Gottlob Frege

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-08-25 04:38

To je spis u arhivu filozofske enciklopedije Stanford.

Gottlob Frege

Prvo objavljeno: 14. rujna 1995.; materijalna revizija Fri Aug 1, 2008

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (rođen 1848, umro 1925.) bio je njemački matematičar, logičar i filozof koji je radio na Sveučilištu u Jeni. Frege je u osnovi ponovno shvatio disciplinu logike konstruirajući formalni sustav koji je zapravo prvi "predikatski račun". Frege je u ovom formalnom sustavu razvio analizu kvantificiranih izjava i formalizirao pojam „dokaza“u smislu koji su i danas prihvaćeni. Frege je tada pokazao da se njegov sustav može koristiti za rješavanje teorijskih matematičkih iskaza u smislu jednostavnijih logičkih i matematičkih pojmova. Jedan od aksioma koje je Frege kasnije dodao svom sustavu, u pokušaju da iz logike izvede značajne dijelove matematike, pokazao se nedosljednim. Štoviše,njegove definicije (odnos prethodnika i pojma prirodni broj) i metode (za izvođenje aksioma teorije brojeva) činile su značajan napredak. Da bi utemeljio svoja stajališta o odnosu logike i matematike, Frege je zamislio sveobuhvatnu filozofiju jezika za koju mnogi filozofi i dalje smatraju uvidom. Međutim, njegov cjeloživotni projekt, pokazivanja da se matematika može svesti na logiku, nije bio uspješan.

• 1. Fregeov život

• 2. Fregeova logika i filozofija matematike

  • 2.1 Osnove Fregeove terminske logike i predikatnog izračuna
  • 2.2 Složene izjave i općenitost
  • 2.3 Dokaz i definicija
  • 2.4 Tečajevi vrijednosti, proširenja i predloženi matematički temelji
  • 2.5 Analiza izvoda brojeva
  • 2.6 Prirodni brojevi
  • 2.7 Fregeova koncepcija logike

• 3. Fregeova filozofija jezika

  • 3.1 Fregeove zagonetke
  • 3.2 Fregeova teorija smisla i denotacije

• Bibliografija

  • A. Primarni izvori
  • B. Sekundarni izvori
• Ostali internetski resursi
• Povezani unosi

1. Fregeov život

• 1848, rođen 8. studenog u Wismaru (Mecklenburg-Schwerin)
• 1869. upisao je Sveučilište u Jeni
• 1871., upisao je Sveučilište u Göttingenu
• 1873., nagrađen dr. Sc. matematike (Geometrija), Sveučilište u Göttingenu
• 1874., stekao je habilitaciju iz matematike, Sveučilište u Jeni
• 1874., postao je Privatdozent, Sveučilište u Jeni
• 1879. postao profesor Extraordinarius, Sveučilište u Jeni
• 1896, postao ordentlicher Honorarprofessor, Sveučilište u Jeni
• 1917., umirovljen sa Sveučilišta u Jeni
• 1925, umro 26. srpnja u Bad Kleinenu (sada u Mecklenburg-Zapadno Pomorje)

2. Fregeova logika i filozofija matematike

Frege je utemeljio modernu disciplinu logike razvijajući superiornu metodu formalnog predstavljanja logike misli i zaključaka. Učinio je to razvijajući: (a) formalni sustav koji je poslužio kao osnova moderne logike, (b) analizu složenih rečenica i kvantifikatorskih fraza koje su pokazale temeljno jedinstvo određenim klasama zaključaka, (c) analizu dokaza i definicija, (d) teorija proširenja koja je, iako ozbiljno propustila, ponudila intrigantnu sliku osnova matematike, (e) analizu izjava o broju (tj. odgovora na pitanje „Koliko?“), (f) definicije i dokazi nekih osnovnih aksioma teorije brojeva iz ograničenog niza logički primitivnih pojmova i aksioma i (g) koncepcija logike kao discipline koja ima neke uvjerljive značajke. O tim događajima raspravljamo u sljedećim pododjeljcima.

2.1 Osnove Fregeove terminske logike i predikatnog izračuna

U pokušaju da realizira Leibnizove ideje za jezik misli i racionalno računanje, Frege je razvio formalni zapis za regulisanje misli i rasuđivanja. Iako je ta notacija prvi put izložena u Begriffsschrift (1879.), najzrelija izjava Fregeovog sustava bila je u 2-zvezkom Grundgesetze der Arithmetik (1893/1903). Fregeov sustav 1893/1903. Najbolje je okarakteriziran kao logika pojmova koja uz pomoć nekoliko definicija utemeljuje suvremeni račun predikata. Kalkulacija predikata je formalni sustav (formalni jezik i metoda dokazivanja) u kojem se mogu predstaviti valjane zaključke među predikacijama, tj. Među izjavama u kojima svojstva prediktiraju objekte. Fregeov raniji sustav 1879. više je bio predikatni račun, i kao takav bio je prvi takve vrste.

U ovom ćemo pododjeljku istražiti najosnovnije elemente Fregeove logike termina 1893/1903. I predikatski račun. To su izjave koje uključuju funkcionalne aplikacije i jednostavna predviđanja koja ispadaju kao poseban slučaj.

2.1.1 Osnove Fregeove terminske logike

U Fregeovoj logici termina, potpuni izrazi su svi pojmovi, tj. Koji označavaju izraze. To uključuje: (a) jednostavne nazive objekata, poput "2" i "π", (b) složene pojmove koji označavaju objekte, poput "2 ² " i "3 + 1", i (c) rečenice (koje su također složeni pojmovi). Složeni pojmovi u (b) i (c) formirani su uz pomoć "nepotpunih izraza" koji označavaju funkcije, poput funkcije jednoličnog kvarenja "() ²'i funkcija binarnog dodavanja' () + () '. U tim se funkcionalnim izrazima '()' koristi kao rezervirano mjesto za ono što je Frege nazvao argumentima funkcije; rezerviratelj mjesta otkriva da su funkcije označavanja izraza, po Fregeovom mišljenju, nepotpune i stoje u suprotnosti s potpunim izrazima poput onih iz (a), (b) i (c). (Iako je Frege smatrao da nije prikladno nazvati nepotpune izraze koji označavaju funkcije 'imenima', ponekad ćemo to učiniti u sljedećem tekstu, premda bi čitatelja trebalo upozoriti da je Frege imao razloga da ne slijedi ovu praksu.) Dakle, matematički izraz takav je kao '2 ² ' označava rezultat primjene funkcije () ² na broj 2 kao argument, naime na broj 4. Slično tome, izraz '7 + 1' označava rezultat primjene binarne funkcije + ((), ()) na brojeve 7 i 1 kao argumente tim redoslijedom,

Čak su i rečenice Fregeovog zrelog logičkog sustava složeni pojmovi; oni su pojmovi koji označavaju vrijednosti istine. Frege je razlikovao dvije vrijednosti istine, Istinu i Laž, koje je smatrao objektima. Osnovne rečenice Fregeovog sustava konstruirane su korištenjem izraza '() = ()', koji označava binarnu funkciju koja preslikava par objekata x i y u True ako je x identičan y i preslikava x i y na False inače. Rečenica poput "2 ² = 4", dakle, označava vrijednost istine Istinu, dok rečenica "2 ² = 6" označava Lažno.

Važna klasa ovih iskaza identiteta jesu izjave oblika 'ƒ (x) = y', gdje je ƒ () bilo koja unry funkcija (tj. Funkcija jedne varijable), x je argument funkcije, a ƒ (x) je vrijednost funkcije za argument x. Slično tome, ƒ (x, y) = z je iskaz identiteta koji uključuje 'binarnu' funkciju dviju varijabli. I tako dalje, za funkcije s više od dvije varijable.

Ako zamijenimo cjelovito ime koje se u rečenici pojavljuje s rezerviranim mjestom, rezultat je nepotpuni izraz koji označava posebnu vrstu funkcije koju je Frege nazvao konceptom. Koncepti su funkcije koje svaki argument preslikavaju u jednu od vrijednosti istine. Dakle, '()> 2' označava koncept veći od 2, koji svaki objekt veći od 2 prikazuje u Istinu i svaki drugi objekt preslikava u Lažno. Slično tome, '() ²= 4 'označava pojam koji kad je kvadrat jednak 4. Frege bi rekao da svaki objekt koji koncept preslikava u Istinu spada pod taj pojam. Prema tome, broj 2 potpada pod pojam koji je kada je kvadrat identičan 4. U nastavku teksta koristimo izraze malih slova poput ƒ () da bismo općenito govorili o funkcijama, a izraze malih slova kao F () da bismo razgovarali više posebno o onim funkcijama koje su pojmovi.

Frege je pretpostavio da bi matematički zahtjev poput "2 je glavni" trebao biti formalno predstavljen kao "P (2)". Glagolska fraza „glavni je“analizira se tako što označava pojam P () koji preslikava početnike u Istinu, a sve ostalo na Lažno. Stoga se jednostavno predigriranje poput „2 is prime“analizira u Fregeovom sustavu kao poseban slučaj funkcionalne primjene.

2.1.2. Računski predikat unutar Fregeove terminske logike

Prethodna analiza jednostavnih matematičkih predviđanja navela je Fregea da proširi primjenjivost ovog sustava na reprezentaciju nematematickih misli i predviđanja. Taj je potez osnova modernog predikatnog računa. Frege je analizirao nematematički predikat poput "sretan" kao označavanje funkcije jedne varijable koja svoje argumente preslikava na vrijednost istine. Dakle, "sretan je" označava pojam koji se u formalnom sustavu može predstaviti kao "H ()". H () preslikava one argumente koji su sretni u Istinu, a sve ostalo preslikava u Lažno. Rečenica "Ivan je sretan" ("H (j)") analizira se kao: objekt označen s "Ivan" spada pod pojam označen sa "() je sretan". Tako se jednostavno predviđanje analizira u smislu pada pod pojmom, što zauzvrat,analizira se u smislu funkcija koje preslikavaju njihove argumente u vrijednosti istine. Suprotno tome, u modernom računici predikata ne pretpostavlja se ovaj posljednji korak analize predikcije u smislu funkcija; predviđanje se smatra važnijom od funkcionalne primjene. Rečenica 'Ivan je sretan' formalno je predstavljena kao 'Hj', gdje je ovo osnovni oblik predigre ('objekt j instancira ili daje svojstvo H'). U modernom računu predikata, funkcionalna primjena je analizirana u smislu predviđanja, kao što ćemo uskoro vidjeti.gdje je to osnovni oblik predigre ('objekt j instancira ili daje svojstvo H'). U modernom računu predikata, funkcionalna primjena je analizirana u smislu predviđanja, kao što ćemo uskoro vidjeti.gdje je to osnovni oblik predigre ('objekt j instancira ili daje svojstvo H'). U modernom računu predikata, funkcionalna primjena je analizirana u smislu predviđanja, kao što ćemo uskoro vidjeti.

U Fregeovoj analizi glagolska fraza 'voli' označava binarnu funkciju dviju varijabli: L ((), ()). Ova funkcija uzima par argumenata x i y i preslikava ih u True ako x voli y i sve ostale parove argumenata mapira na The False. Iako je potomak Fregeovog sustava, moderna analiza prekata prekata voli više kao odnos na dva mjesta (Lxy), a ne kao funkcija; neki predmeti stoje u odnosu, a drugi ne. Razlika između Fregeovog razumijevanja predikcije i onoga što se očituje modernim predikatnim računima jednostavno je ovo: u modernom predikatnom računu odnosi se uzimaju kao osnovne, a funkcije se definiraju kao poseban slučaj odnosa, naime, oni odnosi R takvi da za bilo koje predmete x, y i z, ako su Rxy i Rxz, onda je y = z. Po kontrastu,Frege je preuzeo funkcije da bi bile više osnovne od odnosa. Njegova se logika temelji na funkcionalnoj primjeni, a ne na predviđanju; Dakle, binarni odnos analizira se kao binarna funkcija koja preslikava par argumenata na vrijednost istine. Dakle, odnos s 3 mjesta poput daje analizirao bi se u Fregeovoj logici kao funkcija koja preslikava argumente x, y i z u odgovarajuću vrijednost istine, ovisno o tome daje li x y y z; Otkup relacije na 4 mjesta analiziraće se kao funkcija koja preslikava argumente x, y, z i u u odgovarajuću vrijednost istine, ovisno o tome da li x kupuje y od z za iznos u; itds logika kao funkcija koja preslikava argumente x, y i z u odgovarajuću vrijednost istine, ovisno o tome daje li x y u z; Otkup relacije na 4 mjesta analiziraće se kao funkcija koja preslikava argumente x, y, z i u u odgovarajuću vrijednost istine, ovisno o tome da li x kupuje y od z za iznos u; itds logika kao funkcija koja preslikava argumente x, y i z u odgovarajuću vrijednost istine, ovisno o tome daje li x y u z; Otkup relacije na 4 mjesta analiziraće se kao funkcija koja preslikava argumente x, y, z i u u odgovarajuću vrijednost istine, ovisno o tome da li x kupuje y od z za iznos u; itd

2.2 Složene izjave i općenitost

Do sada smo raspravljali o Fregeovoj analizi „atomskih“izjava. Da bi dovršio osnovni logički prikaz misli, Frege je dodao notaciju za predstavljanje složenijih izjava (kao što su negirane i uvjetne izjave) i izjave općenitosti (one koje uključuju izraze "svaki" i "neki"). Iako više ne koristimo njegovu notu za predstavljanje složenih i općih izjava, važno je vidjeti kako notacija u Fregeovoj terminološkoj logici već sadrži svu ekspresivnu snagu modernog predikatnog računa.

Postoje četiri posebna funkcionalna izraza koja se koriste u Fregeovom sustavu za izražavanje složenih i općih iskaza:

Intuitivna značajnost	Funkcionalno izražavanje	Funkcija koja označava
izjava		Funkcija koja preslikava istinu u istinu i mapira sve ostale objekte u lažno; koristi se za tvrdnju da je argument istinita tvrdnja.
Negacija		Funkcija koja preslikava istinu u laž i mapira sve ostale objekte u istinite
Uvjetovano		Funkcija koja preslikava par objekata u Lažno ako je prvi (tj. Imenovan u donjoj grani) Istina, a drugi nije Istina, a sve ostale parove objekata preslikava u Istinu
Općenitost		Funkcija druge razine koja mapira koncept prve razine Φ u Istinu ako Φ svaki objekt preslika u Istinu; inače se mapira Φ u Lažno.

Najbolji način za razumijevanje ove oznake je pomoću nekih tablica koje prikazuju neke konkretne primjere izjava i kako su one prikazane u Fregeovoj notaciji i u modernom predikatnom računu.

2.2.1 Istinski funkcionalni spojevi

Prva tablica pokazuje kako Fregeova logika može izraziti istinito funkcionalne spojeve poput ne, ako-tad, i, ili, i ako-i-samo-ako.

Primjer	Fregeova notacija	Moderna notacija
Ivan je sretan		hj
Nije slučaj da je Ivan sretan		¬ Hj
Ako sunce sja, onda je Ivan sretan		Ss → Hj
Sunce sja i Ivan je sretan		Ss & Hj
Ili sunce sja ili je Ivan sretan		Ss ∨ Hj
Sunce sija ako i samo ako je Ivan sretan		Ss ≡ Hj

Kao što se može vidjeti, Frege nije koristio primitivne spojeve 'i', 'ili', ili 'ako i samo ako', već je uvijek koristio kanonske ekvivalentne forme definirane u negacijama i uvjetima. Imajte na umu zadnji redak tablice - kada Frege želi ustvrditi da su dva uvjeta materijalno jednaka, on koristi znak identiteta, budući da to kaže da oni označavaju istu vrijednost istine. U modernom sentencijalnom računu, dvokondicijski čini nešto ekvivalentno, jer je izjava oblika ≡ψ≡ψ istinita kad god su φ i both istinita ili su oba lažna. Jedina je razlika što se u suvremenom računici smisla φ i constru ne tumače kao pojmovi koji označavaju vrijednosti istine, već kao rečenice koje imaju uvjete za istinu (premda se semantikom izračuna smisla rečenice dodjeljuju kao vrijednosti istine kao njihove ' semantička vrijednost ,a smatraju se istinitim / lažnim prema kojima istina-vrijednost služi kao njihova semantička vrijednost).

2.2.2 Kvantificirani izvještaji

Donja tablica uspoređuje izjave općenitosti u Fregeovoj notaciji i modernom predikatnom računu. Frege je koristio poseban font (gotički) za varijable u općim izjavama.

Primjer	Frege notacija	Moderna notacija
Sve je smrtno		∀ xMx
Nešto je smrtno		¬∀ x ¬ Mx, tj. ∃ x Mx
Ništa nije smrtno		∀ x ¬ Mx, tj., XMx
Svaka je osoba smrtna		∀ x (Px → Mx)
Neka osoba je smrtna		¬∀ x (Px → ¬ Mx), tj. ∃ x (Px & Mx)
Nijedna osoba nije smrtna		∀ x (Px → ¬ Mx), tj, ∃ x (Px i Mx)
Sve i samo osobe su smrtne		∀ x (Px ≡ Mx)

Imajte na umu zadnji redak. I ovdje Frege koristi identitetni znak kako bi pomogao iznijeti materijalnu ekvivalentnost dvaju koncepata. To može učiniti jer su materijalno ekvivalentni pojmovi F i G takvi da F preslikava objekt x u Istinu svaki put kad G preslikava x u Istinu; tj. za sve argumente x, F i G preslikavaju x u istu vrijednost istine.

U modernom predikatnom računu, simboli '∀' ('svaki') i '∃' ('neki') nazivaju se "univerzalnim" i "egzistencijalnim" kvantifikatorom, a varijabla "x" u rečenici "∀ xMx 'se naziva' kvantificirana varijabla ', ili' varijabla koja je kvantifikator povezana '. Slijedit ćemo ovu praksu pozivanja izjava koje uključuju jednu od tih izraza kvantifikata "kvantificirane izjave". Kao što se vidi iz gornje tablice, Frege nije koristio egzistencijalni kvantifikator. Bio je svjestan da se izjava oblika „∃ x (…)“uvijek može definirati kao „∀∀ x ¬ (…)“.

Ovdje je važno napomenuti da je predikatski račun koji se može formulirati u Fregeovoj logici predikatski račun drugog reda. To znači da omogućuje kvantifikaciju funkcija, kao i kvantifikaciju nad objektima; tj. izjave u obliku "Svaka funkcija ƒ je takva da …" i "Neka funkcija ƒ je takva da …" su dopuštene. Dakle, izjava „prigovori a i b spadaju pod iste koncepte“napisala bi se na sljedeći način u Fregeovoj notaciji:

i u modernom predikatnom računu drugog pisamo ovo:

∀ F (Fa ≡ Fb)

Čitatelji zainteresirani za saznanje više o Fregeovoj notaciji mogu se obratiti Beaneyu (1997, Dodatak 2), Furthu (1967) i Reck & Awodey (2004, 26–34). U nastavku, međutim, nastavit ćemo koristiti notaciju modernog predikatnog računa umjesto Fregeove notacije. Konkretno, usvajamo sljedeće konvencije. (1) Često ćemo koristiti "Fx" umjesto "F (x)" da bismo predstavljali činjenicu da x spada pod pojam F; koristimo 'Rxy' umjesto 'R (x, y)' da predstavimo činjenicu da x stoji u odnosu R prema y; itd. (2) Umjesto korištenja izraza s rezerviranim mjestima, kao što su '() = ()' i 'P ()', za označavanje funkcija i koncepata, jednostavno ćemo koristiti '=' i 'P'. (3) Kada jedno cjelovito ime u rečenici zamijenite varijablom, rezultirajući izraz nazvat će se otvorenom rečenicom ili otvorenom formulom. Dakle, dok je „3 <2“rečenica, „3 <x“je otvorena rečenica; i dok je 'Hj' formalna rečenica koja se može upotrijebiti za predstavljanje 'Ivan je sretan', izraz 'Hx' je otvorena formula koja bi se prirodnim jezikom mogla izraziti 'x je sretan'. (4) Konačno, upotrijebit ćemo prigodu grčki simbol φ kao meta varijablu koja se kreće preko formalnih rečenica, a koje mogu ili ne moraju biti otvorene. Dakle, 'φ (a)' će se koristiti za označavanje bilo koje rečenice (jednostavne ili složene) u kojoj se pojavljuje naziv 'a' 'φ (a)' ne treba shvatiti kao Frege-notaciju za funkciju φ primijenjenu na argument a. Slično tome, 'φ (x)' će se koristiti za označavanje otvorene rečenice u kojoj varijabla x može ili ne mora biti slobodna, a ne funkcija x.i dok je 'Hj' formalna rečenica koja se može upotrijebiti za predstavljanje 'Ivan je sretan', izraz 'Hx' je otvorena formula koja se prirodnim jezikom može izraziti 'x je sretna'. (4) Konačno, upotrijebit ćemo prigodu grčki simbol φ kao meta varijablu koja se kreće preko formalnih rečenica, a koje mogu ili ne moraju biti otvorene. Dakle, 'φ (a)' će se koristiti za označavanje bilo koje rečenice (jednostavne ili složene) u kojoj se pojavljuje naziv 'a' 'φ (a)' ne treba shvatiti kao Frege-notaciju za funkciju φ primijenjenu na argument a. Slično tome, 'φ (x)' će se koristiti za označavanje otvorene rečenice u kojoj varijabla x može ili ne mora biti slobodna, a ne funkcija x.i dok je 'Hj' formalna rečenica koja se može upotrijebiti za predstavljanje 'Ivan je sretan', izraz 'Hx' je otvorena formula koja se prirodnim jezikom može izraziti 'x je sretna'. (4) Konačno, upotrijebit ćemo prigodu grčki simbol φ kao meta varijablu koja se kreće preko formalnih rečenica, a koje mogu ili ne moraju biti otvorene. Dakle, 'φ (a)' će se koristiti za označavanje bilo koje rečenice (jednostavne ili složene) u kojoj se pojavljuje naziv 'a' 'φ (a)' ne treba shvatiti kao Frege-notaciju za funkciju φ primijenjenu na argument a. Slično tome, 'φ (x)' će se koristiti za označavanje otvorene rečenice u kojoj varijabla x može ili ne mora biti slobodna, a ne funkcija x.povremeno ćemo upotrijebiti grčki simbol φ kao meta varijablu koja se proteže od formalnih rečenica, a koje mogu, a ne moraju biti otvorene. Dakle, 'φ (a)' će se koristiti za označavanje bilo koje rečenice (jednostavne ili složene) u kojoj se pojavljuje naziv 'a' 'φ (a)' ne treba shvatiti kao Frege-notaciju za funkciju φ primijenjenu na argument a. Slično tome, 'φ (x)' će se koristiti za označavanje otvorene rečenice u kojoj varijabla x može ili ne mora biti slobodna, a ne funkcija x.povremeno ćemo upotrijebiti grčki simbol φ kao meta varijablu koja se proteže od formalnih rečenica, a koje mogu, a ne moraju biti otvorene. Dakle, 'φ (a)' će se koristiti za označavanje bilo koje rečenice (jednostavne ili složene) u kojoj se pojavljuje naziv 'a' 'φ (a)' ne treba shvatiti kao Frege-notaciju za funkciju φ primijenjenu na argument a. Slično tome, 'φ (x)' će se koristiti za označavanje otvorene rečenice u kojoj varijabla x može ili ne mora biti slobodna, a ne funkcija x.

2.2.3 Fregeova logika kvantifikacije

Fregeova funkcionalna analiza predikcije zajedno s njegovim razumijevanjem općenitosti oslobodila ga je ograničenja analize 'subjekta-predikata' rečenica običnih jezika koje su bile osnova aristotelovske logike i omogućile su mu da razvije općenitiji tretman zaključaka koji uključuju 'svaki' i 'neki'. U tradicionalnoj Ari- stotelovoj logici subjekt rečenice i neposredni objekt glagola nisu na logičkoj razini. Pravila koja određuju zaključke između izjava s različitim, ali srodnim temama predmeta različita su od pravila koja reguliraju zaključke između izjava s različitim, ali srodnim glagolskim dopunama. Na primjer, u Aristotelovoj logici,pravilo koje dopušta valjano zaključivanje od „Ivan voli Mariju“do „Nešto voli Mariju“razlikuje se od pravila koje dopušta valjano zaključivanje od „Ivan voli Mariju“do „Ivan nešto voli“. Pravilo koje regulira prvo zaključivanje je pravilo koje se odnosi samo na subjektivne pojmove, dok pravilo koje regulira drugi zaključak regulira rasuđivanje unutar predikata i stoga se odnosi samo na prijelazne komplemente glagola (tj. Neposredne objekte). U aristotelovskoj logici ovi zaključci nemaju ništa zajedničko.ovi zaključci nemaju ništa zajedničko.ovi zaključci nemaju ništa zajedničko.

Prema Fregeovoj logici, međutim, jedno pravilo regulira i zaključak iz "Ivan voli Mariju" u "Nešto voli Mariju" i zaključak iz "Ivan voli Mariju" do "Ivan nešto voli". To je zato što se i subjekt John i izravni objekt Mary smatraju logičnim usporednim, kao što argumenti funkcije vole. U stvari, Frege nije vidio logičnu razliku između subjekta "John" i izravnog predmeta "Mary". Logično je važno da 'voli' označava funkciju od 2 argumenta. Bez obzira da li se kvantificirani izraz 'nešto' pojavljuje kao subjekt ('nešto voli Mariju') ili unutar predikata ('Ivan nešto voli'), to treba riješiti na isti način. U stvari, Frege je te kvantificirane izraze tretirao kao operatore koji se vežu na varijable. Operator koji obvezuje varijablu 'neki x je takav da' može vezati varijablu 'x' u otvorenoj rečenici 'x voli Mariju' kao i varijablu 'x' u otvorenoj rečenici 'John voli x'. Stoga je Frege analizirao gornje zaključke na sljedeći opći način:

• Ivan voli Mariju. Stoga je neki x takav da x voli Mariju.
• Ivan voli Mariju. Stoga je neki x takav da Ivan voli x.

Oba zaključka su primjeri jednog valjanog pravila zaključivanja. Da biste to vidjeli jasnije, evo formalnih prikaza navedenih neformalnih argumenata:

• Ljm ∴ ∃ x (Lxm)
• Ljm ∴ ∃ x (Ljx)

Logični aksiom koji licencira oba zaključka ima oblik:

Ra ₁ … a _i … a _n → ∃ x (R a ₁ … x… a _n),

gdje je R odnos koji može uzeti n argumenata, a ₁, …, a _n su bilo koje konstante (imena), za bilo koji a _i takav da je 1 ≤ i ≤ n. Ovaj logički aksiom govori nam da se iz jednostavnog predviđanja koji uključuje odnos n-mjesto može egzistencijalno generalizirati na bilo koji argument i valjano izvesti egzistencijalna izjava.

Doista, ovaj se aksiom može učiniti još općenitijim. Ako je φ (a) bilo koji iskaz (formula) u kojem se pojavljuje konstanta (ime), a φ (x) rezultat zamjene jedne ili više pojava a s x, tada je logični aksiom:

φ (a) → ∃ x φ (x)

Zaključci koji počinju premisom "Ivan ljubi Mariju", prikazani gore, oboje pozivaju na ovaj aksiom za opravdanje. Taj se aksiom može izvesti kao teorem iz Fregeovog osnovnog zakona IIa (1893, §47). Osnovni zakon IIa tvrdi ∀ x φ (x) → φ (a), a gornji aksiom za egzistencijalni kvantifikator može se izvesti iz IIa koristeći pravila koja reguliraju uvjetovanja, negaciju i definiciju ∃ x (…) koja je gore diskutirana.

Postoji još jedna posljedica Fregeove logike kvantifikacije koju valja napomenuti. Frege je tvrdnje oblika X (…) uzeo za tvrdnje o postojanju. Predložio je da postojanje nije koncept pod koji objekti padaju, već koncept druge razine pod koji spadaju koncepti prve razine. Koncept F spada pod ovaj koncept druge razine samo u slučaju da F mapira barem jedan objekt u Istinu. Dakle, tvrdnja „Marsovci ne postoje“analizira se kao tvrdnja o konceptu marsovca, naime, da pod njim ništa ne pada. Frege je, dakle, postojao kao koncept druge razine koji preslikava prvorazredni koncept F u Istinu samo za slučaj ∃ xFx i sve ostale koncepte preslikava u The False. Mnogi su filozofi mislili da ova analiza potvrđuje Kantovo mišljenje da postojanje nije (stvarni) predikat.

2.3 Dokaz i definicija

2.3.1 Dokaz

Fregeov sustav (tj. Njegov izraz logika / predikatski račun) sastojao se od jezika i uređaja za dokazivanje izjava. Potonji se sastojao od skupa logičkih aksioma (izjave koje se smatraju istinama logike) i skupa pravila zaključivanja koja postavljaju uvjete pod kojima se neke jezične izjave mogu ispravno zaključiti iz drugih. Frege je pokazao kako je svaki korak u dokazu prijedloga opravdan bilo u smislu jednog od aksioma ili u smislu jednog od pravila zaključivanja ili opravdan teoremom ili izvedenim pravilom koje je već dokazano.

Stoga je Frege, kao dio svog formalnog sustava, razvio strogo razumijevanje "dokaza". U suštini, on je definirao dokaz kao bilo koji konačni niz izjava tako da je svaka rečenica u nizu ili aksiom ili slijedi iz prethodnih članova valjanim pravilom zaključivanja. Stoga je dokaz logike teorema, recimo φ, dakle svaki konačni niz izjava (s φ konačnim stavom u nizu) tako da je svaki član niza: (a) jedan od logičkih aksioma formalnog sustav ili (b) slijedi iz prethodnih članova niza pravilom zaključivanja. To su u suštini definicije koje logičari i danas koriste.

2.3.2 Definicija

Frege je bio izuzetno pažljiv u pogledu pravilnog opisa i definiranja logičkih i matematičkih pojmova. Razvio je snažne i pronicljive kritike matematičkog rada koje nisu udovoljile njegovim standardima za jasnoću. Na primjer, kritizirao je matematičare koji su definirali da varijabla bude broj koji varira, a ne izraz jezika koji može varirati u odnosu na određeni broj koji se odnosi. I kritizirao je one matematičare koji su razvili 'komadne' definicije ili 'kreativne' definicije. U Grundgesetze der Arithmetik, II (1903, odjeljci 56-67) Frege je kritizirao praksu definiranja koncepta na određenom rasponu objekata, a kasnije redefinirajući koncept na širem, uključivijem rasponu koncepata. Često je ovaj "komadni" stil definiranja vodio u sukob,budući da se redefinirani koncept nije uvijek svodio na izvorni koncept kada jedan ograničava raspon na izvornu klasu objekata. U istom tom djelu (1903, odjeljci 139-147) Frege je kritizirao matematičku praksu uvođenja notacije u ime (jedinstvenih) entiteta, a da prethodno nije dokazao da postoje (jedinstveni) takvi entiteti. Istaknuo je kako su takve 'kreativne definicije' jednostavno neopravdane.

2.4 Tečajevi vrijednosti, proširenja i predloženi matematički temelji

2.4.1 Tečajevi vrijednosti i proširenja

Fregeova ontologija sastojala se od dvije temeljno različite vrste entiteta, naime, funkcija i objekata (1891, 1892b, 1904). Funkcije su u određenom smislu 'nezasićene' tj. Oni su vrsta stvari koja uzima objekte kao argumente i preslikava te argumente u vrijednost. To ih razlikuje od predmeta. Kao što smo vidjeli, domena objekata uključivala je dva posebna objekta, naime vrijednosti istine Istina i Laž.

Frege je u svom radu iz 1893/1903. Pokušao proširiti domenu objekata sustavnim povezivanjem, sa svakom funkcijom ƒ, objekta koji je nazvao tokom vrijednosti ƒ. Vrijednost toka vrijednosti funkcije je zapis vrijednosti funkcije za svaki argument. Načelo koje je Frege koristio za sistematizaciju tečajeva vrijednosti je Osnovni zakon V (1893 / §20;):

Vrijednost tijeka pojma ƒ identična je vrijednostima pojma g ako i samo ako se ƒ i g dogovore o vrijednosti svakog argumenta (tj. Ako i samo ako je za svaki objekt x, ƒ (x) = g (x)).

Frege je upotrijebio grčki epsilon s glatkom oznakom disanja iznad njega kao dio oznake za označavanje tijeka vrijednosti funkcije ƒ:

ε'ƒ (ε)

gdje je prva pojava grčke ε (s oznakom glatkog disanja iznad nje) "operater koji se veže na varijabli", što bismo mogli čitati kao "tijek vrijednosti". Kako bismo izbjegli pojavu varijable clash, mi se također možemo upotrijebiti grčki α (s linijom iznad) kao operator vezanja varijable. Koristeći ovu oznaku, Frege je u svom sustavu formalno prikazao Osnovni zakon V kao:

Osnovni zakon V

ε'ƒ (ε) = α 'g (α) ≡ ∀ x [ƒ (x) = g (x)]

(Zapravo, Frege je zbog gore opisanih razloga koristio identitetni znak umjesto dvokondicionera kao glavni vezivac ovog načela.)

Frege je tijek vrijednosti pojma F nazvao njegovim proširenjem. Proširenje koncepta F bilježi upravo one objekte koje F preslikava u Istinu. Stoga se Osnovni zakon V jednako dobro primjenjuje na proširenja pojmova. Neka je (x) 'otvorena rečenica bilo koje složenosti sa slobodnom varijablom x (varijabla x može imati više od jedne pojave u φ (x), ali za jednostavnost pretpostavimo da ima samo jednu pojavu). Zatim bi pomoću operatora za vezanje varijable ε 'Frege upotrijebio izraz' ε'ƒ (ε) '(gdje drugi epsilon zamjenjuje x u φ (x)) za označavanje proširenja koncepta φ (podsjetimo, ipak, da u Fregeova nota, umjesto prevlake na prvom epsilonu upotrijebila bi se oznaka glatkog disanja. Gdje je 'n' naziv objekta, Frege bi mogao definirati 'objekt n je element proširenja pojma φ' na slijedeće jednostavne izraze:'koncept φ preslikava n u Istinu' (tj., φ (n)). Na primjer, broj 3 je element produžetka neparnog broja pojma veći od 2 ako i samo ako ovaj koncept preslikava 3 u Istinu.

Nažalost, Osnovni zakon V podrazumijeva kontradikciju, i to je Fretra ukazao Bertrandu Russellu baš kad je drugi svezak Grundgesetzea trebao objaviti. Russell je prepoznao da su neka proširenja sama po sebi, a neka nisu; proširenje koncepta proširenje je element samo po sebi, budući da bi taj koncept preslikao vlastiti nastavak u Istinu. Proširenje žlice za koncept nije element sam po sebi, jer bi taj koncept preslikao vlastiti nastavak u Lažno (jer proširenja nisu žlice). Ali što ćemo s proširenjem koncepta koji nije element sam po sebi? Neka E predstavlja ovaj koncept, a e ime produženje E. Je li element samoga sebe? Pa, e je element sam po sebi ako i samo ako se E preslikava u istinu (definicijom 'elementa', danom na kraju prethodnog stavka,gdje je e produžetak pojma E). Ali E preslikava e u Istinu ako i samo ako je produžetak koji nije element sam po sebi, tj. Ako i samo ako e nije element sam po sebi. Stoga smo zaključili da je e sam element ako i samo ako nije, pokazujući nekoherenciju u Fregeovoj koncepciji proširenja.

Daljnja rasprava o ovom problemu može se naći u zapisu o Russell-ovom Paradoksu, a cjelovitije objašnjenje kako paradoks nastaje u Fregeovom sustavu predstavljeno je u zapisu o Fregeovoj logici, teoremi i osnovama matematike.

2.4.2 Predloženi temelj za matematiku

Prije nego što je postao svjestan Russellovog paradoksa, Frege je pokušao izgraditi logički temelj za matematiku. Koristeći logički sustav koji sadrži Osnovni zakon V (1893/1903.), Pokušao je pokazati istinu filozofske teze poznate kao logičnost, tj. Ideja ne samo da se matematički pojmovi mogu definirati u smislu čisto logičkih pojmova, već i da su matematički načela se mogu izvesti samo iz zakona logike. Ali s obzirom na to da su ključne definicije matematičkih pojmova bile izražene u smislu proširenja, nedosljednost Osnovnog zakona V potkopala je Fregeov pokušaj uspostavljanja teze o logikizmu. Danas malo filozofa vjeruje da se matematika može svesti na logiku na način na koji je Frege imao na umu. Čini se da matematičke teorije poput teorije skupa zahtijevaju neke nelogične koncepte (poput skupa članstva) koji se ne mogu definirati logičkim pojmovima, barem kad ih aksiomatiziraju neki snažni nelogični aksiomi (poput odgovarajućih aksioma Zermelo- Fraenkel teorija skupova). Unatoč činjenici da je kontradikcija poništila dio njegovog sustava, zamršeni teorijski niz definicija i dokaza razvijen u Grundgesetzeu ipak je ponudio filozofskim logičarima intrigantan konceptualni okvir. Ideje Bertranda Russella i Alfreda North Whiteheada u Principia Mathematica duguju ogroman dug radu pronađenom u Fregeovom Grundgesetzeu. Unatoč činjenici da je kontradikcija poništila dio njegovog sustava, zamršeni teorijski niz definicija i dokaza razvijen u Grundgesetzeu ipak je ponudio filozofskim logičarima intrigantan konceptualni okvir. Ideje Bertranda Russella i Alfreda North Whiteheada u Principia Mathematica duguju ogroman dug radu pronađenom u Fregeovom Grundgesetzeu. Unatoč činjenici da je kontradikcija poništila dio njegovog sustava, zamršeni teorijski niz definicija i dokaza razvijen u Grundgesetzeu ipak je ponudio filozofskim logičarima intrigantan konceptualni okvir. Ideje Bertranda Russella i Alfreda North Whiteheada u Principia Mathematica duguju ogroman dug radu pronađenom u Fregeovom Grundgesetzeu.

Unatoč Fregeovom neuspjehu da pruži koherentnu sistematizaciju pojma proširenja, ovaj ćemo pojam iskoristiti za objašnjenje Fregeove teorije brojeva i analize izraza brojeva. Iako će rasprava uključivati pojam proširenja, nećemo zahtijevati Osnovni zakon V; na taj način možemo upotrijebiti naše neformalno razumijevanje pojma. Pored toga, ekstenzije se mogu rehabilitirati na različite načine, bilo aksiomatično kao u modernoj teoriji skupova (koja se čini dosljednima) ili kao u različitim dosljednim rekonstrukcijama Fregeovog sustava.

2.5 Analiza izvoda brojeva

U onome što se smatralo temeljnim traktatom, Die Grundlagen der Arithmetik (1884.), Frege je započeo rad na ideji dobivanja nekih osnovnih principa aritmetike iz onoga što je smatrao da su temeljniji logički principi i logički pojmovi. Filozofi i danas to djelo smatraju pronicavim. Vodeća ideja je da izjava o broju, poput "Postoji devet planeta" i "Postoje dva autora Principia Mathematica", zaista predstavlja izjavu o konceptu. Frege je shvatio da se jedne te iste fizičke pojave mogu konceptualizirati na različite načine, a to odgovara na pitanje "Koliko?" ima smisla samo nakon što se isporuči koncept F. Stoga bi se mogao zamisliti jedan te isti fizički entitet koji se sastoji od 1 vojske, 5 divizija, 20 pukovnija, 100 četa itd.,pa pitanje "Koliko?" legitimitet postaje tek kad se dostavi koncept koji se računa, poput vojske, divizije, pukovnije ili čete (1884, §46).

Koristeći se ovim uvidom, Frege je uzeo istinite izjave poput „Postoji devet planeta“i „Postoje dva autora Principia Mathematica“kao „druge razine“tvrdnji o konceptima planeta i autorici Principia Mathematica. U drugom slučaju, tvrdnja druge razine tvrdi da koncept na prvoj razini kao autor Principia Mathematica potpada pod koncept druge razine kao koncept pod koji dva predmeta padaju. Ovo zvuči kružno, jer izgleda kao da smo analizirali

Postoje dva autora Principia Mathematica,

što uključuje koncept dva, kao

Koncept koji je autor Principia Mathematica potpada pod taj pojam kao koncept pod koji dva predmeta padaju,

što također uključuje koncept dva. No, unatoč izgledima, nema nikakve kružnosti, jer Frege analizira koncept drugog reda kao koncept pod koji dva predmeta padaju bez privlačenja koncepta dva. Učinio je to definirajući "F je pojam pod koji dva predmeta padaju", čisto logički, kao bilo koji koncept F koji zadovoljava sljedeći uvjet:

Različite su stvari x i y koje potpadaju pod pojam F, a sve drugo što spada pod pojam F identično je ili x ili y.

U notaciji modernog predikatnog računa, to se formalizira kao:

∃ x ∃ y (x ≠ y & Fx & Fy & ∀ z (Fz → z = x ∨ z = y))

Imajte na umu da koncept koji je autor Principia Mathematica zadovoljava ovaj uvjet, budući da postoje različiti objekti x i y, naime Bertrand Russell i Alfred North Whitehead, koji su autor Principia Mathematica i koji su takvi da je sve drugo što autor Principia Mathematica identično jednom od njih. Na taj je način Frege analizirao izjavu o broju ("postoje dva autora Principia Mathematica") kao logičke izjave višeg reda o pojmovima.

Frege je potom napravio korak dalje. Primijetio je da svaki od uvjeta u sljedećem slijedu uvjeta definira klasu 'jednoličnih' pojmova, pri čemu je 'F' u svakom slučaju varijabla koja se kreće u odnosu na pojmove:

Uvjet (0):	Ništa ne spada pod F¬ x x Fx
Uvjet (1):	Točno jedna stvar spada pod F ∃ x (Fx & ∀ y (Fy → y = x))
Uvjet (2):	Točno dvije stvari spadaju pod F. ∃ x ∃ y (x ≠ y & Fx & Fy & ∀ z (Fz → z = x ∨ z = y))
Uvjet (3):	Točno tri stvari spadaju pod F. ∃ x ∃ y ∃ z (x ≠ y & x ≠ z & y ≠ z & Fx & Fy & Fz & ∀ w (Fw → w = x ∨ w = y ∨ w = z))
itd

Primijetite da ako su pojmovi P i Q oba pojma koji zadovoljavaju jedan od ovih uvjeta, tada postoji jedna povezanost između objekata koji spadaju pod P i objekata koji spadaju u Q. To jest, ako bilo koji od gore navedenih uvjeta točno opisuje i P i Q, tada svaki objekt koji spada pod P može biti uparen s jedinstvenim i različitim objektom koji pada pod Q, a pod tim uparivanjem svaki predmet koji spada pod Q dobiva uparen s nekim jedinstvenim i razlikoviti objekt koji spada pod P. (Prema logickom razumijevanju izraza 'svaki', ova se posljednja tvrdnja primjenjuje čak i na one pojmove P i Q koji zadovoljavaju uvjet (0). Frege bi takve P i Q nazvao jednakovrijednim pojmovima (1884, §72). Zaista, za svaki gore definirani uvjet, pojmovi koji zadovoljavaju taj uvjet parno su jednaki jedni drugima.

S ovim je pojmom jednoličnosti broj Frege definirao „broj pojma F“(ili, neslužbeno, „broj F s“) kao produžetak ili skup svih pojmova koji su jednaki s F (1884, §68), Na primjer, broj autora koncepta Principia Mathematica produžetak je svih pojmova koji su tom konceptu jednaki. Ovaj se broj, dakle, poistovjećuje s klasom svih pojmova pod koje spadaju dva objekta, jer je to definirano gore navedenim uvjetom (2). Frege je izričito identificirao broj 0 kao broj koncepta koji nije samoljepen (1884, §74). Teorema je logike da ništa ne spada pod ovaj koncept. Dakle, riječ je o konceptu koji zadovoljava gore navedeni uvjet (0). Frege je time identificirao broj 0 kao klasu svih pojmova pod koje ništa ne spada,jer je to klasa pojmova jednaka s pojmom koji nijesu istovjetni. Frege je Frege identificirao broj 1 kao klasu svih pojmova koji zadovoljavaju uvjet (1). I tako dalje. No premda to definira niz entiteta koji su brojevi, ovaj postupak zapravo ne definira prirodni broj pojma (konačni broj). Frege je, međutim, imao još dublju ideju o tome kako to učiniti.

2.6 Prirodni brojevi

Da bi se definirao pojam prirodnog broja, Frege je najprije definirao, za svaki odnos na dva mjesta R, opći pojam "x je predak y u R-seriji". Ovaj novi odnos naziva se "pretkom odnosa R". Porodica odnosa R najprije je definirana u Fregeovom Begriffsschriftu (1879, §26, Propozicija 76; 1884, §79). Intuitivna ideja je lako shvatljiva ako uzmemo u obzir da je odnos x otac y. Pretpostavimo da je a otac b, da je b otac c, i da je c otac d. Tada je Fregeova definicija "x predak y u nizu očinstva" osigurala da je a predak b, c i d, da je b predak c i d, i da je c predak d.

Općenitije, ako je dao niz činjenica iz obrasca aRb, bRc, cRd, i tako dalje, Frege je pokazao kako definirati odnos x predak y u R-seriji (Frege ovo naziva: y slijedi x u R-seriji). Da bi iskoristio ovu definiciju u slučaju prirodnih brojeva, Frege je morao definirati i odnos x koji prethodi y i predak tog odnosa, naime, x je predak y u prethodnom nizu. Najprije je definirao relacijski koncept x koji je prethodio y na sljedeći način (1884, §76):

x prethodi y ako postoji pojam F i objekt z takav da:

• z spada pod F,
• y je (kardinalni) broj pojma F, i
• x je (kardinalni) broj konceptnog objekta koji nije z koji spada pod F

U notaciji predikatnog izračuna, dopunjene funkcionalnom notacijom "# F" da označava broj F s i s λ-notacijom "[λ u φ]" da se složeni pojam pokaže kao predmet u takvom da φ, Fregeova definicija postaje:

Prethodno (x, y) = _df ∃ F ∃ z (Fz & y = # F & x = # [λ u Fu & u ≠ z])

Da biste vidjeli intuitivnu ideju koja stoji iza ove definicije, razmotrite kako je definicija zadovoljena u slučaju broja 1 koji prethodi broju 2: postoji koncept F (npr., F je autor Principia Mathematica) i objekt z (npr., z = Alfred North Whitehead) takav da:

• Whitehead potpada pod autoricu koncepta Principia Mathematica,
• 2 je (kardinalni) broj autora koncepta Principia Mathematica i
• 1 je (kardinalni) broj konceptualnog autora Principia Mathematica koji nije Whitehead.

Imajte na umu da je zadnji veznik istinit jer postoji točno jedan objekt (naime, Bertrand Russell) koji spada pod konceptni objekt, a ne Whitehead, a koji spada pod koncept autora Principia Mathematica.

Stoga, Frege ima definiciju prethodne koja se odnosi na parove,,,…. Frege je tada definirao pretke tog odnosa, naime, x je predak y u prethodničkom nizu. Iako se ovdje neće dati točna definicija, primijetimo da ona ima sljedeću posljedicu: ako je 10 prethodilo 11 i 11 prethodilo 12, slijedi da je 10 predak 12 u nizu prethodnika. Međutim, imajte na umu da iako je 10 predak od 12, 10 ne prethodi 12, jer pojam prethodi strogo prethode. Također imajte na umu da je Frege definirajući pretpostavku odnosa prednosti, naime, definirao x <y.

Podsjetimo da je Frege definirao broj 0 kao broj pojma koji nije samoljepen i da se na taj način 0 identificira s proširenjem svih koncepata koji nisu primjeri. Koristeći ovu definiciju, Frege je definirao (1884, §83):

x je prirodni broj ako je x = 0 ili 0 predak x u prethodničkom nizu

Drugim riječima, prirodni broj je svaki član prethodne serije koji počinje s 0.

Koristeći ovu definiciju kao osnovu, Frege je kasnije izvukao mnoge važne teorije teorije brojeva. Filozofi su tek nedavno shvatili važnost ovog djela (C. Parsons 1965, Smiley 1981, Wright 1983, i Boolos 1987, 1990, 1995). Wright 1983. posebno je pokazao kako aksiomi Dedekind / Peano za broj mogu biti izvedeni iz jednog od dosljednih principa o kojima je Frege raspravljao 1884., danas poznatog kao Humeovo načelo ('Broj F s jednak je broju G s ako i samo ako postoji međusobna korespondencija između F i G s '). R. Heck je nedavno pokazao da je, unatoč logičkoj nedosljednosti u Fregeovom sustavu 1893/1903., Sam Frege valjano izveo aksiome Dedekind / Peano iz Humeovog principa. Iako je Frege koristio svoj nedosljedni aksiom, Osnovni zakon V, da bi uspostavio Humeovo načelo,Jednom kada je uspostavljen Humeov princip, naknadne izvedbe aksioma Dedekind / Peano ne stvaraju daljnje suštinske žalbe na Osnovni zakon V. Nakon vođenja Georgea Boolosa, filozofi danas nazivaju izvedbu Dedekindskih / Peano Aksioma iz Humeovog načela 'Fregeovim teoremom', Dokaz Fregeove teoreme bila je turneja koja je uključila neke od najljepših, najsuptilnijih i složenijih logičkih zaključaka koji su ikada osmišljeni. Za sveobuhvatni uvod u logiku Fregeove teoreme pogledajte unos Fregeove logike, teorema i temelje aritmetike.filozofi danas nazivaju izvedbu aksioma Dedekind / Peano iz Humeova načela 'Fregeovim teoremom'. Dokaz Fregeove teoreme bila je turneja koja je uključila neke od najljepših, najsuptilnijih i složenijih logičkih zaključaka koji su ikada osmišljeni. Za sveobuhvatni uvod u logiku Fregeove teoreme pogledajte unos Fregeove logike, teorema i temelje aritmetike.filozofi danas nazivaju izvedbu aksioma Dedekind / Peano iz Humeova načela 'Fregeovim teoremom'. Dokaz Fregeove teoreme bila je turneja koja je uključila neke od najljepših, najsuptilnijih i složenijih logičkih zaključaka koji su ikada osmišljeni. Za sveobuhvatni uvod u logiku Fregeove teoreme pogledajte unos Fregeove logike, teorema i temelje aritmetike.

2.7 Fregeova koncepcija logike

Prije nego što je primio glasovito pismo Bertranda Russella kojim ga je obavijestio o nedosljednosti u svom sustavu, Frege je mislio da je pokazao da se aritmetika može svoditi na analitičke istine logike (tj. Izjave koje su istinite samo u smislu značenja logičkih riječi pojavljuju se u tim izjavama). Danas je, međutim, prepoznato da je Frege u najboljem slučaju pokazao da se aritmetika može svesti na logiku drugog reda koju širi samo Humeov princip. Neki filozofi smatraju da je Humeov princip analitički istinit (tj. Istinit zbog samog značenja njegovih riječi), dok se drugi opiru toj tvrdnji, pa se u literaturi vodi zanimljiva rasprava o tom pitanju. Međutim, za potrebe ovog uvodnog eseja, postavljaju se prethodna pitanja na koja je važnije usredotočiti se na narav Fregeove logike,naime, je li Fregeov sustav iz 1879. ili 1893/1903. (isključujući Osnovni zakon V) sadržavao bilo kakve ekstraloške resurse? ", i" Kako se Fregeovo poimanje logike razlikovalo od onog njegovih prethodnika, a posebno Kantovog? " Jer, čak i ako je Frege bio u pravu misleći da se aritmetika može svesti na istine logike, dobro je poznato da je Kant smatrao da se aritmetika sastoji od sintetičkih (a priori) istina i da se ne može svesti na analitičke logičke istine. Ali, naravno, Fregeov pogled i Kantov pogled proturječu jedni drugima samo ako imaju istu logičku koncepciju. Jesu li?a?” Jer, čak i ako je Frege bio u pravu misleći da se aritmetika može svesti na istine logike, dobro je poznato da je Kant smatrao da se aritmetika sastoji od sintetičkih (a priori) istina i da se ne može svesti na analitičke logičke istine. Ali, naravno, Fregeov pogled i Kantov pogled proturječu jedni drugima samo ako imaju istu logičku koncepciju. Jesu li?a?” Jer, čak i ako je Frege bio u pravu misleći da se aritmetika može svesti na istine logike, dobro je poznato da je Kant smatrao da se aritmetika sastoji od sintetičkih (a priori) istina i da se ne može svesti na analitičke logičke istine. Ali, naravno, Fregeov pogled i Kantov pogled proturječu jedni drugima samo ako imaju istu logičku koncepciju. Jesu li?

MacFarlane 2002 se bavi ovim pitanjem i ističe da se njihove koncepcije razlikuju na različite načine:

… resursi koje Frege prepoznaje kao logički daleko nadmašuju one Kantove logike (Aristotelov termin logike s dodatkom jednostavne teorije disjunktivnih i hipotetičkih stavova). Najdramatičnija razlika je u tome što Fregeova logika omogućava definiranje pojmova pomoću ugniježđenih kvantifikatora, dok je Kantova ograničena na predstavljanje inkluzijskih odnosa.

MacFarlane nadalje naglašava da Fregeova logika sadrži i kvantifikatore višeg reda (tj. Kvantifikatore u rasponu od pojmova) i logički funkcionar za formiranje jedninskih izraza iz otvorenih rečenica (tj. Izraz "produženje" uzima otvorenu rečenicu φ (x) da bi se dobio jednini pojam, "produljenje pojma φ (x)"). MacFarlane napominje da ako bismo pokušali iskazati takve resurse u Kantovom sustavu, morali bismo se žaliti na nelogične konstrukcije koje imaju smisla samo s obzirom na sposobnost "intuicije", odnosno na ekstraloški izvor koji predstavlja naš um sa (razumnim) pojavama o kojima se mogu oblikovati prosudbe. Frege negira Kantov dijakt (A51 / B75), "Bez razboritosti nam se ne bi dao nikakav objekt", tvrdeći da su 0 i 1 objekti, ali da oni "mogu"ne može nam se dati u osjećaju '(1884, 101). (Fregeovo stajalište je da naše razumijevanje može shvatiti kao objekte ako se njihove definicije mogu temeljiti na analitičkim prijedlozima koji reguliraju proširenje pojmova.)

Rasprava o tome koji resursi zahtijevaju apeliranje na intuiciju, a koja nije bitna, budući da se Frege posvetio ideji da eliminira apele na intuiciju u dokazima osnovnih promišljanja aritmetike. Frege je vidio jako puno u duhu Bolzana (1817), koji je eliminirao apel na intuiciju u dokazu teoreme posredničke vrijednosti u računici dokazivanjem ove teoreme iz definicije kontinuiteta, koja je nedavno definirana u smislu definicija ograničenja (vidjeti Coffa 1991, 27). Kantijanin bi mogao vrlo jednostavno nacrtati graf neprekidne funkcije koja uzima vrijednosti iznad i ispod podrijetla, i na taj način „pokazati“da takva funkcija mora prijeći izvor. Ali i Bolzano i Frege vidjeli su takve pozive na intuiciju da potencijalno uvode logičke praznine u dokaze. Postoje dobri razlozi da budemo sumnjivi u takvim žalbama: (1) postoje primjeri funkcija koje ne možemo oblikovati ili na drugi način konstruirati za prezentaciju našem intuitivnom fakultetu - razmotrimo funkciju ƒ koja racionalne brojeve preslikava u 0, a iracionalne brojeve na 1 ili razmotriti one funkcije koje su svugdje neprekidne, ali nigdje diferencirane; (2) nakon što zauzmemo određene intuitivne pojmove i formaliziramo ih u smislu eksplicitnih definicija, formalna definicija može podrazumijevati kontratuktivne rezultate; i (3) pravila zaključivanja od izjava do konstrukcija i natrag nisu uvijek jasna. Frege je izričito napomenuo činjenicu da se trudio izbjegavati konstrukcije i apele na intuiciju u dokazima osnovnih aritmetičkih propozicija (1879, Predgovor / 5, Dio III / §23; 1884, § 62, 87; 1893, §0; i 1903, prilog).

To nas dovodi do jedne od najvažnijih razlika između Fregeove logike i Kantove logike. Fregeova logika drugog reda uključivala je Pravilo supstitucije (Grundgesetze I, 1893, §48, točka 9), koje omogućuje zamjenu složenih otvorenih formula u logičke teoreme da bi se proizvele nove logičke teoreme. Ovo je pravilo ekvivalentno vrlo snažnom uvjetu postojanja koji upravlja konceptima poznatim kao Načelo razumijevanja za pojmove. Ovaj princip tvrdi postojanje koncepta koji odgovara svakoj otvorenoj formuli oblika φ (x) sa slobodnom varijablom x, bez obzira koliko složeni je φ. S Kantovog stanovišta, tvrdnje o postojanju smatralo se sintetskim i njima je trebalo opravdanje fakultet intuicije. Iako je jedan od Fregeovih ciljeva bio izbjeći žalbe na sposobnost intuicije,stvarno se postavlja pitanje je li njegov sustav, koji uključuje pravilo zaključivanja, ekvivalentno načelu koje tvrdi postojanje širokog raspona pojmova, u svom djelokrugu ograničen na čisto logičke zakone analitičke prirode.

Jedna konačna važna razlika između Fregeove koncepcije logike i Kantove brige odnosi se na pitanje ima li logika svojstven samo sebi. Kao što MacFarlane 2002 ističe, jedno od Kantovih središnjih stajališta o logici jest da su njeni aksiomi i teoreme čisto formalne prirode, tj. Apstrahirani od svih semantičkih sadržaja i da se tiču samo oblika prosudbi, koji su primjenjivi u svim fizičkim i fizičkim matematičke znanosti (1781/1787, A55 / B79, A56 / B80, A70 / B95). Suprotno tome, Frege je preuzeo logiku da ima svoj jedinstveni predmet, koji je uključivao ne samo činjenice o pojmovima (koja se tiču negacije, subumpcije itd.), Identitetu itd. (Frege 1906, 428), već i činjenice o precima odnosa i prirodni brojevi (1879, 1893). Fregeova gledišta nije čisto formalna,već može pružiti sadržajno znanje o objektima i pojmovima.

Unatoč tim temeljnim razlikama u njihovoj koncepciji logike, Kant i Frege su se možda složili da je najvažnija karakteristika logike njegova općenitost, tj. Činjenica da ona pruža norme (pravila, recepte) koji su konstitutivni za mišljenje. To zbližavanje Kanta i Fregea detaljno je razrađeno u MacFarlaneu 2002. Čitatelj će naći razloge za razmišljanje da su Kant i Frege možda dijelili dovoljno zajedničke koncepcije logike za koju vjerujemo da izjednačavanje ne narušava prividnu nedosljednost između njihovih pogleda na reduciranost aritmetike u logiku. Nipošto nije utvrđeno kako trebamo razmišljati o odnosu aritmetike i logike, budući da se logičari još nisu postigli oko ispravne koncepcije logike. Mnogi moderni logičari imaju koncepciju logike koja se još razlikuje od Kanta i Fregea. Ona se razvija iz ideja da (1) određeni pojmovi i zakoni ostaju nepromjenjivi pod permutacijama domene kvantifikacije i (2) da ta logika ne bi trebala diktirati veličinu kvantifikacije domene. Ali ta koncepcija još nije artikulirana na široko prihvaćen način, pa elementi zajednički Fregeovoj i Kantovoj koncepciji mogu još uvijek igrati ulogu u našem razumijevanju što je logika. (Za izvrsnu raspravu o Fregeovoj koncepciji logike, vidi Goldfarb 2001.)i (2) ta logika ne bi trebala diktirati veličinu domene kvantifikacije. Ali ta koncepcija još nije artikulirana na široko prihvaćen način, pa elementi zajednički Fregeovoj i Kantovoj koncepciji mogu još uvijek igrati ulogu u našem razumijevanju što je logika. (Za izvrsnu raspravu o Fregeovoj koncepciji logike, vidi Goldfarb 2001.)i (2) ta logika ne bi trebala diktirati veličinu domene kvantifikacije. Ali ta koncepcija još nije artikulirana na široko prihvaćen način, pa elementi zajednički Fregeovoj i Kantovoj koncepciji mogu još uvijek igrati ulogu u našem razumijevanju što je logika. (Za izvrsnu raspravu o Fregeovoj koncepciji logike, vidi Goldfarb 2001.)

3. Fregeova filozofija jezika

Dok se bavio svojim istraživanjima matematike i logike (i što je sasvim moguće, da bi se ta istraživanja utemeljila), Frege je doveden do razvoja filozofije jezika. Njegova filozofija jezika imala je podjednako, ako ne i veći utjecaj nego njegov doprinos logici i matematici. Fregeov seminarski rad u ovom polju „Über Sinn und Bedeutung“(„O smislu i referenci“, 1892.) sada je klasik. Frege je u ovom radu razmotrio dvije zagonetke o jeziku i primijetio, u svakom slučaju, da se ne može objasniti smislenost ili logično ponašanje određenih rečenica jednostavno na temelju oznaka pojmova (imena i opisa) u rečenici. Jedna zagonetka odnosila se na izjave identiteta, a druga na rečenice s podređenim rečenicama, poput izvještaja o stavu prijedloga. Da biste riješili ove zagonetke,Frege je sugerirao da pojmovi jezika imaju i značenje i oznaku, tj. Da su potrebna najmanje dva semantička odnosa da bi se objasnio značaj ili značenje pojmova jezika. Ova ideja potiče istraživanja na tom području više od jednog stoljeća i o njima raspravljamo u nastavku. (Pogledajte Heck i svibanj 2006. za daljnju raspravu o Fregeovom doprinosu filozofiji jezika.)

3.1 Fregeove zagonetke

3.1.1 Fregeova zagonetka o izjavama identiteta

Evo nekoliko primjera izjava o identitetu:

117 + 136 = 253.

Jutarnja zvijezda identična je večernjoj.

Mark Twain je Samuel Clemens.

Bill je Debbiejev otac.

Frege je vjerovao da sve te izjave imaju oblik 'a = b', pri čemu su 'a' i 'b' ili imena ili opisi koji označavaju pojedince. On je, naravno, pretpostavio da je rečenica oblika 'a = b' istinita ako i samo ako je objekt a pravedan (identičan) objektu b. Na primjer, rečenica '117 + 136 = 253' je istinita ako i samo ako je broj 117 + 136 samo broj 253. A izjava 'Mark Twain je Samuel Clemens' je istinita ako i samo ako osoba Mark Twain samo je osoba Samuel Clemens.

Ali Frege je primijetio (1892.) da ova istina ne može biti sve što značenje izjava identiteta. Izjava 'a = a' ima kognitivni značaj (ili značenje) koji se mora razlikovati od kognitivnog značenja 'a = b'. Možemo naučiti da je "Mark Twain = Mark Twain" istinit samo tako da ga uvidimo; ali ne možemo naučiti istinu 'Mark Twain = Samuel Clemens' jednostavnim uvidom u nju - morate ispitati svijet da biste vidjeli jesu li dvije osobe iste. Slično tome, dok možete saznati da su „117 + 136 = 117 + 136“i „jutarnja zvijezda je identična jutarnjoj zvijezdi“istiniti su jednostavno pregledom, ne možete naučiti istinu o „117 + 136 = 253“i 'jutarnja zvijezda je identična večernjoj' jednostavno pregledom. U potonjim slučajevima,morate obaviti neki aritmetički posao ili astronomsko istraživanje da biste saznali istinu tih tvrdnji o identitetu. Sada problem postaje jasan: značenje 'a = a' jasno se razlikuje od značenja 'a = b', ali s obzirom na istinu opisanu u prethodnom stavku, čini se da ove dvije izjave identiteta imaju isto značenje kad god istine su! Na primjer, 'Mark Twain = Mark Twain' vrijedi za svaki slučaj: osoba Mark Twain identična je s osobom Mark Twain. A "Mark Twain = Samuel Clemens" istinit je za svaki slučaj: osoba Mark Twain identična je s osobom Samuela Clemensa. Ali s obzirom da je Mark Twain samo Samuel Clemens, ova su dva slučaja isti slučaj, a to ne objašnjava razliku u značenju dviju identitetskih rečenica. I nešto slično odnosi se na sve ostale primjere identitetskih izjava koje imaju oblike 'a = a' i 'a = b'.

Dakle, zagonetka koju je Frege otkrio jest: kako računamo razliku u kognitivnom značaju između 'a = b' i 'a = a' kada su istinite?

3.1.2 Fregeova zagonetka o izvješćima o prijedlogu stavova

Fregeu se obično pripisuje identifikacija sljedeće zagonetke o izvještajima o prijedlogu stava, iako on nije sasvim opisao zagonetku u niže navedenim terminima. Prijedlog stava je psihološki odnos između osobe i prijedloga. Vjera, želja, namjera, otkriće, znanje itd. Sve su psihološki odnosi između osoba, s jedne strane, i prijedloga, s druge strane. Kad izvještavamo o propozicijskim stavovima drugih, sva ova izvješća imaju sličan logički oblik:

x vjeruje da p

x želi da p

x namjerava da p

x otkrije da p

x zna da p

Ako varijablu 'x' zamijenimo imenom osobe i zamijenimo varijablu 'p' rečenicom koja opisuje prijedložni objekt njihovog stava, dobivamo specifična izvješća o stavu. Dakle, zamijenivši "x" s "John", a "p" s "Mark Twain je napisao Huckleberry Finn" u prvom primjeru, rezultat bi bio sljedeći izvještaj o specifičnim vjerovanjima:

John vjeruje da je Mark Twain napisao Huckleberry Finn.

Da biste vidjeli problem koji predstavlja analiza izvještaja o prijedlogu stava, razmotrite što je, čini se, jednostavno načelo obrazloženja, naime, načelo supstitucije identiteta (to se ne smije miješati sa pravilom supstitucije raspravljanim ranije). Ako se ime, recimo n, pojavljuje u pravoj rečenici S, a rečenica identiteta n = m je istinita, tada nam Princip identiteta zamjene govori da zamjena imena m za ime n u S ne utječe na istinu od S. Na primjer, neka je S prava rečenica "Mark Twain je bio autor", neka n bude ime "Mark Twain", a m ime "Samuel Clemens". Onda, budući da je rečenica identiteta 'Mark Twain = Samuel Clemens' istinita, 'Samuel Clemens' možemo zamijeniti za 'Mark Twain', a da ne utječemo na istinitost rečenice. I doista,rezultirajuća rečenica 'Samuel Clemens je bio autor' istinita je. Drugim riječima, valjan je slijedeći argument:

Autor Twain bio je autor.

Mark Twain = Samuel Clemens.

Samuel Clemens je, dakle, autor.

Slično tome, valjan je i slijedeći argument.

4> 3

4 =

8/2 Stoga 8/2> 3

Općenito, čini se da načelo supstitucije identiteta ima sljedeći oblik, gdje je S rečenica, n i m su imena, a S (n) se razlikuje od S (m) samo činjenicom da je barem jedna pojava m zamjenjuje n:

Iz S (n) i n = m, zaključiti S (m)

Čini se da ovaj princip obuhvaća ideju da ako kažemo nešto istinito o nekom objektu, čak i ako promijenimo ime prema kojem se odnosimo prema tom objektu, i dalje bismo trebali reći nešto istinito o tom objektu.

Ali Frege je, zapravo, primijetio sljedeći kontra-primjer načela supstitucije identiteta. Razmotrite sljedeći argument:

John vjeruje da je Mark Twain napisao Huckleberry Finn.

Mark Twain = Samuel Clemens.

Stoga John vjeruje da je Samuel Clemens napisao Huckleberry Finn.

Ovaj argument nije valjan. Postoje okolnosti u kojima su pretpostavke istinite, a zaključak neistinit. Već smo opisali takve okolnosti, naime, onu u kojoj John uči ime 'Mark Twain' čitajući Huckleberry Finn, ali ime 'Samuel Clemens' uči u kontekstu učenja o američkim autorima iz 19. stoljeća (a da ne nauči da ime 'Mark Twain 'je bio pseudonim za Samuela Clemensa). John možda ne vjeruje da je Samuel Clemens napisao Huckleberry Finn. Stoga pretpostavke gornjeg argumenta logično ne uključuju zaključak. Stoga se čini da se načelo zamjene identiteta ruši u kontekstu izvještaja o stavu prijedloga. Zagonetka je, dakle, reći ono što uzrokuje propadanje principa u tim kontekstima. Zašto nisit još uvijek kažemo nešto istinito o dotičnom čovjeku ako je sve što smo učinili promijenilo ime kojim ga nazivamo?

3.2 Fregeova teorija smisla i denotacije

Kako bi objasnio ove zagonetke, Frege je predložio da pored denotacije, imena i opisi također izražavaju smisao. Smisao izraza objašnjava njegov kognitivni značaj - to je način na koji čovjek shvata oznaku pojma. Izrazi '4' i '8/2' imaju istu oznaku, ali izražavaju različita osjetila, različite načine poimanja istog broja. Opisi "jutarnja zvijezda" i "večernja zvijezda" označavaju isti planet, naime Veneru, ali izražavaju različite načine začeća Venere i tako imaju različita osjetila. Naziv "Pegasus" i opis "najmoćniji grčki bog" obojica imaju smisla (i njihova su čula različita), ali nemaju oznaku. Međutim, iako imena 'Mark Twain' i 'Samuel Clemens' označavaju istu osobu, ona izražavaju različita osjetila.(Pogledajte svibanj 2006b za lijepu raspravu o pitanju je li Frege vjerovao da osjećaj imena varira od osobe do osobe.) Koristeći razliku između smisla i oznake, Frege može objasniti razliku u kognitivnom značaju između identitetskih izjava oblik 'a = a' i one oblika 'a = b'. Kako se osjećaj 'a' razlikuje od osjećaja za 'b', sastavnice smisla 'a = a' i osjećaj 'a = b' su različite. Frege može tvrditi da je smisao cjelokupnog izraza u dva slučaja različit. Budući da osjećaj za izraz objašnjava njegov kognitivni značaj, Frege ima objašnjenje razlike u kognitivnom značaju između 'a = a' i 'a = b', a time i rješenje prve zagonetke.

Nadalje, Frege je predložio da kada izraz (ime ili opis) slijedi glagol prijedloga, više ne označava ono što obično označava. Umjesto toga, Frege tvrdi da u takvim kontekstima pojam označava njegov uobičajeni smisao. To objašnjava zašto načelo zamjene identiteta ne uspijeva za izraze koji slijede glagole prijedloškog stava u izvješćima o prijedlogu stava. Načelo tvrdi da se istina čuva kada zamijenimo jedno ime drugim imenom istog naziva. Ali, prema Fregeovoj teoriji, nazivi "Mark Twain" i "Samuel Clemens" označavaju različita osjetila kada se pojave u sljedećim rečenicama:

John vjeruje da je Mark Twain napisao Huckleberry Finn.

John vjeruje da je Samuel Clemens napisao Huckleberry Finn.

Ako ne označavaju isti predmet, onda nema razloga misliti da bi zamjena jednog imena drugim sačuvala istinu.

Frege je teoriju smisla i denota razvio u temeljitu filozofiju jezika. Ova se filozofija može objasniti, barem u obrisu, jednostavnom rečenicom poput „Ivan voli Mariju“. Prema Fregeovom mišljenju, riječi "Ivan" i "Marija" u ovoj su rečenici imena, izraz "ljubi" označava funkciju, i štoviše, rečenica u cjelini je složeno ime. Svaki od tih izraza ima i značenje i oznaku. Značenje i oznaka imena su osnovna; ali smisao i oznaka rečenice u cjelini mogu se opisati u smislu smisla i oznake imena i načina na koji su te riječi raspoređene u rečenici, uz izraz „voli“. Recimo na oznaku i smislu riječi kao što slijedi:

d [j] odnosi se na oznaku imena 'John'.

d [m] odnosi se na oznaku naziva 'Marija'.

d [L] odnosi se na oznaku izraza 'voli'.

s [j] odnosi se na značenje imena 'John'.

s [m] odnosi se na značenje imena 'Marija'.

s [L] se odnosi na smisao izraza 'voli'.

Sada radimo na teoretskom opisu oznake rečenice u cjelini. Prema Fregeovom mišljenju, d [j] i d [m] su stvarne osobe, John, odnosno Mary. d [L] je funkcija koja preslikava d [m] (tj. Mariju) u funkciju () voli Mariju. Ova posljednja funkcija služi kao oznaka predikata 'voli Mariju' i notaciju d [Lm] možemo koristiti da bismo je semantički nazivali. Sada funkcija d [Lm] preslikava d [j] (tj. John) na oznaku rečenice "Ivan voli Mariju". Označimo rečenicu rečenice kao d [jLm]. Frege identificira rečenicu kao jednu od dvije vrijednosti istine. Jer d [Lm] mapira objekte u vrijednosti istine, to je koncept. Dakle, d [jLm] je vrijednost istine Istina ako Ivan spada pod pojam d [Lm]; inače je vrijednost istine Lažno. Prema Fregeovom mišljenju, rečenica "Ivan ljubi Mariju" naziva vrijednost istine. ^[1]

Rečenica 'Ivan ljubi Mariju' također izražava smisao. Njegov smisao može se opisati na sljedeći način. Iako se čini da Frege nije to izričito rekao, njegov rad sugerira da je s [L] (smisao izraza 'voli') funkcija. Ova bi funkcija preslikala s [m] (smisao naziva 'Marija') na smisao predikata "voli Mariju". Nazovimo se kao osjećaj 'ljubi Mariju' kao s [Lm]. Čini se da Fregeov rad opet nagovještava da trebamo s [Lm] smatrati funkcijom koja preslikava s [j] (smisao imena 'John') na smisao cijele rečenice. Nazovimo smisao cijele rečenice s [jLm]. ^[2]Frege smislu rečenice naziva mišlju, a dok postoje samo dvije vrijednosti istine, pretpostavlja da postoji beskonačan broj misli.

Pomoću ovog opisa jezika Frege može dati općeniti prikaz razlike u kognitivnom značaju između identitetskih izjava oblika 'a = a' i 'a = b'. Kognitivni značaj ne računa se na razini denotacije. Prema Fregeovom mišljenju, rečenice '4 = 8/2' i '4 = 4' označavaju istu vrijednost istine. Funkcija () = () preslikava 4 i 8/2 u Istinu, tj. Preslikava 4 i 4 u Istinu. Dakle, d [4 = 8/2] je identičan d [4 = 4]; obojica su istinite. Međutim, dvije dotične rečenice izražavaju različite misli. To je zato što se s [4] razlikuje od s [8/2]. Dakle, misao s [4 = 8/2] razlikuje se od misli s[4 = 4]. Slično tome, "Mark Twain = Mark Twain" i "Mark Twain = Samuel Clemens" označavaju istu vrijednost istine. Međutim, s obzirom da se s [Mark Twain] razlikuje od s [Samuel Clemens], Frege bi tvrdio da se misao s [Mark Twain = Mark Twain] razlikuje od misli s [Mark Twain = Samuel Clemens].

Nadalje, podsjetite da je Frege predložio da termini koji slijede glagole propozicijskog stava ne označavaju njihove uobičajene oznake, već osjetila koja obično izražavaju. U stvari, u sljedećem prijedlogu prijedloga stava ne samo da riječi "Mark Twain", "napisao" i "Huckleberry Finn" označavaju njihova uobičajena čula, već cijela rečenica "koju je Mark Twain napisao Huckleberry Finn" također označava njezin uobičajeni smisao (naime, misao):

John vjeruje da je Mark Twain napisao Huckleberry Finn.

Frege bi, dakle, analizirao ovo izvješće o stavu na sljedeći način: 'vjeruje da' označava funkciju koja preslikava oznaku rečenice 'Mark Twain napisao je Huckleberry Finn' u koncept. U ovom slučaju, međutim, rečenica "Mark Twain napisao Huckleberry Finn" nije vrijednost istine, već misao. Misao koju označava različita je od misli koju je "Samuel Clemens napisao Huckleberry Finn" u sljedećem izvješću o prijedlogu stava:

John vjeruje da je Samuel Clemens napisao Huckleberry Finn.

Budući da se misao koju je označio 'Samuel Clemens napisao Huckleberry Finn' u ovom kontekstu razlikuje od misli koju je označio 'Mark Twain napisao je Huckleberry Finn' u istom kontekstu, koncept označen s 'vjeruje da je Mark Twain napisao Huckleberry Finn' drugačiji je koncept od onoga koji je označen s "vjeruje da je Samuel Clemens napisao Huckleberry Finn". Može se dosljedno pretpostaviti da pojam koji je označen prethodnim predikatom preslikava Ivana u istinu, dok pojam koji je označen ovim drugim predikatom nema. Fregeova analiza stoga čuva našu intuiciju da John može vjerovati da je Mark Twain napisao Huckleberry Finn ne vjerujući da je to učinio Samuel Clemens. Također se čuva načelo supstitucije identiteta - činjenica da se ne može zamijeniti "Samuel Clemens" za "Mark Twain" kad se ta imena pojavljuju nakon glagola prijedloga, ne predstavlja dokaz protiv načela. Jer ako je Frege u pravu, imena nemaju uobičajeno označavanje kad se pojavljuju u tim kontekstima.

Bibliografija

A. Primarni izvori

Fregeov potpuni korpus

Kronološki katalog Fregeovog djela

Radovi Fregea citirani u ovom unosu

1879	Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle a. S.: Louis Nebert. Prevedeno kao Concept Script, formalni jezik čiste misli po uzoru na aritmetiku, S. Bauer-Mengelberg u J. vanHeijenoort (ur.), Od Fregea do Gödela: Knjiga izvora u Matematičkoj logici, 1879-1931, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967.
1884	Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: W. Koebner. Prevedeno kao Temelji aritmetike: Logičko-matematičko istraživanje koncepta broja, JL Austin, Oxford: Blackwell, drugo revidirano izdanje, 1974.
1891	'Funktion und Begriff', Vortrag, gehalten in der Sitzung vom 9. januara 1891. der Jenaischen Gesellschaft za Medizin und Naturwissenschaft, Jena: Hermann Pohle. Preveo je "Funkcija i koncept" P. Geach u prijevodima s filozofskih zapisa Gottlob Fregea, P. Geacha i M. Blacka (ur. I dalje), Oxford: Blackwell, treće izdanje, 1980.
1892a	'Über Sinn und Bedeutung', u Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 100: 25-50. Preveo M. Black u 'O smislu i referenci' u prijevodima s filozofskih zapisa Gottlob Fregea, P. Geach i M. Black (ur. I dalje), Oxford: Blackwell, treće izdanje, 1980.
1892b	"Über Begriff und Gegenstand", u Vierteljahresschrift für wissenschaftliche Philosophie, 16: 192-205. Preveo je "Koncept i objekt" P. Geach u prijevodima s filozofskih zapisa Gottlob Fregea, P. Geach i M. Black (ur. I dalje), Oxford: Blackwell, treće izdanje, 1980.
1893	Grundgesetze der Arithmetik, Jena: Verlag Hermann Pohle, Band I. Djelomični prijevod kao osnovni aritmetički zakoni M. Furth, Berkeley: U. of California Press, 1964.
1903	Grundgesetze der Arithmetik, Jena: Verlag Hermann Pohle, Band II.
1904	'Was ist eine Funktion?', U Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage, 20. veljače 1904., S. Meyer (ur.), Leipzig: Barth, 1904, str. 656-666. Prevedeno kao "Što je funkcija?" P. Geach u prijevodima s filozofskih zapisa Gottlob Fregea, P. Geach i M. Black (ur. i prijevod), Oxford: Blackwell, treće izdanje, 1980.
1906	'Über die Grundlagen der Geometrie' (Druga serija), Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 15: 293-309 (I dio), 377-403 (II. Dio), 423-430 (III dio). Prijevod "O temeljima geometrije (druga serija)" E.-HW Klugea, u "Temelji geometrije i formalne teorije artemije", New Haven: Yale University Press, 1971.

B. Sekundarni izvori

• Beaney, M., 1996, Frege: Making Sense, London: Duckworth.
• Beaney, M., 1997, Frege Reader, Oxford: Blackwell
• Bell, D., 1979, Fregeova teorija presude, Oxford: Clarendon.
• Bolzano, B., 1817, „Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes“, u ranim matematičkim radovima (1781–1848), L. Novy (ur.), Institut za čehoslovačku i opću povijest CSAS, Prag, 1981.
• Boolos, G., 1986, „Spasavanje Fregea od kontradikcije“, Zbornik Aristotelovskog društva, 87: 137–111.
• Boolos, G., 1987, "Dosljednost Fregeovih temelja aritmetike", u J. Thomson (ur.), O biti i kazivanju, Cambridge, MA: The MIT Press, str. 3–20.
• Boolos, G., 1990, „Standard jednakosti brojeva“, u G. Boolos (ur.), Značenje i metoda: eseji u čast Hilary Putnam, Cambridge: Cambridge University Press, 261–77.
• Boolos, G., 1995, „Fregeov teorem i stupici panoa“, Bilten simboličke logike 1, 317–26.
• Boolos, G., 1998, Logic, Logic, and Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Burgess, J., 2005, Fixing Frege, Princeton: Princeton University Press.
• Coffa, JA, 1991, Semantička tradicija od Kanta do Carnapa, L. Wessels (ur.), Cambridge: Cambridge University Press.
• Currie, G., 1982, Frege: Uvod u njegovu filozofiju, Brighton, Sussex: Harvester Press.
• Demopoulos, W., (ur.), 1995., Fregeova filozofija matematike, Cambridge, MA: Harvard.
• Dummett, M., 1973, Frege: Filozofija jezika, London: Duckworth.
• Dummett, M., 1981., Tumačenje Fregeove filozofije, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Dummett, M., 1991, Frege: Filozofija matematike, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Furth, M., 1967, „Uvod urednika“, u: G. Frege, Osnovni zakoni aritmetike, M. Furth (prevoditelj i urednik), Berkeley: University of California Press, str. V – lvii
• Goldfarb, W., 2001., "Fregeova koncepcija logike", u J. Floydu i S. Shiehu (ur.), Buduća prošlost: Analitička tradicija u filozofiji dvadesetog stoljeća, Oxford: Oxford University Press, 25–41.
• Haaparanta, L. i Hintikka, J., (ur.), 1986, Frege Synthesized, Dordrecht: D. Reidel.
• Heck, R., 1993, „Razvoj aritmetike u Fregeovoj Grundgesetze der Arithmetik“, časopis za simboličku logiku, 58/2 (lipanj): 579–601.
• Heck, R. i R. May, 2006., "Fregeov doprinos filozofiji jezika", u: E. Lepore i B. Smith (ur.), Priručnik za filozofiju jezika u Oxfordu, Oxford: Oxford University Press.
• Hodges, W., 2001, "Formalne karakteristike kompozicionizma", časopis za logiku, jezik i informacije, 10: 7–28.
• Kant, I., 1781, Kritik der reinen Vernunft, Riga: Johann Friedrich Hartknoch, 1. izdanje (A), 1781; Drugo izdanje (B), 1787. prevedeno kao Kritika čistog razuma P. Guyer i A. Wood, Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
• Klemke, ED (ur.), 1968, Essays on Frege, Urbana, IL: University of Illinois Press.
• MacFarlane, J., 2002, 'Frege, Kant i logika logike', Filozofski pregled, 111/1 (siječanj): 25–66.
• May, R., 2006a, „Frege on Indexicals“, Filozofski pregled, 115: 487–516.
• May, R., 2006b, „Invariencija smisla“, časopis Filozofija, 103: 111–144.
• Parsons, C., 1965, „Fregeova teorija broja“, u M. Black (ur.), Filozofija u Americi, Ithaca: Cornell, str. 180–203.
• Parsons, T., 1981., „Fregeove hijerarhije neizravnih osjetila i paradoks analize“, Srednjozapadne studije filozofije: VI, Minneapolis: University of Minnesota Press, str. 37–57.
• Parsons, T., 1987., "O dosljednosti dijela prvog reda Fregeovog logičkog sustava", Notre Dame Journal of Formal Logic, 28/1 (siječanj): 161–168.
• Parsons, T., 1982, "Fregeanske teorije izmišljenih objekata", Topoi, 1: 81–87.
• Pelletier, FJ, 2001, „Je li Frege vjerovao Fregeovom načelu“, časopis za logiku, jezik i informacije, 10/1: 87–114.
• Perry, J., 1977, „Frege o demonstracijama“, Filozofski pregled, 86: 474–497.
• Reck, E. i Awodey, S. (trans./eds.), 2004., Fregeova predavanja o logici: Carnap-ove studentske bilješke, 1910–1914, Chicago i La Salle, IL: Otvoreni sud.
• Resnik, M., 1980, Frege i filozofija matematike, Ithaca, NY: Cornell University Press.
• Ricketts, T., 1997, „Istine-vrijednosti i tečajevi vrijednosti u Fregeovoj Grundgesetze“, u Early Analitic Philosophy, W. Tait (ur.), Chicago: Otvoreni sud, str. 187-211.
• Ricketts, T., 1986, "Logika i istina u Fregeu", Zbornik Aristotelovskog društva, Dopunski svezak 70, str. 121–140.
• Ricketts, T., predstojeće, Cambridge Companion to Frege, Cambridge: Cambridge University Press.
• Salmon, N., 1986, Fregeova zagonetka, Cambridge, MA: MIT Press.
• Schirn, M., (ur.), 1996, Frege: Važnost i naslijeđe, Berlin: de Gruyter.
• Sluga, H., 1980, Gottlob Frege, London: Routledge i Kegan Paul.
• Sluga, H. (ur.), 1993, Filozofija Fregea, New York: Garland, četiri sveska.
• Smiley, T., 1981., „Frege i Russell“, Epistemologica 4: 53–8.
• Wright, C., 1983., Fregeova koncepcija brojeva kao objekata, Aberdeen: Aberdeen University Press.

Ostali internetski resursi

• Die Grundlagen der Arithmetik, (528 KB PDF datoteka), izvorni njemački tekst (održava Alain Blachair, Académie de Nancy-Metz)
• MacTutor Povijest matematičke arhive
• Web stranica laboratorija za metafiziku na Fregeu
• Frege, Gottlob, Kevin Klement (U. Massachusetts / Amherst), u Internet enciklopediji filozofije.