.

Pogledajte odjeljak 4. dopunskog dokumenta Neke više tehničkih pitanja za više o teoremama realizacije.

5. Generalizacije

Do sada su u ovom članku razmatrane samo logike opravdanja s jednim agentom, analogne logici znanja s jednim agentom. Obrazloženje Logika se može smatrati logikom eksplicitnog znanja, koja je povezana s konvencionalnijom logikom implicitnog znanja. U literaturi je istraživan niz sustava koji su gore navedeni, koji uključuju više agenata ili imaju implicitne i eksplicitne operatore ili neku kombinaciju ovih.

5.1 Miješanje eksplicitnog i implicitnog znanja

Budući da logika opravdanja pruža eksplicitna opravdanja, dok konvencionalna logika znanja daje implicitnog operatera znanja, prirodno je razmotriti njihovo kombiniranje u jednom sustavu. Najčešća zajednička logika eksplicitnog i implicitnog znanja je S4LP (Artemov i Nogina 2005). S4LP je jezik poput LP-a, ali dodaje se implicitni operator znanja, napisan ili K ili □. Aksiomatika je poput LP-a, u kombinaciji s S4-om za implicitni operator, zajedno s aksiomom koji povezuje, t: X → □ X, sve što ima izričito opravdanje može se znati.

Semantički, mogući svjetski modeli opravdanja za LP ne trebaju modificirati, jer već imaju svu mehanizaciju Hintikka / Kripke modela. Jedan modelira □ operatora na uobičajen način, koristeći samo odnos pristupačnosti, a jedan modelira izraze opravdanja opisane u odjeljku 3.1, koristeći i pristupnost i funkciju dokaza. Kako je uobičajeni uvjet da je true X istinito u svijetu jedan od dviju klauzula uvjeta da je t: X istinito, to odmah daje valjanost t: X → □ X, a zvučnost slijedi lako. Aksiomatska cjelovitost također je prilično jednostavna.

U S4LP predstavljeno je implicitno i eksplicitno znanje, ali u mogućoj semantičkoj modelu svjetskog opravdanja jedan odnos pristupačnosti služi obojici. To nije jedini način da se to postigne. Općenito gledano, izričiti odnos pristupačnosti znanja mogao bi biti odgovarajuće proširenje odnosa za implicitno znanje. To predstavlja viziju eksplicitnog znanja kao da ima strože standarde za ono što se smatra poznatim nego viđenje implicitnog znanja. Korištenje različitih odnosa pristupačnosti za eksplicitne i implicitne spoznaje postaje nužno kada se ti epiztemski pojmovi pokoravaju različitim logičkim zakonima, npr., S5 za implicitno znanje i LP za eksplicitno. Slučaj višestrukih pristupačnih pristupa uobičajeno je u literaturi poznat kao Artemov-Fitting modeli, ali ovdje će biti nazvani mogući svjetski modeli s više agencija. (usp. odjeljak 5.2).

Zanimljivo je, iako se logika S4LP čini sasvim prirodnom, teorema realizacije za njega je problematična: ne može se dokazati takva teorema ako se inzistira na onome što se naziva normalnim realizacijama (Kuznets 2010). Realizacija implicitnih modaliteta znanja u S4LP eksplicitnim obrazloženjima koja bi uvažila epistemičku strukturu ostaje glavni izazov u ovom području.

Interakcije između implicitnog i eksplicitnog znanja ponekad mogu biti prilično osjetljive. Kao primjer, uzmite u obzir sljedeći miješani princip negativne introspekcije (opet □ treba čitati kao implicitni epistemski operator),

(6)	¬ t: X → □ ¬ t: X.

Iz perspektive provjerljivosti, to je pravi oblik negativne introspekcije. Doista, neka se □ F tumači kao F dokaziv, a t: F kao t dokaz F u datoj formalnoj teoriji T, npr., U Peano aritmetičkoj PA. Tada (6) navodi princip koji se može dokazati. Doista, ako t nije dokaz F, budući da je ta izjava odlučna, može se utvrditi unutar T, stoga je u T ta rečenica dokazana. S druge strane, dokaz p 't nije dokaz F' ovisi i o t i F, p = p (t, F) i ne može se izračunati s obzirom na t. U tom pogledu, □ ne može biti zamijenjen bilo kojim određenim dokaznim izrazom, ovisno samo o t, i (6) ne može biti predstavljen u potpuno eksplicitnom obliku stila opravdanja.

Prvi primjeri eksplicitnih / implicitnih sustava znanja pojavili su se na području logike provjerljivosti. U (Sidon 1997, Yavorskaya (Sidon) 2001) uveden je logički LPP koji je kombinirao logiku proverljivosti GL s logikom dokaza LP, ali kako bi se osiguralo da rezultirajući sustav ima poželjna logička svojstva, neke dodatne operacije izvan izvornih jezika dodani su GL i LP. U (Nogina 2006, Nogina 2007) ponuđen je cjeloviti logički sustav, GLA, za dokaz i dokazivost, u zbroju izvornih jezika GL i LP. I LPP i GLA uživaju cjelovitost u odnosu na klasu aritmetičkih modela, a također i u odnosu na klasu mogućih svjetskih modela opravdanja.

Drugi primjer načela provjerljivosti koji se ne može u potpunosti razjasniti je Löbovo načelo (5). Za svaki LPP i GLA lako je pronaći dokazni izraz l (x) takav

(7)	x: (□ F → F) → l (x): F

drži. Međutim, ne postoji realizacija koja sve tri slike u (5) čini eksplicitnima. Zapravo, skup ostvarivih načela provabilnosti je sjecište GL i S4 (Goris 2007).

5.2 Mogući svjetski modeli opravdanja za više agencija

U modelima mogućih svjetskih opravdanja korišteni su višestruki odnosi pristupačnosti s njihovim međusobnim vezama (Artemov 2006). Ideja je da postoji više agenata, svaki s implicitnim operatorom znanja, a postoje i opravdani pojmovi, koje svaki agent razumije. Svako razumije izričite razloge; ovi iznosi zajedničko znanje temeljeno na dokazima.

N -agent mogući model svijeta opravdanje je struktura ⟨G, R ₁, …, R _n, R, E, V⟩ ispunjava sljedeće uvjete. G je skup mogućih svjetova. Svaki R ₁, …, R _n pristupačnosti odnos, po jedan za svaki agens. Za njih se može pretpostaviti da su prema želji refleksivni, tranzitivni ili simetrični. Koriste se za modeliranje implicitnih agentskih znanja za obitelj agenata. Odnos pristupa R zadovoljava uvjete LP, refleksivnost i tranzitivnost. Koristi se u modeliranju eksplicitnih znanja. E je dokazna funkcija koja ispunjava iste uvjete kao i LP za točku u odjeljku 3.3. V prikazuje predloška slova u skupove svjetova, kao i obično. Nameće se poseban uvjet: za svaki i = 1,…, n, R _i ⊆ R.

Ako je m = ⟨G, R ₁, …, R _n, R, E, V⟩ je više moguće sredstvo svijetu opravdanje modela istina-na-a-svijet veza, M, Γ ⊩ X, je definiran u većini uobičajene klauzule. Oni od posebnog interesa su:

• M, Γ ⊩ K _i X ako i samo ako za svaki Δ ∈ G s Γ R _i Δ imamo to M, Δ ⊩ X.
• M, Γ ⊩ t: X ako i samo ako je Γ ∈ E (t, X) i, za svaki Δ ∈ G s Γ R Δ, imamo to M, Δ ⊩ X.

Uvjet R _i ⊆ R podrazumijeva valjanost t: X → K _i X, za svako sredstvo i. Ako postoji samo jedan agent, a odnos pristupačnosti za taj agent je refleksivan i tranzitivan, to pruža još jednu semantiku za S4LP. Bez obzira na broj agenata, svaki agent prihvaća izričite razloge kao utemeljenje znanja.

Verzija LP-a s dva agenta uvedena je i proučavana u (Yavorskaya (Sidon) 2008), iako se može generalizirati na bilo koji ograničeni broj agenata. Pri tome svaki agent ima svoj vlastiti skup operatora opravdanja, varijabli i konstanta, umjesto da ima po jedan skup za sve, kao gore. Uz to, neka ograničena komunikacija između agenata može se dopustiti korištenjem novog operatera koji omogućuje jednom agentu da provjeri ispravnost opravdanja drugog agenta. Za dvoagencijske logike stvorene su verzije i jedinstvenog i općenitijeg mogućeg semantika opravdanja. To uključuje jednostavno proširivanje pojma dokazne funkcije i za moguće svjetske modele opravdanja, koristeći dva odnosa pristupačnosti. Teoreme realizacije su dokazano sintaktički,premda bi vjerojatno i semantički dokaz djelovao.

Nedavno je istraženo uloga javnih objava u logikama opravdanja s više agencija (Renne 2008, Renne 2009).

Više je o pojmu zajedničkog znanja utemeljenog na dokazima u Odjeljku 5 dopunskog dokumenta Neke više tehničkih pitanja.

6. Russelov primjer: inducirana faktivnost

Postoji tehnika korištenja Logike opravdanja za analizu različitih opravdanja za istu činjenicu, posebno kada su neka opravdanja neispravna, a neka nisu. Da biste pokazali tehniku, razmotrite dobro poznati primjer:

Ako čovjek vjeruje da je prezime pokojnog premijera počelo slovom 'B', vjeruje u istinu jer je pokojni premijer bio sir Henry Campbell Bannerman ^[5]. Ali ako vjeruje da je gospodin Balfour pokojni premijer ^[6], i dalje će vjerovati da je prezime pokojnog premijera počelo slovom 'B', no to se vjerovanje, iako istinito, neće smatrati znanjem. (Russell 1912.)

Kao što je to slučaj u primjeru Crvene štale, o kojem je riječ u odjeljku 1.1., Ovdje se moraju pozabaviti dva opravdanja istinite izjave, od kojih je jedno ispravno, a jedno ne. Neka je B rečenica (prijedlog atoma), bit će označena varijabla opravdanja za pogrešan razlog za B i ra označena varijabla opravdanja za pravi (stoga faktički) razlog za B. Zatim, Russelov primjer potiče sljedeći skup pretpostavki ^[7]:

R = {w: B, r: B, r: B → B}

Nekako suprotno intuiciji, može se logično zaključiti faktičnost w iz R:

1. r: B (pretpostavka)
2. r: B → B (pretpostavka)
3. B (od 1 i 2 prema Modusu Ponensu)
4. B → (w: B → B) (aksiom prijedloga)
5. w: B → B (od 3 i 4 Modus Ponens)

Međutim, ovo izvođenje koristi činjenicu da je r faktivno opravdanje za zaključak B w: B → B, što za w: B predstavlja slučaj 'inducirane faktičnosti'. Pitanje je, kako se može razlikovati 'stvarna' faktičnost r: B od 'inducirane faktičnosti' od w: B? Ovdje je potrebno neko praćenje istine, a Obrazloženje Logija je prikladan alat. Prirodni pristup je razmatranje skupa pretpostavki bez r: B, tj.

S = {w: B, r: B → B}

i utvrdimo da faktivnost w, tj., w: B → B nije izvedljivo iz S. Evo mogućeg svjetskog modela opravdanja M = (G, R, E, V) u kojem S ima, ali w: B → B ne:

• G = { 1 },
• R = ∅,
• V (B) = ∅ (i tako ne- 1 ⊩ B),
• E (t, F) = { 1 } za sve parove (t, F) osim (r, B) i
• E (r, B) = ∅.

Lako je vidjeti da su ispunjeni uvjeti zatvaranja Prijava i zbroj na E. Na 1, w: B drži, tj.

1 ⊩ w: B

jer je w prihvatljiv dokaz za B na 1 i ne postoje mogući svjetovi dostupni od 1. Osim toga,

ne- 1 ⊩ r: B

budući da, prema E, r nije prihvatljiv dokaz za B na 1. Stoga:

1 ⊩ r: B → B

S druge strane,

ne- 1 ⊩ w: B → B

budući da B ne drži na 1.

7. Samoreferencijalnost opravdanja

Algoritmi realizacije ponekad stvaraju stalne specifikacije koje sadrže samoreferencijalne tvrdnje opravdanja c: A (c), odnosno tvrdnje u kojima se opravdanje (ovdje c) pojavljuje u tvrdnji (ovdje A (c)).

Samoreferencijalnost opravdanja novi je fenomen koji nije prisutan u konvencionalnom modalnom jeziku. Osim što su intrigantni epiztemski predmeti, takve sereferencijalne tvrdnje predstavljaju poseban izazov sa semantičkog stajališta zbog ugrađenog začaranog kruga. Doista, za ocjenu c moglo bi se očekivati da prvo ocijeni A, a zatim dodijeli opravdanje za A do c. Međutim, to se ne može učiniti jer A sadrži c koji tek treba procijeniti. Pitanje može li se modalna logika realizirati bez korištenja samoreferencijalnih opravdanja bilo je veliko otvoreno pitanje u ovom području.

Glavni rezultat Kuznetsa u (Brežnjev i Kuznets 2006) kaže da je samoostvarivanje opravdanja neizbježno u realizaciji S4 u LP. Trenutno stanje stvari je dato sljedećom teoremom zbog Kuzneta:

Teorem 5: Samoreferencijalnost se može izbjeći realizacijama modalne logike K i D. Samoreferencijalnost se ne može izbjeći realizacijama modalne logike T, K4, D4 i S4.

Ova teorema utvrđuje da će sustav uvjeta opravdanja za S4 nužno biti samoreferencijalni. To stvara ozbiljno, iako nije izravno vidljivo, ograničenje semantike proverljivosti. U gödelovom kontekstu aritmetičkih dokaza, problem je riješen općom metodom dodjeljivanja aritmetičke semantike samoreferencijalnim tvrdnjama c: A (c) navodeći da je c dokaz A (c). U LP Logika dokaza dokazano je rješavanje ne-trivijalne konstrukcije sa fiksnom tačkom.

Samoreferencijalnost daje zanimljivu perspektivu na Mooreov paradoks. Detalje potražite u 6. odjeljku dopunskog dokumenta Neke više tehničkih pitanja.

8. Kvantifikatori u logici opravdanja

Iako je istraga prijedloga Obrazloženje Logika još uvijek do kraja završena, došlo je i do sporadičnog rada na verzijama prvog reda. Kvantificirane verzije Modal Logic-a već nude složenosti izvan standardne logike prvog reda. Kvantifikacija ima još šire područje kada se radi o Logika opravdanja. Klasično se jedan kvantificira nad 'objektima', a modeli su opremljeni domenom preko koje se kvantifikatori kreću. Modalno može imati jednu domenu zajedničku za sve moguće svjetove ili mogu imati zasebne domene za svaki svijet. Ovdje je dobro poznata uloga Barcanove formule. I stalne i različite opcije domena dostupne su i za Logiku opravdanja. Pored toga, postoji mogućnost da nema analognog modalnog logika: može se kvantificirati preko samih opravdanja.

Početni rezultati koji se odnose na mogućnost kvantificiranog obrazloženja Logika je bila posebno nepovoljna. Aritmetička semantika proverljivosti za LP logike dokaza, prirodno se generalizira na verziju prvog reda s konvencionalnim kvantifikatorima i na verziju s kvantifikatorima nad dokazima. U oba slučaja na pitanja o aksiomatizaciji odgovoreno je negativno.

Teorem 6: Logika dokaza prvog reda nije rekurzivno brojljiva (Artemov i Yavorskaya (Sidon) 2001). Logika dokaza s kvantifikatima nad dokazima nije rekurzivno brojna (Yavorsky 2001).

Iako aritmetička semantika nije moguća, u (Fitting 2008) moguća je svjetska semantika i aksiomatska teorija dokaza data za verziju LP-a s kvantifikatorima u rasponu od opravdanja. Dokazana je zvučnost i cjelovitost. U ovom se trenutku moguća svjetska semantika odvaja od aritmetičke semantike, što može ili ne mora biti razlog za uzbunu. Pokazano je i da se S4 uključuje u kvantificiranu logiku prevodeći Z kao „postoji opravdanje x takvo da je x: Z ^*,“gdje je Z ^* prijevod Z. Iako je ta logika pomalo složena, pronašla je primjene, npr. U (Dean i Kurokawa 2009b) koristi se za analizu paradoksa Znanja, iako su uložene primjedbe na ovu analizu u (Arlo-Costa i Kishida 2009).

Također je učinjen rad na verzijama Obrazloženja Logika s kvantifikatima nad objektima, bez i analogno Barcanovoj formuli. Ništa od toga nije objavljeno i trebalo bi smatrati da još uvijek nije u tijeku.

9. Povijesne bilješke

Početni Obrazložbeni logički sustav, LP logike dokaza, uveden je 1995. u (Artemov 1995) (usp. Također (Artemov 2001)) gdje su prvi put uspostavljena osnovna svojstva kao što su Internalizacija, Realizacija, aritmetička cjelovitost. LP je ponudio predviđenu semantiku proverljivosti za Gödelovu logiku provabilnosti S4, pružajući na taj način formalizaciju Brouwer-Heyting-Kolmogorove semantike za intuicijsku logiku prijedloga. Epiztemska semantika i cjelovitost (Fitting 2005) prvi su put utvrđeni za LP. Simbolički modeli i mogućnost iskoristivosti za LP su zbog Mkrtycheva (Mkrtychev 1997). Procjene složenosti prvi put su se pojavile u (Brezhnev i Kuznets 2006, Kuznets 2000, Milnikel 2007). Sveobuhvatan pregled svih rezultata odlučivosti i složenosti može se naći u (Kuznets 2008). Sustavi J, J4,i JT su prvi put razmatrani u (Brezhnev 2001) pod različitim imenima i u nešto drugačijoj sredini. JT45 se neovisno pojavio u (Pacuit 2006) i (Rubtsova 2006), a JD45 u (Pacuit 2006). Logika dokaza o zaključivanju nađena je u (Krupski 1997). Ponuđen je općenitiji pristup općem znanju temeljenom na opravdanom znanju (Artemov 2006). Semantika igre Obrazloženja Logika i dinamička eppistemska logika s obrazloženjima proučavana je u (Renne 2008, Renne 2009). Povezanost između logike opravdanja i problema logičke sveznanja ispitana je u (Artemov i Kuznets 2009, Wang 2009). Naziv Obrazloženje logika je uvedena (Artemov 2008), u kojem su formalizirani primjeri Kripke, Russell i Gettier; ova formalizacija je korištena za rješavanje paradoksa, provjeru,skrivena analiza pretpostavki i uklanjanje viška. U (Dean i Kurokawa 2009a), Obrazloženje Logika je korištena za analizu paradoksa znanja i znanja.

Bibliografija

• Antonakos, E. (2007). “Opravdano i zajedničko znanje: ograničena konzervativnost”, u S. Artemov i A. Nerode (ur.), Logički temelji informatike, Međunarodni simpozij, LFCS 2007, New York, NY, SAD, 4. i 7. lipnja 2007., Zbornik radova (Bilješke predavanja iz informatike: svezak 4514), Berlin: Springer, str. 1–11.
• Arlo-Costa, H. i K. Kishida (2009). "Tri dokaza i spoznaja u kvantificiranoj logici dokaza", u Formal Epistemology Workshop / FEW 2009. Zbornik radova, Sveučilište Carnegie Mellon, Pittsburgh, PA, SAD.
• Artemov, S. (1995). „Operativna modalna logika“, Tehničko izvješće MSI 95–29, Sveučilište Cornell.
• ---. (2001). „Eksplicitna dokazivost i konstruktivna semantika“, Bilten simboličke logike, 7 (1): 1–36.
• ---. (2006). “Opravdano opće znanje”, Teorijska informatika, 357 (1–3): 4–22.
• ---. (2008). “Logika opravdanja”, Pregled simboličke logike, 1 (4): 477–513.
• Artemov, S. i R. Kuznets (2009). "Logička sveznanost kao problem složenosti računa", u A. Heifetz (ur.), Teorijski aspekti racionalnosti i znanja, Zbornik Dvanaeste konferencije (TARK 2009), ACM Publishers, str. 14–23.
• Artemov, S. i E. Nogina (2005). „Uvođenje opravdanja u epiztemsku logiku“, časopis za logiku i računarstvo, 15 (6): 1059–1073.
• Artemov, S. i T. Yavorskaya (Sidon) (2001). „O logici dokaza prvog reda“, Moskovski matematički časopis, 1 (4): 475–490.
• Boolos, G. (1993). Logika dokazivosti, Cambridge: Cambridge University Press.
• Brezhnev, V. (2001). "O logici dokaza", u K. Striegnitz (ur.), Zbornik radova Šestog studentskog zasjedanja ESSLLI, 13. europska ljetna škola za logiku, jezik i informacije (ESSLLI'01), str. 35–46.
• Brezhnev, V. i R. Kuznets (2006). „Jasno objašnjavanje znanja: koliko je teško“, Teorijska informatika, 357 (1–3): 23–34.
• Cubitt, RP i R. Sugden (2003). „Opće znanje, umješnost i konvencija: Rekonstrukcija teorije igara Davida Lewisa“, Ekonomija i filozofija, 19: 175–210.
• Dean, W. i H. Kurokawa (2009a). „Od paradoksa spoznaje do postojanja dokaza“, Synthese,, 176 (2): 177-225.
• ---. (2009b). „Znanje, dokaz i znanje“, u A. Heifetz (ur.), Teoretski aspekti racionalnosti i znanja, Zbornik Dvanaeste konferencije (TARK 2009), ACM Publikacije, str. 81–90.
• Dretske, F. (2005). „Je li znanje zatvoreno pod poznatim sadržajem? Slučaj protiv zatvaranja “, u M. Steup i E. Sosa (ur.), Suvremene rasprave u epistemologiji, Oxford: Blackwell, str. 13–26.
• Fagin, R., J. Halpern, Y. Moses i M. Vardi (1995). Obrazloženje o znanju, Cambridge, MA: MIT Press.
• Fitting, M. (2005). „Logika dokaza, semantički“, Anali čiste i primijenjene logike, 132 (1): 1–25.
• ---. (2006). „Zamjenska teorema za LP “, Tehničko izvješće TR-2006002, Odjel za računalne znanosti, Gradsko sveučilište u New Yorku.
• ---. (2008). „Kvantificirana logika dokaza“, Anali čiste i primijenjene logike, 152 (1–3): 67–83.
• ---. (2009). „Realizacije i LP “, Anali čiste i primijenjene logike, 161 (3): 368–387.
• Gettier, E. (1963). "Je li opravdano istinsko znanje?" Analiza, 23: 121–123.
• Girard, J.-Y., P. Taylor i Y. Lafont (1989.). Dokazi i vrste (Cambridge tracts in Computer Science: svezak 7), Cambridge: Cambridge University Press.
• Gödel, K. (1933). “Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls”, Ergebnisse Math. Kolloq., 4: 39–40. Prijevod s engleskog na: S. Feferman i sur. (ur.), Kurt Gödel Collected Works (svezak 1), Oxford i New York: Oxford University Press i Clarendon Press, 1986., str. 301–303.
• ---. (1938). "Vortrag bei Zilsel / Predavanje u Zillelu" (* 1938a), u: S. Feferman, JJ Dawson, W. Goldfarb, C. Parsons, i R. Solovay (ur.), Neobjavljeni eseji i predavanja (Kurt Gödel, Zbornik radova: Svezak III), Oxford: Oxford University Press, 1995., str. 86–113.
• Goldman, A. (1967). „Uzročna teorija značenja“, časopis Filozofija, 64: 335–372.
• Goodman, N. (1970). "Teorija konstrukcija jednaka je aritmetičkoj", u J. Myhill, A. Kino i R. Vesley (ur.), Intuicionizam i teorija dokaza, Amsterdam: North-Holland, str. 101-120.
• Goris, E. (2007). „Eksplicitni dokazi formalne logike dokazivosti“, u S. Artemovu i A. Nerodeu (ur.), Logički temelji informatike, Međunarodni simpozij, LFCS 2007, New York, NY, SAD, 4. i 7. lipnja 2007., Zbornik radova (bilješke o ektuiranju iz informatike: svezak 4514), Berlin: Springer, str. 241–253.
• Hendricks, V. (2005). Mainstream i formalna epistemologija, New York: Cambridge University Press.
• Heyting, A. (1934). Mathematische Grundlagenforschung. Intuitionismus. Beweistheorie, Berlin: Springer.
• Hintikka, J. (1962). Znanje i vjerovanje, Ithaca: Cornell University Press.
• Kleene, S. (1945). “O interpretaciji intuicionističke teorije brojeva”, časopis za simboličku logiku, 10 (4): 109–124.
• Kolmogorov, A. (1932). „Zur Deutung der Intuitionistischen Logik“, Mathematische Zeitschrift, 35: 58–65. Prijevod s engleskog na VM Tikhomirov (ur.), Izabrana djela AN Kolmogorova. Svezak I: Matematika i mehanika, Dordrecht: Kluwer, 1991., str. 151–158.
• Kreisel, G. (1962). "Temelji intuicijske logike", u E. Nagel, P. Suppes i A. Tarski (ur.), Logika, metodologija i filozofija znanosti. Zbornik radova s međunarodnog kongresa iz 1960. godine, Stanford: Stanford University Press, str. 198-210.
• ---. (1965). “Matematička logika”, u T. Saatyju (ur.), Lectures in Modern Mathematics III, New York: Wiley and Sons, str. 95–195.
• Krupski, V. (1997). „Operativna logika dokaza s uvjetom funkcionalnosti na predikatu dokaza“, u S. Adian i A. Nerode (ur.), Logički temelji informatike, 4. međunarodni simpozij, LFCS'97, Yaroslavl, Rusija, 6. do 12. srpnja 1997., Zbornik radova (Bilješke iz predavanja iz informatike: svezak 1234), Berlin: Springer, str. 167–177.
• Kurokawa, H. (2009). „Tableaux i hiper-posljedice za logiku opravdanja“, u S. Artemov i A. Nerode (ur.), Logički temelji informatike, Međunarodni simpozij, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, SAD, 3. - 6. siječnja 2009, Zbornik radova (Bilješke o predavanjima iz informatike: svezak 5407), Berlin: Springer, str. 295–308.
• Kuznets, R. (2000). „O složenosti eksplicitne modalne logike“, u P. Clote i H. Schwichtenberg (ur.), Computer Science Logic, 14. međunarodna radionica, CSL 2000, Godišnja konferencija EACSL-a, Fischbachau, Njemačka, 21. i 26. kolovoza 2000., Zbornik radova (Bilješke predavanja iz računalnih znanosti: svezak 1862.), Berlin: Springer, str. 371–383.
• ---. (2008). Pitanja o složenosti u obrazloženju Logika, doktorska disertacija, Odjel za informatiku, Diplomirani centar Sveučilišta u New Yorku.
• ---. (2010). "Bilješka o nenormalnosti realizacije S4LP ", u K. Brünnler i T. Studer (ur.), Dokaz, računanje, složenost PCC 2010, Međunarodna radionica, Zbornik radova, Tehnički izvještaji IAM-a IAM-10-001, Institut za računarstvo Znanost i primijenjena matematika, Sveučilište u Bernu.
• McCarthy, J., M. Sato, T. Hayashi i S. Igarishi (1978). "O teoriji modela", Tehničko izvješće STAN-CS-78-667, Odjel za računalne znanosti, Sveučilište Stanford.
• Milnikel, R. (2007). „Izvodljivost u određenim podsustavima Logike dokaza je ^p ₂ ^p- potpuna“, Anali čiste i primijenjene logike, 145 (3): 223–239.
• ---. (2009). „Konzervativnost za logiku opravdanog uvjerenja“, u S. Artemovu i A. Nerodeu (ur.), Logički temelji informatike, Međunarodni simpozij, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, SAD, 3. - 6. siječnja 2009, Zbornik radova (Bilješke s predavanja iz informatike: svezak 5407), Berlin: Springer, str. 354–364.
• Mkrtychev, A. (1997). „Modeli za logiku dokaza“, u S. Adian i A. Nerode (ur.), Logički temelji informatike, 4. međunarodni simpozij, LFCS'97, Yaroslavl, Rusija, 6. do 12. srpnja 1997, Zbornik radova (predavanje Bilješke iz informatike: svezak 1234), Berlin: Springer, str. 266-275.
• Nogina, E. (2006). „O logici dokaza i dokazivosti“, 2005. Ljetni sastanak Udruženja za simboličku logiku, kolokvij logike'05, Atena, Grčka (28. srpnja - 3. kolovoza 2005.), Bilten simboličke logike, 12 (2): 356,
• ---. (2007). „Epistemska cjelovitost GLA “, 2007. Godišnji sastanak Udruženja za simboličku logiku, Sveučilište na Floridi, Gainesville, Florida (10. - 13. ožujka 2007.), Bilten simboličke logike, 13 (3): 407.
• Pacuit, E. (2006). „Bilješka o nekim eksplicitnim modalnim logikama“, Tehničko izvješće PP-2006–29, Institut za logiku, jezik i računarstvo, Sveučilište u Amsterdamu.
• Plaza, J. (2007). „Logika javnih komunikacija“, Synthese, 158 (2): 165–179.
• Renne, B. (2008). Dinamička epistemička logika s obrazloženjem, doktorska disertacija, odjel za informatiku, diplomski centar CUNY, New York, NY, SAD.
• ---. (2009). "Eliminacija dokaza u logici opravdanja više agenata", u A. Heifetz (ur.), Teoretski aspekti racionalnosti i znanja, Zbornik radova Dvanaeste konferencije (TARK 2009), ACM Publikacije, str. 227-236.
• Rose, G. (1953). "Propozicioni proračun i ostvarivost", Transakcije Američkog matematičkog društva, 75: 1-19.
• Rubtsova, N. (2006). “O realizaciji S5- modaliteta dokaznim uvjetima”, časopis za logiku i računarstvo, 16 (5): 671–684.
• Russell, B. (1912). Problemi filozofije, Oxford: Oxford University Press.
• Sidon, T. (1997). “Logika dokazivosti s operacijama na dokazima”, u S. Adian i A. Nerode (ur.), Logički temelji računalstva, 4. međunarodni simpozij, LFCS'97, Yaroslavl, Rusija, 6. do 12. srpnja 1997, Zbornik radova (predavanje Bilješke iz informatike: svezak 1234), Berlin: Springer, str. 342–353.
• Troelstra, A. (1998). „Izvodljivost“, u S. Bussu (ur.), Priručnik teorije dokaza, Amsterdam: Elsevier, str. 407–474.
• Troelstra, A. i H. Schwichtenberg (1996). Osnovna teorija dokazivanja, Amsterdam: Cambridge University Press.
• Troelstra, A. i D. van Dalen (1988). Konstruktivizam u matematici (svezak 1, 2), Amsterdam: Sjever-Holandija.
• van Dalen, D. (1986). "Intuitionistička logika", u D. Gabbay i F. Guenther (ur.), Priručnik filozofske logike (svezak 3), Bordrecht: Reidel, str. 225-340.
• van Ditmarsch, H., W. van der Hoek i B. Kooi (ur.), (2007). Dinamička epiztemska logika (Synthese Library, svezak 337), Berlin: Springer..
• von Wright, G. (1951). Esej iz modalne logike, Amsterdam: Sjever-Holland.
• Wang, R.-J. (2009). „Znanje, vrijeme i logička sveznanost“, u H. Ono, M. Kanazawa i R. de Queiroz (ur.), Logika, jezik, informacije i računanje, 16. međunarodna radionica, WoLLIC 2009, Tokio, Japan, 21. lipnja -24, 2009, Zbornik radova (Bilješke predavanja iz umjetne inteligencije: svezak 5514), Berlin: Springer, str. 394–407.
• Yavorskaya (Sidon), T. (2001). „Logika dokaza i dokazivosti“, Anali čiste i primijenjene logike, 113 (1–3): 345–372.
• ---. (2008). „Interakcija eksplicitnih sustava dokaza“, Teorija računalnih sustava, 43 (2): 272–293.
• Yavorsky, R. (2001). „Logika dokazivosti s kvantifikatima na dokazima“, Anali čiste i primijenjene logike, 113 (1–3): 373–387.

Akademske alate

	Kako navesti ovaj unos.
	Pregledajte PDF verziju ovog unosa na Društvu prijatelja SEP-a.
	Pogledajte ovu temu unosa na Projektu ontologije filozofije u Indiani (InPhO).
	Poboljšana bibliografija za ovaj unos na PhilPapersu, s vezama na njegovu bazu podataka.

Ostali internetski resursi