Teorija Revizije Istine

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-08-25 04:38

To je spis u arhivu filozofske enciklopedije Stanford.

Teorija revizije istine

Prvo objavljeno u petak, 15. prosinca 1995.; suštinska revizija Pet srpnja 28, 2006

Razmislite o sljedećoj rečenici:

(1) nije istina.

(1)

Odavno je poznato da rečenica (1) proizvodi paradoks, takozvani paradoks lažljivca: čini se da je nemoguće dosljedno tvrditi da je (1) istina, a nemoguće je dosljedno tvrditi da (1) nije istina. (Pojedinosti vidjeti u 1. odjeljku, dolje.) S obzirom na takav paradoks, čovjek može biti skeptičan prema pojmu istine ili barem prema izgledima davanja istinito respektabilnog prikaza istine. Veliko postignuće Alfreda Tarskog bilo je pokazati kako dati - suprotno ovom skepticizmu - formalnu definiciju istine za široki sloj formaliziranih jezika. Tarski, međutim, nije pokazao kako dati definiciju istine za jezike (poput engleskog) koji sadrže vlastite predikate istine. Smatrao je da se to ne može učiniti, upravo zbog paradoksa lažljivca. Smatrao je da bi bilo koji jezik sa svojim vlastitim predikatom istine bio nedosljedan, sve dok se je pridržavao pravila standardne klasične logike i imao mogućnost pozivanja na vlastite rečenice.

S obzirom na usku povezanost značenja i istine, općenito se smatra da će svaka semantika jezika L, tj. Bilo koja teorija značenja za L, biti usko povezana s teorijom istine za L: doista, obično se smatra da nešto poput Tarcanove teorije istine za L bit će središnji dio semantike L. Dakle, nemogućnost davanja Tarkanske teorije istine za jezike s vlastitim predikatima istine prijeti projektu davanja semantike za jezike s vlastitim predikatima istine.

Na rad Kripke 1975 i Martin & Woodruff 1975 morali smo pričekati sustavni formalni prijedlog semantike za jezike s vlastitim predikatima istine. Osnovna je misao jednostavna: uzeti uvredljive rečenice, poput (1), da nisu ni istinite ni lažne. Kripke, posebno, pokazuje kako ovu misao implementirati za široki raspon jezika, ustvari koristeći semantiku s tri vrijednosti, istinitom, lažnom i nijednom. ^[1] Sigurno je reći da su kripkejski pristupi zamijenili tarski pesimizam kao novo pravoslavlje koje se tiče jezika sa svojim vlastitim pretpostavkama.

Jedan od glavnih suparnika trorednoj semantika je Revizorska teorija istine, ili RTT, koju su Hans Herzberger i Anil Gupta neovisno zamislili, a prvi put predstavljena u publikacijama u Herzberger 1982a i 1982b, Gupta 1982 i Belnap 1982 - prve monografije na temu su Yaqūb 1993 i locus classicus, Gupta i Belnap 1993. RTT je osmišljen za modeliranje vrste zaključka do kojih se odnosi lažljiva kazna, u dvorednom kontekstu. Središnja ideja je ideja procesa revizije: proces kojim revidiramo hipoteze o vrijednosti istine jedne ili više rečenica. Svrha ovog članka je prikazati revizijsku teoriju istine. Postupamo kako slijedi:

• 1. poluformalni uvod

• 2. Utvrđivanje problema

  • 2.1 Istinski jezici
  • 2.2 Uzemljeni modeli
  • 2.3 Paradoks lažljivca (opet)

• 3. Osnovni pojmovi RTT-a

  • 3.1 Pravila za reviziju
  • 3.2. Revizijski nizovi

• 4. Tumačenje formalizma

  • 4.1 Označavanje T
  • 4.2 'Iff' u T-dvokondicijama
  • 4.3 Paradoksalno obrazloženje
  • 4.4 Signalizacijska teza
  • 4.5 Izvrsnost semantike
  • 4.6 Yaqūbova interpretacija formalizma

• 5. Daljnja pitanja

  • 5.1 Trostruka semantika
  • 5.2 Izmjene i dopune RTT-a
  • 5.3 Teorija revizije za kružno definirane pojmove
  • 5.5 Aplikacije
  • 5.5 Otvoreno pitanje
• Bibliografija
• Ostali internetski resursi
• Povezani unosi

1. poluformalni uvod

Pogledajmo pobliže rečenicu (1), navedenu gore:

(1) nije istina.

(1)

Bilo bi korisno paradoksalno obrazloženje učiniti eksplicitnim. Prvo, pretpostavimo da

(1) nije istina.

(2)

Čini se intuitivnim načelom koja se tiče istine da za svaku rečenicu p imamo takozvani T-bikondicija

'p' je istina iff p.

(3)

(Ovdje koristimo 'iff' kao kraticu za 'ako i samo ako'.) Naročito bismo trebali imati

'(1) nije istina' je istina iff (1) nije istina.

(4)

Tako iz (2) i (4) dobivamo

'(1) nije istina' je istina.

(5)

Tada možemo primijeniti identitet,

(1) = '(1) nije istina.'

(6)

zaključiti da je (1) istina. To sve pokazuje da ako (1) nije istina, onda je (1) istina. Slično, možemo također tvrditi da ako je (1) istina, tada (1) nije istina. Čini se da je (1) istinito i neistinito: otuda i paradoks. Kao što je gore navedeno, trostruki pristup paradoksu uzima da lažljiva rečenica (1) nije ni istinita ni lažna. Točno kako, ili čak i hoće li ovaj potez blokirati gore navedeno, predmet je rasprave. RTT nije dizajniran tako da blokira rasuđivanje gore navedene vrste, već da ga modelira - ili većinu njega. ^[2] Kao što je gore navedeno, središnja ideja je ideja revizijskog postupka: postupak kojim revidiramo hipoteze o vrijednosti istinitosti jedne ili više rečenica.

Razmotrite obrazloženje u vezi s lažnom kaznom, (1) gore. Pretpostavimo da pretpostavljamo da (1) nije istina. Zatim bismo pomoću primjene odgovarajućeg T-dvokondicionera mogli revidirati našu hipotezu kako slijedi:

Hipoteza:	(1) nije istina.
T-bikondicionalnim:	'(1) nije istina' je istina iff (1) nije istina.
Stoga:	'(1) nije istina' je istina.
Poznati identitet:	(1) = '(1) nije istina'.
Zaključak:	(1) je istina.
Nova revidirana hipoteza:	(1) je istina.

Mogli bismo nastaviti s postupkom revizije, ponovnim izmjenom naše hipoteze, kako slijedi:

Nova hipoteza:	(1) je istina.
T-bikondicionalnim:	'(1) nije istina' je istina iff (1) nije istina.
Stoga:	'(1) nije istina' nije istina.
Poznati identitet:	(1) = '(1) nije istina'.
Zaključak:	(1) nije istina.
Nova nova revidirana hipoteza:	(1) nije istina.

Dok se postupak revizije nastavlja, mi se okrećemo naprijed-natrag između prihvaćanja kazne lažljivca kao istinite, a ne istinite.

Primjer 1.1

Vrijedno je vidjeti kako djeluje ovakvo obrazloženje revizije u slučaju s nekoliko rečenica. Primijenimo ideju revizije na sljedeće tri rečenice:

(8) je istina ili (9) je istina.	(7)
(7) je istina.	(8)
(7) nije istina.	(9)

Neformalno bismo mogli obrazložiti sljedeće. Ili je (7) istina ili (7) nije istina. Dakle, ili (8) je istina ili (9) je istina. Dakle, (7) je istina. Dakle, (8) je istina i (9) nije istina, a (7) je još uvijek istina. Ponovivši postupak još jednom, (8) je istina, (9) nije istina, a (7) je istina. Formalnije, razmotrite bilo koju početnu hipotezu, h ₀, o vrijednostima istine (7), (8) i (9). Ili h ₀ kaže da je (7) istina ili h ₀ kaže da (7) nije istina. U oba slučaja možemo upotrijebiti T-bikondicijal za generiranje naše revidirane hipoteze h ₁: ako h ₀ kaže da je (7) istina, onda h ₁ kaže da je '(7) istina' istina, tj. Da je (8) je istina; a ako je h ₀kaže da je (7) istina, tada h ₁ kaže da je '(7) nije istina' istina, tj. da je (9) istina. Dakle, h ₁ kaže da je ili (8) istina ili je (9) istina. Dakle, h ₂ kaže da je '(8) istina ili (9) istina' istina. Drugim riječima, h ₂ kaže da je (7) istina. Dakle, bez obzira s kojom hipotezom h ₀ započinjemo, dvije iteracije postupka revizije dovode do hipoteze da je (7) istinita. Slično tome, tri ili više ponavljanja postupka revizije dovode do hipoteze da je (7) istinito, (8) istinito i (9) lažno - bez obzira na našu početnu hipotezu. U odjeljku 3 ponovno ćemo razmotriti ovaj primjer u formalnijem kontekstu.

Treba napomenuti da u primjeru 1.1 postupak revizije daje stabilne vrijednosti istine za sve tri rečenice. Smisao rečenice koja je stabilno istinita u svim revizijskim nastavcima bit će središnji pojam za RTT. Revizorsko-teorijski tretman u ovom slučaju je suprotan trostrukom pristupu: na većini načina provedbe troredne ideje sve tri rečenice (7), (8) i (9) ispadaju da nisu ni jedno ni drugo. istinito niti lažno. ^[3] U ovom slučaju RTT vjerojatno bolje prikazuje ispravno neformalno obrazloženje od onog trostrukog pristupa: RTT rečenicama (7), (8) i (9) daje istinite vrijednosti koje su im dodijeljene neformalnim rezoniranjem danim na početku primjera.

2. Utvrđivanje problema

2.1 Istinski jezici

Cilj RTT-a je dati prikaz našeg često nestabilnog i često paradoksalnog razmišljanja o istini - dvorednog računa koji rečenicama daje stabilne klasične vrijednosti istine kada bi intuitivno rasuđivanje dodijelilo stabilne klasične vrijednosti istine. Predstavit ćemo formalnu semantiku formalnog jezika: želimo da taj jezik ima i predikat istine i resurse za upućivanje na vlastite rečenice.

Razmotrimo jezik prvog reda L, sa vezivnim kvantificirima, i ∨, the i ∃, znakom jednakosti, varijablama i nekim dionicama imena, funkcijskim simbolima i odnosnim simbolima. Reći ćemo da je L jezik istine, ako ima razlikovni predikat T i navodnike 'i', koji će se koristiti za formiranje navodnika citata: ako je A rečenica od L, tada je 'A' naziv. Neka je poslano _L = {A: A je rečenica L}.

2.2 Uzemljeni modeli

Osim predikata istine, pretpostavit ćemo da se naš jezik tumači potpuno klasično. Tako ćemo predstavljati T- bez fragmenta jezika istine L zemaljskim modelom, tj. Klasičnom interpretacijom fragmenta T-slobodnog L-a. Do T -besplatne fragment L, mislimo prvog reda jezik L ^- koja ima ista imena, simboli funkcija i odnos simbola kao L, osim Unarni predikat T. Budući da L ^- ima ista imena kao L, uključujući ista imena navodnika, L ^- će imati navodnicu 'A' za svaku rečenicu A od L. Dakle, ∀ x T x nije rečenica L ^-, već '∀ x T x 'je naziv L ^- i ∀ x (x =' ∀ x T x ') je rečenica od L ^-. S obzirom na osnovni model, razmotrit ćemo izglede pružanja zadovoljavajuće interpretacije T-a. Najočitiji desideratum je da je osnovni model, proširen tako da uključuje interpretaciju T, zadovoljavao Tarski T-bikondicijacije, tj. Bikondicijacije oblika

T  'A' i A

za svaki A ∈ poslane _L. Da bi stvari bile precizne, neka je uzemljeni model za L klasični model M = <D, I> za T- slobodan fragment L, zadovoljavajući sljedeće:

1. D je neprazna domena diskursa;

2. Ja dodijeljujem funkciju

   1. na svako ime L član D;
   2. svakom simbolu n-funkcije funkcije L funkcija od D ⁿ do D; i
   3. svakog n -ary odnos simbola, osim T, L funkciju s D ⁿ do jednog od dva istina-vrijednosti u skupu { t, f }; ^[4]
3. Poslano _L ∈ D; i
4. I ('A') = A za svaki A ∈ Odlazna _L.

Odredbe (1) i (2) jednostavno određuju što je za M klasični model fragmenta T bez okvira za L. Odredbe (3) i (4) osiguravaju da L, kad se tumači, može govoriti o vlastitim rečenicama. S obzirom na osnovni model M za L i naziv, funkcijski simbol ili simbol relacije X, možemo misliti o I (X) kao tumačenju ili, posuditi termin od Gupta i Belnapa, označavanje X. Gupta i Belnap karakteriziraju značenje izraza ili koncepta u svijetu koji je "apstraktno nešto što sadrži sve informacije o svim ekspanzijskim odnosima tog izraza [ili koncepta u w." Ako želimo da T x protumačimo kao "x je istina", tada, s obzirom na osnovni model M, želimo pronaći odgovarajuću oznaku, ili odgovarajući raspon značenja, za T.

2.3 Paradoks lažljivca (opet)

Možda ćemo pokušati dodijeliti T klasično značenje, širenjem M u klasičnom modelu M „= <D”, sam '> za sve L, uključujući T. Podsjetimo da želimo da M 'zadovolji T-dvokondicione: najočitija je misao ovdje shvatiti' iff 'kao standardni uvjet istine koji je uvjet dvokondicionalan. Nažalost, nije svaki osnovni model M = <D, I> može se proširiti na takav M '. Razmotrimo jezik istine L s imenom λ, a uzemljeni model M = <D, I> takav da je I (λ) = ¬ T λ. A pretpostavimo da je M 'klasična ekspanzija M na sve od L. Budući da je M 'širenje M-a, ja i ja se slažemo oko svih imena L. Tako

I '(λ) = I (λ) = ¬ T λ = I (' ¬ T λ ') = I' ('¬ T λ').

Dakle, rečenice T λ i T  '¬ T λ' imaju istu vrijednost istine u M '. Dakle, T-bikondicional

T  '¬ T λ' ≡ ¬ T λ

je lažno u M '. Ovo je formalizacija paradoksa lažljivca, s rečenicom ¬ T λ kao osudom lažljivog krivca.

U semantika za jezike koji mogu izraziti vlastite koncepte istine, T općenito neće imati klasično značenje; i 'iff' u T-dvokondicijama neće se čitati kao klasični dvokondicioni. Ove prijedloge razmatramo u odjeljku 4, u nastavku.

3. Osnovni pojmovi RTT-a

3.1 Pravila za reviziju

U 1. odjeljku neformalno smo skicirali središnju misao RTT-a, naime, da možemo koristiti T-bikondicijale za generiranje revizijskog pravila - pravila za reviziju hipoteze o proširenju predikata istine. Ovdje ćemo formalizirati ovaj pojam i proraditi kroz primjer iz Odjeljka 1.

Općenito, neka L bude jezik istine, a M osnovni model za L. Hipoteza je funkcija h: D → { t, f }. Pretpostavka će na snazi biti pretpostavljeni klasična interpretacija za T. Radimo s primjerom koji bilježi i paradoks lažljivca i primjer 1.1 iz Odjeljka 1. Primjer ćemo navesti formalno, ali razum na poluformalni način, za prijelaz s jednog pretpostavljenog proširenja T na drugo.

Primjer 3.1

Pretpostavimo da L sadrži četiri nisu citat nazive, a, P, y i X i bez osim predikate T. Pretpostavimo da je M = <D, I> kako slijedi:

D	=	Poslano L
I (α)	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	T α
I (γ)	=	¬ T α
I (λ)	=	¬ T λ

Bit će prikladno pustiti

A	biti rečenica	T β ∨ T γ
B	biti rečenica	T α
C	biti rečenica	¬ T α
x	biti rečenica	¬ T λ

Tako:

D	=	Poslano L
I (α)	=	A
I (β)	=	B
I (γ)	=	C
I (λ)	=	x

Pretpostavimo da hipoteza h ₀ pretpostavlja da je A lažno, B istinito, C lažno i X istinito. Tako

h 0 (A)	=	f
h 0 (B)	=	t
h 0 (C)	=	f
h 0 (X)	=	f

Sada ćemo se uključiti u neko poluformalno rezonovanje, na temelju hipoteze h ₀. Među četiri rečenica, A, B, C i X, h ₀ stavlja samo B u produžetku T. Dakle, zaključujući iz h ₀, zaključujemo da

¬ T α	budući da referent α nije u produžetku T
T β	budući da je referent β u produžetku T
¬ T γ	budući da referent γ nije u produžetku T
¬ T λ	budući da se odnosi À nije u produžetku T.

Dvočlani uvjeti za četiri rečenice A, B, C i X su sljedeći:

(T A)	A istina je iff T β ∨ T γ
(T B)	B je istina iff T α
(T C)	C je istina iff ¬ T α
(T X)	X je istina iff ¬ T λ

Dakle, zaključujući iz h ₀, zaključujemo da

A istina je

B nije istina

C je istina

X je istina

Iz toga proizlazi naša nova hipoteza h ₁:

h 1 (A)	=	t
h 1 (B)	=	f
h 1 (C)	=	t
h 1 (X)	=	t

Ponovno preispitajmo našu hipotezu. Sada ćemo se uključiti u neko poluformalno rezonovanje, na temelju hipoteze h ₁. Hipoteza h ₁ stavlja A, C i X, ali ne i B, u produžetak T-a. Dakle, zaključujući iz h ₁, zaključujemo da

T α	budući da je referent a u produžetku T
¬ T β	budući da je referent β u produžetku T
T γ	budući da referent γ nije u produžetku T
T λ	budući da referent λ nije u produžetku T

Podsjetimo T-dvokondicional za četiri rečenice A, B, C i X, dane gore. Na osnovu h ₁ i ovih T-dvokondicija, zaključujemo to

A istina je

B je istina

C nije istina

X nije istina

Iz toga proizlazi naša nova hipoteza h ₂:

h 2 (A)	=	t
h 2 (B)	=	t
h 2 (C)	=	f
h 2 (X)	=	f

□

Formalizirajmo poluformalno obrazloženje provedeno u primjeru 3.1. Prvo smo hipotezirali da određene rečenice jesu ili nisu u produžetku T-a. Razmotrimo uobičajenu teoriju klasične modele. Pretpostavimo da naš jezik ima predikat G i ime a, i da imamo model M = <D, I> koji postavlja referencu unutar proširenja G:

I (G) (I (α)) = t

Tada klasično zaključujemo da je rečenica Ga istinita u M. Bilo bi korisno imati neku notu za klasičnu vrijednost istine rečenice S u klasičnom modelu M. Napisat ćemo Val _M (S). U ovom slučaju Val _M (Ga) = t. U primjeru 3.1 nismo započeli s klasičnim modelom cjelokupnog jezika L, već samo s klasičnim modelom fragmenta L- T bez okvira. Ali tada smo dodali hipotezu, kako bismo dobili klasični model cijelog L. Upotrijebimo notaciju M + h za klasični model svih L koji dobivamo kada produžimo M dodjeljivanjem T ekstenzije putem hipoteze h. Jednom kada ste predikatu T dodijelili proširenje, možete izračunati vrijednosti istine različitih rečenica L. To jest, za svaku rečenicu S od L možemo izračunati

Val _{M + h} (S)

U primjeru 3.1 započeli smo s hipotezom h ₀ kako slijedi:

h 0 (A)	=	f
h 0 (B)	=	t
h 0 (C)	=	f
h 0 (X)	=	f

Tada smo izračunali na sljedeći način:

Val M + h 0 (T α)	=	f
Val M + h 0 (T β)	=	t
Val M + h 0 (T γ)	=	f
Val M + h 0 (T λ)	=	f

A onda smo zaključili na sljedeći način:

Val M + h 0 (A)	=	Val M + h 0 (T β ∨ T γ) = t
Val M + h 0 (B)	=	Val M + h 0 (¬ T α) = f
Val M + h 0 (C)	=	Val M + h 0 (T α) = t
Val M + h 0 (X)	=	Val M + h 0 (¬ T λ) = t

Ovi su zaključci stvorili našu novu hipotezu, h ₁:

h 1 (A)	=	t
h 1 (B)	=	f
h 1 (C)	=	t
h 1 (X)	=	t

Imajte na umu da, općenito,

h ₁ (S) = Val _{M + h 0 (S).}

Sada smo spremni definirati revizijsko pravilo dano osnovnim modelom M = <D, I>. Općenito, s obzirom na hipotezu h, neka je M + h = <D, I '> model L koji se slaže s M na fragmentu T- free, i koji je takav da sam I' (T) = h. Dakle, M + h je samo klasični model za sve L. Za svaki model M + h svih L i bilo koju rečenicu A ako je L, neka Val _{M + h} (A) bude uobičajena klasična vrijednost istine A u M + h.

Definicija 3.2

Pretpostavimo da je L jezik istine i da je M = <D, I> osnovni model za L. Pravilo revizije, τ _M, je mapiranje funkcija hipoteza na sljedeći način:

τ M (h) (d)

=

{

t, ako je d ∈ D rečenica od L i Val M + h (d) = t f, u suprotnom

Klauzula 'inače' govori nam da ako d nije rečenica L, tada ćemo se nakon jedne primjene revizije držati hipoteze da d nije istinita. ^[5] Imajte na umu da, u primjeru 3.1, h ₁ = τ _M (h ₀) i h ₂ = τ _M (h ₁). Često ćemo odustati od pretplaćenog 'M' kada kontekst razjasni o kojem se osnovnom modelu radi.

3.2. Revizijski nizovi

Uzmimo primjer 3.1 i vidimo što se događa kad ponovimo primjenu pravila revizije.

Primjer 3.3 (primjer 3.2 nastavak)

Podsjetimo da L sadrži četiri nisu citat nazive, a, P, y i X i bez osim predikate T. Podsjetite također da je M = <D, I> kako slijedi:

D	=	Poslano L
I (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T α
I (γ)	=	C	=	¬ T α
I (λ)	=	x	=	¬ T λ

Sljedeća tablica prikazuje što se događa s ponovljenim primjenama revizijskog pravila τ _M na hipotezu h ₀ iz primjera 3.1. U ovoj ćemo tablici upisati τ umjesto τ _M:

S	h 0 (S)	τ (h 0) (S)	τ 2 (h 0) (S)	τ 3 (h 0) (S)	τ 4 (h 0) (S)	…
A	f	t	t	t	t	…
B	t	f	t	t	t	…
C	f	t	f	f	f	…
x	f	t	f	t	f	…

Dakle, h ₀ stvara revizijski niz (vidi definiciju 3.7, dolje). I A i B su stabilno istiniti u toj revizorskoj sekvenci (vidi definiciju 3.6, dolje), dok su C stabilno netočne. Lažljiva rečenica X nije, ne iznenađujuće, niti stabilna niti istinito lažna: lažljiva kazna je nestabilna. Sličan izračun pokazao bi da je A stabilno istinit, bez obzira na početnu hipotezu: stoga je A kategorički istinita (vidjeti definiciju 3.8).

Prije nego što precizno definiramo revizijsku sekvencu, dajemo primjer gdje želimo prenijeti postupak revizije izvan konačnih faza, h, τ ¹ (h), τ ² (h), τ ³ (h) i tako dalje na.

Primjer 3.4

Pretpostavimo da L sadrži nonquote imena a ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, i predznak Predikati G i T. Sada ćemo odrediti uzemljeni model M = <D, I> gdje se ime α ₀ odnosi na neku tautologiju, a gdje

ime α ₁ odnosi se na rečenicu T α ₀

ime α ₂ odnosi se na rečenicu T α ₁

ime a ₃ odnosi se na rečenicu T a ₂

Formalnije, neka je A ₀ rečenica T α ₀ ∨ ¬ T α ₀, a za svaki n ≥ 0, neka je A _{n +1} rečenica T α _n. Tako je ₁ je rečenica T a ₀, a A ₂ je rečenica T a ₁ i A ₃ je rečenica T α ₂, i tako dalje. Naš osnovni model M = <D, I> je sljedeći:

D	=	Poslano L
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	iFF	A = A n za neki n

Dakle, nastavak G je sljedeći skup rečenica: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…} = {(T α ₀ ∨ ¬ T α ₀), T α ₀, T a ₁, T a ₂, T a ₃,…}. Napokon neka B bude rečenica ∀ x (Gx ⊃ T x). Neka je svaka hipoteza za koju imamo svaki prirodni broj n,

h (A _n) = h (B) = f.

Sljedeća tablica prikazuje što se događa s ponovljenim primjenama revizijskog pravila τ _M na hipotezu h. U ovoj ćemo tablici upisati τ umjesto τ _M:

S	h (s)	t (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	τ 4 (h) (S)	…
A 0	f	t	t	t	t	…
A 1	f	f	t	t	t	…
A 2	f	f	f	t	t	…
A 3	f	f	f	f	t	…
A 4	f	f	f	f	f	…
B	f	f	f	f	f	…

U 0 ^-tog stadija, svaki A _n izvan hipoteza produljenje T. Ali od n. ^Stupnja nadalje, A _n je u hipoteziranom produžetku T-a. Dakle, za svaki n rečenica A _n je na kraju stabilna hipoteza da je istinita. Unatoč tome, ne postoji konačna faza u kojoj su sve točke A _n a hipoteze istinite: kao rezultat, rečenica B = ∀ x (Gx ⊃ T x) ostaje lažna u svakoj konačnoj fazi. To sugerira produljenje postupka na sljedeći način:

S	h (s)	τ (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	…	ω	ω + 1	ω + 2	…
A 0	f	t	t	t	…	t	t	t	…
A 1	f	f	t	t	…	t	t	t	…
A 2	f	f	f	t	…	t	t	t	…
A 3	f	f	f	f	…	t	t	t	…
A 4	f	f	f	f	…	t	t	t	…
B	f	f	f	f	…	f	t	t	…

Tako, ako dopustimo proces revizije nastaviti izvan konačnim fazama, onda je rečenica B = ∀ x Gx ⊃ T x) stabilno vrijedi od co + 1 ^-og fazi nadalje. □

U primjeru 3.4 intuitivna presuda je da ne samo da bi svaki A _n trebao dobiti stabilnu vrijednost istine od t, već bi trebala biti i rečenica B = ∀ x (Gx ⊃ T x). Jedini način da se to osigura je provođenje postupka revizije izvan konačnih faza. Mi ćemo razmotriti revizija sekvence koje su vrlo dugo: ne samo da će revizija slijed imaju ^th pozornicu za svaki konačan broj n, ali r | ^og fazi za svaki redni broj r |. (Sljedeći odlomak će pomoći čitatelju da ga upozna s rednim brojevima.)

Jedan od načina razmišljanja o rednim brojevima je sljedeći. Započnite s konačnim prirodnim brojevima:

0, 1, 2, 3,…

Dodajte broj ω veći od svih navedenog, ali nije neposredni nasljednik nijednog od njih:

0, 1, 2, 3,…, ω

I onda uzmi nasljednika ω, njegovog nasljednika i tako dalje:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3…

Zatim dodajte broj ω + ω ili ω × 2, veći od svih ovih (i opet, nije neposredni nasljednik nijednog), i počnite iznova, ponavljajući ovaj postupak iznova i iznova:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,…, ω × 2, (ω × 2) +1, (ω × 2) +2, (ω × 2) +3,…, ω × 3, (ω × 3) +1, (ω × 3) +2, (ω × 3) +3,…

Na kraju toga dodamo redni broj ω × ω ili ω ²:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, Ω ², ω ² +1,…

Redni brojevi imaju sljedeću strukturu: svaki redni broj ima neposrednog sljednika poznatog kao nasljedni redoslijed; a za svaki beskonačno uzlazni niz redoslijednih brojeva postoji granična ordinalna veličina koja je veća od svih članova niza i koja nije neposredni nasljednik nijednog člana niza. Dakle, slijedeće su narednice: 5, 178, ω + 12, (ω × 5) +56, ω ² +8; a sljedeće su granične naredbe: ω, ω × 2, ω ², (ω ² + ω) itd. S obzirom na ograničenu rednu η, niz S objekata je η-dugački niz ako postoji objekt S _δ za svaki redni δ <η. Označićemo klasu ordinarijata kao Uključeno. Bilo koji niz S objekata je dugotrajni niz ako postoji objekt S _δ za svaki redni δ.

Kada procjenjuje dobiva li rečenica stabilnu vrijednost istine, RTT razmatra nizove hipoteza duljine Uključeno. Dakle, pretpostavimo da je S dugotrajni niz hipoteza, i neka se ζ i η prelaze preko ordinala. Jasno, da bi S za predstavljaju proces revizije, trebamo ζ + 1 ^st hipotezu da se generira iz ζ ^th hipotezu po pravilu revizije. Stoga inzistiramo na tome da je S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ). Ali što trebamo učiniti u ograničenoj fazi? Odnosno, kako bismo trebali postaviti S _η (δ) kada je η granična ordinala? Jasno je da bi svaki objekt koji je stabilno istinit [lažan] do te faze trebao biti istinit [lažan] u toj fazi. Stoga razmotrite primjer 3.2. Rečenica A ₂, na primjer, vrijedi do ω- ^og stupnja; tako da smo postavili ₂ da bi bilo istinito na co ^th pozornice. Za objekte koji se ne stabiliziraju do te faze, Gupta i Belnap 1993. usvajaju liberalnu politiku: kada konstruiraju revizijski niz S, ako se vrijednost objekta d ∈ D nije stabilizirala do trenutka kada stignete na graničnu fazu η, tada možete postaviti S _η (δ) ovisno o veličini t ili f. Prije nego što precizno definiramo redoslijed revizije, nastavljamo s primjerom 3.3 kako bismo vidjeli primjenu ove ideje.

Primjer 3.5 (primjer 3.3 nastavak)

Podsjetimo da L sadrži četiri nisu citat nazive, a, P, y i X i bez osim predikate T. Podsjetite također da je M = <D, I> kako slijedi:

D	=	Poslano L
I (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T α
I (γ)	=	C	=	¬ T α
I (λ)	=	x	=	¬ T λ

Sljedeća tablica prikazuje što se događa s ponovljenim primjenama revizijskog pravila τ _M na hipotezu h ₀ iz primjera 3.1. Za svaki redni η navest ćemo η- ^tu hipotezu S _η (potiskivanje indeksa M na τ). Dakle, S ₀ = h ₀, S ₁ = τ (h ₀), S ₂ = τ ² (h ₀), S ₃ = τ ³ (h ₀), a S _ω, ω ^th hipoteza, određena je na neki način iz hipoteza koje vode do njega. Dakle, počevši od h ₀ iz primjera 3.3., naš revizijski niz započinje kako slijedi:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…
A	f	t	t	t	t	…
B	t	f	t	t	t	…
C	f	t	f	f	f	…
x	f	t	f	t	f	…

Što se događa na ro ^-og pozornici? A i B su stabilno vrijedi do ro ^th fazi, a C je stabilno lažno do ro ^th stupnja. Dakle, na ro ^-og fazi, moramo imati sljedeće:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…	S ω (S)
A	f	t	t	t	t	…	t
B	t	f	t	t	t	…	t
C	f	t	f	f	f	…	f
x	f	t	f	t	f	…	?

Ali unos za S _ω (X) može biti ili t ili f. Drugim riječima, početna hipoteza h ₀ generira najmanje dvije revizijske sekvence. Svaki revizijski niz S koji kao početnu hipotezu ima h ₀ mora imati S _ω (A) = t, S _ω (B) = t i S _ω (C) = f. No, postoji neki revizijski niz S, s h ₀ kao početnom hipotezom, a sa S _ω (X) = t; i postoji neki revizijski niz S ', s h ₀ kao početnom hipotezom, i sa S _ω'(X) = f. □

Sada smo spremni definirati pojam revizijske sekvence:

Definicija 3.6

Pretpostavimo da je L jezik istine i da je M = <D, I> osnovni model. Pretpostavimo da je S dugotrajni niz hipoteza. Zatim kažemo da je d ∈ D stabilno t [ f] u S iff za neki redni θ koji imamo

S _ζ (d) = t [ f], za svaki redni ζ ≥ θ.

Pretpostavimo da je S dugotrajni niz hipoteza za neki granični redni η. Zatim kažemo da je d ∈ D stabilno t [ f] u S iff za neki redni θ <η imamo

S _ζ (d) = t [ f], za svaki redni ζ takav da je ζ ≥ θ i ζ <η.

Ako je S vremenski niz hipoteza i η krajnja granica, tada je S | _η je početni segment S do, ali ne uključuje η. Imajte na umu da je S | _η je η slijed hipoteza.

Definicija 3.7

Pretpostavimo da je L jezik istine i da je M = <D, I> osnovni model. Pretpostavimo da je S dugotrajni niz hipoteza. S je revizijski niz za M iff

• S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ), za svaki ζ ∈ On, i
• za svaki granični redni η i svaki d ∈ D, ako je d stabilno t [ f] u S | _η, tada je S _η (d) = t [ f].

Definicija 3.8

Pretpostavimo da je L jezik istine i da je M = <D, I> osnovni model. Kažemo da je rečenica A kategorično istinita [lažna] u M iff A stabilno t [ f] u svakom revizijskom nizu za M. Kažemo da je A kategoričan u M iffu A ili je u M kategorički istinit ili je kategorički lažan.

Sada te primjere ilustriramo primjerom. Primjer će također ilustrirati novi koncept koji će biti definiran naknadno.

Primjer 3.9

Pretpostavimo da L je jezik istina sadrži nonquote imena P, α ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, i predznak Predikati G i T. Neka je B rečenica

T β ∨ ∀ x ∀ y (Gx & ¬ T x & Gy & ¬ T y ⊃ x = y).

Neka je A ₀ rečenica ∃ x (Gx & ¬ T x). A za svaki n ≥ 0 neka je A _{n +1} rečenica T α _n. Razmotrimo slijedeći osnovni model M = <D, I>

D	=	Poslano L
I (β)	=	B
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	iFF	A = A n za neki n

Dakle, produžetak G je sljedeći skup rečenica: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…} = { T α ₀, T α ₁, T α ₂, T α ₃,…}. Neka je h svaka hipoteza za koju imamo, h (B) = f i za svaki prirodni broj n,

h (A _n) = f.

I neka je S revizijski slijed čija je početna hipoteza h, tj. S ₀ = h. Sljedeća tablica prikazuje neke od vrijednosti S _γ (C), za rečenice C ∈ {B, A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…}. U gornjem redu označavamo samo redni broj koji predstavlja fazu u postupku revizije.

0

1

2

3

…

ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

…

ω × 2

(Ω × 2) +1

(Ω × 2) +2

…

B

f

f

f

f

…

f

t

t

t

…

t

t

t

…

A 0

f

t

t

t

…

t

f

t

t

…

t

f

t

…

A 1

f

f

t

t

…

t

t

f

t

…

t

t

f

…

A 2

f

f

f

t

…

t

t

t

f

…

t

t

t

…

A 3

f

f

f

f

…

t

t

t

t

…

t

t

t

…

A 4

f

f

f

f

…

t

t

t

t

…

t

t

t

…

Vrijedno je usporediti ponašanje rečenice B i rečenice A ₀. Od co + 1 ^-og pozornici na B je stabilizira kao istina. Zapravo, B stabilno vrijedi u svakoj revizorskoj sekvenci za M. Stoga je B kategorično istinit u M. Rečenica A ₀, međutim, nikada se sasvim ne stabilizira: ona je obično istinita, ali unutar nekoliko konačnih stupnjeva krajnje ordinalne rečenice rečenica A ₀ može biti lažna. U tim okolnostima, kažemo da je A ₀ gotovo stabilno (Vidi definiciju 3.10, dolje.) U stvari, A ₀ je gotovo stabilno istinit u svakom revizijskom nizu za M. □

Primjer 3.9 ilustrira ne samo pojam stabilnosti u revizionom slijedu, već i blizinsku stabilnost koji smo definirali sada:

Definicija 3.10.

Pretpostavimo da je L jezik istine i da je M = <D, I> osnovni model. Pretpostavimo da je S dugotrajni niz hipoteza. Zatim kažemo da je d ∈ D gotovo stabilno t [ f] u S iffu za neki redni θ koji imamo

za svaki ζ ≥ θ postoji prirodni broj n takav da je za svaki m ≥ n, S _{ζ + m} (d) = t [ f].

Gupta i Belnap 1993. karakteriziraju razliku između stabilnosti i blizine stabilnosti na sljedeći način: „Simplikator stabilnosti zahtijeva da se element (u našem slučaju rečenica] naseli na vrijednost x [u našem slučaju vrijednost istine] nakon što neke početne fluktuacije kažu do [ordinal η]… Suprotno tome, blizina stabilnosti također omogućuje fluktuacije nakon η, ali te fluktuacije moraju biti ograničene na konačna područja neposredno nakon graničnih ordinala”(str. 169). Gupta i Belnap 1993. uvode dvije teorije istine, T ^* i T ^#, koje se temelje na stabilnosti i blizu stabilnosti. Teoremi 3.12 i 3.13, dolje, prikazuju prednost sustava T ^#, tj. Sustava koji se temelji na blizu stabilnosti.

Definicija 3.11

Pretpostavimo da je L jezik istine i da je M = <D, I> osnovni model. Kažemo da rečenica A vrijedi u M prema T ^* iff A stabilno vrijedi u svakom revizijskom nizu. A mi kažemo da rečenica A vrijedi u M prema T ^# iff A gotovo je stabilno u svakom revizijskom nizu.

Teorem 3.12

Pretpostavimo da je L jezik istine i da je M = <D, I> osnovni model. Tada za svaku rečenicu A od L vrijedi sljedeće u M po T ^#:

T '¬ A' ≡ ¬ T 'A'.

Teorem 3.13

Postoji jezik istine L i uzemljeni model M = <D, I> i rečenica A od L tako da sljedeće u M prema T ^* ne vrijedi:

T  '¬ A' ≡ ¬ T  'A'.

Gupta i Belnap 1993, odjeljak 6C, bilježe slične prednosti T ^{# u} odnosu na T ^*. Na primjer, T ^# ima, ali T ^* ne, potvrđuje sljedeće semantičke principe:

T  'A & B' ≡ T  'A' & T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Gupta i Belnap ostaju neosviješteni o tome koji je od T ^# i T ^* (a daljnja alternativa koju oni definiraju, T ^c) je poželjnija.

4. Tumačenje formalizma

Glavni formalni pojmovi RTT-a su pojam revizijskog pravila (Definicija 3.2), tj. Pravilo za reviziju hipoteza; i revizijski niz (definicija 3.7), niz hipoteza generiranih u skladu s odgovarajućim revizijskim pravilom. Koristeći ove pojmove, možemo s obzirom na osnovni model odrediti kada je rečenica stabilna ili gotovo stabilna, istinita ili lažna u određenom revizijskom nizu. Tako bismo mogli definirati dvije teorije istine, T ^* i T ^#, temeljene na stabilnosti i blizu stabilnosti. Konačna ideja je da svaka od tih teorija donosi presudu na temelju koje su rečenice jezika kategorično potvrdive, s obzirom na osnovni model.

Imajte na umu da bismo mogli upotrijebiti revizijsko-teoretske pojmove kako bismo napravili poprilično sitno razlikovane rečenice: Neke su rečenice nestabilne u svakom revizijskom nizu druge su stabilne u svim redoslijedima revizija, iako su u nekima stabilne i u drugima stabilne; i tako dalje. Stoga se revizijsko-teoretskim idejama možemo poslužiti za preciznu analizu statusa različitih rečenica i odnosa različitih rečenica jednih prema drugima.

Podsjetite na prijedlog na kraju odjeljka 2:

U semantika za jezike koji mogu izraziti vlastite koncepte istine, T općenito neće imati klasično značenje; i 'iff' u T-dvokondicijama neće se čitati kao klasični dvokondicioni.

Gupta i Belnap ove prijedloge ispunjavaju na sljedeći način.

4.1 Označavanje T

Prvo, oni sugeriraju da je označavanje T, dato uzemljenom modelu M, revizijsko pravilo τ _M samo po sebi. Kao što je navedeno u prethodnom stavku, možemo dati sitnozrnati analizu statusa i međusobnih odnosa rečenice na temelju pojmova generirani neposredno i prirodno iz vladavine revizije τ _M. Dakle, τ _M je dobar kandidat za označavanje T-a, budući da se čini da je "apstraktno nešto što nosi sve podatke o svim [ T -ovim] ekstenzijskim odnosima" u M. (Pogledajte Gupta i Belnapovu karakterizaciju značenja izraza, dano u gornjem odjeljku 2.)

4.2 'Iff' u T-dvokondicijama

Gupta i Belnapov srodni prijedlog u vezi s 'iffom' u T-dvokondicijama je da je, a ne klasični dvokondicioni, ovaj 'iff' onaj prepoznatljivi dvokondicional koji se koristi za definiranje prethodno nedefiniranog koncepta. Gupta i Belnap su 1993. godine predstavili revizionu teoriju istine kao poseban slučaj revizijske teorije kružno definiranih koncepata. Pretpostavimo da je L jezik s jednoličnim predikatom F i binarnim predikatom R. Razmotrimo novi koncept izražen predikatom G, uveden kroz definiciju kao što je ova:

Gx = _df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx i Gx).

Pretpostavimo da započnemo s domenom diskursa, D i interpretacijom predikata F i simbola relacije R. Gupta i Belnapova revizijsko-teorijska obrada koncepata, tako kružno uvedenih koncepata, mogu dati kategorične presude, za određena d ∈ D o tome zadovoljava li ili ne G. Ostali će objekti biti nestabilni u odnosu na G: kategorično ćemo moći tvrditi da ni d ne zadovoljava G, niti da d ne zadovoljava G. U slučaju istine, Gupta i Belnap uzimaju T-dvokondicije oblika

T  'A' = df A

(10)

zajedno dati definiciju pojma istine. Je njihova obrada „= _df” (u „IFF” od definicijska uvođenja koncepta), zajedno s T-bikondicionali u obliku (10), koje određuju pravilo reviziju τ _M.

4.3 Paradoksalno obrazloženje

Podsjetite na lažljivu rečenicu (1) s početka ovog članka:

(1) nije istina

(1)

U Odjeljku 1, tvrdili smo da je RTT dizajniran za modeliranje, a ne za blokiranje, vrste paradoksalnih rezonovanja u vezi s (1). Ali napomenuli smo u fusnoti 2 da RTT u tim situacijama izbjegava kontradikcije. Postoje dva načina da se to vidi. Prvo, dok RTT podržava dvosmisleno

(1) je istina iff (1) nije istina,

relevantan 'iff' nije materijalno dvoznačan, kao što je gore objašnjeno. Dakle, iz toga ne slijedi da je oba (1) istina i (1) nije istina. Drugo, imajte na umu da ni na jednoj hipotezi ne možemo zaključiti da je oboje (1) istina i (1) nije istina. Ako čvrsto držimo na umu da je revizijsko-teorijsko rezoniranje hipotetičko, a ne kategorično, nećemo iznijeti nikakve proturječnosti iz postojanja rečenice kao što je (1) gore.

4.4 Signalizacijska teza

Gupta i Belnapova sugestija, što se tiče označavanja T i interpretacije 'iff' u T-dvokondicijacijama, lijepo se spoje s dvije usko povezane intuicije artikulirane u Gupta i Belnap 1993. Prva intuicija, labavo izražena, je 'da je T - dvokondicioni su analitički i fiksiraju značenje "istinitog" "(str. 6). Jače izražen, postaje "Teza signalizacije" (str. 31): "T-bikondicijali popravljaju označavanje istine u svakom svijetu [gdje je svijet predstavljen zemaljskim modelom]." ^[6] S obzirom na rebalans-teoretski tretman definition „IFF”, i dao zemlju modela M, T-bikondicionali (10), kao što je navedeno, popraviti predloženi značenje od T, odnosno revizijskog pravilu τ _M.

4.5 Izvrsnost semantike

Druga je intuicija superiornost označavanja istine. Ovo je potomak M. Kremera iz 1988. predložio superveniju semantike. Ideja je jednostavna: koje rečenice potpadaju pod istinu pojma trebale bi se popraviti (1) interpretacijom nemantičkog vokabulara i (2) empirijskim činjenicama. U ne-kružnim slučajevima, ova je intuicija posebno snažna: standardna interpretacija "snijega" i "bijelog" i empirijska činjenica da je snijeg bijeli, dovoljni su da se utvrdi da rečenica "snijeg je bijeli" spada pod istinu koncepta. Superveničnost označavanja istine je teza da je označavanje istine, kakva god ona bila, fiksirano osnovnim modelom M. Jasno je da RTT zadovoljava ovaj princip.

Vrijedno je vidjeti kako teorija istine može narušiti ovaj princip. Razmotrite rečenicu koja govori o istini, tj. Rečenicu koja za sebe govori da je istina:

(11) je istina

(11)

Kao što je gore spomenuto, Kripkeova troredna semantika dopušta tri vrijednosti istine, true (t), false (f), i nijednu (n). S obzirom na osnovni model M = <D, I> za jezik istine L, kandidatske interpretacije T su troredne interpretacije, tj. Funkcije h: D → {  t, f, n  }. S obzirom na trorednu interpretaciju T i shemu za procjenu vrijednosti istinitosti složenih rečenica u smislu njihovih dijelova, možemo odrediti vrijednost istine Val _{M + h} (A) = t, f ili n, za svaku rečenicu A od L. Središnja teorema troredne semantike je da, s obzirom na bilo koji osnovni model M, postoji trostruko tumačenje h T, tako da za svaku rečenicu A imamo Val _{M + h} (T  'A') = Val _{M + h} (A). ^[7] Takvo tumačenje T-a nazvat ćemo prihvatljivom interpretacijom. Naš je smisao ovdje: ako postoji osoba koja govori o istini, kao u (11), ne postoji samo jedna prihvatljiva interpretacija T-a; postoje tri: jedna prema kojoj je (11) istina, jedna prema kojoj je (11) lažna i jedna prema kojoj (11) nije ni jedno. Dakle, ne postoji jedinstveno "ispravno" tumačenje T-as obzirom na osnovni model M. Dakle, čini se da troje vrijedna semantika narušava superiornost semantike. ^[8]

RTT ne dodjeljuje vrijednost istinitog kazivaču istine, (11). Umjesto toga, daje analizu vrste rezonovanja u koje se može upustiti u vezi s istinoljubljem: Ako započnemo s hipotezom h prema kojoj je (11) tačno, nakon revizije (11) ostaje istina. A ako započnemo s hipotezom h prema kojoj (11) nije istina, nakon revizije (11) ostaje neistinita. I to je sve što nas koncept istine ostavlja. S obzirom na takvo ponašanje (11), RTT nam kaže da (11) nije ni kategorički tačno ni kategorički lažno, ali to je sasvim drugačije od presude koja (11) nije ni istinita ni lažna.

4.6 Yaqūbova interpretacija formalizma

Primjećujemo alternativno tumačenje revizijsko-teorijskog formalizma. Yaqūb 1993. se slaže s Guptom i Belnapom da su T-dvokondicijali definicijski, a ne materijalni dvokondicioni, i da je stoga pojam istine kružan. Ali Yaqūb tumači ovu kružnost na svojstven način. Tvrdi da,

budući da uvjeti istine nekih rečenica uključuju referencu na istinu na bitan, neodrediv način, ti se uvjeti mogu dobiti ili propasti samo u svijetu koji već uključuje proširenje predikata istine. Stoga, da bi postupak revizije odredio proširenje predikata istine, mora se postaviti početno proširenje predikata. To mnogo toga proizlazi iz kružnosti i dvovalentnosti. (1993, 40)

Kao Gupta i Belnap, Yaqūb postavlja nikakav povlašteni ekstenziju za T. I poput Gupta i Belnapa, on revizijske sekvence ekstenzija T-a, svaki slijed generiran početnim hipoteznim proširivanjem, može biti "sposoban (i dijagnosticirati) razne vrste problematičnih i neproblematičnih rečenica jezika na koje se govori" (1993., 41). Ali, za razliku od Gupta i Belnapa, iz ovih razmatranja zaključuje da "istina na bivalentnom jeziku nije suvišna" (1993, 39). Objašnjava u fusnoti: da bi istina bila zgodna, status istine svake rečenice mora biti "u potpunosti određen nesemantičkim činjenicama". Yaqūb izričito ne koristi pojam značenja pojma. Ali Yaqūb se čini opredijeljenim za tvrdnju da je značenje T - tj. Ono što određuje status istinitosti svake rečenice - daje određeni revizijski niz sam. A niti jedan revizijski niz nije određen nesemantičkim činjenicama, tj. Samo osnovnim modelom: revizijski niz određen je, u najboljem slučaju, osnovnim modelom i početnom hipotezom. ^[9]

5. Daljnja pitanja

5.1 Trostruka semantika

Iznijeli smo samo najopakije izlaganje troredne semantike, u našoj diskusiji o superiornosti značenja istine, gore. S obzirom na jezik istine L i osnovni model M, definirali smo prihvatljivo troredno tumačenje T-a kao interpretaciju h: D → {  t, f, n  } takvo da je Val _{M + h} (T 'A') = Val _{M + h} (A) za svaku rečenicu A od L. Općenito, s obzirom na osnovni model M, postoje mnoge prihvatljive interpretacije T-a. Pretpostavimo da je svaki od njih doista prihvatljivo tumačenje. Tada se troje vrijedna semantika krši nadređenost označavanja T, Pretpostavimo, s druge strane, da za svaki osnovni model M možemo izdvojiti privilegiranu prihvatljivu interpretaciju kao ispravnu interpretaciju T-a. Gupta i Belnap iznijeli su niz razmatranja protiv tako koncipirane semantike. (Vidi Gupta i Belnap 1993., poglavlje 3.) Jedan glavni argument je da središnja teorema, tj. Da za svaki osnovni model postoji prihvatljivo tumačenje, vrijedi samo kad je temeljni jezik izričito osiromašen na određene načine: npr. trostruki pristup ne uspijeva ako jezik ima poveznicu sa sljedećom tablicom istine:

A	~ A
t	f
f	t
n	t

Jedini negativni operator s kojim se trostruki pristup može nositi ima sljedeću tablicu istine:

A	¬ A
t	f
f	t
n	t

Ali uzmite u obzir da lažljivac koji za sebe kaže da 'nije' istina, u ovom potonjem smislu 'nije'. Gupta i Belnap tvrde da ova rečenica "prestaje biti intuitivno paradoksalna" (1993, 100). Tvrđena prednost RTT-a je njegova sposobnost opisivanja ponašanja istinski paradoksalnih rečenica: istinski lažljivac je nestabilan pod semantičkom procjenom: "Bez obzira na što mi pretpostavljamo da je njegova vrijednost, semantička procjena opovrgava našu hipotezu." Trostruka semantika može nositi samo sa "slabim lažljivcem", tj. Rečenicom koja samo slabo negira sebe, ali to nije zajamčeno paradoksalno: "Ovdje se pojavljuju lažljivci, ali oni obmanjuju."

5.2 Izmjene i dopune RTT-a

Bilježimo tri načina izmjene RTT-a. Prvo bismo mogli postaviti ograničenja u kojima su hipoteze prihvatljive. Na primjer, i Gupta Belnap 1993 uvesti teoriju, T ^c, istine temelju dosljednih hipoteze: pretpostavka je u skladu h iff skupa {A: h (A) = t } je potpuno u skladu set rečenica. Relativne vrijednosti T ^*, T ^# i T ^c razmatrane su u Gupta i Belnap 1993, poglavlje 6.

Drugo, mogli bismo usvojiti restriktivniju ograničenu politiku od one koju Gupta i Belnap usvoje. Podsjetite se na pitanje postavljeno u odjeljku 3: Kako trebamo postaviti S _η (d) kad je η krajnja granica? Dali smo djelomičan odgovor: svaki predmet koji je stabilno istinit [lažno] do te faze treba biti istinit [lažan] u toj fazi. Također smo primijetili da za objekt d ∈ D koji se ne stabilizira do stupnja η, Gupta i Belnap 1993. omogućuju nam da postavimo S _η (d) kao t ili f. U sličnom kontekstu, Herzberger 1982a i 1982b nestabilnim objektima dodjeljuje vrijednost f. I Gupta je izvorno sugerirao, u Gupti 1982., da nestabilni elementi dobiju svaku vrijednost koju su dobili u početnoj hipotezi S ₀.

Ova prva dva načina izmjene RTT-a obojica, u stvari, ograničavaju pojam revizijske sekvence stavljajući ograničenja na to koji od naših revizijskih nizova doista računa kao prihvatljive revizijske sekvence. Ograničenja su u određenom smislu lokalna: prvo ograničenje postiže se ograničenjem hipoteza, a drugo ograničenje postiže se ograničenjem onoga što se događa na ograničenim ordinacijama. Treća mogućnost bila bi staviti više globalnih ograničenja koja mogući nizovi revizija smatraju prihvatljivim. Yaqūb 1993, naime, sugerira ograničeno pravilo prema kojem prihvatljive presude o nestabilnim rečenicama u određenoj graničnoj fazi η ovise o presudama izrečenim u drugim graničnim fazama. Yaqūb tvrdi da ta ograničenja omogućavaju izbjegavanje određenih "artefakata". Na primjer, pretpostavimo da je uzemljeni model M = <D, I>ima dva neovisna lažaca, imaju dva imena α i β, gdje je I (α) = ¬ T α i I (β) = ¬ T β. Yaqūb tvrdi da je puki „artefakt“revizijske semantike, naivno predstavljene, da postoje revizijske sekvence u kojima je rečenica α T α ¬ ¬ T β stabilna, jer su dva lažljiva neovisna. Njegova su globalna ograničenja razvijena kako bi se isključili takvi nizovi. (Pogledajte Chapuis 1996 za daljnju raspravu.)

5.3 Teorija revizije za kružno definirane pojmove

Kao što je naznačeno u našoj raspravi, u odjeljku 4, 'iff' u T-dvokondicijama, Gupta i Belnap predstavljaju RTT kao poseban slučaj revizijske teorije kružno definiranih koncepata. Ponovno razmotrimo primjer iz Odjeljka 4. Pretpostavimo da je L jezik s jednoličnim predikatom F i binarnim predikatom R. Razmotrite novi pojam izražen predikatom G, uveden kroz definiciju D, ovako:

Gx = _df A (x, G)

gdje je A (x, G) formula

∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx i Gx).

U tom je kontekstu osnovni model klasični model M = <D, I> jezika L: započinjemo s domenom diskursa, D i interpretacijom predikata F i simbolom relacije R. Željeli bismo proširiti M na tumačenje jezika L + G. Stoga će se u ovom kontekstu hipoteza smatrati hipoteznim proširenjem za novo predstavljeni koncept G. Formalno je hipoteza jednostavno funkcija h: D → { t, f }. S obzirom na hipotezu h, uzimamo da je M + h klasični model M + h = <D, I '>, gdje' interpretiram F i R na isti način kao i ja, a gdje sam '(G) = h. S obzirom na hipoteziranu interpretaciju h G, generiramo novu interpretaciju G na sljedeći način: a objekt d ∈ D je u novom produžetku G samo u slučaju da je definirajuća formula A (x, G) istinita za d u modelu M + h. Formalno, koristimo prizemni model M i definiciju D da definiramo revizijsko pravilo, δ _{D, M}, preslikavanje hipoteza na hipoteze, tj. Hipotetičke interpretacije G u hipotetičke interpretacije G. Konkretno, za bilo koju formulu B s jednom slobodnom varijablom x i d ∈ D, možemo definirati vrijednost istine Val _{M + h, d} (B) na standardni način. Zatim,

δ _{D, M} (h) (d) = Val _{M + h, d} (A)

S obzirom revizija pravilo δ _{D, M}, možemo generalizirati pojam revizija slijed, koji je sada niz hipotetskih proširenja G, a ne T. Možemo generalizirati pojam da je rečenica B stabilno istinita, gotovo stabilno istinita itd., U odnosu na revizijski niz. Gupta i Belnap uvode sustave S ^* i S ^#, analogno T ^* i T ^#, kako slijedi: ^[10]

Definicija 5.1.

• Osuda B vrijedi za definiranje D u prizemlju modela M u sustavu S ^* (oznaka M ⊨ _{* D} B) IFF B je stabilno istina u odnosu na svaku reviziju slijed vladavine revizije d _{D, M}.
• Osuda B vrijedi za definiranje D u prizemlju modela M u sustav S ^# (oznaka M-⊨ _{#, D} B) IFF B je gotovo stabilno istina u odnosu na svaku reviziju slijed vladavine revizije d _{D, M}.
• Rečenica B vrijedi za definiciju D u sustavu S ^* (notacija ⊨ _{*, D} B) iff za sve klasične modele tla M, imamo M ⊨ _{*, D} B.
• Rečenica B vrijedi za definiciju D u sustavu S ^# (notacija ⊨ _{#, D} B) iff za sve klasične uzemljene modele M, imamo M ⊨ _{#, D} B.

Jedno od otvorenih pitanja Gupta i Belnapa je da li postoji potpuni račun za ove sustave: odnosno, da li je za svaku definiciju D bilo koja od sljedeća dva skupa rečenica rekurzivno aksiomatizirana: {B: ⊨ _{*, D} B} i {B: ⊨ _{#, D} B}. Kremer 1993. dokazuje da je odgovor ne: on pokazuje da postoji definicija D takva da je svaki od tih skupa rečenica složen najmanje Π ¹ ₂, čime se postavlja donja granica složenosti S ^* i S ^#. (Antonelli 1994b i 2002 pokazuje da je i ovo gornja granica.)

Kremerov dokaz koristi intimni odnos između kružnih definicija koje se shvaćaju revidirano-teoretski i kružne definicije shvaćene kao induktivne definicije: teorija induktivnih definicija već je prilično dobro razumjena već neko vrijeme. Kremer dokazuje da se svaki induktivno definirani pojam može teorijski revidirati. Izrazna snaga i drugi aspekti revizijsko-teorijskog tretiranja kružnih definicija tema je mnogo zanimljivog djela: vidjeti Welch 2001, Löwe 2001, Löwe i Welch 2001, i Kühnberger i sur. 2005.

5.5 Aplikacije

S obzirom na Gupta i Belnap-ovu opću revizionističku teorijsku obradu kružnih definicija - od kojih je njihovo liječenje istine poseban slučaj - moglo bi se očekivati da se revizorsko-teorijske ideje primijene i na druge koncepte. Antonelli 1994a primjenjuje ove ideje na neosnovane skupove: neosnovani skup X može se smatrati kružnim, jer za neke X ₀,…, X _n imamo X ∈ X ₀ ∈… ∈ X _n ∈ X. I Chapuis 2003 primjenjuje revizijsko-teorijske ideje za racionalno odlučivanje.

5.5 Otvoreno pitanje

Završavamo s otvorenim pitanjem o T ^* i T ^#. Podsjetimo se na gornju definiciju 3.11 koja definira kada rečenica A jezika istine L vrijedi u osnovnom modelu M prema T ^* ili prema T ^#. Reći ćemo da A vrijedi T ^* [alternativno, T ^#] iff A vrijedi u modelu tla M od T ^* [ili alternativno, T ^#] za svaki model M. Naše otvoreno pitanje je ovo: Koja je složenost skupa rečenica valjanih T ^* [ T ^#]?

Bibliografija

• Antonelli, GA, 1994., "Složenost revizije", časopis Notre Dame za formalnu logiku, 35: 204–218.
• Antonelli, GA, 1994., "Neosnovani skupovi revizijskim pravilima", časopis za filozofsku logiku, 23: 633–679.
• Antonelli, GA, 2002, "Složenost revizije, revidirana", časopis Notre Dame of Formal Logic, 43: 75–78.
• Belnap, N., 1982, „Gupta-ova vladavina revizijske teorije istine“, časopis za filozofsku logiku, 11: 103–116.
• Chapuis, A., 1996, "Alternate revision teorije istine", časopis za filozofsku logiku, 25: 399–423.
• Chapuis, A., 2003, "Primjena kružnih definicija: racionalna odluka", u Löweu, Malzkornu i Räschu (ur.), Temelji formalnih znanosti II: Primjene matematičke logike u filozofiji i lingvistici, Dordrecht: Kluwer, 47-54.
• Gupta, A., 1982, „Istina i paradoks“, časopis za filozofsku logiku, 11: 1–60.
• Gupta, A. i Belnap, N., 1993, Revizija teorija istine, Cambridge, MA: MIT Press.
• Hammer, E., 2003., "Teorija revizije istine", Stanfordska enciklopedija filozofije (proljeće 2003, izdanje), Edward N. Zalta (ur.), URL = ,
• Herzberger, HG, 1982, „Bilješke o naivnoj semantiki“, časopis za filozofsku logiku, 11: 61–102.
• Herzberger, HG, 1982, „Naivna semantika i lažljiv paradoks“, časopis za filozofiju, 79: 479–497.
• Kremer, M., 1988, „Kripke i logika istine“, časopis za filozofsku logiku, 17: 225–78.
• Kremer, P., 1993., „Gupta-Belnapova sustava S ^# i S ^* nisu aksiomatizirani“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
• Kripke, S., 1975, "Pregled istine teorije", časopis za filozofiju, 72: 690–716.
• Kühnberger, K., Löwe, B., Möllerfeld, M., i Welch, P., 2005, „Usporedba induktivnih i kružnih definicija: parametri, složenost i igre“, Studia Logica, 81: 79–98.
• Löwe, B., 2001. „Revizijske sekvence i računala s beskonačnom količinom vremena“, časopis za logiku i računarstvo, 11: 25–40.
• Löwe, B. i Welch, P., 2001, "Teoretsko-apsolutna apsolutnost i revizijska teorija istine", Studia Logica, 68/1: 21–41.
• Martin, R. i Woodruff, P., 1975, „O predstavljanju„ True-in-L “u L“, Philosophia, 5: 217-221.
• Welch, P., 2001, „O teorijama istine o reviziji Gupta-Belnap, Kripkeanove nepokretne točke i Sljedeći stabilni skup“, Bilten za simboličku logiku, 7: 345–360.
• Yaqūb, A., 1993, Lažljivica govori istinu: Obrana revizijske teorije istine, Oxford: Oxford University Press.

Ostali internetski resursi